Fiche de mathématiques
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Calculs de primitives

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I. Généralités

Les intervalles envisagés dans ce paragraphe sont supposés non vides et non réduits à un point.
Définition :
Soit I un intervalle de \mathbb{R} et soient f,\phi: I\rightarrow \mathbb{R}.
On dit que \phi est une primitive de f sur I si et seulement si : \begin{cases} \phi \text{ est dérivable sur } I \\ \phi^{'}=f\end{cases}


Exemple :
Soient f,\phi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} définies par: f(x)=2x et \phi(x)=x^{2}.
\phi est dérivable sur \mathbb{R} et, \forall x\in\mathbb{R}: \phi^{'}(x)=(x^{2})^{'}=2x=f(x)
\phi est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Proposition :
Soit I un intervalle de \mathbb{R} et soit f:I\rightarrow\mathbb{R} continue sur I.
Pour tout x_{0} de I, l'application:\begin{array}{clcl} F: &I  &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\displaystyle \int_{x_{0}}^{x} f \\\end{array} est une primitive de f sur I, et l'ensemble des primitives de f sur I est : \lbrace F+\alpha / \alpha\in \mathbb{R}\rbrace.


Proposition :
Soit I un intervalle de \mathbb{R} et soit f:I\rightarrow\mathbb{R} continue sur I.
Pour toute primitive \phi de f sur I et pour tout (a,b)\in I^{2} : \displaystyle\int_{a}^{b} f=\phi(b)-\phi(a)


Remarque :
On note souvent : \phi(b)-\phi(a)=\displaystyle [\phi(x)]_{a}^{b}, on a alors: \displaystyle\int_{a}^{b} f=\displaystyle [\phi(x)]_{a}^{b}
Notations :
Nous notons \begin{array}{clcl} &I  &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\displaystyle \int  f(x) dx \\\end{array} une primitive de f sur I quelconque.
On écrit aussi, dans le cas où I est un intervalle de \mathbb{R} : \forall x\in I : \displaystyle \int  f(x) dx =\phi(x)+C, C désigne une constante arbitraire, c'est l'application constante: \begin{array}{clcl} C: &I  &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\displaystyle C \\\end{array}
Dans le cas où I est une réunion d'intervalles de \mathbb{R} : \forall x\in I : \displaystyle \int  f(x) dx =\phi(x)+C(x), C désigne dans ce cas une application de I dans \mathbb{R} localement constante, c'est-à-dire constante sur chaque intervalle de I.
Par exemple: \forall x\in\mathbb{R}^{*} : \displaystyle \int \frac{dx}{x}=ln|x|+C(x) avec \begin{array}{clcl} C: &\mathbb{R}^{*}  &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\begin{cases} C_{1} \text{ si } x<0 \\C_{2} \text{ si } x>0\end{cases}  \\\end{array}
(C_{1},C_{2})\in\mathbb{R}^{2}.


II. Primitivation par changement de variable

Proposition :
Soient (a,b)\in \mathbb{R}^{2}, \mu:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^{1} sur [a,b]. F une fonction continue sur un intervalle contenant \mu([a,b]), alors :
\displaystyle \int_{a}^{b} F(\mu(x))\mu^{'}(x) dx=\int_{\mu(a)}^{\mu(b)} F(t)dt

Dans ce cas, on dit qu'on a effectué le changement de variable : t=\mu(x).


On écrit : \displaystyle \int  F(\mu(x))\mu^{'}(x) dx = \int F(t)dt en précisant t=\mu(x)

Exemples :
\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} pour a\in\mathbb{R}^{*} fixé.

On effectue le changement de variable: t = \dfrac{x}{a}, on obtient :
\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \int \frac{dt}{1+t^{2}}=\frac{1}{a}Arctan(t)+C=\frac{1}{a}Arctan \left(\frac{x}{a} \right)+C, où C\in\mathbb{R}

\displaystyle \int tan(x) dx

On a: \displaystyle \int tan(x) dx=\int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx
On effectue le changement de variable: t=cos(x), on obtient:
\displaystyle \int tan(x) dx=\int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx=-\int \frac{dt}{t}=- \ln |t|+C(t)=- \ln |\cos(x)|+C(x)


III. Primitivation par parties

Proposition :
Soit I un intervalle de \mathbb{R} et soient u,v:I\rightarrow \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^{1} sur I, on a alors :
\displaystyle \int u^{'}v= uv-\int u v^{'}



1. Calcul de \displaystyle \int P(x) e^{ax} dxP\in\mathbb{R}[X] et a\in\mathbb{R}^{*}

Méthode 1 :
On réitère la primitivation par parties : \displaystyle \int P(x)e^{ax}dx=\frac{1}{a}P(x)e^{ax}-\frac{1}{a} P'(x)e^{ax} dx jusqu'à ce que le polynôme disparaisse.


Exemple :
\displaystyle \int(x^{2}-2x+4)e^{2x} dx

\displaystyle \int(x^{2}-2x+4)e^{2x} dx=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+4)e^{2x}-\frac{1}{2}\displaystyle \int(2x-4)e^{2x} dx=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+4)e^{2x}-\displaystyle \int(x-2)e^{2x} dx=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+4)e^{2x}- \left(\frac{1}{2}(x-1)e^{2x}-\frac{1}{2}\displaystyle \int e^{2x} dx \right)=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+4)e^{2x}-\frac{1}{2}(x-1)e^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C
Donc: \displaystyle \int(x^{2}-2x+4)e^{2x} dx=\frac{1}{2} \left(x^{2}-x+\frac{11}{2} \right)e^{2x}+C (où C\in\mathbb{R})

Remarque :
Dans le cas où deg(P)>3, la méthode 1 n'est pas performante.

Méthode 2 :
D'après la méthode 1, il existe Q\in\mathbb{R}[X] tel que :
\begin{cases} deg(Q)=deg(P) \\\displaystyle \int P(x)e^{ax}dx=Q(x)e^{ax}+C \text{ où } C\in\mathbb{R} \text { et } Q=\frac{1}{a}P-\frac{1}{a^{2}}P^{'}+\frac{1}{a^{3}}P^{''}-\ldots \end{cases}
Pour calculer Q, on procède par coefficients indéterminés.


Exemple :
\displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7)e^{2x} dx

On sait que : \exists (\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in\mathbb{R}^{4} : \displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7)e^{2x} dx=(\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta)e^{2x} +CC\in\mathbb{R}
On obtient, par dérivation :
\forall x\in\mathbb{R} : 2(\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta)+(3\aplha x^{2}+2\beta x+\gamma)=x^{3}+4x^{2}-2x+7
Alors :\begin{cases} 2\alpha=1\\2\beta+3\alpha=4\\2\gamma+2\beta=-2\\2\delta+\gamma=7\end{cases}
En résolvant le système, on obtient : \alpha=\dfrac{1}{2} , \beta=\dfrac{5}{4} , \gamma=\dfrac{-9}{4} , \delta=\dfrac{37}{8}
Donc : \displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7)e^{2x} dx= \left(\frac{1}{2}x^{3} +\frac{5}{4}x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{37}{5} \right)e^{2x}+CC\in\mathbb{R}


2. Calcul de \displaystyle \int P(x) \cos(ax) dx et \displaystyle \int P(x) \sin(ax) dxP\in\mathbb{R}[X] et a\in\mathbb{R}^{*}

Méthode 1 :
Primitivation par parties :
\displaystyle \int P(x) \cos(ax) dx=\frac{1}{a}P(x) \sin(ax)-\frac{1}{a}\int P'(x) \sin(ax)
\displaystyle \int P(x) \sin(ax) dx=-\frac{1}{a}P(x) \cos(ax)+\frac{1}{a}\int P'(x) \cos(ax)
Et on réitère jusqu'à ce que le polynôme disparaisse.


Exemple :
\displaystyle \int (x^{2}-x+3) \cos(x) dx

\displaystyle \int (x^{2}-x+3) \cos(x) dx=(x^{2}-x+3)sin(x)-\int (2x-1) \sin(x) dx =(x^{2}-x+3)\sin(x)-(-(2x-1)\cos(x)+\int 2\cos(x)dx)=(x^{2}-x+3)sin(x)+(2x-1)\cos(x)-2sin(x)+C
Donc: \displaystyle \int (x^{2}-x+3)\cos(x) dx=(x^{2}-x+1)\sin(x)+(2x-1)\cos(x)+CC\in\mathbb{R}

Remarque :
Dans le cas où deg(P)>3, la méthode 1 n'est pas performante.
Méthode 2 :
D'après la méthode 1, il existe Q,R\in\mathbb{R}[X] tel que :
\begin{cases} deg(Q)\leq deg(P) \text{ et } deg(R)\leq deg(P) \\\displaystyle \int P(x)\cos(ax)dx=Q(x)\sin(ax)+R(x)\cos(ax)+C \text{ où } C\in\mathbb{R} \end{cases}
On écrit Q(x) et R(x) en fonction de coefficients indéterminés, on dérive et on identifie avec P(x) cos(ax).

(De même pour \displaystyle \int P(x) sin(ax) dx).


Exemple :
\displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7) \sin(x) dx

On sait que: \exists \alpha,\beta,\gamma,\delta,\alpha^{'},\beta^{'},\gamma^{'},\delta^{'}\in\mathbb{R} : \displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7) \sin(x) dx=(\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta)cos(x)+(\alpha^{'} x^{3}+\beta^{'} x^{2}+\gamma^{'} x+\delta^{'})sin(x)+CC\in\mathbb{R}
On obtient, par dérivation :
\forall x\in\mathbb{R} : -(\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta)\sin(x)+(3\aplha x^{2}+2\beta x+\gamma)\cos(x)+(\alpha^{'} x^{3}+\beta^{'} x^{2}+\gamma^{'} x+\delta^{'})\cos(x)+(3\aplha^{'} x^{2}+2\beta^{'} x+\gamma^{'})\sin(x)=(x^{3}+4x^{2}-2x+7)\sin(x)
Donc : (-\alpha x^{3}+(3\alpha^{'}-\beta)x^{2}+(2\beta^{'}-\gamma)x+\gamma^{'}-\delta)\sin(x)+(\alpha^{'} x^{3}+(3\alpha+\beta^{'})x^{2}+(2\beta+\gamma^{'})x+\gamma+\delta^{'})\cos(x) = (x^{3}+4x^{2}-2x+7)\sin(x)
Alors : \begin{cases} -\alpha=1 \text{ et } \alpha^{'}=0\\-\beta+3\alpha^{'}=4 \text{ et } 3\alpha+\beta^{'}=0\\-\gamma+2\beta^{'}=-2 \text{ et }2\beta+\gamma^{'}=0 \\-\delta+\gamma^{'}=7 \text{ et } \gamma+\delta^{'}=0\end{cases}
En résolvant le système, on obtient: \alpha=-1 \text{ et } \alpha^{'}=0 , \beta=-4 \text{ et } \beta^{'}=3 , \gamma=8 \text{ et }\gamma^{'}=8 , \delta=1 \text{ et } \delta^{'}=-8
Donc : \displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7)\sin(x) dx=(-x^{3} -4x^{2}+8x+1)\cos(x)+(3x^{2}+8x-8)\sin(x)+CC\in\mathbb{R}


3. Calcul de \displaystyle \int P(x) e^{ax} \cos(bx) dx et \displaystyle \int P(x) e^{ax} \sin(bx) dxP\in\mathbb{R}[X]\text{ et } (a,b)\in\mathbb{R}^{2}-\lbrace (0,0)\rbrace

Méthode :
La méthode la plus commode est de passer à l'exponentielle complexe, puis d'utiliser la 2ème méthode du paragraphe III-1.


Exemple :
\displaystyle \int (x+3)e^{x} \cos(3x) dx

On pose : M(x) = \displaystyle \int (x+3)e^{x} \cos(3x) dx et N(x)=\displaystyle \int (x+3)e^{x}\sin(3x) dx
On a : M(x)+iN(x)=\displaystyle \int (x+3)e^{(1+3i)x} dx
On cherche (a,b)\in\mathbb{C}^{2} pour que : M(x)+iN(x)=(ax+b)e^{(1+3i)x}+CC\in \mathbb{C}
En dérivant :
\forall x\in\mathbb{R}: (1+3i)(ax+b)+a=x+3
C'est-à-dire : \begin{cases} (1+3i)a=1 \\ (1+3i)b+a=3\end{cases}
On trouve : \begin{cases} a=\dfrac{1-3i}{10} \\ b=\dfrac{19-42i}{50}\end{cases}
Pour retrouver M(x)=\displaystyle \int (x+3)e^{x} \cos(3x) dx, on utilise : M(x)=\mathcal{R}e (M(x)+iN(x))+CC\in\mathbb{R}
Donc :
\displaystyle \int (x+3)e^{x} \cos(3x) dx=e^{x} \left( \left( \frac{x}{10}+\frac{19}{50} \right) \cos(3x) + \left( \frac{3x}{10}+\frac{21}{25} \right) \sin(3x) \right) + C \text{ où } C\in\mathbb{R}


4. Calcul de \displaystyle\int x^{a} \ln(x) dx \text{ pour tout } a\in\mathbb{R}-\lbrace -1 \rbrace

Méthode :
\displaystyle\int x^{a} \ln(x) dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ln(x)-\frac{x^{a+1}}{(a+1)^{2}}+C \text { avec } C\in\mathbb{R}


En effet :
\displaystyle\int x^{a} \ln(x) dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ln(x)-\int \frac{x^{a}}{a+1}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ln(x)-\frac{x^{a+1}}{(a+1)^{2}}+C avec C\in\mathbb{R}

Remarque :
On peut retrouver ce résultat en effectuant un changement de variable t= \ln(x), on retrouve: \displaystyle \int te^{(a+1)t} dt qu'on peut calculer en utilisant la méthode du paragraphe III-1.


IV. Liste des primitives usuelles


Fonction f Primitive F Domaine de validité
f(x) F(x)  
e^{ax} , a\in\mathbb{R}^{*} fixé \dfrac{1}{a}e^{ax} \mathbb{R}
ch(x) sh(x) \mathbb{R}}
sh(x) ch(x) \mathbb{R}
\cos(x) \sin(x) \mathbb{R}
\sin(x) -\cos(x) \mathbb{R}
th(x) \ln(ch(x)) \mathbb{R}
coth(x) \ln|sh(x)| \mathbb{R}^{*}
\tan(x) -\ln|cos(x)| \mathbb{R}- \left \lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi /k\in\mathbb{Z} \right \rbrace
cotan(x) \ln|sin(x)| \mathbb{R}-\lbrace k\pi/k\in\mathbb{Z}\rbrace
\dfrac{1}{ch^{2}(x)}=1-th^{2}(x) th(x) \mathbb{R}
\dfrac{1}{sh^{2}(x)}=coth^{2}(x)-1 -coth(x) \mathbb{R}^{*}
\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}=1+\tan^{2}(x) \tan(x) \mathbb{R}-\left \lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi /k\in\mathbb{Z} \right \rbrace
\dfrac{1}{\sin^{2}(x)}=1+ cotan^{2}(x) -cotan(x) \mathbb{R}-\lbrace k\pi/k\in\mathbb{Z}\rbrace
x^{a}, a\in\mathbb{R}-\mathbb{Z} \dfrac{x^{a+1}}{a+1} \mathbb{R}_{+}^{*}
x^{n}, n\in\mathbb{Z_{-}}-\lbrace 0,-1\rbrace \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \mathbb{R}^{*}
x^{n}, n\in\mathbb{N} \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \mathbb{R}
\dfrac{1}{x} \ln|x| \mathbb{R}^{*}
\dfrac{1}{1+x^{2}} Arctan(x) \mathbb{R}
\dfrac{1}{1-x^{2}} \dfrac{1}{2} \ln|\dfrac{1+x}{1-x}| \mathbb{R}-\lbrace -1,1\rbrace
\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})=Argsh(x) \mathbb{R}
\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} Arcsin(x) ]-1,1[
\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} \ln|x+\sqrt{x^{2}-1}|=sgn(x)Argch(sgn(x)x) \mathbb{R}-[-1,1]



V. Primitivation des fonctions rationnelles

Prérequis : Fractions rationnelles
Méthode :
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples puis on primitive chacun de ceux-ci.


Remarque :
La décomposition des fractions rationnelles en éléments simples ne sera pas traitée dans ce cours.


1. Primitivation des éléments simples de 1ère espèce

Méthode :
Soit l'élément simple de 1ère espèce : \displaystyle \frac{1}{(x-a)^{n}} avec a\in\mathbb{R}
Si n\in\mathbb{N}-\lbrace 0,1\rbrace : \displaystyle\int\frac{dx}{(x-a)^{n}}=-\frac{1}{n-1}\frac{1}{(x-a)^{n-1}}+C(x)
où : \begin{array}{clcl} C:&\mathbb{R}-\lbrace a\rbrace  &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\begin{cases} C_{1} \text{ si } x<a \\ C_{2} \text{ si } x>a\end{cases}\\\end{array} avec (C_{1},C_{2})\in\mathbb{R}^{2}

Si n=1: \displaystyle \int \frac{dx}{x-a}= \ln|x-a|+C(x)\begin{array}{clcl} C:&\mathbb{R}-\lbrace a\rbrace  &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\begin{cases} C_{1} \text{ si } x<a \\ C_{2} \text{ si } x>a\end{cases}\\\end{array}avec (C_{1},C_{2})\in\mathbb{R}^{2}



2. Primitivation des éléments simples de seconde espèce

Méthode :
Soit l'élément simple de 2ème espèce : \displaystyle\frac{\alpha x+\beta}{(ax^{2}+bx+c)^{n}} où : n\in\mathbb{N}^{*} et \alpha,\beta,a,b,c \in \mathbb{R} tels que : b^{2}-4ac<0
Si \alpha=0 : \displaystyle \beta \int \frac{dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}=\beta \left(\frac{4a}{4ac-b^{2}} \right)^{n}\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a} \int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{n}} en posant: t=\displaystyle\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^{2}}}

Et on calcule \displaystyle\int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{n}} à l'aide de la relation de récurrence suivante:

\begin{cases}\displaystyle \int \frac{dt}{1+t^{2}}=Arctan(t)+C \text{ où } C\in\mathbb{R} \\  \displaystyle\int \frac{dt}{(1+t^{2})^{n+1}}=\frac{1}{2n} \left((2n-1)\int \frac{dt}{(1+t^{2})^{n}}+\frac{t}{(1+t^{2})^{n}} \right)\end{cases}


Si \alpha \neq 0 : \displaystyle\int \frac{\alpha x+\beta}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}dx=\frac{\alpha}{2a}\int\frac{2ax+b}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}dx+\frac{\alpha}{2a} \left(\frac{2a\beta}{\alpha}-b \right)\int \frac{dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}
La 1ère primitive se calcule, en posant: t=ax^{2}+bx+c : \displaystyle\int\frac{2ax+b}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}dx=\int \frac{dt}{t^{n}} et la 2ème est identique au 1er cas (\alpha=0).



3. Exemples

a) Primitivation de \dfrac{2x+3}{(x-1)^{2}(x+1)}

On effectue la décomposition en éléments simples de la fraction, on obtient :
\dfrac{2x+3}{(x-1)^{2}(x+1)}=\dfrac{\dfrac{-1}{4}}{x-1}+\dfrac{\dfrac{5}{2} x}{(x-1)^{2}}+\dfrac{\dfrac{1}{4} x}{x+1}

La décomposition est composée d'éléments simples de 1ère espèce, on applique la méthode de la partie V-1) :
\boxed{\displaystyle \int \frac{2x+3}{(x-1)^{2}(x+1)} dx = \frac{-1}{4} \ln|x-1| +\frac{1}{4} \ln|x+1| - \frac{5}{2(x-1)} + C \text{ , } C\in\mathbb{R}}



b) Primitivation de \dfrac{1}{x(x^{2}+x+1)^{2}}
La décomposition en éléments simples :
\dfrac{1}{x(x^{2}+x+1)^{2}}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}-\dfrac{x+1}{x^{2}+x+1}
A l'exception de \dfrac{1}{x}, la décomposition est composée d'éléments simples de 2ème espèce, on applique donc la méthode de la partie V-2) :


i) \dfrac{x+1}{x^{2}+x+1}

 \displaystyle \int\frac{x+1}{x^{2}+x+1} dx = \frac{1}{2} \int\frac{(2x+1)+1}{x^{2}+x+1} dx =\frac{1}{2} \int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1} dx + \frac{1}{2} \int\frac{1}{x^{2}+x+1} dx

On a : \displaystyle \begin{cases} \displaystyle \int \frac{2x+1}{x^{2}+x+1} dx = \ln(x^{2}+x+1)+C_{1} \text{ , } C_{1}\in\mathbb{R} \\  \text{      } \\  \displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+x+1} = \int \frac{dx}{\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2}+ \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\int \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}dx}{\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan \left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)+C_{2} \text{ , } C_{2}\in\mathbb{R} \end{cases}

d'où : \blue{\boxed{\displaystyle \int\frac{x+1}{x^{2}+x+1} dx = \frac{1}{2} \ln(x^{2}+x+1)+ \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C  \text{ , } C\in\mathbb{R}}\text{ (I)}


ii) \dfrac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}

 \displaystyle \int\frac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx = \frac{1}{2} \int\frac{(2x+1)+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx =\frac{1}{2} \int\frac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx + \frac{1}{2} \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx

On sait que: \magenta{ \boxed{\displaystyle \int\frac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx =-\frac{1}{x^{2}+x+1} + C_{3} \text{ , } C_{3}\in\mathbb{R}}\text{ (1) }}

Il nous reste à calculer: \displaystyle  \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx

\displaystyle  \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx =  \int \frac{dx}{[(x+\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}]^{2}} = \frac{16}{9} \frac{dx}{[(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^{2}+1]^{2}}=\frac{8}{3\sqrt{3}} \int  \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}} \text{    (Changement de variable } t=\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \Longrightarrow dt=\frac{2dx}{\sqrt{3}} \text{  )}

Il s'agit donc de calculer \displaystyle  \int  \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}

\displaystyle  \int  \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}=\displaystyle  \int  \frac{1+t^{2}-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt = \int \displaystyle   \frac{dt}{1+t^{2}}-  \int  \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt

Il est évident que: \green{\boxed{\displaystyle \int   \frac{dt}{1+t^{2}} = \arctan(t) + C_{4} \text{ , } C_{4}\in\mathbb{R}} \text{  } (\alpha)}

\displaystyle  \int  \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt=  \int  \frac{t.t}{(1+t^{2})^{2}}dt \longrightarrow \text{   Integration par parties:  }   \begin{cases} \displaystyle u=t \\ \displaystyle v^{'}=\frac{t}{(t^{2}+1)^{2}} \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} u^{'}=1 \\ \displaystyle v=-\frac{1}{2(t^{2}+1)} \end{cases}

On obtient: \displaystyle  \int  \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt= \frac{-t}{2(t^{2}+1)} + \int \frac{dt}{2(t^{2}+1)} = \green{\boxed{ \frac{-t}{2(t^{2}+1)} +\frac{1}{2}\arctan(t)+C_{5} \text{ , } C_{5}\in\mathbb{R}} \text{   }  (\beta)}

\text{ De } \green{(\alpha)}  \text{  et  }  \green{(\beta)}   \text{ , On obtient } : \boxed{ \displaystyle  \int  \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}= \frac{dt}{1+t^{2}}-  \int  \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt=\frac{1}{2}\arctan(t)+\frac{t}{2(t^{2}+1)}+C \text{ , } C\in\mathbb{R} }

En revenant au fait que: \displaystyle  \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx= \frac{8}{3\sqrt{3}} \int  \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}} \text{ avec }  t=\frac{2x+1}{\sqrt{3}}

On déduit que: \magenta \boxed{\displaystyle  \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx =\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}} +\frac{1}{3}\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}+C \text{ , } C\in\mathbb{R}} \text{   }  (2)}

\text{ De } \magenta{(1)}  \text{  et  }  \magenta{(2)} :

\begin{matrix} \displaystyle\int\frac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx &=&\displaystyle\frac{1}{2} \int\frac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx + \frac{1}{2} \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx \\\\&=&\displaystyle\frac{-1}{2(x^{2}+x+1)}+\frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} +\frac{1}{6}\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}+C \text{ , } C\in\mathbb{R}\\\\ &=&\displaystyle\blue{\boxed{ \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} +  \frac{1}{3}\frac{x-1}{x^{2}+x+1}+C \text{ , } C\in\mathbb{R} } \text{  (II)}   }\end{matrix}


iii) \displaystyle \frac{1}{x}

Usuelle: \blue{\boxed{\displaystyle \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C \text{  ,  }  C\in\mathbb{R}} \text{   (III)}

\text{ Finalement de   }  \blue{\text{  (I) , (I)}} \text{ et } \blue{\text{(III) }}:

\black{\boxed{\displaystyle \begin{matrix}\displaystyle \int \frac{dx}{x(x^{2}+x+1)^{2}}  &=& \displaystyle \int\frac{dx}{x}+\int\frac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}dx-\int\frac{x+1}{x^{2}+x+1}dx\\ \\ &=&\displaystyle\ln|x|+ \displaystyle  \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) +  \frac{1}{3}\frac{x-1}{x^{2}+x+1} -   \frac{1}{2} \ln(x^{2}+x+1)- \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+ C \text{ , } C\in\mathbb{R} \\ \\ &=& \displaystyle \red{ \ln(\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+x+1}})+ \frac{1}{3}\frac{x-1}{x^{2}+x+1} - \frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+ C \text{ , } C\in\mathbb{R}\end{matrix} }}}
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