Fiche de mathématiques

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Calculs de primitives

I. Généralités

Les intervalles envisagés dans ce paragraphe sont supposés non vides et non réduits à un point.

Définition :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soient $f,\phi: I\rightarrow \mathbb{R}$ .
On dit que $\phi$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si : $\begin{cases} \phi \text{ est dérivable sur } I \\ \phi^{'}=f\end{cases}$

Exemple :
Soient $f,\phi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ définies par: $f(x)=2x$ et $\phi(x)=x^{2}$ .
$\phi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, $\forall x\in\mathbb{R}$ : $\phi^{'}(x)=(x^{2})^{'}=2x=f(x)$
$\phi$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Proposition :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ continue sur $I$ .
Pour tout $x_{0}$ de $I$ , l'application: $\begin{array}{clcl} F: &I &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\displaystyle \int_{x_{0}}^{x} f \\\end{array}$ est une primitive de $f$ sur $I$ , et l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est : $\lbrace F+\alpha / \alpha\in \mathbb{R}\rbrace$ .

Proposition :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ continue sur $I$ .
Pour toute primitive $\phi$ de $f$ sur $I$ et pour tout $(a,b)\in I^{2}$ : $\displaystyle\int_{a}^{b} f=\phi(b)-\phi(a)$

Remarque :
On note souvent : $\phi(b)-\phi(a)=\displaystyle [\phi(x)]_{a}^{b}$ , on a alors: $\displaystyle\int_{a}^{b} f=\displaystyle [\phi(x)]_{a}^{b}$
Notations :
Nous notons $\begin{array}{clcl} &I &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\displaystyle \int f(x) dx \\\end{array}$ une primitive de $f$ sur $I$ quelconque.
On écrit aussi, dans le cas où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ : $\forall x\in I$ : $\displaystyle \int f(x) dx =\phi(x)+C$ , C désigne une constante arbitraire, c'est l'application constante: $\begin{array}{clcl} C: &I &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\displaystyle C \\\end{array}$
Dans le cas où $I$ est une réunion d'intervalles de $\mathbb{R}$ : $\forall x\in I$ : $\displaystyle \int f(x) dx =\phi(x)+C(x)$ , C désigne dans ce cas une application de $I$ dans $\mathbb{R}$ localement constante, c'est-à-dire constante sur chaque intervalle de $I$ .
Par exemple: $\forall x\in\mathbb{R}^{*}$ : $\displaystyle \int \frac{dx}{x}=ln|x|+C(x)$ avec $\begin{array}{clcl} C: &\mathbb{R}^{*} &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\begin{cases} C_{1} \text{ si } x<0 \\C_{2} \text{ si } x>0\end{cases} \\\end{array}$
où $(C_{1},C_{2})\in\mathbb{R}^{2}$ .

II. Primitivation par changement de variable

Proposition :

Soient $(a,b)\in \mathbb{R}^{2}$ , $\mu:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[a,b]$ . $F$ une fonction continue sur un intervalle contenant $\mu([a,b])$ , alors :
$\displaystyle \int_{a}^{b} F(\mu(x))\mu^{'}(x) dx=\int_{\mu(a)}^{\mu(b)} F(t)dt$
Dans ce cas, on dit qu'on a effectué le changement de variable : $t=\mu(x)$ .

On écrit : $\displaystyle \int F(\mu(x))\mu^{'}(x) dx = \int F(t)dt$ en précisant $t=\mu(x)$

Exemples :
$\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}$ pour $a\in\mathbb{R}^{*}$ fixé.

On effectue le changement de variable: $t = \dfrac{x}{a}$ , on obtient :
$\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \int \frac{dt}{1+t^{2}}=\frac{1}{a}Arctan(t)+C=\frac{1}{a}Arctan \left(\frac{x}{a} \right)+C$ , où $C\in\mathbb{R}$

$\displaystyle \int tan(x) dx$

On a: $\displaystyle \int tan(x) dx=\int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx$
On effectue le changement de variable: $t=cos(x)$ , on obtient:
$\displaystyle \int tan(x) dx=\int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx=-\int \frac{dt}{t}=- \ln |t|+C(t)=- \ln |\cos(x)|+C(x)$

III. Primitivation par parties

Proposition :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soient $u,v:I\rightarrow \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$ , on a alors :
$\displaystyle \int u^{'}v= uv-\int u v^{'}$

1. Calcul de $\displaystyle \int P(x) e^{ax} dx$ où $P\in\mathbb{R}[X]$ et $a\in\mathbb{R}^{*}$

Méthode 1 :

On réitère la primitivation par parties : $\displaystyle \int P(x)e^{ax}dx=\frac{1}{a}P(x)e^{ax}-\frac{1}{a} P'(x)e^{ax} dx$ jusqu'à ce que le polynôme disparaisse.

Exemple :
$\displaystyle \int(x^{2}-2x+4)e^{2x} dx$

$\displaystyle \int(x^{2}-2x+4)e^{2x} dx=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+4)e^{2x}-\frac{1}{2}\displaystyle \int(2x-4)e^{2x} dx=$ $\frac{1}{2}(x^{2}-2x+4)e^{2x}-\displaystyle \int(x-2)e^{2x} dx=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+4)e^{2x}- \left(\frac{1}{2}(x-1)e^{2x}-\frac{1}{2}\displaystyle \int e^{2x} dx \right)=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+4)e^{2x}-\frac{1}{2}(x-1)e^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C$
Donc: $\displaystyle \int(x^{2}-2x+4)e^{2x} dx=\frac{1}{2} \left(x^{2}-x+\frac{11}{2} \right)e^{2x}+C$ (où $C\in\mathbb{R}$ )

Remarque :
Dans le cas où $deg(P)>3$ , la méthode 1 n'est pas performante.

Méthode 2 :

D'après la méthode 1, il existe $Q\in\mathbb{R}[X]$ tel que :
$\begin{cases} deg(Q)=deg(P) \\\displaystyle \int P(x)e^{ax}dx=Q(x)e^{ax}+C \text{ où } C\in\mathbb{R} \text { et } Q=\frac{1}{a}P-\frac{1}{a^{2}}P^{'}+\frac{1}{a^{3}}P^{''}-\ldots \end{cases}$
Pour calculer $Q$ , on procède par coefficients indéterminés.

Exemple :
$\displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7)e^{2x} dx$

On sait que : $\exists (\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in\mathbb{R}^{4}$ : $\displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7)e^{2x} dx=(\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta)e^{2x} +C$ où $C\in\mathbb{R}$
On obtient, par dérivation :
$\forall x\in\mathbb{R}$ : $2(\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta)+(3\aplha x^{2}+2\beta x+\gamma)=x^{3}+4x^{2}-2x+7$
Alors : $\begin{cases} 2\alpha=1\\2\beta+3\alpha=4\\2\gamma+2\beta=-2\\2\delta+\gamma=7\end{cases}$
En résolvant le système, on obtient : $\alpha=\dfrac{1}{2}$ , $\beta=\dfrac{5}{4}$ , $\gamma=\dfrac{-9}{4}$ , $\delta=\dfrac{37}{8}$
Donc : $\displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7)e^{2x} dx= \left(\frac{1}{2}x^{3} +\frac{5}{4}x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{37}{5} \right)e^{2x}+C$ où $C\in\mathbb{R}$

2. Calcul de $\displaystyle \int P(x) \cos(ax) dx$ et $\displaystyle \int P(x) \sin(ax) dx$ où $P\in\mathbb{R}[X]$ et $a\in\mathbb{R}^{*}$

Méthode 1 :

Primitivation par parties :
$\displaystyle \int P(x) \cos(ax) dx=\frac{1}{a}P(x) \sin(ax)-\frac{1}{a}\int P'(x) \sin(ax)$
$\displaystyle \int P(x) \sin(ax) dx=-\frac{1}{a}P(x) \cos(ax)+\frac{1}{a}\int P'(x) \cos(ax)$
Et on réitère jusqu'à ce que le polynôme disparaisse.

Exemple :
$\displaystyle \int (x^{2}-x+3) \cos(x) dx$

$\displaystyle \int (x^{2}-x+3) \cos(x) dx=(x^{2}-x+3)sin(x)-\int (2x-1) \sin(x) dx =(x^{2}-x+3)\sin(x)-(-(2x-1)\cos(x)+\int 2\cos(x)dx)=(x^{2}-x+3)sin(x)+(2x-1)\cos(x)-2sin(x)+C$
Donc: $\displaystyle \int (x^{2}-x+3)\cos(x) dx=(x^{2}-x+1)\sin(x)+(2x-1)\cos(x)+C$ où $C\in\mathbb{R}$

Remarque :
Dans le cas où $deg(P)>3$ , la méthode 1 n'est pas performante.

Méthode 2 :

D'après la méthode 1, il existe $Q,R\in\mathbb{R}[X]$ tel que :
$\begin{cases} deg(Q)\leq deg(P) \text{ et } deg(R)\leq deg(P) \\\displaystyle \int P(x)\cos(ax)dx=Q(x)\sin(ax)+R(x)\cos(ax)+C \text{ où } C\in\mathbb{R} \end{cases}$
On écrit $Q(x)$ et $R(x)$ en fonction de coefficients indéterminés, on dérive et on identifie avec $P(x) cos(ax)$ .

(De même pour $\displaystyle \int P(x) sin(ax) dx$ ).

Exemple :
$\displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7) \sin(x) dx$

On sait que: $\exists \alpha,\beta,\gamma,\delta,\alpha^{'},\beta^{'},\gamma^{'},\delta^{'}\in\mathbb{R}$ : $\displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7) \sin(x) dx=(\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta)cos(x)+(\alpha^{'} x^{3}+\beta^{'} x^{2}+\gamma^{'} x+\delta^{'})sin(x)+C$ où $C\in\mathbb{R}$
On obtient, par dérivation :
$\forall x\in\mathbb{R}$ : $-(\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta)\sin(x)+(3\aplha x^{2}+2\beta x+\gamma)\cos(x)+(\alpha^{'} x^{3}+\beta^{'} x^{2}+\gamma^{'} x+\delta^{'})\cos(x)+(3\aplha^{'} x^{2}+2\beta^{'} x+\gamma^{'})\sin(x)=(x^{3}+4x^{2}-2x+7)\sin(x)$
Donc : $(-\alpha x^{3}+(3\alpha^{'}-\beta)x^{2}+(2\beta^{'}-\gamma)x+\gamma^{'}-\delta)\sin(x)+(\alpha^{'} x^{3}+(3\alpha+\beta^{'})x^{2}+(2\beta+\gamma^{'})x+\gamma+\delta^{'})\cos(x) = (x^{3}+4x^{2}-2x+7)\sin(x)$
Alors : $\begin{cases} -\alpha=1 \text{ et } \alpha^{'}=0\\-\beta+3\alpha^{'}=4 \text{ et } 3\alpha+\beta^{'}=0\\-\gamma+2\beta^{'}=-2 \text{ et }2\beta+\gamma^{'}=0 \\-\delta+\gamma^{'}=7 \text{ et } \gamma+\delta^{'}=0\end{cases}$
En résolvant le système, on obtient: $\alpha=-1 \text{ et } \alpha^{'}=0$ , $\beta=-4 \text{ et } \beta^{'}=3$ , $\gamma=8 \text{ et }\gamma^{'}=8$ , $\delta=1 \text{ et } \delta^{'}=-8$
Donc : $\displaystyle \int(x^{3}+4x^{2}-2x+7)\sin(x) dx=(-x^{3} -4x^{2}+8x+1)\cos(x)+(3x^{2}+8x-8)\sin(x)+C$ où $C\in\mathbb{R}$

3. Calcul de $\displaystyle \int P(x) e^{ax} \cos(bx) dx$ et $\displaystyle \int P(x) e^{ax} \sin(bx) dx$ où $P\in\mathbb{R}[X]\text{ et } (a,b)\in\mathbb{R}^{2}-\lbrace (0,0)\rbrace$

Méthode :

La méthode la plus commode est de passer à l'exponentielle complexe, puis d'utiliser la 2ème méthode du paragraphe III-1.

Exemple :
$\displaystyle \int (x+3)e^{x} \cos(3x) dx$

On pose : $M(x) = \displaystyle \int (x+3)e^{x} \cos(3x) dx$ et $N(x)=\displaystyle \int (x+3)e^{x}\sin(3x) dx$
On a : $M(x)+iN(x)=\displaystyle \int (x+3)e^{(1+3i)x} dx$
On cherche $(a,b)\in\mathbb{C}^{2}$ pour que : $M(x)+iN(x)=(ax+b)e^{(1+3i)x}+C$ où $C\in \mathbb{C}$
En dérivant :
$\forall x\in\mathbb{R}$ : $(1+3i)(ax+b)+a=x+3$
C'est-à-dire : $\begin{cases} (1+3i)a=1 \\ (1+3i)b+a=3\end{cases}$
On trouve : $\begin{cases} a=\dfrac{1-3i}{10} \\ b=\dfrac{19-42i}{50}\end{cases}$
Pour retrouver $M(x)=\displaystyle \int (x+3)e^{x} \cos(3x) dx$ , on utilise : $M(x)=\mathcal{R}e (M(x)+iN(x))+C$ où $C\in\mathbb{R}$
Donc :
$\displaystyle \int (x+3)e^{x} \cos(3x) dx=e^{x} \left( \left( \frac{x}{10}+\frac{19}{50} \right) \cos(3x) + \left( \frac{3x}{10}+\frac{21}{25} \right) \sin(3x) \right) + C \text{ où } C\in\mathbb{R}$

4. Calcul de $\displaystyle\int x^{a} \ln(x) dx \text{ pour tout } a\in\mathbb{R}-\lbrace -1 \rbrace$

Méthode :

$\displaystyle\int x^{a} \ln(x) dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ln(x)-\frac{x^{a+1}}{(a+1)^{2}}+C \text { avec } C\in\mathbb{R}$

En effet :
$\displaystyle\int x^{a} \ln(x) dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ln(x)-\int \frac{x^{a}}{a+1}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ln(x)-\frac{x^{a+1}}{(a+1)^{2}}+C$ avec $C\in\mathbb{R}$

Remarque :
On peut retrouver ce résultat en effectuant un changement de variable $t= \ln(x)$ , on retrouve: $\displaystyle \int te^{(a+1)t} dt$ qu'on peut calculer en utilisant la méthode du paragraphe III-1.

IV. Liste des primitives usuelles

Fonction $f$	Primitive $F$	Domaine de validité
$f(x)$	$F(x)$
$e^{ax}$ , $a\in\mathbb{R}^{*}$ fixé	$\dfrac{1}{a}e^{ax}$	$\mathbb{R}$
$ch(x)$	$sh(x)$	$\mathbb{R}}$
$sh(x)$	$ch(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$th(x)$	$\ln(ch(x))$	$\mathbb{R}$
$coth(x)$	$\ln\|sh(x)\|$	$\mathbb{R}^{*}$
$\tan(x)$	$-\ln\|cos(x)\|$	$\mathbb{R}- \left \lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi /k\in\mathbb{Z} \right \rbrace$
$cotan(x)$	$\ln\|sin(x)\|$	$\mathbb{R}-\lbrace k\pi/k\in\mathbb{Z}\rbrace$
$\dfrac{1}{ch^{2}(x)}=1-th^{2}(x)$	$th(x)$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{sh^{2}(x)}=coth^{2}(x)-1$	$-coth(x)$	$\mathbb{R}^{*}$
$\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}=1+\tan^{2}(x)$	$\tan(x)$	$\mathbb{R}-\left \lbrace \dfrac{\pi}{2}+k\pi /k\in\mathbb{Z} \right \rbrace$
$\dfrac{1}{\sin^{2}(x)}=1+ cotan^{2}(x)$	$-cotan(x)$	$\mathbb{R}-\lbrace k\pi/k\in\mathbb{Z}\rbrace$
$x^{a}, a\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}$	$\dfrac{x^{a+1}}{a+1}$	$\mathbb{R}_{+}^{*}$
$x^{n}, n\in\mathbb{Z_{-}}-\lbrace 0,-1\rbrace$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}^{*}$
$x^{n}, n\in\mathbb{N}$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	$\mathbb{R}^{*}$
$\dfrac{1}{1+x^{2}}$	$Arctan(x)$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{1-x^{2}}$	$\dfrac{1}{2} \ln\|\dfrac{1+x}{1-x}\|$	$\mathbb{R}-\lbrace -1,1\rbrace$
$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$	$\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})=Argsh(x)$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$Arcsin(x)$	$]-1,1[$
$\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$	$\ln\|x+\sqrt{x^{2}-1}\|=sgn(x)Argch(sgn(x)x)$	$\mathbb{R}-[-1,1]$

V. Primitivation des fonctions rationnelles

Prérequis : Fractions rationnelles

Méthode :

On décompose la fraction rationnelle en éléments simples puis on primitive chacun de ceux-ci.

Remarque :
La décomposition des fractions rationnelles en éléments simples ne sera pas traitée dans ce cours.

1. Primitivation des éléments simples de 1ère espèce

Méthode :

Soit l'élément simple de 1ère espèce : $\displaystyle \frac{1}{(x-a)^{n}}$ avec $a\in\mathbb{R}$
Si $n\in\mathbb{N}-\lbrace 0,1\rbrace$ : $\displaystyle\int\frac{dx}{(x-a)^{n}}=-\frac{1}{n-1}\frac{1}{(x-a)^{n-1}}+C(x)$
où : $\begin{array}{clcl} C:&\mathbb{R}-\lbrace a\rbrace &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\begin{cases} C_{1} \text{ si } x<a \\ C_{2} \text{ si } x>a\end{cases}\\\end{array}$ avec $(C_{1},C_{2})\in\mathbb{R}^{2}$

Si $n=1$ : $\displaystyle \int \frac{dx}{x-a}= \ln|x-a|+C(x)$ où $\begin{array}{clcl} C:&\mathbb{R}-\lbrace a\rbrace &\rightarrow &\mathbb{R}\\& x&\mapsto &\begin{cases} C_{1} \text{ si } x<a \\ C_{2} \text{ si } x>a\end{cases}\\\end{array}$ avec $(C_{1},C_{2})\in\mathbb{R}^{2}$

2. Primitivation des éléments simples de seconde espèce

Méthode :

Soit l'élément simple de 2ème espèce : $\displaystyle\frac{\alpha x+\beta}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}$ où : $n\in\mathbb{N}^{*}$ et $\alpha,\beta,a,b,c \in \mathbb{R}$ tels que : $b^{2}-4ac<0$
Si $\alpha=0$ : $\displaystyle \beta \int \frac{dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}=\beta \left(\frac{4a}{4ac-b^{2}} \right)^{n}\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a} \int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{n}}$ en posant: $t=\displaystyle\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^{2}}}$

Et on calcule $\displaystyle\int \frac{dt}{(t^{2}+1)^{n}}$ à l'aide de la relation de récurrence suivante:

$\begin{cases}\displaystyle \int \frac{dt}{1+t^{2}}=Arctan(t)+C \text{ où } C\in\mathbb{R} \\ \displaystyle\int \frac{dt}{(1+t^{2})^{n+1}}=\frac{1}{2n} \left((2n-1)\int \frac{dt}{(1+t^{2})^{n}}+\frac{t}{(1+t^{2})^{n}} \right)\end{cases}$

Si $\alpha \neq 0$ : $\displaystyle\int \frac{\alpha x+\beta}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}dx=\frac{\alpha}{2a}\int\frac{2ax+b}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}dx+\frac{\alpha}{2a} \left(\frac{2a\beta}{\alpha}-b \right)\int \frac{dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}$
La 1ère primitive se calcule, en posant: $t=ax^{2}+bx+c$ : $\displaystyle\int\frac{2ax+b}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}dx=\int \frac{dt}{t^{n}}$ et la 2ème est identique au 1er cas ( $\alpha=0$ ).

3. Exemples

a) Primitivation de $\dfrac{2x+3}{(x-1)^{2}(x+1)}$

On effectue la décomposition en éléments simples de la fraction, on obtient :
$\dfrac{2x+3}{(x-1)^{2}(x+1)}=\dfrac{\dfrac{-1}{4}}{x-1}+\dfrac{\dfrac{5}{2} x}{(x-1)^{2}}+\dfrac{\dfrac{1}{4} x}{x+1}$
La décomposition est composée d'éléments simples de 1ère espèce, on applique la méthode de la partie V-1) :
$\boxed{\displaystyle \int \frac{2x+3}{(x-1)^{2}(x+1)} dx = \frac{-1}{4} \ln|x-1| +\frac{1}{4} \ln|x+1| - \frac{5}{2(x-1)} + C \text{ , } C\in\mathbb{R}}$

b) Primitivation de $\dfrac{1}{x(x^{2}+x+1)^{2}}$
La décomposition en éléments simples :
$\dfrac{1}{x(x^{2}+x+1)^{2}}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}-\dfrac{x+1}{x^{2}+x+1}$
A l'exception de $\dfrac{1}{x}$ , la décomposition est composée d'éléments simples de 2ème espèce, on applique donc la méthode de la partie V-2) :

i) $\dfrac{x+1}{x^{2}+x+1}$

$\displaystyle \int\frac{x+1}{x^{2}+x+1} dx = \frac{1}{2} \int\frac{(2x+1)+1}{x^{2}+x+1} dx =\frac{1}{2} \int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1} dx + \frac{1}{2} \int\frac{1}{x^{2}+x+1} dx$

On a : $\displaystyle \begin{cases} \displaystyle \int \frac{2x+1}{x^{2}+x+1} dx = \ln(x^{2}+x+1)+C_{1} \text{ , } C_{1}\in\mathbb{R} \\ \text{ } \\ \displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+x+1} = \int \frac{dx}{\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2}+ \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\int \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}dx}{\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan \left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)+C_{2} \text{ , } C_{2}\in\mathbb{R} \end{cases}$

d'où : $\blue{\boxed{\displaystyle \int\frac{x+1}{x^{2}+x+1} dx = \frac{1}{2} \ln(x^{2}+x+1)+ \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C \text{ , } C\in\mathbb{R}}\text{ (I)}$

ii) $\dfrac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

$\displaystyle \int\frac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx = \frac{1}{2} \int\frac{(2x+1)+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx =\frac{1}{2} \int\frac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx + \frac{1}{2} \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx$

On sait que: $\magenta{ \boxed{\displaystyle \int\frac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx =-\frac{1}{x^{2}+x+1} + C_{3} \text{ , } C_{3}\in\mathbb{R}}\text{ (1) }}$

Il nous reste à calculer: $\displaystyle \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx$

$\displaystyle \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx = \int \frac{dx}{[(x+\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}]^{2}} = \frac{16}{9} \frac{dx}{[(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^{2}+1]^{2}}=\frac{8}{3\sqrt{3}} \int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}} \text{ (Changement de variable } t=\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \Longrightarrow dt=\frac{2dx}{\sqrt{3}} \text{ )}$

Il s'agit donc de calculer $\displaystyle \int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}$

$\displaystyle \int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}=\displaystyle \int \frac{1+t^{2}-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt = \int \displaystyle \frac{dt}{1+t^{2}}- \int \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt$

Il est évident que: $\green{\boxed{\displaystyle \int \frac{dt}{1+t^{2}} = \arctan(t) + C_{4} \text{ , } C_{4}\in\mathbb{R}} \text{ } (\alpha)}$

$\displaystyle \int \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt= \int \frac{t.t}{(1+t^{2})^{2}}dt \longrightarrow \text{ Integration par parties: } \begin{cases} \displaystyle u=t \\ \displaystyle v^{'}=\frac{t}{(t^{2}+1)^{2}} \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} u^{'}=1 \\ \displaystyle v=-\frac{1}{2(t^{2}+1)} \end{cases}$

On obtient: $\displaystyle \int \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt= \frac{-t}{2(t^{2}+1)} + \int \frac{dt}{2(t^{2}+1)} = \green{\boxed{ \frac{-t}{2(t^{2}+1)} +\frac{1}{2}\arctan(t)+C_{5} \text{ , } C_{5}\in\mathbb{R}} \text{ } (\beta)}$

$\text{ De } \green{(\alpha)}$ $\text{ et }$ $\green{(\beta)}$ $\text{ , On obtient } : \boxed{ \displaystyle \int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}= \frac{dt}{1+t^{2}}- \int \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt=\frac{1}{2}\arctan(t)+\frac{t}{2(t^{2}+1)}+C \text{ , } C\in\mathbb{R} }$

En revenant au fait que: $\displaystyle \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx= \frac{8}{3\sqrt{3}} \int \frac{dt}{(1+t^{2})^{2}} \text{ avec } t=\frac{2x+1}{\sqrt{3}}$

On déduit que: $\magenta \boxed{\displaystyle \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx =\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}} +\frac{1}{3}\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}+C \text{ , } C\in\mathbb{R}} \text{ } (2)}$

$\text{ De } \magenta{(1)}$ $\text{ et }$ $\magenta{(2)}$ :

$\begin{matrix} \displaystyle\int\frac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx &=&\displaystyle\frac{1}{2} \int\frac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx + \frac{1}{2} \int\frac{1}{(x^{2}+x+1)^{2}} dx \\\\&=&\displaystyle\frac{-1}{2(x^{2}+x+1)}+\frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} +\frac{1}{6}\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}+C \text{ , } C\in\mathbb{R}\\\\ &=&\displaystyle\blue{\boxed{ \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}\frac{x-1}{x^{2}+x+1}+C \text{ , } C\in\mathbb{R} } \text{ (II)} }\end{matrix}$

iii) $\displaystyle \frac{1}{x}$

Usuelle: $\blue{\boxed{\displaystyle \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C \text{ , } C\in\mathbb{R}} \text{ (III)}$

$\text{ Finalement de }$ $\blue{\text{ (I) , (I)}}$ $\text{ et }$ $\blue{\text{(III) }}:$

$\black{\boxed{\displaystyle \begin{matrix}\displaystyle \int \frac{dx}{x(x^{2}+x+1)^{2}} &=& \displaystyle \int\frac{dx}{x}+\int\frac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}dx-\int\frac{x+1}{x^{2}+x+1}dx\\ \\ &=&\displaystyle\ln|x|+ \displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + \frac{1}{3}\frac{x-1}{x^{2}+x+1} - \frac{1}{2} \ln(x^{2}+x+1)- \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+ C \text{ , } C\in\mathbb{R} \\ \\ &=& \displaystyle \red{ \ln(\frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+x+1}})+ \frac{1}{3}\frac{x-1}{x^{2}+x+1} - \frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+ C \text{ , } C\in\mathbb{R}\end{matrix} }}}$

Publié par Panter le 15-10-2021

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