.
. Montrer que
.
admet une unique solution impaire .
Former une équation différentielle linéaire du premier ordre dont les fonctions
sont les solutions .
sont les solutions .
.
exercice 1
Intégrer sur
l'équation
Les solutions de l'équation homogène associée

sont les fonctions de la forme

.
De plus, on voit que la fonction constante

est une solution particulière de l'équation différentielle .
Les solutions générales de l'équation différentielle

s'écrivent donc :
Intégrer sur
l'équation
Les solutions de l'équation homogène associée

sont les fonctions de la forme

.
On voit directement que la fonction

est une solution particulière de l'équation différentielle .
En effet, pour tout réel
Les solutions générales de l'équation différentielle

sont de la forme :
Intégrer sur
l'équation
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
Puisque le second membre est une combinaison linéaire de

, une solution particulière s'écrit :

.

est solution particulière de l'équation différentielle si et seulement si :
Donc si et seulement si :
la solution particulière

s'écrit alors :
Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc :
Intégrer sur
l'équation
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
Puisque le second membre est

, une solution particulière s'écrit :
\text{e}^{2x})
.

est solution particulière de l'équation différentielle si et seulement si :
Donc si et seulement si :
Une solution particulière

s'écrit alors :
Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc :
exercice 2
Résoudre sur
l'équation
L'équation homogène associée s'écrit :
Puisque

est une primitive de

sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
, alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière

sous la forme
=k(x)\sqrt{x})
,

étant une fonction dérivable sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
.
On a alors :
=k'(x)\sqrt{x}+k(x)\dfrac{1}{2\sqrt{x}})
et :
On peut donc prendre

, et donc :

une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
s'écrivent :
Résoudre sur
l'équation
L'équation homogène associée s'écrit :
Et parce que
)
est une primitive de
'}{\cos x})
sur
![\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
, alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme
}=\dfrac{k}{\cos x} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
On utilise la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière

sous la forme
=\dfrac{k(x)}{\cos x})
,

étant une fonction dérivable sur
![\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
.
On a alors :
On peut donc prendre

, et donc :

une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
s'écrivent :
Résoudre sur
l'équation
L'équation homogène associée s'écrit :
Et parce que
)
est une primitive de
'}{\cos x})
sur
![\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
, alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme
}=\dfrac{k}{\cos x} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
On utilise la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière

sous la forme
=\dfrac{k(x)}{\cos x})
,

étant une fonction dérivable sur
![\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
.
On a alors :
On peut donc prendre

, et donc :

une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
s'écrivent :
Résoudre sur
l'équation
L'équation homogène associée s'écrit :
Et parce que
)
est une primitive de
'}{\sin x})
sur
![]0,\pi[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,\pi[)
, alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme
}=\dfrac{k}{\sin x} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
On utilise la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière

sous la forme
=\dfrac{k(x)}{\sin x})
,

étant une fonction dérivable sur
![\left]0,\pi\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]0,\pi\right[)
.
On a alors :
Or, on sait que

sont de classe

, alors par une primitivation par parties :
Ce qui donne
=x-\cos x\sin x )
, donc :
Et donc :
)
est une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![\left]0,\pi\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]0,\pi\right[)
s'écrivent :
exercice 3
1) 
est solution si et seulement si :
2) 
est solution de
)
si et seulement si :
Puisque

est solution de
)
, on en déduit que :
En multipliant par

, on obtient :
3) L'équation homogène associée à
)
s'écrit :
Puisque

est une primitive de

sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
, alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière

sous la forme
=k(x)\dfrac{\text{ e}^{-3x^2}}{x})
,

étant une fonction dérivable sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
.
On a alors :
Il s'ensuit :
On prend

, et donc :

une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle
)
sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
s'écrivent :
4) On déduit directement des questions précédentes les solutions générales de l'équation différentielle
)
sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
sont de la forme :
exercice 4
Résoudre sur
l'équation
L'équation différentielle est homogène et s'écrit :
Puisque
+\dfrac{1}{x-1})
est une primitive de
^2}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{(x-1)^2})
sur
![]-\infty,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty,1[)
, alors :
Les solutions de l'équation sur
![]-\infty,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty,1[)
sont les fonctions de la forme
-\frac{1}{x-1}} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
Ou encore :
Résoudre sur
l'équation
Méthode 1 :
L'équation différentielle s'écrit sous forme normalisée :
L'équation différentielle homogène associée est :
Puisque
)
est une primitive de

sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
, alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme
}=\dfrac{k}{1+x^2} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière

sous la forme
=\dfrac{k(x)}{1+x^2})
,

étant une fonction dérivable sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
.
On a alors :
=\dfrac{k'(x)}{1+x^2}-\dfrac{2xk(x)}{(1+x^2)^2})
et :
On peut donc prendre

, et donc :

une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
s'écrivent :
Méthode 2 :
On remarque directement que :
Résoudre sur
l'équation
L'équation différentielle s'écrit sous forme normalisée :
L'équation différentielle homogène associée est :
Puisque

est une primitive de

sur
![]0,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1[)
, alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière

sous la forme
=\dfrac{k(x)}{x^3})
,

étant une fonction dérivable sur
![]0,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1[)
.
On a alors :
=\dfrac{k'(x)}{x^3}-\dfrac{3k(x)}{x^4})
et :
On peut donc prendre

, et donc :

une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![]0,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1[)
sont de la forme :
Résoudre sur
l'équation
L'équation différentielle homogène associée est :

admet comme solutions les fonctions de la forme

.
On utilise la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière

sous la forme
=k(x)\text{ e}^{\frac{x^2}{2}})
,

étant une fonction dérivable sur

.
On a alors :
=k'(x)\text{ e}^{\frac{x^2}{2}}+xk(x)\text{ e}^{\frac{x^2}{2}})
et :
On peut donc prendre

, et donc :

une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur

sont de la forme :
exercice 5
Une fonction

impaire sur

vérifie , pour tout
En particulier :
=-f(0))
, ce qui implique que
Les éventuelles solutions impaires sont donc à chercher parmi les solutions de l'équation qui vérifient la condition initiale
=0)
.
Il s'agit donc du problème de Cauchy suivant
=0\end{cases})
.
Et donc, d'après le cours, il existe une unique fonction

qui est solution. Reste à vérifier qu'elle est impaire sur

.
Posons pour cela , pour tout
=-f(-x))
. Il suffit de montrer que

pour démontrer que

est impaire.

est évidemment dérivable sur

et pour tout réel
Il s'ensuit :
Enfin, comme
=-f(0)=0)
, on constate que

est solution du même problème de Cauchy. D'où
On conclut que

est bien une fonction impaire .
exercice 6
1) Les fonctions

sont dérivables sur

et :
L'équation différentielle demandée est donc :
2) De la même manière , on trouve :
exercice 7
Résoudre sur
l'équation
La présence du facteur

impose de se placer sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
et sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est :

, elle admet comme solutions les fonctions de la forme

.
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière

sous la forme
=k_1(x)x^2)
,

étant une fonction dérivable sur

.
On a alors :
=k_1'(x)x^2+2xk_1(x))
et :
On peut donc prendre

, et donc :

une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
s'écrivent :
De la même façon, les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
s'écrivent :
Si

est solution de l'équation différentielle sur

, il existe
De plus, il faut que
-2y(0)=0)
, donc
Réciproquement, il faut vérifier que

se prolonge en une fonction dérivable sur

, le problème ne se pose qu'en

.
Continuité :
On voit directement que
Donc

est prolongeable par continuité en

.
Dérivabilité :
On a alors :
=f'_d(0)=0)
, on en tire que

est dérivable en

avec
=0)
.
Les solutions de l'équation différentielle sur

s'écrivent :
Résoudre sur
l'équation
La présence du facteur
)
impose de se placer sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
et sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
et voir si les solutions se recollent .
Il s'agit ici d'une équation homogène , écrivons la sous la forme normalisée :
}y=0 )
.
Puisque
=\ln (-x)-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2))
est une primitive de
}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^2+1})
sur

.
Alors elle admet comme solutions les fonctions de la forme
-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)}=k'_1\dfrac{-x}{\sqrt{1+x^2}} \text{ avec }k'_1\in\R\enskip \enskip , \enskip \text{ donc de la forme }x\mapsto \dfrac{k_1 x}{\sqrt{1+x^2}} \text{ avec }k_1\in\R)
.
De la même façon, les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
s'écrivent :
Si

est solution de l'équation différentielle sur

, il existe
De plus, il faut que
 y'(0)=y(0))
, donc
Réciproquement, il faut vérifier que

se prolonge en une fonction dérivable sur

, le problème ne se pose qu'en

.
Continuité :
On voit directement que
Donc

est prolongeable par continuité en

.
Dérivabilité :
Pour que

soit dérivable en

, il faut que
=f'_d(0)=k_2)
.
Les solutions de l'équation différentielle sur

s'écrivent :
Résoudre sur
l'équation
L'équation différentielle normalisée homogène associée est :
Puisque
Alors
)
est une primitive de
^2}{x^2+1})
sur

, alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme
}=k(x^2+1)\text{ e}^{-x} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
On remarque directement que

est une solution particulière de l'équation différentielle .
En effet ,
Les solutions générales de l'équation différentielle sur

sont donc de la forme :
exercice 8
Résoudre sur
l'équation
La présence du facteur

impose de se placer sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
et sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est :

.
On peut trouver une primitive de

sur

en faisant le changement de variable

par exemple .
Mais on peut faire plus simple, il est astucieux de voir que pour tout

de
La fonction
)
est alors une primitive de

sur

, alors :
Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme
}=k'_1(-\text{th }x) \text{ avec }k'_1\in\R\enskip \enskip , \enskip \text{ donc de la forme }x\mapsto k_1\text{ th }x \text{ avec }k_1\in\R)
.
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière

sous la forme
=k_1(x)\text{ th }x)
,

étant une fonction dérivable sur

.
On a alors :
=k_1'(x)\text{ th }x+k_1(x)\dfrac{1}{\text{ ch }^2x})
et :
On peut donc prendre

, et donc :

une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
s'écrivent :
De la même façon, les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
s'écrivent :
Si

est solution de l'équation différentielle sur

, il existe
De plus, il faut que
\text{ }y'(0)-\dfrac{y(0)}{\text{ch}(0)}=\dfrac{\text{sh}^2(0) }{\text{ch}(0)}\iff 0\times y'(0)-\dfrac{y(0)}{1}=\dfrac{0}{1} )
, donc
Réciproquement, il faut donc vérifier que

se prolonge en une fonction dérivable sur

, le problème ne se pose qu'en

.
Continuité :
On voit directement que
Donc

est prolongeable par continuité en

.
Dérivabilité :
Au voisinage de

à gauche , on a :
=k_1 x +o(x))
, donc
Au voisinage de

à droite , on a :
=k_2 x +o(x))
, donc
Pour que

soit dérivable en

, il faut que
=f'_d(0)=k_2)
.
Les solutions de l'équation différentielle sur

s'écrivent :
Résoudre sur
l'équation
La présence du facteur

impose de se placer sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
et sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est :

.
Trouvons une primitive de

sur

:
Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme
^2} \text{ avec }k_1\in\R\enskip \enskip )
.
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière

sous la forme
=\dfrac{k_1(x) \text{ e}^{x}}{(\text{ e}^{x}-1)^2} )
,

étant une fonction dérivable sur

.
On a alors
On peut donc prendre

, et donc :
^2} )
une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
s'écrivent :
De la même façon, les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
s'écrivent :
Si

est solution de l'équation différentielle sur

, il existe
De plus, il faut que
y'(0)+(\text{e}^{0}+1)y(0)=3+2\text{e}^{0} )
, donc
Réciproquement, il faut donc vérifier que

se prolonge en une fonction dérivable sur

, le problème ne se pose qu'en

.
Continuité :
Pour que
\text{ et }\lim_{x\to0^+}y(x))
soient finies, il faut que :
Donc, il faut que
Ensuite , au voisinage de

à droite et à gauche , on a :
Donc :
On en déduit que

est prolongeable par continuité en
Dérivabilité :
Au voisinage de

à gauche , on a :
=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{6}x+o(x))
, donc
De même, au voisinage de

à droite , donc
Donc
Il s'ensuit que

est dérivable en

avec
L'équation différentielle admet sur

une seule solution qui s'écrit :
exercice 9
Résoudre sur
La présence du facteur

impose de se placer sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
et sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est :

.
Une primitive de

sur

est
Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme

.
Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière

sous la forme
=\dfrac{k_1(x)}{x^2} )
,

étant une fonction dérivable sur

.
On a alors
On peut donc prendre
-\text{Arctan }x)
, et donc :
est une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
s'écrivent :
Un calcul analogue donne les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
:
Si

est solution de l'équation différentielle sur

, il existe
De plus, il faut que l'équation différentielle soit vérifiée pour

, donc on doit avoir
Réciproquement, il faut vérifier que

se prolonge en une fonction dérivable sur

, le problème ne se pose qu'en

.
Continuité :
Pour simplifier les calculs, on effectue un développement limité au vosinage de

:
Pour que

soit continue, il faut que
Donc :
=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{k_2}{x^2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{2})
.
Il faut alors que

.
Dérivabilité :
Au voisinage de

à gauche , on a :
=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}x+o(x))
, donc
De même, au voisinage de

à droite , donc
Donc
Il s'ensuit que

est dérivable en

avec
L'équation différentielle admet sur

une seule solution qui s'écrit :
Résoudre sur
La présence du facteur

impose de se placer sur
![I_1=]-\infty,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,1[)
ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,1[)
et sur
![I_2=]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]1,+\infty[)
et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est :

.
Une primitive de

sur

est
Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme
\text{ e}^{x}\enskip \enskip \text{ avec }k_1\in\R)
.
Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière

sous la forme
= k_1(x)(1-x)\text{ e}^{x} )
,

étant une fonction dérivable sur

.
On a :
On a alors :
On peut donc prendre
=-\text{e}^{-x}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip y_p:x\mapsto x-1 )
comme solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,1[)
s'écrivent :
L'équation différentielle normalisée homogène associée est :

.
Une primitive de

sur

est
Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme

.
Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière

sous la forme
= \dfrac{k_2(x)\text{ e}^{-x}}{x-1} )
,

étant une fonction dérivable sur

.
On a :
On a alors :
On sait que
^2)
sont de classe
![\mathcal{C}^1 \text{ sur } ]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^1 \text{ sur } ]1,+\infty[)
, par primitivation par parties :
On peut donc prendre

comme solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_2=]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]1,+\infty[)
s'écrivent :
Si

est solution de l'équation différentielle sur

, il existe
De plus, il faut que l'équation différentielle soit vérifiée pour

, donc on doit avoir
Réciproquement, il faut vérifier que

se prolonge par continuité en une fonction dérivable sur

, le problème ne se pose qu'en

.
Continuité :
Pour que

soit continue, il faut que
On a :
Et :
=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x^2-4x+5+k_2\text{e}^{-x}}{x-1})
,il faut alors que
Vérification :
Au voisinage de

à droite :
Alors :
Donc :
On a alors

est solution de l'équation différentielle sur

, alors il existe
Dérivabilité :
Au voisinage de

à droite , on avait calculé
^2}{3}+O((x-1)^3))
, donc
Au voisinage de

à gauche:
Pour que

soit dérivable en

, il faut que
L'équation différentielle admet sur

une seule solution qui s'écrit :
exercice 10
Résoudre sur
La présence du facteur
)
impose de se placer sur
![I_1=]-\infty,-1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,-1[)
,
![I_2=]-1,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]-1,0[)
ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,-1[\enskip , \enskip I_2=]-1,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,-1[\enskip , \enskip I_2=]-1,0[)
et sur
![I_3=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_3=]0,+\infty[)
et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est :

.
Une primitive de

sur

est
Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme

.
Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière

sous la forme
= \dfrac{k_1(x)}{\sqrt{-x}})
,

étant une fonction dérivable sur

.
On a :
On a alors :
On effectue le changement de variable

pour calculer la primitive
Attention : La fonction

n'est pas une primitive de

sur
On en déduit une solution particulière sur

est :
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_1=]-\infty,-1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,-1[)
s'écrivent :
Un calcul analogue donne les solutions sans second membre :
Par méthode de variation de la constante :
On en déduit une solution particulière sur

:
les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_2=]-1,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]-1,0[)
:
De même, un calcul analogue donne les solutions sans second membre :
Par méthode de variation de la constante :
On en déduit une solution particulière sur

:
les solutions générales de l'équation différentielle sur
![I_3=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_3=]0,+\infty[)
:
Si

est solution de l'équation différentielle sur

, il existe
Réciproquement, il faut vérifier que

se prolonge par continuité en une fonction dérivable sur

, le problème se pose en

.
Continuité en
:
Puisqu'au voisinage de

:
Alors :
Or,

n'est pas bornée en

. Donc

est prolongeable par continuité en

si, et seulement si
Dérivabilité en
:
On a :
Au voisinage de

, on a:
On en déduit que :
Par conséquent, la fonction

pour les valeurs

est dérivable en

et
Continuité en
:
La fonction

ne peut pas être prolongée par continuité en

car quelque soit la valeur de

, on a:
Elle admet par contre une unique solution sur l'intervalle
![]-1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1,+\infty[)
:
exercice 11
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée

.
On résout l'équation caractéristique :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
D'après le cours, comme

n'est pas solution de l'équation caractéristique , on déduit que

est une solution particulière de l'équation .
Les solutions générales de l'équation différentielle s'écrivent donc :
Résoudre sur
L'étude de l'équation homogène associée a été faite ci-dessus , et on sait que

est une solution particulière de l'équation

.
Il suffit de trouver une solution particulière de

pour conclure.
Comme

est une racine simple de l'équation caractéristique , on calcule
)
avec
=r^2+r-2\enskip : \enskip P'(-2)=-3)
. On déduit que

est une solution particulière de l'équation

.
En appliquant le principe de superposition des solutions , on obtient les solutions générales de l'équation différentielle :
Résoudre sur
L'équation homogène associée est toujours le même , il suffit de trouver une solution particulière.
D'après le cours, elle est de la forme

.

est solution particulière de l'équation différentielle si et seulement si :
Donc si et seulement si :
la solution particulière

s'écrit alors :
Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc :
exercice 12
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée

.
On résout l'équation caractéristique :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme
 \enskip \text{ avec }A,B\in\R)
.
On cherche une solution particulière de la forme

.

est solution si et seulement si :
Les solutions générales de l'équation différentielle s'écrivent donc :
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée

.
On résout l'équation caractéristique :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
On cherche une solution particulière de la forme

.

est solution particulière si et seulement si :
la solution particulière

s'écrit alors :
Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc :
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée

.
On résout l'équation caractéristique :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
On cherche une solution particulière de l'équation différentielle

, et on prendra sa partie réelle comme solution particulière de l'équation différentielle recherchée
Une telle solution particulière est de la forme
\text{e}^{ix})
.
Calculons :

est solution particulière si et seulement si :
La solution particulière

de l'équation

s'écrit alors :
Il s'ensuit qu'une solution particulière de l'équation

s'écrit :
Les solutions générales de l'équation différentielle demandées sont donc :
exercice 13
Effectuer le changement de variable

revient à chercher une solution de la forme
=z\left(\ln x\right))
,

(comme

), étant une fonction dérivable sur
Ainsi :

est donc solution de l'équation différentielle

, par conséquent, il existe
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[ )
sont donc de la forme :
exercice 14
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée

.
On résout l'équation caractéristique :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme
\text{ e}^{x} \enskip \text{ avec }A,B\in\R)
.
Puisque

n'est pas racine de

, on cherche une solution particulière de la forme
\text{e}^{-x})
.
Calculons :

est solution si et seulement si :
Les solutions générales de l'équation différentielle s'écrivent donc :
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée

.
On résout l'équation caractéristique :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme
\text{ e}^{3x} \enskip \text{ avec }A,B\in\R)
.
Pour résoudre l'équation complète, on applique le principe de superposition des solutions : on cherche une solution particulière correspondante au second membre

, et une solution particulière correspondante au second membre

.

Pour le second membre

:
On cherche une solution particulière

est solution particulière si et seulement si :
La solution particulière

s'écrit alors :

Pour le second membre

:
Puisque

est racine de
=X^2-6X+9\text{ et de }P'(X)=2X-6)
, on cherche une solution particulière

est solution particulière si et seulement si :
La solution particulière

s'écrit alors :
Les solutions générales de l'équation différentielle s'écrivent donc :
exercice 15
Soit

une fonction dérivable sur
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
telle que :

est alors dérivable , en tant que composée de

et de

.
On calcule donc :
On en tire que

est solution de l'équation différentielle :
Posons
=f\left(\text{e}^t\right))
,

est alors au moins deux fois dérivable sur

et donc , pour tout
On obtient :
Et comme, pour tout réel strictement positif
+f(x)=0)
, on en déduit que
+f\left(\text{e}^{t}\right)=0)
, et donc :
Il n'y a plus qu'à résoudre l'équation différentielle :
On résout l'équation caractéristique :
Les solutions de l'équation sont les fonctions de la forme
![x\mapsto \text{e}^{\frac{t}{2}}\left[ A\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)+B\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right) \right] \enskip \text{ avec }A,B\in\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto \text{e}^{\frac{t}{2}}\left[ A\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)+B\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right) \right] \enskip \text{ avec }A,B\in\R)
.
Enfin , en posant

, on obtient :
Réciproquement, vérifions si ces fonctions conviennent :
Soit

définie par :
On a, par calcul :
Et aussi :

est donc solution du problème initial si et seulement si :
En notant

, on conclut que les fonctions solutions s'écrivent sous la forme :
exercice 16
L'équation a pour solutions le fonctions de la forme

. La seule fonction de cette forme qui s'annule en deux points distincts est la fonction nulle.
L'équation a pour solutions les fonctions de la forme :
Seule la fonction nulle convient .
L'équation a pour solutions les fonctions de la forme :
Or ,
Conclusion :
exercice 17
Le système nous montre que

et

sont indéfiniment dérivables .
On a :
Or :

a pour solutions les fonctions de la forme :
+B\text{ sh }(t\sqrt{2}) \text{ , } A,B\in\R)
(voir l'exercice précédent)
De plus , puisque

, alors :
Les conditions
On obtient finalement :
Réciproquement , on s'assure par calcul que les équations sont bien vérifiées :
Conclusion :
exercice 18
En effectuant la somme et la différence des deux lignes, on obtient :
Soit, en posant

et

, le système est
équivalent à :
La résolution donne :
D'où :
Posons :
Les solutions du système sont les couples de fonctions de la forme :
exercice 19
Soit y solution de l'équation différentielle
y''-xy'+y=0)
sur

est alors deux fois dérivable sur
On pose

, si on prend
![t\in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t\in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
, on définit une fonction

sur cet intervalle par:

est deux fois dérivable sur
=g(\text{Arcsin }x))
donne :
On obtient alors :
On en déduit que

est solution de
y''-xy'+y=0 )
sur
![]-1,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1,1[)
si et seulement si

est solution de

sur
Cette équation a pour solutions les fonctions de la forme :
Donc les solutions de l'équation
y''-xy'+y=0 )
sur
![]-1,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1,1[)
sont de la forme :
Conclusion, les solutions de l'équation différentielle sur
![]-1,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1,1[)
sont de la forme :
exercice 20
Résoudre sur
l'équation différentielle :
On commence par résoudre l'équation homogène associée

.
On résout l'équation caractéristique :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
Utilisons la méthode de variations des constantes pour déterminer une solution particulière

, on pose :
Il en résulte :
Puisque

est solution si et seulement si :
En comparant avec
)
, et en écrivant

, on obtient :

est une primitive de

, il nous reste donc à chercher une primitive de
On fait le changement de variable

, donc

, et :
Ainsi :
D'autre part, en utilisant
\text{ et }(**))
, on obtient :
De la même manière, on obtient :
Finalement , la solution particulière

s'écrit :
Les solutions générales de l'équation différentielle sur

s'écrivent donc :
Résoudre sur
l'équation différentielle :
On commence par résoudre l'équation homogène associée

.
On résout l'équation caractéristique :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme

.
Utilisons la méthode de variations des constantes pour déterminer une solution particulière

, on pose :
Il en résulte :
Puisque

est solution si et seulement si :
En multipliant par

on obtient :
Or, d'après
)
:
\cos x = -A'(x)\sin x)
, et donc :
Soit
=\sin x)
, et donc :
En remplaçant dans
)
, on obtient :
On fait le changement de variable

, donc

, et :
Donc :
Finalement , la solution particulière

s'écrit :
Les solutions générales de l'équation différentielle sur
![\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
s'écrivent donc :
 +A\sin x+B\cos x\enskip \text{ avec }A,B\in\R})