Les solutions de l'équation homogène associée sont les fonctions de la forme .
De plus, on voit que la fonction constante est une solution particulière de l'équation différentielle .
Les solutions générales de l'équation différentielle s'écrivent donc :
Intégrer sur l'équation
Les solutions de l'équation homogène associée sont les fonctions de la forme .
On voit directement que la fonction est une solution particulière de l'équation différentielle .
En effet, pour tout réel Les solutions générales de l'équation différentielle sont de la forme :
Intégrer sur l'équation
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Puisque le second membre est une combinaison linéaire de , une solution particulière s'écrit : .
est solution particulière de l'équation différentielle si et seulement si : Donc si et seulement si : la solution particulière s'écrit alors : Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc :
Intégrer sur l'équation
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Puisque le second membre est , une solution particulière s'écrit : .
est solution particulière de l'équation différentielle si et seulement si : Donc si et seulement si : Une solution particulière s'écrit alors : Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc :
exercice 2
Résoudre sur l'équation
L'équation homogène associée s'écrit : Puisque est une primitive de sur , alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : et :
On peut donc prendre , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Résoudre sur l'équation
L'équation homogène associée s'écrit : Et parce que est une primitive de sur , alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
On utilise la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : On peut donc prendre , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Résoudre sur l'équation
L'équation homogène associée s'écrit : Et parce que est une primitive de sur , alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
On utilise la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : On peut donc prendre , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Résoudre sur l'équation
L'équation homogène associée s'écrit : Et parce que est une primitive de sur , alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
On utilise la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : Or, on sait que sont de classe , alors par une primitivation par parties :
Ce qui donne , donc : Et donc : est une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
exercice 3
1) est solution si et seulement si :
2) est solution de si et seulement si :
Puisque est solution de , on en déduit que :
En multipliant par , on obtient :
3) L'équation homogène associée à s'écrit : Puisque est une primitive de sur , alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : Il s'ensuit : On prend , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
4) On déduit directement des questions précédentes les solutions générales de l'équation différentielle sur sont de la forme :
exercice 4
Résoudre sur l'équation
L'équation différentielle est homogène et s'écrit : Puisque est une primitive de sur , alors :
Les solutions de l'équation sur sont les fonctions de la forme .
Ou encore :
Résoudre sur l'équation
Méthode 1 : L'équation différentielle s'écrit sous forme normalisée : L'équation différentielle homogène associée est : Puisque est une primitive de sur , alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : et : On peut donc prendre , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Méthode 2 : On remarque directement que :
Résoudre sur l'équation
L'équation différentielle s'écrit sous forme normalisée : L'équation différentielle homogène associée est : Puisque est une primitive de sur , alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : et : On peut donc prendre , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur sont de la forme :
Résoudre sur l'équation L'équation différentielle homogène associée est : admet comme solutions les fonctions de la forme .
On utilise la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : et : On peut donc prendre , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur sont de la forme :
exercice 5
Une fonction impaire sur vérifie , pour tout En particulier : , ce qui implique que Les éventuelles solutions impaires sont donc à chercher parmi les solutions de l'équation qui vérifient la condition initiale .
Il s'agit donc du problème de Cauchy suivant .
Et donc, d'après le cours, il existe une unique fonction qui est solution. Reste à vérifier qu'elle est impaire sur .
Posons pour cela , pour tout . Il suffit de montrer que pour démontrer que est impaire.
est évidemment dérivable sur et pour tout réel Il s'ensuit : Enfin, comme , on constate que est solution du même problème de Cauchy. D'où On conclut que est bien une fonction impaire .
exercice 6
1) Les fonctions sont dérivables sur et : L'équation différentielle demandée est donc :
2) De la même manière , on trouve :
exercice 7
Résoudre sur l'équation
La présence du facteur impose de se placer sur ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur et sur et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est : , elle admet comme solutions les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : et : On peut donc prendre , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
De la même façon, les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Si est solution de l'équation différentielle sur , il existe De plus, il faut que , donc
Réciproquement, il faut vérifier que se prolonge en une fonction dérivable sur , le problème ne se pose qu'en .
Continuité : On voit directement que Donc est prolongeable par continuité en .
Dérivabilité : On a alors : , on en tire que est dérivable en avec .
Les solutions de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Résoudre sur l'équation
La présence du facteur impose de se placer sur ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur et sur et voir si les solutions se recollent .
Il s'agit ici d'une équation homogène , écrivons la sous la forme normalisée : .
Puisque est une primitive de sur .
Alors elle admet comme solutions les fonctions de la forme .
De la même façon, les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Si est solution de l'équation différentielle sur , il existe De plus, il faut que , donc
Réciproquement, il faut vérifier que se prolonge en une fonction dérivable sur , le problème ne se pose qu'en .
Continuité : On voit directement que Donc est prolongeable par continuité en .
Dérivabilité : Pour que soit dérivable en , il faut que .
Les solutions de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Résoudre sur l'équation
L'équation différentielle normalisée homogène associée est : Puisque Alors est une primitive de sur , alors :
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
On remarque directement que est une solution particulière de l'équation différentielle .
En effet ,
Les solutions générales de l'équation différentielle sur sont donc de la forme :
exercice 8
Résoudre sur l'équation
La présence du facteur impose de se placer sur ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur et sur et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est : .
On peut trouver une primitive de sur en faisant le changement de variable par exemple .
Mais on peut faire plus simple, il est astucieux de voir que pour tout de La fonction est alors une primitive de sur , alors :
Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors : et : On peut donc prendre , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
De la même façon, les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Si est solution de l'équation différentielle sur , il existe De plus, il faut que , donc
Réciproquement, il faut donc vérifier que se prolonge en une fonction dérivable sur , le problème ne se pose qu'en .
Continuité : On voit directement que Donc est prolongeable par continuité en .
Dérivabilité : Au voisinage de à gauche , on a : , donc Au voisinage de à droite , on a : , donc
Pour que soit dérivable en , il faut que .
Les solutions de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Résoudre sur l'équation
La présence du facteur impose de se placer sur ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur et sur et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est : .
Trouvons une primitive de sur :
Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors On peut donc prendre , et donc : une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
De la même façon, les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Si est solution de l'équation différentielle sur , il existe De plus, il faut que , donc
Réciproquement, il faut donc vérifier que se prolonge en une fonction dérivable sur , le problème ne se pose qu'en .
Continuité : Pour que soient finies, il faut que : Donc, il faut que Ensuite , au voisinage de à droite et à gauche , on a : Donc : On en déduit que est prolongeable par continuité en
Dérivabilité : Au voisinage de à gauche , on a : , donc De même, au voisinage de à droite , donc Donc
Il s'ensuit que est dérivable en avec
L'équation différentielle admet sur une seule solution qui s'écrit :
exercice 9
Résoudre sur
La présence du facteur impose de se placer sur ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur et sur et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est : .
Une primitive de sur est Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a alors On peut donc prendre , et donc :
est une solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Un calcul analogue donne les solutions générales de l'équation différentielle sur :
Si est solution de l'équation différentielle sur , il existe De plus, il faut que l'équation différentielle soit vérifiée pour , donc on doit avoir
Réciproquement, il faut vérifier que se prolonge en une fonction dérivable sur , le problème ne se pose qu'en .
Continuité : Pour simplifier les calculs, on effectue un développement limité au vosinage de :
Pour que soit continue, il faut que Donc : .
Il faut alors que .
Dérivabilité : Au voisinage de à gauche , on a : , donc De même, au voisinage de à droite , donc Donc Il s'ensuit que est dérivable en avec
L'équation différentielle admet sur une seule solution qui s'écrit :
Résoudre sur
La présence du facteur impose de se placer sur ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur et sur et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est : .
Une primitive de sur est Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a :
On a alors :
On peut donc prendre comme solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
L'équation différentielle normalisée homogène associée est : .
Une primitive de sur est Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a :
On a alors :
On sait que sont de classe , par primitivation par parties :
On peut donc prendre comme solution particulière de l'équation différentielle.
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Si est solution de l'équation différentielle sur , il existe
De plus, il faut que l'équation différentielle soit vérifiée pour , donc on doit avoir
Réciproquement, il faut vérifier que se prolonge par continuité en une fonction dérivable sur , le problème ne se pose qu'en .
Continuité :
Pour que soit continue, il faut que
On a :
Et : ,il faut alors que
Vérification :
Au voisinage de à droite :
Alors :
Donc : On a alors est solution de l'équation différentielle sur , alors il existe
Dérivabilité : Au voisinage de à droite , on avait calculé , donc Au voisinage de à gauche: Pour que soit dérivable en , il faut que
L'équation différentielle admet sur une seule solution qui s'écrit :
exercice 10
Résoudre sur
La présence du facteur impose de se placer sur , ou
On doit alors résoudre l'équation différentielle sur et sur et voir si les solutions se recollent .
L'équation différentielle normalisée homogène associée est : .
Une primitive de sur est Alors l'équation différentielle homogène admet comme solutions les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière sous la forme , étant une fonction dérivable sur .
On a :
On a alors :
On effectue le changement de variable pour calculer la primitive
Attention : La fonction n'est pas une primitive de sur
On en déduit une solution particulière sur est :
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent :
Un calcul analogue donne les solutions sans second membre : Par méthode de variation de la constante :
On en déduit une solution particulière sur :
les solutions générales de l'équation différentielle sur :
De même, un calcul analogue donne les solutions sans second membre : Par méthode de variation de la constante :
On en déduit une solution particulière sur :
les solutions générales de l'équation différentielle sur :
Si est solution de l'équation différentielle sur , il existe
Réciproquement, il faut vérifier que se prolonge par continuité en une fonction dérivable sur , le problème se pose en .
Continuité en :
Puisqu'au voisinage de :
Alors :
Or, n'est pas bornée en . Donc est prolongeable par continuité en si, et seulement si
Dérivabilité en : On a :
Au voisinage de , on a:
On en déduit que :
Par conséquent, la fonction pour les valeurs est dérivable en et
Continuité en : La fonction ne peut pas être prolongée par continuité en car quelque soit la valeur de , on a:
Elle admet par contre une unique solution sur l'intervalle :
exercice 11
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée .
On résout l'équation caractéristique : Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
D'après le cours, comme n'est pas solution de l'équation caractéristique , on déduit que est une solution particulière de l'équation .
Les solutions générales de l'équation différentielle s'écrivent donc :
Résoudre sur L'étude de l'équation homogène associée a été faite ci-dessus , et on sait que est une solution particulière de l'équation .
Il suffit de trouver une solution particulière de pour conclure.
Comme est une racine simple de l'équation caractéristique , on calcule avec . On déduit que est une solution particulière de l'équation .
En appliquant le principe de superposition des solutions , on obtient les solutions générales de l'équation différentielle :
Résoudre sur
L'équation homogène associée est toujours le même , il suffit de trouver une solution particulière.
D'après le cours, elle est de la forme .
est solution particulière de l'équation différentielle si et seulement si : Donc si et seulement si : la solution particulière s'écrit alors : Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc :
exercice 12
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée .
On résout l'équation caractéristique : Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
On cherche une solution particulière de la forme .
est solution si et seulement si :
Les solutions générales de l'équation différentielle s'écrivent donc :
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée .
On résout l'équation caractéristique : Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
On cherche une solution particulière de la forme .
est solution particulière si et seulement si : la solution particulière s'écrit alors : Les solutions générales de l'équation différentielle sont donc :
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée .
On résout l'équation caractéristique : Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
On cherche une solution particulière de l'équation différentielle , et on prendra sa partie réelle comme solution particulière de l'équation différentielle recherchée Une telle solution particulière est de la forme .
Calculons : est solution particulière si et seulement si : La solution particulière de l'équation s'écrit alors : Il s'ensuit qu'une solution particulière de l'équation s'écrit :
Les solutions générales de l'équation différentielle demandées sont donc :
exercice 13
Effectuer le changement de variable revient à chercher une solution de la forme , (comme ), étant une fonction dérivable sur Ainsi : est donc solution de l'équation différentielle , par conséquent, il existe
Les solutions générales de l'équation différentielle sur sont donc de la forme :
exercice 14
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée .
On résout l'équation caractéristique : Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Puisque n'est pas racine de , on cherche une solution particulière de la forme .
Calculons : est solution si et seulement si :
Les solutions générales de l'équation différentielle s'écrivent donc :
Résoudre sur
On commence par résoudre l'équation homogène associée .
On résout l'équation caractéristique : Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Pour résoudre l'équation complète, on applique le principe de superposition des solutions : on cherche une solution particulière correspondante au second membre , et une solution particulière correspondante au second membre .
Pour le second membre :
On cherche une solution particulière est solution particulière si et seulement si : La solution particulière s'écrit alors :
Pour le second membre :
Puisque est racine de , on cherche une solution particulière est solution particulière si et seulement si : La solution particulière s'écrit alors :
Les solutions générales de l'équation différentielle s'écrivent donc :
exercice 15
Soit une fonction dérivable sur telle que : est alors dérivable , en tant que composée de et de .
On calcule donc :
On en tire que est solution de l'équation différentielle :
Posons , est alors au moins deux fois dérivable sur et donc , pour tout
On obtient :
Et comme, pour tout réel strictement positif , on en déduit que , et donc :
Il n'y a plus qu'à résoudre l'équation différentielle : On résout l'équation caractéristique : Les solutions de l'équation sont les fonctions de la forme .
Enfin , en posant , on obtient :
Réciproquement, vérifions si ces fonctions conviennent :
Soit définie par :
On a, par calcul :
Et aussi :
est donc solution du problème initial si et seulement si :
En notant , on conclut que les fonctions solutions s'écrivent sous la forme :
exercice 16
L'équation a pour solutions le fonctions de la forme . La seule fonction de cette forme qui s'annule en deux points distincts est la fonction nulle.
L'équation a pour solutions les fonctions de la forme :
Seule la fonction nulle convient .
L'équation a pour solutions les fonctions de la forme :
Or ,
Conclusion :
exercice 17
Le système nous montre que et sont indéfiniment dérivables .
On a : Or : a pour solutions les fonctions de la forme : (voir l'exercice précédent)
De plus , puisque , alors : Les conditions On obtient finalement :
Réciproquement , on s'assure par calcul que les équations sont bien vérifiées :
Conclusion :
exercice 18
En effectuant la somme et la différence des deux lignes, on obtient :
Soit, en posant et , le système est équivalent à :
La résolution donne :
D'où :
Posons :
Les solutions du système sont les couples de fonctions de la forme :
exercice 19
Soit y solution de l'équation différentielle sur
est alors deux fois dérivable sur
On pose , si on prend , on définit une fonction sur cet intervalle par:
est deux fois dérivable sur
donne :
On obtient alors :
On en déduit que est solution de sur si et seulement si est solution de sur
Cette équation a pour solutions les fonctions de la forme :
Donc les solutions de l'équation sur sont de la forme :
Conclusion, les solutions de l'équation différentielle sur sont de la forme :
exercice 20
Résoudre sur l'équation différentielle :
On commence par résoudre l'équation homogène associée .
On résout l'équation caractéristique : Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variations des constantes pour déterminer une solution particulière , on pose :
Il en résulte :
Puisque
est solution si et seulement si :
En comparant avec , et en écrivant , on obtient :
est une primitive de , il nous reste donc à chercher une primitive de
On fait le changement de variable , donc , et :
Ainsi :
D'autre part, en utilisant , on obtient :
De la même manière, on obtient :
Finalement , la solution particulière s'écrit :
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent donc :
Résoudre sur l'équation différentielle :
On commence par résoudre l'équation homogène associée .
On résout l'équation caractéristique : Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
Utilisons la méthode de variations des constantes pour déterminer une solution particulière , on pose :
Il en résulte :
Puisque
est solution si et seulement si :
En multipliant par on obtient :
Or, d'après : , et donc :
Soit , et donc :
En remplaçant dans , on obtient :
On fait le changement de variable , donc , et :
Donc :
Finalement , la solution particulière s'écrit :
Les solutions générales de l'équation différentielle sur s'écrivent donc :
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les équations différentielles suivantes :
![y'\cos x-y\sin x=1 \text{ sur }\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'\cos x-y\sin x=1 \text{ sur }\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
![y'+y\tan x=1 \text{ sur }\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+y\tan x=1 \text{ sur }\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
![y'\sin x+y\cos x=\sin ^2 x \text{ sur }]0,\pi[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'\sin x+y\cos x=\sin ^2 x \text{ sur }]0,\pi[)
 : y'-\dfrac{1}{x}y-y^2=-9x^2)
![a\in]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\in]0,+\infty[)
tel que =ax)
soit une solution particulière de )
.
. Montrer que 
est solution de 
est solution de l'équation différentielle :z'+ \left(6x+\dfrac{1}{x}\right)z=1)
)
sur ![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
![(1-x)^2y'=(2-x)y \text{ sur }]-\infty,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(1-x)^2y'=(2-x)y \text{ sur }]-\infty,1[)
(Petites Mines 2004)
![(1+x^2)y'+2xy=\dfrac{1}{x} \text{ sur }]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(1+x^2)y'+2xy=\dfrac{1}{x} \text{ sur }]0,+\infty[)
(Petites Mines 1998)
![xy'+3y=\dfrac{1}{1-x^2}\text{ sur }\left]0,1\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?xy'+3y=\dfrac{1}{1-x^2}\text{ sur }\left]0,1\right[)
(Petites Mines 2000)
admet une unique solution impaire .
\text{ e}^{-x} \enskip , \enskip k\in\R)
sont les solutions .
}{1+x^2} \enskip , \enskip k\in\R)
sont les solutions .
y'=y)
y'+(x-1)^2y=x^3-x^2+x+1)
y'+(\text{e}^x+1)y=3+2\text{e}^x)
^2)
y'+(x+1)y=1)
en faisant le changement de variable 
, dérivables sur =f\left(\dfrac{1}{x}\right))
tels qu'il existe des solutions non nulles au problème suivant : =y(1)=0 \end{cases})
=0\text{ , }y(0)=1\end{cases})
, où 
et 
![]-1,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1,1[)
l'équation différentielle y''-xy'+y=0)
.
![\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
l'équation différentielle : 
sont les fonctions de la forme 
.
est une solution particulière de l'équation différentielle .
sont les fonctions de la forme 
.
est une solution particulière de l'équation différentielle .
'+2(x+1)=1+2x+2=2x+3)
, une solution particulière s'écrit : 
.
est solution particulière de l'équation différentielle si et seulement si : 
.
, une solution particulière s'écrit : \text{e}^{2x})
.
-2(ax+b)=1 \iff a=1 \text{ . Ce qui veut dire que }b\text{ est un réel quelconque, on choisit donc }b=0 )
 \text{ e}^{2x} \enskip \text{ , }k\in\R})
est une primitive de 
sur 
.
=k(x)\sqrt{x})
, 
étant une fonction dérivable sur =k'(x)\sqrt{x}+k(x)\dfrac{1}{2\sqrt{x}})
et :
-y_p(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\iff k'(x)=\dfrac{1}{3})
, et donc : 
une solution particulière de l'équation différentielle.
![y'-\dfrac{\sin x}{\cos x}y=0\enskip \enskip \left(\text{ en effet , } \cos x> 0 \text{ pour tout }x \in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ \right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'-\dfrac{\sin x}{\cos x}y=0\enskip \enskip \left(\text{ en effet , } \cos x> 0 \text{ pour tout }x \in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ \right))
)
est une primitive de '}{\cos x})
sur }=\dfrac{k}{\cos x} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
=\dfrac{k(x)}{\cos x})
, =\dfrac{k'(x)}{\cos x} +\dfrac{k(x)\sin x} {\cos^2 x}\enskip\text{ et }\enskip y_p'(x)\cos x-y_p(x)\sin x=1\iff k'(x)=1)
, et donc : 
une solution particulière de l'équation différentielle.
'}{\cos x})
sur =\dfrac{k'(x)}{\cos x} +\dfrac{k(x)\sin x} {\cos^2 x}\enskip\text{ et }\enskip y_p'(x)-y_p(x)\tan x=1\iff k'(x)=\cos x)
, et donc : 
une solution particulière de l'équation différentielle.
![]0,\pi[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,\pi[)
l'équation 
![y'+y\dfrac{\cos x}{\sin x}=0\enskip \enskip \left(\text{ en effet , } \sin x> 0 \text{ pour tout }x \in]0,\pi[\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+y\dfrac{\cos x}{\sin x}=0\enskip \enskip \left(\text{ en effet , } \sin x> 0 \text{ pour tout }x \in]0,\pi[\right))
)
est une primitive de '}{\sin x})
sur }=\dfrac{k}{\sin x} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
=\dfrac{k(x)}{\sin x})
, ![\left]0,\pi\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]0,\pi\right[)
.
=\dfrac{k'(x)}{\sin x} -\dfrac{k(x)\cos x} {\sin^2 x}\enskip\text{ et }\enskip y_p'(x)\sin x+y_p(x)\cos x=\sin^2 x\iff k'(x)=\sin^2 x)
sont de classe 
, alors par une primitivation par parties :
=\int \sin^2 xdx = -\int (\cos x)' \sin x dx =-\cos x \sin x+ \int \cos^2 x dx = -\cos x\sin x +\int dx -\int \sin^2 dx = -\cos x\sin x +x -k(x))
=x-\cos x\sin x )
, donc : =\dfrac{x}{2} - \dfrac{2\sin x\cos x}{4} = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4})
)
est une solution particulière de l'équation différentielle.
 \enskip \text{ , }k\in\R})
est solution si et seulement si : 
, on obtient : :z'+ \left(6x+\dfrac{1}{x}\right)z=1})
z=0)
est une primitive de 
sur 
.
sous la forme =k(x)\dfrac{\text{ e}^{-3x^2}}{x})
, =k'(x)\dfrac{\text{ e}^{-3x^2}}{x}+k(x) \dfrac{-6x^2\text{ e}^{-3x^2}-\text{ e}^{-3x^2}}{x^2} = k'(x)\dfrac{\text{ e}^{-3x^2}}{x}+k(x) \text{ e}^{-3x^2} \left(-6-\dfrac{1}{x^2} \right))
z_p=1 \iff k'(x)\dfrac{\text{ e}^{-3x^2}}{x}+k(x) \text{ e}^{-3x^2} \left(-6-\dfrac{1}{x^2} \right)+ \left(6x+\dfrac{1}{x}\right)k(x)\dfrac{\text{ e}^{-3x^2}}{x}=1\iff k'(x)=x\text{ e}^{3x^2})
, et donc : 
une solution particulière de l'équation différentielle.
![]-\infty,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty,1[)
l'équation ^2y'=(2-x)y )
^2}y=0)
+\dfrac{1}{x-1})
est une primitive de ^2}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{(x-1)^2})
sur -\frac{1}{x-1}} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
y'+2xy=\dfrac{1}{x} )
})
)
est une primitive de 
sur }=\dfrac{k}{1+x^2} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
=\dfrac{k(x)}{1+x^2})
, =\dfrac{k'(x)}{1+x^2}-\dfrac{2xk(x)}{(1+x^2)^2})
et : y_p'+2xy_p=\dfrac{1}{x}\iff k'(x)=\dfrac{1}{x})
, et donc : 
une solution particulière de l'équation différentielle.
y'+2xy=\dfrac{1}{x}\iff (1+x^2)y'+(1+x^2)'y=\dfrac{1}{x}\iff\left((1+x^2)y\right)'=\dfrac{1}{x} \iff (1+x^2)y=\ln |x|+k \enskip , k\in\R\iff \boxed{y:x\mapsto\dfrac{\ln x+k}{1+x^2} \enskip, k\in\R})
![]0,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1[)
l'équation 
})
est une primitive de 
sur 
.
=\dfrac{k(x)}{x^3})
, =\dfrac{k'(x)}{x^3}-\dfrac{3k(x)}{x^4})
et : +\dfrac{3}{x}y_p(x)=\dfrac{1}{x(1-x^2)}\iff k'(x)=\dfrac{x^2}{1-x^2}=\dfrac{x^2-1+1}{1-x^2}=-1+\dfrac{1}{1-x^2})
, et donc : 
une solution particulière de l'équation différentielle.
admet comme solutions les fonctions de la forme 
.
=k(x)\text{ e}^{\frac{x^2}{2}})
, =k'(x)\text{ e}^{\frac{x^2}{2}}+xk(x)\text{ e}^{\frac{x^2}{2}})
et : -xy_p(x)=x\text{ e}^{x^2}\iff k'(x)\text{ e}^{\frac{x^2}{2}}=x\text{ e}^{x^2}\iff k'(x)=x\text{ e}^{\frac{x^2}{2}}=\left(\text{ e}^{\frac{x^2}{2}}\right)')
, et donc : 
une solution particulière de l'équation différentielle.
=-f(x))
=-f(0))
, ce qui implique que =0)
=0)
.
=0\end{cases})
.
.
=-f(-x))
. Il suffit de montrer que 
pour démontrer que 
est évidemment dérivable sur =-(-x)'f'(-x)=f'(-x))
+2xg(x)=f'(-x)-2xf(-x)=f'(-x)+2(-x)f(-x)=1\enskip\enskip (\text{ En remplaçant }x \text{ par }-x\text{ dans }f'(x)+2xf(x)=1))
=-f(0)=0)
, on constate que 
=\text{ e}^{-x}-(k+x)\text{ e}^{-x}=\text{ e}^{-x}-y(x))
![I_1=]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,0[)
ou ![I_2=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[)
![\bullet \text{ Sur }I_1=]-\infty,0[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur }I_1=]-\infty,0[ \text{ : })
, elle admet comme solutions les fonctions de la forme 
.
=k_1(x)x^2)
, 
étant une fonction dérivable sur 
.
=k_1'(x)x^2+2xk_1(x))
et : -2y_p=x^4\iff k_1'(x)=x)
, et donc : 
une solution particulière de l'équation différentielle.
![\bullet \text{ Sur }I_2=]0,+\infty[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur }I_2=]0,+\infty[ \text{ : })
![k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}k_1x^2+\dfrac{x^4}{2} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\\\k_2x^2+\dfrac{x^4}{2}& \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}k_1x^2+\dfrac{x^4}{2} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\\\k_2x^2+\dfrac{x^4}{2}& \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases})
-2y(0)=0)
, donc 
.
=\lim_{x\to0^+}y(x)=0=y(0))
-y(0)}{x}=\lim_{x\to0^-}\dfrac{2k_1 x +x^3}{2}=0=f'_g(0)\enskip \text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{y(x)-y(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}\dfrac{2k_1 x +x^3}{2}=0=f'_d(0))
=f'_d(0)=0)
, on en tire que =0)
.
![\boxed{x\mapsto \begin{cases}k_1x^2+\dfrac{x^4}{2} & \text{ si } x\in]-\infty,0] \\k_2x^2+\dfrac{x^4}{2}& \text{ si }x\in[0,+\infty[ \end{cases} \enskip\enskip \text{ , }k_1,k_2\in\R\text{ quelconques }}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \boxed{x\mapsto \begin{cases}k_1x^2+\dfrac{x^4}{2} & \text{ si } x\in]-\infty,0] \\k_2x^2+\dfrac{x^4}{2}& \text{ si }x\in[0,+\infty[ \end{cases} \enskip\enskip \text{ , }k_1,k_2\in\R\text{ quelconques }})
)
impose de se placer sur ![I_2=]0,+\infty[\enskip \enskip (\text{ en effet : }1+x^2 >0 \text{ pour tout réel }x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]0,+\infty[\enskip \enskip (\text{ en effet : }1+x^2 >0 \text{ pour tout réel }x))
}y=0 )
.
=\ln (-x)-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2))
est une primitive de }=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^2+1})
sur -\frac{1}{2}\ln(1+x^2)}=k'_1\dfrac{-x}{\sqrt{1+x^2}} \text{ avec }k'_1\in\R\enskip \enskip , \enskip \text{ donc de la forme }x\mapsto \dfrac{k_1 x}{\sqrt{1+x^2}} \text{ avec }k_1\in\R)
.
![k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}\dfrac{k_1 x}{\sqrt{1+x^2}} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\\dfrac{k_2 x}{\sqrt{1+x^2}}& \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}\dfrac{k_1 x}{\sqrt{1+x^2}} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\\dfrac{k_2 x}{\sqrt{1+x^2}}& \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases})
 y'(0)=y(0))
, donc -y(0)}{x}=\lim_{x\to0^-}\dfrac{k_1 }{\sqrt{1+x^2}}=k_1=f'_g(0)\enskip \text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{y(x)-y(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}\dfrac{k_2 x}{\sqrt{1+x^2}}=k_2=f'_d(0))
=f'_d(0)=k_2)
.
^2}{x^2+1}y=0)
^2}{x^2+1}=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}=1-\dfrac{2x}{x^2+1} )
)
est une primitive de ^2}{x^2+1})
sur }=k(x^2+1)\text{ e}^{-x} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
est une solution particulière de l'équation différentielle .
^2x=x^2+1+x(x^2-2x+1)=x^3-x^2+x+1)
\text{ e}^{-x} \enskip \text{ , }k\in\R})
impose de se placer sur 
.
sur 
par exemple .
)
est alors une primitive de }=k'_1(-\text{th }x) \text{ avec }k'_1\in\R\enskip \enskip , \enskip \text{ donc de la forme }x\mapsto k_1\text{ th }x \text{ avec }k_1\in\R)
.
=k_1(x)\text{ th }x)
, =k_1'(x)\text{ th }x+k_1(x)\dfrac{1}{\text{ ch }^2x})
et : -\dfrac{y_p(x)}{\text{ch }x}=\dfrac{\text{sh}^2 x}{\text{ch }x}\iff k_1'(x)=1)
, et donc : 
une solution particulière de l'équation différentielle.
\text{th }x \enskip \text{ avec }k_1\in\R)
\text{th }x \enskip \text{ avec }k_2\in\R)
![k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}(x+k_1)\text{th }x & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\ (x+k_2)\text{th }x& \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}(x+k_1)\text{th }x & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\ (x+k_2)\text{th }x& \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases})
\text{ }y'(0)-\dfrac{y(0)}{\text{ch}(0)}=\dfrac{\text{sh}^2(0) }{\text{ch}(0)}\iff 0\times y'(0)-\dfrac{y(0)}{1}=\dfrac{0}{1} )
, donc =\lim_{x\to0^+}y(x)=0=y(0))
=k_1 x +o(x))
, donc =k_1)
=k_2 x +o(x))
, donc =k_2)
\text{th }x \enskip\enskip \text{ , }k\in\R\text{ quelconque }})
impose de se placer sur 
.
sur } dt =-\ln|t|+2\ln|t-1|=-x+2\ln\left(1-\text{e}^{x}\right))
^2} \text{ avec }k_1\in\R\enskip \enskip )
.
=\dfrac{k_1(x) \text{ e}^{x}}{(\text{ e}^{x}-1)^2} )
, =\dfrac{(3+2\text{e}^x)(\text{e}^x-1)}{\text{e}^x}=1+2\text{e}^x-3\text{e}^{-x})
, et donc : ^2} )
une solution particulière de l'équation différentielle.
\text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3}{(\text{ e}^{x}-1)^2} \enskip \text{ avec }k_1\in\R)
\text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3}{(\text{ e}^{x}-1)^2} \enskip \text{ avec }k_2\in\R)
![k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}\dfrac{(k_1+x)\text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3}{(\text{ e}^{x}-1)^2} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\ \\\dfrac{(k_2+x)\text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3}{(\text{ e}^{x}-1)^2} & \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}\dfrac{(k_1+x)\text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3}{(\text{ e}^{x}-1)^2} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\ \\\dfrac{(k_2+x)\text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3}{(\text{ e}^{x}-1)^2} & \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases})
y'(0)+(\text{e}^{0}+1)y(0)=3+2\text{e}^{0} )
, donc =\dfrac{5}{2})
\text{ et }\lim_{x\to0^+}y(x))
soient finies, il faut que : \text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3=k_1+5=0\text{ et }\lim_{x\to0^+}(k_2+x)\text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3=k_2+5=0)
\text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3}{(\text{ e}^{x}-1)^2}=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{6}x+o(x))
=\lim_{x\to0^+}y(x)=\dfrac{5}{2}=y(0))
=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{6}x+o(x))
, donc =-\dfrac{1}{6})
=-\dfrac{1}{6})
=f'_g(0)=-\dfrac{1}{6})
=-\dfrac{1}{6})
\text{e}^x+2\text{e}^{2x}+3}{(\text{ e}^{x}-1)^2}& \text{ si } x\neq0 \\\dfrac{5}{2}& \text{ si }x=0 \end{cases}})
.
sur )
.
=\dfrac{k_1(x)}{x^2} )
, =\dfrac{x^2+x}{x^2+1}=1+\dfrac{x}{x^2+1}-\dfrac{1}{x^2+1})
-\text{Arctan }x)
, et donc :-\text{Arctan }x}{x^2} )
-\text{Arctan }x}{x^2} \enskip \text{ avec }k_1\in\R)
-\text{Arctan }x}{x^2} \enskip \text{ avec }k_2\in\R)
![k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}\dfrac{k_1}{x^2}+\dfrac{x+\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)-\text{Arctan }x}{x^2} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\ \\\dfrac{k_2}{x^2}+\dfrac{x+\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)-\text{Arctan }x}{x^2} & \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}\dfrac{k_1}{x^2}+\dfrac{x+\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)-\text{Arctan }x}{x^2} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\ \\\dfrac{k_2}{x^2}+\dfrac{x+\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)-\text{Arctan }x}{x^2} & \text{ si }x\in]0,+\infty[ \end{cases})
, donc on doit avoir =\dfrac{1}{2})
-\text{Arctan }x}{x^2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{3}+o(x))
=\lim_{x\to 0^+}y(x)=y(0))
=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{k_2}{x^2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{2})
.
.
=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}x+o(x))
, donc =\dfrac{1}{3})
=\dfrac{1}{3})
=y'_g(0)=\dfrac{1}{3})
=\dfrac{1}{3})
-\text{Arctan }x}{x^2}& \text{ si } x\neq0 \\\dfrac{1}{2}& \text{ si }x=0 \end{cases}})
^2)
impose de se placer sur ![I_1=]-\infty,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,1[)
ou ![I_2=]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]1,+\infty[)
![\bullet \text{ Sur }I_1=]-\infty,1[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur }I_1=]-\infty,1[ \text{ : })
.
sur )
\text{ e}^{x}\enskip \enskip \text{ avec }k_1\in\R)
.
= k_1(x)(1-x)\text{ e}^{x} )
, =k_1'(x)(1-x)\text{e}^{x}+k_1(x)(-\text{e}^{x}+(1-x)\text{e}^{x})=k_1'(x)(1-x)\text{e}^{x}-k_1(x)x\text{e}^{x})
y_p'(x)+xy_p(x)=(x-1)^2 &\iff& (1-x)^2k_1'(x)\text{e}^{x}-k_1(x)x(1-x)\text{e}^{x}+k_1(x)x(1-x)\text{e}^{x}=(x-1)^2 \\\\&\iff& k_1'(x)=\text{e}^{-x} \end{matrix})
=-\text{e}^{-x}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip y_p:x\mapsto x-1 )
comme solution particulière de l'équation différentielle.
\text{e}^x +x-1 \enskip \text{ avec }k_1\in\R)
![\bullet \text{ Sur }I_2=]1,+\infty[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur }I_2=]1,+\infty[ \text{ : })
.
est )
.
= \dfrac{k_2(x)\text{ e}^{-x}}{x-1} )
, 
étant une fonction dérivable sur =\dfrac{k_2'(x)\text{e}^{-x}}{x-1}-\dfrac{k_2(x)\text{e}^{-x}x}{(x-1)^2})
y_p'(x)+xy_p(x)=(x-1)^2 &\iff& k_2'(x)\text{e}^{-x}-\dfrac{k_2(x)x\text{e}^{-x}}{x-1}+\dfrac{k_2(x)x\text{e}^{-x}}{x-1}=(x-1)^2 \\\\&\iff& k_2'(x)=(x-1)^2\text{e}^{x} \end{matrix})
^2)
sont de classe ![\mathcal{C}^1 \text{ sur } ]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}^1 \text{ sur } ]1,+\infty[)
, par primitivation par parties :
^2 \text{e}^x dx = (x-1)^2\text{e}^{x} -2\int (x-1)\text{e}^x dx =(x-1)^2\text{e}^{x}-2(x-1)\text{e}^{x}+2\int \text{e}^x dx =(x^2-4x+5)\text{e}^{x})
comme solution particulière de l'équation différentielle.
![k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}k_1(1-x)\text{e}^x +x-1 & \text{ si } x\in]-\infty,1[ \\ \\\dfrac{x^2-4x+5+k_2\text{e}^{-x}}{x-1} & \text{ si }x\in]1,+\infty[ \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1,k_2 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}k_1(1-x)\text{e}^x +x-1 & \text{ si } x\in]-\infty,1[ \\ \\\dfrac{x^2-4x+5+k_2\text{e}^{-x}}{x-1} & \text{ si }x\in]1,+\infty[ \end{cases})
, donc on doit avoir =0)
.
=\lim_{x\to 1^+}y(x)=y(1))
=\lim_{x\to 1^-}k_1(1-x)\text{e}^{x}+x-1=0=y(1))
=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x^2-4x+5+k_2\text{e}^{-x}}{x-1})
,il faut alors que 
^2}{3}+O((x-1)^3))
=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x^2-4x+5+k_2\text{e}^{-x}}{x-1}=0=y(1))
=\lim_{x\to 1^-}y(x)=0=y(1))
![k_1 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}k_1(1-x)\text{e}^x +x-1 & \text{ si } x\in]-\infty,1] \\ \\\dfrac{x^2-4x+5-2\text{e}^{1-x}}{x-1} & \text{ si }x\in]1,+\infty[ \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}k_1(1-x)\text{e}^x +x-1 & \text{ si } x\in]-\infty,1] \\ \\\dfrac{x^2-4x+5-2\text{e}^{1-x}}{x-1} & \text{ si }x\in]1,+\infty[ \end{cases})
=0)
-y(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}-k_1\text{e}+1=y'_g(1))
=y'_g(1)\enskip \text{ ce qui donne } -k_1\text{e}+1=0\enskip \text{ , donc } k_1=\text{e}^{-1} )
![\boxed{x\mapsto\begin{cases}(x-1)(1-\text{e}^{x-1}) & \text{ si } x\in]-\infty,1] \\ \\\dfrac{x^2-4x+5-2\text{e}^{1-x}}{x-1} & \text{ si }x\in]1,+\infty[ \end{cases}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \boxed{x\mapsto\begin{cases}(x-1)(1-\text{e}^{x-1}) & \text{ si } x\in]-\infty,1] \\ \\\dfrac{x^2-4x+5-2\text{e}^{1-x}}{x-1} & \text{ si }x\in]1,+\infty[ \end{cases}})
y'+(x+1)y=1)
)
impose de se placer sur ![I_1=]-\infty,-1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,-1[)
, ![I_2=]-1,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2=]-1,0[)
ou ![I_3=]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_3=]0,+\infty[)
![I_1=]-\infty,-1[\enskip , \enskip I_2=]-1,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty,-1[\enskip , \enskip I_2=]-1,0[)
et sur ![\bullet \text{ Sur }I_1=]-\infty,-1[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur }I_1=]-\infty,-1[ \text{ : })
.
|)
.
= \dfrac{k_1(x)}{\sqrt{-x}})
, =\dfrac{k_1'(x)\sqrt{-x}+\dfrac{k_1(x)}{2\sqrt{-x}}}{-x}=\dfrac{-2xk_1'(x)+k_1(x)}{-2x\sqrt{-x}}=\dfrac{k_1'(x)}{\sqrt{-x}}-\dfrac{k_1(x)}{2x\sqrt{-x}})
y_p'(x)+(x+1)y_p(x)=1 &\iff& \dfrac{2x(x+1)k_1'(x)}{\sqrt{-x}}-\dfrac{(x+1)k_1(x)}{\sqrt{-x}}+\dfrac{(x+1)k_1(x)}{\sqrt{-x}}=1 \\\\&\iff& k_1'(x)=\dfrac{\sqrt{-x}}{2x(x+1)}\\\\&\iff& k_1'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}(x+1)}\\\\&\iff& k_1'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}}{1-(\sqrt{-x})^2} \end{matrix})
pour calculer la primitive =\displaystyle \int \dfrac{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}}{1-(\sqrt{-x})^2} dx)
=\displaystyle \int \dfrac{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}}{1-(\sqrt{-x})^2} dx=\int \dfrac{du}{1-u^2}=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1+u}{1-u}\right|=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1+\sqrt{-x}}{1-\sqrt{-x}}\right|=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{\sqrt{-x}+1}{\sqrt{-x}-1}\right))
n'est pas une primitive de 
sur ![]-\infty,-1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty,-1[)
)
 \enskip \text{ avec }k_1\in\R)
![\bullet \text{ Sur }I_2=]-1,0[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur }I_2=]-1,0[ \text{ : })
=\displaystyle \int \dfrac{-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}}{1-(\sqrt{-x})^2} dx=\int \dfrac{du}{1-u^2}=\text{Argth }u=\text{Argth }(-\sqrt{x}))
}{\sqrt{-x}})
}{\sqrt{-x}} \enskip \text{ avec }k_2\in\R)
![\bullet \text{ Sur }I_3=]0,+\infty[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur }I_3=]0,+\infty[ \text{ : })
=\displaystyle \int \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{1+(\sqrt{x})^2} dx=\int \dfrac{du}{1+u^2}=\text{Arctan }u=\text{Arctan }(\sqrt{x}))
: }{\sqrt{x}})
}{\sqrt{x}} \enskip \text{ avec }k_3\in\R)
![k_1,k_2,k_3 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}\dfrac{k_1}{\sqrt{-x}}+ \dfrac{1}{2\sqrt{-x}}\ln\left(\dfrac{\sqrt{-x}+1}{\sqrt{-x}-1}\right) & \text{ si } x\in]-\infty,-1[ \\\\ \dfrac{k_2+\text{Argth }(-\sqrt{x})}{\sqrt{-x}} & \text{ si }x\in]-1,0[\\\\ \dfrac{k_3+\text{Arctan }(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} & \text{ si }x\in]0,+\infty[\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1,k_2,k_3 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases}\dfrac{k_1}{\sqrt{-x}}+ \dfrac{1}{2\sqrt{-x}}\ln\left(\dfrac{\sqrt{-x}+1}{\sqrt{-x}-1}\right) & \text{ si } x\in]-\infty,-1[ \\\\ \dfrac{k_2+\text{Argth }(-\sqrt{x})}{\sqrt{-x}} & \text{ si }x\in]-1,0[\\\\ \dfrac{k_3+\text{Arctan }(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} & \text{ si }x\in]0,+\infty[\end{cases})
.
}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{\text{Argth }(\sqrt{-x})}{\sqrt{-x}}=1)
n'est pas bornée en 
-y(0)}{x}=\lim_{x\to 0^-}-\dfrac{\text{Argth }(\sqrt{-x})-\sqrt{-x}}{-x\sqrt{-x}}=\lim_{x\to 0^-}-\dfrac{\text{Argth }(\sqrt{-x})-\sqrt{-x}}{(-x)^{\frac{3}{2}}})
-y(0)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\text{Arctan }(\sqrt{x})-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\text{Arctan }(\sqrt{x})-\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}}})
-u}{u^3}=-\dfrac{1}{3}+o(u)\enskip\text{ et }\enskip -\dfrac{\text{Argth }(u)-u}{u^3}=-\dfrac{1}{3}+o(u))
-y(0)}{x}=-\dfrac{1}{3}\enskip \text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\dfrac{y(x)-y(0)}{x}=-\dfrac{1}{3} )
=-\dfrac{1}{3})
:
=+\infty)
![]-1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1,+\infty[)
: ![\boxed{x\mapsto\begin{cases}\dfrac{\text{Argth }(-\sqrt{x})}{\sqrt{-x}} & \text{ si } x\in]-1,0[ \\ 1 & \text{ si }x=0 \\ \dfrac{\text{Arctan }(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} & \text{ si }x\in]0,+\infty[\end{cases}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \boxed{x\mapsto\begin{cases}\dfrac{\text{Argth }(-\sqrt{x})}{\sqrt{-x}} & \text{ si } x\in]-1,0[ \\ 1 & \text{ si }x=0 \\ \dfrac{\text{Arctan }(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} & \text{ si }x\in]0,+\infty[\end{cases}})
.
(r-1)=0\iff r=1 \text{ ou }r=-2)
.
n'est pas solution de l'équation caractéristique , on déduit que 
est une solution particulière de l'équation .
est une solution particulière de l'équation 
pour conclure.
est une racine simple de l'équation caractéristique , on calcule )
avec =r^2+r-2\enskip : \enskip P'(-2)=-3)
. On déduit que 
est une solution particulière de l'équation 
+y'_p(x)-2y_p(x)=\sin x)
.
(r+1-2i)=0\iff r=-1+2i \text{ ou }r=-1-2i)
 \enskip \text{ avec }A,B\in\R)
.
.
 \enskip \text{ avec }A,B\in\R})
.
\left(r-\dfrac{1}{3}\right)=0\iff r=-1 \text{ ou }r=\dfrac{1}{3})
.
.
\left(-2r-1\right)=0\iff r=1 \text{ ou }r=-\dfrac{1}{2})
.
, et on prendra sa partie réelle comme solution particulière de l'équation différentielle recherchée \text{e}^{ix})
.
=(a+iax+ib)\text{e}^{ix} \enskip\text{ et }\enskip y_p''(x)=(2ia-ax-b)\text{e}^{ix})
+(a+iax+ib)+(ax+b)=10x \iff \begin{cases} 2a+ia+a=10\\-4ia+2b+a+ib+b=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=3-i\\b=\dfrac{8}{5}+\dfrac{19}{5}i \end{cases} )
![y_p\text{ : }x\mapsto \left(\left[3x+\dfrac{8}{5}\right]+i\left[-x+\dfrac{19}{5}\right]\right)\text{e}^{ix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_p\text{ : }x\mapsto \left(\left[3x+\dfrac{8}{5}\right]+i\left[-x+\dfrac{19}{5}\right]\right)\text{e}^{ix} )
)=\left(3x+\dfrac{8}{5}\right)\cos x +\left(3-\dfrac{19}{5}\right)\sin x)
\cos x +\left(3-\dfrac{19}{5}\right)\sin x+A \text{ e}^{x}+B\text{ e}^{-\frac{x}{2}} \enskip \text{ avec }A,B\in\R})
=z\left(\ln x\right))
, ![\forall x\in]0,+\infty[\enskip : \enskip y(x)=z(\ln x)\Rightarrow y'(x)=\dfrac{z'(\ln x)}{x}\Rightarrow y''(x)=\dfrac{z''(\ln x)}{x}\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{z'(\ln x)}{x^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0,+\infty[\enskip : \enskip y(x)=z(\ln x)\Rightarrow y'(x)=\dfrac{z'(\ln x)}{x}\Rightarrow y''(x)=\dfrac{z''(\ln x)}{x}\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{z'(\ln x)}{x^2})
+xy'(x)+y(x)=0 \iff z''(\ln x)-z'(\ln x)+z'(\ln x)+z(\ln x)=0 )
, par conséquent, il existe =A\cos t+B\sin t)
![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[ )
sont donc de la forme :
+B\sin(\ln x) \enskip \text{ avec }A,B\in\R})
.
^2=0\iff r=1 )
\text{ e}^{x} \enskip \text{ avec }A,B\in\R)
.
, on cherche une solution particulière de la forme \text{e}^{-x})
.
=(a-ax-b)\text{e}^{-x} \enskip\text{ et }\enskip y_p''(x)=(-2a+ax+b)\text{e}^{-x})
\text{e}^{-x} +(Ax+B)\text{ e}^{x} \enskip \text{ avec }A,B\in\R})
.
^2=0\iff r=3 )
\text{ e}^{3x} \enskip \text{ avec }A,B\in\R)
.
, et une solution particulière correspondante au second membre 
.
Pour le second membre 
est solution particulière si et seulement si : \cos x +(6a+8b)\sin x = \sin x \iff \begin{cases} 8a-6b=0\\6a+8b=1 \end{cases} \iff \begin{cases} a=\dfrac{3}{50}\\b=\dfrac{4}{50} \end{cases} )
 )
=X^2-6X+9\text{ et de }P'(X)=2X-6)
, on cherche une solution particulière 
est solution particulière si et seulement si : -6y_{p_2}'(x)+9y_{p_2}(x)=\text{e}^{3x} \iff (2a+6ax+6ax+9ax^2)-6(2ax+3ax^2)+9ax^2=1 \iff a=\dfrac{1}{2})
 +\left(Ax+B+\dfrac{x^2}{2}\right)\text{e}^{3x} \enskip \text{ avec }A,B\in\R})
=f\left(\dfrac{1}{x}\right))
est alors dérivable , en tant que composée de 
.
=-\dfrac{1}{x^2}f'\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^2} f(x))
=f\left(\text{e}^t\right))
, =\text{e}^{t} f'\left(\text{e}^t\right) \enskip \text{ et }\enskip g''(t)=\text{e}^{t} f'\left(\text{e}^t\right)+\text{e}^{2t} f''\left(\text{e}^t\right))
=g''(t)-g'(t))
+f(x)=0)
, on en déduit que +f\left(\text{e}^{t}\right)=0)
, et donc : -g'(t)+g(t)=0)
\left(r-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=0)
![x\mapsto \text{e}^{\frac{t}{2}}\left[ A\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)+B\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right) \right] \enskip \text{ avec }A,B\in\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto \text{e}^{\frac{t}{2}}\left[ A\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)+B\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right) \right] \enskip \text{ avec }A,B\in\R)
.
, on obtient : ![f(x)=\sqrt{x}\left[ A\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right)+B\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right) \right] \enskip \text{ avec }A,B\in\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=\sqrt{x}\left[ A\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right)+B\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right) \right] \enskip \text{ avec }A,B\in\R)
&=&\sqrt{x}\left(-A\dfrac{\sqrt{3}}{2x}\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right)+B\dfrac{\sqrt{3}}{2x}\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right)\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left( A\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right)+B\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right) \right) \\\\&=&\dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(\dfrac{B\sqrt{3}+A}{2}\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right)+\dfrac{B-A\sqrt{3}}{2}\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right)\right)\end{matrix})
= \dfrac{1}{\sqrt{x}}\left(A\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right)-B\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ln x\right)\right))
, on conclut que les fonctions solutions s'écrivent sous la forme : \enskip , \enskip k\in\R})
. La seule fonction de cette forme qui s'annule en deux points distincts est la fonction nulle.
+\beta \text{ sh }(x\sqrt{-r})\text{ , }A,B\in\R \enskip \text{ et }\enskip \alpha=A+B,\beta=A-B \in\R )
=0 \text{ donne } \alpha=0 \enskip \text{ et }\enskip y(1)=0 \text{ donne } \beta =0)
+B \sin (x\sqrt{r})\text{ , }A,B\in\R )
=0 \text{ donne } A=0 \enskip \text{ et }\enskip y(1)=0 \text{ donne } B \sin (\sqrt{r}) =0)
 =0 \Rightarrow r=(k\pi)^2 =k^2\pi^2 \enskip , \enskip k\in\N^{*} )
a pour solutions les fonctions de la forme : +B\text{ sh }(t\sqrt{2}) \text{ , } A,B\in\R)
(voir l'exercice précédent)
, alors : =(B\sqrt{2}-A)\text{ ch }(t\sqrt{2})+(A\sqrt{2}-B)\text{ sh }(t\sqrt{2}))
=0)
=1 \text{ donnent } A=0\text{ et }B+\sqrt{1}{\sqrt{2}})
 \enskip , \enskip y:t\mapsto \text{ ch }(t\sqrt{2})-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{ sh }(t\sqrt{2}))
=\text{ ch }(t\sqrt{2})=x(t)+y(t) \enskip \text{ et }\enskip y'(t)=\sqrt{2}\text{ sh }(t\sqrt{2})-\text{ ch }(t\sqrt{2})=x(t)-y(t))
 \enskip , \enskip y:t\mapsto \text{ ch }(t\sqrt{2})-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{ sh }(t\sqrt{2}) \right)})
-(x+y)\\ x''-y''=x-y\end{cases})
et 
, le système est équivalent à : 
\text{e}^{t}\\ v:t\mapsto A'\text{e}^{t}+B'\text{e}^{-t}\end{cases}\text{ , où }A,B,A',B'\in\R)
+v(t)}{2}=\left(\dfrac{At}{2}+\dfrac{B+A'}{2}\right) \text{e}^{t}+\dfrac{B'}{2}\text{e}^{-t} \enskip \text{ et }\enskip y:t\mapsto \dfrac{u(t)-v(t)}{2}=\left(\dfrac{At}{2}+\dfrac{B-A'}{2}\right) \text{e}^{t}-\dfrac{B'}{2}\text{e}^{-t} )
 \text{e}^{t}-d\text{e}^{-t} ,y:t\mapsto \left(at+c\right) \text{e}^{t}+d\text{e}^{-t}\right)\enskip , \enskip a,b,c,d\in\R} )
![t\in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t\in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
, on définit une fonction =y(\sin t)=g(t))
=g(\text{Arcsin }x)=y(x))
=g(\text{Arcsin }x))
donne : =\dfrac{g'(\text{Arcsin }x)}{\sqrt{1-x^2}} \enskip \text{ et }\enskip y''(x)=\dfrac{g''(\text{Arcsin }x)}{1-x^2}+\dfrac{xg'(\text{Arcsin }x)}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}})
y''-xy'+y=0\iff g''(\text{Arcsin }x)+g(\text{Arcsin }x)=0\iff g''(t)+g(t)=0)
y''-xy'+y=0 )
sur 
sur +B \sin (t)\text{ , }A,B\in\R )
 +B\sin(\text{Arcsin }x)\text{ , }A,B\in\R)
.
(r+1)=0)
.
=A(x)\text{ e}^{x}+B(x)\text{e}^{-x} \\y_p'(x)=A(x)\text{ e}^{x}-B(x)\text{e}^{-x})
\text{ e}^{x}+B'(x)\text{e}^{-x}=0\enskip (*))
=A'(x)\text{ e}^{x}-B'(x)\text{e}^{-x}+A(x)\text{ e}^{x}+B(x)\text{e}^{-x})
\text{ e}^{x}-B'(x)\text{e}^{-x}=\text{th }x)
)
, et en écrivant 
, on obtient :
=\dfrac{1}{2}\text{e}^{-x}\text{ th }x = \dfrac{1}{2} \left(\text{ch} x-\text{ sh }x\right)\text{ th }x =\dfrac{1}{2}\left(\text{ sh }x-\dfrac{\text{ sh}^2 x}{\text{ ch }x}\right)\enskip (**))
est une primitive de 
, il nous reste donc à chercher une primitive de )
, donc 
, et :
 dx =\int \dfrac{\text{ sh}^2 x\text{ch }x}{\text{ ch}^2x}\right) dx=\int \dfrac{\text{ sh}^2 x}{1+\text{ sh}^2x}\right) (\text{ch }xdx)=\int \dfrac{u^2}{1+u^2}du=u-\text{ Arctan }u = \text{ sh }x-\text{Arctan (sh }x))
=\dfrac{1}{2}\text{e}^{-x}+\dfrac{1}{2} \text{ Arctan (sh }x))
\text{ et }(**))
, on obtient :
=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{x}\text{ th }x = -\dfrac{1}{2}\left(\text{sh }x+\dfrac{\text{sh}^2 x}{\text{ ch }x}\right))
=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{x}+\dfrac{1}{2} \text{ Arctan (sh }x))
\text{ Arctan (sh }x) = \text{ ch }x \text{ }\text{ Arctan (sh }x))
+A\text{e}^{x}+B\text{e}^{-x} \enskip \text{ avec }A,B\in\R})
.
(r+i)=0)
.
=A(x)\sin x+B(x)\cos x \\y_p'(x)=A(x)\cos x-B(x)\sin x)
\sin x+B'(x)\cos x=0\enskip (*))
=A'(x)\cos x-B'(x)\sin x-A(x)\sin x-B(x)\cos x)
\cos x-B'(x)\sin x=\tan x)
on obtient :
\cos^2x-B'(x)\cos x\sin x =\sin x )
\cos x = -A'(x)\sin x)
, et donc : \cos^2 +A'(x)\sin^2 =\sin x)
=\sin x)
, et donc : =-\cos x)
=-\dfrac{\sin^2 x}{\cos x })
, donc 
, et :
=\int \dfrac{\sin^2 x }{\sin^2 x-1 } (\cos xdx)=\int \dfrac{u^2}{u^2-1}du=\int 1+\dfrac{1}{2(u-1)}-\dfrac{1}{2(u+1)}du = u+\dfrac{1}{2}\ln\left( \dfrac{1-u}{1+u}\right))
=\displaystyle -\int \dfrac{\sin^2 x}{\cos x } dx=\sin x +\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}\right))
)
 +A\sin x+B\cos x\enskip \text{ avec }A,B\in\R})
Voir la correction
analyse en post-bac