Fiche de mathématiques

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Fonctions usuelles

I- Rappels

Ce chapitre rappelle brièvement quelques résultats importants pour l'étude des fonctions usuelles.

Consulter le cours "fonctions réelles d'une variable réelle" pour une étude plus détaillée de ces sujets.

1- Dérivée d'une composée

Proposition

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables et $g\circ f$ est bien définie, alors $g\circ f$ est dérivable et $(g\circ f)'=(g'\circ f)\times f'$

Exemple

Soit $h\text{ : } x\mapsto (x^2+3x)^4$
$h$ est polynômiale, donc dérivable sur $\R$ , c'est la composée de $f\text{ : }x\mapsto x^2+3x \text{ et }g\text{ : } x\mapsto x^4$ dérivables sur $\R$ bien entendu.
On a : $f'\text{ : }x\mapsto 2x+3 \text{ et }g'\text{ : } x\mapsto 4x^3$
Donc : $h'\text{ : }x\mapsto g'(f(x))\times f'(x)=\boxed{4(2x+3)(x^2+3x)^3}$

2- Application réciproque

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I\subset\R$ , à valeurs dans l'intervalle $J\subset \R$
Si, pour tout élément $b\in J$ , il existe un unique élément $a\in I\text{ / } f(a)=b$ , alors on peut définir une fonction $f^{-1}$ telle que $b=f^{-1}(a)$
$f^{-1}$ s'appelle la fonction réciproque de $f$ . Elle est unique, définie sur $J$ et prend ses valeurs dans $I$

Remarque

Si $f^{-1}$ est la fonction réciproque de $f$ , alors $f$ est la fonction réciproque de $f^{-1}$

Proposition : Condition suffisante d'existence

Soit $f$ une fonction de $I$ dans $J$ . Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$

Proposition

Les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ dans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.

En effet, soient $x,y\in\R \text { , } M(x,y) \text{ et }M'(y,x)$ et soient $\mathscr{C}_{f} \text{ et }\mathscr{C}_{f^{-1}}$ respectivement les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ .
On a : $M\in\mathscr{C}_{f}\iff y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\iff M'\in \mathscr{C}_{f^{-1}}$
$\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{f^{-1}}$ sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$

Propriétés

Continuité
Si $f$ est une fonction continue de $I$ dans $J$ et $f^{-1}$ sa réciproque sur $J$ , alors $f^{-1}$ est continue sur $J$

Dérivabilité
Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)\neq 0$ , alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0=f(x_0)$
Si $f'(x_0)=0$ , la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale en $x_0$ , donc, par symétrie, la courbe $\mathscr{C}_{f^{-1}}$ admet une tangente verticale en $y_0=f(x_0)$ et $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$

Sens de variation
Si $f$ est monotone, alors $f^{-1}$ a la même sens de variation.

Dérivée
Dans le cas où $f'(x_0)\neq 0$ , comme : $\forall x\in I \text{ : } f^{-1}\circ f(x)=x$ , on a : $\left(f^{-1}\right)'(f(x_0))\times f'(x_0)=1$
D'où, en posant $y_0=f(x_0) \text{ : }\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$
Résultat : Si $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ , on a : $\left(f^{-1}\right)'=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}$

3- Fonctions polynômiales et rationnelles

Les fonctions polynômiales de la forme $P\text{ : } x\mapsto \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k x^k \text{ (} n\in\N\text{) }$ sont continues et dérivables sur $\R$ .

Les fonctions rationnelles de la forme $R\text{ : } x\mapsto \displaystyle\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ où $P$ et $Q$ sont des fonctions polynômiales sur $\R$ avec $Q$ non nulle, sont continues et dérivables sur leurs ensembles de définition.

4- Parité, imparité, périodicité

Définiton

Soit $I\subset \R$ , et soit $f\text{ : } I\to \R$
1. On dit que $f$ est paire si : $\forall x \in I \text{ : }-x\in I \text{ et }f(-x) = f(x)$ .
2. On dit que $f$ est impaire si : $\forall x \in I \text{ : }-x\in I \text{ et }f(-x) = -f(x)$ .

Remarques:
Il suffit d'étudier une fonction paire ou impaire sur $I\cap \R^{+}$ pour obtenir toutes les informations nécessaires sur cette fonction.
Une fonction n'est pas toujours paire ou impaire. La négation de "paire" n'est pas "impaire".

Exemple:
Sur $\R$ , $x \mapsto x^2$ est paire, $x \mapsto x^3$ est impaire et $x\mapsto x^2 + x^3$ n'est ni paire ni impaire.

Rappel:
Soit $I\subset \R$ , et soit $f\text{ : } I\to \R$
La droite d'équation $x=a\enskip (a\in\R)$ est un axe de symétrie de la courbe de $f$ si : $\forall x\in I \text{ : } 2a-x\in I \text{ et } f(2a-x)=f(x)$
Le point $M$ de coordonnées $M(a,b)\enskip (a,b\in\R)$ est un centre de symétrie de la courbe de $f$ si : $\forall x\in I \text{ : } a-x\in I \text{ , }a+x\in I \text{ et } f(a-x)+f(a+x)=2b$

Proposition

La courbe représentative d'une fonction paire admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.
La courbe représentative d'une fonction impaire admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

Proposition

Soit $I\subset \R$ , et soit $f\text{ : } I\to \R$ dérivable.
1. Si $f$ est paire, alors $f'$ est impaire.
2. Si $f$ est impaire, alors $f'$ est paire.

Définition

Soient $I\subset \R$ , $f\text{ : } I\to \R$ et $T > 0$ . On dit que $f$ est $T$ -périodique si, $\forall x\in I\text{ : }x + T \in I \text{ et } f(x + T) = f(x)$ .
Dans ce cas $T$ est appelé UNE période de $f$ .
La fonction $f$ est périodique s'il existe $T > 0$ tel que $f$ est $T$ -périodique.

Remarque:
Il suffit donc d'étudier une fonction $T$ -périodique sur un intervalle de longueur $T$ , comme $\left[-\dfrac{T}{2},\dfrac{T}{2}\right]\text{ ou }[0,T]$ par exemple.

Proposition

Soient $I\subset \R$ , $T > 0$ et $f\text{ : } I\to \R$ dérivable et $T$ -périodique.
Alors, $f'$ est $T$ -périodique.

II- Exponentielles, logarithmes, puissances

1- Exponentielle

Définition

Il existe une unique fonction de $\R$ dans $\R$ , appelée exponentielle, notée $\exp$ , dérivable sur $\R$ telle que:
$\begin{cases} \exp(0)=1 \\ \forall x\in\R\text{ : }\exp^{'}(x)=\exp (x)\end{cases}$

Par défnition, $\exp$ est continue et dérivable sur $\R$ .

On a : $\forall x,y\in\R \text{ : } \exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y) \text{ et } \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$

Notation : On pose $\text{e}=\text{e}^{1}$ et on note $\text{e}^{x}=\exp(x)$

Si $r\in\Q$ , on a en particulier : $\forall x\in\R\text{ : }\left(\text{e}^{x}\right)^{r}=\text{e}^{rx}$

On a: $\forall x\in\R\text{ : } \exp(x) >0$ . En particulier, $\exp{'}=\exp$ est strictement positive, donc $\exp$ est strictement croissante sur $\R$ .

Quelques limites usuelles :
On a $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \text{e}^{x}=+\infty\text{ et }\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty$
La courbe représentative de $\exp$ admet une branche parabolique, de direction asymptotique l'axe des ordonnées en $+\infty$

De plus, on a: $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \text{e}^{x}=0$
La courbe représentative de $\exp$ admet une asymptote horizontale en $-\infty$

Généralisation : $\begin{cases} \forall n\in\N \text{ : }\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x^n}=+\infty \\ \forall n\in\N \text{ : }\displaystyle \lim_{x\to-\infty} x^n\text{e}^{x}=0\end{cases}$

On a aussi : $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\text{e}^{x}-1}{x}=1$

2- Logarithme Népérien

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction réciproque de la fonction $\exp$ , elle est définie sur $]0,+\infty[$ .

Cette fonction est bien définie, car $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\R$ , et : $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \text{e}^{x}=0\text{ et }\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \text{e}^{x}=+\infty$

$\ln$ est strictement croissante sur $\R^{*}_{+}$ , comme réciproque d'une fonction strictement croissante.

$\ln$ est continue sur $\R^{*}_{+}$ car $\exp$ est continue sur $\R$ .

$\ln$ est dérivable sur $\R^{*}_{+}$ car $\exp$ est dérivable sur $\R$ et sa dérivée ne s'annule pas sur $\R$ .

$\forall x>0 \text{ : }\ln'(x)=\dfrac{1}{\exp'(\ln(x))}=\dfrac{1}{\exp(\ln(x))}$ . D'où : $\boxed{\forall x>0 \text{ : }\ln'(x)=\dfrac{1}{x}}$ .

On a : $\forall x,y\in\R^{*}_{+} \text{ : } \ln(xy)=\ln(x)+ \ln(y) \text{ et } \ln\left(\dfrac{1}{y}\right)=-\ln(x)$
Si $r\in\Q$ , on a en particulier : $\forall x\in\R^{*}_{+}\text{ : }\ln(x^r)=r\ln(x)$

Quelques limites usuelles :

En utilisant la limite de $\exp$ , on a $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \ln(x)=-\infty\text{ et }\lim_{x\to+\infty} \ln(x)=+\infty$
L'axe des ordonnées $(x=0)$ est une asymptote à la courbe représentative de $\ln$ .

De plus, on a $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ .
La courbe représentative de $\ln$ admet une branche parabolique, de direction asymptotique l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$

Généralisation : $\begin{cases} \forall n\in\N \text{ : }\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n}=0 \\ \forall n\in\N \text{ : }\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} x^n\ln(x)=0\end{cases}$

On a aussi : $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$

3- Fonctions exponentielles quelconques

Définition

Soit $a\in\R^{*}_{+}$ , Pour tout $x$ de $\R$ , on définit $a^x=\exp(x\ln a)$

Soit $a>0$

La fonction $x\mapsto a^{x}$ est définie, continue et dérivable sur $\R$ . On a $a^0=1$ et $a^1=a$

$\forall x\in\R\text{ : } (a^x)'=\ln(a) a^x$

$\forall x\in\R\text{ : } a^x>0$

La fonction $x\mapsto a^{x}$ est strictement croissante si $a>1$ et strictement décroissante si $1>a$ .
Elle est bien évidemment constante si $a=1$ , c'est la fonction constante $1$

Quelques limites usuelles :

Si $a>1 \text{ : }\enskip \displaystyle \lim_{x\to-\infty} a^x=0 \text{ et } \lim_{x\to+\infty} a^x=+\infty$

Si $a<1 \text{ : }\enskip \displaystyle \lim_{x\to-\infty} a^x=+\infty \text{ et } \lim_{x\to+\infty} a^x=0$

4- Fonctions logarithmes quelconques

Définition

Soit $a\in\R^{*}_{+}\backslash\lbrace 1\rbrace$ , Pour tout $x$ de $\R^{*}_{+}$ , on définit le logarithme de base $a$ de $x$ par : $\log_{a}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}$

Il s'agit donc, à un facteur multiplicatif près, de la fonction $\ln$ .

Remarque :
Pour $a\neq 1$ , $\log_a$ est l'application réciproque de $x\mapsto a^x$

5- Fonctions puissances

Définition

Pour $\alpha\in\R$ , on définit $\begin{array}{rccl}~f_{\alpha}: & \mathbb{R}^{*}_{+} & \longrightarrow& \mathbb{R}\\ & x & \mapsto & x^{\alpha}=\text{e}^{\alpha\ln x}\end{array}$

$f_{\alpha}$ est continue et dérivable sur $\R_{+}^{*}$ .

$\forall x>0 \text{ : }f_{\alpha}(x)=\text{e}^{\alpha\ln x}>0$

$\forall x>0 \text{ : }f_{\alpha}'(x)=\dfrac{\alpha}{x}\text{e}^{\alpha\ln x}=\alpha x^{\alpha - 1}$

$\forall \alpha,\beta \in\R \text{ : }x^{\alpha+\beta}=x^{\alpha}x^{\beta} \text{ , }x^{\alpha\beta}=\left(x^{\alpha}\right)^{\beta} \text{ , }x^{-\alpha}=\dfrac{1}{x^{\alpha}}$

Quelques limites usuelles :

Si $\alpha>0 \text{ : }\enskip \displaystyle \lim_{x\to 0} x^{\alpha}=0 \text{ et } \lim_{x\to+\infty} x^{\alpha}=+\infty$

Si $\alpha<0 \text{ : }\enskip \displaystyle \lim_{x\to 0} x^{\alpha}=+\infty \text{ et } \lim_{x\to+\infty} x^{\alpha}=0$

6- Croissance comparée

Proposition

Soient $\alpha>0 \text{ et }a,b>1 \text{ , on a :} \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{a^x}{x^{\alpha}}=+\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log_{b}(x)}{x^{\alpha}}=0$

Preuve:

On a $\ln\left(\dfrac{a^x}{x^{\alpha}}\right)=x\ln a-\alpha\ln x=x\ln a\left(1-\dfrac{\alpha}{\ln a}\dfrac{\ln x}{x}\right)\underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$

Donc : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{a^x}{x^{\alpha}}=\lim_{x\to+\infty} \exp\left(\ln\left(\dfrac{a^x}{x^{\alpha}}\right)\right) =+\infty$

On pose $t=\ln x\enskip \text{ : }\enskip \dfrac{\log_{b}(x)}{x^{\alpha}}=\dfrac{t}{\ln b}\dfrac{1}{\text{e}^{\alpha t}}=\dfrac{1}{\alpha \ln b}\dfrac{\alpha t}{\text{e}^{\alpha t}}\underset{t\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

Ce résultat signifie que le logarithme croît moins vite qu'une puissance , qui à son tour, croît moins vite qu'une exponentielle.

$\boxed{\text{ en }+\infty \text{ : } \enskip \log_{b}(x)<<x^{\alpha}<<a^{x}}$

Proposition

Soient $\alpha<0 \text{ et }a\in]0,1[ \text{ , on a :} \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{a^x}{x^{\alpha}}=0$

Preuve:

On a $\ln\left(\dfrac{a^x}{x^{\alpha}}\right)=x\ln a\left(1-\dfrac{\alpha}{\ln a}\dfrac{\ln x}{x}\right)\underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} -\infty \enskip \text{ puisque } \ln a<0$

Donc : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{a^x}{x^{\alpha}}=\lim_{x\to+\infty} \exp\left(\ln\left(\dfrac{a^x}{x^{\alpha}}\right)\right) =0$

Proposition

Soient $\alpha>0 \text{ et }b>1 \text{ , on a :} \displaystyle \lim_{x\to 0}x^{\alpha}\log_{b}(x)=0$

Preuve:

On pose $t=\ln x\enskip \text{ : }\enskip x^{\alpha}\log_{b}(x)=\dfrac{t}{\ln b}\text{e}^{\alpha t}=\dfrac{1}{\alpha \ln b}\text{ }\alpha t\text{ }\text{e}^{\alpha t}\underset{t\to -\infty}{\longrightarrow} 0\enskip \text{ . En effet : Lorsque }x\to 0 \text{ , }t=\ln x\to -\infty$

Résultat : $\boxed{\text{ en }0 \text{ : } \enskip \log_{b}(x)<<x^{-\alpha}}$

III- Fonctions hyperboliques

1- Fonctions hyperboliques directes

a- Sinus et Cosinus hyperboliques

Définition

On appelle cosinus hyperbolique et on note $\text{ch}\text{ ou }\cosh$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par : $\text{ch}\text{ : } x\mapsto \dfrac{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}{2}$
On appelle sinus hyperbolique et on note $\text{sh}\text{ ou }\sinh$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par : $\text{sh}\text{ : } x\mapsto \dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{2}$

$\text{sh} \text{ et }\text{ch}$ sont continues et dérivables sur $\R$ .

$\forall x\in\R \text{ : } -x\in\R \text{ et }\text{ch}(-x)=\text{ch}(x)$ , donc $\text{ch}$ est une fonction paire.
$\forall x\in\R \text{ : } -x\in\R \text{ et }\text{sh}(-x)=-\text{sh}(x)$ , donc $\text{sh}$ est une fonction impaire.
Il suffit donc d'étudier les deux fonctions sur $\R^{+}$ .

On a, pour tout $x\in\R$ :
$\text{ch}'(x)=\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{2}=\text{sh}(x)$
$\text{sh}'(x)=\dfrac{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}{2}=\text{ch}(x)$

$\forall x\in\R^{+} \text{ : } x\geq -x \text{ , donc } \text{e}^{x}\geq \text{e}^{-x} \text{ , il s'ensuit que } \text{ch}'(x)=\text{sh}(x)\geq 0$
$\text{ch est croissante sur } \R^{+}$

$\forall x\in\R^{+} \text{ : } \text{e}^{x}>0 \text{ et } \text{e}^{-x}>0 \text{ , donc } \text{sh}'(x)=\text{ch}(x)>0$
$\text{sh est strictement croissante sur } \R^{+}$

Tableaux de variation :

$\begin{tabvar}{|C|CCCC|}\hline x& 0 && &+\infty\\\hline \text{ch}'(x)&&&+&\\\hline\text{ch} & \niveau{1}{3}1& &\croit & +\infty \\\hline\end{tabvar}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip \begin{tabvar}{|C|CCCC|}\hline x& 0 && &+\infty\\\hline \text{sh}'(x)&&&+&\\\hline\text{sh} & \niveau{1}{3}0& &\croit & +\infty \\\hline\end{tabvar}$

Formules :
$\forall x\in\R \text{ : } \text{ch}x+\text{sh}x=\text{e}^x \enskip , \enskip \text{ch}x-\text{sh}\text{e}^{-x} \enskip , \enskip \text{ch}^2x-\text{sh}^2 x=1$
$\forall x\in\R^{+} \text{ : } \text{sh}x\leq\dfrac{1}{2}\text{e}^{x}\leq \text{ch} x$

Quelques limites usuelles :

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \text{ch} x=+\infty \text{ et } \lim_{x\to+\infty} \text{ch} x=+\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \text{sh} x=-\infty \text{ et } \lim_{x\to+\infty} \text{sh} x=+\infty$

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\text{ch}x}{x} =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\text{e}^{x}}{x}+\dfrac{\text{e}^{-x}}{x}\right)=+\infty$
La courbe représentative de $\text{ch}$ admet une branche parabolique, de direction asymptotique l'axe des ordonnées en $+\infty$ , et par symétrie en $-\infty$ .

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\text{sh}x}{x} =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\text{e}^{x}}{x}-\dfrac{\text{e}^{-x}}{x}\right)=+\infty$
La courbe représentative de $\text{sh}$ admet une branche parabolique, de direction asymptotique l'axe des ordonnées en $+\infty$ , et par symétrie en $-\infty$ .

b- Tangente hyperbolique

Définition

On appelle tangente hyperbolique et on note $\text{th}\text{ ou }\tanh$ la fonction définie sur $\R$ par : $\text{th}\text{ : } x\mapsto \dfrac{\text{sh}x}{\text{ch} x}$

$\forall x\in\R \text{ : }\text{th} x=\dfrac{\text{sh}x}{\text{ch} x}=\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}=\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1}=\dfrac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}}$ .

$\text{th}$ est continue et dérivable sur $\R$ comme quotient de fonctions dérivables .

$\forall x\in\R \text{ : } -x\in\R \text{ et }\text{th}(-x)=\dfrac{\text{sh}(-x)}{\text{ch}(-x)}=-\dfrac{\text{sh}x}{\text{ch}x}=-\text{th}x$ , donc $\text{th}$ est une fonction impaire, il suffit d'étudier dans $\R^{+}$ et de compléter par la symétrie de centre $O$ .

$\forall x\in\R\text{ : }\text{th}^{'} x =\dfrac{\text{sh}'x\text{ }\text{ch}x-\text{sh}x\text{ }\text{ch}'x}{\text{ch}^2 x}=\dfrac{\text{ch}^2 x-\text{sh}^2 x}{\text{ch}^2 x}=\dfrac{1}{\text{ch}^2 x}>0$

$\text{th est donc strictement croissante sur } \R^{+}$

Tableau de variation :

$\begin{tabvar}{|C|CCCC|}\hline x& 0 && &+\infty\\\hline \text{th}'(x)&&&+&\\\hline\text{th} & \niveau{1}{3}0& &\croit & 1 \\\hline\end{tabvar}$

Quelques limites usuelles :

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \text{th} x=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}}=1\text{ et } \displaystyle \lim_{x\to-\infty} \text{th} x=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1}=-1$

La courbe représentative admet la droite d'équation $y=1$ comme asymptote en $+\infty$ .
Et par symétrie, elle admet la droite d'équation $y=-1$ comme asymptote en $-\infty$ .

2- Fonctions hyperboliques réciproques

a-Argument cosinus hyperbolique

Définition

La restriction de $\text{ch}$ à $\R^{+}$ étant continue et strictement croissante, avec $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \text{ch}x=+\infty \text{ et }\text{ch}0=1$ , admet une application réciproque définie sur $[1,+\infty[$ à valeurs dans $\R^{+}$ , appelée argument cosinus hyperbolique et notée $\text{ Argch }$ ou $\text{ Argcosh}$ . Elle est strictement croissante sur $[1,+\infty[$ .

$\text{Argch}$ est continue sur $[1,+\infty[$ puisque $\text{ ch }$ est continue sur $\R^{+}$ .

$\text{ch }$ est dérivable sur $\R$ et $\text{ch}'( 0) =0 \text{ et }\text{ch}(0) =1$ , donc la fonction $\text{ Argch }$ n'est pas dérivable en $1$ , elle est dérivable sur $]1,+\infty[$ seulement.
$\forall x>1 \text{ : } \text{ Argch}'(x)=\dfrac{1}{\text{ch}'\left(\text{Argch } x\right)}=\dfrac{1}{\text{sh}\left(\text{Argch } x\right)}$

Or, $\text{ch}^2\left(\text{Argch } x\right)-\text{sh}^2\left(\text{Argch } x\right)=1$

D'où : $x^2-1=\text{sh}^2\left(\text{Argch } x\right)$

Et comme $\text{Argch } x\geq 0 \text{ , alors }\text{sh}\left(\text{Argch } x\right)\geq 0 \text{ , donc } \text{sh}\left(\text{Argch } x\right)=\sqrt{x^2-1}$

D'où : $\boxed{\text{Argch}'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\enskip,\enskip \forall x\in]1,+\infty[}$

Le signe de la dérivée confirme le sens de variation .

De plus : $\text{Argch } (1)=0 \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \text{Argch } x=+\infty$

b-Argument sinus hyperbolique

Définition

La fonction $\text{sh}$ étant continue et strictement croissante sur $\R$ , avec $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \text{sh}x=+\infty \text{ et }\lim_{x\to+\infty} \text{sh}x=+\infty$ , admet une application réciproque définie sur $\R$ à valeurs dans $\R$ , appelée argument sinus hyperbolique et notée $\text{ Argsh }$ ou $\text{ Argsinh}$ . Elle est strictement croissante sur $\R$ .

$\text{Argsh}$ est continue sur $\R$ puisque $\text{ sh }$ est continue sur $\R$ .

$\text{sh }$ est dérivable sur $\R$ et $\text{sh}'=\text{ch}$ ne s'annule pas dans $\R$ , donc la fonction $\text{ Argsh }$ est dérivable sur $\R$ .

$\forall x\in\R \text{ : } \text{ Argsh}'(x)=\dfrac{1}{\text{sh}'\left(\text{Argsh } x\right)}=\dfrac{1}{\text{ch}\left(\text{Argsh } x\right)}$

Or, $\text{ch}^2\left(\text{Argsh } x\right)-\text{sh}^2\left(\text{Argsh } x\right)=1$

D'où : $x^2+1=\text{ch}^2\left(\text{Argsh } x\right)$

Et comme $\text{ch }\geq 0 \text{ , alors } \text{ch}\left(\text{Argsh } x\right)=\sqrt{x^2+1}$

D'où : $\boxed{\text{Argsh}'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\enskip,\enskip \forall x\in\R}$

Le signe de la dérivée confirme le sens de variation .

Comme $\text{ sh}$ est impaire, donc $\text{Argsh }$ est une fonction impaire, on fait l'étude sur $\R^{+}$ et on complète par la symétrie de centre $O$ .

De plus : $\text{Argsh } (0)=0 \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \text{Argsh } x=+\infty$

Et par symétrie : $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \text{Argsh } x=-\infty$

c-Argument tangente hyperbolique

Définition

La fonction $\text{th}$ étant continue et strictement croissante sur $\R$ , avec $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \text{th}x=-1 \text{ et }\lim_{x\to+\infty} \text{th}x=1$ , admet une application réciproque définie sur $]-1,1[$ à valeurs dans $\R$ , appelée argument tangente hyperbolique et notée $\text{ Argth }$ ou $\text{ Argtanh}$ . Elle est strictement croissante sur $]-1,1[$ .

$\text{Argth}$ est continue sur $]-1,1[$ puisque $\text{ th }$ est continue sur $\R$ .

$\text{th }$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in\R\text{ : }\text{th}'(x)=\dfrac{1}{\text{ch}^2(x)}\neq 0$ , donc la fonction $\text{ Argth }$ est dérivable sur $]-1,1[$ .

Comme $\text{ th}$ est impaire, donc $\text{Argth }$ est impaire, on fait l'étude sur $[0,1[$ et on complète par la symétrie de centre $O$ .

$\forall x\in[0,1[ \text{ : } \text{ Argth}'(x)=\dfrac{1}{\text{th}'\left(\text{Argth } x\right)}=\dfrac{1}{1-\text{th}^2\left(\text{Argth } x\right)}$

D'où : $\boxed{\text{Argth}'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}\enskip,\enskip \forall x\in [0,1[}$

Le signe de la dérivée confirme le sens de variation .

De plus : $\text{Argth } (0)=0 \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to 1} \text{Argth } x=+\infty$

Et par symétrie : $\displaystyle \lim_{x\to-1} \text{Argth } x=-\infty$

d-Expressions des fonctions hyperboliques réciproques à l'aide d'un logarithme

Proposition

1) $\forall x\in[1,+\infty[\enskip : \enskip \text{Argch} x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$

2) $\forall x\in\R\enskip : \enskip \text{Argsh} x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$

3) $\forall x\in]-1,1[\enskip : \enskip \text{Argth} x=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$

Preuve :

1) Soient $x\geq 1 \text{ et }y\geq 0$ . On a les équivalences suivantes :

$\begin{array}{cl} y=\text{Argch }x &\iff \text{ch } y=x \\\\&\iff \dfrac{\text{e}^{y}+\text{e}^{-y}}{2}=x \\\\&\iff \text{e}^{y}-2x+\text{e}^{-y}=0 \\\\&\iff \text{e}^{2y}-2x\text{e}^{y}+1=0 \enskip (*) \end{array}$

On pose $X=\text{e}^{y}$ , donc : $(*)\iff X^2-2xX+1=0 \text{ avec } X\geq 1$

On obtient deux racines : $X_1=x+\sqrt{x^2-1} \text{ et }X_2=x-\sqrt{x^2-1} \enskip\enskip\enskip (\text{ si } x=1 \text{ : } X_1=X_2=1 )$

Comme $X_1\geq X_2>0 \text{ et } X_1X_2=1$ , on déduit que $X_1$ est la seule racine dans $[1,+\infty[$ .

D'où : $y=\text{Argch }x &\iff \text{e }^{y}=x+\sqrt{x^2-1}\iff y=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$

2) Soient $x,y\in\R$ . On a les équivalences suivantes :

$\begin{array}{cl} y=\text{Argsh }x &\iff \text{sh } y=x \\\\&\iff \dfrac{\text{e}^{y}-\text{e}^{-y}}{2}=x \\\\&\iff \text{e}^{y}-2x-\text{e}^{-y}=0 \\\\&\iff \text{e}^{2y}-2x\text{e}^{y}-1=0 \enskip (*) \end{array}$

On pose $X=\text{e}^{y}$ , donc : $(*)\iff X^2-2xX-1=0 \text{ avec } X>0$

On obtient deux racines : $X_1=x-\sqrt{x^2+1} \text{ et }X_2=x+\sqrt{x^2+1}$

Comme $X_2$ est la seule racine dans $\R^{*}_{+}$ .

D'où : $y=\text{Argsh }x &\iff \text{e }^{y}=x+\sqrt{x^2+1}\iff y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$

3) Soient $x\in]-1,1[ \text{ et }y\in\R$ . On a les équivalences suivantes :

$\begin{array}{cl} y=\text{Argth }x &\iff \text{th } y=x \\\\&\iff \dfrac{\text{e}^{2y}-1}{\text{e}^{2y}+1}=x \\\\&\iff \text{e}^{2y}=\dfrac{1+x}{1-x} \\\\&\iff y=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\end{array}$

IV- Fonctions circulaires

1- Fonctions circulaires directes

a- Cosinus et sinus

$\cos$ et $\sin$ sont définies, continues et dérivables sur $\R$ , à valeurs dans $[-1,1]$ , et : $\cos'=-\sin \enskip \text{ et }\enskip \sin'=\cos$

$\cos \text{ et }\sin\text{ sont }2\pi-\text{périodiques } \enskip \text{ , } \forall x\in\R\text{ : }\enskip \cos(x+2\pi)=\cos x \enskip , \enskip \sin(x+2\pi)=\sin x$

Il suffit donc d'étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur $2\pi$ , comme $[-\pi,\pi]$ par exemple.

$\cos$ est une fonction paire, et $\sin$ est une fonction impaire , en effet : $\forall x\in\R \text{ : }\cos(-x)=\cos(x) \text{ et }\sin(-x)=-\sin(x)$

On peut encore réduire l'intervalle d'étude à $[0,\pi]$

On a $\forall x\in[0,\pi] \text{ : }\cos'(x)=-\sin(x) \leq 0 \text{ , } \cos$ est décroissante sur $[0,\pi]$

De plus, $\forall x\in[0,\pi] \text{ : }\sin'(x)=\cos(x) \text{ , donc } \sin'x\geq 0\enskip \text{ si } x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\enskip \text{ , et }\sin'x\leq 0\enskip \text{ si } x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$

$\sin$ est donc croissante sur $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$

Tableaux de variation :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & 0 & & \pi/2 & & \pi \\ \hline \cos'(x) & & & - & & \\ \hline \hspace{1pt} & 1 & & & & \\ & & \searrow& & & \\ \cos & & & 0 & & \\ \hspace{1pt} & & & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & & & & & -1 &\hline \end{array}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & 0 & & \pi/2 & & \pi \\ \hline \sin'(x) & &+ & \barre{0} & -& \\ \hline \hspace{1pt} & & & 1 & & \\ & & \nearrow& & \searrow & \\ \sin & 0& & & & 0 \\ \hspace{1pt} & & & & & \\ \hspace{1pt} & & & & & &\hline \end{array}$

b- Tangente

$\forall x\in\R \text{ : }\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \text{ avec }\cos x\neq 0$ , donc $x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi \text{ , }k\in\Z$

Le domaine de définition de $\tan$ est donc : $\mathscr{D}_{\tan } = \displaystyle\bigcup_{k\in\Z} \left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi , \dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[$

$\tan$ est continue et dérivable sur $\mathscr{D}_{\tan }$ .

$\tan\text{ est }\pi-\text{périodique }\text{ sur }\mathscr{D}_{\tan } \text{ , en effet : } \forall x\in\mathscr{D}_{\tan }\text{ , }\tan(x+\pi)=\dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\dfrac{-\sin x}{-\cos x }=\tan x$

On peut donc restreindre le domaine d'étude à $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$ .

La fonction $\tan$ est impaire, comme quotient d'une fonction paire et une fonction impaire, on peut donc restreindre d'avantage le domaine d'étude à $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[$

$\forall x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ : }\tan'(x)=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^{'}=\dfrac{\sin'x\cos x-\sin x\cos'x}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

$\tan$ est donc strictement croissante sur $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|}\hline x& 0 && &&&\pi/2\\\hline \text{tan}'(x)&&&&+&&\dbarre\\\hline\niveau{2}{3}\text{tan} & \niveau{2}{3}0& &&\croit &\niveau{3}{3}+\infty&\dbarre \\\hline\end{tabvar}$

Limites :

$\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}} \tan x=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}} \dfrac{\sin x}{\cos x}=+\infty\enskip \enskip\enskip , \enskip \enskip\enskip \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}} \tan x=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{+}} \dfrac{\sin x}{\cos x}=-\infty$

2- Fonctions circulaires réciproques

a- Arc sinus

Définition

La restriction de la fonction $\sin$ à $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ est continue et strictement croissante avec $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ .
Elle admet donc une fonction réciproque définie sur $[-1,1]$ , à valeurs dans $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ , appelée arc sinus, notée $\text{ Arcsin}$ , cette réciproque est strictement croissante sur $[-1,1]$

$\text{Exemples :}\enskip\enskip\sin\left(\text{Arcsin } \dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3} \enskip\enskip ,\enskip \enskip \text{Arcsin }\left(\sin \dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\pi}{8}\enskip \enskip,\enskip \enskip \text{Arcsin }\left(\sin \dfrac{3\pi}{4}\right)=\text{Arcsin }\left(\sin \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}$

Puisque $\sin$ est continue sur $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ , $\text{ Arcsin }$ est continue sur $[-1,1]$ .

$\sin$ est dérivable sur $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ , sa dérivée $\cos$ s'annule en $-\dfrac{\pi}{2}\text{ et en }\dfrac{\pi}{2}$ avec $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ .

Donc $\text{ Arcsin }$ est dérivable sur $]-1,1[$ .

$\forall x\in]-1,1[ \text{ : }\text{ Arcsin}'(x)=\dfrac{1}{\cos(\text{Arcsin}(x))}$

Or, $\cos^2(\text{Arcsin}(x))+\sin^2(\text{Arcsin}(x))=1$ , donc $\cos^2(\text{Arcsin}(x))=1-x^2$

Et comme $\text{Arcsin}(x) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \text{ alors } \cos(\text{Arcsin}(x))\geq 0$

D'où : $\cos(\text{Arcsin}(x))=\sqrt{1-x^2}$ .

On conclut que : $\boxed{\forall x\in]-1,1[\text{ : } \text{ Arcsin}'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

De plus, $\text{Arcsin}$ est une fonction impaire comme réciproque d'une fonction impaire, l'intervalle d'étude peut être réduit à $[0,1]$

$\text{Arcsin}(0)=0\text{ et }\text{Arcsin}(1)=\dfrac{\pi}{2}$

b- Arc cosinus

Définition

La restriction de la fonction $\cos$ à $\left[0,\pi\right]$ est continue et strictement décroissante avec $\cos(0)=1$ et $\cos(\pi)=-1$ .
Elle admet donc une fonction réciproque définie sur $[-1,1]$ , à valeurs dans $\left[0,\pi\right]$ , appelée arc cosinus, notée $\text{ Arccos}$ , cette réciproque est strictement décroissante sur $[-1,1]$

$\text{Exemples :}\enskip\enskip\cos\left(\text{Arccos } \dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{2}{3} \enskip\enskip ,\enskip \enskip \text{Arccos }\left(\cos \dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{\pi}{5}\enskip \enskip,\enskip \enskip \text{Arccos }\left(\cos \dfrac{4\pi}{3}\right)=\text{Arccos }\left(\cos \dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$

Puisque $\cos$ est continue sur $[0,\pi]$ , $\text{ Arccos }$ est continue sur $[-1,1]$ .

$\cos$ est dérivable sur $[0,\pi]$ , sa dérivée $-\sin$ s'annule en $0\text{ et en }\pi$ avec $\cos\left(0\right)=1$ et $\cos\left(\pi)=-1$ .

Donc $\text{ Arccos }$ est dérivable sur $]-1,1[$ .

$\forall x\in]-1,1[ \text{ : }\text{ Arccos}'(x)=\dfrac{1}{\cos'(\text{Arccos}(x))}=-\dfrac{1}{\sin(\text{Arccos}(x))}$

Or, $\cos^2(\text{Arccos}(x))+\sin^2(\text{Arccos}(x))=1$ , donc $\sin^2(\text{Arccos}(x))=1-x^2$

Et comme $\text{Arccos}(x) \in \left[0,\pi\right] \text{ alors } \sin(\text{Arccos}(x))\geq 0$

D'où : $\sin(\text{Arccos}(x))=\sqrt{1-x^2}$ .

On conclut que : $\boxed{\forall x\in]-1,1[\text{ : } \text{ Arccos}'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

$\text{Arccos}(-1)=\pi\text{ , }\text{Arccos}(0)=\dfrac{\pi}{2}\text{ et }\text{Arccos}(1)=0$

c- Arc tangente

Définition

La restriction de la fonction $\tan$ à $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$ est continue et strictement croissante avec $\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}} \tan x=+\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}} \tan x=-\infty$ .
Elle admet donc une fonction réciproque définie sur $\R$ , à valeurs dans $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$ , appelée arc tangente, notée $\text{ Arctan}$ , cette réciproque est strictement croissante sur $\R$

$\text{Exemples :}\enskip\enskip\tan\left(\text{Arctan } 5\right)=5 \enskip\enskip ,\enskip \enskip \text{Arctan }\left(\tan \dfrac{\pi}{7}\right)=\dfrac{\pi}{7}\enskip \enskip,\enskip \enskip \text{Arctan }\left(\tan \dfrac{8\pi}{7}\right)=\text{Arctan }\left(\tan \dfrac{\pi}{7}\right)=\dfrac{\pi}{7}$

Puisque $\tan$ est continue sur $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$ , $\text{ Arctan }$ est continue sur $\R$ .

$\tan$ est dérivable sur $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$ , sa dérivée $1+\tan^2$ ne s'annule pas , donc $\text{ Arctan }$ est dérivable sur $\R$ .

$\forall x\in\R \text{ : }\text{ Arctan}'(x)=\dfrac{1}{\tan'(\text{Arctan}(x))}=\dfrac{1}{1+\tan^2(\text{Arctan } x)}$

Donc : $\boxed{\forall x\in \R \text{ : }\text{ Actan}'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}}$

De plus, la fonction $\text{ Arctan }$ est impaire comme réciproque d'une fonction impaire.

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \text{Arctan } x=-\dfrac{\pi}{2} \enskip ,\enskip \text{Arctan } (0)=0 \text{ et } \lim_{x\to+\infty} \text{Arctan } x=\dfrac{\pi}{2}$ .

Publié par malou/Panter le 20-02-2022

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