Soit l'ensemble de définition de la fonction , on a :
Donc
étant une fonction rationnelle, est continue et dérivable sur .
La fonction n'est ni paire, ni impaire.
Posons , a deux racines réelles et . Ce sont les deux zéros de
Donc
De plus
Et
Le tableau de variation de :
Interprétation géométrique des limites :
La courbe représentative de la fonction admet une asymptote verticale d'équation à gauche et à droite .
On a , et La courbe admet la droite d'équation comme asymptote oblique au voisinage de et de .
exercice 2
L'ensemble de définiton de la fonction est , en effet : .
est continue et dérivable sur comme composée de dérivable sur , à valeurs dans , par la fonction , continue et dérivable sur .
, donc est strictement croissante sur .
La courbe admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en
Interprétation géométrique :
On a , donc
D'où La courbe admet la première bissctrice comme asymptote oblique en
Enfin, puisque , l'équation de la droite tangente à en est :
Remarque : L'allure de cette fonction peut faire penser à , or n'a pas d'asymptote oblique mais une branche parabolique suivant l'axe des ordonnées au voisinage de .
exercice 3
1. Les solutions éventuelles de l'équation vérifient nécessairement et . Elles appartiennent donc à
Dans l'intervalle
Les solutions de cette équation sont :
Seul convient, donc l'ensemble des solutions de l'équation est :
2. Les solutions de l'équations vérifient . Elles appartiennent donc à .
Pour , on a :
Les solutions sont donc les réels de l'intervalle vérifiant
Autrement dit , les solutions sont
Puisque est la seule solution appartenant à , l'ensemble des solutions de l'équation est :
3. Les solutions de l'équation doivent appartenir à
Pour , on a :
Les solutions sont donc les réels de l'intervalle vérifiant
Autrement dit . Cette équation admet pour unique solution
L'ensemble des solutions de l'équation est :
exercice 4
est continue et dérivable sur , et paire .
Il suffit d'étudier sur .
le signe de n'est pas simple à étudier, on calcule la dérivée seconde de .
est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur
De plus, on a :
On déduit le tableau de variation de :
Enfin, puisque .
On calcule : .
La courbe de admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées en .
De plus, pour tracer la tangente en d'équation :
exercice 5
est définie, continue et dérivable sur , par composée et produit.
Le signe de est celui de
Calcul des limites :
Tableau de variation de :
Interprétation géométrique :
On en déduit que la droite d'équation est asymptote oblique à la courbe de au voisinage de et de
La courbe de admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale à gauche .
On calcule On en tire que admet une demi-tangente horizontale à droite de .
Concavité :
est dérivable sur , alors
Le signe de est celui de
Point d'inflexion
exercice 6
1. est continue et dérivable sur car la fonction l'est sur cet intervalle et ne s'annule pas.
Puisque la fonction est strictement positive sur l'intervalle , alors est strictement décroissante sur cet intervalle.
On a de plus : La courbe admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale à droite .
Tableau de variation :
On a vu que est continue et strictement décroissante sur à valeurs dans puisque
On conclut que :
2. Remarquons tout d'abord que la dérivée de ne s'annule pas sur . L'application est donc dérivable sur et :
Puisque pour tout , donc : , ce qui implique
De plus, comme et que est positif sur , on a également d'après la relation :
Finalement, on en déduit que pour tout
Conclusion :
3. On trace la courbe de la fonction étudiée , et on en déduit la courbe de par symétrie par rapport à la première bissectrice.
exercice 7
1.
Méthode 1 :
On pose .
est continue sur et dérivable sur .
.
La fonction est donc constante sur , or, puisqu'elle est continue sur , elle est constante sur .
Or , d'où le résultat.
Méthode 2 :
On a , donc
Or
Donc comme unique élément de dont le sinus vaut .
2.
On pose
sont dérivables sur car :
est dérivable sur , à valeurs dans et est dérivable sur .
et sont dérivables sur .
On en déduit que
3.a)
Méthode 1 :
On pose .
Puisque et sont des fonctions continues et dérivables sur . Alors est dérivable sur par composition .
est donc constante sur , et puisque
Méthode 2 :
Puisque , alors . Donc
On en déduit
Donc comme unique élément de dont la tangente vaut .
3.b)
Comme est impaire, alors :
exercice 8
Soit l'ensemble de définition de , on a :
On en déduit que
On a : . Donc est , le domaine d'étude devient .
De plus est impaire, puisque est impaire.
Il suffit donc d'étudier sur
est continue et dérivable sur . Donc :
On a :
Le tableau de variation de la fonction :
Interprétation géométrique :
La courbe de admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale à droite .
La tangente en a pour équation :
On obtient :
Etudions la position de la courbe de par rapport à la tangente en .
On pose
est dérivable sur et on a :
Et :
On en tire que sur
On conclue que la courbe de est en-dessous de la tangente sur
exercice 9
1. La fonction est définie sur et est définie sur , alors :
2. La fonction est définie sur et est définie sur , alors :
3. De même :
4. Et :
5. On sait que
Et puisque , alors :
Or, la fonction est positive sur , donc :
6. On a :
Or, sont de même signe sur , donc :
7. n'est pas définie en
Alors
8.
On a
De plus :
Et
Donc :
9. est définie sur :
Pour tout réel de , il existe un unique et donc . Alors :
On en tire que :
Si
Si
D'où :
10.
est définie sur , on doit avoir
, il existe un unique tel que et bien évidemment
On a alors :
Si
Si
Si
D'où :
exercice 10
Méthode 1 :
On applique les formules trigonométriques :
D'où :
On en déduit :
Encadrements:
Il vient
Le seul réel de cet intervalle égale à à près est bien , d'où :
Méthode 2 :
On utilise le fait que : si , alors, en notant son argument : .
Si . Donc est un argument de .
On a donc :
Doù :
Calcul :
Il s'ensuit que
On en déduit que
Encadrements:
Il vient
Le seul réel de cet intervalle égale à à près est bien , d'où :
exercice 11
Notons
Si , alors directement :
Si :
Comme et qu'on a , on peut écrire :
On factorise par l'angle moitié :
Comme , alors :
En remplaçant par et par , on obtient par imparité de :
On obtient finalement :
exercice 12
1. On trouve le domaine de validité de cette équation :
On rappelle que est bijective sur , donc injective :
On en déduit :
2. On trouve le domaine de validité de cette équation :
On a pour tout :
Et puisque
Il s'ensuit que :
On en déduit :
3.
Recherche de l'ensemble de validité de l'équation :
Si est solution, alors existe, donc .
De plus , n'est pas solution car
Enfin si , alors , puis , donc n'est pas solution.
On peut donc supposer que
Notons :
On considère la fonction définie sur par :
est dérivable sur et :
D'où le tableau de variation de :
On en déduit que s'annule en deux points.
On remarque facilement que
Ainsi :
Et comme , on conclut que l'ensemble des solutions de l'équation proposée est :
Contrôle :
exercice 13
La fonction est définie sur .
est donc une fonction paire, on étudie sur
est continue et dérivable sur , en effet, n'est pas dérivable en :
Elle est pourtant dérivable à gauche et à droite de .
On calcule la dérivée :
On a :
s'annule en
Tableau de variation de :
Interprétation géométrique :
La courbe de admet une tangente verticale en .
La courbe de admet une tangente horizontale en .
On a:
Donc, la courbe de admet une branche parabolique en , de direction asymptotique l'axe des ordonnées .
est dérivable à droite de , sa courbe admet donc une demi-tangente à droite de pente d'équation : .
Position de la courbe de par rapport à la tangente :
est dérivable sur et on a :
Il s'ensuit que
On en déduit que la courbe de est en-dessus de la demi-tangente à droite en .
est dérivable à gauche de , sa courbe admet donc une demi-tangente à gauche de pente d'équation : .
Position de la courbe de par rapport à la tangente :
est dérivable sur et on a :
Il s'ensuit que
On en déduit que la courbe de est en-dessous de la demi-tangente à gauche en .
exercice 14
La fonction est définie sur . Et il n'y a pas de réduction du domaine d'étude.
On écrit l'expression de la fonction sans valeur absolue :
Etude sur l'intervalle
est continue et dérivable sur .
On pose , est dérivable sur et on a :
De plus :
On en déduit que :
Etude sur l'intervalle
est continue et dérivable sur .
On pose , est dérivable sur et on a :
De plus :
On en déduit que :
Calcul de limites :
On calcule directement les limites suivantes :
Et :
Le tableau de variation de :
Interprétation géométrique :
La courbe de admet la première bissectrice (d'équation ) comme asymptote oblique en
De plus, la courbe est au-dessus de cette asymptote pour et en-dessous pour (intersection au point )
La courbe de admet la première bissectrice (d'équation ) comme asymptote oblique en
De plus, la courbe est au-dessus de cette asymptote pour et en-dessous pour (intersection au point )
La courbe de admet l'axe des ordonnées (d'équation ) comme asymptote verticale à gauche et à droite .
On remarque enfin que
La courbe traverse l'axe des abscisses pour une valeur de comprise entre et
exercice 15
est définie et continue sur , comme produit et composée de fonctions continues .
On a
On écrit l'expression de la fonction sans valeur absolue :
n'est pas dérivable en , elle ne l'est ni à droite, ni à gauche de , en effet :
est donc dérivable sur
Le signe de étant celui de , on en déduit que :
Le signe de étant celui de , on en déduit que :
Calcul des limites :
De plus, on a :
Tableau de variation de :
Interprétation géométrique des limites :
On calcule alors :
On en déduit que la courbe de présente une demi-tangente horizontale à l'origine dirigée vers la gauche .
La courbe de admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale à droite .
Non dérivabilité de en , ni à gauche, ni à droite : La courbe admet en une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
La courbe de admet la droite d'équation comme asymptote oblique au voisinage de
La courbe de admet la droite d'équation comme asymptote oblique au voisinage de
Etude de la concavité :
On a :
De même
Donc :
est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables, alors :
Puisque dans , le signe de est celui de
On en déduit la concavité de :
Avec et les points d'inflexion :
exercice 16
1. La fonction est continue sur , paire, strictement croissante sur , avec :
Donc :
l'équation n'admet pas de solution .
l'équation admet une solution unique .
l'équation admet deux solutions opposées, donc :
On obtient une équation du second degré en dont le discriminant est :
Elle admet donc deux solutions :
De plus,
On en déduit que et sont deux réels strictement positifs, il s'ensuit :
2.
sont définies, continues et dérivables sur
Et d'après la question précédente :
On note
La fonction est définie, continue et dérivable sur
est impaire et est paire, alors est impaire, on réduit le domaine d'étude à
Calcul des limites :
.
Tableau de variation :
On a
Branches infinies :
La droite d'équation est asymptote horizontale à la courbe de au vosinage de
La droite d'équation est asymptote verticale à la courbe de à gauche et à droite.
L'équation de la tangente à la courbe de en : En effet :
exercice 17
est définie, continue et dérivable sur par quotient et composée de fonctions continues et dérivables sur cet ensemble.
est donc strictement croissante sur
Calcul des limites :
Tableau de variation :
Interprétation géométrique des limites :
La courbe admet la droite d'équation comme asymptote horizontale au voisinage de et de
Calculons On a :
On pose
Donc :
On en tire que admet une demi-tangente horizontale à gauche de
On calcule de même
Donc admet une demi-tangente horizontale à droite de
exercice 18
est définie si et seulement si
Or :
D'où :
Il s'ensuit que
est donc définie et continue sur , par quotient et composée de fonctions continues.
est une fonction parce que et le sont .
La courbe de est symétrique par rapport à la droite d'équation , en effet :
La courbe de est aussi symétrique par rapport au point de coordonnées , en effet :
Donc :
Par symétrie et périodicité, on peut restreindre l'intervalle d'étude à
est dérivable sur , sont dérivables sur , et la fonction racine carrée est dérivable sur .
Donc n'est pas dérivable si et si
Or,
Et
On en déduit que est dérivable sur
On pose
Donc :
Calculons d'abord :
Et puisque est positive sur , on a :
On en déduit donc que :
Tableau de variation :
, l'équation de la tangente au point de symétrie est
De plus , la courbe de admet une demi-tangente en d'équation :
exercice 19
, donc est définie, continue et dérivable sur .
Résolvons :
Donc est définie, continue sur . Et comme n'est pas dérivable en et , la dérivabilité n'est pas assurée si :
La fonction est paire, on fait donc l'étude sur .
On pose , est dérivable sur et on calcule :
Puisque
Or :
D'où :
Sur , le signe de est celui de
Ensuite :
Donc
La courbe de admet la droite d'équation comme asymptote horizontale au voisinage de
Enfin, on a :
Tableau de variation :
Comportement de la courbe de en :
n'étant pas dérivable en , on calcule la limite de à gauche et à droite de
On sait que , donc :
La courbe de admet une demi-tangente à droite en d'équation :
De même , , donc :
La courbe de admet une demi-tangente à gauche en d'équation :
exercice 20
La fonction est définie, continue et dérivable sur comme produit de fonctions continues et dérivables sur .
On pose
est dérivable sur
Le signe de est celui du trinôme
Donc
De plus :
L'équation n'admet donc qu'une seule solution
Encadrement de :
Donc : , on tombe approximativement sur
Tableau de variation de :
Les limites de la fonction :
On en déduit le tableau de variation de la fonction :
Interprétation géométrique des limites :
La courbe de admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de et de .
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.
)
.
+\log_{10}(x+3)=2)
-\ln(2x-1)+\ln(2)=0)
+\ln(x-4)-2\ln(x+1)=0)
)
.
\text{ e}^{-\frac{1}{x}})
.
![f\text{ : }x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ \mapsto \dfrac{1}{\sin(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f\text{ : }x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ \mapsto \dfrac{1}{\sin(x)})
et montrer qu'elle est une bijection de ![\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[)
dans un intervalle que l'on déterminera.
.
et de ![\text{ }\enskip\enskip \forall x\in[-1,1]\text{ : }\text{Arccos}(x)+\text{Arcsin}(x)=\dfrac{\pi}{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ }\enskip\enskip \forall x\in[-1,1]\text{ : }\text{Arccos}(x)+\text{Arcsin}(x)=\dfrac{\pi}{2})
-\text{Arcsin(th}(x))=\dfrac{\pi}{2})
+\text{Arctan}\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\pi}{2})
+\text{Arctan}\left(\dfrac{1}{x}\right))
si 
-\dfrac{1}{\tan(x)})
.
![\forall x\in[-1,1]\text{ : }\cos(\text{Arcsin } (x))=\sin(\text{Arccos}(x))=\sqrt{1-x^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in[-1,1]\text{ : }\cos(\text{Arcsin } (x))=\sin(\text{Arccos}(x))=\sqrt{1-x^2})
))
))
))
))
))
))
))
))
))
)
grâce à cette formule .
et 
deux réels .
 \text{ et } \sum_{k=0}^{n} \text{ sh }(a+kb))
.
.
|})
.
en fonction de 
. En discutant suivant les valeurs de 
.
.
)
.
}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\right))
.
et par rapport au point de coordonnées )
.
)
.
^2\text{ Arctan }x)
.
l'ensemble de définition de la fonction 
.
=\left(\dfrac{x^2+1}{x+3}\right)^{'}=\dfrac{2x(x+3)-(x^2+1)}{(x+3)^2}=\dfrac{x^2+6x-1}{(x+3)^2})
=x^2+6x-1)
, 
a deux racines réelles 
et 
. Ce sont les deux zéros de )
![\forall x\in]-\infty, b]\cup[a,+\infty[ \text{ : } f'(x)\geq 0 \enskip \text{ et }\enskip \forall x\in[b,-3[\cup]-3,a] \text{ : } f'(x)\leq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]-\infty, b]\cup[a,+\infty[ \text{ : } f'(x)\geq 0 \enskip \text{ et }\enskip \forall x\in[b,-3[\cup]-3,a] \text{ : } f'(x)\leq 0)
=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+1}{x+3}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim_{x\to-\infty}x=-\infty \enskip \enskip \text{ , de même }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x=+\infty )
=\lim_{x\to-3^{-}}\dfrac{x^2+1}{x+3}=-\infty \enskip \enskip \text{ , }\displaystyle\lim_{x\to-3^{+}}f(x)=\lim_{x\to-3^{+}}\dfrac{x^2+1}{x+3}=+\infty )
\approx 0,32 \text{ et }f(b)\approx -12)
 & & + & \barre{0} & - & &\dbarre&&-&\barre{0}&+&\\ \hline& && f(b)\approx -12 & &&\dbarre &+\infty& & & &+\infty \\f & &\nearrow & &\searrow &&\dbarre&&\searrow&&\nearrow& \\ & -\infty & & & & -\infty &\dbarre&&& f(a)\approx 0,32&& \\ \hline \end{array})
=-\infty \enskip \enskip \text{ et }\displaystyle\lim_{x\to-3^{+}}f(x)=+\infty )
représentative de la fonction 
à gauche et à droite .
=-\infty \enskip \enskip \text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty )
}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2+3x}=1)
, et -x=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-3x+1}{x+3}=-3)
comme asymptote oblique au voisinage de 
et de 
.
, en effet : 
.
comme composée de 
dérivable sur 
, par la fonction 
, continue et dérivable sur 
.
=\dfrac{(1+\text{e}^{x})'}{1+\text{e}^{x}}=\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}>0)
, donc =\lim_{x\to-\infty}\ln(1+\text{e}^x)=\ln 1 =0)
=\lim_{x\to+\infty}\ln(1+\text{e}^x)=+\infty)
)
, donc =\ln \text{e}^x+\ln(1+\text{e}^{-x})=x+\ln(1+\text{e}^{-x}))
-x=\lim_{x\to+\infty}\ln(1+\text{e}^{-x})=0)
=\ln(2) \text{ et }f'(0)=\dfrac{1}{2})
, l'équation de la droite tangente )
à 
est : \text{ : } y=\dfrac{1}{2}x+\ln (2))
, or 
et 
. Elles appartiennent donc à ![]2,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]2,+\infty[)
![]2,+\infty[ \enskip\text{ : }\enskip \log_{10}(x-2)+\log_{10}(x+3)=2 \iff 10^{\log_{10}(x-2)+\log_{10}(x+3)=2}=100\iff (x-2)(x+3)=100\iff x^2+x-106=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]2,+\infty[ \enskip\text{ : }\enskip \log_{10}(x-2)+\log_{10}(x+3)=2 \iff 10^{\log_{10}(x-2)+\log_{10}(x+3)=2}=100\iff (x-2)(x+3)=100\iff x^2+x-106=0)
convient, donc l'ensemble des solutions de l'équation est : 
. Elles appartiennent donc à ![]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,+\infty[)
.
![x\in ]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in ]1,+\infty[)
, on a : -\ln(2x-1)+\ln(2)=\ln\left(\dfrac{2(x^2-1)}{2x-1}\right))
}{2x-1}=1)
, les solutions sont 
![]4,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]4,+\infty[)
![x\in ]4,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in ]4,+\infty[)
, on a : -\ln(x-4)+2\ln(x+1)=\ln\left(\dfrac{(x+2)(x-4)}{(x+1)^2}\right))
(x-4)}{(x+1)^2}=1)
(x-4)=(x+1)^2)
. Cette équation admet pour unique solution ![x_0=-\dfrac{9}{4} \notin ]4,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x_0=-\dfrac{9}{4} \notin ]4,+\infty[)
.
=\left(x\text{Argsh}(x)\right)'=\text{Argsh}(x)+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}})
n'est pas simple à étudier, on calcule la dérivée seconde de 
=\lim_{x\to+\infty}x\text{Argsh}(x)=+\infty )
=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\text{Argsh}(x)=+\infty \text{ puisque }\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=1)
=0 \text{ et } f(0)=0)
 & & + & \\ \hline & & & +\infty \\ f' & &\nearrow &\\ & 0 & (+)& \\ \hline & & & +\infty\\ f & &\nearrow & \\ & 0 & &\\ \hline \end{array} )
=+\infty )
.
}{x}=\lim_{x\to+\infty}\text{ Argsh}(x)=+\infty )
.
d'équation : x+f(1)-f'(1)\enskip \text{ , on calcule } f(1)=\text{Argsh}(1)\approx 0,88 \text{ et }f'(1)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\text{Argsh}(1)\approx 1,59 )
, par composée et produit.
=\text{ e}^{\frac{1}{x}}+(x-2)\dfrac{1}{x^2} \text{ e}^{-\frac{1}{x}}=(x^2+x-2)\dfrac{\text{ e}^{\frac{-1}{x}}}{x^2}=(x-1)(x+2)\dfrac{\text{ e}^{-\frac{1}{x}}}{x^2})
)
est celui de (x+2))
=\lim_{x\to-\infty}(x-2)\text{e}^{-\frac{1}{x}}=-\infty)
=\lim_{x\to+\infty}(x-2)\text{e}^{-\frac{1}{x}}=+\infty)
=\lim_{x\to 0^{-}}(x-2)\text{e}^{-\frac{1}{x}}=-\infty)
=\lim_{x\to 0^{+}}(x-2)\text{e}^{-\frac{1}{x}}=0)
=-4\sqrt{\text{e}} \enskip \text{et }\enskip f(1)=-\dfrac{1}{\text{e}})
 & & + & \barre{0} & - & &\dbarre&&-&\barre{0}&+& \\ \hline & & & -4\sqrt{\text{e}} & & &\dbarre &0& & & &+\infty \\ f & &\nearrow & &\searrow &&\dbarre&&\searrow&&\nearrow& \\ & -\infty & & & & -\infty &\dbarre&&& -1/\text{e}&& \\ \hline \end{array} )
}{x}=\lim_{x\to\pm\infty} \left(1-\dfrac{2}{x}\right)\text{e}^{1/x}=1)
![\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} f(x)-x=\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} x \left[\text{e}^{-1/x}-1\right]-2\text{ e}^{-1/x}=\displaystyle \lim_{t\to 0} -\dfrac{1}{t} \left(\text{e}^{t}-1\right)-2\text{ e}^{t}=-3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} f(x)-x=\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} x \left[\text{e}^{-1/x}-1\right]-2\text{ e}^{-1/x}=\displaystyle \lim_{t\to 0} -\dfrac{1}{t} \left(\text{e}^{t}-1\right)-2\text{ e}^{t}=-3)
=-\infty)
=0)
= \lim_{x\to 0^{+}} (x-1)(x+2)\dfrac{\text{ e}^{-\frac{1}{x}}}{x^2}= \lim_{t\to -\infty} \left(-\dfrac{1}{t}-1\right)\left(-\dfrac{1}{t}+2\right)t^2\text{ e}^{t}=0)
=\left((x^2+x+2)\dfrac{\text{ e}^{\frac{-1}{x}}}{x^2}\right)'=\left(\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)\text{ e}^{\frac{-1}{x}}\right)'=\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4x}{x^4}\right)\text{e}^{-1/x}+\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)\times \dfrac{1}{x^2}\text{ e}^{-1/x}=\left(\dfrac{5}{x^3}-\dfrac{2}{x^4}\right)\text{e}^{-1/x}=\dfrac{(5x-2)\text{ e}^{-1/x}}{x^4})
est celui de 
 & & - & \dbarre & - &\barre{0} & + & \\ \hline f & &\text{concave}& \dbarre & \text{concave}& I &\text{convexe}& \\ \hline \end{array})
\right)\approx (0.4 , -0.13))
![]0,\frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,\frac{\pi}{2}[)
car la fonction 
l'est sur cet intervalle et ne s'annule pas.
![\forall x\in]0,\frac{\pi}{2}[ \text{ : } f'(x)=-\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0,\frac{\pi}{2}[ \text{ : } f'(x)=-\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)})
est strictement positive sur l'intervalle =\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{\sin (x)}=+\infty \enskip \text{ et } \displaystyle\lim_{x\to \frac{{\pi}}{2}^{-}}}f(x)=\lim_{x\to \frac{{\pi}}{2}^{-}}}\dfrac{1}{\sin (x)}=1)
&&\dbarre&&&-&&\dbarre\\\hline\niveau{2}{3}f & &\niveau{3}{3}\dbarre&+\infty& &\decroit &\niveau{1}{3}1&\dbarre \\\hline\end{tabvar})
![f(]0,\frac{\pi}{2}[)=]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(]0,\frac{\pi}{2}[)=]1,+\infty[)
puisque =+\infty \enskip \text{ et } \displaystyle\lim_{x\to \frac{{\pi}}{2}^{-}}}f(x)=1)
![\boxed{f\text{ est une bijection de }\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \text{ dans } ]1,+\infty[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{f\text{ est une bijection de }\left]0,\frac{\pi}{2}\right[ \text{ dans } ]1,+\infty[})
![\forall x\in]1,+\infty[\enskip \text{ : }\enskip (f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}=-\dfrac{\sin^2\left(f^{-1}(x)\right)}{\cos\left(f^{-1}(x)\right)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]1,+\infty[\enskip \text{ : }\enskip (f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}=-\dfrac{\sin^2\left(f^{-1}(x)\right)}{\cos\left(f^{-1}(x)\right)})
![x\in]1,+\infty[\text{ : } f(f^{-1}(x))=x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]1,+\infty[\text{ : } f(f^{-1}(x))=x)
, donc : \right)}=x)
, ce qui implique \right)=\dfrac{1}{x})
![f^{-1}(x)\in]0,\frac{\pi}{2}[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f^{-1}(x)\in]0,\frac{\pi}{2}[)
et que \right)+\cos^2\left(f^{-1}(x)\right)=1)
:
\right)=\sqrt{1-\sin^2\left(f^{-1}(x)\right)}=\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}})
![x\in]1,+\infty[\text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]1,+\infty[\text{ : })
'(x)=-\dfrac{1}{x^2\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}}=-\dfrac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-1}})
![\boxed{ \forall x\in ]1,+\infty[ \text{ : } (f^{-1})'(x)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{ \forall x\in ]1,+\infty[ \text{ : } (f^{-1})'(x)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} })
=\text{Arccos}(x)+\text{Arcsin}(x))
.
![[-1,1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-1,1])
et dérivable sur ![]-1,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1,1[)
.
![\forall x\in]-1,1[\text{ : }f'(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]-1,1[\text{ : }f'(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0)
.
=\text{Arccos}(0)+\text{Arcsin}(0)=\dfrac{\pi}{2})
, d'où le résultat.
![\text{Arccos}(x)\in[0,\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Arccos}(x)\in[0,\pi])
, donc ![\dfrac{\pi}{2}-\text{Arccos}(x)\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{\pi}{2}-\text{Arccos}(x)\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right])
\right)=\cos\left(\text{Arccos}(x)\right)=x)
=\text{Arcsin}(x))
comme unique élément de ![\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right])
dont le sinus vaut 
.
=\text{Arcsin(th}(x)) \text{ et }g(x)= 2\text{Arctan(e}^{x})-\dfrac{\pi}{2})
sont dérivables sur 
est dérivable sur 
est dérivable sur 
et 
sont dérivables sur =\dfrac{1}{\sqrt{1-\text{th }^2(x)}}\times \left(1-\text{ th}^2(x)\right)=\sqrt{1-\text{th }^2(x)}=\dfrac{1}{\text{ch }(x)})
=\dfrac{2\text{ e}^x}{1+\text{ e}^{2x}}=\dfrac{2}{\text{ e}^{x}+\text{ e}^{-x}}=\dfrac{1}{\text{ ch}(x)})
=g'(x) \enskip \text{ , or }\enskip f(0)=g(0)=0)
=\text{Arctan}(x)+\text{Arctan}\left(\dfrac{1}{x}\right))
.
et 
sont des fonctions continues et dérivables sur ![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
. Alors ![\forall x\in]0,+\infty[\enskip \text{ : }\enskip f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2}\times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0,+\infty[\enskip \text{ : }\enskip f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2}\times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=0)
=2\text{Arctan}(1)=\dfrac{\pi}{2})
![x\in]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]0,+\infty[)
, alors ![\dfrac{1}{x} \in]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{1}{x} \in]0,+\infty[)
. Donc ![\text{Arctan}\text{ }\dfrac{1}{x}\in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Arctan}\text{ }\dfrac{1}{x}\in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[)
![\dfrac{\pi}{2}-\text{Arctan }\dfrac{1}{x}\in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{\pi}{2}-\text{Arctan }\dfrac{1}{x}\in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[)
=\dfrac{1}{\tan\left(\text{Arctan }\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}=x)
)
comme unique élément de 
est impaire, alors :
+\text{Arctan}\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{\pi}{2})
![x\in\mathscr{D}_f\iff x\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Z} \left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi , \dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[ \text{ et } \tan(x)\neq 0 \iff x\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Z} \left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi , \dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[ \text{ et } \enskip(x\neq 0+k\pi \text{ , }k\in\Z)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in\mathscr{D}_f\iff x\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Z} \left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi , \dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[ \text{ et } \tan(x)\neq 0 \iff x\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Z} \left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi , \dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[ \text{ et } \enskip(x\neq 0+k\pi \text{ , }k\in\Z))
![\mathscr{D}_f=\displaystyle\bigcup_{k\in\Z} \left]k\dfrac{\pi}{2} , (k+1)\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathscr{D}_f=\displaystyle\bigcup_{k\in\Z} \left]k\dfrac{\pi}{2} , (k+1)\dfrac{\pi}{2}\right[ )
=-\dfrac{1}{\tan(x)}+\tan(x)=f(x))
. Donc 
, le domaine d'étude devient 
est impaire.
![\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right])
![\forall x\in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right]\enskip \text{ : }\enskip f'(x)=1+\tan^2(x)+\dfrac{1+\tan^2(x)}{\tan^2(x)}=\tan^2(x)+2+\dfrac{1}{\tan^2(x)}=\left(\tan(x)+\dfrac{1}{\tan(x)}\right)^2>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right]\enskip \text{ : }\enskip f'(x)=1+\tan^2(x)+\dfrac{1+\tan^2(x)}{\tan^2(x)}=\tan^2(x)+2+\dfrac{1}{\tan^2(x)}=\left(\tan(x)+\dfrac{1}{\tan(x)}\right)^2>0)
![\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} \tan(x)-\dfrac{1}{\tan(x)}=-\infty \enskip \text{ car } \tan(0)=0\text{ et }\forall x\in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right] \text{ : }\tan(x)>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} \tan(x)-\dfrac{1}{\tan(x)}=-\infty \enskip \text{ car } \tan(0)=0\text{ et }\forall x\in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right] \text{ : }\tan(x)>0)
=0)
&\dbarre&&&+&&\\\hline\niveau{2}{3} f & \niveau{2}{3}\dbarre&-\infty &&\croit &\niveau{3}{3}&0 \\\hline\end{tabvar})
=-\infty)
a pour équation : \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\enskip \text{ , on calcule } f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=4 )
\text{ : }y=4x-\pi)
-4x+\pi)
est dérivable sur ![\forall x\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right]\enskip \text{ : } \enskip g'(x)=f'(x)-4=\tan^2(x)+2+\dfrac{1}{\tan^2(x)}-4=\tan^2(x)-2+\dfrac{1}{\tan^2(x)}=\left(\tan(x)-\dfrac{1}{\tan(x)}\right)^2>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\left]0,\dfrac{\pi}{4}\right]\enskip \text{ : } \enskip g'(x)=f'(x)-4=\tan^2(x)+2+\dfrac{1}{\tan^2(x)}-4=\tan^2(x)-2+\dfrac{1}{\tan^2(x)}=\left(\tan(x)-\dfrac{1}{\tan(x)}\right)^2>0)
=\lim_{x\to 0^+} f(x)-4x+\pi=-\infty \enskip \text{ et }\enskip g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0)
&\dbarre&&&+&&\\\hline\niveau{2}{3} g & \niveau{2}{3}\dbarre&-\infty &&\croit &\niveau{3}{3}&0 \\\hline\end{tabvar})
\leq 0)
sur 
est définie sur ![\forall x\in [-1,1]\enskip : \enskip \cos\left(2\text{ Arccos } x\right)=2\cos^2\left(\text{ Arccos } x\right)-1=2x^2-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [-1,1]\enskip : \enskip \cos\left(2\text{ Arccos } x\right)=2\cos^2\left(\text{ Arccos } x\right)-1=2x^2-1)
![\forall x\in [-1,1]\enskip : \enskip \sin\left(2\text{ Arcsin } x\right)=2\cos\left(\text{ Arcsin } x\right)\sin\left(\text{ Arcsin } x\right)=2x\sqrt{1-x^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [-1,1]\enskip : \enskip \sin\left(2\text{ Arcsin } x\right)=2\cos\left(\text{ Arcsin } x\right)\sin\left(\text{ Arcsin } x\right)=2x\sqrt{1-x^2})
![\forall x\in [-1,1]\enskip : \enskip \cos\left(2\text{ Arcsin } x\right)=1-2\sin^2\left(\text{ Arcsin } x\right)=1-2x^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [-1,1]\enskip : \enskip \cos\left(2\text{ Arcsin } x\right)=1-2\sin^2\left(\text{ Arcsin } x\right)=1-2x^2)
![\forall x\in [-1,1]\enskip : \enskip \sin\left(2\text{ Arccos } x\right)=2\cos\left(\text{ Arccos } x\right)\sin\left(\text{ Arccos } x\right)=2x\sqrt{1-x^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [-1,1]\enskip : \enskip \sin\left(2\text{ Arccos } x\right)=2\cos\left(\text{ Arccos } x\right)\sin\left(\text{ Arccos } x\right)=2x\sqrt{1-x^2})
=\dfrac{1}{\cos^2(x)} )
![\forall x\in\R\text{ : } \text{ Arctan }x\in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\R\text{ : } \text{ Arctan }x\in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
, alors :
=\dfrac{1}{1+\tan^2(\text{ Arctan }x)}=\dfrac{1}{1+x^2})
![\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[)
, donc :
=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}})
=1-\cos^2(\text{ Arctan }x)=1-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{x^2}{1+x^2})
)
sont de même signe sur =\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}})
![\dfrac{\pi}{2}+k\pi\enskip,\enskip k\in\Z \enskip \text{ , et Arcsin }x\equiv \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi] \iff x=1\text{ ou } x=-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{\pi}{2}+k\pi\enskip,\enskip k\in\Z \enskip \text{ , et Arcsin }x\equiv \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi] \iff x=1\text{ ou } x=-1)
![\forall x\in]-1,1[\enskip : \enskip \tan(\text{ Arcsin }x)=\dfrac{\sin (\text{ Arcsin }x)}{\cos(\text{ Arcsin }x)}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]-1,1[\enskip : \enskip \tan(\text{ Arcsin }x)=\dfrac{\sin (\text{ Arcsin }x)}{\cos(\text{ Arcsin }x)}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}})
=\dfrac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)})
![\text{ Arctan }x\equiv\dfrac{\pi}{4}\enskip\left[\dfrac{\pi}{2}\right] \iff x=1\text{ ou }x=-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Arctan }x\equiv\dfrac{\pi}{4}\enskip\left[\dfrac{\pi}{2}\right] \iff x=1\text{ ou }x=-1)
=\dfrac{2\tan(\text{ Arctan}x)}{1-\tan^2(\text{ Arctan } x)}=\dfrac{2x}{1-x^2})
![\varphi \in[0,\pi] \text{ : } x=\cos\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi \in[0,\pi] \text{ : } x=\cos\varphi)
et donc 
. Alors :
=\text{ Arccos }(2\cos^2\varphi -1)=\text{ Arccos }(\cos (2\varphi)))
![\varphi\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] \text{ : }2\varphi \in[0,\pi] \text{ et donc } \text{ Arccos }(\cos(2\varphi))=2\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] \text{ : }2\varphi \in[0,\pi] \text{ et donc } \text{ Arccos }(\cos(2\varphi))=2\varphi)
![\varphi\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right] \text{ : }2\pi-2\varphi \in[0,\pi] \text{ et donc } \text{ Arccos }(\cos(2\varphi))=\text{ Arccos }(\cos(2\pi-2\varphi))=2\pi-2\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right] \text{ : }2\pi-2\varphi \in[0,\pi] \text{ et donc } \text{ Arccos }(\cos(2\varphi))=\text{ Arccos }(\cos(2\pi-2\varphi))=2\pi-2\varphi)
![\forall x\in[-1,1]\enskip : \enskip \text{ Arccos }(2x^2-1)=\begin{cases} 2\text{ Arccos }(x) \enskip &\text{ si }x\in [0,1]\\2\pi-2\text{ Arccos }(x) \enskip &\text{ si }x\in [-1,0]\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in[-1,1]\enskip : \enskip \text{ Arccos }(2x^2-1)=\begin{cases} 2\text{ Arccos }(x) \enskip &\text{ si }x\in [0,1]\\2\pi-2\text{ Arccos }(x) \enskip &\text{ si }x\in [-1,0]\end{cases})
, il existe un unique ![\varphi \in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\backslash \left\lbrace -\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{\pi}{4}\right\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi \in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\backslash \left\lbrace -\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{\pi}{4}\right\rbrace)
tel que 
et bien évidemment 
=\text{ Arctan } \left(\dfrac{2\tan \varphi}{1-\tan^2\varphi}\right)=\text{ Arctan }(\tan(2\varphi)))
![\varphi\in\left]-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{4}\right[ \text{ : }2\varphi+\pi \in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ et donc } \text{ Arctan }(\tan(2\varphi))=\text{ Arctan }(\tan(2\varphi+\pi))=2\varphi+\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi\in\left]-\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{4}\right[ \text{ : }2\varphi+\pi \in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ et donc } \text{ Arctan }(\tan(2\varphi))=\text{ Arctan }(\tan(2\varphi+\pi))=2\varphi+\pi)
![\varphi\in\left]-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right[ \text{ : }2\varphi \in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ et donc } \text{ Arctan }(\tan(2\varphi))=2\varphi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi\in\left]-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right[ \text{ : }2\varphi \in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ et donc } \text{ Arctan }(\tan(2\varphi))=2\varphi)
![\varphi\in\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ : }2\varphi-\pi \in\left]-\dfrac{\pi}{2},0\right[ \text{ et donc } \text{ Arctan }(\tan(2\varphi))=\text{ Arctan }(\tan(2\varphi-\pi))=2\varphi-\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi\in\left]\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ : }2\varphi-\pi \in\left]-\dfrac{\pi}{2},0\right[ \text{ et donc } \text{ Arctan }(\tan(2\varphi))=\text{ Arctan }(\tan(2\varphi-\pi))=2\varphi-\pi)
![\forall x\in\R\backslash\lbrace-1,1\rbrace\enskip : \enskip \text{ Arctan }\left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right)=\begin{cases} 2\text{ Arctan }(x)+\pi \enskip &\text{ si }x\in ]-\infty,-1[\\2\text{ Arctan }(x) \enskip &\text{ si }x\in ]-1,1[\\2\text{ Arctan }(x)-\pi \enskip &\text{ si }x\in ]1,+\infty[\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\R\backslash\lbrace-1,1\rbrace\enskip : \enskip \text{ Arctan }\left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right)=\begin{cases} 2\text{ Arctan }(x)+\pi \enskip &\text{ si }x\in ]-\infty,-1[\\2\text{ Arctan }(x) \enskip &\text{ si }x\in ]-1,1[\\2\text{ Arctan }(x)-\pi \enskip &\text{ si }x\in ]1,+\infty[\end{cases})
=\dfrac{2\times \dfrac{1}{5}}{1-\dfrac{1}{25}}=\dfrac{5}{12})
=\dfrac{2\tan\left(2\text{ Arctan }\dfrac{1}{5} \right)}{1-\tan^2\left(2\text{ Arctan }\dfrac{1}{5} \right)}=\dfrac{120}{119})
=\dfrac{\dfrac{120}{119}-\dfrac{1}{239}}{1+\dfrac{120}{119}\times\dfrac{1}{239}}=\dfrac{120\times239-119}{119\times239+120}=1)
![4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\equiv\dfrac{\pi}{4}\enskip[\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\equiv\dfrac{\pi}{4}\enskip[\pi])
![0<\dfrac{1}{5}<1 \text{ et }0<\dfrac{1}{239}<1 \text{ , donc } \text{ Arctan }\dfrac{1}{5} \in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[ \text{ et }\text{ Arctan }\dfrac{1}{239} \in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0<\dfrac{1}{5}<1 \text{ et }0<\dfrac{1}{239}<1 \text{ , donc } \text{ Arctan }\dfrac{1}{5} \in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[ \text{ et }\text{ Arctan }\dfrac{1}{239} \in \left]0,\dfrac{\pi}{4}\right[ )
![4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\in \left]-\dfrac{\pi}{4},\pi\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\in \left]-\dfrac{\pi}{4},\pi\right[ )
, alors, en notant 
son argument : 
.
![0<x \enskip , \enskip \arg z \in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ à } 2\pi \text{ près }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0<x \enskip , \enskip \arg z \in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ à } 2\pi \text{ près } )
. Donc 
est un argument de 
.
![\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}\equiv \arg(5+i)\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}\equiv \arg(5+i)\enskip [2\pi] )
![\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\equiv \arg(239+i)\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\equiv \arg(239+i)\enskip [2\pi] )
![4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\equiv \arg\left(\dfrac{(5+i)^4}{239+i}\right)\enskip [2\pi]\enskip \equiv \arg\left[(5+i)^4(239-i)\right]\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\equiv \arg\left(\dfrac{(5+i)^4}{239+i}\right)\enskip [2\pi]\enskip \equiv \arg\left[(5+i)^4(239-i)\right]\enskip [2\pi])
^4=625+500i-150-20i+1=4(119+120i) \enskip \text{ (en appliquant la formule du binôme ) })
=4[120\times 239(1+i)-239+i+120-120i]=4(1+i)(120\times 239-119)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(5+i)^4(239-i)=4\left[120(1+i)-1\right](239-i)=4[120\times 239(1+i)-239+i+120-120i]=4(1+i)(120\times 239-119))
![\arg\left[(5+i)^4(239-i)\right]\equiv \dfrac{\pi}{4}\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\arg\left[(5+i)^4(239-i)\right]\equiv \dfrac{\pi}{4}\enskip [2\pi])
![4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\equiv\dfrac{\pi}{4}\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\equiv\dfrac{\pi}{4}\enskip [2\pi])
![0<\dfrac{1}{5} \text{ et }0<\dfrac{1}{239} \text{ , donc } \text{ Arctan }\dfrac{1}{5} \in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ et }\text{ Arctan }\dfrac{1}{239} \in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0<\dfrac{1}{5} \text{ et }0<\dfrac{1}{239} \text{ , donc } \text{ Arctan }\dfrac{1}{5} \in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ et }\text{ Arctan }\dfrac{1}{239} \in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ )
![4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\in \left]-\dfrac{\pi}{2},2\pi\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?4\text{ Arctan }\dfrac{1}{5}-\text{ Arctan }\dfrac{1}{239}\in \left]-\dfrac{\pi}{2},2\pi\right[ )
près est bien  \enskip \text{ et } \enskip B_n= \sum_{k=0}^{n} \text{sh }(a+kb))
, alors directement :
\text{ ch }a \enskip \text{ et }\enskip B_n=(n+1)\text{ sh }a})
:
et qu'on a 
, on peut écrire :
^{k}=\text{ e}^{a}\dfrac{\text{ e}^{(n+1)b}-1}{\text{ e}^{b}-1})
b/2}\left(\text{e}^{(n+1)b/2}-\text{e}^{-(n+1)b/2}\right)}{\text{e}^{b/2}\left(\text{e}^{b/2}-\text{e}^{-b/2}\right)}=\exp\left(a+\dfrac{nb}{2}\right)\dfrac{\text{ sh }\left(\dfrac{(n+1)b}{2}\right)}{\text{ sh }\left(\dfrac{b}{2}\right)})
, alors : })
et 
, on obtient par imparité de 
: \right)\dfrac{\text{ sh }\left(\dfrac{(n+1)b}{2}\right)}{\text{ sh }\left(\dfrac{b}{2}\right)})
\dfrac{\text{ sh }\left(\dfrac{(n+1)b}{2}\right)}{\text{ sh }\left(\dfrac{b}{2}\right)}\enskip \enskip , \enskip \enskip B_n=\text{ sh}\left(a+n\dfrac{b}{2}\right)\dfrac{\text{ sh}\left(\dfrac{(n+1)b}{2}\right)}{\text{ sh }\left(\dfrac{b}{2}\right)}})
de cette équation :
![x\in\mathscr{D}\iff x\in]-1,1[ \enskip , \enskip x\neq 0 \enskip , \enskip \dfrac{1}{x}\in [1,+\infty[ \iff \mathscr{D}=]0,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in\mathscr{D}\iff x\in]-1,1[ \enskip , \enskip x\neq 0 \enskip , \enskip \dfrac{1}{x}\in [1,+\infty[ \iff \mathscr{D}=]0,1[)
est bijective sur ![\begin{matrix}\forall x\in]0,1[\enskip:\enskip \text{ Argth }x=\text{ Argch }\dfrac{1}{x}&\iff& \text{ th }\left(\text{ Argth }x\right)=\text{ th }\left(\text{ Argch }\dfrac{1}{x}\right) \\\\&\iff& x=\dfrac{\text{ sh }\left(\text{ Argch }\dfrac{1}{x}\right)}{\text{ ch }\left(\text{ Argch }\dfrac{1}{x}\right)} \\\\&\iff& x=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-1}}{\dfrac{1}{x}} \\\\&\iff& 1=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-1} \\\\&\iff& 1=\dfrac{1}{x^2}-1 \\\\&\iff& x^2=\dfrac{1}{2} \\\\&\iff& x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in]0,1[\enskip:\enskip \text{ Argth }x=\text{ Argch }\dfrac{1}{x}&\iff& \text{ th }\left(\text{ Argth }x\right)=\text{ th }\left(\text{ Argch }\dfrac{1}{x}\right) \\\\&\iff& x=\dfrac{\text{ sh }\left(\text{ Argch }\dfrac{1}{x}\right)}{\text{ ch }\left(\text{ Argch }\dfrac{1}{x}\right)} \\\\&\iff& x=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-1}}{\dfrac{1}{x}} \\\\&\iff& 1=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}-1} \\\\&\iff& 1=\dfrac{1}{x^2}-1 \\\\&\iff& x^2=\dfrac{1}{2} \\\\&\iff& x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix})
![x\in\mathscr{D}\iff x\in[-1,1] \enskip \text{ et } \enskip \dfrac{x}{2}\in[-1,1]\iff x\in[-1,1] \enskip \text{ et } \enskip x\in[-2,2] \iff \mathscr{D}=[-1,1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in\mathscr{D}\iff x\in[-1,1] \enskip \text{ et } \enskip \dfrac{x}{2}\in[-1,1]\iff x\in[-1,1] \enskip \text{ et } \enskip x\in[-2,2] \iff \mathscr{D}=[-1,1])
![x\in [-1, 1 ]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in [-1, 1 ])
: )
![\text{ Arcsin }\dfrac{x}{2} \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \text{ et } \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[0,\pi\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Arcsin }\dfrac{x}{2} \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \text{ et } \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[0,\pi\right] )
![\begin{matrix} (*)&\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\\sin\left(\text{ Arcsin }\dfrac{x}{2} \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right)\end{cases} &\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\ \dfrac{x}{2} =\cos\left(\text{ Arcsin }x\right)\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\\dfrac{x}{2} =\sqrt{1-x^2}\end{cases} &\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\x\geq 0 \text{ et }5x^2=4\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{cases} & \iff&x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\enskip \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} (*)&\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\\sin\left(\text{ Arcsin }\dfrac{x}{2} \right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right)\end{cases} &\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\ \dfrac{x}{2} =\cos\left(\text{ Arcsin }x\right)\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\\dfrac{x}{2} =\sqrt{1-x^2}\end{cases} &\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\x\geq 0 \text{ et }5x^2=4\end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases} \left(\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }x\right) \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\\\x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{cases} & \iff&x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\enskip \end{matrix})
![\left(\text{ Puisque } \dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }\dfrac{2}{\sqrt{5}} \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\subset \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\text{ Puisque } \dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }\dfrac{2}{\sqrt{5}} \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\subset \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\right))
est solution, alors 
existe, donc 
.
, alors 
, puis 
, donc ![\mathscr{D}=]0,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathscr{D}=]0,1[)
:
=\ln\dfrac{1}{2}\iff t\ln(t^2)=-\ln(2) \iff t\ln(t)+\dfrac{\ln(2)}{2}=0)
![]0,1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1])
par : +\dfrac{\ln(2)}{2})
![\forall x\in]0,1]\enskip : \enskip f'(t)=1+\ln(t)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0,1]\enskip : \enskip f'(t)=1+\ln(t))
 & & - & \barre{0} & + & \\ \hline & \dfrac{\ln(2)}{2} & & & & \dfrac{\ln(2)}{2} \\ f & &\searrow & &\nearrow & \\ & & & f(\text{e}^{-1})\approx -0,021 & & \\ \hline \end{array} )
=-\text{e}^{-1}+\dfrac{\ln 2}{2}\approx -0,021)
=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ln(2)}{2}=0\enskip \text{ et }\enskip f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{1}{4}+\dfrac{\ln(2)}{2}=0)
=0\iff t\in\left\lbrace\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right\rbrace)
, on conclut que l'ensemble des solutions de l'équation proposée est : 
^{{\left(\frac{1}{16}\right)}^{\frac{1}{2}}}=\left(\dfrac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}}=\dfrac{1}{2})
^{{\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2})
=|-x\ln|-x||=|x\ln|x||=f(x))
![\forall x\in]0,+\infty[ \text{ : } f(x)=|x\ln(x)|=|x||\ln(x)|=x|\ln(x)|=\begin{cases} -x\ln(x) &\text{ si }x\in ]0,1] \\x\ln(x)&\text{ si }x\in[1,+\infty[\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0,+\infty[ \text{ : } f(x)=|x\ln(x)|=|x||\ln(x)|=x|\ln(x)|=\begin{cases} -x\ln(x) &\text{ si }x\in ]0,1] \\x\ln(x)&\text{ si }x\in[1,+\infty[\end{cases})
![]0,1[\cup]1,+ \infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1[\cup]1,+ \infty[)
, en effet, -f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{+}}\dfrac{x\ln(x)}{x-1}=\lim_{t\to 0} (t+1)\dfrac{\ln(t+1)}{t}=1\enskip \text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{-x\ln(x)}{x-1}=\lim_{t\to 0} -(t+1)\dfrac{\ln(t+1)}{t}=-1)
![\begin{cases}\forall x\in]0,1[ &\text{ : } f'(x)=-\ln(x)-1 \\\forall x\in]1,+\infty[ &\text{ : } f'(x)=\ln(x)+1 \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases}\forall x\in]0,1[ &\text{ : } f'(x)=-\ln(x)-1 \\\forall x\in]1,+\infty[ &\text{ : } f'(x)=\ln(x)+1 \end{cases})
![\text{ e}^{-1}\in ]0,1[\enskip \text{ et }\enskip f(\text{e}^{-1})=-\text{e}^{-1}\ln(\text{e}^{-1})=\text{e}^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ e}^{-1}\in ]0,1[\enskip \text{ et }\enskip f(\text{e}^{-1})=-\text{e}^{-1}\ln(\text{e}^{-1})=\text{e}^{-1})
=0)
=\lim_{x\to +\infty } x\ln(x)=+\infty)
 & \dbarre & & + &\barre{0} &- &\dbarre &+ & \\ \hline & \dbarre & & & \text{e}^{-1} & & & & +\infty \\ f & \dbarre & & \nearrow & &\searrow & & \nearrow & \\ & \dbarre & 0 & & & & 0 & & \\ \hline \end{array})
.
=+\infty)
}{x}=\lim_{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty)
)
à droite de pente 
.
=f(x)-y=x\ln(x)-x+1 )
et on a : =\ln(x)\geq 0)
=\lim_{x\to +\infty }x\ln(x)-x+1=+\infty\enskip \text{ et }\enskip g(1)=0)
&&&&+&&\\\hline\niveau{2}{3}g & \niveau{1}{3}&0 &&\croit &\niveau{3}{3}&+\infty \\\hline\end{tabvar})
\geq 0 \iff f(x)\geq y)
)
à gauche de pente 
d'équation : \iff y=-x+1)
.
![\forall x\in ]0,1] \enskip \text{ : Notons } \enskip h(x)=f(x)-y=-x\ln(x)+x-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in ]0,1] \enskip \text{ : Notons } \enskip h(x)=f(x)-y=-x\ln(x)+x-1 )
est dérivable sur ![\forall x\in ]0,1] \text{ : } h'(x)=-\ln(x)\geq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in ]0,1] \text{ : } h'(x)=-\ln(x)\geq 0)
=\lim_{x\to 0 }x\ln(x)+x-1=-1\enskip \text{ et }\enskip h(1)=0)
&\dbarre&&&+&&\\\hline\niveau{2}{3} h &\dbarre \niveau{1}{3}&-1 &&\croit &\niveau{3}{3}&0 \\\hline\end{tabvar})
![\forall x\in ]0,1] \text{ : } h(x)\leq 0 \iff f(x)\leq y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in ]0,1] \text{ : } h(x)\leq 0 \iff f(x)\leq y)
![f(x)=\begin{cases}x+\dfrac{\ln(x)}{x}&\text{ si } x\in ]0,+\infty[\\\\x-\dfrac{\ln(-x)}{x} & \text{ si } x\in]-\infty,0[\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=\begin{cases}x+\dfrac{\ln(x)}{x}&\text{ si } x\in ]0,+\infty[\\\\x-\dfrac{\ln(-x)}{x} & \text{ si } x\in]-\infty,0[\end{cases})
![\forall x\in]0,+\infty[ \text{ : } f'(x)=1+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\ln(x)}{x^2}=\dfrac{x^2+1-\ln(x)}{x^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0,+\infty[ \text{ : } f'(x)=1+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\ln(x)}{x^2}=\dfrac{x^2+1-\ln(x)}{x^2})
=x^2+1-\ln(x))
, ![\forall x\in]0,+\infty[ \text{ : }g'(x)=2x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-1}{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0,+\infty[ \text{ : }g'(x)=2x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-1}{x})
=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\ln(2)>0\enskip , \enskip \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} g(x)=+\infty \enskip \text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=\lim_{x\to +\infty}x^2+1-\ln(x)=\lim_{x\to +\infty}x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)=+\infty )
 & & - & \barre{0} & + & \\ \hline & +\infty & & & & +\infty \\ g & &\searrow & &\nearrow & \\ & & & g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)>0 & & \\ \hline \end{array} )
![\forall x>0 \text{ : }g(x)>0 \enskip \text{ et donc } f \text{ est strictement croissante sur } ]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x>0 \text{ : }g(x)>0 \enskip \text{ et donc } f \text{ est strictement croissante sur } ]0,+\infty[)
![]-\infty,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty,0[)
![\forall x\in]-\infty,0[ \text{ : } f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{\ln(-x)}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln(-x)}{x^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]-\infty,0[ \text{ : } f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{\ln(-x)}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln(-x)}{x^2})
=x^2-1+\ln(-x))
, ![\forall x\in]-\infty,0[ \text{ : }h'(x)=2x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2+1}{x}<0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]-\infty,0[ \text{ : }h'(x)=2x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2+1}{x}<0)
=-\infty \enskip \text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to -\infty} h(x)=+\infty\enskip \text{ et }\enskip h(-1)=0 )
 & &- & \barre{} & - & \\ \hline & +\infty & &\barre{}& & \\ h & &\searrow &\barre{}&& \\ & & & \barre{0} && \\ & & & \barre{}&\searrow& \\ & & &\barre{} && -\infty \\ \hline \end{array} )
![\forall x\leq-1 \text{ : }h(x)\geq 0 \enskip \text{ et donc } f \text{ est croissante sur } ]-\infty,-1] \\ \\\forall x\in[-1,0[ \text{ : }h(x)\leq 0 \enskip \text{ et donc } f \text{ est décroissante sur } [-1,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\leq-1 \text{ : }h(x)\geq 0 \enskip \text{ et donc } f \text{ est croissante sur } ]-\infty,-1] \\ \\\forall x\in[-1,0[ \text{ : }h(x)\leq 0 \enskip \text{ et donc } f \text{ est décroissante sur } [-1,0[)
=\lim_{x\to -\infty} x+\dfrac{\ln(-x)}{(-x)}=-\infty)
=\lim_{x\to 0^{-}}x-\dfrac{\ln(-x)}{x}=-\infty)
=\lim_{x\to 0^{+}}x+\dfrac{\ln(x)}{x}=-\infty)
=\lim_{x\to +\infty} x+\dfrac{\ln(x)}{x}=+\infty )
=-1 )
 & & + & \barre{0}& - & &\dbarre & & + & \\ \hline & & & -1 & & &\dbarre & & & +\infty \\ f & &\nearrow& &\searrow& &\dbarre & &\nearrow& \\ & -\infty & & & &-\infty&\dbarre &-\infty& & \\ \hline \end{array})
=-\infty)
}{x}=\lim_{x\to -\infty}1-\dfrac{\ln(-x)}{((-x)^2)}=1\enskip \text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)-x=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\ln(-x)}{(-x)}=0)
) comme asymptote oblique en 
et en-dessous pour 
(intersection au point )
)
=+\infty)
}{x}=\lim_{x\to +\infty}1+\dfrac{\ln(x)}{x^2}=1\enskip \text{ et }\enskip \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)-x=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0)
![x\in]0,1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]0,1])
(intersection au point )
)
=\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty)
) comme asymptote verticale à gauche et à droite .
=\dfrac{1}{2}-2\ln(2)<0 \enskip \text{ et que }f\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)>0)
et 
![x(x-2)\geq 0 \text{ si } x\in]-\infty,-2]\cup]0,+\infty[ \enskip \text{ et }\enskip x(x-2)\leq 0 \text{ si } x\in[-2,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x(x-2)\geq 0 \text{ si } x\in]-\infty,-2]\cup]0,+\infty[ \enskip \text{ et }\enskip x(x-2)\leq 0 \text{ si } x\in[-2,0[)
![f(x)=\begin{cases}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}&\text{ si }x\in ]-\infty,-2]\cup]0,+\infty[\\\\\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)} & \text{ si } x\in[-2,0[\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=\begin{cases}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}&\text{ si }x\in ]-\infty,-2]\cup]0,+\infty[\\\\\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)} & \text{ si } x\in[-2,0[\end{cases})
, elle ne l'est ni à droite, ni à gauche de -f(-2)}{x+2}=\lim_{x\to-2^{-}}\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}}{x+2}=\lim_{x\to-2^{-}}-\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{\dfrac{x}{x+2}}=-\infty)
-f(-2)}{x+2}=\lim_{x\to-2^{+}}\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)}}{x+2}=\lim_{x\to-2^{-}}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-\dfrac{x}{x+2}}=+\infty)
![]-\infty,-2[\cup]0,+\infty[ \text{ et sur } ]-2,0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty,-2[\cup]0,+\infty[ \text{ et sur } ]-2,0[)
![\begin{matrix}\forall x\in ]-\infty,-2[\cup]0,+\infty[\text{ : } f'(x)&=&\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}\right)' \\&=&\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\right)'\sqrt{x(x+2)}+\text{ e}^{\frac{1}{x}}\left(\sqrt{x(x+2)}\right)' \\&=&-\dfrac{1}{x^2}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}+\text{ e}^{\frac{1}{x}}\dfrac{2x+2}{2\sqrt{x(x+2)}} \\&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x(x+2)}}\left(\dfrac{-x(x+2)+(x+1)x^2}{x^2}\right) \\&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x(x+2)}}\left(\dfrac{x^2-2}{x}\right) \\&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x(x+2)}}\left(\dfrac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x}\right)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in ]-\infty,-2[\cup]0,+\infty[\text{ : } f'(x)&=&\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}\right)' \\&=&\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\right)'\sqrt{x(x+2)}+\text{ e}^{\frac{1}{x}}\left(\sqrt{x(x+2)}\right)' \\&=&-\dfrac{1}{x^2}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}+\text{ e}^{\frac{1}{x}}\dfrac{2x+2}{2\sqrt{x(x+2)}} \\&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x(x+2)}}\left(\dfrac{-x(x+2)+(x+1)x^2}{x^2}\right) \\&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x(x+2)}}\left(\dfrac{x^2-2}{x}\right) \\&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x(x+2)}}\left(\dfrac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x}\right)\end{matrix})
(x+\sqrt{2})}{x})
, on en déduit que :
![\bullet f'(x)\leq 0 \text{ si } x\in ]-\infty,-2[\cup ]0,\sqrt{2}]\enskip \text{ , donc }f\text{ est décroissante sur cette union d'intervalles }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet f'(x)\leq 0 \text{ si } x\in ]-\infty,-2[\cup ]0,\sqrt{2}]\enskip \text{ , donc }f\text{ est décroissante sur cette union d'intervalles })
\geq 0 \text{ si } x\in [\sqrt{2},+\infty[\text{ , }f\text{ est croissante sur cet intervalle })
![\begin{matrix} \forall x\in ]-2,0[\text{ : }f'(x)&=&\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)}\right)' \\&=&\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\right)'\sqrt{-x(x+2)}+\text{ e}^{\frac{1}{x}}\left(\sqrt{-x(x+2)}\right)' \\&=&-\dfrac{1}{x^2}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)}-\text{ e}^{\frac{1}{x}}\dfrac{2x+2}{2\sqrt{-x(x+2)}} \\&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{-x(x+2)}}\left(\dfrac{(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)}{x}\right)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \forall x\in ]-2,0[\text{ : }f'(x)&=&\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)}\right)' \\&=&\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\right)'\sqrt{-x(x+2)}+\text{ e}^{\frac{1}{x}}\left(\sqrt{-x(x+2)}\right)' \\&=&-\dfrac{1}{x^2}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)}-\text{ e}^{\frac{1}{x}}\dfrac{2x+2}{2\sqrt{-x(x+2)}} \\&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{-x(x+2)}}\left(\dfrac{(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)}{x}\right)\end{matrix})
(\sqrt{2}+x)}{x})
, on en déduit que :
\leq 0 \text{ si } x\in [-\sqrt{2},0[\enskip \text{ , donc }f\text{ est décroissante sur cet intervalle })
![\bullet f'(x)\geq 0 \text{ si } x\in ]-2,-\sqrt{2}]\text{ , }f\text{ est croissante sur cet intervalle }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet f'(x)\geq 0 \text{ si } x\in ]-2,-\sqrt{2}]\text{ , }f\text{ est croissante sur cet intervalle })
=\lim_{x\to-\infty}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}=+\infty)
=\lim_{x\to0^{-}}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)}=0)
=\lim_{x\to 0^{+}}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}=\lim_{x\to 0^{+}}\text{ e}^{\frac{1}{x}}x\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}=\lim_{t\to +\infty}\dfrac{\text{ e}^{t}}{t}\sqrt{1+2t}=+\infty)
=\lim_{x\to+\infty}\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}=+\infty)
\approx 0,45 \enskip \text{ et }f(\sqrt{2})\approx 4,46)
 & & - & \dbarre & + &\barre{0} & - & &\dbarre & & - & \barre{0} &+ & \\ \hline & +\infty & & & &\approx 0,45& & &\dbarre &+\infty& & & &+\infty \\ f & &\searrow& &\nearrow& &\searrow& &\dbarre & &\searrow& &\nearrow& \\ & & & 0 & & & & 0 &\dbarre & & &\approx 4,46& & \\ \hline \end{array})
=0)
)
:
&=&\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{-x(x+2)}}\left(\dfrac{(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)}{x}\right)&=&\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}-\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{x^2}\left(\dfrac{(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)}{\sqrt{-1-\dfrac{2}{x}}}\right)\\\\&=&\displaystyle\lim_{t\to -\infty}-t^2\text{ e}^{t} \left(\dfrac{\left(\sqrt{2}-\dfrac{1}{t}\right)\left(\sqrt{2}+\dfrac{1}{t}\right)}{\sqrt{-1-2t}}\right)&=& 0\enskip \enskip \text{ ( en posant } t=-\dfrac{1}{x} \text{ ) }\end{matrix})
=+\infty)
=+\infty)
}{x}=\displaystyle\lim_{x\to-\infty} -\text{e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{\dfrac{x^2+2x}{x^2}}=-1)
+x&=&\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}+x&=&\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\text{ e}^{\frac{2}{x}}x(x+2)-x^2}{\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}-x}\\\\&=&\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}-1\right)\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}+1\right)x^2 +2 x\text{ e}^{\frac{2}{x}} }{\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}-x}&=&\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\dfrac{\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}-1\right)}{\frac{1}{x}}\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}+1\right) +2 \text{ e}^{\frac{2}{x}} }{-\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+1\right)}\\&=&-\dfrac{4}{2}&=&-2\end{matrix})
)
comme asymptote oblique au voisinage de =+\infty)
}{x}=\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \text{e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{\dfrac{x^2+2x}{x^2}}=1)
-x&=&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}-x&=&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\text{ e}^{\frac{2}{x}}x(x+2)-x^2}{\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}+x}\\\\&=&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}-1\right)\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}+1\right)x^2 +2 x\text{ e}^{\frac{2}{x}} }{\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}+x}&=&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\dfrac{\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}-1\right)}{\frac{1}{x}}\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}+1\right) +2 \text{ e}^{\frac{2}{x}} }{\left(\text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+1\right)}\\&=&\dfrac{4}{2}&=&2\end{matrix})
)
comme asymptote oblique au voisinage de ![\begin{matrix}\forall x\in ]-\infty,-2[\cup]0,+\infty[\text{ : } f'(x)&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x(x+2)}}\left(\dfrac{x^2-2}{x}\right) \\\\&=& \text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}\left(\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\right) \\\\&=&f(x)\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in ]-\infty,-2[\cup]0,+\infty[\text{ : } f'(x)&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x(x+2)}}\left(\dfrac{x^2-2}{x}\right) \\\\&=& \text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{x(x+2)}\left(\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\right) \\\\&=&f(x)\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\end{matrix})
![\begin{matrix}\forall x\in ]-2,0[\text{ : } f'(x)&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{-x(x+2)}}\left(\dfrac{2-x^2}{x}\right) \\\\&=& \text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)}\left(\dfrac{2-x^2}{-x^2(x+2)}\right) \\\\&=&f(x)\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in ]-2,0[\text{ : } f'(x)&=&\dfrac{\text{ e}^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{-x(x+2)}}\left(\dfrac{2-x^2}{x}\right) \\\\&=& \text{ e}^{\frac{1}{x}}\sqrt{-x(x+2)}\left(\dfrac{2-x^2}{-x^2(x+2)}\right) \\\\&=&f(x)\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\end{matrix})
![\forall x\in ]-\infty,-2[\cup]-2,0[\cup ]0,+\infty[\enskip \text{ : }\enskip f'(x)=f(x)\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in ]-\infty,-2[\cup]-2,0[\cup ]0,+\infty[\enskip \text{ : }\enskip f'(x)=f(x)\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)})
![]-\infty,-2[\cup]-2,0[\cup ]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty,-2[\cup]-2,0[\cup ]0,+\infty[)
comme produit de fonctions dérivables, alors :
&=&\left(f(x)\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\right)' \\\\&=& f'(x)\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}+f(x)\left(\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\right)' \\\\&=&f(x)\left(\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}\right)^2+f(x)\dfrac{2x^4+4x^3-3x^4-4x^3+6x^2+8x}{x^4(x+2)^2} \\\\&=&\boxed{\dfrac{2(x^2+4x+2)}{x^4(x+2)^2}f(x)}\end{matrix})
dans 
, le signe de (x+2-\sqrt{2}))
& & + & \barre{0} & - &\dbarre & - & \barre{0} & + & \dbarre& + & \\ \hline f & &\text{convexe}& I_1 & \text{concave}& \barre{0} &\text{concave}& I_2 &\text{convexe}& \dbarre &\text{convexe}& \\ \hline \end{array})
et 
les points d'inflexion :
)\approx (-3.41, 1.64))
)\approx (-0.6, 0.17))
est continue sur 
, avec : 
l'équation n'admet pas de solution .
l'équation admet une solution unique 
l'équation admet deux solutions opposées, donc :
dont le discriminant est : >0\enskip \text{ (car }a>1\text{)})
}}{2}=a+\sqrt{a^2-1} \enskip \text{ et }\enskip X_2=a-\sqrt{a^2-1})
![\forall a\in]1,+\infty[\text{ : } 0<a^2-1<a^2 \text{ , donc }0<\sqrt{a^2-1}<a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall a\in]1,+\infty[\text{ : } 0<a^2-1<a^2 \text{ , donc }0<\sqrt{a^2-1}<a)
et 
sont deux réels strictement positifs, il s'ensuit :
 \enskip \text{ ou }\enskip x=\ln\left(a-\sqrt{a^2-1}\right))
sont définies, continues et dérivables sur )
)
![\mathscr{D}_{f}=]-\infty,-\alpha[\cup]-\alpha,\alpha[\cup]\alpha,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathscr{D}_{f}=]-\infty,-\alpha[\cup]-\alpha,\alpha[\cup]\alpha,+\infty[)
est impaire et 
est paire, alors ![\mathscr{D}_{e}=[0,\alpha[\cup]\alpha,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathscr{D}_{e}=[0,\alpha[\cup]\alpha,+\infty[)
=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{ sh }x}{2-\text{ ch }x} =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{ e }^x-\text{ e}^{-x}}{4-\text{ e }^x-\text{ e}^{-x}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-\text{ e}^{-2x}}{4\text{ e }^{-x}-1-\text{ e}^{-2x}}=-1)
.
=\lim_{x\to\alpha^{-}}\dfrac{\text{ sh }x}{2-\text{ ch }x}=+\infty)
=\lim_{x\to\alpha^{+}}\dfrac{\text{ sh }x}{2-\text{ ch }x}=-\infty)
})
![\forall x\in [0,\alpha[\cup]\alpha,+\infty[ \text{ : }f'(x)=\dfrac{\text{ ch }x (2-\text{ ch }x)-\text{sh }x(-\text{ sh }x)}{(2-\text{ch }x)^2}=\dfrac{2\text{ ch }x-1}{(2-\text{ ch }x)^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [0,\alpha[\cup]\alpha,+\infty[ \text{ : }f'(x)=\dfrac{\text{ ch }x (2-\text{ ch }x)-\text{sh }x(-\text{ sh }x)}{(2-\text{ch }x)^2}=\dfrac{2\text{ ch }x-1}{(2-\text{ ch }x)^2})
>0)
 & & + & &\dbarre& & + & \\ \hline & & &+\infty&\dbarre& & &-1 \\ f & &\nearrow& &\dbarre& &\nearrow& \\ &0 & & &\dbarre&-\infty& & \\ \hline \end{array} )
=-1)
est asymptote horizontale à la courbe de =+\infty\enskip \text{ et }\lim_{x\to\alpha^{+}}f(x)=-\infty)
est asymptote verticale à la courbe de :y=f'(0)x+f(0) \iff y=x)
=1\text{ et }f(0)=0)
par quotient et composée de fonctions continues et dérivables sur cet ensemble.
![\forall x\in]-\infty,-1[\cup]-1,+\infty[ \text{ : }f'(x)=\text{ th }'\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'\dfrac{1}{\text{ ch }^2\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}=\dfrac{2}{(x+1)^2}\dfrac{1}{\text{ ch }^2\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)} >0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]-\infty,-1[\cup]-1,+\infty[ \text{ : }f'(x)=\text{ th }'\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'\dfrac{1}{\text{ ch }^2\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}=\dfrac{2}{(x+1)^2}\dfrac{1}{\text{ ch }^2\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)} >0)
![]-\infty,-1[\cup]-1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty,-1[\cup]-1,+\infty[ )
=\lim_{x\to-\infty}\text{ th }\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)=\text{ th }1)
=\lim_{x\to-1^{-}}\text{ th }\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)=\lim_{t\to+\infty}\text{ th }(t)=1)
=\lim_{x\to-1^{+}}\text{ th }\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)=\lim_{t\to-\infty}\text{ th }(t)=-1)
=\lim_{x\to+\infty}\text{ th }\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)=\text{ th }1)
 & & + & &\dbarre& & + & \\ \hline & & &1&\dbarre& & &\text{th }1 \\ f & &\nearrow& &\dbarre& &\nearrow& \\ &\text{th }1 & & &\dbarre&-1& & \\ \hline \end{array} )
=\lim_{x\to+\infty} f(x)=\text{ th }1)
comme asymptote horizontale au voisinage de =1)
)
![\displaystyle \lim_{x\to-1^{-}} f'(x)=\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{2}{(x+1)^2}\dfrac{1}{\text{ ch }^2\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}=\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{2}{(x-1)^2}\dfrac{\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2}{\text{ ch }^2\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}=\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}{\text{ ch }\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}\right]^2 \enskip \text{ puisque }\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{2}{(x-1)^2} =\dfrac{1}{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \lim_{x\to-1^{-}} f'(x)=\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{2}{(x+1)^2}\dfrac{1}{\text{ ch }^2\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}=\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{2}{(x-1)^2}\dfrac{\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2}{\text{ ch }^2\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}=\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}{\text{ ch }\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}\right]^2 \enskip \text{ puisque }\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{2}{(x-1)^2} =\dfrac{1}{2})
=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{t}{\text{ ch }t}\right)^2=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{2t}{\text{ e }^{t}+\text{ e}^{-t}}\right)^2=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{2}{\dfrac{\text{ e }^{t}}{t}+\dfrac{\text{ e}^{-t}}{t}}\right)^2=0)
=-1)
=\lim_{x\to-1^{+}}\dfrac{2}{(x-1)^2}\dfrac{\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2}{\text{ ch }^2\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{t}{\text{ ch }t}\right)^2=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{2}{\dfrac{\text{ e }^{t}}{t}+\dfrac{\text{ e}^{-t}}{t}}\right)^2=0)
}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\leq 1)
\leq 1 \enskip \text{ donc } 1+\leq \sqrt{1+\cos^2(x)}\leq\sqrt{2} )
}}\leq 1)
}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\leq 1)
parce que =\text{ Arccos }\left(\dfrac{\sin(\pi-x)}{\sqrt{1+\cos^2(\pi-x)}}\right)=\text{ Arccos }\left(\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\right)=f(x))
&=&\text{ Arccos }\left(\dfrac{\sin(-x)}{\sqrt{1+\cos^2(-x)}}\right)&=&\text{ Arccos }\left(\dfrac{-\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\right)&=&\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arcsin }\left(\dfrac{-\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\right)\\\\&=&\dfrac{\pi}{2}+\text{ Arcsin }\left(\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\right)&=&\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\text{ Arccos }\left(\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\right)&=&\pi-f(x)\end{matrix})
+f(-x)}{2}=\dfrac{\pi}{2})
![\mathscr{D}_{e}=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathscr{D}_{e}=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right])
sont dérivables sur }{\sqrt{1+\cos^2(x)}}=\pm 1)
et si =0)
\neq 0 \text{ et } \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\geq 0 \text{ donc }\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}\neq - 1)
}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}=1 \iff \sin^2x=1+\cos^2 x \iff \sin x=1\text{ et }\cos x=0 \iff x=\dfrac{\pi}{2})
=\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1+\cos^2(x)}})
=-\dfrac{g'(x)}{\sqrt{1-g^2(x)}})
=\dfrac{\cos (x)\sqrt{1+\cos^2(x)}-\sin(x)\dfrac{-2\sin(x)\cos(x)}{2\sqrt{1+\cos^2(x)}}}{1+\cos^2(x)}=\dfrac{\dfrac{\cos(x)(1+\cos^2(x)+\sin^2(x))}{\sqrt{1+\cos^2(x)}}}{1+\cos^2(x)}=\dfrac{2\cos(x)}{(1+\cos^2(x))\sqrt{1+\cos^2(x)}})
}=\sqrt{1-\dfrac{\sin^2(x)}{1+\cos^2(x)}}=\dfrac{\sqrt{2}\cos(x)}{\sqrt{1+\cos^2(x)}})
=\dfrac{-\sqrt{2}}{1+\cos^2(x)})
&&&&-&&\dbarre \\\hline\niveau{2}{3} f & \niveau{3}{3}&\pi/2 && \niveau{2}{3}\decroit &\niveau{1}{3}&0 \\\hline\end{tabvar})
=\text{Arccos }0=\dfrac{\pi}{2} \text{ et } f'(0)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2})
, l'équation de la tangente au point de symétrie est 
=-\sqrt{2})
, la courbe de 
d'équation : )
^2+1>0)
, donc 
est définie, continue et dérivable sur 
.
 \iff 0\leq x^4-4x^2+4\iff 0\leq (x^2-2)^2)
^2=0\iff x=\sqrt{2}\text{ ou }x=-\sqrt{2})
, =\dfrac{2-x}{(x^2-2x+2)^{\frac{3}{2}}})
=\text{ Arcsin }\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}g(x^2)\right))
=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{2}g^2(x^2)}}\sqrt{2} x g'(x^2))
=\dfrac{(x^2-2)^2}{2(x^4-2x^2+2)})
=\dfrac{\sqrt{x^4-2x^2+2}}{|x^2-2|} . \dfrac{2x(2-x^2)}{(x^4-2x^2+2)^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{2x(2-x^2)}{|x^2-2|(x^4-2x^2+2)})
, le signe de 
 = \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{x\sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}}= \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}}=1)
 = \text{ Arcsin }\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4})
comme asymptote horizontale au voisinage de =\dfrac{\pi}{2})
 & & + & \dbarre & - & \\ \hline & & & \pi/2 & & \\ f & &\nearrow & &\searrow & \\ & 0 & & & & \pi/4 \\ \hline \end{array} )
:
![\forall x\in]\sqrt{2},+\infty[ : |x^2-2|=x^2-2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]\sqrt{2},+\infty[ : |x^2-2|=x^2-2)
, donc : =\lim_{x\to\sqrt{2}^{+}}\dfrac{2x(2-x^2)}{|x^2-2|(x^4-2x^2+2)}=\lim_{x\to\sqrt{2}^{+}}-\dfrac{2x}{x^4-2x^2+2}=-\sqrt{2})
+\dfrac{\pi}{2})
, donc : =\lim_{x\to\sqrt{2}^{-}}\dfrac{2x(2-x^2)}{|x^2-2|(x^4-2x^2+2)}=\lim_{x\to\sqrt{2}^{-}}\dfrac{2x}{x^4-2x^2+2}=\sqrt{2})
+\dfrac{\pi}{2})
=2(x-1)\text{ Arctan }x+\dfrac{(x-1)^2}{1+x^2}=(x-1)\left(2\text{ Arctan }x +\dfrac{x-1}{x^2+1}\right))
=2\text{ Arctan }x +\dfrac{x-1}{x^2+1})
=\dfrac{2}{x^2+1}+\dfrac{x^2+1-2x(x-1)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^2+2x+3}{(x^2+1)^2})
est celui du trinôme })
>0 \text{ et }g \text{ est donc strictement croissante sur })
=\lim_{x\to-\infty}2\text{ Arctan }x +\dfrac{x-1}{x^2+1}=-\pi\text{ et }\displaystyle \lim_{x\to+\infty} g(x)=\lim_{x\to+\infty}2\text{ Arctan }x +\dfrac{x-1}{x^2+1}=\pi)
=0)
n'admet donc qu'une seule solution 
: \approx 0,24 >0 \text{ et } g\left(\dfrac{1}{5}\right) \approx -0,37<0)
, on tombe approximativement sur 
 & & + & \barre{0} & + & \\ \hline & & & \barre{} & & \pi \\ g & & & \barre{} &\nearrow & \\ & & & \barre{0} & & \\ & & \nearrow & \barre{} & & \\ & -\pi & & \barre{} & & \\ \hline \end{array} )
=\lim_{x\to-\infty} (x-1)^2\text{Arctan }x=-\infty)
=\lim_{x\to+\infty} (x-1)^2\text{Arctan }x=+\infty)
=0 \enskip \text{ et }\enskip f(\alpha)\approx f\left(\dfrac{8}{25}\right)\approx 0,14)
 & & - &\barre{0} &+ &\barre{} &+ & \\ \hline x-1 & & - &\barre{ } &- &\barre{0} &+ & \\ \hline f'(x) & & + &\barre{0} &- &\barre{0} &+ & \\ \hline & & & f(\alpha)\approx 0,14 & & & & +\infty \\ f & & \nearrow & &\searrow & & \nearrow & \\ & -\infty & & & & 0 & & \\ \hline \end{array})
=-\infty\enskip \text{ , donc }\lim_{x\to-\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty} \dfrac{(x-1)^2}{x}\text{Arctan }x=+\infty)
=+\infty\enskip \text{ , donc }\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty} \dfrac{(x-1)^2}{x}\text{Arctan }x=+\infty)
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