désigne un intervalle de contenant au moins deux éléments.
I- Équations différentielles linéaires du premier ordre
1- Caractérisation de la fonction
a- Comme solution d'une équation différentielle
Proposition
Soit . La fonction est l'unique fonction dérivable sur solution de l'équation différentielle et véifiant la condition initiale
Preuve :
est dérivable sur Donc est bien solution de l'équation. Par ailleurs Montrons que est l'unique fonction qui répond aux conditions .
Soit une fonction dérivable sur ayant les mêmes propriétés que .
Comme ne s'annule pas , on peut poser .
est dérivable et : est donc constante sur , et comme On en déduit que .
b- Comme solution d'une équation fonctionnelle
Proposition
Soit une fonction non nulle et dérivable de dans . Si vérifie : Alors il existe tel que :
Preuve : Comme est non nulle, on se donne On a Fixons On dérive la fonction En particulier pour Cette égalité étant vraie pour toute valeur de , on constate que f est solution de l'équation différentielle .
Et comme
2- généralités
Définition
Une équation diférentielle est dite linéaire du premier ordre si et seulement si elle s'écrit sous la forme :
sont des fonctions continues définies sur l'intervalle
s'appelle le second membre de l'équation différentielle . Si est nulle, on dit que l'équation différentielle est sans second membre ou encore homogène .
L'équation est l'équation homogène ou sans second membre associée à
Si sont des constantes, on dit que l'équation est à coefficients constants .
L'équation différentielle est dite normalisée si est la fonction constante identiquement égale à sur .
Définition
Soit une application de dans , est une solution de l'équation différentielle sur si et seulement si est dérivable sur et :
Résoudre ou intégrer l'équation différentielle sur , c'est donner toutes ses solutions sur
Vocabulaire :
Une courbe intégrale de est la courbe représentative d'une solution de .
Si une fonction donnée est solution d'une équation différentielle, on dit souvent qu'il s'agit d'une solution particulière de l'équation. En fait, chaque solution de l'équation est une solution particulière.
On parle de solution générale lorsque l'on donne la forme générale de toutes les solutions.
3- Normalisation d'une équation différentielle et problème de raccord
Dans l'étude des équations différentielles linéaires du premier ordre que nous allons effectuer, nous considérerons des équations différentielles normalisées.
L'équation diférentielle linéaire du premier ordre sont des fonctions continues définies sur l'intervalle , admet pour forme normalisée l'équation différentielle linéaire du premier ordre :
est définie pour tout de tandis que n'est définie que pour les valeurs de pour lesquelles ne s'annule pas .
Si admet des zéros, l'équation n'est définie que sur un sous-ensemble .
Remarquons que toute solution de l'équation différentielle est solution de sur où celle-ci est définie. Par contre , une fois obtenues les solutions de sur , se pose le problème d'établir s'il existe une solution sur à l'équation différentielle .
Supposons que ne s'annule qu'en une valeur et posons , le cas général où s'annule en plusieurs points de s'étudie d'une manière analogue en considérant autant de subdivisions de que nécessaire.
1) On commence par résoudre l'équation sur les intervalles et .
2) On cherche ensuite une solution de sur . On remarque que est solution de sur . On en connait donc la forme explicite . De même sur l'intervalle , on connait la forme de .
La fonction étant solution de sur , la fonction doit être :
Prolongeable par continuité en .
Dérivable sur (et donc en )
Voir le paragraphe 10 pour un exemple dans lequel on traitera le raccordement des solutions .
Dans tout ce qui suit, une équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours normalisée , c'est-à-dire de la forme où sont continues définies sur .
4- Structure de l'ensemble des solutions
Proposition
La solution générale de l'équation est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée à
Preuve :
Soit une solution particulière de l'équation .
Soit une fonction dérivable sur . Elle est solution de si et seulement si : Comme on a également : , on peut écrire :
Donc est solution de si et seulement si est solution de
5- Principe de superposition des solutions
Théorème
Soient et des solutions respectivement des équations sur l'intervalle et soient .
Alors est solution de l'équation différentielle
Preuve :
Il suffit d'écrire :
6- Equation homogène du premier ordre
Théorème
Soit une fonction continue sur et une primitive de sur .
Les solutions de l'équation différentielle homogène sont les fonctions de la forme
Preuve :
Soit une fonction dérivable sur . Posons . est dérivable et pour tout de :
Et comme ne s'annule jamais, est solution de l'équation différentielle homogène si et seulement si sur C'est-à-dire que est constante, posons , il vient :
Exemples :
1) Résoudre sur l'équation Directement, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme
2) Résoudre sur l'équation On rappelle que pour tout réel , Une primitive de sur est .
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme
Proposition
1) la fonction nulle est toujours solution de .
2) Si et sont solutions de sur l'intervalle et et deux constantes , alors est aussi solution de
Preuve :
1) Immédiat .
2) Conséquence du principe de superposition dans le cas où .
7- Résolution de l'équation avec second membre
Théorème
Soit . Soient une primitive de sur et une primitive de sur .
La solution générale de sur s'écrit :
Preuve :
Soit une fonction dérivable sur . Posons . est dérivable et pour tout de :
Donc est solution de l'équation différentielle si et seulement si C'est-à-dire, si et seulement si D'où la solution générale :
8- Détermination de solutions particulières
a) Solution paticulière évidente :
Comme le titre l'indique, il est parfois possible de trouver une solution particulière évidente, cela ne marche malheureusement pas à tout coup.
Exemples :
1) Intégrer sur l'équation
Les solutions de l'équation homogène associée sont les fonctions de la forme .
De plus, on voit que la fonction est une solution particulière de l'équation différentielle , en effet : La solution générale de l'équation différentielle est donc :
2) Résoudre sur
b) Cas où est constante et est une fonction polynômiale :
Proposition
Soient et un poynôme de degré à coefficients dans . L'équation différentielle admet comme solution particulière :
Un polynôme de degré si Un polynôme de degré sinon
Exemple :
Intégrer sur l'équation
Les solutions de l'équation sans second membre sont de la forme : L'équation différentielle admet un polynôme de degré comme solution particulière, notons cette solution On a donc : La solution générale de l'équation différentielle est donc :
c) Cas où est constante et un produit d'un polynôme par une fonction exponentielle :
Proposition
Soient et où un poynôme de degré à coefficients dans et .
L'équation différentielle admet une solution particulière de la forme où est :
Un polynôme de degré si Un polynôme de degré sinon
Exemple :
Intégrer sur l'équation
Les solutions de l'équation sans second membre sont de la forme :
La solution particulière est de la forme où est un polynôme de degré , on pose :
Par identification, on prend
La solution particulière s'écrit :
On en déduit la solution générale de l'équation différentielle :
d) Cas où est constante et une fonction trigonométrique en et
Proposition
Soient et où L'équation différentielle admet une solution particulière sur de la forme
Exemple :
Résoudre sur l'équation
La solution générale de l'équation homogène est de la forme :
La solution particulière est de la forme où On trouve , une solution particulière de l'équation est donc .
On en déduit la solution générale de l'équation différentielle , elle est de la forme :
e) Cas général : Méthode de variation de la constante
Cette méthode consiste à faire varier la constante qui apparaît dans l'expression de la solution générale de l'équation homogène.
Soit l'équation différentielle et soit la solution de l'équation homogène associée de la forme une primitive de la fonction .
On cherche alors une solution particulière de la forme où est une fonction dérivable sur .
On a l'équivalence suivante : .
Le calcul de est donc ramené à celui de , primitive de sur , conformément au théorème du paragraphe 6.
Cette méthode est systématique mais mène parfois à des calculs de primitives compliqués, voire impossible à exprimer en fonction de fonctions usuelles.
Exemple :
Résoudre sur l'équation On résout l'équation différentielle homogène associée : .
La solution générale de cette équation homogène s'écrit : Posons une solution particulière de l'équation différentielle , on pose :
On déduit D'où On en déduit finalement la solution générale de l'équation différentielle :
9- Équation différentielle avec condition initiale
Soient .
Résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre avec la condition initiale , c'est déterminer toutes les solutions vérifiants : .
La donnée de l'équation avec une condition initiale est également appelée problème de Cauchy du premier ordre .
Théorème
Il exsite une unique solution sur de l'équation vérifiant la condition initiale
Preuve :
Soit une solution de , elle s'écrit .
On a si et seulement si
Il existe donc une et une seule valeur satisfaisante :
Exemple : Calculer la solution du problèmes de Cauchy suivant :
On avait trouvé que la solution générale de l'équation est de la forme :
Soit la solution du problème de Cauchy, il existe alors tel que, pour tout réel Il s'ensuit alors :
On obtient l'expression de
10- Exercice d'application
Exercice
Résoudre sur l'équation différentielle linéaire suivante :
Puisque . On étudie les solutions de l'équation différentielle normalisée sur les intervalles On remarque que pour tout sur ces intervalles :
Solutions homogènes: Les solutions de l'équation sans second membre sont : Or, pour tout de Les solutions homogènes sont donc de la forme : Solution particulière: On cherche une solution particulière de la forme est une fonction dérivable sur .
On a Ainsi : Prenons . Une solution particulière s'écrit donc : L'ensemble des solutions de sur est donc
Solutions homogènes: Les solutions de l'équation sans second membre sont : Or, pour tout de Les solutions homogènes sont donc de la forme : Solution particulière: On cherche une solution particulière de la forme est une fonction dérivable sur .
On a Ainsi : Prenons . Une solution particulière s'écrit donc : L'ensemble des solutions de sur est donc
D'une manière analogue, on trouve :
Solutions homogènes: Sous la forme : Solution particulière: : L'ensemble des solutions de sur est
Si est solution de sur , alors, il existe Prolongement par continuité en : Pour et directement On a continuité en de .
Prolongement par continuité en : Pour
De même à droite :
On a alors : pour assurer le prolongement en .
Dérivabilité :
En :
En :
n'admet pas de solution dérivable sur , les solutions dérivables sur sont données par :
II- Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
1- Généralités
Définition
Une équation différentielle (E) est dite linéaire du second ordre et à coefficients constants si et seulement si elle est de la forme :
Où , appelée second membre , est une fonction continue définie sur l'intervalle
L'équation est l'équation homogène ou sans second membre associée à
2-Structure de l'ensemble des solutions
Proposition
La solution générale de l'équation est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée à
3- Principe de superposition des solutions
Théorème
Soient et des solutions respectivement des équations sur l'intervalle et soient .
Alors est solution de l'équation différentielle
4- Étude de l'équation homogène
a) Cas complexe :
Théorème
Soit On appelle équation caractéristique de l'équation du second degré . Notons son dicriminent .
L'équation caractéristique admet dans deux solutions distinctes . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
L'équation caractéristique admet dans une solution . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
sont des constantes complexes quelconques
Preuve :
Sans distinguer de cas , si , on note On rappelle que Soit une fonction deux fois dérivable sur .
On pose , est deux fois dérivable et :
On a les équivalences suivantes :
En multipliant par , on obtient : Nous avons donc démontré que est solution de si et seulement si est solution de l'équation différentielle .
On disingue les deux cas :
, alors l'équation s'écrit , donc :
:
b) Cas réel:
Comme , les résultats vus dans a) restent valables si les coefficients sont réels, cependant, sur , on ne s'intéresse qu'aux solutions à valeurs réelles.
Lemme
Soit Si est une solution de sur à valeurs quelconques, alors est solution de sur à valeurs dans .
Preuve : On a pour tout de .
Par linéarité de la patie réelle , on a Or, la partie réelle de la dérivée étant la dérivée de la partie réelle, donc : .
est bien solution de (à valeurs réelles) .
Théorème
Soit On appelle équation caractéristique de l'équation du second degré . Notons son dicriminent .
L'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
L'équation caractéristique admet une solution réelle . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
L'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées, que l'on note . Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :
sont des constantes réelles quelconques
Preuve : Soient des constantes réelles arbitraires, alors sont des constantes complexes quelconques.
: D'après le théorème précédent, les solutions complexes sont de la forme Leurs parties réelles sont de la forme :
: D'après le théorème précédent, les solutions complexes sont de la forme Leurs parties réelles sont de la forme :
: Les solutions complexes sont de la forme La partie réelle de cette exrpession est : Ce qui fallait démontrer , en effet :
Remarque :
Si , on peut poser Les solutions peuvent alors s'écrire : En effet : on cherche l'amplitude et on factorise : .
Or, puisque Il s'ensuit
En physique, on préfère cette expression à celle présentée dans le théorème précédent.
Exemples :
Résoudre sur : Solutions de l'équation caractéristique .
, les solutions sont donc : Les solutions de l'équation différentielle homogène sont :
Résoudre sur : Solutions de l'équation caractéristique .
, les solutions sont donc : Les solutions de l'équation différentielle sont :
Résoudre sur : Solutions de l'équation caractéristique .
, les solutions sont donc : Les solutions de l'équation différentielle homogène sur sont :
5- Équation avec second membre
a) Le second membre est un polynôme :
Théorème
Soient où un polynôme de degré .
Alors il existe une fonction polynomiale de degré solution particulière de .
Alors il existe une fonction polynomiale de degré solution particulière de .
Alors il existe une fonction polynomiale de degré solution particulière de .
Exemple :
Résoudre dans l'équation
On avait trouvé dans l'exemple précédent que les solutions de l'équation homogène associée sont de la forme :
On sait, d'après le théorème, qu'une solution particulière est polynômiale de degré 2, donc est de la forme
On injecte dans l'équation est on identifie les coefficients :
Donc , une solution particulière de est
On conclut que les solutions générales de l'équation sont de la forme :
b) Le second membre est un produit polynôme-exponentielle :
Théorème
Soient où un polynôme , notons
Alors est une solution particulière de .
Alors est une solution particulière de .
Alors est une solution particulière de .
Où est un polynôme tel que
Exemple :
Résoudre dans l'équation
On trouve aisément les solutions de l'équation homogène associée qui sont sous la forme :
Déterminons une solution particulière de cette équation :
Posons , puisque : , on cherche une solution particulière de la forme
On a :
est solution de si et seulement si :
Les solutions générales de l'équation s'écrivent sous la forme :
c) Le second membre est une combinaison linéaire de fonctions et
Proposition
Soient et où L'équation différentielle admet une solution particulière sur de la forme
Exemple :
Résoudre dans l'équation
On avait trouvé les solutions de l'équation homogène associée :
L'équation admet une solution particulière de la forme
On a :
est solution de si et seulement si :
Les solutions générales de l'équation s'écrivent donc sous la forme :
d) Cas général : Méthode de variations des constantes
Notation :
On note la solution de l'équation différentielle homogène en prenant et (ou et sur dans le cas )
On note la solution de l'équation différentielle homogène en prenant et (ou et sur dans le cas )
Plus précisément , sur :
Sur :
Remarque : On dit que forme une base de solutions de l'équation homogène.
Méthode :
La méthode de variations des constantes consiste à trouver une solution particulière sous la forme : En particulier, l'expression entraîne que :
Maintenant : .
Et puisque et sont solutions de l'équation homogène , alors est solution particulière si et seulement si
Conclusion : Pour trouver et , on utilise et on résout le système différentiel.
Exemple :
Résoudre dans l'équation
Les solutions de l'équation homogène s'écrivent sous la forme :
Déterminons une solution particulière de l'équation en utilisant la méthode de variations des constantes. On cherche telle que :
Il en résulte alors que :
Puisque
est solution si et seulement si :
En multipiant par et en simplifiant par , on obtient :
D'après
Alors :
Soit et par suite , on peut prendre
En remplaçant dans
Ce qui permet de prendre :
On obtient finalement
Et on conclut que les solutions générales de l'équation différentielle sont :
6- Problème de Cauchy
Proposition
Soient . L'équation différentielle où admet une et une seule solution vérifiant la condition initiale
Exemple :
Résoudre dans le problème de Cauchy suivant :
D'après l'exemple précédent, les solutions générales de l'équation différentielle sont :
Soit la solution du problème de Cauchy à résoudre, alors il existe
On obtient : , il s'ensuit que
On conclut que la solution du problème de Cauchy est
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désigne un intervalle de 
contenant au moins deux éléments.
est dérivable sur =\left(\text{ e}^{ax}\right)'=a\text{ e}^{ax}=af(x))
=1)
une fonction dérivable sur 
.
est dérivable et : =\drac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{f^2(x)}=\dfrac{ag(x)f(x)-ag(x)f(x)}{f^2(x)}=0)
=\dfrac{g(0)}{f(0)}=1 \Rightarrow \forall x\in\R \text{ : }h(x)=1)
.
=0)
=f(0)f(x_0) \text{ , donc } f(0)=\dfrac{f(0+x_0)}{f(x_0)}=1)
=f(t)f(u))
 \text{ , on obtient } \forall t\in\R\enskip : \enskip f'(t+u)=f(u)f'(t))
=f'(0)f(u))
, on constate que f est solution de l'équation différentielle )
.
=1 \text{ , donc d'après la proposition précédente } \forall x\in\R\text{ : }f(x)=\text{ e}^{ax} )
)
est la courbe représentative d'une solution de \enskip : \enskip a(x)y'+b(x)y=c(x)\enskip \text{ , où }a , b \text{ et } c)
sont des fonctions continues définies sur l'intervalle \enskip : \enskip y'+\dfrac{b(x)}{a(x)}y=\dfrac{c(x)}{a(x)})
de )
n'est définie que pour les valeurs de 
ne s'annule pas .
.
où celle-ci est définie. Par contre , une fois obtenues les solutions de 
et posons ![I_1=]-\infty, x_0[\cap I \text{ et }I_2=I\cap ]x_0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty, x_0[\cap I \text{ et }I_2=I\cap ]x_0,+\infty[)
, le cas général où  \text{ sur } I)
y=b(x))
où 
sont continues définies sur 
une solution particulière de l'équation +a(x)f(x)=b(x))
+a(x)f_h(x)=b(x))
, on peut écrire :
+a(x)f(x)=b(x) &\iff&f'(x)+a(x)f(x)=f_h'(x)+a(x)f_h(x)\\&\iff& (f-f_h)'(x)+a(x)(f-f_h)(x)=0\end{matrix})
est solution de )
+a(x)f(x)&=&\alpha f_1'(x)+\beta f_2'(x)+a(x)\left(\alpha f_1(x)+\beta f_2(x)\right) \\&=&\alpha f_1'(x)+a(x)\alpha f_1(x)+\beta f_2'(x)+a(x)\beta f_2(x)\\&=&\alpha \left(f_1'(x)+a(x)f_1(x)\right)+\beta\left(f_2'(x)+a(x)f_2(x)\right)\\&=& \alpha b_1(x)+\beta b_2(x)\end{matrix})
\text{ e}^{A(x)})
. &=& f'(x) \text{ e}^{A(x)} + f(x) A'(x) \text{ e}^{A(x)}\\&=& f'(x) \text{ e}^{A(x)}+a(x)f(x) \text{ e}^{A(x)} \\&=& (f'(x)+a(x)f(x))\text{ e}^{A(x)}\end{matrix})
})
ne s'annule jamais, 
sur 
, il vient : \text{ e}^{A(x)}\iff \forall x\in I \text{ : }f(x)=k\text{ e}^{-A(x)})
l'équation 
sur 
.
.
=(f'(x)+a(x)f(x))\text{ e}^{A(x)})
=b(x)\text{ e}^{A(x)}=B'(x))
=B(x)+k \text{ où } k\in\C \text{ constante })
} }_{\text{ Solution de l'équation homogène }} \enskip + \enskip \underbrace{B(x)\text{ e}^{-A(x)}}_{\text{ Solution particulière }} \enskip \text{ , } k\in\C)
sont les fonctions de la forme 
.
est une solution particulière de l'équation différentielle , en effet : '-3\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)=2)
![]1,+\infty[ \text{ : } y'+\dfrac{1}{x\ln(x)}y=\dfrac{\text{ e}^{x}}{\ln(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,+\infty[ \text{ : } y'+\dfrac{1}{x\ln(x)}y=\dfrac{\text{ e}^{x}}{\ln(x)})
![\begin{matrix}\text{ Sur }]1,+\infty[ \text{ : } y'+\dfrac{1}{x\ln(x)}y=\dfrac{\text{ e}^{x}}{\ln(x)} &\iff& \ln(x)y'+\dfrac{1}{x}y=\text{ e}^{x} \\&\iff& \left(\ln(x) y\right)'=\text{ e}^{x} \\&\iff& \ln(x) y = \text{ e}^{x}+k\enskip k\in\R \\&\iff& \forall x\in]1,+\infty[ \text{ : } y(x)=\dfrac{\text{ e}^{x}+k}{\ln(x)}\enskip k\in\R \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\text{ Sur }]1,+\infty[ \text{ : } y'+\dfrac{1}{x\ln(x)}y=\dfrac{\text{ e}^{x}}{\ln(x)} &\iff& \ln(x)y'+\dfrac{1}{x}y=\text{ e}^{x} \\&\iff& \left(\ln(x) y\right)'=\text{ e}^{x} \\&\iff& \ln(x) y = \text{ e}^{x}+k\enskip k\in\R \\&\iff& \forall x\in]1,+\infty[ \text{ : } y(x)=\dfrac{\text{ e}^{x}+k}{\ln(x)}\enskip k\in\R \end{matrix})
est une fonction polynômiale :
comme solution particulière, notons cette solution 
+2f(x)=x^2 \iff 2ax+b+2ax^2+2bx+2c=x^2 \iff \begin{cases} 2a=1 \\2a+2b=0 \\b+2c=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=\dfrac{1}{2} \\ b=-\dfrac{1}{2} \\c=\dfrac{1}{4}\end{cases})
\text{ e}^{x})
\text{ e}^{x})
où 
est un polynôme de degré =ax^2+bx+c)
:
\text{ e}^{x})'-Q(x)\text{ e}^{x}=(x+1)\text{ e}^{x}\iff Q'(x)\text{ e}^{x}+Q(x)\text{ e}^{x}-Q(x)\text{ e}^{x}=(x+1)\text{ e}^{x}\iff 2ax+b=x+1)
\text{ e}^{x} \text{ avec }c\in\R)
\text{ e}^{x} \text{ avec }\alpha=k+c\in\R )
et 
+\cos (x))
+b\cos(x))
où 
+b\cos(x))'+a\sin(x)+b\cos(x)=\sin(x)+\cos(x)\iff a\cos(x)-b\sin(x)+a\sin(x)+b\cos(x)=\sin(x)+\cos(x)\iff \begin{cases} a+b=1\\a-b=1\end{cases})
, une solution particulière de l'équation est donc )
.
\text{ , }k\in\R)
y=0)
de la forme }\text{ où }k\in\C \text{ et } A)
une primitive de la fonction \text{ e}^{-A(x)})
où 
est une fonction dérivable sur 
.
\text{ e}^{-A(x)}=b(x))
.
est donc ramené à celui de 
sur 
.
=k \text{ e }^{-\ln |1+x^2|}= \dfrac{k}{|1+x^2|}}=\dfrac{k}{1+x^2} \enskip , \enskip k\in \R)
=\dfrac{k(x)}{1+x^2} )
+\dfrac{2x}{1+x^2}f_p(x)=\dfrac{\text{ e}^{x}+x}{x^2+1}\iff \dfrac{k'(x)(1+x^2)-2xk(x)}{(1+x^2)^2} +\dfrac{2xk(x)}{(1+x^2)^2}=\dfrac{\text{ e}^{x}+x}{x^2+1}\iff k'(x)=\text{ e}^{x}+x)
=\text{ e }^x+\dfrac{x^2}{2}+\lambda \enskip , \enskip \lambda \in\R )
=\dfrac{\text{ e }^x+\dfrac{x^2}{2}+\lambda}{1+x^2}\enskip , \enskip \lambda \in\R )
+f_p(x)= \dfrac{2\text{ e }^x+x^2+\alpha}{2(1+x^2)}\enskip , \enskip \alpha \in\R)
.
=y_0)
, c'est déterminer toutes les solutions =y_0)
.
=B(x)\text{ e}^{-A(x)}+k\text{ e}^{-A(x)} \text{ où }k\in\C)
.
+k\right)\text{ e}^{-A(x_0)})
}-B(x_0))
=\dfrac{3}{2} \end{cases})
}\enskip , \enskip k \in\R)
tel que, pour tout réel =\dfrac{2\text{ e }^x+x^2+k}{2(1+x^2)} \text{ avec }f(0)=\dfrac{3}{2})
= \dfrac{\text{ e}^{x}}{1+x^2}+\dfrac{1}{2})
=0 \iff x=0\text{ ou } x=1)
. On étudie les solutions de l'équation différentielle normalisée  : y'+\dfrac{1}{x(x-1)}y=\dfrac{x+1}{x(x-1)})
sur les intervalles ![]-\infty , 0[ \text{ , } ]0,1[\text{ et }]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty , 0[ \text{ , } ]0,1[\text{ et }]1,+\infty[)
}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x})
![\bullet \text{ Sur } ]-\infty,0[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur } ]-\infty,0[ \text{ : })
\enskip , \enskip k_1\in\R)
![]-\infty, 0[ \text{ : } k_1 \exp\left(-\ln|x-1|+\ln|x|\right)=k_1\exp\left(\ln(-x)-\ln(1-x)\right)=k_1\exp\left(\ln\left(\dfrac{x}{x-1}\right)\right) = \dfrac{k_1x}{x-1} \enskip (k_1\in\R)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty, 0[ \text{ : } k_1 \exp\left(-\ln|x-1|+\ln|x|\right)=k_1\exp\left(\ln(-x)-\ln(1-x)\right)=k_1\exp\left(\ln\left(\dfrac{x}{x-1}\right)\right) = \dfrac{k_1x}{x-1} \enskip (k_1\in\R))
x}{x-1} \text{ où } x\mapsto k_1(x))
est une fonction dérivable sur ![]-\infty, 0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty, 0[)
.
![\forall x\in ]-\infty , 0[ \text{ : }y_p'(x)=\dfrac{k_1'(x) x }{x-1 }-\dfrac{k_1(x)}{(x-1)^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in ]-\infty , 0[ \text{ : }y_p'(x)=\dfrac{k_1'(x) x }{x-1 }-\dfrac{k_1(x)}{(x-1)^2})
+\dfrac{1}{x(x-1)}y_p(x)=\dfrac{x+1}{x(x-1)}\iff \dfrac{x }{x-1} k_1'(x)-\dfrac{k_1(x)}{(x-1)^2}+\dfrac{x k_1(x)}{x(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{x(x-1)}\iff k_1'(x)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2})
= \ln|x|-\dfrac{1}{x}=\ln(-x)-\dfrac{1}{x})
. Une solution particulière s'écrit donc : -1}{x-1})
![]-\infty, 0 [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty, 0 [)
est donc -1}{x-1 } \enskip , \enskip k_1\in\R\right\rbrace)
![\bullet \text{ Sur } ]0,1[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur } ]0,1[ \text{ : })
\enskip , \enskip k_2\in\R)
![]0,1[ \text{ : } k_2 \exp\left(-\ln|x-1|+\ln|x|\right)=k_2\exp\left(\ln(x)-\ln(1-x)\right)=k_2\exp\left(\ln\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\right) = \dfrac{k_2x}{1-x} \enskip (k_2\in\R)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1[ \text{ : } k_2 \exp\left(-\ln|x-1|+\ln|x|\right)=k_2\exp\left(\ln(x)-\ln(1-x)\right)=k_2\exp\left(\ln\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\right) = \dfrac{k_2x}{1-x} \enskip (k_2\in\R))
x}{1-x} \text{ où } x\mapsto k_2(x))
est une fonction dérivable sur ![]0,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1[)
.
![\forall x\in ]0,1[ \text{ : }y_p'(x)=\dfrac{k_2'(x) x }{1-x }+\dfrac{k_2(x)}{(1-x)^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in ]0,1[ \text{ : }y_p'(x)=\dfrac{k_2'(x) x }{1-x }+\dfrac{k_2(x)}{(1-x)^2})
+\dfrac{1}{x(x-1)}y_p(x)=\dfrac{x+1}{x(x-1)}\iff \dfrac{x }{1-x} k_2'(x)+\dfrac{k_2(x)}{(1-x)^2}-\dfrac{x k_2(x)}{x(1-x)^2}=\dfrac{x+1}{x(x-1)}\iff k_2'(x)= -\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2})
= -\ln|x|+\dfrac{1}{x}=-\ln(x)+\dfrac{1}{x})
. Une solution particulière s'écrit donc : +1}{1-x})
![]0,1 [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1 [)
est donc +1}{1-x } \enskip , \enskip k_2\in\R\right\rbrace)
![\bullet \text{ Sur } ]1,+\infty[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Sur } ]1,+\infty[ \text{ : })
-1}{x-1})
![]1,+\infty [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,+\infty [)
est -1}{x-1 } \enskip , \enskip k_3\in\R\right\rbrace)
 \text{ sur }\R :)
est solution de ![k_1,k_2,k_3 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases} \dfrac{k_1x+x\ln|x|-1}{x-1} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\\dfrac{k_2 x + x\ln|x|-1}{x-1} &\text{ si } x\in]0,1[ \\\dfrac{k_3 x+ x\ln|x| - 1}{x-1}& \text{ si }x\in]1,+\infty[ \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1,k_2,k_3 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases} \dfrac{k_1x+x\ln|x|-1}{x-1} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\\dfrac{k_2 x + x\ln|x|-1}{x-1} &\text{ si } x\in]0,1[ \\\dfrac{k_3 x+ x\ln|x| - 1}{x-1}& \text{ si }x\in]1,+\infty[ \end{cases})
:
y'(0)+y(0)=0+1 \iff y(0)=1)
et directement = \lim_{x\to 0^-} y(x)=1)
:
+y(1)=1+1 \iff y(1)=2)
= \lim_{x\to 1^-} \dfrac{k_2 x + x\ln|x|-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^-} \dfrac{k_2 x -1}{x-1}+\dfrac{x\ln(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-} \dfrac{k_2 x -1}{x-1}+1)
=2 \text{ si et seulement si } k_2=1)
=2 \text{ si et seulement si } k_3=1)
pour assurer le prolongement en -y(0)}{x}=\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln(x)}{x-1}=+\infty)
-y(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1} \dfrac{x\ln(x)-x+1}{(x-1)^2}\underbrace{=}_{\text{ l'Hôpital}}\lim_{x\to 1} \dfrac{\ln(x)}{2(x-1)}=\dfrac{1}{2})
sont données par :
![y(x)=\begin{cases} \dfrac{k_1x+x\ln|x|-1}{x-1} \enskip , \enskip (k_1\in\R)& \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\1+x\dfrac{\ln(x)}{x-1} &\text{ si } x\in]0,1[\cup]1,+\infty[ \\2& \text{ si }x=1 \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y(x)=\begin{cases} \dfrac{k_1x+x\ln|x|-1}{x-1} \enskip , \enskip (k_1\in\R)& \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\1+x\dfrac{\ln(x)}{x-1} &\text{ si } x\in]0,1[\cup]1,+\infty[ \\2& \text{ si }x=1 \end{cases})
, on note 
\text{ e}^{-\alpha x} )
, =f'(x)\text{ e}^{-\alpha x} -\alpha f(x) \text{ e}^{-\alpha x})
=f''(x)\text{ e}^{-\alpha x}-2\alpha f'(x)\text{ e}^{-\alpha x}+\alpha^2 f(x) \text{ e}^{-\alpha x}=(f''(x)-2\alpha f'(x)+\alpha^2 f(x))\text{ e}^{-\alpha x})
 \text{ sur }I &\iff& af''+bf'+cf=0 &\iff & f''=-\dfrac{b}{a}f'-\dfrac{c}{a}f \\\\&\iff& f''=(\alpha+\beta)f'-\alpha\beta f &\iff& f''-2\alpha f'+\alpha^2 f=(\alpha-\beta)f'-\alpha(\beta-\alpha) f \\\\&\iff&f''-2\alpha f'+\alpha^2 f= (\beta-\alpha)(f'-\alpha f) && \end{matrix})
, on obtient : g')
:y'=(\beta-\alpha)y)
.
, alors l'équation )
s'écrit 
, donc :
 \text{ sur }I &\iff& g''=0&\iff & g'\text{ est constante sur }I\\\\&\iff& g \text{ s'écrit : } x\mapsto Ax+B \text{ / }A,B\in\C &\iff& f\text{ s'écrit : } x\mapsto (Ax+B)\text{ e}^{\alpha x} \text{ / }A,B\in\C \end{matrix})
:
 \text{ sur }I &\iff& g \text{ s'écrit : } x\mapsto k\text{ e}^{(\beta-\alpha) x} \text{ , }k\in\C &\iff& g\text{ s'écrit : } x\mapsto \dfrac{k}{\beta-\alpha}\text{ e}^{(\beta-\alpha) x} +A \text{ / }k,A\in\C \\\\&\iff& f\text{ s'écrit : } x\mapsto A\text{ e}^{\alpha x} +B \text{ e}^{\beta x} \text{ / }A,B\in\C&& \end{matrix})
, les résultats vus dans a) restent valables si les coefficients sont réels, cependant, sur +bf'(x)+cf(x)=0)
.
+bf'(x)+cf(x)\right)=a\mathcal{R}ef''(x)+b\mathcal{R}ef'(x)+c\mathcal{R}ef(x)=0)
''(x)+b(\mathcal{R}e f)'(x)+c\mathcal{R}e f(x)=0 )
.
est bien solution de 
des constantes réelles arbitraires, alors 
sont des constantes complexes quelconques.
: D'après le théorème précédent, les solutions complexes sont de la forme  \text{ e }^{\alpha x}+(B+iB')\text{ e }^{\beta x})
: D'après le théorème précédent, les solutions complexes sont de la forme x +(B+iB')\right)\text{ e }^{\alpha x})
 \text{ e }^{\alpha x})
: Les solutions complexes sont de la forme  \text{ e }^{(\lambda+i\mu) x}+(B+iB')\text{ e }^{(\lambda-i\mu) x})
\cos\mu x+ (-A'+B')\sin \mu x\right))
, on peut poser 
)
et on factorise : )
.
^2+\left(\dfrac{k_2}{A}\right)^2=1 \text{ , } \exists \varphi \in\R \text{ / } \cos\varphi =\dfrac{k_1}{A} \text{ et } \sin\varphi=\dfrac{k_2}{A})
=A\cos(\mu x-\varphi))
.
, les solutions sont donc : 
.
, les solutions sont donc : 
.
, les solutions sont donc : 
 \text{ , }A,B\in\R)
:y''-3y'+2y=x^2+x+2)
-3Q'(x)+2Q(x)=x^2+x+2 \iff 2a-6ax-3b+2ax^2+2bx+2c=x^2+x+2 \iff \begin{cases} 2a=1 \\-6a+2b=1 \\2a-3b+2c=2\end{cases}\iff \begin{cases} a=\dfrac{1}{2} \\b=2 \\c=\dfrac{7}{2}\end{cases})
:y''-2y'-3y=x\text{e}^{-x})
=X^2-2X-3)
, puisque : =0 et P'(-1)=-4\neq 0 )
, on cherche une solution particulière de la forme \text{e}^{-x} \text{ , }a,b\in\R)
=(2ax+b-ax^2-bx)\text{e}^{-x}=(-ax^2+(2a-b)x+b)\text{e}^{-x})
=(-2ax++2a-b+ax^2-(2a-b)x-b)\text{e}^{-x}=(ax^2-(4a-b)x+2a-2b)\text{e}^{-x})
x+2a-2b)-2(-ax^2+(2a-b)x+b)-3(ax^2+bx)=x \iff a=-\dfrac{1}{8}\text{ et }b=-\dfrac{1}{16})
\text{e}^{-x} \text{ / }A,B\in\R)
:y''-2y'-3y=\sin x)
 +b \sin( x) \text{ où } a,b\in\R)
=-a\sin x +b\cos x\enskip \text{ et } \enskip f_p''(x)=-a\cos x-b\sin x)
-3(a \cos x +b \sin x )=\sin x\iff \begin{cases}-4a-2b=0\\2a-4b=1\end{cases} \iff a=\dfrac{1}{10}\text{ et }b=-\dfrac{1}{5})
la solution de l'équation différentielle homogène en prenant 
et 
(ou 
et 
sur 
)
la solution de l'équation différentielle homogène en prenant 
et 
(ou 
et 
sur 
\text{ et }y_2:x\mapsto \text{ e }^{\lambda x}\sin(\mu x))
)
forme une base de solutions de l'équation homogène.
sous la forme : =A(x)y_1(x)+B(x)y_2(x) \\y_0'(x)=A(x)y_1'(x)+B(x)y_2'(x)\end{cases})
entraîne que : y_1(x)+B'(x)y_2(x)=0\enskip (I) )
=A(x)y_1''(x)+B(x)y_2''(x)+A'(x)y_1'(x)+B'(x)y_2'(x))
.
y_1'(x)+B'(x)y_2'(x)=u(x)\enskip (II))
et 
, on utilise  \text{ et }(II))
et on résout le système différentiel.
:y''+2y'+3y=\sin x \text{ e}^{-x})
\text{ e}^{-x} \enskip , \enskip A,B\in\R)
=A(x)\text{ e}^{-x}\sin x + B(x) \text{e}^{-x} \cos x \\y_0'(x)=A(x)\text{ e}^{-x}(\cos x-\sin x) -B(x)\text{ e}^{-x}(\sin x+\cos x))
\sin x + B'(x)\cos x =0\enskip (*))
=A'(x)\text{ e}^{-x}(\cos x -\in x)-B'(x)\text{ e}^{-x}(\sin x+ \cos x )-2A(x)\text{ e}^{-x}\cos x + 2B(x)\text{ e}^{-x}\sin x)
\text{ e}^{-x}(\cos x -\sin x)-B'(x)\text{ e}^{-x}(\sin x+ \cos x )=\text{ e}^{-x}\sin x)
et en simplifiant par 
, on obtient :
\cos x(\cos x -\in x)-B'(x)\cos x(\sin x+ \cos x )=\cos x\sin x)
\enskip , \enskip A'(x)\sin x =- B'(x)\cos x )
\cos x(\cos x -\in x)+A'(x)\sin x(\sin x+ \cos x )=\dfrac{1}{2}\sin 2x)
=\dfrac{1}{2}\sin 2x)
et par suite , on peut prendre = -\dfrac{1}{4}\cos 2x)
\enskip : \enskip B'(x)=-\sin^2x=\dfrac{1}{2}\left(\cos 2x -1\right))
= \dfrac{1}{4} \sin 2x -\dfrac{x}{2})
\text{ e}^{-x} -\dfrac{1}{2}x\text{ e}^{-x}\cos x \enskip , \enskip A,B\in\R)
:y''+2y'+3y=\sin x \text{ e}^{-x}\text{ vérifiant }\enskip\begin{cases} y(0)=0 \\y'(0)=0\end{cases})
=(A\sin x + B\cos x)\text{ e}^{-x} -\dfrac{1}{2}x\text{ e}^{-x}\cos x \text{ avec }f(0)=0 \text{ et }f'(0)=0)
=B=0 \text{ et } f'(0)=A-B-\dfrac{1}{2}=0)
, il s'ensuit que 
 )
Publié par malou/Panter
le
. La fonction 
est l'unique fonction dérivable sur 
et véifiant la condition initiale =1)
=f(t)f(u))
=\text{ e}^{ax})
)
s'appelle le second membre de l'équation différentielle \enskip : \enskip a(x)y'+b(x)y=0)
est l'équation homogène ou sans second membre associée à 
sont des constantes, on dit que l'équation est à coefficients constants .
f'(x)+b(x)f(x)=c(x))
et 
.
. De même sur l'intervalle 
de  & \text{si } x\in I_1 \\f_2(x) &\text{ si } x\in I_2 \end{cases})
doit être :
.
: y'+a(x)y=b(x))
est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène : y'+a(x)y=0)
associée à 
des solutions respectivement des équations :y'+a(x)y=b_1(x) \text{ et }(E_2):y'+a(x)y=b_2(x))
sur l'intervalle 
.
est solution de l'équation différentielle y=\alpha b_1(x)+\beta b_2(x))
: y'+a(x)y=0)
sont les fonctions de la forme } \text{ où } k\in \C \text{ une constante quelconque })
et 
deux constantes , alors 
est aussi solution de \enskip : \enskip y'+a(x)y=b(x))
. Soient } b(x))
sur \text{ e}^{-A(x)}+k\text{ e}^{-A(x)} \text{ où } k\in \C \text{ une constante qualconque })
à coefficients dans )
admet comme solution particulière :
si 
sinon \text{ e}^{mx})
où 
un poynôme de degré 
.
\text{ e}^{mx})
où 
et  + \beta \sin(\omega x))
où 
 +\rho \sin(\omega x) \text{ où } \gamma,\rho\in\R)
:y'+a(x)y=b(x))
vérifiant la condition initiale :x(x-1)y'+y=x+1)
\enskip : \enskip ay''+by'+cy=u(x)\enskip )
, appelée second membre , est une fonction continue définie sur l'intervalle 
\enskip : ay''+by'+cy=0)
est l'équation homogène ou sans second membre associée à : \enskip ay''+by'+cy=u(x))
est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène : ay''+by'+cy=0)
associée à :ay''+by'+cy=u_1(x) \text{ et }(E_2):ay''+by'+cy=u_2(x))
sur l'intervalle +\beta u_2(x))
 : ay''+by'+cy=0 \text{ , }a,b,c\in\C \text{ avec }a\neq 0)
. Notons 
son dicriminent .
L'équation caractéristique admet dans 
. Les solutions de l'équation différentielle 
L'équation caractéristique admet dans 
. Les solutions de l'équation différentielle \text{ e }^{\alpha x})
sont des constantes complexes quelconques  : ay''+by'+cy=0 \text{ , }a,b,c\in\R \text{ avec }a\neq 0)
)
est solution de 
L'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes 
L'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées, que l'on note )
. Les solutions de l'équation différentielle  )
sont des constantes réelles quelconques :ay''+by'+cy=Q(x))
où 
Alors il existe une fonction polynomiale de degré 
Alors il existe une fonction polynomiale de degré 
Alors il existe une fonction polynomiale de degré 
solution particulière de :ay''+by'+cy=Q(x)\text{e}^{\alpha x})
où =aX^2+bX+c)
\neq 0 \text{ : })
Alors \text{e}^{\alpha x })
est une solution particulière de = 0 \text{ et }P'(\alpha)\neq 0 \text{ : })
Alors \text{e}^{\alpha x })
est une solution particulière de =P'(\alpha)= 0 \text{ : })
Alors \text{e}^{\alpha x })
est une solution particulière de 
est un polynôme tel que =\deg(Q))
et  + \beta \sin(\omega x))
où )
admet une solution particulière sur 
. L'équation différentielle : ay''+by'+cy=u(x))
où 
admet une et une seule solution vérifiant la condition initiale \\y_0'=y'(x_0)\end{cases})
analyse en post-bac