Équations différentielles linéaires
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
désigne un intervalle de
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
contenant au moins deux éléments.
I- Équations différentielles linéaires du premier ordre
1- Caractérisation de la fonction ![x\mapsto \text{ e}^{ax} \enskip a\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto \text{ e}^{ax} \enskip a\in\C)
a- Comme solution d'une équation différentielle
Proposition
Soit
![a\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\in\C)
. La fonction
![f:x\mapsto \text{ e}^{ax}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f:x\mapsto \text{ e}^{ax})
est l'unique fonction dérivable sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
solution de l'équation différentielle
![y'=ay](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'=ay)
et véifiant la condition initiale
![y(0)=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y(0)=1)
Preuve :
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est dérivable sur
Donc
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est bien solution de l'équation. Par ailleurs
Montrons que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est l'unique fonction qui répond aux conditions .
Soit
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
une fonction dérivable sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
ayant les mêmes propriétés que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
.
Comme
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
ne s'annule pas , on peut poser
![h=\dfrac{g}{f}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h=\dfrac{g}{f})
.
![h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h)
est dérivable et :
![h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h)
est donc constante sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
, et comme
On en déduit que
![f=g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f=g)
.
b- Comme solution d'une équation fonctionnelle
Proposition
Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
une fonction non nulle et dérivable de
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
dans
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
. Si
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
vérifie :
Alors il existe
![a\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\in\C)
tel que :
![\forall x\in\R\text{ : }f(x)=\text{ e}^{ax}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\R\text{ : }f(x)=\text{ e}^{ax})
Preuve :
Comme
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est non nulle, on se donne
On a
Fixons
On dérive la fonction
En particulier pour
Cette égalité étant vraie pour toute valeur de
![u\in\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u\in\R)
, on constate que f est solution de l'équation différentielle
![y'=ay \text{ avec }a=f'(0)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'=ay \text{ avec }a=f'(0))
.
Et comme
2- généralités
Définition
Une équation diférentielle
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
est dite
linéaire du premier ordre si et seulement si elle s'écrit sous la forme :
sont des fonctions continues définies sur l'intervalle
![b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b(x))
s'appelle
le second membre de l'équation différentielle
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
. Si
![b](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b)
est nulle, on dit que l'équation différentielle est
sans second membre ou encore
homogène .
L'équation
![(E_h)\enskip : \enskip a(x)y'+b(x)y=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h)\enskip : \enskip a(x)y'+b(x)y=0)
est
l'équation homogène ou
sans second membre associée à
Si
![a , b \text{ et }c](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a , b \text{ et }c)
sont des constantes, on dit que l'équation est
à coefficients constants .
L'équation différentielle
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
est dite
normalisée si
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
est la fonction constante identiquement égale à
![1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1)
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
.
Définition
Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
une application de
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
dans
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
,
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une solution de l'équation différentielle
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
si et seulement si
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est dérivable sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
et :
Résoudre ou
intégrer l'équation différentielle
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
, c'est donner
toutes ses solutions sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
Vocabulaire :
Une
courbe intégrale de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
est la courbe représentative d'une solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
Si une fonction donnée
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est solution d'une équation différentielle, on dit souvent qu'il s'agit d'une
solution particulière de l'équation. En fait, chaque solution de l'équation est une solution particulière.
On parle de
solution générale lorsque l'on donne la forme générale de toutes les solutions.
3- Normalisation d'une équation différentielle et problème de raccord
Dans l'étude des équations différentielles linéaires du premier ordre que nous allons effectuer, nous considérerons des équations différentielles normalisées.
L'équation diférentielle linéaire du premier ordre
![(E)\enskip : \enskip a(x)y'+b(x)y=c(x)\enskip \text{ , où }a , b \text{ et } c](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E)\enskip : \enskip a(x)y'+b(x)y=c(x)\enskip \text{ , où }a , b \text{ et } c)
sont des fonctions continues définies sur l'intervalle
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
, admet pour forme normalisée l'équation différentielle linéaire du premier ordre :
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
est définie pour tout
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
de
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
tandis que
![(E_N)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_N))
n'est définie que pour les valeurs de
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
pour lesquelles
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
ne s'annule pas .
Si
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
admet des zéros, l'équation
![(E_N)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_N))
n'est définie que sur un sous-ensemble
![J\subset I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J\subset I)
.
Remarquons que toute solution de l'équation différentielle
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
est solution de
![(E_N)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_N))
sur
![J](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J)
où celle-ci est définie. Par contre , une fois obtenues les solutions de
![(E_N)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_N))
sur
![J](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J)
, se pose le problème d'établir s'il existe une solution sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
à l'équation différentielle
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
Supposons que
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
ne s'annule qu'en une valeur
![x_0\in I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x_0\in I)
et posons
![I_1=]-\infty, x_0[\cap I \text{ et }I_2=I\cap ]x_0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=]-\infty, x_0[\cap I \text{ et }I_2=I\cap ]x_0,+\infty[)
, le cas général où
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
s'annule en plusieurs points de
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
s'étudie d'une manière analogue en considérant autant de subdivisions de
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
que nécessaire.
1) On commence par résoudre l'équation sur les intervalles
![I_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1)
et
![I_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2)
.
2) On cherche ensuite une solution
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
. On remarque que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
sur
![I_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_2)
. On en connait donc la forme explicite
![f = f_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f = f_2)
. De même sur l'intervalle
![I_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1)
, on connait la forme
![f_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_1)
de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
.
La fonction
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
étant solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
, la fonction
![x \in I\backslash \lbrace x_0\rbrace \mapsto \begin{cases} f_1 (x) & \text{si } x\in I_1 \\f_2(x) &\text{ si } x\in I_2 \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in I\backslash \lbrace x_0\rbrace \mapsto \begin{cases} f_1 (x) & \text{si } x\in I_1 \\f_2(x) &\text{ si } x\in I_2 \end{cases})
doit être :
Prolongeable par continuité en
![x_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x_0)
.
Dérivable sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
(et donc en
![x_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x_0)
)
Voir le paragraphe 10 pour un exemple dans lequel on traitera le raccordement des solutions .
Dans tout ce qui suit, une équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours normalisée , c'est-à-dire de la forme
![y'+a(x)y=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+a(x)y=b(x))
où
![a \text{ et }b](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a \text{ et }b)
sont continues définies sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
.
4- Structure de l'ensemble des solutions
Proposition
La solution générale de l'équation
![(E): y'+a(x)y=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E): y'+a(x)y=b(x))
est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène
![(E_h): y'+a(x)y=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h): y'+a(x)y=0)
associée à
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
Preuve :
Soit
![f_h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_h)
une solution particulière de l'équation
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
une fonction dérivable sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
. Elle est solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
si et seulement si :
Comme on a également :
![f_h'(x)+a(x)f_h(x)=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_h'(x)+a(x)f_h(x)=b(x))
, on peut écrire :
Donc
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
si et seulement si
![f-f_h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f-f_h)
est solution de
5- Principe de superposition des solutions
Théorème
Soient
![f_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_1)
et
![f_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_2)
des solutions respectivement des équations
![(E_1):y'+a(x)y=b_1(x) \text{ et }(E_2):y'+a(x)y=b_2(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_1):y'+a(x)y=b_1(x) \text{ et }(E_2):y'+a(x)y=b_2(x))
sur l'intervalle
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
et soient
![\alpha,\beta\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha,\beta\in\C)
.
Alors
![f=\alpha f_1+\beta f_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f=\alpha f_1+\beta f_2)
est solution de l'équation différentielle
![y'+a(x)y=\alpha b_1(x)+\beta b_2(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+a(x)y=\alpha b_1(x)+\beta b_2(x))
Preuve :
Il suffit d'écrire :
6- Equation homogène du premier ordre
Théorème
Soit
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
une fonction continue sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
et
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
une primitive de
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
.
Les solutions de l'équation différentielle homogène
![(E_h): y'+a(x)y=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h): y'+a(x)y=0)
sont les fonctions de la forme
![x\mapsto k \text{ e}^{-A(x)} \text{ où } k\in \C \text{ une constante quelconque }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto k \text{ e}^{-A(x)} \text{ où } k\in \C \text{ une constante quelconque })
Preuve :
Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
une fonction dérivable sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
. Posons
![g:x\mapsto f(x)\text{ e}^{A(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g:x\mapsto f(x)\text{ e}^{A(x)})
.
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est dérivable et pour tout
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
de
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
:
Et comme
![\text{ e}^{A(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ e}^{A(x)})
ne s'annule jamais,
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est solution de l'équation différentielle homogène
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
si et seulement si
![g'=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g'=0)
sur
C'est-à-dire que
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est constante, posons
![g=k\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g=k\in\C)
, il vient :
Exemples :
1) Résoudre sur
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
l'équation
Directement, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme
2) Résoudre sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
On rappelle que pour tout réel
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
,
Une primitive de
![x\mapsto -\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto -\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}})
sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
est
![-\text{ Argsh }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-\text{ Argsh })
.
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme
Proposition
1) la fonction nulle est toujours solution de
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
.
2) Si
![f_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_1)
et
![f_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_2)
sont solutions de
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
sur l'intervalle
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
et
![\lambda](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lambda)
et
![\mu](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mu)
deux constantes , alors
![\lambda f_1 +\mu f_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lambda f_1 +\mu f_2)
est aussi solution de
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
Preuve :
1) Immédiat .
2) Conséquence du principe de superposition dans le cas où
![b_1=b_2=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b_1=b_2=0)
.
7- Résolution de l'équation avec second membre
Théorème
Soit
![(E)\enskip : \enskip y'+a(x)y=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E)\enskip : \enskip y'+a(x)y=b(x))
. Soient
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
une primitive de
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
et
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
une primitive de
![x\mapsto \text{ e}^{A(x)} b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto \text{ e}^{A(x)} b(x))
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
.
La solution générale de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
s'écrit :
Preuve :
Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
une fonction dérivable sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
. Posons
![g:x\mapsto f(x)\text{ e}^{A(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g:x\mapsto f(x)\text{ e}^{A(x)})
.
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est dérivable et pour tout
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
de
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
:
Donc
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est solution de l'équation différentielle
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
si et seulement si
C'est-à-dire, si et seulement si
D'où la solution générale :
8- Détermination de solutions particulières
a) Solution paticulière évidente :
Comme le titre l'indique, il est parfois possible de trouver une solution particulière évidente, cela ne marche malheureusement pas à tout coup.
Exemples :
1) Intégrer sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
Les solutions de l'équation homogène associée
![y'-3y=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'-3y=0)
sont les fonctions de la forme
![x\mapsto k \text{ e}^{3x} \enskip \text{ avec }k\in\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto k \text{ e}^{3x} \enskip \text{ avec }k\in\R)
.
De plus, on voit que la fonction
![x\mapsto -\dfrac{2}{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto -\dfrac{2}{3})
est une solution particulière de l'équation différentielle , en effet :
La solution générale de l'équation différentielle
![y'-3y=2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'-3y=2)
est donc :
2) Résoudre sur
b) Cas où
est constante et
est une fonction polynômiale :
Proposition
Soient
![a\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\in\C)
et
![b](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b)
un poynôme de degré
![n\in\N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in\N)
à coefficients dans
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
. L'équation différentielle
![y'+ay=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+ay=b(x))
admet comme solution particulière :
Un polynôme de degré
![n+1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n+1)
si
Un polynôme de degré
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
sinon
Exemple :
Intégrer sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
Les solutions de l'équation sans second membre sont de la forme :
L'équation différentielle admet un polynôme de degré
![2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2)
comme solution particulière, notons cette solution
On a donc :
La solution générale de l'équation différentielle est donc :
c) Cas où
est constante et
un produit d'un polynôme par une fonction exponentielle :
Proposition
Soient
![a\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\in\C)
et
![b:x\mapsto P(x)\text{ e}^{mx}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b:x\mapsto P(x)\text{ e}^{mx})
où
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
un poynôme de degré
![n\in\N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in\N)
à coefficients dans
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
et
![m\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?m\in\C)
.
L'équation différentielle
![y'+ay=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+ay=b(x))
admet une solution particulière de la forme
![x\mapsto Q(x)\text{ e}^{mx}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto Q(x)\text{ e}^{mx})
où
![Q](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Q)
est :
Un polynôme de degré
![n+1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n+1)
si
Un polynôme de degré
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
sinon
Exemple :
Intégrer sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
Les solutions de l'équation sans second membre sont de la forme :
La solution particulière est de la forme
![x\mapsto Q(x)\text{ e}^{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto Q(x)\text{ e}^{x})
où
![Q](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Q)
est un polynôme de degré
![2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2)
, on pose
![Q(x)=ax^2+bx+c](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Q(x)=ax^2+bx+c)
:
Par identification, on prend
La solution particulière s'écrit :
On en déduit la solution générale de l'équation différentielle :
d) Cas où
est constante et
une fonction trigonométrique en
et
Proposition
Soient
![a\in\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\in\R)
et
![b:x\mapsto \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b:x\mapsto \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x))
où
L'équation différentielle
![y'+ay=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+ay=b(x))
admet une solution particulière sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
de la forme
Exemple :
Résoudre sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
La solution générale de l'équation homogène est de la forme :
La solution particulière est de la forme
![x\mapsto a\sin(x)+b\cos(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto a\sin(x)+b\cos(x))
où
On trouve
![a=1 \text{ et }b=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a=1 \text{ et }b=0)
, une solution particulière de l'équation est donc
![x\mapsto \sin(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto \sin(x))
.
On en déduit la solution générale de l'équation différentielle , elle est de la forme :
e) Cas général : Méthode de variation de la constante
Cette méthode consiste à faire varier la constante qui apparaît dans l'expression de la solution générale de l'équation homogène.
Soit l'équation différentielle
![y'+a(x)y=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+a(x)y=b(x))
et soit la solution de l'équation homogène associée
![y'+a(x)y=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+a(x)y=0)
de la forme
![x\mapsto k \text{ e}^{-A(x)}\text{ où }k\in\C \text{ et } A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? x\mapsto k \text{ e}^{-A(x)}\text{ où }k\in\C \text{ et } A)
une primitive de la fonction
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
.
On cherche alors une solution particulière de la forme
![f_p:x\mapsto k(x)\text{ e}^{-A(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_p:x\mapsto k(x)\text{ e}^{-A(x)})
où
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
est une fonction dérivable sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I )
.
On a l'équivalence suivante :
![f_p \text{ est solution } \iff \forall x\in I \text{ : } k'(t)\text{ e}^{-A(x)}=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_p \text{ est solution } \iff \forall x\in I \text{ : } k'(t)\text{ e}^{-A(x)}=b(x))
.
Le calcul de
![f_p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_p)
est donc ramené à celui de
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
, primitive de
![b\text{ e }^{A}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b\text{ e }^{A})
sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
, conformément au théorème du paragraphe 6.
Cette méthode est systématique mais mène parfois à des calculs de primitives compliqués, voire impossible à exprimer en fonction de fonctions usuelles.
Exemple :
Résoudre sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
On résout l'équation différentielle homogène associée :
![y'+\dfrac{2x}{1+x^2}y=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'+\dfrac{2x}{1+x^2}y=0)
.
La solution générale de cette équation homogène
![f_h](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_h)
s'écrit :
Posons
![f_p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_p)
une solution particulière de l'équation différentielle , on pose :
On déduit
D'où
On en déduit finalement la solution générale de l'équation différentielle :
9- Équation différentielle avec condition initiale
Soient
![x_0\in I \text{ et }y_0\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x_0\in I \text{ et }y_0\in\C)
.
Résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre avec la condition initiale
![y(x_0)=y_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y(x_0)=y_0)
, c'est déterminer toutes les solutions
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
vérifiants :
![f(x_0)=y_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x_0)=y_0)
.
La donnée de l'équation avec une condition initiale est également appelée
problème de Cauchy du premier ordre .
Théorème
Il exsite une unique solution sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
de l'équation
![(E):y'+a(x)y=b(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E):y'+a(x)y=b(x))
vérifiant la condition initiale
![y(x_0)=y_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y(x_0)=y_0)
Preuve :
Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
une solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
, elle s'écrit
![f(x)=B(x)\text{ e}^{-A(x)}+k\text{ e}^{-A(x)} \text{ où }k\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=B(x)\text{ e}^{-A(x)}+k\text{ e}^{-A(x)} \text{ où }k\in\C)
.
On a
![f(x_0)=y_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x_0)=y_0)
si et seulement si
Il existe donc une et une seule valeur satisfaisante :
Exemple :
Calculer la solution du problèmes de Cauchy suivant :
On avait trouvé que la solution générale de l'équation est de la forme :
Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
la solution du problème de Cauchy, il existe alors
![k\in\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k\in\R)
tel que, pour tout réel
Il s'ensuit alors :
On obtient l'expression de
10- Exercice d'application
Exercice
Résoudre sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation différentielle linéaire suivante :
![(E):x(x-1)y'+y=x+1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E):x(x-1)y'+y=x+1)
Puisque
![x(x-1)=0 \iff x=0\text{ ou } x=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x(x-1)=0 \iff x=0\text{ ou } x=1)
. On étudie les solutions de l'équation différentielle normalisée
![(E_N) : y'+\dfrac{1}{x(x-1)}y=\dfrac{x+1}{x(x-1)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_N) : y'+\dfrac{1}{x(x-1)}y=\dfrac{x+1}{x(x-1)})
sur les intervalles
On remarque que pour tout
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
sur ces intervalles :
Solutions homogènes:
Les solutions de l'équation sans second membre sont :
Or, pour tout
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
de
Les solutions homogènes sont donc de la forme :
Solution particulière:
On cherche une solution particulière de la forme
![y_p=\dfrac{k_1(x)x}{x-1} \text{ où } x\mapsto k_1(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_p=\dfrac{k_1(x)x}{x-1} \text{ où } x\mapsto k_1(x))
est une fonction dérivable sur
![]-\infty, 0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty, 0[)
.
On a
Ainsi :
Prenons
![k_1(x)= \ln|x|-\dfrac{1}{x}=\ln(-x)-\dfrac{1}{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? k_1(x)= \ln|x|-\dfrac{1}{x}=\ln(-x)-\dfrac{1}{x})
. Une solution particulière s'écrit donc :
L'ensemble des solutions de
![(E_N)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_N))
sur
![]-\infty, 0 [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty, 0 [)
est donc
Solutions homogènes:
Les solutions de l'équation sans second membre sont :
Or, pour tout
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
de
Les solutions homogènes sont donc de la forme :
Solution particulière:
On cherche une solution particulière de la forme
![y_p=\dfrac{k_2(x)x}{1-x} \text{ où } x\mapsto k_2(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_p=\dfrac{k_2(x)x}{1-x} \text{ où } x\mapsto k_2(x))
est une fonction dérivable sur
![]0,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1[)
.
On a
Ainsi :
Prenons
![k_2(x)= -\ln|x|+\dfrac{1}{x}=-\ln(x)+\dfrac{1}{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? k_2(x)= -\ln|x|+\dfrac{1}{x}=-\ln(x)+\dfrac{1}{x})
. Une solution particulière s'écrit donc :
L'ensemble des solutions de
![(E_N)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_N))
sur
![]0,1 [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,1 [)
est donc
D'une manière analogue, on trouve :
Solutions homogènes: Sous la forme :
Solution particulière: :
L'ensemble des solutions de
![(E_N)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_N))
sur
![]1,+\infty [](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,+\infty [)
est
Si
![y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y)
est solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
, alors, il existe
Prolongement par continuité en
:
Pour
![x=0 \text{ : } 0\times (-1)y'(0)+y(0)=0+1 \iff y(0)=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x=0 \text{ : } 0\times (-1)y'(0)+y(0)=0+1 \iff y(0)=1)
et directement
On a continuité en
![0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0)
de
![y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y)
.
Prolongement par continuité en
:
Pour
De même à droite :
On a alors :
![k_2=k_3=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_2=k_3=1)
pour assurer le prolongement en
![1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1)
.
Dérivabilité :
En
![0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0)
:
En
![1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1)
:
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
n'admet pas de solution dérivable sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
, les solutions dérivables sur
![\R^{*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R^{*})
sont données par :
II- Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
1- Généralités
Définition
Une équation différentielle (E) est dite
linéaire du second ordre et à coefficients constants si et seulement si elle est de la forme :
Où
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
, appelée
second membre , est une fonction continue définie sur l'intervalle
L'équation
![(E_h)\enskip : ay''+by'+cy=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h)\enskip : ay''+by'+cy=0)
est
l'équation homogène ou
sans second membre associée à ![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
2-Structure de l'ensemble des solutions
Proposition
La solution générale de l'équation
![(E): \enskip ay''+by'+cy=u(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E): \enskip ay''+by'+cy=u(x))
est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène
![(E_h): ay''+by'+cy=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h): ay''+by'+cy=0)
associée à
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
3- Principe de superposition des solutions
Théorème
Soient
![f_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_1)
et
![f_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_2)
des solutions respectivement des équations
![(E_1):ay''+by'+cy=u_1(x) \text{ et }(E_2):ay''+by'+cy=u_2(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_1):ay''+by'+cy=u_1(x) \text{ et }(E_2):ay''+by'+cy=u_2(x))
sur l'intervalle
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
et soient
![\alpha,\beta\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha,\beta\in\C)
.
Alors
![f=\alpha f_1+\beta f_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f=\alpha f_1+\beta f_2)
est solution de l'équation différentielle
![ay''+by'+cy=\alpha u_1(x)+\beta u_2(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?ay''+by'+cy=\alpha u_1(x)+\beta u_2(x))
4- Étude de l'équation homogène
a) Cas complexe :
Théorème
Soit
On appelle équation caractéristique de
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
l'équation du second degré
![ax^2+bx+c=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?ax^2+bx+c=0)
. Notons
![\Delta= b^2-4ac](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta= b^2-4ac)
son dicriminent .
![\bullet \text{ Si }\Delta\neq 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Si }\Delta\neq 0 \text{ : })
L'équation caractéristique admet dans
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
deux solutions distinctes
![\alpha \text{ et }\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha \text{ et }\beta)
. Les solutions de l'équation différentielle
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
sont les fonctions de la forme :
![\bullet \text{ Si }\Delta= 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Si }\Delta= 0 \text{ : })
L'équation caractéristique admet dans
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
une solution
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha )
. Les solutions de l'équation différentielle
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
sont les fonctions de la forme :
![A \text{ et }B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A \text{ et }B )
sont des constantes complexes quelconques
Preuve :
Sans distinguer de cas , si
![\Delta=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta=0)
, on note
On rappelle que
Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
une fonction deux fois dérivable sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
.
On pose
![g:\mapsto f(x)\text{ e}^{-\alpha x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g:\mapsto f(x)\text{ e}^{-\alpha x} )
,
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est deux fois dérivable et :
On a les équivalences suivantes :
En multipliant par
![\text{ e}^{-\alpha x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ e}^{-\alpha x})
, on obtient :
Nous avons donc démontré que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est solution de
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
si et seulement si
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est solution de l'équation différentielle
![(E_1):y'=(\beta-\alpha)y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_1):y'=(\beta-\alpha)y)
.
On disingue les deux cas :
![\bullet \Delta=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \Delta=0)
, alors l'équation
![(E_1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_1))
s'écrit
![y'=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y'=0)
, donc :
![\bullet \Delta\neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \Delta\neq 0)
:
b) Cas réel:
Comme
![\R\subset \C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R\subset \C)
, les résultats vus dans
a) restent valables si les coefficients sont réels, cependant, sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
, on ne s'intéresse qu'aux solutions à valeurs réelles.
Lemme
Soit
Si
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une solution de
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
à valeurs quelconques, alors
![\mathcal{R}e(f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{R}e(f))
est solution de
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
à valeurs dans
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
.
Preuve :
On a pour tout
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
de
![\R \text{ : }af''(x)+bf'(x)+cf(x)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R \text{ : }af''(x)+bf'(x)+cf(x)=0)
.
Par linéarité de la patie réelle , on a
Or, la partie réelle de la dérivée étant la dérivée de la partie réelle, donc :
![a (\mathcal{R}e f)''(x)+b(\mathcal{R}e f)'(x)+c\mathcal{R}e f(x)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a (\mathcal{R}e f)''(x)+b(\mathcal{R}e f)'(x)+c\mathcal{R}e f(x)=0 )
.
![\mathcal{R}e f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{R}e f)
est bien solution de
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
(à valeurs réelles) .
Théorème
Soit
On appelle équation caractéristique de
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
l'équation du second degré
![ax^2+bx+c=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?ax^2+bx+c=0)
. Notons
![\Delta= b^2-4ac](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta= b^2-4ac)
son dicriminent .
![\bullet \text{ Si }\Delta> 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Si }\Delta> 0 \text{ : })
L'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes
![\alpha \text{ et }\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha \text{ et }\beta)
. Les solutions de l'équation différentielle
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
sont les fonctions de la forme :
![\bullet \text{ Si }\Delta= 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Si }\Delta= 0 \text{ : })
L'équation caractéristique admet une solution réelle
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha )
. Les solutions de l'équation différentielle
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
sont les fonctions de la forme :
![\bullet \text{ Si }\Delta< 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Si }\Delta< 0 \text{ : })
L'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées, que l'on note
![\lambda +i\mu \text{ et }\lambda -i\mu \enskip (\lambda,\mu\in\R)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lambda +i\mu \text{ et }\lambda -i\mu \enskip (\lambda,\mu\in\R))
. Les solutions de l'équation différentielle
![(E_h)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_h))
sont les fonctions de la forme :
![k_1,k_2, A \text{ et }B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1,k_2, A \text{ et }B)
sont des constantes réelles quelconques
Preuve :
Soient
![A,B,A',B'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A,B,A',B')
des constantes réelles arbitraires, alors
![A+iA' \text{ et }B+iB'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A+iA' \text{ et }B+iB')
sont des constantes complexes quelconques.
![\bullet \text{ Si }\Delta> 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Si }\Delta> 0)
: D'après le théorème précédent, les solutions complexes sont de la forme
Leurs parties réelles sont de la forme :
![\bullet \text{ Si }\Delta= 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Si }\Delta= 0)
: D'après le théorème précédent, les solutions complexes sont de la forme
Leurs parties réelles sont de la forme :
![\bullet \text{ Si }\Delta< 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Si }\Delta< 0)
: Les solutions complexes sont de la forme
La partie réelle de cette exrpession est :
Ce qui fallait démontrer , en effet :
Remarque :
Si
![\Delta< 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta< 0)
, on peut poser
Les solutions peuvent alors s'écrire :
En effet : on cherche l'amplitude
![A=|k_1+i k_2|=\sqrt{k_1^2+k_2^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=|k_1+i k_2|=\sqrt{k_1^2+k_2^2})
et on factorise :
![k_1\cos \mu x+k_2\sin \mu x= A\left(\dfrac{k_1}{A} \cos\mu x + \dfrac{k_2}{A} \sin \mu x \right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1\cos \mu x+k_2\sin \mu x= A\left(\dfrac{k_1}{A} \cos\mu x + \dfrac{k_2}{A} \sin \mu x \right))
.
Or, puisque
Il s'ensuit
En physique, on préfère cette expression à celle présentée dans le théorème précédent.
Exemples :
Résoudre sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
:
Solutions de l'équation caractéristique
![r^2-3r+2=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r^2-3r+2=0)
.
![\Delta=1>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta=1>0)
, les solutions sont donc :
Les solutions de l'équation différentielle homogène sont :
Résoudre sur
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
:
Solutions de l'équation caractéristique
![r^2-3ir+2=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r^2-3ir+2=0)
.
![\Delta=-1=i^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta=-1=i^2)
, les solutions sont donc :
Les solutions de l'équation différentielle sont :
Résoudre sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
:
Solutions de l'équation caractéristique
![-r^2+2r-2=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-r^2+2r-2=0)
.
![\Delta=-4<0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta=-4<0 )
, les solutions sont donc :
Les solutions de l'équation différentielle homogène sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
sont :
5- Équation avec second membre
a) Le second membre est un polynôme :
Théorème
Soient
![a,b,c \in\C \text{ / }a\neq 0\text{ et } (E):ay''+by'+cy=Q(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a,b,c \in\C \text{ / }a\neq 0\text{ et } (E):ay''+by'+cy=Q(x))
où
![Q](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Q)
un polynôme de degré
![n\in\N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in\N)
.
![\text{ Si }c\neq 0{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Si }c\neq 0{ : })
Alors il existe une fonction polynomiale de degré
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
solution particulière de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
![\text{ Si }c=0 \text{ et }b\neq 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Si }c=0 \text{ et }b\neq 0 \text{ : })
Alors il existe une fonction polynomiale de degré
![n+1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n+1)
solution particulière de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
![\text{ Si }c=b= 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Si }c=b= 0 \text{ : })
Alors il existe une fonction polynomiale de degré
![n+2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n+2)
solution particulière de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
Exemple :
Résoudre dans
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
On avait trouvé dans l'exemple précédent que les solutions de l'équation homogène associée sont de la forme :
On sait, d'après le théorème, qu'une solution particulière est polynômiale de degré 2, donc est de la forme
On injecte dans l'équation est on identifie les coefficients :
Donc , une solution particulière de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
est
On conclut que les solutions générales de l'équation
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
sont de la forme :
b) Le second membre est un produit polynôme-exponentielle :
Théorème
Soient
![a,b,c,\alpha \in\C \text{ / }a\neq 0\text{ et } (E):ay''+by'+cy=Q(x)\text{e}^{\alpha x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a,b,c,\alpha \in\C \text{ / }a\neq 0\text{ et } (E):ay''+by'+cy=Q(x)\text{e}^{\alpha x})
où
![Q](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Q)
un polynôme , notons
![\text{ Si }P(\alpha)\neq 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Si }P(\alpha)\neq 0 \text{ : })
Alors
![x\mapsto R(x)\text{e}^{\alpha x }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto R(x)\text{e}^{\alpha x })
est une solution particulière de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
![\text{ Si }P(\alpha)= 0 \text{ et }P'(\alpha)\neq 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Si }P(\alpha)= 0 \text{ et }P'(\alpha)\neq 0 \text{ : })
Alors
![x\mapsto xR(x)\text{e}^{\alpha x }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto xR(x)\text{e}^{\alpha x })
est une solution particulière de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
![\text{ Si }P(\alpha)=P'(\alpha)= 0 \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Si }P(\alpha)=P'(\alpha)= 0 \text{ : })
Alors
![x\mapsto x^2R(x)\text{e}^{\alpha x }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\mapsto x^2R(x)\text{e}^{\alpha x })
est une solution particulière de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
.
Où
![R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?R)
est un polynôme tel que
Exemple :
Résoudre dans
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
On trouve aisément les solutions de l'équation homogène associée qui sont sous la forme :
Déterminons une solution particulière de cette équation :
Posons
![P(X)=X^2-2X-3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P(X)=X^2-2X-3)
, puisque :
![P(-1)=0 et P'(-1)=-4\neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P(-1)=0 et P'(-1)=-4\neq 0 )
, on cherche une solution particulière de la forme
On a :
![f_p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_p)
est solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
si et seulement si :
Les solutions générales de l'équation s'écrivent sous la forme :
c) Le second membre est une combinaison linéaire de fonctions
et
Proposition
Soient
![a,b,c\in\R\text{ avec }a\neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a,b,c\in\R\text{ avec }a\neq 0)
et
![u:x\mapsto \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u:x\mapsto \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x))
où
L'équation différentielle
![ay''+by'+cy=u(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?ay''+by'+cy=u(x))
admet une solution particulière sur
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
de la forme
Exemple :
Résoudre dans
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
On avait trouvé les solutions de l'équation homogène associée :
L'équation admet une solution particulière de la forme
On a :
![f_p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_p)
est solution de
![(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E))
si et seulement si :
Les solutions générales de l'équation s'écrivent donc sous la forme :
d) Cas général : Méthode de variations des constantes
Notation :
On note
![y_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_1)
la solution de l'équation différentielle homogène en prenant
![A=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=1)
et
![B=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B=0)
(ou
![k_1=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1=1)
et
![k_2 = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_2 = 0)
sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
dans le cas
![\Delta<0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta<0)
)
On note
![y_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_2)
la solution de l'équation différentielle homogène en prenant
![A=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=0)
et
![B=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B=1)
(ou
![k_1=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_1=0)
et
![k_2 = 1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k_2 = 1)
sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
dans le cas
![\Delta<0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta<0)
)
Plus précisément , sur
![\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\C)
:
Sur
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
:
Remarque : On dit que
![(y_1,y_2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(y_1,y_2))
forme une base de solutions de l'équation homogène.
Méthode :
La méthode de variations des constantes consiste à trouver une solution particulière
![y_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_0)
sous la forme :
En particulier, l'expression
![y_0'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_0')
entraîne que :
Maintenant :
![y_0''(x)=A(x)y_1''(x)+B(x)y_2''(x)+A'(x)y_1'(x)+B'(x)y_2'(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_0''(x)=A(x)y_1''(x)+B(x)y_2''(x)+A'(x)y_1'(x)+B'(x)y_2'(x))
.
Et puisque
![y_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_1)
et
![y_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_2)
sont solutions de l'équation homogène , alors
![y_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_0)
est solution particulière si et seulement si
Conclusion : Pour trouver
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
, on utilise
![(I) \text{ et }(II)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(I) \text{ et }(II))
et on résout le système différentiel.
Exemple :
Résoudre dans
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
l'équation
Les solutions de l'équation homogène s'écrivent sous la forme :
Déterminons une solution particulière de l'équation en utilisant la méthode de variations des constantes. On cherche
![y_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_0)
telle que :
Il en résulte alors que :
Puisque
![y_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_0)
est solution si et seulement si :
En multipiant par
![\cos x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\cos x)
et en simplifiant par
![\text{ e}^{-x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ e}^{-x})
, on obtient :
D'après
Alors :
Soit
![A'(x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A'(x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x)
et par suite , on peut prendre
En remplaçant dans
Ce qui permet de prendre :
On obtient finalement
Et on conclut que les solutions générales de l'équation différentielle sont :
6- Problème de Cauchy
Proposition
Soient
![x_0\in\R \text{ et } y_0,y_0'\in\C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x_0\in\R \text{ et } y_0,y_0'\in\C)
. L'équation différentielle
![(E): ay''+by'+cy=u(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E): ay''+by'+cy=u(x))
où
![a,b,c\in\C \text{ avec }a\neq 0 \text{ et } u \text{ continue sur }I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a,b,c\in\C \text{ avec }a\neq 0 \text{ et } u \text{ continue sur }I)
admet une et une seule solution vérifiant la condition initiale
![\begin{cases} y_0=y(x_0)\\y_0'=y'(x_0)\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases} y_0=y(x_0)\\y_0'=y'(x_0)\end{cases})
Exemple :
Résoudre dans
![\R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R)
le problème de Cauchy suivant :
D'après l'exemple précédent, les solutions générales de l'équation différentielle sont :
Soit
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
la solution du problème de Cauchy à résoudre, alors il existe
On obtient :
![f(0)=B=0 \text{ et } f'(0)=A-B-\dfrac{1}{2}=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(0)=B=0 \text{ et } f'(0)=A-B-\dfrac{1}{2}=0)
, il s'ensuit que
On conclut que la solution du problème de Cauchy est
![f:x\mapsto \dfrac{1}{2}\text{ e}^{-x}\left(\sin x -x\cos x\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f:x\mapsto \dfrac{1}{2}\text{ e}^{-x}\left(\sin x -x\cos x\right) )