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Équations différentielles linéaires

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I désigne un intervalle de \R contenant au moins deux éléments.

I- Équations différentielles linéaires du premier ordre


1- Caractérisation de la fonction x\mapsto \text{ e}^{ax} \enskip a\in\C


a- Comme solution d'une équation différentielle

Proposition
Soit a\in\C . La fonction f:x\mapsto \text{ e}^{ax} est l'unique fonction dérivable sur \R solution de l'équation différentielle y'=ay et véifiant la condition initiale y(0)=1

Preuve :

f est dérivable sur \R\text{ et }\enskip \forall x\in\R \text{ : } f'(x)=\left(\text{ e}^{ax}\right)'=a\text{ e}^{ax}=af(x)
Donc f est bien solution de l'équation. Par ailleurs f(0)=1
Montrons que f est l'unique fonction qui répond aux conditions .
Soit g une fonction dérivable sur \R ayant les mêmes propriétés que f .
Comme f ne s'annule pas , on peut poser h=\dfrac{g}{f} .
h est dérivable et : \forall x\in\R\text{ : } h'(x)=\drac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{f^2(x)}=\dfrac{ag(x)f(x)-ag(x)f(x)}{f^2(x)}=0
h est donc constante sur \R , et comme h(0)=\dfrac{g(0)}{f(0)}=1 \Rightarrow  \forall x\in\R \text{ : }h(x)=1
On en déduit que f=g .

b- Comme solution d'une équation fonctionnelle

Proposition
Soit f une fonction non nulle et dérivable de \R dans \C . Si f vérifie : \forall t,u\in\R\text{ : } f(t+u)=f(t)f(u)
Alors il existe a\in\C tel que : \forall x\in\R\text{ : }f(x)=\text{ e}^{ax}

Preuve :
Comme f est non nulle, on se donne x_0\in\R \enskip/\enskip f(x_0)=0
On a f(0+x_0)=f(0)f(x_0) \text{ , donc } f(0)=\dfrac{f(0+x_0)}{f(x_0)}=1
Fixons u\in\R\text{ , }\enskip \enskip }\forall t\in\R \text{ : } f(t+u)=f(t)f(u)
On dérive la fonction t\mapsto f(t+u) \text{ , on obtient } \forall t\in\R\enskip : \enskip f'(t+u)=f(u)f'(t)
En particulier pour t=0 \text{ : }f'(u)=f'(0)f(u)
Cette égalité étant vraie pour toute valeur de u\in\R , on constate que f est solution de l'équation différentielle y'=ay \text{ avec }a=f'(0).
Et comme f(0)=1 \text{ , donc d'après la proposition précédente } \forall x\in\R\text{ : }f(x)=\text{ e}^{ax}

2- généralités


Définition
Une équation diférentielle (E) est dite linéaire du premier ordre si et seulement si elle s'écrit sous la forme :

(E)\enskip : \enskip a(x)y'+b(x)y=c(x)\enskip \text{ , où }a , b \text{ et } c sont des fonctions continues définies sur l'intervalle I

b(x) s'appelle le second membre de l'équation différentielle (E) . Si b est nulle, on dit que l'équation différentielle est sans second membre ou encore homogène .

L'équation (E_h)\enskip : \enskip a(x)y'+b(x)y=0 est l'équation homogène ou sans second membre associée à (E)

Si a , b \text{ et }c sont des constantes, on dit que l'équation est à coefficients constants .

L'équation différentielle (E) est dite normalisée si a est la fonction constante identiquement égale à 1 sur I.

Définition
Soit f une application de I dans \C , f est une solution de l'équation différentielle (E) sur I si et seulement si f est dérivable sur I et :

\forall x\in I \enskip : \enskip a(x)f'(x)+b(x)f(x)=c(x)

Résoudre ou intégrer l'équation différentielle (E) sur I , c'est donner toutes ses solutions sur I

Vocabulaire :

Une courbe intégrale de (E) est la courbe représentative d'une solution de (E) .
Si une fonction donnée f est solution d'une équation différentielle, on dit souvent qu'il s'agit d'une solution particulière de l'équation. En fait, chaque solution de l'équation est une solution particulière.
On parle de solution générale lorsque l'on donne la forme générale de toutes les solutions.

3- Normalisation d'une équation différentielle et problème de raccord


Dans l'étude des équations différentielles linéaires du premier ordre que nous allons effectuer, nous considérerons des équations différentielles normalisées.
L'équation diférentielle linéaire du premier ordre (E)\enskip : \enskip a(x)y'+b(x)y=c(x)\enskip \text{ , où }a , b \text{ et } c sont des fonctions continues définies sur l'intervalle I , admet pour forme normalisée l'équation différentielle linéaire du premier ordre :

(E_N)\enskip : \enskip y'+\dfrac{b(x)}{a(x)}y=\dfrac{c(x)}{a(x)}

(E) est définie pour tout x de I tandis que (E_N) n'est définie que pour les valeurs de x pour lesquelles a ne s'annule pas .
Si a admet des zéros, l'équation (E_N) n'est définie que sur un sous-ensemble J\subset I.
Remarquons que toute solution de l'équation différentielle (E) est solution de (E_N) sur J où celle-ci est définie. Par contre , une fois obtenues les solutions de (E_N) sur J , se pose le problème d'établir s'il existe une solution sur I à l'équation différentielle (E) .

Supposons que a ne s'annule qu'en une valeur x_0\in I et posons I_1=]-\infty, x_0[\cap I \text{ et }I_2=I\cap ]x_0,+\infty[ , le cas général où a s'annule en plusieurs points de I s'étudie d'une manière analogue en considérant autant de subdivisions de I que nécessaire.

\text{ Pour résoudre } (E) \text{ sur }  I
1) On commence par résoudre l'équation sur les intervalles I_1 et I_2 .

2) On cherche ensuite une solution f de (E) sur I . On remarque que f est solution de (E) sur I_2. On en connait donc la forme explicite f = f_2. De même sur l'intervalle I_1, on connait la forme f_1 de f.

La fonction f étant solution de (E) sur I, la fonction x \in I\backslash \lbrace x_0\rbrace \mapsto \begin{cases} f_1 (x) & \text{si } x\in I_1 \\f_2(x) &\text{ si } x\in I_2 \end{cases} doit être :
Prolongeable par continuité en x_0.
Dérivable sur I(et donc en x_0)

Voir le paragraphe 10 pour un exemple dans lequel on traitera le raccordement des solutions .

Dans tout ce qui suit, une équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours normalisée , c'est-à-dire de la forme y'+a(x)y=b(x)a \text{ et }b sont continues définies sur I .

4- Structure de l'ensemble des solutions


Proposition
La solution générale de l'équation (E):  y'+a(x)y=b(x) est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène (E_h):  y'+a(x)y=0 associée à (E)

Preuve :

Soit f_h une solution particulière de l'équation (E).
Soit f une fonction dérivable sur I. Elle est solution de (E) si et seulement si : \forall x\in I \text{ : }f'(x)+a(x)f(x)=b(x)
Comme on a également : f_h'(x)+a(x)f_h(x)=b(x) , on peut écrire :

\begin{matrix} \forall x\in I \text{ : } f'(x)+a(x)f(x)=b(x) &\iff&f'(x)+a(x)f(x)=f_h'(x)+a(x)f_h(x)\\&\iff& (f-f_h)'(x)+a(x)(f-f_h)(x)=0\end{matrix}

Donc f est solution de (E) si et seulement si f-f_h est solution de (E_h)

5- Principe de superposition des solutions


Théorème
Soient f_1 et f_2 des solutions respectivement des équations (E_1):y'+a(x)y=b_1(x) \text{ et }(E_2):y'+a(x)y=b_2(x) sur l'intervalle I et soient \alpha,\beta\in\C .
Alors f=\alpha f_1+\beta f_2 est solution de l'équation différentielle y'+a(x)y=\alpha b_1(x)+\beta b_2(x)

Preuve :

Il suffit d'écrire :
\begin{matrix}\forall x\in I \text{ : } f'(x)+a(x)f(x)&=&\alpha f_1'(x)+\beta f_2'(x)+a(x)\left(\alpha f_1(x)+\beta f_2(x)\right) \\&=&\alpha f_1'(x)+a(x)\alpha f_1(x)+\beta f_2'(x)+a(x)\beta f_2(x)\\&=&\alpha \left(f_1'(x)+a(x)f_1(x)\right)+\beta\left(f_2'(x)+a(x)f_2(x)\right)\\&=& \alpha b_1(x)+\beta b_2(x)\end{matrix}

6- Equation homogène du premier ordre


Théorème
Soit a une fonction continue sur I et A une primitive de a sur I.
Les solutions de l'équation différentielle homogène (E_h): y'+a(x)y=0 sont les fonctions de la forme x\mapsto k \text{ e}^{-A(x)} \text{ où } k\in \C \text{ une constante quelconque }

Preuve :

Soit f une fonction dérivable sur I. Posons g:x\mapsto f(x)\text{ e}^{A(x)} . g est dérivable et pour tout x de I :
\begin{matrix} g'(x)&=& f'(x) \text{ e}^{A(x)} + f(x) A'(x) \text{ e}^{A(x)}\\&=& f'(x) \text{ e}^{A(x)}+a(x)f(x) \text{ e}^{A(x)} \\&=& (f'(x)+a(x)f(x))\text{ e}^{A(x)}\end{matrix}
Et comme \text{ e}^{A(x)} ne s'annule jamais, f est solution de l'équation différentielle homogène (E_h) si et seulement si g'=0 sur I
C'est-à-dire que g est constante, posons g=k\in\C, il vient : k=f(x)\text{ e}^{A(x)}\iff \forall x\in I \text{ : }f(x)=k\text{ e}^{-A(x)}

Exemples :

1) Résoudre sur \C l'équation y'+y=0
Directement, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme x\mapsto k \text{ e }^{-x}\text{ , où }k\in \C

2) Résoudre sur \R l'équation y'-\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}y=0
On rappelle que pour tout réel x,  \sqrt{1+x^2}\neq 0
Une primitive de x\mapsto -\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} sur \R est -\text{ Argsh } .
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme x\mapsto k \text{ e }^{\text{Argsh }x}\text{ , où }k\in \R

Proposition
1) la fonction nulle est toujours solution de (E_h) .
2) Si f_1 et f_2 sont solutions de (E_h) sur l'intervalle I et \lambda et \mu deux constantes , alors \lambda f_1 +\mu f_2 est aussi solution de (E_h)

Preuve :

1) Immédiat .
2) Conséquence du principe de superposition dans le cas où b_1=b_2=0 .

7- Résolution de l'équation avec second membre


Théorème
Soit (E)\enskip : \enskip y'+a(x)y=b(x) . Soient A une primitive de a sur I et B une primitive de x\mapsto \text{ e}^{A(x)} b(x) sur I .
La solution générale de (E) sur I s'écrit : x\mapsto B(x)\text{ e}^{-A(x)}+k\text{ e}^{-A(x)} \text{ où } k\in \C \text{ une constante qualconque }

Preuve :

Soit f une fonction dérivable sur I. Posons g:x\mapsto f(x)\text{ e}^{A(x)} . g est dérivable et pour tout x de I :
 g'(x)=(f'(x)+a(x)f(x))\text{ e}^{A(x)}
Donc f est solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si \forall x\in I \text{ : }g'(x)=b(x)\text{ e}^{A(x)}=B'(x)
C'est-à-dire, si et seulement si \forall x\in I \text{ : }g(x)=B(x)+k \text{ où } k\in\C \text{ constante }
D'où la solution générale :

\displaystyle x\mapsto \underbrace{k\text{ e}^{-A(x)} }_{\text{ Solution de l'équation homogène }} \enskip + \enskip \underbrace{B(x)\text{ e}^{-A(x)}}_{\text{ Solution particulière }} \enskip \text{ , } k\in\C

8- Détermination de solutions particulières


a) Solution paticulière évidente :

Comme le titre l'indique, il est parfois possible de trouver une solution particulière évidente, cela ne marche malheureusement pas à tout coup.

Exemples :

1) Intégrer sur \R l'équation y'-3y=2

Les solutions de l'équation homogène associée y'-3y=0 sont les fonctions de la forme x\mapsto k \text{ e}^{3x} \enskip \text{ avec }k\in\R.
De plus, on voit que la fonction x\mapsto -\dfrac{2}{3} est une solution particulière de l'équation différentielle , en effet : \left(-\dfrac{2}{3}\right)'-3\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)=2
La solution générale de l'équation différentielle y'-3y=2 est donc : x\mapsto -\dfrac{2}{3} +k \text{ e}^{3x} \enskip \text{ avec }k\in\R

2) Résoudre sur ]1,+\infty[ \text{ : } y'+\dfrac{1}{x\ln(x)}y=\dfrac{\text{ e}^{x}}{\ln(x)}
\begin{matrix}\text{ Sur }]1,+\infty[ \text{ : } y'+\dfrac{1}{x\ln(x)}y=\dfrac{\text{ e}^{x}}{\ln(x)} &\iff& \ln(x)y'+\dfrac{1}{x}y=\text{ e}^{x} \\&\iff& \left(\ln(x) y\right)'=\text{ e}^{x} \\&\iff& \ln(x) y = \text{ e}^{x}+k\enskip k\in\R \\&\iff& \forall x\in]1,+\infty[ \text{ : } y(x)=\dfrac{\text{ e}^{x}+k}{\ln(x)}\enskip k\in\R \end{matrix}

b) Cas où a est constante et b est une fonction polynômiale :
Proposition
Soient a\in\C et b un poynôme de degré n\in\N à coefficients dans \C. L'équation différentielle y'+ay=b(x) admet comme solution particulière :
Un polynôme de degré n+1 si a=0
Un polynôme de degré n sinon

Exemple :

Intégrer sur \R l'équation y'+2y=x^2

Les solutions de l'équation sans second membre sont de la forme : x\mapsto k\text{ e}^{-2x}\text{ , }k\in\R
L'équation différentielle admet un polynôme de degré 2 comme solution particulière, notons cette solution f:x\mapsto ax^2+bx+c \text{ où } a,b,c\in\R \text{ et }a\neq0
On a donc : f'(x)+2f(x)=x^2 \iff 2ax+b+2ax^2+2bx+2c=x^2 \iff \begin{cases} 2a=1 \\2a+2b=0 \\b+2c=0 \end{cases} \iff \begin{cases} a=\dfrac{1}{2} \\ b=-\dfrac{1}{2} \\c=\dfrac{1}{4}\end{cases}
La solution générale de l'équation différentielle est donc : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4} +k \text{ e}^{-2x} \enskip \text{ avec }k\in\R

c) Cas où a est constante et b un produit d'un polynôme par une fonction exponentielle :
Proposition
Soient a\in\C et b:x\mapsto P(x)\text{ e}^{mx}P un poynôme de degré n\in\N à coefficients dans \C et m\in\C.
L'équation différentielle y'+ay=b(x) admet une solution particulière de la forme x\mapsto Q(x)\text{ e}^{mx}Q est :
Un polynôme de degré n+1 si a+m=0
Un polynôme de degré n sinon

Exemple :

Intégrer sur \R l'équation y'-y=(x+1)\text{ e}^{x}

Les solutions de l'équation sans second membre sont de la forme : x\mapsto k\text{ e}^{x}\text{ , }k\in\R

La solution particulière est de la forme x\mapsto Q(x)\text{ e}^{x}Q est un polynôme de degré 2, on pose Q(x)=ax^2+bx+c :

\left(Q(x)\text{ e}^{x})'-Q(x)\text{ e}^{x}=(x+1)\text{ e}^{x}\iff Q'(x)\text{ e}^{x}+Q(x)\text{ e}^{x}-Q(x)\text{ e}^{x}=(x+1)\text{ e}^{x}\iff 2ax+b=x+1

Par identification, on prend a=\dfrac{1}{2} \text{ , }b=1 \text{ et }c \text{ quelconque }

La solution particulière s'écrit : x\mapsto \left(\dfrac{1}{2}x^2+x+c\right)\text{ e}^{x} \text{ avec }c\in\R

On en déduit la solution générale de l'équation différentielle : x\mapsto \left(\dfrac{1}{2}x^2+x+\alpha\right)\text{ e}^{x} \text{ avec }\alpha=k+c\in\R

d) Cas où a est constante et b une fonction trigonométrique en \cos et \sin
Proposition
Soient a\in\R et b:x\mapsto \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)\alpha,\beta,\omega \in\R \text{ avec }\omega\neq 0
L'équation différentielle y'+ay=b(x) admet une solution particulière sur I de la forme x\mapsto \gamma \cos(\omega x) +\rho \sin(\omega x) \text{ où } \gamma,\rho\in\R

Exemple :

Résoudre sur \R l'équation y'+y=\sin(x)+\cos (x)

La solution générale de l'équation homogène est de la forme : x\mapsto k\text{ e}^{-x}\text{ , }k\in\R

La solution particulière est de la forme x\mapsto a\sin(x)+b\cos(x)a,b\in\R
(a\sin(x)+b\cos(x))'+a\sin(x)+b\cos(x)=\sin(x)+\cos(x)\iff a\cos(x)-b\sin(x)+a\sin(x)+b\cos(x)=\sin(x)+\cos(x)\iff \begin{cases} a+b=1\\a-b=1\end{cases}
On trouve a=1 \text{ et }b=0 , une solution particulière de l'équation est donc x\mapsto \sin(x) .
On en déduit la solution générale de l'équation différentielle , elle est de la forme :x\mapsto k\text{ e}^{-x}+\sin(x)\text{ , }k\in\R

e) Cas général : Méthode de variation de la constante

Cette méthode consiste à faire varier la constante qui apparaît dans l'expression de la solution générale de l'équation homogène.
Soit l'équation différentielle y'+a(x)y=b(x) et soit la solution de l'équation homogène associée y'+a(x)y=0 de la forme  x\mapsto k \text{ e}^{-A(x)}\text{ où }k\in\C \text{ et } A une primitive de la fonction a .
On cherche alors une solution particulière de la forme f_p:x\mapsto k(x)\text{ e}^{-A(x)}k est une fonction dérivable sur I .
On a l'équivalence suivante : f_p \text{ est solution } \iff \forall x\in I \text{ : } k'(t)\text{ e}^{-A(x)}=b(x) .
Le calcul de f_p est donc ramené à celui de k, primitive de b\text{ e }^{A} sur I , conformément au théorème du paragraphe 6.

Cette méthode est systématique mais mène parfois à des calculs de primitives compliqués, voire impossible à exprimer en fonction de fonctions usuelles.

Exemple :

Résoudre sur \R l'équation y'+\dfrac{2x}{1+x^2}y=\dfrac{\text{ e}^{x}+x}{x^2+1}
On résout l'équation différentielle homogène associée : y'+\dfrac{2x}{1+x^2}y=0.
La solution générale de cette équation homogène f_h s'écrit : \forall x\in \R \text{ : } f_h(x)=k \text{ e }^{-\ln |1+x^2|}=  \dfrac{k}{|1+x^2|}}=\dfrac{k}{1+x^2} \enskip , \enskip k\in \R
Posons f_p une solution particulière de l'équation différentielle , on pose : \forall x\in\R\text{ : } f_p(x)=\dfrac{k(x)}{1+x^2}

f_p'(x)+\dfrac{2x}{1+x^2}f_p(x)=\dfrac{\text{ e}^{x}+x}{x^2+1}\iff \dfrac{k'(x)(1+x^2)-2xk(x)}{(1+x^2)^2} +\dfrac{2xk(x)}{(1+x^2)^2}=\dfrac{\text{ e}^{x}+x}{x^2+1}\iff k'(x)=\text{ e}^{x}+x
On déduit k(x)=\text{ e }^x+\dfrac{x^2}{2}+\lambda \enskip , \enskip \lambda \in\R
D'où f_p(x)=\dfrac{\text{ e }^x+\dfrac{x^2}{2}+\lambda}{1+x^2}\enskip , \enskip \lambda \in\R
On en déduit finalement la solution générale de l'équation différentielle : \forall x\in\R \enskip : \enskip x\mapsto f_h(x)+f_p(x)= \dfrac{2\text{ e }^x+x^2+\alpha}{2(1+x^2)}\enskip , \enskip \alpha \in\R

9- Équation différentielle avec condition initiale


Soient x_0\in I \text{ et }y_0\in\C .
Résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre avec la condition initiale y(x_0)=y_0 , c'est déterminer toutes les solutions f vérifiants : f(x_0)=y_0 .
La donnée de l'équation avec une condition initiale est également appelée problème de Cauchy du premier ordre .
Théorème
Il exsite une unique solution sur I de l'équation (E):y'+a(x)y=b(x) vérifiant la condition initiale y(x_0)=y_0

Preuve :

Soit f une solution de (E) , elle s'écrit f(x)=B(x)\text{ e}^{-A(x)}+k\text{ e}^{-A(x)} \text{ où }k\in\C .

On a f(x_0)=y_0 si et seulement si y_0=\left(B(x_0)+k\right)\text{ e}^{-A(x_0)}

Il existe donc une et une seule valeur satisfaisante : k=y_0\text{ e}^{A(x_0)}-B(x_0)

Exemple :
Calculer la solution du problèmes de Cauchy suivant : \begin{cases} y'+\dfrac{2x}{1+x^2}y=\dfrac{\text{ e}^{x}+x}{x^2+1} \\ y(0)=\dfrac{3}{2} \end{cases}

On avait trouvé que la solution générale de l'équation est de la forme : x\mapsto  \dfrac{2\text{ e }^x+x^2+k}{2(1+x^2)}\enskip , \enskip k \in\R

Soit f la solution du problème de Cauchy, il existe alors k\in\R tel que, pour tout réel x\enskip \text{ : }\enskip f(x)=\dfrac{2\text{ e }^x+x^2+k}{2(1+x^2)} \text{ avec }f(0)=\dfrac{3}{2}
Il s'ensuit alors : \dfrac{2+k}{2}=\dfrac{3}{2} \iff k=1

On obtient l'expression de f \text{ : } \forall x\in\R \enskip : \enskip f(x)= \dfrac{\text{ e}^{x}}{1+x^2}+\dfrac{1}{2}

10- Exercice d'application


Exercice
Résoudre sur \R l'équation différentielle linéaire suivante :
(E):x(x-1)y'+y=x+1


Puisque x(x-1)=0 \iff x=0\text{ ou } x=1 . On étudie les solutions de l'équation différentielle normalisée (E_N) : y'+\dfrac{1}{x(x-1)}y=\dfrac{x+1}{x(x-1)} sur les intervalles ]-\infty , 0[ \text{ , } ]0,1[\text{ et }]1,+\infty[
On remarque que pour tout x sur ces intervalles : \dfrac{1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}

\bullet \text{ Sur } ]-\infty,0[ \text{ : }
Solutions homogènes:
Les solutions de l'équation sans second membre sont : y_h: x\mapsto k_1 \exp\left(-\ln|x-1|+\ln|x|\right)\enskip , \enskip k_1\in\R
Or, pour tout x de ]-\infty, 0[ \text{ : } k_1 \exp\left(-\ln|x-1|+\ln|x|\right)=k_1\exp\left(\ln(-x)-\ln(1-x)\right)=k_1\exp\left(\ln\left(\dfrac{x}{x-1}\right)\right) = \dfrac{k_1x}{x-1} \enskip (k_1\in\R)
Les solutions homogènes sont donc de la forme : y_h:x\mapsto \dfrac{k_1x}{x-1}\enskip , \enskip k_1\in\R
Solution particulière:
On cherche une solution particulière de la forme y_p=\dfrac{k_1(x)x}{x-1} \text{ où } x\mapsto k_1(x) est une fonction dérivable sur ]-\infty, 0[.
On a \forall x\in ]-\infty , 0[ \text{ : }y_p'(x)=\dfrac{k_1'(x) x }{x-1 }-\dfrac{k_1(x)}{(x-1)^2}
Ainsi : y_p'(x)+\dfrac{1}{x(x-1)}y_p(x)=\dfrac{x+1}{x(x-1)}\iff \dfrac{x }{x-1} k_1'(x)-\dfrac{k_1(x)}{(x-1)^2}+\dfrac{x k_1(x)}{x(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{x(x-1)}\iff k_1'(x)= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}
Prenons  k_1(x)= \ln|x|-\dfrac{1}{x}=\ln(-x)-\dfrac{1}{x} . Une solution particulière s'écrit donc : y_p:x\mapsto \dfrac{x\ln(-x)-1}{x-1}
L'ensemble des solutions de (E_N) sur ]-\infty, 0 [ est donc \left\lbrace x\mapsto\dfrac{k_1 x + x\ln(-x)-1}{x-1 } \enskip , \enskip k_1\in\R\right\rbrace


\bullet \text{ Sur } ]0,1[ \text{ : }
Solutions homogènes:
Les solutions de l'équation sans second membre sont : y_h: x\mapsto k_2 \exp\left(-\ln|x-1|+\ln|x|\right)\enskip , \enskip k_2\in\R
Or, pour tout x de ]0,1[ \text{ : } k_2 \exp\left(-\ln|x-1|+\ln|x|\right)=k_2\exp\left(\ln(x)-\ln(1-x)\right)=k_2\exp\left(\ln\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\right) = \dfrac{k_2x}{1-x} \enskip (k_2\in\R)
Les solutions homogènes sont donc de la forme : y_h:x\mapsto \dfrac{k_2x}{1-x}\enskip , \enskip k_2\in\R
Solution particulière:
On cherche une solution particulière de la forme y_p=\dfrac{k_2(x)x}{1-x} \text{ où } x\mapsto k_2(x) est une fonction dérivable sur ]0,1[.
On a \forall x\in ]0,1[ \text{ : }y_p'(x)=\dfrac{k_2'(x) x }{1-x }+\dfrac{k_2(x)}{(1-x)^2}
Ainsi : y_p'(x)+\dfrac{1}{x(x-1)}y_p(x)=\dfrac{x+1}{x(x-1)}\iff \dfrac{x }{1-x} k_2'(x)+\dfrac{k_2(x)}{(1-x)^2}-\dfrac{x k_2(x)}{x(1-x)^2}=\dfrac{x+1}{x(x-1)}\iff k_2'(x)= -\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}
Prenons  k_2(x)= -\ln|x|+\dfrac{1}{x}=-\ln(x)+\dfrac{1}{x} . Une solution particulière s'écrit donc : y_p:x\mapsto \dfrac{-x\ln(x)+1}{1-x}
L'ensemble des solutions de (E_N) sur ]0,1 [ est donc \left\lbrace x\mapsto\dfrac{k_2 x - x\ln(x)+1}{1-x } \enskip , \enskip k_2\in\R\right\rbrace


\bullet \text{ Sur } ]1,+\infty[ \text{ : }
D'une manière analogue, on trouve :
Solutions homogènes: Sous la forme : y_h:x\mapsto \dfrac{k_3x}{x-1}\enskip , \enskip k_3\in\R
Solution particulière: : y_p:x\mapsto \dfrac{x\ln(x)-1}{x-1}
L'ensemble des solutions de (E_N) sur ]1,+\infty [ est \left\lbrace x\mapsto\dfrac{k_3 x + x\ln(x)-1}{x-1 } \enskip , \enskip k_3\in\R\right\rbrace


\bullet \text{ Recherche des solutions de } (E) \text{ sur }\R :
Si y est solution de (E) sur \R , alors, il existe k_1,k_2,k_3 \in\R \text{ tels que : } y(x)=\begin{cases} \dfrac{k_1x+x\ln|x|-1}{x-1} & \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\\dfrac{k_2 x + x\ln|x|-1}{x-1} &\text{ si } x\in]0,1[ \\\dfrac{k_3 x+ x\ln|x| - 1}{x-1}& \text{ si }x\in]1,+\infty[ \end{cases}
Prolongement par continuité en 0 :
Pour x=0 \text{ : } 0\times (-1)y'(0)+y(0)=0+1 \iff y(0)=1 et directement \displaystyle \lim_{x\to 0^+} y(x)= \lim_{x\to 0^-} y(x)=1
On a continuité en 0 de y .

Prolongement par continuité en 1 :
Pour x=1 \text{ : } 1\times 0y'(1)+y(1)=1+1 \iff y(1)=2
\displaystyle \lim_{x\to 1^-} y(x)= \lim_{x\to 1^-} \dfrac{k_2 x + x\ln|x|-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^-} \dfrac{k_2 x -1}{x-1}+\dfrac{x\ln(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-} \dfrac{k_2 x -1}{x-1}+1
\displaystyle \lim_{x\to 1^-} y(x)=2 \text{ si et seulement si } k_2=1

De même à droite : \displaystyle \lim_{x\to 1^+} y(x)=2 \text{ si et seulement si } k_3=1

On a alors : k_2=k_3=1 pour assurer le prolongement en 1 .


Dérivabilité :

En 0 : \displaystyle \lim_{x\to 0^+}=\dfrac{y(x)-y(0)}{x}=\lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln(x)}{x-1}=+\infty

En 1 : \displaystyle \lim_{x\to 1}=\dfrac{y(x)-y(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1} \dfrac{x\ln(x)-x+1}{(x-1)^2}\underbrace{=}_{\text{ l'Hôpital}}\lim_{x\to 1} \dfrac{\ln(x)}{2(x-1)}=\dfrac{1}{2}


\bullet \text{ Conclusion : }

(E) n'admet pas de solution dérivable sur \R , les solutions dérivables sur \R^{*} sont données par :

y(x)=\begin{cases} \dfrac{k_1x+x\ln|x|-1}{x-1} \enskip , \enskip (k_1\in\R)& \text{ si } x\in]-\infty,0[ \\1+x\dfrac{\ln(x)}{x-1} &\text{ si } x\in]0,1[\cup]1,+\infty[ \\2& \text{ si }x=1 \end{cases}

II- Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

1- Généralités

Définition
Une équation différentielle (E) est dite linéaire du second ordre et à coefficients constants si et seulement si elle est de la forme :

(E)\enskip : \enskip ay''+by'+cy=u(x)\enskip

u , appelée second membre , est une fonction continue définie sur l'intervalle I\text{ et }a,b,c\in\C \text{ avec }a\neq 0

L'équation (E_h)\enskip : ay''+by'+cy=0 est l'équation homogène ou sans second membre associée à (E)

2-Structure de l'ensemble des solutions


Proposition
La solution générale de l'équation (E):  \enskip ay''+by'+cy=u(x) est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène (E_h):  ay''+by'+cy=0 associée à (E)

3- Principe de superposition des solutions


Théorème
Soient f_1 et f_2 des solutions respectivement des équations (E_1):ay''+by'+cy=u_1(x) \text{ et }(E_2):ay''+by'+cy=u_2(x) sur l'intervalle I et soient \alpha,\beta\in\C .
Alors f=\alpha f_1+\beta f_2 est solution de l'équation différentielle ay''+by'+cy=\alpha u_1(x)+\beta u_2(x)

4- Étude de l'équation homogène


a) Cas complexe :
Théorème
Soit (E_h) : ay''+by'+cy=0 \text{ , }a,b,c\in\C \text{ avec }a\neq 0
On appelle équation caractéristique de (E_h) l'équation du second degré ax^2+bx+c=0 . Notons \Delta= b^2-4ac son dicriminent .

\bullet \text{ Si }\Delta\neq 0 \text{ : } L'équation caractéristique admet dans \C deux solutions distinctes \alpha \text{ et }\beta. Les solutions de l'équation différentielle (E_h) sont les fonctions de la forme : x\mapsto A \text{ e }^{\alpha x}+B\text{ e }^{\beta x}

\bullet \text{ Si }\Delta= 0 \text{ : } L'équation caractéristique admet dans \C une solution \alpha . Les solutions de l'équation différentielle (E_h) sont les fonctions de la forme : x\mapsto (Ax +B)\text{ e }^{\alpha x}

A \text{ et }B sont des constantes complexes quelconques

Preuve :

Sans distinguer de cas , si \Delta=0 , on note \alpha = \beta
On rappelle que \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} \text{ et }\alpha \beta=\dfrac{c}{a}
Soit f une fonction deux fois dérivable sur \R.
On pose g:\mapsto f(x)\text{ e}^{-\alpha x} , g est deux fois dérivable et :

g'(x)=f'(x)\text{ e}^{-\alpha x} -\alpha f(x) \text{ e}^{-\alpha x}
g''(x)=f''(x)\text{ e}^{-\alpha x}-2\alpha f'(x)\text{ e}^{-\alpha x}+\alpha^2 f(x) \text{ e}^{-\alpha x}=(f''(x)-2\alpha f'(x)+\alpha^2 f(x))\text{ e}^{-\alpha x}

On a les équivalences suivantes :
\begin{matrix} f\text{ est solution de }(E_h) \text{ sur }I &\iff& af''+bf'+cf=0 &\iff & f''=-\dfrac{b}{a}f'-\dfrac{c}{a}f \\\\&\iff& f''=(\alpha+\beta)f'-\alpha\beta f &\iff& f''-2\alpha f'+\alpha^2 f=(\alpha-\beta)f'-\alpha(\beta-\alpha) f \\\\&\iff&f''-2\alpha f'+\alpha^2 f= (\beta-\alpha)(f'-\alpha f) && \end{matrix}

En multipliant par \text{ e}^{-\alpha x} , on obtient : g''=(\beta-\alpha)g'
Nous avons donc démontré que f est solution de (E_h) si et seulement si g est solution de l'équation différentielle (E_1):y'=(\beta-\alpha)y .

On disingue les deux cas :

\bullet \Delta=0 , alors l'équation (E_1) s'écrit y'=0 , donc :

\begin{matrix} f\text{ est solution de }(E_h) \text{ sur }I &\iff& g''=0&\iff & g'\text{ est constante sur }I\\\\&\iff& g \text{ s'écrit : } x\mapsto Ax+B \text{ / }A,B\in\C &\iff& f\text{ s'écrit : } x\mapsto (Ax+B)\text{ e}^{\alpha x} \text{ / }A,B\in\C  \end{matrix}

\bullet \Delta\neq 0 :

\begin{matrix} f\text{ est solution de }(E_h) \text{ sur }I &\iff& g \text{ s'écrit : } x\mapsto k\text{ e}^{(\beta-\alpha) x} \text{ , }k\in\C &\iff& g\text{ s'écrit : } x\mapsto \dfrac{k}{\beta-\alpha}\text{ e}^{(\beta-\alpha) x} +A \text{ / }k,A\in\C \\\\&\iff& f\text{ s'écrit : } x\mapsto A\text{ e}^{\alpha x} +B \text{ e}^{\beta x} \text{ / }A,B\in\C&& \end{matrix}


b) Cas réel:

Comme \R\subset \C , les résultats vus dans a) restent valables si les coefficients sont réels, cependant, sur \R, on ne s'intéresse qu'aux solutions à valeurs réelles.
Lemme
Soit (E_h) : ay''+by'+cy=0 \text{ , }a,b,c\in\R \text{ avec }a\neq 0
Si f est une solution de (E_h) sur \R à valeurs quelconques, alors \mathcal{R}e(f) est solution de (E_h) sur \R à valeurs dans \R .

Preuve :
On a pour tout x de \R \text{ : }af''(x)+bf'(x)+cf(x)=0 .
Par linéarité de la patie réelle , on a \mathcal{R}e\left(af''(x)+bf'(x)+cf(x)\right)=a\mathcal{R}ef''(x)+b\mathcal{R}ef'(x)+c\mathcal{R}ef(x)=0
Or, la partie réelle de la dérivée étant la dérivée de la partie réelle, donc : a (\mathcal{R}e f)''(x)+b(\mathcal{R}e f)'(x)+c\mathcal{R}e f(x)=0 .
\mathcal{R}e f est bien solution de (E_h) (à valeurs réelles) .

Théorème
Soit (E_h) : ay''+by'+cy=0 \text{ , }a,b,c\in\R \text{ avec }a\neq 0
On appelle équation caractéristique de (E_h) l'équation du second degré ax^2+bx+c=0 . Notons \Delta= b^2-4ac son dicriminent .

\bullet \text{ Si }\Delta> 0 \text{ : } L'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes \alpha \text{ et }\beta. Les solutions de l'équation différentielle (E_h) sont les fonctions de la forme : x\mapsto A \text{ e }^{\alpha x}+B\text{ e }^{\beta x}

\bullet \text{ Si }\Delta= 0 \text{ : } L'équation caractéristique admet une solution réelle \alpha . Les solutions de l'équation différentielle (E_h) sont les fonctions de la forme : x\mapsto (Ax +B)\text{ e }^{\alpha x}

\bullet \text{ Si }\Delta< 0 \text{ : } L'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées, que l'on note \lambda +i\mu \text{ et }\lambda -i\mu \enskip (\lambda,\mu\in\R). Les solutions de l'équation différentielle (E_h) sont les fonctions de la forme : x\mapsto \text{e}^{\lambda x} (k_1\cos\mu x+ k_2\sin\mu x)

k_1,k_2, A \text{ et }B sont des constantes réelles quelconques

Preuve :
Soient A,B,A',B' des constantes réelles arbitraires, alors A+iA' \text{ et }B+iB' sont des constantes complexes quelconques.

\bullet \text{ Si }\Delta> 0 : D'après le théorème précédent, les solutions complexes sont de la forme x\mapsto (A+iA') \text{ e }^{\alpha x}+(B+iB')\text{ e }^{\beta x}
Leurs parties réelles sont de la forme : x\mapsto A \text{ e }^{\alpha x}+B\text{ e }^{\beta x}


\bullet \text{ Si }\Delta= 0 : D'après le théorème précédent, les solutions complexes sont de la forme x\mapsto \left((A+iA')x +(B+iB')\right)\text{ e }^{\alpha x}
Leurs parties réelles sont de la forme : x\mapsto (Ax+B) \text{ e }^{\alpha x}

\bullet \text{ Si }\Delta< 0 : Les solutions complexes sont de la forme x\mapsto (A+iA') \text{ e }^{(\lambda+i\mu) x}+(B+iB')\text{ e }^{(\lambda-i\mu) x}
La partie réelle de cette exrpession est : x\mapsto \text{ e }^{\lambda x}\left((A+B)\cos\mu x+ (-A'+B')\sin \mu x\right)
Ce qui fallait démontrer , en effet : k_1=A+B\in\R \text{ et }k_2=-A'+B'\in\R \text{ quelconques }

Remarque :

Si \Delta< 0 , on peut poser k_1+ik_2=A\text{ e }^{-i\varphi} \text{ où } A\geq 0 \text{ et } \varphi \in\R
Les solutions peuvent alors s'écrire : x\mapsto A\text{ e}^{\lamba x} \cos(\mu x+\varphi)
En effet : on cherche l'amplitude A=|k_1+i k_2|=\sqrt{k_1^2+k_2^2} et on factorise : k_1\cos \mu x+k_2\sin \mu x= A\left(\dfrac{k_1}{A} \cos\mu x + \dfrac{k_2}{A} \sin \mu x \right).
Or, puisque \left(\dfrac{k_1}{A}\right)^2+\left(\dfrac{k_2}{A}\right)^2=1 \text{ , } \exists \varphi \in\R \text{ / } \cos\varphi =\dfrac{k_1}{A} \text{ et } \sin\varphi=\dfrac{k_2}{A}
Il s'ensuit k_1\cos\mu x+k_2 \sin \mu x = A(\cos\varphi \cos \mu x+\sin\varphi\sin\mu x)=A\cos(\mu x-\varphi)

En physique, on préfère cette expression à celle présentée dans le théorème précédent.


Exemples :

Résoudre sur \R :  y''-3y'+2y=0
Solutions de l'équation caractéristique r^2-3r+2=0 .
\Delta=1>0 , les solutions sont donc : r_1=\dfrac{3-1}{2}=1 \text{ et }r_2=\dfrac{3+1}{2}=2
Les solutions de l'équation différentielle homogène sont : x\mapsto A\text{ e}^{x}+B\text{ e}^{2x} \text{ , }A,B\in\R

Résoudre sur \C :  y''-3iy'-2y=0
Solutions de l'équation caractéristique r^2-3ir+2=0 .
\Delta=-1=i^2 , les solutions sont donc : r_1=\dfrac{3i-i}{2}=i \text{ et }r_2=\dfrac{3i+i}{2}=2i
Les solutions de l'équation différentielle sont : x\mapsto A\text{ e}^{ix}+B\text{ e}^{2ix} \text{ , }A,B\in\R

Résoudre sur \R :  -y''+2y'-2y=0
Solutions de l'équation caractéristique -r^2+2r-2=0 .
\Delta=-4<0 , les solutions sont donc : r_1=\dfrac{-2-2i}{-2}=1+i \text{ et }r_2=\dfrac{-2+2i}{-2}=1-i
Les solutions de l'équation différentielle homogène sur \R sont : x\mapsto \text{ e}^{x}\left(A\cos x+B\sin x\right) \text{ , }A,B\in\R

5- Équation avec second membre


a) Le second membre est un polynôme :
Théorème
Soient a,b,c \in\C \text{ / }a\neq 0\text{ et } (E):ay''+by'+cy=Q(x)Q un polynôme de degré n\in\N .

\text{ Si }c\neq 0{ : } Alors il existe une fonction polynomiale de degré n solution particulière de (E).

\text{ Si }c=0 \text{ et }b\neq 0 \text{ : } Alors il existe une fonction polynomiale de degré n+1 solution particulière de (E).

\text{ Si }c=b= 0 \text{ : } Alors il existe une fonction polynomiale de degré n+2 solution particulière de (E).


Exemple :

Résoudre dans \R l'équation (E):y''-3y'+2y=x^2+x+2

On avait trouvé dans l'exemple précédent que les solutions de l'équation homogène associée sont de la forme : x\mapsto A \text{ e}^{x}+B\text{ e}^{2x} \text{, }A,B\in\R

On sait, d'après le théorème, qu'une solution particulière est polynômiale de degré 2, donc est de la forme Q:x\mapsto ax^2+bx+c\text{ / }a,b,c\in\R

On injecte dans l'équation est on identifie les coefficients :
Q''(x)-3Q'(x)+2Q(x)=x^2+x+2 \iff 2a-6ax-3b+2ax^2+2bx+2c=x^2+x+2 \iff \begin{cases} 2a=1 \\-6a+2b=1 \\2a-3b+2c=2\end{cases}\iff  \begin{cases} a=\dfrac{1}{2} \\b=2 \\c=\dfrac{7}{2}\end{cases}
Donc , une solution particulière de (E) est Q:x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2+2x+\dfrac{7}{2}

On conclut que les solutions générales de l'équation (E) sont de la forme : x\mapsto A \text{ e}^{x}+B\text{ e}^{2x} +\dfrac{1}{2}x^2+2x+\dfrac{7}{2} \text{, }A,B\in\R


b) Le second membre est un produit polynôme-exponentielle :
Théorème
Soient a,b,c,\alpha \in\C \text{ / }a\neq 0\text{ et } (E):ay''+by'+cy=Q(x)\text{e}^{\alpha x}Q un polynôme , notons P(X)=aX^2+bX+c

\text{ Si }P(\alpha)\neq 0 \text{ : } Alors x\mapsto R(x)\text{e}^{\alpha x } est une solution particulière de (E).

\text{ Si }P(\alpha)= 0 \text{ et }P'(\alpha)\neq 0 \text{ : } Alors x\mapsto xR(x)\text{e}^{\alpha x } est une solution particulière de (E).

\text{ Si }P(\alpha)=P'(\alpha)= 0 \text{ : } Alors x\mapsto x^2R(x)\text{e}^{\alpha x } est une solution particulière de (E).

R est un polynôme tel que \deg(R)=\deg(Q)


Exemple :

Résoudre dans \R l'équation (E):y''-2y'-3y=x\text{e}^{-x}

On trouve aisément les solutions de l'équation homogène associée qui sont sous la forme : x\mapsto A \text{e}^{3x}+B\text{e}^{-x} \text{ / }A,B\in\R

Déterminons une solution particulière de cette équation :

Posons P(X)=X^2-2X-3 , puisque : P(-1)=0 et P'(-1)=-4\neq 0 , on cherche une solution particulière de la forme f_p:x\mapsto x(ax+b)\text{e}^{-x} \text{ , }a,b\in\R

On a :

f_p'(x)=(2ax+b-ax^2-bx)\text{e}^{-x}=(-ax^2+(2a-b)x+b)\text{e}^{-x}

f_p''(x)=(-2ax++2a-b+ax^2-(2a-b)x-b)\text{e}^{-x}=(ax^2-(4a-b)x+2a-2b)\text{e}^{-x}

f_p est solution de (E) si et seulement si : (ax^2-(4a-b)x+2a-2b)-2(-ax^2+(2a-b)x+b)-3(ax^2+bx)=x \iff a=-\dfrac{1}{8}\text{ et }b=-\dfrac{1}{16}

Les solutions générales de l'équation s'écrivent sous la forme : x\mapsto A \text{e}^{3x}+B\text{e}^{-x}-\dfrac{1}{16}x(2x+1)\text{e}^{-x} \text{ / }A,B\in\R

c) Le second membre est une combinaison linéaire de fonctions \cos et \sin
Proposition
Soient a,b,c\in\R\text{ avec }a\neq 0 et u:x\mapsto \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)\alpha,\beta,\omega \in\R \text{ avec }\omega\neq 0
L'équation différentielle ay''+by'+cy=u(x) admet une solution particulière sur I de la forme x\mapsto \gamma \cos(\omega x) +\rho \sin(\omega x) \text{ où } \gamma,\rho\in\R


Exemple :

Résoudre dans \R l'équation (E):y''-2y'-3y=\sin x

On avait trouvé les solutions de l'équation homogène associée : x\mapsto A \text{e}^{3x}+B\text{e}^{-x} \text{ / }A,B\in\R

L'équation admet une solution particulière de la forme f_p:x\mapsto a \cos( x) +b \sin( x) \text{ où } a,b\in\R

On a : f_p'(x)=-a\sin x +b\cos x\enskip \text{ et } \enskip f_p''(x)=-a\cos x-b\sin x

f_p est solution de (E) si et seulement si : -a\cos x-b\sin x-2(-a\sin x +b\cos x)-3(a \cos x +b \sin x )=\sin x\iff \begin{cases}-4a-2b=0\\2a-4b=1\end{cases} \iff a=\dfrac{1}{10}\text{ et }b=-\dfrac{1}{5}

Les solutions générales de l'équation s'écrivent donc sous la forme : x\mapsto A \text{e}^{3x}+B\text{e}^{-x}+\dfrac{1}{10}\cos x -\dfrac{1}{5} \sin x\text{ / }A,B\in\R

d) Cas général : Méthode de variations des constantes

Notation :

On note y_1 la solution de l'équation différentielle homogène en prenant A=1 et B=0 (ou k_1=1 et k_2 = 0 sur \R dans le cas \Delta<0)

On note y_2 la solution de l'équation différentielle homogène en prenant A=0 et B=1 (ou k_1=0 et k_2 = 1 sur \R dans le cas \Delta<0)

Plus précisément , sur \C :

\bullet \text{ Si }\Delta\neq 0 \text{ : } y_1: x\mapsto  \text{ e }^{\alpha x}\text{ et }y_2:x\mapsto \text{ e }^{\beta x}

\bullet \text{ Si }\Delta=0  \text{ : } y_1: x\mapsto  x\text{ e }^{\alpha x}\text{ et }y_2:x\mapsto \text{ e }^{\alpha x}

Sur \R :

\bullet \text{ Si }\Delta> 0 \text{ : } y_1: x\mapsto  \text{ e }^{\alpha x}\text{ et }y_2:x\mapsto \text{ e }^{\beta x}

\bullet \text{ Si }\Delta=0  \text{ : } y_1: x\mapsto  x\text{ e }^{\alpha x}\text{ et }y_2:x\mapsto \text{ e }^{\alpha x}

\bullet \text{ Si }\Delta<0  \text{ : } y_1: x\mapsto  x\text{ e }^{\lambda x}\cos(\mu x)\text{ et }y_2:x\mapsto \text{ e }^{\lambda x}\sin(\mu x)

Remarque : On dit que (y_1,y_2) forme une base de solutions de l'équation homogène.


Méthode :

La méthode de variations des constantes consiste à trouver une solution particulière y_0 sous la forme : \begin{cases} y_0(x)=A(x)y_1(x)+B(x)y_2(x) \\y_0'(x)=A(x)y_1'(x)+B(x)y_2'(x)\end{cases}
En particulier, l'expression y_0' entraîne que : A'(x)y_1(x)+B'(x)y_2(x)=0\enskip (I)

Maintenant : y_0''(x)=A(x)y_1''(x)+B(x)y_2''(x)+A'(x)y_1'(x)+B'(x)y_2'(x) .

Et puisque y_1 et y_2 sont solutions de l'équation homogène , alors y_0 est solution particulière si et seulement si A'(x)y_1'(x)+B'(x)y_2'(x)=u(x)\enskip (II)

Conclusion : Pour trouver A et B , on utilise (I) \text{ et }(II) et on résout le système différentiel.


Exemple :

Résoudre dans \R l'équation (E):y''+2y'+3y=\sin x \text{ e}^{-x}

Les solutions de l'équation homogène s'écrivent sous la forme : x\mapsto (A\sin x + B\cos x)\text{ e}^{-x} \enskip , \enskip A,B\in\R

Déterminons une solution particulière de l'équation en utilisant la méthode de variations des constantes. On cherche y_0 telle que :

y_0(x)=A(x)\text{ e}^{-x}\sin x + B(x) \text{e}^{-x} \cos x  \\y_0'(x)=A(x)\text{ e}^{-x}(\cos x-\sin x) -B(x)\text{ e}^{-x}(\sin x+\cos x)

Il en résulte alors que : A'(x)\sin x + B'(x)\cos x =0\enskip (*)

Puisque y_0''(x)=A'(x)\text{ e}^{-x}(\cos x -\in x)-B'(x)\text{ e}^{-x}(\sin x+ \cos x )-2A(x)\text{ e}^{-x}\cos x + 2B(x)\text{ e}^{-x}\sin x

y_0 est solution si et seulement si : A'(x)\text{ e}^{-x}(\cos x -\sin x)-B'(x)\text{ e}^{-x}(\sin x+ \cos x )=\text{ e}^{-x}\sin x

En multipiant par \cos x et en simplifiant par \text{ e}^{-x} , on obtient :

A'(x)\cos x(\cos x -\in x)-B'(x)\cos x(\sin x+ \cos x )=\cos x\sin x

D'après (*)\enskip , \enskip A'(x)\sin x =- B'(x)\cos x

Alors : A'(x)\cos x(\cos x -\in x)+A'(x)\sin x(\sin x+ \cos x )=\dfrac{1}{2}\sin 2x

Soit A'(x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x et par suite , on peut prendre A(x)= -\dfrac{1}{4}\cos 2x

En remplaçant dans (*)\enskip : \enskip B'(x)=-\sin^2x=\dfrac{1}{2}\left(\cos 2x -1\right)

Ce qui permet de prendre : B(x)= \dfrac{1}{4} \sin 2x -\dfrac{x}{2}

On obtient finalement y_0=-\dfrac{1}{2}x\text{ e}^{-x}\cos x +\text{ e}^{-x} \sin x

Et on conclut que les solutions générales de l'équation différentielle sont : x\mapsto (A\sin x + B\cos x)\text{ e}^{-x} -\dfrac{1}{2}x\text{ e}^{-x}\cos x \enskip , \enskip A,B\in\R

6- Problème de Cauchy


Proposition
Soient x_0\in\R \text{ et } y_0,y_0'\in\C . L'équation différentielle (E): ay''+by'+cy=u(x)a,b,c\in\C \text{ avec }a\neq 0 \text{ et } u \text{ continue sur }I admet une et une seule solution vérifiant la condition initiale \begin{cases} y_0=y(x_0)\\y_0'=y'(x_0)\end{cases}



Exemple :

Résoudre dans \R le problème de Cauchy suivant : (E):y''+2y'+3y=\sin x \text{ e}^{-x}\text{ vérifiant }\enskip\begin{cases} y(0)=0 \\y'(0)=0\end{cases}

D'après l'exemple précédent, les solutions générales de l'équation différentielle sont : x\mapsto (A\sin x + B\cos x)\text{ e}^{-x} -\dfrac{1}{2}x\text{ e}^{-x}\cos x \enskip , \enskip A,B\in\R

Soit f la solution du problème de Cauchy à résoudre, alors il existe A,B\in\R \text{ tels que } f(x)=(A\sin x + B\cos x)\text{ e}^{-x} -\dfrac{1}{2}x\text{ e}^{-x}\cos x  \text{ avec }f(0)=0 \text{ et }f'(0)=0

On obtient : f(0)=B=0 \text{ et } f'(0)=A-B-\dfrac{1}{2}=0, il s'ensuit que A=\dfrac{1}{2} \text{ et }B=0

On conclut que la solution du problème de Cauchy est f:x\mapsto \dfrac{1}{2}\text{ e}^{-x}\left(\sin x  -x\cos x\right)
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