Fiche de mathématiques

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Formules de Taylor - Développements limités

I. Formules de Taylor

1. Formule de Taylor avec reste intégrale

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R} \, , n \in \mathbb{N}$ et $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathfrak{C}^{n+1}$ sur $I$ .
On a alors la formule suivante :
$\forall (a \, , \, b) \in I^2 \: : \: f(b) = \displaystyle \sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} + \displaystyle \int_a^b \frac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx$
C'est la formule de Taylor avec reste intégrale d'ordre $n$ .
Le terme $\displaystyle \int_a^b \frac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx$ est dit le reste intégrale d'ordre $n$ .

Remarque : Formule de "Taylor - Maclaurin"
En posant $b = a+ h$ , la formule de Taylor avec reste intégrale s'écrit :
$f(a+h) = \displaystyle \sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{h^k}{k!} + \displaystyle \int_a^{a+h} \frac{(a+h-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx$
Et en particulier, si $a = 0 \text{ et } h = x$ , on obtient ce qu'on appelle la formule de Taylor-Maclaurin :
$f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n f^{(k)}(0) \frac{x^k}{k!} + \displaystyle \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt$

Exemples : Pour $a = 0$ :
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \displaystyle \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} e^t dt$
$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + (-1)^{n+1} \displaystyle \int_0^n \frac{(x-t)^{2n+1}}{(2n+1)!} \sin(t) dt$

2. Inégalité de Taylor - Lagrange

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R} \, , \, n \in \mathbb{N} \text{ et } f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathfrak{C}^{n+1}$ sur $I$ , alors :
$\forall (a \, , \, b) \in I^2 \: : \: \|f(b) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} \| \leq M \frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}$ avec : $M = sup\|f^{(n+1)}(x)\| \, , \, x \in [a \, , \, b]$
C'est l'inégalité de Taylor-Lagrange.

3. Formule de Taylor - Young

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R} \, , \, n \in \mathbb{N}$ et $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction $n$ fois dérivable au point $a$ .
Alors : $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \: \frac{1}{(x-a)^n}\left[f(x) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k\right] = 0$
Et on note : $f(x) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = o_{a}((x-a)^n)$
C'est la formule de Taylor - Young.

Exemples :
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$
$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})$ .

II. Développements limités

1. Généralités

Définition i) :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ contenant $0$ , $n \in \mathbb{N}$ et $f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ .
On dit que $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ au point $x_0 = 0$ lorsqu'il existe $(a_0, \cdots , a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ tel que pour $x \in I$ :
$f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k x^k + x^n \epsilon(x)$ avec $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \epsilon (x) = 0$
et on note : $f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n)$
Cette expression s'appelle le développement limité d'ordre $n$ de $f$ au point $0$ .

Définition ii) :

Soit $I$ un intervalle contenant $x_0 \in \mathbb{R}$ et $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ .

On dit que $f$ admet un développement limité au point $x_0$ si la fonction $g$ définie par : $g(x) = f(x + x_0)$ admet un développement limité au point $0$ .
c'est-à-dire : $f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k (x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)$

Remarque :
Toute l'étude suivante concerne les développements limités au point $0$ mais se généralise aisément d'après la définition ii) précédente aux développements limités au point $x_0 \in I$ quelconque.

Vocabulaire :
Avec les hypothèses et les résultats de la définition i) :
La partie $\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k$ est appelée la partie régulière du développement limité.
La partie $f(x) - \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k$ est appelée la partie complémentaire du developpement limité.

Notation :
L'ensemble des fonctions admettant un developpement limité à l'ordre $n$ en un point $x_0$ est noté $DL_n(x_0)$ .

Proposition :

Si $f \in DL_n(0)$ alors $\forall p \leq n \: : \: f \in DL_p(0)$
C'est-à-dire :
Si $f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n)$ alors : $\forall p \leq n \: : \: f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^p a_k x^k + o(x^p)$ .

2. Opérations sur les developpements limités

Linéarité :
Soit $n \in \mathbb{N} \, , \, f \, , \, g \in DL_n(0)$ respectivement de parties régulières $A \, , \, B$ et $\lambda \in \mathbb{R}$
Alors $f + \lambda g \in DL_n(0)$ de partie regulière $A + \lambda B$ .

Produit :
Soit $n \in \mathbb{N} \, , \, f \, , \, g \in DL_n(0)$ respectivement de parties régulières $A \, , \, B$ .
Alors $f \times g \in DL_n(0)$ de partie regulière obtenue à partir de $A \times B$ en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $n$ (c'est-à-dire tronqué à l'ordre $n$ ).

Composition :
Soit $n \in \mathbb{N} \, , \, f \, , \, g \in DL_n(0)$ avec $f(0) = 0$ respectivement de parties régulières $A \, , \, B$ .
Alors $g \circ f \in DL_n(0)$ dont la partie régulière est $B \circ A$ tronqué à l'ordre $n$ .

Inverse :
Soit $n \in \mathbb{N} \, , \, f \in DL_n(0)$ tel que $f(0) \not = 0$ .
Alors $\frac{1}{f} \in DL_n(0)$ .

Primitive :
Soit $n \in \mathbb{N} \, , \, f : I \longrightarrow \mathbb{R}$ continue avec $f \in DL_n(0)$ de partie régulière $\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k$ .
Alors si $F$ est une primitive de $f$ alors $F \in DL_{n+1}(0)$ avec :
$F(x) = F(0) + \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k \frac{x^{k+1}}{k+1} + o(x^{n+1})$ .

3. Formule de quelque developpements limités usuels en 0

$\bullet \displaystyle \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n) \\ \bullet \ln(1+x) = x - \displaystyle \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n+1} \displaystyle \frac{x^n}{n} + o(x^n)$
$\bullet \ln(1-x) = -x - \displaystyle \frac{x^2}{2} + \cdots - \displaystyle \frac{x^n}{n}+o(x^n) \\ \bullet e^x = 1 + x + \displaystyle \frac{x^2}{2} + \cdots + \displaystyle \frac{x^n}{n!} + o (x^n) \\ \bullet \sin(x) = x - \displaystyle \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o (x^{2n+1})$
$\bullet \cos(x) = 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o (x^{2n}) \\ \bullet \text{sh}(x) = x + \displaystyle \frac{x^3}{3!} + \cdots + \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o (x^{2n+1}) \\ \bullet \text{ch}(x) = 1 + \displaystyle \frac{x^2}{2!} + \cdots + \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o (x^{2n})$
$\bullet \displaystyle \frac{1}{1-x^2} = 1 +x^2+x^4 + \cdots + x^{2n} + o(x^{2n}) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{1+x^2} = 1 -x^2+x^4 + \cdots +(-1)^n x^{2n} + o(x^{2n}) \\ \bullet \text{Arctan}(x) = x - \displaystyle \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o (x^{2n+1})$
$\bullet (1+x)^a = 1+ax + \displaystyle \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \cdots + \frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \text{ avec } a \in \mathbb{R} \\ \bullet \sqrt{1+x} = 1 + \displaystyle \frac{x}{2} - \displaystyle \frac{x^2}{8} + \displaystyle \frac{x^3}{16} + o(x^3) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \displaystyle \frac{x}{2} + \displaystyle \frac{3x^2}{8} - \displaystyle \frac{5x^3}{16} + o(x^3)$
$\bullet \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2} + \displaystyle \frac{3x^4}{8} + o(x^4) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1 + \displaystyle \frac{x^2}{2} + \displaystyle \frac{3x^4}{8} + o(x^4)$
$\bullet \text{Arcsin}(x) = x + \displaystyle \frac{x^3}{6} + \displaystyle \frac{3x^5}{40}+ o(x^5) \\ \bullet \tan(x) = x + \displaystyle \frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15} + o(x^5)$

Publié par Panter le 03-02-2016

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