Formules de Taylor - Développements limités
I. Formules de Taylor
1. Formule de Taylor avec reste intégrale
Soit

un intervalle de

et

une fonction de classe

sur

.
On a alors la formule suivante :
C'est la
formule de Taylor avec reste intégrale d'ordre 
.
Le terme
^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx)
est dit le reste intégrale d'ordre

.
Remarque : Formule de "Taylor - Maclaurin"
En posant

, la formule de Taylor avec reste intégrale s'écrit :
Et en particulier, si

, on obtient ce qu'on appelle la formule de Taylor-Maclaurin :
Exemples : Pour

:
2. Inégalité de Taylor - Lagrange
Soit

un intervalle de

une fonction de classe

sur

, alors :
 \in I^2 \: : \: \|f(b) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} \| \leq M \frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!})
avec :
C'est
l'inégalité de Taylor-Lagrange.
3. Formule de Taylor - Young
Soit

un intervalle de

et

une fonction

fois dérivable au point

.
Alors :
Et on note :
C'est la
formule de Taylor - Young.
Exemples :
 = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}))
.
II. Développements limités
1. Généralités
Définition i) :
Soit

un intervalle de

contenant

,

et

.
On dit que

admet un
développement limité d'ordre
au point 
lorsqu'il existe
 \in \mathbb{R}^{n+1})
tel que pour

:
 = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k x^k + x^n \epsilon(x))
avec
et on note :
Cette expression s'appelle le développement limité d'ordre

de

au point

.
Définition ii) :
Soit

un intervalle contenant

et

.
On dit que

admet un
développement limité au point 
si la fonction

définie par :
 = f(x + x_0))
admet un développement limité au point

.
c'est-à-dire :
Remarque :
Toute l'étude suivante concerne les développements limités au point

mais se généralise aisément d'après la définition ii) précédente aux développements limités au point

quelconque.
Vocabulaire :
Avec les hypothèses et les résultats de la définition i) :
La partie

est appelée
la partie régulière du développement limité.
La partie
 - \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k)
est appelée
la partie complémentaire du developpement limité.
Notation :
L'ensemble des fonctions admettant un developpement limité à l'ordre

en un point

est noté
)
.
Proposition :
Si
)
alors
C'est-à-dire :
Si
 = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n))
alors :
 = \displaystyle \sum_{k=0}^p a_k x^k + o(x^p))
.
2. Opérations sur les developpements limités
Linéarité :
Soit
)
respectivement de parties régulières

et
Alors
)
de partie regulière

.
Produit :
Soit
)
respectivement de parties régulières

.
Alors
)
de partie regulière obtenue à partir de

en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à

(c'est-à-dire tronqué à l'ordre

).
Composition :
Soit
)
avec
 = 0)
respectivement de parties régulières

.
Alors
)
dont la partie régulière est

tronqué à l'ordre

.
Inverse :
Soit
)
tel que
 \not = 0)
.
Alors
)
.
Primitive :
Soit

continue avec
)
de partie régulière

.
Alors si

est une primitive de

alors
)
avec :
 = F(0) + \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k \frac{x^{k+1}}{k+1} + o(x^{n+1}))
.
3. Formule de quelque developpements limités usuels en 0