Ensemble et Application (Partie 2)
I. Fonction - Application
a) Graphe - Correspondance
Soient
et
deux ensembles.
On appelle
graphe toute partie de
et on appelle
correspondance tout triplet
tel que
est un graphe de
.
Exemple :
Soit
et
.
On a alors :
est un graphe de
et
est une correspondance.
b) Fonction
Soient
et
deux ensembles, et
est un graphe de
.
est appelé fonction si pour tout
, il existe
au plus tel que
.
Exemple :
Dans l'exemple précédent,
n'est pas une fonction car pour
, les couples
et
appartiennent tout les deux à
.
Vocabulaire :
Si
est une fonction :
- est appelé l'ensemble de Départ
- est appelé l'ensemble d'Arrivée
- L'ensemble est appelé Domaine de définition de la fonction.
- L'ensemble est appelé Ensemble image.
c) Application
Une
application est une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de départ, elle sera notée par :
- est appelé image de par l'application .
- est appelé antécédent de par .
Proposition :
Soient
quatre ensembles et soient
et
deux applications.
On dit que
est égale à
et on note
si :
Exemple :
Soient
et
deux applications, on a :
car
d) Restriction et prolongement
Soient
et
deux ensembles, soit
, soit
une application, soit
une autre application définie par :
,
est appelée
restriction de
sur
et on note :
Soient
trois ensembles tels que :
, soit
deux applications définies respectivement sur
et sur
par :
et
,
on dit que
est un
prolongement de
si :
e) Composition de deux applications :
Soient
trois ensembles, soient
et
deux applications.
L'application
définie par :
est appelée
composé de
et
et on note :
.
Remarque :
Généralement :
, mais il y a des exceptions (l'application constante par exemple).
Exemple :
et
Déterminons
:
On a :
II. Image Directe - Image Réciproque
a) Définition
Soient
et
deux ensembles, et
et
, et soit
une application.
- L'ensemble est appelé image directe de et est noté .
- L'ensemble est appelé image réciproque de par et est noté
On a :
et
Exemple :
Soient :
et
,
b) Partie stable - Partie invariante
Soit
un ensemble,
une application, soit
.
- On dit que est stable par si .
- On dit que est invariante par si : .
Remarque : toute partie invariante est stable.
III. Injection - Surjection - Bijection
a) Injection
Soient
et
deux ensembles et soit
une application.
On dit que
est
injective (une injection) si :
ce qui est équivaut à dire :
b) Surjection
Soient
et
deux ensembles, et soit
une application.
On dit que
est
surjective (une surjection) si :
ce qui est équivaut à dire :
c) Bijection
Soient
et
deux ensembles,
une application.
On dit que
est
bijective (une bijection) si elle est à la fois une injection et une surjection.
Exemple :
Soit
donc
est injective.
Soit
,
donc
est surjective.
Puisque
est à la fois injective et surjective, alors elle est bijective.
Proposition :
La composée de deux injections (respectivent deux surjections) est une injection (resp surjection).
d) Bijection réciproque
Définition : l'application identité
L'identité sur
, notée
, est l'application définie par :
Théorème et définition :
Soient
deux ensembles, et
une application.
Pour que
soit bijective il faut et il suffit qu'il existe une application
telle que :
et
.
Dans ce cas,
est unique et est appelée bijection réciproque de
notée
e) Bijection involutive
Définition :
Soit
un ensemble,
une application.
On dit que
est
involutive (une involution) si :
Proposition :
Soit
un ensemble.
Si
est une involution, alors
est une bijection et
.