Ensemble et Application (Partie 2)
I. Fonction - Application
a) Graphe - Correspondance
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux ensembles.
On appelle
graphe toute partie de
![E \times F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E \times F)
et on appelle
correspondance tout triplet
![(E,F,T)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E,F,T))
tel que
![T](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?T)
est un graphe de
![E \times F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E \times F)
.
Exemple :
Soit
![E=\lbrace 1,2,3,4\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E=\lbrace 1,2,3,4\rbrace )
et
![F=\lbrace a,b,c,d\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F=\lbrace a,b,c,d\rbrace )
.
On a alors :
![T=\lbrace (1,a),(1,b),(3,c),(4,d)\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?T=\lbrace (1,a),(1,b),(3,c),(4,d)\rbrace )
est un graphe de
![E \times F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E \times F)
et
![(E,F,T)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E,F,T))
est une correspondance.
b) Fonction
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux ensembles, et
![T](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?T)
est un graphe de
![E \times F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E \times F)
.
![(E,F,T)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E,F,T))
est appelé fonction si pour tout
![x \in E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in E)
, il existe
au plus ![y \in F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y \in F)
tel que
![(x,y) \in T](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x,y) \in T)
.
Exemple :
Dans l'exemple précédent,
![(E,F,T)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E,F,T))
n'est pas une fonction car pour
![x = 1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x = 1)
, les couples
![(1, a)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? (1, a))
et
![(1, b)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(1, b))
appartiennent tout les deux à
![T](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?T)
.
Vocabulaire :
Si
![(E,F,T)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E,F,T))
est une fonction :
-
est appelé l'ensemble de Départ
-
est appelé l'ensemble d'Arrivée
- L'ensemble
est appelé Domaine de définition de la fonction.
- L'ensemble
est appelé Ensemble image.
c) Application
Une
application est une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de départ, elle sera notée par :
-
est appelé image de
par l'application
.
est appelé antécédent de
par
.
Proposition :
Soient
![E, F, G \text{ et } H](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E, F, G \text{ et } H)
quatre ensembles et soient
![\begin{array}{rcccl} f&:&E&\to& F\\ & &x &\mapsto &f(x)\end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rcccl} f&:&E&\to& F\\ & &x &\mapsto &f(x)\end{array})
et
![\begin{array}{rcccl} g&:&G&\to& H\\ & &x &\mapsto &g(x)\end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rcccl} g&:&G&\to& H\\ & &x &\mapsto &g(x)\end{array})
deux applications.
On dit que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est égale à
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
et on note
![f=g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f=g)
si :
Exemple :
Soient
![\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &\sqrt{x^2}\end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &\sqrt{x^2}\end{array})
et
![\begin{array}{rcccl} g&:& \mathbb{R} & \to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &|x|\end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rcccl} g&:& \mathbb{R} & \to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &|x|\end{array})
deux applications, on a :
![f = g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f = g)
car
d) Restriction et prolongement
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux ensembles, soit
![A \subset E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A \subset E)
, soit
![f \, : \, E \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, F)
une application, soit
![g \, : \, A \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g \, : \, A \, \to \, F)
une autre application définie par :
![\forall x \in A \, : \, g(x) = f(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x \in A \, : \, g(x) = f(x))
,
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est appelée
restriction de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
sur
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et on note :
Soient
![E,F,G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E,F,G)
trois ensembles tels que :
![E \subset G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E \subset G)
, soit
![f , g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f , g)
deux applications définies respectivement sur
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et sur
![G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G)
par :
![f \, : \, E \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, F)
et
![g \, : \, G \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g \, : \, G \, \to \, F )
,
on dit que
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est un
prolongement de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
si :
e) Composition de deux applications :
Soient
![E,F,G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E,F,G)
trois ensembles, soient
![f \, : \, E \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, F)
et
![g \, : \, F \, \to \, G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g \, : \, F \, \to \, G)
deux applications.
L'application
![h \, : \, E \, \to \, G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h \, : \, E \, \to \, G)
définie par :
![\forall x \in E \; h(x) = g[f(x)]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x \in E \; h(x) = g[f(x)])
est appelée
composé de
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
et
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
et on note :
![h = g \circ f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h = g \circ f)
.
Remarque :
Généralement :
![g \circ f \neq f \circ g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g \circ f \neq f \circ g)
, mais il y a des exceptions (l'application constante par exemple).
Exemple :
![\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &\sqrt{x^2+1}\end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &\sqrt{x^2+1}\end{array})
et
Déterminons
![g \circ f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g \circ f)
:
On a :
II. Image Directe - Image Réciproque
a) Définition
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux ensembles, et
![A \subset E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A \subset E)
et
![B\subset F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B\subset F)
, et soit
![f \, : \, E \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, F)
une application.
- L'ensemble
est appelé image directe de
et est noté
.
- L'ensemble
est appelé image réciproque de
par
et est noté ![f^{-1}(B)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f^{-1}(B))
On a :
![f(A) \subset F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(A) \subset F)
et
Exemple :
Soient :
![\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to&\mathbb{R} \\ & &x &\mapsto &x^2\end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to&\mathbb{R} \\ & &x &\mapsto &x^2\end{array})
et
![A = [-1,1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A = [-1,1])
,
b) Partie stable - Partie invariante
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un ensemble,
![f \, : \, E \, \to \, E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, E)
une application, soit
![A \subset E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A \subset E)
.
- On dit que
est stable par
si
.
- On dit que
est invariante par
si :
.
Remarque : toute partie invariante est stable.
III. Injection - Surjection - Bijection
a) Injection
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux ensembles et soit
![f \, : \, E \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, F)
une application.
On dit que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est
injective (une injection) si :
ce qui est équivaut à dire :
b) Surjection
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux ensembles, et soit
![f \, : \, E \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, F)
une application.
On dit que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est
surjective (une surjection) si :
ce qui est équivaut à dire :
c) Bijection
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux ensembles,
![f \, : \, E \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, F)
une application.
On dit que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est
bijective (une bijection) si elle est à la fois une injection et une surjection.
Exemple :
Soit
![f(a) = f(b) \Longleftrightarrow 2a + 3 = 2b + 3 \Longleftrightarrow a = b](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(a) = f(b) \Longleftrightarrow 2a + 3 = 2b + 3 \Longleftrightarrow a = b)
donc
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est injective.
Soit
![y \in \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y \in \mathbb{R})
,
![f(x) = y \Leftrightarrow x = \frac{y-3}{2} \in \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x) = y \Leftrightarrow x = \frac{y-3}{2} \in \mathbb{R})
donc
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est surjective.
Puisque
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est à la fois injective et surjective, alors elle est bijective.
Proposition :
La composée de deux injections (respectivent deux surjections) est une injection (resp surjection).
d) Bijection réciproque
Définition : l'application identité
L'identité sur
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
, notée
![Id_{E}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Id_{E})
, est l'application définie par :
Théorème et définition :
Soient
![E,F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E,F)
deux ensembles, et
![f \, : \, E \, \to \, F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, F)
une application.
Pour que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
soit bijective il faut et il suffit qu'il existe une application
![g \, : \, F \, \to \, E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g \, : \, F \, \to \, E)
telle que :
![g \circ f = Id_{E}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g \circ f = Id_{E})
et
![f \circ g = Id_{F}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \circ g = Id_{F})
.
Dans ce cas,
![g](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g)
est unique et est appelée bijection réciproque de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
notée
e) Bijection involutive
Définition :
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un ensemble,
![f \, : \, E \, \to \, E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, E)
une application.
On dit que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est
involutive (une involution) si :
Proposition :
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un ensemble.
Si
![f \, : \, E \, \to \, E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f \, : \, E \, \to \, E)
est une involution, alors
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une bijection et
![f = f^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f = f^{-1})
.