Fiche de mathématiques
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Ensemble et Application (Partie 2)

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I. Fonction - Application

a) Graphe - Correspondance

Soient E et F deux ensembles.
On appelle graphe toute partie de E \times F et on appelle correspondance tout triplet (E,F,T) tel que T est un graphe de E \times F.

Exemple :
Soit E=\lbrace 1,2,3,4\rbrace et F=\lbrace a,b,c,d\rbrace .
On a alors : T=\lbrace (1,a),(1,b),(3,c),(4,d)\rbrace est un graphe de E \times F et (E,F,T) est une correspondance.

b) Fonction

Soient E et F deux ensembles, et T est un graphe de E \times F.
(E,F,T) est appelé fonction si pour tout x \in E, il existe au plus y \in F tel que (x,y) \in T.

Exemple :
Dans l'exemple précédent, (E,F,T) n'est pas une fonction car pour x = 1, les couples (1, a) et (1, b) appartiennent tout les deux à T.

Vocabulaire :
Si (E,F,T) est une fonction :
  • E est appelé l'ensemble de Départ
  • F est appelé l'ensemble d'Arrivée
  • L'ensemble \lbrace x \in E / \exists y \in F , (x,y) \in T\rbrace est appelé Domaine de définition de la fonction.
  • L'ensemble \lbrace y \in F / \exists x \in E , (x,y) \in T\rbrace est appelé Ensemble image.

c) Application

Une application est une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de départ, elle sera notée par :
\begin{array}{rcccl} f&:&E&\to& F\\ & &x &\mapsto &y=f(x)\end{array}
  • y est appelé image de x par l'application f.
  • x est appelé antécédent de y par f.
Proposition :
Soient E, F, G \text{ et } H quatre ensembles et soient
\begin{array}{rcccl} f&:&E&\to& F\\ & &x &\mapsto &f(x)\end{array}     et     \begin{array}{rcccl} g&:&G&\to& H\\ & &x &\mapsto &g(x)\end{array} deux applications.
On dit que f est égale à g et on note f=g si :
  • E = G et F = H
  • \forall x \in E \; : \; f(x) = g(x)


Exemple :
Soient
\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &\sqrt{x^2}\end{array}     et     \begin{array}{rcccl} g&:& \mathbb{R} & \to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &|x|\end{array} deux applications, on a :
f = g car \forall x \in \mathbb{R} \; \text{ : } \; \sqrt{x^2} =|x|

d) Restriction et prolongement

Soient E et F deux ensembles, soit A \subset E, soit f \, : \, E \, \to \, F une application, soit g \, : \, A \, \to \, F une autre application définie par : \forall x \in A \, : \, g(x) = f(x),
g est appelée restriction de f sur A et on note : g = f_{\backslash A}
Soient E,F,G trois ensembles tels que : E \subset G, soit f , g deux applications définies respectivement sur E et sur G par : f \, : \, E \, \to \, F et g \, : \, G \, \to \, F ,
on dit que g est un prolongement de f si : g_{\backslash E} = f

e) Composition de deux applications :

Soient E,F,G trois ensembles, soient f \, : \, E \, \to \, F et g \, : \, F \, \to \, G deux applications.
L'application h \, : \, E \, \to \, G définie par : \forall x \in E \; h(x) = g[f(x)] est appelée composé de g et f et on note : h = g \circ f.

Remarque :
Généralement : g \circ f \neq f \circ g, mais il y a des exceptions (l'application constante par exemple).

Exemple :
\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &\sqrt{x^2+1}\end{array}     et     \begin{array}{rcccl} g&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{R}\\ & &x&\mapsto &\frac{1}{x^2+1}\end{array}
Déterminons g \circ f :
On a : g \circ f(x) = g[f(x)] = g(\sqrt{x^2+1}) = \frac{1}{x^2+1+1} = \frac{1}{x^2+2}


II. Image Directe - Image Réciproque

a) Définition

Soient E et F deux ensembles, et A \subset E et B\subset F, et soit f \, : \, E \, \to \, F une application.
  • L'ensemble \lbrace f(x) / x \in A\rbrace est appelé image directe de A et est noté f(A).
  • L'ensemble \lbrace x \in E / f(x) \in B\rbrace est appelé image réciproque de B par f et est noté f^{-1}(B)
On a : f(A) \subset F et f^{-1}(B) \subset E

Exemple :
Soient :
\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to&\mathbb{R} \\ & &x &\mapsto &x^2\end{array}     et     A = [-1,1], B = [0,2]
f(A) = [0,1] \hspace{5pt} f^{-1}(B) = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]
Propriétés :
Soient E et F deux ensembles; A, B deux parties de E ; C,D deux parties de F, et soit f \, : \, E \, \to \, F une application, on a :
  • f(\emptyset) = f^{-1}(\emptyset) = \emptyset
  • f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)
  • f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)
  • f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)
  • f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)
  • A \subset f^{-1}(f(A)) (valable aussi pour B, et pour toute autre partie de E)
  • f(f^{-1}(C)) \subset C (valable aussi pour D, et pour toute autre partie de F)



b) Partie stable - Partie invariante

Soit E un ensemble, f \, : \, E \, \to \, E une application, soit A \subset E.
  • On dit que A est stable par f si f(A) \subset A.
  • On dit que A est invariante par f si : f(A) = A.

Remarque : toute partie invariante est stable.


III. Injection - Surjection - Bijection

a) Injection

Soient E et F deux ensembles et soit f \, : \, E \, \to \, F une application.
On dit que f est injective (une injection) si : (x_{1},x_{2}) \in E^2 \; : \; f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}
ce qui est équivaut à dire : (x_{1},x_{2}) \in E^2 \; : \; x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})

b) Surjection

Soient E et F deux ensembles, et soit f \, : \, E \, \to \, F une application.
On dit que f est surjective (une surjection) si : f(E) = F
ce qui est équivaut à dire : \forall y \in F \; : \; \exists \text{au moins } x \in E / f(x) = y

c) Bijection

Soient E et F deux ensembles, f \, : \, E \, \to \, F une application.
On dit que f est bijective (une bijection) si elle est à la fois une injection et une surjection.

Exemple :
\begin{array}{rcccl} f&:&\mathbb{R}&\to& \mathbb{R}\\ & &x &\mapsto &2x+3\end{array}

Soit (a,b) \in \mathbb{R}^2 / f(a)=f(b)
f(a) = f(b) \Longleftrightarrow 2a + 3 = 2b + 3 \Longleftrightarrow a = b donc f est injective.

Soit y \in \mathbb{R}, \exists ? x \in \mathbb{R} / f(x) = y
f(x) = y \Leftrightarrow x = \frac{y-3}{2} \in \mathbb{R} donc f est surjective.
Puisque f est à la fois injective et surjective, alors elle est bijective.
Proposition :
La composée de deux injections (respectivent deux surjections) est une injection (resp surjection).



d) Bijection réciproque

Lemme :
Soient E,F,G trois ensembles, et soient f \, : \, E \, \to \, F     et     g \, : \, F \, \to \, G deux applications.
  • Si g \circ f est injective alors f l'est aussi.
  • Si g \circ f est surjective alors g l'est aussi.

Définition : l'application identité
L'identité sur E, notée Id_{E}, est l'application définie par : \forall x \in E : Id_{E}(x)=x

Théorème et définition :
Soient E,F deux ensembles, et     f \, : \, E \, \to \, F une application.
Pour que f soit bijective il faut et il suffit qu'il existe une application g \, : \, F \, \to \, E telle que : g \circ f = Id_{E} et f \circ g = Id_{F}.
Dans ce cas, g est unique et est appelée bijection réciproque de f notée g = f^{-1}



e) Bijection involutive

Définition :
Soit E un ensemble, f \, : \, E \, \to \, E une application.
On dit que f est involutive (une involution) si : f \circ f = Id_{E}

Proposition :
Soit E un ensemble.
Si f \, : \, E \, \to \, E est une involution, alors f est une bijection et f = f^{-1}.


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