Ensemble et Application (Partie 3)
I. Famille
1. Définition
Soit

et

deux ensembles non vides, on appelle famille d'éléments de

indexés par

toute application :

sera appelé l'ensemble des indices.
)
sera noté :

et l'application

sera noté :
_{i \in I})
.
Remarque :
Si

, la famille
_{n \in \mathbb{N}})
s'appelle suite d'éléments de

.
2. Opérations sur les familles
Soient

un ensemble et

ensemble des indices
)
; soit
_{i \in I})
la famille des parties de

, on définit :
- Intersection :
.
- Réunion :
.
3. Partition d'un ensemble
Soient

et

deux ensembles non vides, soit
_{i \in I})
une famille d'éléments de
)
.
On dit que
_{i \in I})
est une partition de

si :
-
.
-
.
-

Exemple :
Soit :

et

,

,

est une partition de

.
II. Relation Binaire
1. Définition
Soit

un ensemble non vide et

un graphe.
On appelle
relation binaire definie sur

toute correspondance de

et on note :

.
On note aussi
 \in T)
et on dit que :

est en relation avec

.
2. Propriétés éventuelles d'une relation binaire
Soit

une relation binaire sur un ensemble

non vide.

est dite :
- Réflexive si :
,
.
- Symétrique si :
:
.
- Transitive si :
:
et
.
- Antisymétrique si :
:
et
.
3. Relation d'équivalence - Relation d'ordre
Soit

un ensemble non vide et soit

une relation binaire définie sur

.
On dit que :
est une relation d'équivalence si elle est : Réflexive - Symétrique - Transitive.
est une relation d'ordre si elle est : Réflexive - Antisymétrique - Transitive, et dans ce cas,
sera noté
s'il n'y a pas de risque de confusion avec une situation usuelle.
4. Classe d'équivalence - Ensemble quotient
Soit

un ensemble non vide muni d'une relation d'équivalence

et soit

.
- L'ensemble
est appelé classe d'équivalence de
et on note généralement :
ou
.
- L'ensemble des classes d'équivalence s'appelle ensemble quotient noté :
.
Proposition :
Soit

un ensemble non vide et soit

une relation d'équivalence définie sur

, alors :

forme une partition de

.
5. Ensemble Ordonné
Soit

un ensemble non vide muni d'une relation d'ordre

, on dit alors que
)
est un
ensemble ordonné.
Et dans ce cas, pour
 \in E^2)
, on dit que :
-
et
sont comparables si :
ou
.
-
est un ensemble totalement ordonné si tous les éléments de
sont comparables, sinon,
est partiellement ordonné.
6. Eléments particuliers
Soit
)
un ensemble ordonné et soit

, on dit que :
-
est le plus grand élément de
(si il existe) si :
et on note
.
-
est le plus petit élément de
(si il existe) si :
et on note
.
7. Majorant et Minorant d'une partie
Soit
)
un ensemble ordonné avec

non vide et soit

avec
)
, on dit que :
-
est majorée si :
.
-
est minorée si :
.