Fiche de mathématiques

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Ensemble et Application (Partie 3)

I. Famille

1. Définition

Soit $E$ et $I$ deux ensembles non vides, on appelle famille d'éléments de $E$ indexés par $I$ toute application :
$\begin{array}{rcccl} f&:&I&\to& E\\ & &i &\mapsto &f(i)\end{array}$
$I$ sera appelé l'ensemble des indices.
$f(i)$ sera noté : $x_{i}$ et l'application $f$ sera noté : $(x_{i})_{i \in I}$ .

Remarque :
Si $I = \mathbb{N}$ , la famille $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ s'appelle suite d'éléments de $E$ .

2. Opérations sur les familles

Soient $E$ un ensemble et $I$ ensemble des indices $(I \neq \emptyset)$ ; soit $(A_{i})_{i \in I}$ la famille des parties de $E$ , on définit :

Intersection : $x \in \displaystyle \bigcap_{i \in I} A_{i} \Longleftrightarrow \forall i \in I \; : \; x \in A_{i}$ .
Réunion : $x \in \displaystyle \bigcup_{i \in I} A_{i} \Longleftrightarrow \exists i_{o} \in I \; : \; x \in A_{i_{o}}$ .

3. Partition d'un ensemble

Soient $E$ et $I$ deux ensembles non vides, soit $(A_{i})_{i \in I}$ une famille d'éléments de $\mathcal{P}(E)$ .
On dit que $(A_{i})_{i \in I}$ est une partition de $E$ si :

$\forall i \in I , \; A_{i} \neq \emptyset$ .
$\forall (i,j) \in I^2 \; : \; i \neq j \Leftrightarrow A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ .
$\displaystyle \bigcup_{i \in I} A_{i} = E$

Exemple :
Soit : $E = \lbrace a,b,c,d\rbrace$ et $A_{1} = \lbrace a\rbrace$ , $A_{2} = \lbrace b,c\rbrace$ , $A_{3} = \lbrace d\rbrace$
$\lbrace A_{1},A_{2},A_{3}\rbrace$ est une partition de $E$ .

II. Relation Binaire

1. Définition

Soit $E$ un ensemble non vide et $T$ un graphe.
On appelle relation binaire definie sur $E$ toute correspondance de $E$ et on note : $\mathcal{R} = \lbrace E,E,T\rbrace$ .

On note aussi $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow (x,y) \in T$ et on dit que : $x$ est en relation avec $y$ .

2. Propriétés éventuelles d'une relation binaire

Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire sur un ensemble $E$ non vide.
$\mathcal{R}$ est dite :

Réflexive si : $\forall x \in E$ , $x \mathcal{R} x$ .
Symétrique si : $\forall (x,y) \in E^2$ : $x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$ .
Transitive si : $\forall (x,y,z) \in E^3$ : $( x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} z) \Rightarrow x \mathcal{R} z$ .
Antisymétrique si : $\forall (x,y) \in E^2$ : $(x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} x) \Rightarrow x=y$ .

3. Relation d'équivalence - Relation d'ordre

Soit $E$ un ensemble non vide et soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur $E$ .
On dit que :

$\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence si elle est : Réflexive - Symétrique - Transitive.
$\mathcal{R}$ est une relation d'ordre si elle est : Réflexive - Antisymétrique - Transitive, et dans ce cas, $\mathcal{R}$ sera noté $\leq$ s'il n'y a pas de risque de confusion avec une situation usuelle.

4. Classe d'équivalence - Ensemble quotient

Soit $E$ un ensemble non vide muni d'une relation d'équivalence $\mathcal{R}$ et soit $x \in E$ .

L'ensemble $\lbrace y \in E / y \mathcal{R} x \rbrace$ est appelé classe d'équivalence de $x$ et on note généralement : $\bar x$ ou $\tilde x$ .
L'ensemble des classes d'équivalence s'appelle ensemble quotient noté : $E_{/\mathcal{R}}$ .

Proposition :

Soit $E$ un ensemble non vide et soit $\mathcal{R}$ une relation d'équivalence définie sur $E$ , alors :
$E_{/ \mathcal{R} }$ forme une partition de $E$ .

5. Ensemble Ordonné

Soit $E$ un ensemble non vide muni d'une relation d'ordre $\leq$ , on dit alors que $(E, \leq)$ est un ensemble ordonné.
Et dans ce cas, pour $(a,b) \in E^2$ , on dit que :

$a$ et $b$ sont comparables si : $a \leq b$ ou $b \leq a$ .
$(E, \leq)$ est un ensemble totalement ordonné si tous les éléments de $E$ sont comparables, sinon, $(E,\leq)$ est partiellement ordonné.

6. Eléments particuliers

Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonné et soit $a \in E$ , on dit que :

$a$ est le plus grand élément de $E$ (si il existe) si : $\forall x \in E \; : \; x \leq a$ et on note $a = Max( E)$ .
$a$ est le plus petit élément de $E$ (si il existe) si : $\forall x \in E \; : \; a \leq x$ et on note $a = Min(E)$ .

7. Majorant et Minorant d'une partie

Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonné avec $E$ non vide et soit $A \subset E$ avec $(A \neq \emptyset)$ , on dit que :

$A$ est majorée si : $\exists M \in E \; / \; \forall x \in A \; : \; x \leq M$ .
$A$ est minorée si : $\exists m \in E \; / \; \forall x \in A \; : \; m \leq x$ .

Publié par Panter le 27-03-2019

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