Fiche de mathématiques
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Ensemble et Application (Partie 3)

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I. Famille

1. Définition

Soit E et I deux ensembles non vides, on appelle famille d'éléments de E indexés par I toute application :
\begin{array}{rcccl} f&:&I&\to& E\\ & &i &\mapsto &f(i)\end{array}
I sera appelé l'ensemble des indices.
f(i) sera noté : x_{i} et l'application f sera noté : (x_{i})_{i \in I}.

Remarque :
Si I = \mathbb{N}, la famille (x_{n})_{n \in  \mathbb{N}} s'appelle suite d'éléments de E.

2. Opérations sur les familles

Soient E un ensemble et I ensemble des indices (I \neq \emptyset); soit (A_{i})_{i \in I} la famille des parties de E, on définit :
  • Intersection : x \in \displaystyle \bigcap_{i \in I} A_{i}  \Longleftrightarrow  \forall i \in I  \; : \;  x \in A_{i}.
  • Réunion : x \in \displaystyle \bigcup_{i \in I} A_{i} \Longleftrightarrow \exists i_{o} \in I \; : \; x \in A_{i_{o}}.

3. Partition d'un ensemble

Soient E et I deux ensembles non vides, soit (A_{i})_{i \in I} une famille d'éléments de \mathcal{P}(E).
On dit que (A_{i})_{i \in I} est une partition de E si :
  1. \forall i \in I , \; A_{i} \neq \emptyset.
  2. \forall (i,j) \in I^2 \; : \; i \neq j \Leftrightarrow A_{i} \cap  A_{j} = \emptyset.
  3. \displaystyle \bigcup_{i \in I} A_{i} = E


Exemple :
Soit : E = \lbrace a,b,c,d\rbrace et A_{1} = \lbrace a\rbrace , A_{2} = \lbrace b,c\rbrace , A_{3} = \lbrace d\rbrace
\lbrace A_{1},A_{2},A_{3}\rbrace est une partition de E.


II. Relation Binaire

1. Définition

Soit E un ensemble non vide et T un graphe.
On appelle relation binaire definie sur E toute correspondance de E et on note : \mathcal{R} = \lbrace E,E,T\rbrace .

On note aussi x \mathcal{R} y \Leftrightarrow  (x,y) \in T et on dit que : x est en relation avec y.

2. Propriétés éventuelles d'une relation binaire

Soit \mathcal{R} une relation binaire sur un ensemble E non vide.
\mathcal{R} est dite :
  • Réflexive si : \forall x \in E, x \mathcal{R} x.
  • Symétrique si : \forall (x,y) \in E^2 : x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x.
  • Transitive si : \forall (x,y,z) \in E^3 : ( x \mathcal{R} y et y \mathcal{R} z)  \Rightarrow x \mathcal{R} z.
  • Antisymétrique si : \forall (x,y) \in E^2 : (x \mathcal{R} y et y \mathcal{R} x) \Rightarrow  x=y.


3. Relation d'équivalence - Relation d'ordre

Soit E un ensemble non vide et soit \mathcal{R} une relation binaire définie sur E.
On dit que :
  • \mathcal{R} est une relation d'équivalence si elle est : Réflexive - Symétrique - Transitive.
  • \mathcal{R} est une relation d'ordre si elle est : Réflexive - Antisymétrique - Transitive, et dans ce cas, \mathcal{R} sera noté \leq s'il n'y a pas de risque de confusion avec une situation usuelle.


4. Classe d'équivalence - Ensemble quotient

Soit E un ensemble non vide muni d'une relation d'équivalence \mathcal{R} et soit x \in E.
  • L'ensemble \lbrace  y \in E / y \mathcal{R} x \rbrace est appelé classe d'équivalence de x et on note généralement : \bar x ou \tilde x.
  • L'ensemble des classes d'équivalence s'appelle ensemble quotient noté : E_{/\mathcal{R}}.
Proposition :
Soit E un ensemble non vide et soit \mathcal{R} une relation d'équivalence définie sur E, alors :
E_{/ \mathcal{R} } forme une partition de E.



5. Ensemble Ordonné

Soit E un ensemble non vide muni d'une relation d'ordre \leq, on dit alors que (E, \leq) est un ensemble ordonné.
Et dans ce cas, pour (a,b) \in E^2, on dit que :
  • a et b sont comparables si : a \leq b ou b \leq a.
  • (E, \leq) est un ensemble totalement ordonné si tous les éléments de E sont comparables, sinon, (E,\leq) est partiellement ordonné.


6. Eléments particuliers

Soit (E,\leq) un ensemble ordonné et soit a \in E, on dit que :
  • a est le plus grand élément de E (si il existe) si : \forall x \in E \; : \; x \leq a et on note a = Max( E).
  • a est le plus petit élément de E (si il existe) si : \forall x \in E \; : \; a \leq x et on note a = Min(E).


7. Majorant et Minorant d'une partie

Soit (E,\leq) un ensemble ordonné avec E non vide et soit A \subset E avec (A \neq \emptyset), on dit que :
  • A est majorée si : \exists M \in E \; / \; \forall x \in A \; : \; x \leq M.
  • A est minorée si : \exists m \in E \; / \; \forall x \in A \; : \; m \leq x.

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