Lois de composition interne
I- Généralités
1- Définitions
Définiton
On appelle
loi de composition interne (abrégé en :
lci) sur un ensemble

une application de

dans

.
On la note souvent :
Remarques :
Pour

, l'image du couple
)
est notée

et appelée
composé de

et

.
L'adjectif "interne" traduit le fait que tous les éléments concernés sont dans

:

sont tous dans

.
On utilise aussi les notations

,

,

,

, etc.
Définition
On appelle
magma tout couple
)
où

est un ensemble et

une lci dans

.
Remarque :
Cette appellation est de moins en moins utilisée, on dit plutôt l'ensemble

muni de la lci

pour désigner
)
.
Définition
Soit

un ensemble muni d'une lci

et soit

une partie de

.
On dit que

est une partie
stable par 
si et seulement si :
\Rightarrow x\ast y\in F)
Si

est une partie stable de

par

, la lci dans

définie par
 & \mapsto x\ast y \\ \end{array})
est appelée
la restriction de 
ou encore
lci induite sur

par

de

, et encore notée

.
2- Exemples
a. Ensembles de nombres usuels :
Dans les ensembles de nombres usuels

, l'addition

et la multiplication

sont des lois de composition interne.
On a par exemple

, et

est une partie stable de

pour les deux opérations, en effet, la somme et le produit de deux nombres rationnels sont encore des nombres rationnels .
Ces deux opérations sont en fait les restrictions à

des opérations de

.
On peut faire la même remarque pour toutes les inclusions de la chaîne
D'autres exemples de parties de

stables pour les deux opérations sont

et

. En revanche,

et

sont stables pour l'addition mais pas pour la multiplication. Parler de la restriction de la multiplication à

ou à

n'a donc pas de sens.
b. Ensemble des parties d'un ensemble :
Soit

un ensemble et
)
l'ensemble des parties de

.
Dans
)
, l'intersection

et la réunion

sont des lois de composition interne .
c. Ensemble des applications :
Soit

un ensemble et
)
l'ensemble des applications de

dans

. La composition

est une loi de composition interne dans
)
.
Dans un contexte plus général, avec trois ensembles

, la composition

:
n'est pas une loi de composition interne .
d. Ensemble des vecteurs de l'espace :
Soit

l'ensemble des vecteurs de l'espace . Le produit vectoriel
\mapsto \vec{u}\wedge \vec{v})
est une loi de composition interne dans

.
Par contre , le produit scalaire n'est pas une loi de composition interne car il est à valeurs dans

.
e. Ensemble des suites réelles ou complexes :
Soit

l'ensemble des suites réelles ou complexes . Par convention, notons à l'aide d'une même lettre une suite et son terme général , par exemple
Pour

, on pose :
On obtient une loi de composition interne dans

appelée
produit de Cauchy ou
produit de convolution .
3- Table d'une loi de composition interne dans un ensemble fini
Soit

un ensemble fini , on peut définir une loi de composition interne

dans

par la liste exhaustive des composés

, pour

variant dans

. On présente ces valeurs dans un tableau appelée
table de la loi 
:
Exemple :
Soit un ensemble contenant exactement deux éléments distincts

et

:
On définit sur E une loi de compsition interne

par sa table :
Ceci équivaut à donner les relations
4- Extension d'une loi de composition interne
Définition
Soit

un ensemble muni d'une loi de composition interne

.
On peut munir
)
d'une loi de composition interne, appelée
extension à
)
de la loi

de

, encore notée

, définie par :
II- Propriétés usuelles
Dans tout ce qui suit ,

est un ensemble muni d'une loi de composition interne
1- Associativité
Définition
La loi

est dite
associative si et seulement si :
 \diamond z = x\diamond(y\diamond z))
Si la loi est associative, il est possible de définir le composé de trois termes

par :
Il faut néanmoins faire attention à l'ordre d'écriture des termes. En général, les composés

auront des valeurs différentes .
Exemples :
Reprenons les exemples de
I-2 :
a,b,c. Ces lois sont associatives .
d. Le produit vectoriel n'est pas une loi associative . En effet , si

sont deux vecteurs non colinéaires , on a :
En conséquence, une expression du type

n'a pas de sens .
e. Montrons que le produit de Cauchy est une loi associative .
Prenons trois suites

et notons

. (Ici encore, on convient de noter avec la même lettre une suite et son terme général) .
Il s'agit de montrer que les suites

et

sont égales . On a :
D'où le résultat .
2- Commutativité
Définition
On dit que la loi

est
commutative si et seulement si :

Remarques :
Même si la loi n'est pas commutative, si on a

pour deux éléments particuliers

et

de

, on dit que ces éléments commutent .
Lorsque

est fini et que la loi

est donnée par sa table , la commutativité exprime que cette table est symétrique par rapport à sa diagonale .
Exemples :
a,b. Ces lois sont commutatives .
c. La composition n'est pas une loi commutative en général, comme vu dans le chapitre "Ensemble et application" .
d. Le produit vectoriel n'est pas commutatif , on a en effet :
e. Le produit de Cauchy est commutatif , ceci résulte de la commutativité du produit dans

(ou

) et de la relation

obtenue par le changement d'indice
3- Distributivité
On donne à présent une autre loi de composition interne dans

, notée

.
Définition
1. On dit que

est
distributive à gauche (resp.
distributive à droite) par rapport à la loi

si et seulement si :
2. On dit que

est
distributive par rapport à

si et seulement si celle-ci est distributive à gauche et à droite par rapport à
Exemples :
a. La multiplication est distributive par rapport à l'addition .
b. Les lois d'intersection et de réunion sont distributives l'une par rapport à l'autre .
c. Prenons

et munissons
)
de la loi d'addition définie point par point à partir de l'addition des réels. Pour
)
, on a :
en général .
Prendre par exemple

et

est donc distributive à droite par rapport à

mais pas à gauche .
e. Le produit de Cauchy est distributive par rapport à l'addition définie terme à terme .
III- éléments remarquables pour une loi

est toujours un ensemble muni d'une loi

.
1- élément régulier
Soit

un élément de

.
1.On dit que a est
régulier à gauche (resp.
régulier à droite) pour

si et seulement si :
.
2. On dit que

est
régulier pour

si

est régulier à droite et à gauche pour

.
Remarque :
On dit aussi
simplifiable à la place de
régulier .
Exemples :

n'est pas simplifiable pour

dans

.
Tout élément de

est régulier pour l'addition .
2- élément neutre
Définition
Soit

.
1. On dit que

est
élément neutre à gauche (resp.
élément neutre à droite) pour

si et seulement si :
2. On dit que

est
élément neutre pour

si et seulement si celui-ci est élément neutre à gauche et à droite pour

.
Proposition
Si la loi

possède un élément neutre , celui-ci est unique
Preuve:
Supposons que

admet deux éléments neutres

.
On a adonc

par neutralité de

, et

par neutralité de

, alors
Exemples :
a. 
est neutre pour l'addition des nombres ,

est élément neutres pour la multiplication des nombres .
b. Dans
)
,

est élément neutre pour

, tandis que

est élément neutre pour

.
c. L'application identitée est élément neutre pour

dans
)
.
d. Le produit vectoriel n'admet pas d'élément neutre. En effet , pour un tel élément

, on devrait avoir

, ce qui impose que

, qui ne convient clairement pas .
e. Considérons la suite

de terme général

.
Montrons que

élément neutre pour le produit de Cauchy

sur l'ensemble des suites .
Pour
_{n\in\N})
, le terme général de

est donnée par :
Et comme le produit de Cauchy est commutatif, on a aussi

. D'où le résultat .
3- éléments symétriques
Définiton
On appelle monoïde tout ensemble muni d'une loi associative possédant un élément neutre.
On suppose dans ce qui suit que

muni de

est un monoïde , c'est-à-dire que

est associative et qu'elle possède un élément neutre

.
Proposition-définition
Un élément

de

est dit
symétrisable ou
inversible pour

si et seulement s'il existe un élément

de

tel que

.
Dans ce cas ,

est
unique et appelé
symétrique ou
inverse de

pour

. On la note
)
ou plus simplement

Preuve :
Supposons trouvés

et

vérifiant les conditions requises pour être inverses de

pour

.
On a:
Donc
Exemples :
a. Dans

, seul

est inversible pour l'addition . Dans

, chaque élément

possède un inverse pour l'addition , qui est son opposé

(dans ce cas , on proscrit la notation

)
Dans

(resp.

) , seul l'élément

(resp.

et

) est inversible pour la multiplication . Dans

, chaque élément non nul

possède un inverse pour la multiplication , qui est son inverse usuel
b. Pour l'intersection et la réunion , seuls les éléments neutres sont inversibles .
c. Dans
)
, les éléments inversibles pour la composition sont les bijections . L'inverse d'une bijection

est alors sa bijection réciproque

.
Proposition
Soient

deux élément symétrisables dans

, alors

est symétrisable et on a :
^{-1}= y^{-1}\diamond x^{-1})
Preuve:
Pusique

est associative , on a :
De la même manière , on montre que :
D'où le résultat .
IV- Morphismes de magmas
Définition
Etant donné deux magmas
 \text{ et } (F,\diamond))
.
On appelle
morphisme de magmas de
)
dans
)
toute application

telle que :
On appelle
endomorphisme d'un magma )
un morphisme de magmas de
)
sur lui même.
Un
isomorphisme de magmas est un morphisme bijectif de magmas.
Un
automorphisme de magma est un endomorphisme bijectif du même magma.
Exemple :
L'application
 & \to \left(\mathbb{R},+\right)\\ & x &\mapsto \ln(x) \\ \end{array})
est un isomorphisme.
Remarque :
La notion de morphisme sera traitée plus en détail dans la partie suivante .
V- Notations usuelles
1- Composé de
termes , 
Soient

un ensemble muni d'une loi de composition interne associative

, on peut définir par récurrence le composée
Si de plus la loi est commutative, on peut donner un sens au composé de

termes sans les numéroter dans un ordre spécial : Soit

un ensemble d'indices non vide et fini, de cardinal

. On fixe une bijection
![[\![1,n]\!] \to I \enskip , \enskip k\mapsto i_k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[\![1,n]\!] \to I \enskip , \enskip k\mapsto i_k)
. Etant données une famille
_{i\in I})
d'éléments de

on pose :
Par commutativité , cette expression est indépendante de la bijection choisie . La définition est donc légitime .
Exemples :
a. Pour les lois d'addition et de multiplication sur les nombres, on retrouve les symboles

.
b. Dans
)
, on peut définir pour des éléments

quelconques :
2- Notations additive et multiplicative
Dans de nombreux cas, on utilise pour noter une loi de composition interne sur un ensemble

les symboles usuels d'addition et de multiplication. Le contexte permet d'éviter les confusions , mais on fera toujours attention à la nature des objets qu'on manipule : les lois considérées n'ont en général pas les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication des nombres. On adopte les conventions suivantes :
Les lois notées additivement sont en principe des lois commutatives. Le composé de deux éléments

est appelé somme de ces éléments

. L'élément neutre s'il existe sera appelé élément nulet noté

. Pour un élément inversible

, l'inverse sera appelé opposé et noté

.
Les lois notées multiplicativement, le composé de deux éléments

est appelé produit de ces éléments ( en n'oubliant pas de préciser dans quel ordre si la loi n'est pas commutative ) , on le note indifféremment

,

ou

. L'élément neutre s'il existe sera aussi appelé élément unité et noté

. L'inverse d'un élément

continue à être désigné comme tel et noté

ou

.
Dans ce qui suit ,

est un ensemble muni d'une loi de composition interne notée additivement ou multiplicativement . On suppose que la loi est associative , et qu'elle possède dans

un élément neutre, noté selon le cas

ou

.
Si

, le composé des

éléments

est appelé selon le cas somme ou produit et noté :

.
Dans le cas particulier où

, on pose :

.
Par convention , pour

, on a :

. Les symboles somme et produit sont définis par les relations de récurrence suivantes :
Preuve :
on fixe

et on montre les relations aisément par une récurrence sur

.