Lois de composition interne
I- Généralités
1- Définitions
Définiton
On appelle
loi de composition interne (abrégé en :
lci) sur un ensemble
une application de
dans
.
On la note souvent :
Remarques :
Pour
, l'image du couple
est notée
et appelée
composé de
et
.
L'adjectif "interne" traduit le fait que tous les éléments concernés sont dans
:
sont tous dans
.
On utilise aussi les notations
,
,
,
, etc.
Définition
On appelle
magma tout couple
où
est un ensemble et
une lci dans
.
Remarque :
Cette appellation est de moins en moins utilisée, on dit plutôt l'ensemble
muni de la lci
pour désigner
.
Définition
Soit
un ensemble muni d'une lci
et soit
une partie de
.
On dit que
est une partie
stable par si et seulement si :
Si
est une partie stable de
par
, la lci dans
définie par
est appelée
la restriction de ou encore
lci induite sur
par
de
, et encore notée
.
2- Exemples
a. Ensembles de nombres usuels :
Dans les ensembles de nombres usuels
, l'addition
et la multiplication
sont des lois de composition interne.
On a par exemple
, et
est une partie stable de
pour les deux opérations, en effet, la somme et le produit de deux nombres rationnels sont encore des nombres rationnels .
Ces deux opérations sont en fait les restrictions à
des opérations de
.
On peut faire la même remarque pour toutes les inclusions de la chaîne
D'autres exemples de parties de
stables pour les deux opérations sont
et
. En revanche,
et
sont stables pour l'addition mais pas pour la multiplication. Parler de la restriction de la multiplication à
ou à
n'a donc pas de sens.
b. Ensemble des parties d'un ensemble :
Soit
un ensemble et
l'ensemble des parties de
.
Dans
, l'intersection
et la réunion
sont des lois de composition interne .
c. Ensemble des applications :
Soit
un ensemble et
l'ensemble des applications de
dans
. La composition
est une loi de composition interne dans
.
Dans un contexte plus général, avec trois ensembles
, la composition
:
n'est pas une loi de composition interne .
d. Ensemble des vecteurs de l'espace :
Soit
l'ensemble des vecteurs de l'espace . Le produit vectoriel
est une loi de composition interne dans
.
Par contre , le produit scalaire n'est pas une loi de composition interne car il est à valeurs dans
.
e. Ensemble des suites réelles ou complexes :
Soit
l'ensemble des suites réelles ou complexes . Par convention, notons à l'aide d'une même lettre une suite et son terme général , par exemple
Pour
, on pose :
On obtient une loi de composition interne dans
appelée
produit de Cauchy ou
produit de convolution .
3- Table d'une loi de composition interne dans un ensemble fini
Soit
un ensemble fini , on peut définir une loi de composition interne
dans
par la liste exhaustive des composés
, pour
variant dans
. On présente ces valeurs dans un tableau appelée
table de la loi :
Exemple :
Soit un ensemble contenant exactement deux éléments distincts
et
:
On définit sur E une loi de compsition interne
par sa table :
Ceci équivaut à donner les relations
4- Extension d'une loi de composition interne
Définition
Soit
un ensemble muni d'une loi de composition interne
.
On peut munir
d'une loi de composition interne, appelée
extension à
de la loi
de
, encore notée
, définie par :
II- Propriétés usuelles
Dans tout ce qui suit ,
est un ensemble muni d'une loi de composition interne
1- Associativité
Définition
La loi
est dite
associative si et seulement si :
Si la loi est associative, il est possible de définir le composé de trois termes
par :
Il faut néanmoins faire attention à l'ordre d'écriture des termes. En général, les composés
auront des valeurs différentes .
Exemples :
Reprenons les exemples de
I-2 :
a,b,c. Ces lois sont associatives .
d. Le produit vectoriel n'est pas une loi associative . En effet , si
sont deux vecteurs non colinéaires , on a :
En conséquence, une expression du type
n'a pas de sens .
e. Montrons que le produit de Cauchy est une loi associative .
Prenons trois suites
et notons
. (Ici encore, on convient de noter avec la même lettre une suite et son terme général) .
Il s'agit de montrer que les suites
et
sont égales . On a :
D'où le résultat .
2- Commutativité
Définition
On dit que la loi
est
commutative si et seulement si :
Remarques :
Même si la loi n'est pas commutative, si on a
pour deux éléments particuliers
et
de
, on dit que ces éléments commutent .
Lorsque
est fini et que la loi
est donnée par sa table , la commutativité exprime que cette table est symétrique par rapport à sa diagonale .
Exemples :
a,b. Ces lois sont commutatives .
c. La composition n'est pas une loi commutative en général, comme vu dans le chapitre "Ensemble et application" .
d. Le produit vectoriel n'est pas commutatif , on a en effet :
e. Le produit de Cauchy est commutatif , ceci résulte de la commutativité du produit dans
(ou
) et de la relation
obtenue par le changement d'indice
3- Distributivité
On donne à présent une autre loi de composition interne dans
, notée
.
Définition
1. On dit que
est
distributive à gauche (resp.
distributive à droite) par rapport à la loi
si et seulement si :
2. On dit que
est
distributive par rapport à
si et seulement si celle-ci est distributive à gauche et à droite par rapport à
Exemples :
a. La multiplication est distributive par rapport à l'addition .
b. Les lois d'intersection et de réunion sont distributives l'une par rapport à l'autre .
c. Prenons
et munissons
de la loi d'addition définie point par point à partir de l'addition des réels. Pour
, on a :
en général .
Prendre par exemple
et
est donc distributive à droite par rapport à
mais pas à gauche .
e. Le produit de Cauchy est distributive par rapport à l'addition définie terme à terme .
III- éléments remarquables pour une loi
est toujours un ensemble muni d'une loi
.
1- élément régulier
Soit
un élément de
.
1.On dit que a est
régulier à gauche (resp.
régulier à droite) pour
si et seulement si :
.
2. On dit que
est
régulier pour
si
est régulier à droite et à gauche pour
.
Remarque :
On dit aussi
simplifiable à la place de
régulier .
Exemples :
n'est pas simplifiable pour
dans
.
Tout élément de
est régulier pour l'addition .
2- élément neutre
Définition
Soit
.
1. On dit que
est
élément neutre à gauche (resp.
élément neutre à droite) pour
si et seulement si :
2. On dit que
est
élément neutre pour
si et seulement si celui-ci est élément neutre à gauche et à droite pour
.
Proposition
Si la loi
possède un élément neutre , celui-ci est unique
Preuve:
Supposons que
admet deux éléments neutres
.
On a adonc
par neutralité de
, et
par neutralité de
, alors
Exemples :
a. est neutre pour l'addition des nombres ,
est élément neutres pour la multiplication des nombres .
b. Dans
,
est élément neutre pour
, tandis que
est élément neutre pour
.
c. L'application identitée est élément neutre pour
dans
.
d. Le produit vectoriel n'admet pas d'élément neutre. En effet , pour un tel élément
, on devrait avoir
, ce qui impose que
, qui ne convient clairement pas .
e. Considérons la suite
de terme général
.
Montrons que
élément neutre pour le produit de Cauchy
sur l'ensemble des suites .
Pour
, le terme général de
est donnée par :
Et comme le produit de Cauchy est commutatif, on a aussi
. D'où le résultat .
3- éléments symétriques
Définiton
On appelle monoïde tout ensemble muni d'une loi associative possédant un élément neutre.
On suppose dans ce qui suit que
muni de
est un monoïde , c'est-à-dire que
est associative et qu'elle possède un élément neutre
.
Proposition-définition
Un élément
de
est dit
symétrisable ou
inversible pour
si et seulement s'il existe un élément
de
tel que
.
Dans ce cas ,
est
unique et appelé
symétrique ou
inverse de
pour
. On la note
ou plus simplement
Preuve :
Supposons trouvés
et
vérifiant les conditions requises pour être inverses de
pour
.
On a:
Donc
Exemples :
a. Dans
, seul
est inversible pour l'addition . Dans
, chaque élément
possède un inverse pour l'addition , qui est son opposé
(dans ce cas , on proscrit la notation
)
Dans
(resp.
) , seul l'élément
(resp.
et
) est inversible pour la multiplication . Dans
, chaque élément non nul
possède un inverse pour la multiplication , qui est son inverse usuel
b. Pour l'intersection et la réunion , seuls les éléments neutres sont inversibles .
c. Dans
, les éléments inversibles pour la composition sont les bijections . L'inverse d'une bijection
est alors sa bijection réciproque
.
Proposition
Soient
deux élément symétrisables dans
, alors
est symétrisable et on a :
Preuve:
Pusique
est associative , on a :
De la même manière , on montre que :
D'où le résultat .
IV- Morphismes de magmas
Définition
Etant donné deux magmas
.
On appelle
morphisme de magmas de
dans
toute application
telle que :
On appelle
endomorphisme d'un magma un morphisme de magmas de
sur lui même.
Un
isomorphisme de magmas est un morphisme bijectif de magmas.
Un
automorphisme de magma est un endomorphisme bijectif du même magma.
Exemple :
L'application
est un isomorphisme.
Remarque :
La notion de morphisme sera traitée plus en détail dans la partie suivante .
V- Notations usuelles
1- Composé de termes ,
Soient
un ensemble muni d'une loi de composition interne associative
, on peut définir par récurrence le composée
Si de plus la loi est commutative, on peut donner un sens au composé de
termes sans les numéroter dans un ordre spécial : Soit
un ensemble d'indices non vide et fini, de cardinal
. On fixe une bijection
. Etant données une famille
d'éléments de
on pose :
Par commutativité , cette expression est indépendante de la bijection choisie . La définition est donc légitime .
Exemples :
a. Pour les lois d'addition et de multiplication sur les nombres, on retrouve les symboles
.
b. Dans
, on peut définir pour des éléments
quelconques :
2- Notations additive et multiplicative
Dans de nombreux cas, on utilise pour noter une loi de composition interne sur un ensemble
les symboles usuels d'addition et de multiplication. Le contexte permet d'éviter les confusions , mais on fera toujours attention à la nature des objets qu'on manipule : les lois considérées n'ont en général pas les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication des nombres. On adopte les conventions suivantes :
Les lois notées additivement sont en principe des lois commutatives. Le composé de deux éléments
est appelé somme de ces éléments
. L'élément neutre s'il existe sera appelé élément nulet noté
. Pour un élément inversible
, l'inverse sera appelé opposé et noté
.
Les lois notées multiplicativement, le composé de deux éléments
est appelé produit de ces éléments ( en n'oubliant pas de préciser dans quel ordre si la loi n'est pas commutative ) , on le note indifféremment
,
ou
. L'élément neutre s'il existe sera aussi appelé élément unité et noté
. L'inverse d'un élément
continue à être désigné comme tel et noté
ou
.
Dans ce qui suit ,
est un ensemble muni d'une loi de composition interne notée additivement ou multiplicativement . On suppose que la loi est associative , et qu'elle possède dans
un élément neutre, noté selon le cas
ou
.
Si
, le composé des
éléments
est appelé selon le cas somme ou produit et noté :
.
Dans le cas particulier où
, on pose :
.
Par convention , pour
, on a :
. Les symboles somme et produit sont définis par les relations de récurrence suivantes :
Preuve :
on fixe
et on montre les relations aisément par une récurrence sur
.