Fiche de mathématiques

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Lois de composition interne

I- Généralités

1- Définitions

Définiton

On appelle loi de composition interne (abrégé en : lci) sur un ensemble $E$ une application de $E \times E$ dans $E$ .
On la note souvent : $\begin{array}{cccc} \ast : & E \times E & \to & E \\ & (x,y) & \mapsto & x \ast y \\ \end{array}$

Remarques :
Pour $x,y\in E$ , l'image du couple $(x,y)$ est notée $x\ast y$ et appelée composé de $x$ et $y$ .
L'adjectif "interne" traduit le fait que tous les éléments concernés sont dans $E$ : $x,y \text{ et }x\ast y$ sont tous dans $E$ .
On utilise aussi les notations $\perp$ , $\cdot$ , $+$ , $\diamond$ , etc.

Définition

On appelle magma tout couple $(E , \ast)$ où $E$ est un ensemble et $\ast$ une lci dans $E$ .

Remarque :
Cette appellation est de moins en moins utilisée, on dit plutôt l'ensemble $E$ muni de la lci $\ast$ pour désigner $(E,\ast)$ .

Définition

Soit $E$ un ensemble muni d'une lci $\ast$ et soit $F$ une partie de $E$ .
On dit que $F$ est une partie stable par $\ast$ si et seulement si :

$\forall x,y \enskip : \enskip (x\in F\text{ et }y\in F)\Rightarrow x\ast y\in F$

Si $F$ est une partie stable de $E$ par $\ast$ , la lci dans $F$ définie par $\begin{array}{ll} F\times F & \to F \\ (x,y) & \mapsto x\ast y \\ \end{array}$ est appelée la restriction de $\ast$ ou encore lci induite sur $F$ par $\ast$ de $E$ , et encore notée $\ast$ .

2- Exemples

a. Ensembles de nombres usuels :

Dans les ensembles de nombres usuels $\N,\Z,\Q,\R,\C$ , l'addition $+$ et la multiplication $\times$ sont des lois de composition interne.
On a par exemple $\Q\subset \R$ , et $\Q$ est une partie stable de $\R$ pour les deux opérations, en effet, la somme et le produit de deux nombres rationnels sont encore des nombres rationnels .
Ces deux opérations sont en fait les restrictions à $\Q$ des opérations de $\R$ .
On peut faire la même remarque pour toutes les inclusions de la chaîne $\N\subset\Z\subset\Q\subset\R\subset\C$
D'autres exemples de parties de $\R$ stables pour les deux opérations sont $\R_{+}$ et $\R^{*}_{+}$ . En revanche, $\R_{-}$ et $\R_{-}^{*}$ sont stables pour l'addition mais pas pour la multiplication. Parler de la restriction de la multiplication à $\R_{-}$ ou à $\R^{*}_{-}$ n'a donc pas de sens.

b. Ensemble des parties d'un ensemble :

Soit $E$ un ensemble et $\mathscr{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$ .
Dans $\mathscr{P}(E)$ , l'intersection $\cap$ et la réunion $\cup$ sont des lois de composition interne .

c. Ensemble des applications :

Soit $E$ un ensemble et $\mathscr{F}(E,E)$ l'ensemble des applications de $E$ dans $E$ . La composition $\circ$ est une loi de composition interne dans $\mathscr{F}(E,E)$ .
Dans un contexte plus général, avec trois ensembles $U,V,W$ , la composition $\circ$ :
$\begin{array}{cccc} & \mathscr{F}(U,V) \times \mathscr{F}(V,W) & \to & \mathscr{F}(U,W) \\ & (f,g) & \mapsto & g \circ f \\ \end{array}$
n'est pas une loi de composition interne .

d. Ensemble des vecteurs de l'espace :

Soit $E$ l'ensemble des vecteurs de l'espace . Le produit vectoriel $(\vec{u},\vec{v})\mapsto \vec{u}\wedge \vec{v}$ est une loi de composition interne dans $E$ .
Par contre , le produit scalaire n'est pas une loi de composition interne car il est à valeurs dans $\R$ .

e. Ensemble des suites réelles ou complexes :

Soit $E$ l'ensemble des suites réelles ou complexes . Par convention, notons à l'aide d'une même lettre une suite et son terme général , par exemple $\left(u=\left(u_n\right)_{n\in\N}\right)$
Pour $u,v\in E$ , on pose : $u\ast v=w \text{ avec }\enskip \forall n\in\N\text{ : } w_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_kv_{n-k}$
On obtient une loi de composition interne dans $E$ appelée produit de Cauchy ou produit de convolution .

3- Table d'une loi de composition interne dans un ensemble fini

Soit $E$ un ensemble fini , on peut définir une loi de composition interne $\ast$ dans $E$ par la liste exhaustive des composés $x\ast y$ , pour $x,y$ variant dans $E$ . On présente ces valeurs dans un tableau appelée table de la loi $\ast$ :

$\ast$	$\cdots$	$y$	$\cdots$
$\vdots$		$\vdots$
$x$	$\cdots$	$x\ast y$
$\vdots$

Exemple :

Soit un ensemble contenant exactement deux éléments distincts $a$ et $b$ : $E=\lbrace a,b\rbrace$
On définit sur E une loi de compsition interne $\perp$ par sa table :

$\perp$	$a$	$b$
$a$	$a$	$b$
$b$	$a$	$a$

Ceci équivaut à donner les relations $a\perp a = b\perp a = b\perp b= a\text{ et }a\perp b=b$

4- Extension d'une loi de composition interne

Définition

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\ast$ .
On peut munir $\mathscr{P}(E)$ d'une loi de composition interne, appelée extension à $\mathscr{P}(E)$ de la loi $\ast$ de $E$ , encore notée $\ast$ , définie par :

$\forall A,B\in \mathscr{P}(E) \enskip , \enskip A \ast B = \lbrace a \ast b \text{ / } (a,b) \in A \times B \rbrace$

II- Propriétés usuelles

Dans tout ce qui suit , $E$ est un ensemble muni d'une loi de composition interne $\diamond$

1- Associativité

Définition

La loi $\diamond$ est dite associative si et seulement si :

$\forall x,y,z \in E \enskip\text{ , }\enskip (x \diamond y) \diamond z = x\diamond(y\diamond z)$

Si la loi est associative, il est possible de définir le composé de trois termes $x,y,z$ par : $x\diamond y\diamond z= x\diamond(y\diamond z) =(x\diamond y)\diamond z$
Il faut néanmoins faire attention à l'ordre d'écriture des termes. En général, les composés $x\diamond y\diamond z \text{ , }y\diamond x\diamond z \text{ , }z\diamond x\diamond y \cdots$ auront des valeurs différentes .

Exemples :

Reprenons les exemples de I-2 :

a,b,c. Ces lois sont associatives .

d. Le produit vectoriel n'est pas une loi associative . En effet , si $\vec{u}$ $\text{ et }\vec{v}$ sont deux vecteurs non colinéaires , on a : $\left(\vec{u}\wedge \vec{u}\right)\wedge \vec{v}=\vec{0}\enskip \text{ et } \vec{u}\wedge \left(\vec{u}\wedge \vec{v}\right)\neq \vec{0}$
En conséquence, une expression du type $\vec{u}\wedge \vec{v}\wedge \vec{w}$ n'a pas de sens .

e. Montrons que le produit de Cauchy est une loi associative .
Prenons trois suites $u,v,w$ et notons $p=u\times v\text{ , }q=v\times w \text{ , } x=p\times w \text{ et } y=u\times q$ . (Ici encore, on convient de noter avec la même lettre une suite et son terme général) .
Il s'agit de montrer que les suites $x$ et $y$ sont égales . On a :

$\begin{matrix} x_n&=&\displaystyle\sum_{k=0}^{n}p_k w_{n-k} &=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{j=0}^{k}u_j v_{k-j}\right)w_{n-k}\\ &=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}u_j v_{k-j}w_{n-k} &=& \displaystyle \sum_{j=0}^{n}\sum_{k=j}^{n}u_j v_{k-j}w_{n-k} \\ &=& \displaystyle \sum_{j=0}^{n}u_j\left(\sum_{k=j}^{n}v_{k-j}w_{n-k} \right) &=& \displaystyle \sum_{j=0}^{n}u_j\left(\sum_{l=0}^{n-j}v_{l}w_{n-j-l} \right) \\ &=&\displaystyle \sum_{j=0}^{n}u_jq_{n-j} &=& y_n \end{matrix}$
D'où le résultat .

2- Commutativité

Définition

On dit que la loi $\diamond$ est commutative si et seulement si :

$\forall x,y \in E \enskip , \enskip x \diamond y = y \diamond x$

Remarques :

Même si la loi n'est pas commutative, si on a $a\diamond b = b\diamond a$ pour deux éléments particuliers $a$ et $b$ de $E$ , on dit que ces éléments commutent .

Lorsque $E$ est fini et que la loi $\diamond$ est donnée par sa table , la commutativité exprime que cette table est symétrique par rapport à sa diagonale .

Exemples :

a,b. Ces lois sont commutatives .

c. La composition n'est pas une loi commutative en général, comme vu dans le chapitre "Ensemble et application" .

d. Le produit vectoriel n'est pas commutatif , on a en effet : $\vec{u}\wedge \vec{v}=-\vec{v}\wedge \vec{u}$
e. Le produit de Cauchy est commutatif , ceci résulte de la commutativité du produit dans $\R$ (ou $\C$ ) et de la relation $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^{n} a_{n-k}b_k$ obtenue par le changement d'indice $n-k\to k$

3- Distributivité

On donne à présent une autre loi de composition interne dans $E$ , notée $\ast$ .

Définition

1. On dit que $\ast$ est distributive à gauche (resp. distributive à droite) par rapport à la loi $\diamond$ si et seulement si :

$\forall x,y,z\in E \enskip,\enskip x \ast (y\diamond z) = (x\ast y) \diamond (x \ast z)\enskip \left( \text{ resp. }(y \diamond z)\ast x=(y\ast x)\diamond(z\ast x)\right)$
2. On dit que $\ast$ est distributive par rapport à $\diamond$ si et seulement si celle-ci est distributive à gauche et à droite par rapport à $\diamond$

Exemples :

a. La multiplication est distributive par rapport à l'addition .

b. Les lois d'intersection et de réunion sont distributives l'une par rapport à l'autre .

c. Prenons $E=\R$ et munissons $\mathscr{F}(\R,\R)$ de la loi d'addition définie point par point à partir de l'addition des réels. Pour $f,g,h\in\mathscr{F}(\R,\R)$ , on a :

$(f+g)\circ h = (f\circ h)+(g\circ h) \text{ mais } f\circ (g+h)\neq (f\circ g)+(f\circ h )$ en général . Prendre par exemple $g=h=\text{Id}_{\R}$ et $f:x\mapsto x^2$

$\circ$ est donc distributive à droite par rapport à $+$ mais pas à gauche .

e. Le produit de Cauchy est distributive par rapport à l'addition définie terme à terme .

III- éléments remarquables pour une loi

$E$ est toujours un ensemble muni d'une loi $\diamond$ .

1- élément régulier

Soit $a$ un élément de $E$ .

1.On dit que a est régulier à gauche (resp. régulier à droite) pour $\diamond$ si et seulement si :

$\forall x,y\in E\enskip ,\enskip a\diamond x = a\diamond y \Longrightarrow x=y\enskip \left( \text{ resp. }x\diamond a = y\diamond a \Longrightarrow x=y\right)$ .
2. On dit que $a$ est régulier pour $\diamond$ si $a$ est régulier à droite et à gauche pour $\diamond$ .

Remarque :

On dit aussi simplifiable à la place de régulier .

Exemples :

$0$ n'est pas simplifiable pour $\times$ dans $\mathbb{C}$ .

Tout élément de $\C$ est régulier pour l'addition .

2- élément neutre

Définition

Soit $e \in E$ .

1. On dit que $e$ est élément neutre à gauche (resp. élément neutre à droite) pour $\diamond$ si et seulement si :

$\forall x \in E \enskip,\enskip e \diamond x = x\enskip\left(\text{ resp. } x\diamond e=x\right)$
2. On dit que $e$ est élément neutre pour $\diamond$ si et seulement si celui-ci est élément neutre à gauche et à droite pour $\diamond$ .

Proposition

Si la loi $\diamond$ possède un élément neutre , celui-ci est unique

Preuve:
Supposons que $\diamond$ admet deux éléments neutres $e,e'\in E$ .
On a adonc $e\diamond e'=e'$ par neutralité de $e$ , et $e\diamond e'=e$ par neutralité de $e'$ , alors $e=e'$

Exemples :

a. $0$ est neutre pour l'addition des nombres , $1$ est élément neutres pour la multiplication des nombres .

b. Dans $\mathscr{P}(E)$ , $\emptyset$ est élément neutre pour $\cup$ , tandis que $E$ est élément neutre pour $\cap$ .

c. L'application identitée est élément neutre pour $\circ$ dans $\mathscr{F}(E,E)$ .

d. Le produit vectoriel n'admet pas d'élément neutre. En effet , pour un tel élément $\vec{e}$ , on devrait avoir $\vec{e}\wedge \vec{e}=\vec{e}$ , ce qui impose que $\vec{e}=\vec{0}$ , qui ne convient clairement pas .

e. Considérons la suite $e$ de terme général $e_n=\begin{cases} 1&\text{ si }n=0\\0&\text{ si }n\geq 1\end{cases}$ .
Montrons que $e$ élément neutre pour le produit de Cauchy $\ast$ sur l'ensemble des suites .
Pour $x=(x_n)_{n\in\N}$ , le terme général de $y=e\ast x$ est donnée par : $y_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e_kx_{n-k}=e_0 x_{n-0}=x_n$
Et comme le produit de Cauchy est commutatif, on a aussi $x\ast e= x$ . D'où le résultat .

3- éléments symétriques

Définiton

On appelle monoïde tout ensemble muni d'une loi associative possédant un élément neutre.

On suppose dans ce qui suit que $E$ muni de $\diamond$ est un monoïde , c'est-à-dire que $\diamond$ est associative et qu'elle possède un élément neutre $e$ .

Proposition-définition

Un élément $x$ de $E$ est dit symétrisable ou inversible pour $\diamond$ si et seulement s'il existe un élément $y$ de $E$ tel que $x \diamond y = y \diamond x = e$ .

Dans ce cas , $y$ est unique et appelé symétrique ou inverse de $x$ pour $\diamond$ . On la note $\text{sym}(x)$ ou plus simplement $x^{-1}$

Preuve :
Supposons trouvés $y_1$ et $y_2$ vérifiant les conditions requises pour être inverses de $x$ pour $\diamond$ .
On a: $y_1\diamond x \diamond y_2 = (y_1\diamond x)\diamond y_2 = e\diamond y_2 = y_2 \text{ et aussi } y_1\diamond x \diamond y_2 = y_1\diamond (x\diamond y_2) = y_1\diamond e = y_1$
Donc $y_1=y_2$

Exemples :

a. Dans $\N$ , seul $0$ est inversible pour l'addition . Dans $\Z,\Q,\R\text{ et }\C$ , chaque élément $x$ possède un inverse pour l'addition , qui est son opposé $-x$ (dans ce cas , on proscrit la notation $x^{-1}$ )
Dans $\N$ (resp. $\Z$ ) , seul l'élément $1$ (resp. $-1$ et $1$ ) est inversible pour la multiplication . Dans $\Q,\R\text{ et }\C$ , chaque élément non nul $x$ possède un inverse pour la multiplication , qui est son inverse usuel $x^{-1}=\dfrac{1}{x}$

b. Pour l'intersection et la réunion , seuls les éléments neutres sont inversibles .

c. Dans $\mathscr{F}(E,E)$ , les éléments inversibles pour la composition sont les bijections . L'inverse d'une bijection $f$ est alors sa bijection réciproque $f^{-1}$ .

Proposition

Soient $x,y$ deux élément symétrisables dans $E$ , alors $x\diamond y$ est symétrisable et on a : $(x\diamond y)^{-1}= y^{-1}\diamond x^{-1}$

Preuve:
Pusique $\diamond$ est associative , on a : $(y^{-1}\diamond x^{-1})\diamond (x\diamond y )= y^{-1}\diamond (x^{-1}\diamond x)\diamond y =y^{-1}\diamond e \diamond y = y^{-1}\diamond y= e$
De la même manière , on montre que : $(x\diamond y )\diamond (y^{-1}\diamond x^{-1})= e$
D'où le résultat .

IV- Morphismes de magmas

Définition

Etant donné deux magmas $(E,\ast) \text{ et } (F,\diamond)$ .
On appelle morphisme de magmas de $(E,\ast)$ dans $(F,\diamond)$ toute application $f : E \to F$ telle que :

$\forall (x,y)\in E \enskip\text{ : }\enskip f(x\ast y)=f(x)\diamond f(y)$
On appelle endomorphisme d'un magma $(E,\ast)$ un morphisme de magmas de $(E,\ast)$ sur lui même.
Un isomorphisme de magmas est un morphisme bijectif de magmas.
Un automorphisme de magma est un endomorphisme bijectif du même magma.

Exemple :
L'application $\begin{array}{lrl} \ln : & \left(\mathbb{R}_{+}*,\times) & \to \left(\mathbb{R},+\right)\\ & x &\mapsto \ln(x) \\ \end{array}$ est un isomorphisme.

Remarque :
La notion de morphisme sera traitée plus en détail dans la partie suivante .

V- Notations usuelles

1- Composé de $n$ termes , $n\in\N$

Soient $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative $\diamond$ , on peut définir par récurrence le composée $\displaystyle \Diamond\limits_{k=1}^{n} x_k$

$\displaystyle \Diamond\limits_{k=1}^{n} x_k=\begin{cases}x_1 & \text{ si } n=1 \\ \left( \displaystyle \Diamond\limits_{ k=1}^{ n-1} x_k\right) \diamond x_n &\text{ si } n> 1\end{cases}$

Si de plus la loi est commutative, on peut donner un sens au composé de $n$ termes sans les numéroter dans un ordre spécial : Soit $I$ un ensemble d'indices non vide et fini, de cardinal $n$ . On fixe une bijection $[\![1,n]\!] \to I \enskip , \enskip k\mapsto i_k$ . Etant données une famille $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de $E$ on pose :

$\displaystyle \Diamond\limits_{i\in I} x_k = \displaystyle \Diamond\limits_{k=1}^{n} x_{i_k}$

Par commutativité , cette expression est indépendante de la bijection choisie . La définition est donc légitime .

Exemples :

a. Pour les lois d'addition et de multiplication sur les nombres, on retrouve les symboles $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\text{ et }\displaystyle \prod_{i=1}^{n}$ .

b. Dans $\mathscr{P}(E)$ , on peut définir pour des éléments $A_1,\cdots, A_n$ quelconques : $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}A_k = A_1\cup A_2\cup\cdots \cup A_n\text{ et }\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n}A_k= A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_n$

2- Notations additive et multiplicative

Dans de nombreux cas, on utilise pour noter une loi de composition interne sur un ensemble $E$ les symboles usuels d'addition et de multiplication. Le contexte permet d'éviter les confusions , mais on fera toujours attention à la nature des objets qu'on manipule : les lois considérées n'ont en général pas les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication des nombres. On adopte les conventions suivantes :

Les lois notées additivement sont en principe des lois commutatives. Le composé de deux éléments $x,y$ est appelé somme de ces éléments $x+y$ . L'élément neutre s'il existe sera appelé élément nulet noté $0$ . Pour un élément inversible $x$ , l'inverse sera appelé opposé et noté $-x$ .

Les lois notées multiplicativement, le composé de deux éléments $x,y$ est appelé produit de ces éléments ( en n'oubliant pas de préciser dans quel ordre si la loi n'est pas commutative ) , on le note indifféremment $x\times y$ , $x.y$ ou $xy$ . L'élément neutre s'il existe sera aussi appelé élément unité et noté $1$ . L'inverse d'un élément $x$ continue à être désigné comme tel et noté $x^{-1}$ ou $\dfrac{1}{x}$ .

Dans ce qui suit , $E$ est un ensemble muni d'une loi de composition interne notée additivement ou multiplicativement . On suppose que la loi est associative , et qu'elle possède dans $E$ un élément neutre, noté selon le cas $0$ ou $1$ .
Si $x_1,\cdots,x_n \in E$ , le composé des $n$ éléments $x_1,x_2,\codts, x_n$ est appelé selon le cas somme ou produit et noté : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}\text{ ou }\displaystyle \prod_{i=1}^{n} x_{i}$ .
Dans le cas particulier où $x_1=x_2=\cdots=x_n=x$ , on pose : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x=n.x\text{ et }\displaystyle \prod_{i=1}^{n} x=x^n$ .
Par convention , pour $n=0$ , on a : $0.x=0 \text{ et } x^0=1$ . Les symboles somme et produit sont définis par les relations de récurrence suivantes :

$\begin{cases} 0.x=0 \\\forall n\in\N\text{ : }(n+1).x=n.x+x\end{cases}\text{ et }\begin{cases} x^0=1 \\\forall n\in\N\text{ : }x^{n+1}x^n.x\end{cases}$

Proposition

Pour $x\in E$ on a :
1. $\forall n,p\in\N \text{ : }(n.x)+(p.x)=(n+p).x \enskip\text{ et }\enskip n.(p.x)=(np).x$
2. $\forall n,p\in\N \text{ : }x^n.x^p=x^{n+p}\enskip \text{ et }\enskip (x^{n})^{p}=x^{np}$

Preuve :
on fixe $n$ et on montre les relations aisément par une récurrence sur $p$ .

Publié par malou/Panter le 30-03-2022

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