Fiche de mathématiques
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Lois de composition interne

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I- Généralités

1- Définitions


Définiton
On appelle loi de composition interne (abrégé en : lci) sur un ensemble E une application de E \times E dans E.
On la note souvent :
\begin{array}{cccc} \ast : & E \times  E  & \to & E \\        & (x,y) & \mapsto & x \ast y \\ \end{array}

Remarques :
Pour x,y\in E , l'image du couple (x,y) est notée x\ast y et appelée composé de x et y .
L'adjectif "interne" traduit le fait que tous les éléments concernés sont dans E : x,y \text{ et }x\ast y sont tous dans E .
On utilise aussi les notations \perp, \cdot, +, \diamond, etc.

Définition
On appelle magma tout couple (E , \ast)E est un ensemble et \ast une lci dans E .

Remarque :
Cette appellation est de moins en moins utilisée, on dit plutôt l'ensemble E muni de la lci \ast pour désigner (E,\ast) .

Définition
Soit E un ensemble muni d'une lci \ast et soit F une partie de E .
On dit que F est une partie stable par \ast si et seulement si :

    \forall x,y \enskip : \enskip (x\in F\text{ et }y\in F)\Rightarrow x\ast y\in F

Si F est une partie stable de E par \ast, la lci dans F définie par \begin{array}{ll} F\times F & \to F \\  (x,y) & \mapsto x\ast y \\ \end{array} est appelée la restriction de \ast ou encore lci induite sur F par \ast de E, et encore notée \ast.

2- Exemples


a. Ensembles de nombres usuels :

Dans les ensembles de nombres usuels \N,\Z,\Q,\R,\C , l'addition + et la multiplication \times sont des lois de composition interne.
On a par exemple \Q\subset \R, et \Q est une partie stable de \R pour les deux opérations, en effet, la somme et le produit de deux nombres rationnels sont encore des nombres rationnels .
Ces deux opérations sont en fait les restrictions à \Q des opérations de \R.
On peut faire la même remarque pour toutes les inclusions de la chaîne \N\subset\Z\subset\Q\subset\R\subset\C
D'autres exemples de parties de \R stables pour les deux opérations sont \R_{+} et \R^{*}_{+} . En revanche, \R_{-} et \R_{-}^{*} sont stables pour l'addition mais pas pour la multiplication. Parler de la restriction de la multiplication à \R_{-} ou à \R^{*}_{-} n'a donc pas de sens.

b. Ensemble des parties d'un ensemble :

Soit E un ensemble et \mathscr{P}(E) l'ensemble des parties de E .
Dans \mathscr{P}(E) , l'intersection \cap et la réunion \cup sont des lois de composition interne .

c. Ensemble des applications :

Soit E un ensemble et \mathscr{F}(E,E) l'ensemble des applications de E dans E . La composition \circ est une loi de composition interne dans \mathscr{F}(E,E) .
Dans un contexte plus général, avec trois ensembles U,V,W , la composition \circ :
\begin{array}{cccc}        & \mathscr{F}(U,V) \times  \mathscr{F}(V,W)  & \to & \mathscr{F}(U,W) \\        & (f,g) & \mapsto & g \circ f \\ \end{array}

n'est pas une loi de composition interne .

d. Ensemble des vecteurs de l'espace :

Soit E l'ensemble des vecteurs de l'espace . Le produit vectoriel (\vec{u},\vec{v})\mapsto \vec{u}\wedge \vec{v} est une loi de composition interne dans E .
Par contre , le produit scalaire n'est pas une loi de composition interne car il est à valeurs dans \R .

e. Ensemble des suites réelles ou complexes :

Soit E l'ensemble des suites réelles ou complexes . Par convention, notons à l'aide d'une même lettre une suite et son terme général , par exemple \left(u=\left(u_n\right)_{n\in\N}\right)
Pour u,v\in E , on pose :
u\ast v=w \text{ avec }\enskip \forall n\in\N\text{ : } w_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_kv_{n-k}

On obtient une loi de composition interne dans E appelée produit de Cauchy ou produit de convolution .


3- Table d'une loi de composition interne dans un ensemble fini


Soit E un ensemble fini , on peut définir une loi de composition interne \ast dans E par la liste exhaustive des composés x\ast y , pour x,y variant dans E. On présente ces valeurs dans un tableau appelée table de la loi \ast :
\ast
\cdots
y
\cdots
\vdots
\vdots
x
\cdots
x\ast y
\vdots

Exemple :

Soit un ensemble contenant exactement deux éléments distincts a et b : E=\lbrace a,b\rbrace
On définit sur E une loi de compsition interne \perp par sa table :
\perp
a
b
a
a
b
b
a
a
Ceci équivaut à donner les relations a\perp a = b\perp a = b\perp b= a\text{ et }a\perp b=b

4- Extension d'une loi de composition interne

Définition
Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne \ast.
On peut munir \mathscr{P}(E) d'une loi de composition interne, appelée extension à \mathscr{P}(E) de la loi \ast de E , encore notée \ast , définie par :

\forall A,B\in \mathscr{P}(E) \enskip , \enskip A \ast B = \lbrace a \ast b \text{ / } (a,b) \in A \times B \rbrace



II- Propriétés usuelles


Dans tout ce qui suit , E est un ensemble muni d'une loi de composition interne \diamond

1- Associativité


Définition
La loi \diamond est dite associative si et seulement si :

\forall x,y,z \in E \enskip\text{ , }\enskip (x \diamond y) \diamond z = x\diamond(y\diamond z)

Si la loi est associative, il est possible de définir le composé de trois termes x,y,z par : x\diamond y\diamond z= x\diamond(y\diamond z) =(x\diamond y)\diamond z
Il faut néanmoins faire attention à l'ordre d'écriture des termes. En général, les composés x\diamond y\diamond z \text{ , }y\diamond x\diamond z \text{ , }z\diamond x\diamond y \cdots auront des valeurs différentes .

Exemples :

Reprenons les exemples de I-2 :

a,b,c. Ces lois sont associatives .

d. Le produit vectoriel n'est pas une loi associative . En effet , si \vec{u} \text{ et }\vec{v} sont deux vecteurs non colinéaires , on a : \left(\vec{u}\wedge \vec{u}\right)\wedge \vec{v}=\vec{0}\enskip \text{ et } \vec{u}\wedge \left(\vec{u}\wedge  \vec{v}\right)\neq \vec{0}
En conséquence, une expression du type \vec{u}\wedge \vec{v}\wedge \vec{w} n'a pas de sens .

e. Montrons que le produit de Cauchy est une loi associative .
Prenons trois suites u,v,w et notons p=u\times v\text{ , }q=v\times w \text{ , } x=p\times w \text{ et } y=u\times q . (Ici encore, on convient de noter avec la même lettre une suite et son terme général) .
Il s'agit de montrer que les suites x et y sont égales . On a :

\begin{matrix} x_n&=&\displaystyle\sum_{k=0}^{n}p_k w_{n-k} &=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{j=0}^{k}u_j v_{k-j}\right)w_{n-k}\\ &=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}u_j v_{k-j}w_{n-k} &=& \displaystyle \sum_{j=0}^{n}\sum_{k=j}^{n}u_j v_{k-j}w_{n-k} \\ &=& \displaystyle \sum_{j=0}^{n}u_j\left(\sum_{k=j}^{n}v_{k-j}w_{n-k} \right) &=& \displaystyle \sum_{j=0}^{n}u_j\left(\sum_{l=0}^{n-j}v_{l}w_{n-j-l} \right) \\ &=&\displaystyle \sum_{j=0}^{n}u_jq_{n-j} &=& y_n \end{matrix}
D'où le résultat .

2- Commutativité


Définition
On dit que la loi \diamond est commutative si et seulement si :

\forall x,y \in E \enskip , \enskip x \diamond y = y \diamond x

Remarques :

Même si la loi n'est pas commutative, si on a a\diamond b = b\diamond a pour deux éléments particuliers a et b de E , on dit que ces éléments commutent .

Lorsque E est fini et que la loi \diamond est donnée par sa table , la commutativité exprime que cette table est symétrique par rapport à sa diagonale .

Exemples :

a,b. Ces lois sont commutatives .

c. La composition n'est pas une loi commutative en général, comme vu dans le chapitre "Ensemble et application" .

d. Le produit vectoriel n'est pas commutatif , on a en effet : \vec{u}\wedge \vec{v}=-\vec{v}\wedge \vec{u}
e. Le produit de Cauchy est commutatif , ceci résulte de la commutativité du produit dans \R (ou \C ) et de la relation \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^{n}  a_{n-k}b_k obtenue par le changement d'indice n-k\to k

3- Distributivité


On donne à présent une autre loi de composition interne dans E , notée \ast .
Définition

1. On dit que \ast est distributive à gauche (resp. distributive à droite) par rapport à la loi \diamond si et seulement si :

\forall x,y,z\in E \enskip,\enskip x \ast (y\diamond z) = (x\ast y) \diamond (x \ast z)\enskip \left( \text{ resp. }(y \diamond z)\ast x=(y\ast x)\diamond(z\ast x)\right)

2. On dit que \ast est distributive par rapport à \diamond si et seulement si celle-ci est distributive à gauche et à droite par rapport à \diamond


Exemples :

a. La multiplication est distributive par rapport à l'addition .

b. Les lois d'intersection et de réunion sont distributives l'une par rapport à l'autre .

c. Prenons E=\R et munissons \mathscr{F}(\R,\R) de la loi d'addition définie point par point à partir de l'addition des réels. Pour f,g,h\in\mathscr{F}(\R,\R) , on a :

(f+g)\circ h = (f\circ h)+(g\circ h) \text{ mais } f\circ (g+h)\neq (f\circ g)+(f\circ h ) en général .
Prendre par exemple g=h=\text{Id}_{\R} et f:x\mapsto x^2

\circ est donc distributive à droite par rapport à + mais pas à gauche .

e. Le produit de Cauchy est distributive par rapport à l'addition définie terme à terme .

III- éléments remarquables pour une loi

E est toujours un ensemble muni d'une loi \diamond .

1- élément régulier

Soit a un élément de E .

1.On dit que a est régulier à gauche (resp. régulier à droite) pour \diamond si et seulement si :

\forall x,y\in E\enskip ,\enskip a\diamond x = a\diamond y \Longrightarrow x=y\enskip \left( \text{ resp. }x\diamond a = y\diamond a \Longrightarrow x=y\right) .

2. On dit que a est régulier pour \diamond si a est régulier à droite et à gauche pour \diamond .


Remarque :

On dit aussi simplifiable à la place de régulier .


Exemples :

0 n'est pas simplifiable pour \times dans \mathbb{C} .

Tout élément de \C est régulier pour l'addition .

2- élément neutre


Définition
Soit e \in E.

1. On dit que e est élément neutre à gauche (resp. élément neutre à droite) pour \diamond si et seulement si :

\forall x \in E \enskip,\enskip e \diamond x = x\enskip\left(\text{ resp. } x\diamond e=x\right)

2. On dit que e est élément neutre pour \diamond si et seulement si celui-ci est élément neutre à gauche et à droite pour \diamond .


Proposition
Si la loi \diamond possède un élément neutre , celui-ci est unique

Preuve:
Supposons que \diamond admet deux éléments neutres e,e'\in E .
On a adonc e\diamond e'=e' par neutralité de e , et e\diamond e'=e par neutralité de e', alors e=e'

Exemples :

a. 0 est neutre pour l'addition des nombres , 1 est élément neutres pour la multiplication des nombres .

b. Dans \mathscr{P}(E) , \emptyset est élément neutre pour \cup , tandis que E est élément neutre pour \cap .

c. L'application identitée est élément neutre pour \circ dans \mathscr{F}(E,E) .

d. Le produit vectoriel n'admet pas d'élément neutre. En effet , pour un tel élément \vec{e} , on devrait avoir \vec{e}\wedge \vec{e}=\vec{e} , ce qui impose que \vec{e}=\vec{0} , qui ne convient clairement pas .

e. Considérons la suite e de terme général e_n=\begin{cases} 1&\text{ si }n=0\\0&\text{ si }n\geq 1\end{cases} .
Montrons que e élément neutre pour le produit de Cauchy \ast sur l'ensemble des suites .
Pour x=(x_n)_{n\in\N} , le terme général de y=e\ast x est donnée par : y_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e_kx_{n-k}=e_0 x_{n-0}=x_n
Et comme le produit de Cauchy est commutatif, on a aussi x\ast e= x . D'où le résultat .

3- éléments symétriques



Définiton
On appelle monoïde tout ensemble muni d'une loi associative possédant un élément neutre.

On suppose dans ce qui suit que E muni de \diamond est un monoïde , c'est-à-dire que \diamond est associative et qu'elle possède un élément neutre e .

Proposition-définition
Un élément x de E est dit symétrisable ou inversible pour \diamond si et seulement s'il existe un élément y de E tel que x \diamond y = y \diamond x = e.

Dans ce cas , y est unique et appelé symétrique ou inverse de x pour \diamond. On la note \text{sym}(x) ou plus simplement x^{-1}

Preuve :
Supposons trouvés y_1 et y_2 vérifiant les conditions requises pour être inverses de x pour \diamond .
On a:
y_1\diamond x \diamond y_2 = (y_1\diamond x)\diamond y_2 = e\diamond y_2 = y_2 \text{ et aussi } y_1\diamond x \diamond y_2 = y_1\diamond (x\diamond y_2) = y_1\diamond e = y_1

Donc y_1=y_2

Exemples :

a. Dans \N , seul 0 est inversible pour l'addition . Dans \Z,\Q,\R\text{ et }\C , chaque élément x possède un inverse pour l'addition , qui est son opposé -x (dans ce cas , on proscrit la notation x^{-1})
Dans \N (resp. \Z ) , seul l'élément 1 (resp. -1 et 1 ) est inversible pour la multiplication . Dans \Q,\R\text{ et }\C , chaque élément non nul x possède un inverse pour la multiplication , qui est son inverse usuel x^{-1}=\dfrac{1}{x}

b. Pour l'intersection et la réunion , seuls les éléments neutres sont inversibles .

c. Dans \mathscr{F}(E,E) , les éléments inversibles pour la composition sont les bijections . L'inverse d'une bijection f est alors sa bijection réciproque f^{-1} .

Proposition
Soient x,y deux élément symétrisables dans E, alors x\diamond y est symétrisable et on a : (x\diamond y)^{-1}= y^{-1}\diamond x^{-1}

Preuve:
Pusique \diamond est associative , on a : (y^{-1}\diamond x^{-1})\diamond (x\diamond y )= y^{-1}\diamond (x^{-1}\diamond x)\diamond y =y^{-1}\diamond e \diamond y = y^{-1}\diamond y= e
De la même manière , on montre que :  (x\diamond y )\diamond (y^{-1}\diamond x^{-1})= e
D'où le résultat .

IV- Morphismes de magmas

Définition
Etant donné deux magmas (E,\ast) \text{ et } (F,\diamond).
On appelle morphisme de magmas de (E,\ast) dans (F,\diamond) toute application f : E \to F telle que :

\forall (x,y)\in E \enskip\text{ : }\enskip f(x\ast y)=f(x)\diamond f(y)

On appelle endomorphisme d'un magma (E,\ast) un morphisme de magmas de (E,\ast) sur lui même.
Un isomorphisme de magmas est un morphisme bijectif de magmas.
Un automorphisme de magma est un endomorphisme bijectif du même magma.

Exemple :
L'application \begin{array}{lrl} \ln : & \left(\mathbb{R}_{+}*,\times) & \to   \left(\mathbb{R},+\right)\\     & x                               &\mapsto  \ln(x) \\ \end{array} est un isomorphisme.

Remarque :
La notion de morphisme sera traitée plus en détail dans la partie suivante .

V- Notations usuelles

1- Composé de n termes , n\in\N

Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne associative \diamond , on peut définir par récurrence le composée \displaystyle \Diamond\limits_{k=1}^{n} x_k

\displaystyle \Diamond\limits_{k=1}^{n} x_k=\begin{cases}x_1 & \text{ si } n=1 \\ \left( \displaystyle \Diamond\limits_{ k=1}^{ n-1} x_k\right) \diamond x_n &\text{ si } n> 1\end{cases}


Si de plus la loi est commutative, on peut donner un sens au composé de n termes sans les numéroter dans un ordre spécial : Soit I un ensemble d'indices non vide et fini, de cardinal n . On fixe une bijection [\![1,n]\!] \to I \enskip , \enskip k\mapsto i_k . Etant données une famille (x_i)_{i\in I} d'éléments de E on pose :

\displaystyle \Diamond\limits_{i\in I} x_k = \displaystyle \Diamond\limits_{k=1}^{n} x_{i_k}


Par commutativité , cette expression est indépendante de la bijection choisie . La définition est donc légitime .

Exemples :

a. Pour les lois d'addition et de multiplication sur les nombres, on retrouve les symboles \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\text{ et }\displaystyle \prod_{i=1}^{n} .

b. Dans \mathscr{P}(E) , on peut définir pour des éléments A_1,\cdots, A_n quelconques : \displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}A_k = A_1\cup A_2\cup\cdots \cup A_n\text{ et }\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n}A_k= A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_n

2- Notations additive et multiplicative

Dans de nombreux cas, on utilise pour noter une loi de composition interne sur un ensemble E les symboles usuels d'addition et de multiplication. Le contexte permet d'éviter les confusions , mais on fera toujours attention à la nature des objets qu'on manipule : les lois considérées n'ont en général pas les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication des nombres. On adopte les conventions suivantes :

Les lois notées additivement sont en principe des lois commutatives. Le composé de deux éléments x,y est appelé somme de ces éléments x+y . L'élément neutre s'il existe sera appelé élément nulet noté 0 . Pour un élément inversible x , l'inverse sera appelé opposé et noté -x .

Les lois notées multiplicativement, le composé de deux éléments x,y est appelé produit de ces éléments ( en n'oubliant pas de préciser dans quel ordre si la loi n'est pas commutative ) , on le note indifféremment x\times y , x.y ou xy . L'élément neutre s'il existe sera aussi appelé élément unité et noté 1 . L'inverse d'un élément x continue à être désigné comme tel et noté x^{-1} ou \dfrac{1}{x} .

Dans ce qui suit , E est un ensemble muni d'une loi de composition interne notée additivement ou multiplicativement . On suppose que la loi est associative , et qu'elle possède dans E un élément neutre, noté selon le cas 0 ou 1 .
Si x_1,\cdots,x_n \in E , le composé des n éléments x_1,x_2,\codts, x_n est appelé selon le cas somme ou produit et noté : \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}\text{ ou }\displaystyle \prod_{i=1}^{n} x_{i} .
Dans le cas particulier où x_1=x_2=\cdots=x_n=x , on pose : \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x=n.x\text{ et }\displaystyle \prod_{i=1}^{n} x=x^n .
Par convention , pour n=0 , on a : 0.x=0 \text{ et } x^0=1 . Les symboles somme et produit sont définis par les relations de récurrence suivantes :

\begin{cases} 0.x=0 \\\forall n\in\N\text{ : }(n+1).x=n.x+x\end{cases}\text{ et }\begin{cases} x^0=1 \\\forall n\in\N\text{ : }x^{n+1}x^n.x\end{cases}

Proposition
Pour x\in E on a :
1. \forall n,p\in\N \text{ : }(n.x)+(p.x)=(n+p).x \enskip\text{ et }\enskip n.(p.x)=(np).x
2. \forall n,p\in\N \text{ : }x^n.x^p=x^{n+p}\enskip \text{ et }\enskip (x^{n})^{p}=x^{np}

Preuve :
on fixe n et on montre les relations aisément par une récurrence sur p .
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