Fiche de mathématiques
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Ensembles & Applications : Exercices

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exercice 1

Soient E un ensemble et A,B,C trois parties de E. Montrer :
1) (A-C)\cap(B-C)=(A\cap B)-C.
2) (A-C)\cup(B-C)=(A\cup B)-C.
3) \left \lbrace \begin{array}{c @{  } c}  A\cap B\subset A\cap C  \\A\cup B\subset A\cup C  \\\end{array} \right.\Longrightarrow B\subset C.
4) (A\cup B)\cap (B\cup C)\cap (C\cup A)=(A\cap B)\cup (B\cap C)\cup (C\cap A).
5)  (A-C)-(B-C)=(A-B)-C=A-(B\cup C)
6)  \bar{A} \bigtriangleup  \bar{B} = A \bigtriangleup  B



exercice 2

Dans \mathbb{C} on définit la relation \mathfrak{R} par : z\mathfrak{R}z^{'} \Longleftrightarrow |z|=|z^{'}|
1) Montrer que \mathfrak{R} est une relation d'équivalence.
2) Déterminer la classe d'équivalence de chaque z de \mathbb{C}.



exercice 3

On définit sur \mathbb{R} la relation \mathfrak{R} par : x\mathfrak{R}y \Longleftrightarrow x^2 -y^2 = x - y.
1) Montrer que \mathfrak{R} est une relation d'equivalence.
2) Calculer la classe d'équivalence d'un élément x de \mathbb{R}. Combien y-a-t-il d'éléments dans cette classe ?



exercice 4

Soit (E,\leq) un ensemble ordonné. On définit sur P(E)-{\not{O}} la relation \triangleleft par : X \triangleleft Y \Longleftrightarrow (X =Y ou \forall x \in X , \forall y \in Y x \leq y).
Vérifier que \triangleleft est une relation d’ordre.



exercice 5

Soient E,F et G trois ensembles, f:E\longrightarrow F et g:F\longrightarrow G deux applications; on considère l'application h:E\longrightarrow F\times G définie par : \forall x\in E : h(x)=(f(x),g(x)).
1) Montrer que si f et g sont injectives, alors h l'est aussi.
2) On suppose que f et g sont surjectives, h est-elle nécessairement surjective?



exercice 6

Soient E un ensemble et f:E\longrightarrow E une application telle que : f=fofof.
Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.



exercice 7

Soient E un ensemble et p:E\longrightarrow E une application telle que : p=pop.
Montrer que si p est injective ou surjective, alors p=Id_E.



exercice 8

Soient E,F deux ensembles, f:E\longrightarrow F et g:F\longrightarrow E deux applications telles que : gofogof est surjective et fogofog est injective.
Montrer que f et g sont bijectives.



exercice 9

Soit X un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas de surjection de X sur l’ensemble de ses parties P(X).
On pourra raisonner par l’absurde et considérer pour f : X \longrightarrow P(X) l’ensemble A = {x \in X / x\not{\in} f(x)}



exercice 10

Soient X, Y deux ensembles et f : X \longrightarrow Y une application.
1) Montrer que f est injective si et seulement si, pour tout g : Z \longrightarrow X et tout h : Z \longrightarrow X , on a fog = foh \Longrightarrow g = h .
2) Montrer que f est surjective si et seulement si, pour tout g : Y \longrightarrow Z et tout h : Y \longrightarrow Z , on a gof = hof \Longrightarrow g = h .



exercice 1

1) (A-C)\cap (B-C)=(A\cap\bar{C})\cap(B\cap\bar{C})=(A\cap B)\cap\bar{C}=(A\cap B)-C.
2) Comme 1)
3) B=(A\cup B)\cap B  \subset (A\cup C)\cap B = (A\cap B)\cup (C\cap B)\subset (A\cap C)\cup (C\cap B)=(A\cup B)\cap C \subset C
4) (A\cup B)\cap(B\cup C)\cap(C\cup A)=(B\cup(A\cap C))\cap (C\cup A)=(B\cap(C\cup A))\cup (A\cap C)=(B\cap C)\cup (B\cap A)\cup(A\cap C)
5) (A-C)-(B-C)=(A\cap \bar{C})\cap(\overline{B\cap \bar{C}})=(A\cap\bar{C})\cap(\bar{B}\cup C)=(A\cap \bar{C}\cap\bar{B})\cup(A\cap \bar{C}\cap C)=(A\cap\bar{B})\cap\bar{C}=(A-B)-C
Et : (A-B)-C=A\cap (\bar{B}\cap\bar{C})=A\cap(\overline{B\cup C})=A-(B\cup C)
6) \bar{A} \bigtriangleup  \bar{B} = (\bar{A}\cap \bar{\bar{B}})\cup (\bar{B}\cap\bar{\bar{A}})=(\bar{A}\cap B)\cup (\bar{B}\cap A)=A\bigtriangleup B



exercice 2

1) Soient z , z^{'} , z^{''} des complexes quelconques. 
Reflexivité : z\mathfrak{R}z car |z| = |z|.
 Symétrie : z\mathfrak{R}z^{'} = z^{'}\mathfrak{R}z car |z| = |z^{'}| et donc |z^{'}| = |z|. 
Transitivité : z\mathfrak{R}z^{'} et z^{'}\mathfrak{R}z^{''} alors |z| = |z^{'}| = |z^{''}| donc z\mathfrak{R}z^{''}.
Donc \mathfrak{R} est une relation d'équivalence.

2) La classe d’équivalence d’un point z \in \mathbb{ C} est l’ensemble des complexes qui sont en relation avec z, c'est-à-dire l’ensemble des complexes dont le module est égal à |z|. Géométriquement la classe d’équivalence de z est le cerlce \mathfrak{C} de centre 0 et de rayon |z| : \mathfrak{C} ={|z|e^{i\theta} / \theta \in\mathbb{ R} }



exercice 3

1) Evident, il suffit de remarquer que x\mathfrak{R}y \Longleftrightarrow x^2-x = y^2-y
2) Soit x \in\mathbb{ R}. On cherche les éléments y de \mathbb{R} tels que x\mathfrak{R}y. On doit donc résoudre l’équation x^2- y^2 = x- y. Elle se factorise en (x - y)(x + y) -(x - y) = 0 \Longleftrightarrow (x - y)(x + y- 1) = 0.
La classe de x est donc égale à {x, 1- x}. Elle est constituée de deux éléments, sauf si x =1- x \Longleftrightarrow x = \frac{1}{2}. Dans ce cas, elle est égale à {\frac{1}{2}}.



exercice 4

Reflexivité : pour tout X \in P(E) on a : X \triangleleft X car X = X.
Antisymétrie : pour  X,Y \in P(E) tels que X \triangleleft Y et Y \triangleleft X, alors par définition de \triangleleft on a : \forall x \in X \forall y \in  Y : x \leq y et y \leq x.
Comme la relation \leq est une relation d’ordre alors : x \leq y et y \leq x \Longrightarrow x = y.
Donc \forall x \in X \forall y \in  Y : x = y; ce qui implique que X =Y (dans ce cas en fait X est vide ou un singleton).
Transitivité : soit X,Y,Z \in P(E) tels que X \triangleleft Y et Y \triangleleft Z. Si X =Y ou Y = Z , alors il est clair que X \triangleleft Z.
Supposons que X \neqY et Y \neq Z alors :
\forall x \in X \forall y \in  Y \forall z \in  Z x \leq y et y \leq  z.
alors par transitivité de la relation \leq on obtient : \forall x \in X \forall z \in Z : x \leq z
Donc X \triangleleft Z.
Conclusion : \triangleleft est une relation d'ordre.



exercice 5

1)Soient x,y\in E.
h(x)=h(y) \Longleftrightarrow  \left \lbrace \begin{array}{c @{  } c} f(x)=f(y) \\g(x)=g(y)  \\\end{array} \right.\Longrightarrow x=y dès que f ou g est injective.
2)Contre exemple : Soit E un ensemble contenant 2 éléments a et b : E={a,b} et considérant F=G=E et f=g=Id_E surjectives (évident).
On aura alors \forall x\in E : h(x)=(Id_E(x), Id_E(x))=(x,x).
On a: (a,b)\in E\times E , mais il n'existe pas d'élément x de E qui vérifie : h(x)=(a,b)
Donc h n'est pas nécessairement surjective.



exercice 6

Si f est injective :
comme \forall x\in E : f(fof)(x))=f(x) ; f \circ f=Id_E , donc f est bijective.
Si f est surjective : pour tout x\in E , il existe y \in E tel que x=f(y) et f \circ f(x)=f \circ f \circ f(y)=f(y)=x . Donc f \circ f=Id_E ; donc f est bijective.



exercice 7

Si p est injective. Comme \forall x\in E , p(p(x))=p(x). On déduit que p=Id_E .
Si p est surjective, pour tout x\in E , il existe y \in E tel que x=p(y) et p(x)=p \circ p(y)=p(y)=x , d'où p=Id_E



exercice 8

On a g \circ (f \circ g \circ f) est surjective et (f \circ g \circ f) \circ g est injective, donc g est bijective.
d'autre part : f \circ g \circ f = g^{-1} \circ (g \circ f \circ g \circ f)=(f \circ g \circ f \circ g) \circ g^{-1} est donc surjective et injective, donc bijective.
En conclusion, f \circ g \circ f est bijective et g bijective, donc f est bijective.



exercice 9

Utilisons l'indication, Si f était surjective, nous pourrions trouver a \in X tel que A = f(a).
Supposons d'abord a \in A ; on obtient a \in f(a) et par conséquent a \not{\in} A, ce qui contredit notre hypothèse.
Supposons maintenant que a \not{\in} A ; on obtient a \not{\in} f(a) et par conséquent a \in A , ce qui contredit notre hypothèse.
Par conséquent, l'élément a n'appartient ni à A, ni à son complémentaire, ce qui est impossible.
Par suite, A ne possède pas d'antécédent par f, qui est donc non surjective.

Remarque : Ce sujet entre dans le cadre du "paradoxe de Russell" (Paradoxe du menteur).



exercice 10

1)
Supposons d’abord f injective et soient g : Z \longrightarrow X et h : Z \longrightarrow X telles que f \circ g = g \circ h.
Alors, pour tout z de Z, on a f(g(z)) = f(h(z)) \Longrightarrow g(z) = h(z) puisque f est injective.
On a donc bien g = h .
Pour montrer l’implication réciproque, on procède par contraposée en supposant que f n’est pas injective. Soit x \neq y tel que f(x) = f(y). Posons Z = {0} , g(0) = x et h(0) = y.
Alors on a f \circ g(0) = f \circ h(0)(= f(x) = f(y)) ; alors que g \neq h .

2)
Supposons d’abord f surjective et soient g : Y \longrightarrow Z et h : Y \longrightarrow Z telles que gof = hof.
Soit y \in Y . Il existe x de X tel que y = f(x). On en déduit g(y) = gof(x) = hof(x) = h(y), ce qui prouve g = h.
Pour montrer l’implication réciproque, on procède par contraposée en supposant que f n’est pas surjective. Il existe donc un point y_0 de Y qui n’est pas dans f(X).
On considère alors Z = {0, 1} , g défini sur Y par g(y_0) = 1 et g(y) = 0 sinon, h défini sur Y par h(y) = 0 pour tout y.
Alors on a bien g \circ f = h \circ f (car f(x) \neq y_0 pour tout x de X) et h \neq g.
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