I- Structure de groupe
1- Définition et exemples
Définition :
1. On appelle
groupe un ensemble

muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes :
La loi est associative .
Elle possède un élément neutre .
Tout élément de

est inversible dans

.
2. Si de plus la loi est commutative, le groupe

est dit
commutatif ou encore
abélien .
La loi d'un groupe sera dans la suite notée multiplicativement (lorsque le groupe est commutatif on utilisera parfois la notation additive) . Ainsi , le composé de deux éléments

sera noté

, l'inverse de

sera noté

et l'élément neutre sera , selon le cas , noté

ou

.
Proposition
Soit

un groupe , alors :
^{-1}=y^{-1}x^{-1})
Preuve :
Soient

, on écrit :
Remarque :
Dans le cas d'un groupe non commutatif , on fera bien attention à l'ordre des facteurs dans la formule ci-dessus .
Proposition
Soit

un groupe et

. Les applications :
sont des bijections de

dans lui-même , elles sont appelées
translation à gauche (respectivement
translation à droite)
Preuve :
Immédiat en remarquant que les applications

admettent pour réciproques respectivement les applications

.
Proposition
Tout élément d'un groupe est régulier.
Preuve :
En exprimant l'injectivité des applications

et

, on obtient :
Si la loi de G est notée additivement (et donc commutative) , cette règle prend la forme suivante :
Remarque :
Dans le cas d'un groupe fini

, la proposition ci-dessus donne une propriété intéressante de la table de la loi de

: elle exprime que dans chaque ligne et chaque colonne de cette table , chaque élément de

apparaît une fois et une seule .
Exemples :
a. Pour la loi d'addition , les ensembles

sont des groupes ,

n'est pas un groupe car seul

possède un opposé .
Pour la loi de multiplication ,

n'est jamais inversible , donc aucun des ensembles de nombres n'est un groupe . Considérons ces ensembles privés de

.

sont des groupes .

ne sont pas des groupes car les éléments de ces ensembles ne sont pas tous inversibles , en fait , seul

l'est dans

, et seuls

le sont sur

.
b. Soit

un ensemble . Notons

l'ensemble des permutations de

, c'est-à-dire l'ensemble des bijections de

dans

. Alors

. Alors

muni de la loi de composition est un groupe .
En particulier , lorsque
![E=[\![1,n]\!]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E=[\![1,n]\!])
, ce groupe est noté plus simplement

et appelé
groupe symétrique d'ordre 
.
c. Soient

et

deux groupes . Munissons le produit

de la loi définie terme à terme à partir des lois

et

:
Alors

est un groupe , appelé
groupe produit des groupes 
et

.
De même, si

est un groupe , pour tout ensemble non vide

, l'ensemble

des familles d'éléments de

muni de la loi définie terme à terme , ainsi que l'ensemble
)
des fonctions de

dans

muni de la loi définie point par point, sont des groupes .
d. Groupe à 3 éléments :
Soit

un groupe à trois éléments , pour lequel l'élément neutre est

.
En utilisant la remarque ci-dessus , on peut déterminer la table de la loi de

.
Comme

est neutre , on peut déjà remplir les cases ci-dessous :
Reste à remplir les cases vides . Il manque dans la deuxième ligne les terme

et

, et le terme

ne peut se trouver dans la troisième colonne où il figure déjà , dès lors , il n'y a plus qu'une seule façon de remplir la table :
2- Sous-groupes et morphismes
Définition
Soit

un groupe, d'élément neutre

. On appelle
sous-groupe de

toute partie

vérifiant les trois propriétés suivantes :
} )
Proposition : Caractérisation des sous-groupes
Soit

un groupe et

une partie non vide de

.

est un sous-groupe de

si et seulement si :

.

.
Preuve :

Soit

un sous-groupe non vide de

et soient

.

est un élément de

et il en est de même du produit

.

Soit

une partie non vide de

vérifiant

.
Soit

. On a

donc l'élément neutre de

est élément de

.
Pour tout
\in H^2 \text{ : }ex^{-1}\in H \text{ , donc } x^{-1} \in H)
.
Enfin , pour tout
\in H^2)
, on a
\in H^2)
et donc
Soit

.
Proposition
Soit

un groupe et

un sous-groupe de

. Alors

, muni de la restriction de la loi de

, est lui-même un groupe .
Preuve :
Le temps de cette démonstration , notons

la loi de

et

sa restriction à

définie par :

.
La stabilité de

pour la loi

assure que

est une loi de composition interne dans

, elle est clairement associative comme

. Les deux propriétés montrent que

possède un élément neutre dans

(égal à

) , et que tout élément

possède un inverse dans

(égal à son inverse dans

) .
Proposition
Soit

l'ensemble des indices et soit
_{i\in I})
une famille de sous-groupes du groupe

. Alors

est un sous-groupe de

.
Remarque :
En revanche , on ne peut à priori rien dire de la réunion d'une famille de sous-groupes .
Exemples :
a. Pour tout groupe

,

sont des sous-groupes de

.
b.  )
est un sous-groupe de
)
, qui lui-même est sous groupe de
)
, qui est lui-même un sous-groupe de
)
.
Dans
)
,

est un sous-groupe , tandis que

n'en est pas un , ce dernier n'est pas stable .
c. Soient

deux groupes et

le groupe produit . Si

sont des sous-groupes de

et

respectivement , alors

est un sous-groupe de

.
Mais tous les sous-groupes de

ne sont pas de cette forme : par exemple, dans le cas

, l'ensemble
 \text{ / } x\in G_1\rbrace)
est un sous-groupe de

.
Définition
Soit
\to (G',\diamond))
un morphisme de magmas . Si
)
et
)
sont des groupes , alors

prend le nom de
morphisme de groupes.
Même chose dans le cas où

est un
endomorphisme , un
isomorphisme ou un
automorphisme
Exemples :
a. l'application

est un endomorphisme de groupe
)
, ce n'est pas un automorphisme car son image est l'ensemble des entiers pairs .
b. Considérons la fonction exponentielle
La propriété fondamentale
)
exprime que l'exponentielle est un morphisme du groupe
)
dans le groupe
)
( c'est d'ailleurs un isomorphisme ) .
c. Soit

un groupe. On considère l'application

,

étant la translation à gauche .

est un morphisme du groupe

dans le groupe

des bijections de

dans lui-même , muni de la loi

.
En effet : On a pour

:
Ce qui donne bien

.
Par contre , l'application

(avec

la translation à droite) , n'est pas un morphisme si

n'est pas commutatif .
On trouve en effet

: la composée n'est pas écrite dans le bon ordre .
Proposition
Soit
\to (G',\diamond))
un morphisme de groupes . Alors :
1. =e_{G^'})
.
2. =f(x)^{-1})
Preuve :
1. On a :
En simplifiant par
)
dans

, il vient
2.Soit

, alors :
Donc
Définition : Groupes isomorphes
Un groupe
)
est dit
isomorphe à un groupe
)
si et seulement s'il existe un isomorphisme entre ces deux groupes.
Méthode : Transport de structure
Soient
)
un groupe ,
)
un magma . S'il existe un isomorphisme de magmas de
)
sur
)
, alors
)
est un groupe (isomorphe au groupe
)
).
Exemple :
Soit

un ensemble et
)
, Montrons que
)
est un groupe commutatif .
On rappelle que

est la
différence symétrique de deux ensembles

, elle est définie par :
Il est facile de vérifier que :

est l'élément neutre .
Que tout élément de

est son propre inverse , en effet :

.

est commutative par commtativité de

et

.
Mais l'associativité s'avère fastidieuse à vérifier . On va se ramener à un calcul plus simple .
Notons
)
l'ensemble des applications de

dans

. On va exploiter les bijections suivantes :

est appelée
la fonction indicatrice de

.
On vérifie aisément que pour tout

: (vérification laissée en exercice)
On déduit :
On définit alors dans

la loi

définie par :
On a alors :

, ce qui peut s'écrire :
Or, on a:

est clairement commutative .

est associative , en effet , pour

:
\ast h = (f+g-2fg)\ast h=(f+g-2fg)+h-2(f+g-2fg)h = f+g+h-2(fg+gh+hf)+4fgh)
Cette expression est symétrique en

donc elle est aussi égale à
La fonction nulle est de façon évidente élément neutre .
Et pour

, on a
=0)
(car

ne prend que les valeurs

et

)
On en tire que
)
est un groupe commutatif .
Et donc , par transport de structure ,
)
est aussi un groupe commutatif .
Les bijections

sont des isomorphismes réciproques entre ces deux groupes .
Définition : Noyau et image
Soient

et

deux groupes et

un morphisme de groupes .
1. On appelle
noyau de

l'ensemble noté

tel que :
2. On appelle
image de

l'ensemble noté

tel que :
\enskip=\enskip\lbrace f(x)\text{ / } x\in G\rbrace )
Proposition
Avec les notations ci-dessus ,

sont respectivement des sous-groupes de

et de

Preuve :
Notons

la loi de

et

la loi de

.
On a
=e_{G'})
, donc
Pour
=f(x)\ast f(y)=e_{G'}\ast e_{G'}=e_{G'})
, donc
De même :
Pour

, on peut écrire :
 \text{ , } y'=f(y) \text{ avec }x,y\in G)
.
Alors
\ast f(y)=f(x\perp y)\in \text{ Im }f \enskip\text{ et }\enskip x'^{-1}=f(x)^{-1}=f(x^{-1})\in\text{ Im }f)
.
Proposition
Soient

et

deux groupes et

un morphisme de groupes . Alors :

Preuve :
On adopte ici la notation multiplicative des lois de

et

.

: évident , comme

est injective ,

est le seul antécédent de

par

.

: Soient

et supposons
=f(y))
. Alors :
=f(x^{-1})f(y)=f(x)^{-1}f(y)=e_{G'})
, c'est-à-dire que

.
Par hypothèse ,

, et donc

.
Remarque :
On a aussi

, mais ceci est valable pour n'importe quelle application de

dans

.
Exemple :
Considérons
\to (\C^{*},\times ) \text{ ; } \theta\mapsto \text{e}^{i\theta})
.
On a :
II- Structure d'Anneau
1- Définitions
Définitions
On appelle
anneau et on note
)
tout ensemble

muni de deux lois notées

et

vérifiant les propriétés suivantes :
)
est un groupe commutatif . Son élément neutre est appelé
élément nul de

et noté

.
La loi

est associative et possède un élément neutre, appelé
élément unité de

et noté

.
La loi

est distributive par rapport à la loi

.
De plus , si

est commutative , on dit que l'anneau

est
commutatif .
Remarques :
L'ensemble

, muni des lois

et

est un anneau commutatif , appelé
anneau nul , et

.
Dans un anneau non nul , on a nécessairement

.
Pour un anneau, l'adjectif commutatif est relatif à la loi de multiplication , on rappelle qu'on note la multiplication

.
De la définition, on déduit les propriétés élémentaires suivantes :
Comme
)
est un groupe , on dispose dans

de la règle de simplification pour l'addition. Le cas de la multiplication est plus délicat et conduit à la définition suivante :
Définition
On dit que l'anneau

est intègre si et seulement si il est non nul et :
Dans un anneau
intègre , on a une règle de simplification pour la multiplication :
Exemples :
a.  , (\Q,+,\times), (\R,+,\times)\text{ et } (\C,+,\times) )
sont des anneaux commutatifs intègres .
b. L'ensemble
)
des fonctions de

dans

muni des lois d'addition et de multiplication point par point est un anneau commutatif, l'élément unité et l'élément nul sont respectivement les fonctions constantes

et

.
Il n'est pas intègre, en effet , si on prend par exemple :
On a
2- Calculs dans un anneau
Formules
Soient
)
un anneau et
\in A^{2})
tel que

. On a :
\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k )
Remarque :
Il faut bien faire attention à ce que

et

commutent , sinon ces formules sont fausses .
En effet , pour

:
^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2 \neq x^2+2xy+y^2 \text{ si }xy\neq yx)
.
3- Sous-anneaux et morphismes d'anneaux
Définition
Soient

un anneau . On appelle
sous-anneau de

toute partie

vérifiant les propriétés suivantes :

est un sous-groupe de
)
.

Proposition
Si

est un sous-anneau de

, alors

muni des restrictions des lois de

est un anneau .
Proposition
Soit

l'ensemble des indices et soit
_{i\in I})
une famille de sous-anneaux de l'anneau

. Alors

est un sous-anneau de

.
Remarque :
Pour un anneau

, il peut exister une partie

qui , munie des restrictions des lois de

, est un anneau , mais qui n'a pas le même élément unité que

, une telle partie

n'est pas un sous-anneau de

.
Contre-exemple : )
muni des lois point par point , considérons pour

les fonctions
et posons

, on peut vérifier que

, muni des mêmes lois que

, est un anneau , et que l'élément unité de

est la fonction
Exemples :
a.  )
est un sous-anneau de
)
, qui lui-même est sous-anneau de
)
, qui est lui-même un sous-anneau de
)
.
b. Pour un entier

, l'ensemble

est un sous-groupe de
)
et il est stable par produit , mais

.

n'est donc pas un sous-anneau de

.
Définition
Soient

deux anneaux , on appelle
morphisme d'anneaux de

dans

toute application

vérifiant :
On appelle
endomorphisme d'anneau 
tout morphisme de

dans lui-même .
On appelle
isomorphisme de

dans

tout morphisme bijectif de

dans

. On dit que

et

sont
isomorphes s'il existe un tel isomorphisme .
On appelle
automorphisme d'un anneau 
est un endomorphisme bijectif de l'anneau

.
Un morphisme d'anneau

est donc en particulier un morphisme du groupe
)
dans le groupe
)
. Il en résulte :
Exemples :
a. La conjugaison

est un isomorphisme de l'anneau
)
.
b. Soit

un ensemble et
)
, on avait vu dans un exemple dans le paragraphe
I-2 que
)
est un groupe commutatif .
On reprend toutes les notations de cet exemple .
On se propose de montrer que
)
est un anneau commutatif .
On sait que l'intersection est associative , commutative et que

est l'élément neutre . Il reste à prouver que

est distributive par rapport à

.
Pour cela , on observe que pour

.
On montre alors que dans

, la loi

de produit point par point est distributive par rapport à

. On écrit le calcul suivant , pour

:
Or , comme

est à valeurs dans

, on a

et on en déduit le résultat .
La bijection

"transporte" alors la distributivité dans

.
On conclut que
 \text{ et } (F,\ast , .))
sont deux anneaux isomorphes .
III- Structure de corps
1- Définition et exemples
Définition
On appelle
corps tout ensemble

muni de deux lois notées

vérifiant les propriétés suivantes :
)
est un anneau non nul .
Tout élément non nul de

est inversible pour

dans

.
On se restreindra aux corps commutatifs, dans lesquels les deux lois sont commutatives . Pour un corps

, on note

. Il est immédiat que
)
est un groupe , on l'appelle le groupe multiplicatif du corps

.
Remarque :
Si
)
est un corps , c'est en particulier un anneau intègre , on dispose alors de la règle de simplification dans le groupe multiplicatif
)
.
Exemples :
a. 
sont des corps.
b. Un corps étant non nul , il contient au moins deux éléments (

) . Il existe un corps , noté

, contenant exactement

éléments . Il s'agit de l'ensemble

muni des deux lois définies par les tables suivantes :
2- Sous-corps et morphismes de corps
Définition
Soit

un corps . On appelle
sous-corps de

toute partie

vérifiant les propriétés suivantes :

est un sous-anneaux de

.

De façon équivalente , on peut dire que

est un sous-corps de

si et seulement si
)
est un sous-groupe de
)
et
)
est un sous-groupe de
)
.
Exemple :
 )
est un sous-corps de
)
, qui lui-même est sous-corps de
)
.
Définition
Soit

un morphisme d'anneaux .
Si

et

sont deux corps ,

prend le nom de
morphisme de corps.
Même chose dans le cas où

est un
endomorphisme , un
isomorphisme ou un
automorphisme d'anneaux .
On dit que deux corps

et

sont
isomorphes s'il existe un isomorphisme de corps de

dans

.
Exemple :
L'application identitée et la conjugaison dans

sont des automorphismes de

.
Proposition
Soient

et

deux corps et

un morphisme de corps . Alors :

est injectif .
Preuve :
Soit

. On a :
En particulier ,
\neq 0)
, donc

est injective .
Exemple :
On munit

de l'addition et de la multiplication

définies par :
Montrons que
)
est un corps isomorphe à
)
.
On sait déjà que
)
est un groupe commutatif .
La loi

est trivialement commutatif .
Montrons que

est associative , soient
,(x',y'),(x'',y'')\in\R^{2})
:
Et l'expression est invariante par permutation circulaire de
,(x',y'),(x'',y''))
, donc

est associative .
Montrons que

est distributive par rapport à

, soient
,(x',y'),(x'',y'')\in\R^{2})
:
On vérifgie que
)
est élément neutre pour

.
Pour
\in\R^{2}\backslash\lbrace (0,0)\rbrace)
, cherchons un inverse
)
pour

. Ceci conduit à résoudre le système

, on trouve bien une solution unique :
=\left(\dfrac{x}{x^2+y^2},-\dfrac{y}{x^2,y^2}\right))
.
Enfin , il est évident qu'on définit un isomorphisme

de

dans

en posant :
\mapsto x+iy)
.