Fiche de mathématiques
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Structures algébriques

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I- Structure de groupe

1- Définition et exemples


Définition :
1. On appelle groupe un ensemble G muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes :

La loi est associative .

Elle possède un élément neutre .

Tout élément de G est inversible dans G .

2. Si de plus la loi est commutative, le groupe G est dit commutatif ou encore abélien .

La loi d'un groupe sera dans la suite notée multiplicativement (lorsque le groupe est commutatif on utilisera parfois la notation additive) . Ainsi , le composé de deux éléments x,y\in G sera noté xy , l'inverse de x sera noté x^{-1} et l'élément neutre sera , selon le cas , noté e_G ou 1_G .

Proposition
Soit G un groupe , alors :
\forall x,y\in G \enskip : \enskip (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}

Preuve :
Soient x,y\in G , on écrit : (xy)(y^{-1}x^{-1})=xyy^{-1}x^{-1}=xe_Gx^{-1}=xx^{-1}=e_G

Remarque :
Dans le cas d'un groupe non commutatif , on fera bien attention à l'ordre des facteurs dans la formule ci-dessus .

Proposition
Soit G un groupe et a\in G . Les applications :

\begin{array}{cccc} \gamma_a : & G & \to & G \\ & x & \mapsto & ax \\ \end{array} \enskip \text{ et }\enskip \begin{array}{cccc} \delta_a : & G & \to & G \\ & x & \mapsto & xa \\ \end{array}

sont des bijections de G dans lui-même , elles sont appelées translation à gauche (respectivement translation à droite)

Preuve :
Immédiat en remarquant que les applications \gamma_a \text{ et }\delta_a admettent pour réciproques respectivement les applications \gamma_{a^{-1}} \text{ et }\delta_{a^{-1}} .

Proposition
Tout élément d'un groupe est régulier.

Preuve :
En exprimant l'injectivité des applications \gamma_a et \delta_a , on obtient :
\forall x,y\in G\text{ , }\forall a\in G  \text{ : }\begin{cases} ax=ay\Rightarrow x=y \\xa=ya \Rightarrow x=y\end{cases}

Si la loi de G est notée additivement (et donc commutative) , cette règle prend la forme suivante :
\forall x,y\in G\text{ , }\forall a\in G  \text{ : }a+x=a+y\Rightarrow x=y

Remarque :
Dans le cas d'un groupe fini G , la proposition ci-dessus donne une propriété intéressante de la table de la loi de G : elle exprime que dans chaque ligne et chaque colonne de cette table , chaque élément de G apparaît une fois et une seule .


Exemples :

a. Pour la loi d'addition , les ensembles \Z , \Q , \R \text{ et }\C sont des groupes , \N n'est pas un groupe car seul 0 possède un opposé .
Pour la loi de multiplication , 0 n'est jamais inversible , donc aucun des ensembles de nombres n'est un groupe . Considérons ces ensembles privés de 0 .
\Q^{*},\R^{*}\text{ et }\C^{*} sont des groupes . \N^{*}\text{ et }\Z^{*} ne sont pas des groupes car les éléments de ces ensembles ne sont pas tous inversibles , en fait , seul 1 l'est dans \N^{*} , et seuls -1 \text{ et }1 le sont sur \Z^{*} .

b. Soit E un ensemble . Notons \mathfrak{S}_E l'ensemble des permutations de E , c'est-à-dire l'ensemble des bijections de E dans E . Alors \mathfrak{S}_E. Alors \mathfrak{S}_E muni de la loi de composition est un groupe .
En particulier , lorsque E=[\![1,n]\!] , ce groupe est noté plus simplement \mathfrak{S}_n et appelé groupe symétrique d'ordre n .

c. Soient G_1 et G_2 deux groupes . Munissons le produit G=G_1\times G_2 de la loi définie terme à terme à partir des lois G_1 et G_2 :

\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in G_1\times G_2 \enskip : \enskip (x_1,y_1).(x_2,y_2)=(x_1x_2 , y_1y_2)

Alors G est un groupe , appelé groupe produit des groupes G_1 et G_2 .
De même, si G est un groupe , pour tout ensemble non vide I , l'ensemble G^{I} des familles d'éléments de G muni de la loi définie terme à terme , ainsi que l'ensemble \mathscr{F}(I,G) des fonctions de I dans G muni de la loi définie point par point, sont des groupes .

d. Groupe à 3 éléments :
Soit G=\lbrace e,a,b\rbrace un groupe à trois éléments , pour lequel l'élément neutre est e .
En utilisant la remarque ci-dessus , on peut déterminer la table de la loi de G .
Comme e est neutre , on peut déjà remplir les cases ci-dessous :
e a b
e e a b
a a
b b

Reste à remplir les cases vides . Il manque dans la deuxième ligne les terme e et b , et le terme b ne peut se trouver dans la troisième colonne où il figure déjà , dès lors , il n'y a plus qu'une seule façon de remplir la table :
e a b
e e a b
a a b e
b b e a


2- Sous-groupes et morphismes


Définition
Soit G un groupe, d'élément neutre e_G . On appelle sous-groupe de G toute partie H\subset G vérifiant les trois propriétés suivantes :

e_G \in H \enskip\enskip\enskip \text{ (en particulier , } H \text{ est non vide )}

\forall x,y\in H \text{ : } xy\in H \enskip\enskip \enskip \text{ ( }H \text{ est stable par la loi de } G \text{ )}

\forall x\in H \text{ : } x^{-1}\in H \enskip \enskip\enskip\text{ (on dit que } H \text{ est stable par passage à l'inverse)}


Proposition : Caractérisation des sous-groupes
Soit G un groupe et H une partie non vide de G . H est un sous-groupe de G si et seulement si :

e_G \in H .

\forall x,y\in H \text{ : }xy^{-1}\in H .

Preuve :
\boxed{\Rightarrow} Soit H un sous-groupe non vide de G et soient x,y\in H .
y^{-1} est un élément de H et il en est de même du produit xy^{-1} .

\boxed{\Leftarrow} Soit H une partie non vide de G vérifiant \forall x,y\in H\text{ : }xy^{-1}\in H .
Soit x\in H . On a e=xx^{-1} \in H donc l'élément neutre de G est élément de H .
Pour tout (e,x)\in H^2 \text{ : }ex^{-1}\in H \text{ , donc } x^{-1} \in H .
Enfin , pour tout (x,y)\in H^2 , on a (x,y^{-1})\in H^2 et donc x(y^{-1})^{-1}\in H
Soit xy\in H .

Proposition
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G . Alors H , muni de la restriction de la loi de G , est lui-même un groupe .

Preuve :
Le temps de cette démonstration , notons \perp la loi de G et \perp' sa restriction à H définie par : \forall x,y\in H\text{ : } x\perp' y =x\perp y .
La stabilité de H pour la loi \perp assure que \perp' est une loi de composition interne dans H , elle est clairement associative comme \perp . Les deux propriétés montrent que \perp' possède un élément neutre dans H (égal à e_G) , et que tout élément x\in H possède un inverse dans H (égal à son inverse dans G ) .
Proposition
Soit I l'ensemble des indices et soit (H_i)_{i\in I} une famille de sous-groupes du groupe G . Alors \displaystyle \bigcap_{i\in I} H_i est un sous-groupe de G .

Remarque :
En revanche , on ne peut à priori rien dire de la réunion d'une famille de sous-groupes .

Exemples :

a. Pour tout groupe G , \lbrace e_G\rbrace \text{ et } G sont des sous-groupes de G .

b. (\Z ,+) est un sous-groupe de (\Q,+) , qui lui-même est sous groupe de (\R,+) , qui est lui-même un sous-groupe de (\C,+) .
Dans (\R^{*},\times ) , \R^{*}_{+} est un sous-groupe , tandis que \R^{*}_{-} n'en est pas un , ce dernier n'est pas stable .

c. Soient G_1 , G_2 deux groupes et G le groupe produit . Si H_1 \text{ et } H_2 sont des sous-groupes de G_1 et G_2 respectivement , alors H_1\times H_2 est un sous-groupe de G .
Mais tous les sous-groupes de G ne sont pas de cette forme : par exemple, dans le cas G_1=G_2 , l'ensemble \lbrace (x,x) \text{ / } x\in G_1\rbrace est un sous-groupe de G .

Définition
Soit f : (G,\ast)\to (G',\diamond) un morphisme de magmas . Si (G,\ast) et (G',\diamond) sont des groupes , alors f prend le nom de morphisme de groupes.
Même chose dans le cas où f est un endomorphisme , un isomorphisme ou un automorphisme

Exemples :

a. l'application x\mapsto 2x est un endomorphisme de groupe (\Z,+) , ce n'est pas un automorphisme car son image est l'ensemble des entiers pairs .

b. Considérons la fonction exponentielle
\begin{array}{cccc} \exp : & \R & \to & \R^{*}_{+} \\ & x & \mapsto & \text{e}^{x} \\ \end{array}

La propriété fondamentale \left(\forall x,y\in \R \text{ : }\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\text{e}^{y}\right) exprime que l'exponentielle est un morphisme du groupe (\R,+) dans le groupe (\R^{*}_{+},\times) ( c'est d'ailleurs un isomorphisme ) .

c. Soit G un groupe. On considère l'application \begin{array}{cccc} \Gamma : & G & \to & \mathfrak{S}_{G} \\ & x & \mapsto & \gamma_x \\ \end{array} , \gamma_x étant la translation à gauche .

\Gamma est un morphisme du groupe G dans le groupe \mathfrak{S}_G des bijections de G dans lui-même , muni de la loi \circ .

En effet : On a pour x,y\in G :
\forall z\in G \text{ : } \gamma_{xy}(z)=(xy)z=x(yz)=\gamma_x(\gamma_y(z))

Ce qui donne bien \gamma_{xy}=\gamma_x\circ \gamma_y .

Par contre , l'application \begin{array}{cccc} \Delta : & G & \to & \mathfrak{S}_{G} \\ & x & \mapsto & \delta_x \\ \end{array} (avec \delta_x la translation à droite) , n'est pas un morphisme si G n'est pas commutatif .
On trouve en effet \delta_{xy}=\delta_y\circ\delta_x : la composée n'est pas écrite dans le bon ordre .

Proposition
Soit f : (G,\ast)\to (G',\diamond) un morphisme de groupes . Alors :

1. f(e_G)=e_{G^'} .

2. \forall x\in G \text{ : } f(x^{-1})=f(x)^{-1}


Preuve :
1. On a : f(e_G)=f(e_G\ast e_G)=f(e_G)\diamond f(e_G)
En simplifiant par f(e_G) dans G' , il vient f(e_G)=e_{G^'}

2.Soit x\in G , alors : f(x)\diamond f(x^{-1})=f(x\ast x^{-1})=f(e_G)=e_{G^'}
Donc f(x^{-1})=f(x)^{-1}

Définition : Groupes isomorphes
Un groupe (G,\ast) est dit isomorphe à un groupe (G',\diamond) si et seulement s'il existe un isomorphisme entre ces deux groupes.


Méthode : Transport de structure
Soient (G,\ast) un groupe , (E,\diamond) un magma . S'il existe un isomorphisme de magmas de (G,\ast) sur (E,\diamond) , alors (E,\diamond) est un groupe (isomorphe au groupe (G,\ast)).

Exemple :
Soit E un ensemble et G = \mathscr{P}(E) , Montrons que (G,\Delta) est un groupe commutatif .

On rappelle que \Delta est la différence symétrique de deux ensembles A,B\in G , elle est définie par :

\forall A,B\in G\text{ : } A\Delta B=(A\cup B) \backslash (A\cap B) =(A\backslash B)\cup (B\backslash A)

Il est facile de vérifier que :
\emptyset est l'élément neutre .
Que tout élément de A\in G est son propre inverse , en effet : A\Delta A=A\backslash A =\emptyset .
\Delta est commutative par commtativité de \cup et \cap .
Mais l'associativité s'avère fastidieuse à vérifier . On va se ramener à un calcul plus simple .

Notons F=\mathscr{F}(E,\lbrace 0,1\rbrace) l'ensemble des applications de E dans \lbrace 0,1\rbrace . On va exploiter les bijections suivantes :

\begin{array}{cccc} \psi : & G & \to & F \\ & A & \mapsto & \left(\chi_A : x\mapsto\begin{cases} 1 &\text{ si }x\in A \\0&\text{ si } x\notin A\end{cases} \right)\\ \end{array} \enskip \enskip\enskip \text{ et }\enskip \enskip \enskip \begin{array}{cccc} \varphi : & F & \to & G \\ & f & \mapsto & A_f=\lbrace x\in E /f(x)=1\rbrace  \\ \end{array}

\chi_A est appelée la fonction indicatrice de A .

On vérifie aisément que pour tout A,B\in G : (vérification laissée en exercice)

\chi_{A\backslash B}=\chi_{A}-\chi_{A}\chi_{B}
\chi_{A\cap B}=\chi_A \chi_B
\chi_{A\cup B}= \chi_A+\chi_B-\chi_A\chi_B

On déduit :

\begin{matrix}\chi_{A\Delta B}&=&\chi_{A\cup B}-\chi_{A\cup B}\chi_{A\cap B}\\& = &\chi_{A}+\chi_{B}-2\chi{A}\chi_{B}\end{matrix}

On définit alors dans F la loi \ast définie par : \forall f,g\in F\text{ : } f\ast g= f+g-2fg

On a alors : \chi_{A\Delta B}=\chi_A \ast \chi_B , ce qui peut s'écrire :

\begin{cases} \forall A,B\in G\text{ : } \psi(A\Delta B)=\psi (A)\ast \psi (B) \\ \forall f,g\in F\text{ : } \varphi(f\ast g)=\varphi(f)\Delta \varphi(g)\end{cases}


Or, on a:

\ast est clairement commutative .

\ast est associative , en effet , pour f,g,h\in F :
(f\ast g)\ast h = (f+g-2fg)\ast h=(f+g-2fg)+h-2(f+g-2fg)h = f+g+h-2(fg+gh+hf)+4fgh
Cette expression est symétrique en f,g,h donc elle est aussi égale à (g\ast h)\ast f = f\ast(g\ast h)

La fonction nulle est de façon évidente élément neutre .

Et pour f\in F , on a f\ast f=2(f-f^2)=0 (car f ne prend que les valeurs 0 et 1)

On en tire que (F,\ast) est un groupe commutatif .
Et donc , par transport de structure , (G,\Delta) est aussi un groupe commutatif .

Les bijections \psi\text{ et }\varphi sont des isomorphismes réciproques entre ces deux groupes .

Définition : Noyau et image
Soient G et G' deux groupes et f : G\to G' un morphisme de groupes .

1. On appelle noyau de f l'ensemble noté \text{Ker }f tel que :

\text{Ker }f \enskip=\enskip\lbrace x\in G \text{ / } f(x)= e_{G^{'}} \rbrace \enskip=\enskip f^{-1}\left(\lbrace e_{G^{'}}\rbrace \right)


2. On appelle image de f l'ensemble noté \text{Im }f tel que :
\text{Im } f\enskip=\enskip f(G)\enskip=\enskip\lbrace f(x)\text{ / } x\in G\rbrace



Proposition
Avec les notations ci-dessus , \text{Ker }f \text{ et }\text{Im } f sont respectivement des sous-groupes de G et de G'


Preuve :
Notons \perp la loi de G et \ast la loi de G' .

On a f(e_G)=e_{G'} , donc e_G\in\text{ Ker }f

Pour x,y\in\text{ Ker }f \text{ : }f(x\perp y)=f(x)\ast f(y)=e_{G'}\ast e_{G'}=e_{G'} , donc x\perp y\in \text{ Ker }f

De même : f(x^{-1})=f(x)^{-1}=e_{G'}^{-1}=e_{G'} \text{ , donc }x^{-1}\in \text{ Ker }f


Pour x',y'\in\text{ Im }f , on peut écrire : x'=f(x) \text{ , } y'=f(y) \text{ avec }x,y\in G .

Alors x'\st y'=f(x)\ast f(y)=f(x\perp y)\in \text{ Im }f \enskip\text{ et }\enskip x'^{-1}=f(x)^{-1}=f(x^{-1})\in\text{ Im }f .

Proposition
Soient G et G' deux groupes et f : G\to G' un morphisme de groupes . Alors :

f\text{ injective }\iff \text{ Ker }f=\lbrace e_G\rbrace


Preuve :
On adopte ici la notation multiplicative des lois de G et G' .
\boxed{\Rightarrow} : évident , comme f est injective , e_G est le seul antécédent de e_{G'} par f .

\boxed{\Leftarrow} : Soient x,y\in G et supposons f(x)=f(y) . Alors :

f(x^{-1}y)=f(x^{-1})f(y)=f(x)^{-1}f(y)=e_{G'} , c'est-à-dire que x^{-1}y \in\text{ Ker }f .

Par hypothèse , x^{-1}y=e_{G} , et donc x=y .

Remarque :

On a aussi f\text{ surjective }\iff \texT{Im }f=G' , mais ceci est valable pour n'importe quelle application de G dans G' .


Exemple :

Considérons f:(\R,+)\to (\C^{*},\times ) \text{ ; } \theta\mapsto \text{e}^{i\theta} .

On a : \text{ Ker }f = 2\pi\Z =\lbrace 2k\pi \text{/ } k\in\Z\rbrace \text{ et }\text{ Im }f=\U

II- Structure d'Anneau

1- Définitions

Définitions
On appelle anneau et on note (A,+,\times) tout ensemble A muni de deux lois notées + et \times vérifiant les propriétés suivantes :

(A,+) est un groupe commutatif . Son élément neutre est appelé élément nul de A et noté 0_A .

La loi \times est associative et possède un élément neutre, appelé élément unité de A et noté 1_A .

La loi \times est distributive par rapport à la loi + .

De plus , si \times est commutative , on dit que l'anneau A est commutatif .

Remarques :
L'ensemble A=\lbrace 0 \rbrace , muni des lois + et \times est un anneau commutatif , appelé anneau nul , et 0_A=1_A=0 .
Dans un anneau non nul , on a nécessairement 0_A\neq 1_A .
Pour un anneau, l'adjectif commutatif est relatif à la loi de multiplication , on rappelle qu'on note la multiplication \times \text{ , . ou encore sans signe } .
De la définition, on déduit les propriétés élémentaires suivantes :
\forall x\in A\text{ : }x. 0_A =0_A. x = 0_A\enskip \text{et }\enskip \forall x,y\in A \text{ : }(-x)y=x(-y)=-xy



Comme (A,+) est un groupe , on dispose dans A de la règle de simplification pour l'addition. Le cas de la multiplication est plus délicat et conduit à la définition suivante :
Définition
On dit que l'anneau A est intègre si et seulement si il est non nul et :

\forall x,y\in A\enskip : \enskip xy=0\Rightarrow (x=0\text{ ou }y=0)

Dans un anneau intègre , on a une règle de simplification pour la multiplication :
\forall x,y\in A \enskip : \enskip \begin{cases} (ax=ay\text{ et }a\neq 0 )\Rightarrow x=y \\  (xa=ya\text{ et }a\neq 0 )\Rightarrow x=y\end{cases}


Exemples :

a. (\Z,+,\times) , (\Q,+,\times), (\R,+,\times)\text{ et } (\C,+,\times) sont des anneaux commutatifs intègres .

b. L'ensemble A=\mathscr{F}(\R,\R) des fonctions de \R dans \R muni des lois d'addition et de multiplication point par point est un anneau commutatif, l'élément unité et l'élément nul sont respectivement les fonctions constantes 1 et 0 .
Il n'est pas intègre, en effet , si on prend par exemple :
f:x\mapsto\begin{cases} 0&\text{ si } x\in ]-\infty,0[ \\1 &\text{ si }x\in [0,+\infty[ \end{cases}\enskip \enskip \text{ et }\enskip \enskip  g:x\mapsto\begin{cases} 1&\text{ si } x\in ]-\infty,0[ \\0 &\text{ si }x\in [0,+\infty[ \end{cases}

On a f\neq 0_A , g\neq 0_A \text{ et }fg=0_A


2- Calculs dans un anneau



Soit (A,+,\times) un anneau . On a alors les règles de calcul suivantes :

a. \forall x\in A \enskip : \enskip  0_A\cdot x=x\cdot 0_A=0_A\enskip  \text{ (on dit que }0_A \text{ est absorbant pour } \times)

b. \forall x\in A \enskip : \enskip (-1_{A})\cdot x=x\cdot (-1_{A})=-x

c. \forall (x,y)\in A^{2} \enskip : \enskip (-x)y = x(-y)=-xy \enskip \text{ et }\enskip (-x)(-y) = xy

d. \forall (x,y,z)\in A^{3} \enskip : \enskip (x-y)z = xz-yz \enskip \text{ et }\enskip z(x-y) = zx-zy

e. \forall n\in\mathbb{N}^{*} \text{ , } \forall a\in A \enskip : \enskip (1-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}\right)(1-a)=1-a^{n}

f. \forall p\in\mathbb{N}  \text{ , }  \forall a\in A \enskip : \enskip  (1+a)\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}\right)(1+a)=1+a^{2p+1}

g. \forall a\in A  \text{ , }  \forall n\in\mathbb{N}^{*} \text{ , }  \forall(x_{1},......,x_{n})\in A^{n} \enskip : \enskip \displaystyle\sum_{i=1}^{n} ax_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}

h. \forall n,p\in\mathbb{N}^{*}  \text{ , }  \forall(x_{1},.....,x_{n})\in A^{n}  \text{ , } \forall (y_{1},......,y_{p})\in A^{p} \enskip : \enskip\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} x_{i}y_{j}\right)=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}\right)=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} y_{1}\right)


Formules
Soient (A,+,\times) un anneau et (x,y)\in A^{2} tel que xy=yx . On a :

\forall n\in\N\text{ : }(x+y)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n\choose k} x^{k}y^{n-k}\enskip\enskip\text{ (Formule du binôme)}

\forall n\in\N^{*}\text{ : }x^n-y^n=(x-y)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k

Remarque :

Il faut bien faire attention à ce que x et y commutent , sinon ces formules sont fausses .

En effet , pour n=2 : (x+y)^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2 \neq x^2+2xy+y^2 \text{ si }xy\neq yx .

3- Sous-anneaux et morphismes d'anneaux


Définition
Soient A un anneau . On appelle sous-anneau de A toute partie B\subset A vérifiant les propriétés suivantes :

B est un sous-groupe de (A,+) .

\forall x,y\in B\enskip : \enskip  xy\in B \enskip\enskip\text{ (On dit que }B\text{ est stable par produit )}

1_{A}\in B


Proposition
Si B est un sous-anneau de A , alors B muni des restrictions des lois de A est un anneau .



Proposition
Soit I l'ensemble des indices et soit (B_i)_{i\in I} une famille de sous-anneaux de l'anneau A . Alors \displaystyle\bigcap_{i\in I} B_i est un sous-anneau de A .


Remarque :

Pour un anneau A, il peut exister une partie B\subset A qui , munie des restrictions des lois de A , est un anneau , mais qui n'a pas le même élément unité que A , une telle partie B n'est pas un sous-anneau de A .

Contre-exemple : A=\mathscr{F}(\R,\R) muni des lois point par point , considérons pour a\in\R les fonctions f_a : x\mapsto\begin{cases} 0 &\text{ si }x\in ]0,+\infty[ \\a&\text{ si } x\geq 0\end{cases}
et posons B=\lbrace f_a \text{ / }a\in\R\rbrace , on peut vérifier que B , muni des mêmes lois que A , est un anneau , et que l'élément unité de B est la fonction f_1\neq 1_{A}

Exemples :
a. (\Z ,+,\times) est un sous-anneau de (\Q,+,\times) , qui lui-même est sous-anneau de (\R,+,\times) , qui est lui-même un sous-anneau de (\C,+,\times) .

b. Pour un entier a\geq 2 , l'ensemble a\Z est un sous-groupe de (\Z,+) et il est stable par produit , mais 1 \notin a\Z . a\Z n'est donc pas un sous-anneau de \Z .

Définition
Soient A,A' deux anneaux , on appelle morphisme d'anneaux de A dans A' toute application f : A\to A' vérifiant :

\begin{matrix}&\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\bullet\enskip\forall x,y\in A\enskip :& \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip f(x+y)=f(x)+f(y) &\\ &\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\bullet \enskip\forall x,y\in A\enskip :& \enskip\enskip\enskip \enskipf(xy)=f(x)f(y)&\\ &\bullet\enskip  \enskip \enskip \enskip\enskip    & f(1_{A}) = 1_{A'}     &\end{matrix}

On appelle endomorphisme d'anneau A tout morphisme de A dans lui-même .
On appelle isomorphisme de A dans A' tout morphisme bijectif de A dans A'. On dit que A et A' sont isomorphes s'il existe un tel isomorphisme .
On appelle automorphisme d'un anneau A est un endomorphisme bijectif de l'anneau A.

Un morphisme d'anneau f:A\to A' est donc en particulier un morphisme du groupe (A,+) dans le groupe (A',+) . Il en résulte : f(0_A)=0_{A'} \enskip\text{ et }\enskipf(-x)=-f(x)

Exemples :

a. La conjugaison z\mapsto\bar{z} est un isomorphisme de l'anneau (\C,+,\times) .

b. Soit E un ensemble et G = \mathscr{P}(E) , on avait vu dans un exemple dans le paragraphe I-2 que (G,\Delta) est un groupe commutatif .
On reprend toutes les notations de cet exemple .
On se propose de montrer que (G,\Delta,\cap) est un anneau commutatif .
On sait que l'intersection est associative , commutative et que E est l'élément neutre . Il reste à prouver que \cap est distributive par rapport à \Delta .
Pour cela , on observe que pour A,B\in G \text{ : }\chi_{A\cap B }=\chi_A \chi_B .
On montre alors que dans F , la loi . de produit point par point est distributive par rapport à \ast . On écrit le calcul suivant , pour f,g,h\in F :

f. (g\ast h)=f(g+h-2gh)=fg+fh-2fgh \enskip \enskip \text{ et } \enskip \enskip (f.g)\ast (f.h)=fg+fh-2f^2gh


Or , comme f est à valeurs dans \lbrace 0,1\rbrace , on a f^2=f et on en déduit le résultat .
La bijection \varphi "transporte" alors la distributivité dans G .
On conclut que (G,\Delta,\cap) \text{ et } (F,\ast , .) sont deux anneaux isomorphes .

III- Structure de corps

1- Définition et exemples

Définition
On appelle corps tout ensemble \K muni de deux lois notées +\text{ et }\times vérifiant les propriétés suivantes :

(\K,+,\times) est un anneau non nul .

Tout élément non nul de \K est inversible pour \times dans \K .

On se restreindra aux corps commutatifs, dans lesquels les deux lois sont commutatives . Pour un corps \K , on note \K^{*} =\K\backslash\lbrace 0\rbrace . Il est immédiat que (\K^{*},\times) est un groupe , on l'appelle le groupe multiplicatif du corps \K .

Remarque :
Si (\K,+,\times ) est un corps , c'est en particulier un anneau intègre , on dispose alors de la règle de simplification dans le groupe multiplicatif (\K^{*},\times) .

Exemples :

a. \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} sont des corps.

b. Un corps étant non nul , il contient au moins deux éléments (0_{\K} \text{ et }1_{\K}) . Il existe un corps , noté \F_2 , contenant exactement 2 éléments . Il s'agit de l'ensemble \lbrace 0,1\rbrace muni des deux lois définies par les tables suivantes :
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
\times 0 1
0 0 0
1 0 1

2- Sous-corps et morphismes de corps


Définition
Soit \K un corps . On appelle sous-corps de \K toute partie F\subset \K vérifiant les propriétés suivantes :

F est un sous-anneaux de \K .

\forall x\in F\backslash\lbrace 0\rbrace  \enskip :\enskip  x^{-1}\in F


De façon équivalente , on peut dire que F est un sous-corps de \K si et seulement si (F,+) est un sous-groupe de (\K,+) et (F\backslash\lbrace 0\rbrace,\times) est un sous-groupe de (\K^{*},\times) .

Exemple :
(\Q ,+,\times) est un sous-corps de (\R,+,\times) , qui lui-même est sous-corps de (\C,+,\times) .

Définition
Soit  f : \K\to \K' un morphisme d'anneaux .
Si \K et \K' sont deux corps , f prend le nom de morphisme de corps.

Même chose dans le cas où f est un endomorphisme , un isomorphisme ou un automorphisme d'anneaux .

On dit que deux corps \K et \K' sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de corps de \K dans \K' .

Exemple :
L'application identitée et la conjugaison dans \mathbb{C} sont des automorphismes de \mathbb{C}.

Proposition
Soient \K et \K' deux corps et f : \K\to \K' un morphisme de corps . Alors :

f est injectif .

\forall x\in\K^{*}\enskip : \enskip f(x^{-1})=f(x)^{-1}

Preuve :
Soit x\in\K^{*} . On a :
1_{\K'}=f(1_{\K})=f(xx^{-1})=f(x)f(x)^{-1}


En particulier , f(x)\neq 0 , donc f est injective .

Exemple :

On munit \R^{2} de l'addition et de la multiplication \otimes définies par :

\forall (x,y),(x',y')\in\R^{2}\enskip :\enskip \begin{cases} (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') \\ (x,y)\otimes (x',y') = (xx'-yy',xy'+x'y)\end{cases}


Montrons que (\R^2,+,\otimes) est un corps isomorphe à (\C,+,\times) .

On sait déjà que (\R^2,+) est un groupe commutatif .

La loi \otimes est trivialement commutatif .

Montrons que \otimes est associative , soient (x,y),(x',y'),(x'',y'')\in\R^{2} :

\begin{matrix}[(x,y)\otimes (x',y')]\otimes (x'',y'') &=&(xx'-yy',xy'+x'y)\otimes (x'',y'') \\&=& (xx'x''-y'y''x-y''yx'-yy'x'' , x'x''y+x''xy'+xx'y''-yy'y'')\end{matrix}

Et l'expression est invariante par permutation circulaire de (x,y),(x',y'),(x'',y'') , donc \otimes est associative .

Montrons que \otimes est distributive par rapport à + , soient (x,y),(x',y'),(x'',y'')\in\R^{2} :

\begin{matrix}(x,y)\otimes[ (x',y')+ (x'',y'')] &=&(x,y)\otimes (x'+x'',y'+y'') \\&=& (xx'+xx''-yy'-yy'', yx'+yx'' +xy'+xy'')\\&=& (xx'-yy',xy'+x'y)+(xx''-yy'',xy''+x''y)\\&=& (x,y)\otimes(x',y')+(x,y)\otimes (x'',y'')\end{matrix}

On vérifgie que (1,0) est élément neutre pour \otimes .

Pour (x,y)\in\R^{2}\backslash\lbrace (0,0)\rbrace , cherchons un inverse (x',y') pour \otimes . Ceci conduit à résoudre le système \begin{cases} xx'-yy'=1\\yx'+xy'=0\end{cases} , on trouve bien une solution unique : (x',y')=\left(\dfrac{x}{x^2+y^2},-\dfrac{y}{x^2,y^2}\right) .

Enfin , il est évident qu'on définit un isomorphisme f de \R^2 dans \C en posant :
f:(x,y)\mapsto x+iy
.
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