Fiche de mathématiques

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Structures algébriques

I- Structure de groupe

1- Définition et exemples

Définition :

1. On appelle groupe un ensemble $G$ muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes :

La loi est associative .

Elle possède un élément neutre .

Tout élément de $G$ est inversible dans $G$ .

2. Si de plus la loi est commutative, le groupe $G$ est dit commutatif ou encore abélien .

La loi d'un groupe sera dans la suite notée multiplicativement (lorsque le groupe est commutatif on utilisera parfois la notation additive) . Ainsi , le composé de deux éléments $x,y\in G$ sera noté $xy$ , l'inverse de $x$ sera noté $x^{-1}$ et l'élément neutre sera , selon le cas , noté $e_G$ ou $1_G$ .

Proposition

Soit $G$ un groupe , alors :
$\forall x,y\in G \enskip : \enskip (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$

Preuve :
Soient $x,y\in G$ , on écrit : $(xy)(y^{-1}x^{-1})=xyy^{-1}x^{-1}=xe_Gx^{-1}=xx^{-1}=e_G$

Remarque :
Dans le cas d'un groupe non commutatif , on fera bien attention à l'ordre des facteurs dans la formule ci-dessus .

Proposition

Soit $G$ un groupe et $a\in G$ . Les applications :

$\begin{array}{cccc} \gamma_a : & G & \to & G \\ & x & \mapsto & ax \\ \end{array} \enskip \text{ et }\enskip \begin{array}{cccc} \delta_a : & G & \to & G \\ & x & \mapsto & xa \\ \end{array}$
sont des bijections de $G$ dans lui-même , elles sont appelées translation à gauche (respectivement translation à droite)

Preuve :
Immédiat en remarquant que les applications $\gamma_a \text{ et }\delta_a$ admettent pour réciproques respectivement les applications $\gamma_{a^{-1}} \text{ et }\delta_{a^{-1}}$ .

Proposition

Tout élément d'un groupe est régulier.

Preuve :
En exprimant l'injectivité des applications $\gamma_a$ et $\delta_a$ , on obtient :

$\forall x,y\in G\text{ , }\forall a\in G \text{ : }\begin{cases} ax=ay\Rightarrow x=y \\xa=ya \Rightarrow x=y\end{cases}$

Si la loi de G est notée additivement (et donc commutative) , cette règle prend la forme suivante :

$\forall x,y\in G\text{ , }\forall a\in G \text{ : }a+x=a+y\Rightarrow x=y$

Remarque :
Dans le cas d'un groupe fini $G$ , la proposition ci-dessus donne une propriété intéressante de la table de la loi de $G$ : elle exprime que dans chaque ligne et chaque colonne de cette table , chaque élément de $G$ apparaît une fois et une seule .

Exemples :

a. Pour la loi d'addition , les ensembles $\Z , \Q , \R \text{ et }\C$ sont des groupes , $\N$ n'est pas un groupe car seul $0$ possède un opposé .
Pour la loi de multiplication , $0$ n'est jamais inversible , donc aucun des ensembles de nombres n'est un groupe . Considérons ces ensembles privés de $0$ .
$\Q^{*},\R^{*}\text{ et }\C^{*}$ sont des groupes . $\N^{*}\text{ et }\Z^{*}$ ne sont pas des groupes car les éléments de ces ensembles ne sont pas tous inversibles , en fait , seul $1$ l'est dans $\N^{*}$ , et seuls $-1 \text{ et }1$ le sont sur $\Z^{*}$ .

b. Soit $E$ un ensemble . Notons $\mathfrak{S}_E$ l'ensemble des permutations de $E$ , c'est-à-dire l'ensemble des bijections de $E$ dans $E$ . Alors $\mathfrak{S}_E$ . Alors $\mathfrak{S}_E$ muni de la loi de composition est un groupe .
En particulier , lorsque $E=[\![1,n]\!]$ , ce groupe est noté plus simplement $\mathfrak{S}_n$ et appelé groupe symétrique d'ordre $n$ .

c. Soient $G_1$ et $G_2$ deux groupes . Munissons le produit $G=G_1\times G_2$ de la loi définie terme à terme à partir des lois $G_1$ et $G_2$ :

$\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in G_1\times G_2 \enskip : \enskip (x_1,y_1).(x_2,y_2)=(x_1x_2 , y_1y_2)$
Alors $G$ est un groupe , appelé groupe produit des groupes $G_1$ et $G_2$ .
De même, si $G$ est un groupe , pour tout ensemble non vide $I$ , l'ensemble $G^{I}$ des familles d'éléments de $G$ muni de la loi définie terme à terme , ainsi que l'ensemble $\mathscr{F}(I,G)$ des fonctions de $I$ dans $G$ muni de la loi définie point par point, sont des groupes .

d. Groupe à 3 éléments :
Soit $G=\lbrace e,a,b\rbrace$ un groupe à trois éléments , pour lequel l'élément neutre est $e$ .
En utilisant la remarque ci-dessus , on peut déterminer la table de la loi de $G$ .
Comme $e$ est neutre , on peut déjà remplir les cases ci-dessous :

$\text{[math]}$	$e$	$a$	$b$
$e$	$e$	$a$	$b$
$a$	$a$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$b$	$b$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

Reste à remplir les cases vides . Il manque dans la deuxième ligne les terme $e$ et $b$ , et le terme $b$ ne peut se trouver dans la troisième colonne où il figure déjà , dès lors , il n'y a plus qu'une seule façon de remplir la table :

$\text{[math]}$	$e$	$a$	$b$
$e$	$e$	$a$	$b$
$a$	$a$	$b$	$e$
$b$	$b$	$e$	$a$

2- Sous-groupes et morphismes

Définition

Soit $G$ un groupe, d'élément neutre $e_G$ . On appelle sous-groupe de $G$ toute partie $H\subset G$ vérifiant les trois propriétés suivantes :

$e_G \in H \enskip\enskip\enskip \text{ (en particulier , } H \text{ est non vide )}$

$\forall x,y\in H \text{ : } xy\in H \enskip\enskip \enskip \text{ ( }H \text{ est stable par la loi de } G \text{ )}$

$\forall x\in H \text{ : } x^{-1}\in H \enskip \enskip\enskip\text{ (on dit que } H \text{ est stable par passage à l'inverse)}$

Proposition : Caractérisation des sous-groupes

Soit $G$ un groupe et $H$ une partie non vide de $G$ . $H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :

$e_G \in H$ .

$\forall x,y\in H \text{ : }xy^{-1}\in H$ .

Preuve :
$\boxed{\Rightarrow}$ Soit $H$ un sous-groupe non vide de $G$ et soient $x,y\in H$ .
$y^{-1}$ est un élément de $H$ et il en est de même du produit $xy^{-1}$ .

$\boxed{\Leftarrow}$ Soit $H$ une partie non vide de $G$ vérifiant $\forall x,y\in H\text{ : }xy^{-1}\in H$ .
Soit $x\in H$ . On a $e=xx^{-1} \in H$ donc l'élément neutre de $G$ est élément de $H$ .
Pour tout $(e,x)\in H^2 \text{ : }ex^{-1}\in H \text{ , donc } x^{-1} \in H$ .
Enfin , pour tout $(x,y)\in H^2$ , on a $(x,y^{-1})\in H^2$ et donc $x(y^{-1})^{-1}\in H$
Soit $xy\in H$ .

Proposition

Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ . Alors $H$ , muni de la restriction de la loi de $G$ , est lui-même un groupe .

Preuve :
Le temps de cette démonstration , notons $\perp$ la loi de $G$ et $\perp'$ sa restriction à $H$ définie par : $\forall x,y\in H\text{ : } x\perp' y =x\perp y$ .
La stabilité de $H$ pour la loi $\perp$ assure que $\perp'$ est une loi de composition interne dans $H$ , elle est clairement associative comme $\perp$ . Les deux propriétés montrent que $\perp'$ possède un élément neutre dans $H$ (égal à $e_G$ ) , et que tout élément $x\in H$ possède un inverse dans $H$ (égal à son inverse dans $G$ ) .

Proposition

Soit $I$ l'ensemble des indices et soit $(H_i)_{i\in I}$ une famille de sous-groupes du groupe $G$ . Alors $\displaystyle \bigcap_{i\in I} H_i$ est un sous-groupe de $G$ .

Remarque :
En revanche , on ne peut à priori rien dire de la réunion d'une famille de sous-groupes .

Exemples :

a. Pour tout groupe $G$ , $\lbrace e_G\rbrace \text{ et } G$ sont des sous-groupes de $G$ .

b. $(\Z ,+)$ est un sous-groupe de $(\Q,+)$ , qui lui-même est sous groupe de $(\R,+)$ , qui est lui-même un sous-groupe de $(\C,+)$ .
Dans $(\R^{*},\times )$ , $\R^{*}_{+}$ est un sous-groupe , tandis que $\R^{*}_{-}$ n'en est pas un , ce dernier n'est pas stable .

c. Soient $G_1 , G_2$ deux groupes et $G$ le groupe produit . Si $H_1 \text{ et } H_2$ sont des sous-groupes de $G_1$ et $G_2$ respectivement , alors $H_1\times H_2$ est un sous-groupe de $G$ .
Mais tous les sous-groupes de $G$ ne sont pas de cette forme : par exemple, dans le cas $G_1=G_2$ , l'ensemble $\lbrace (x,x) \text{ / } x\in G_1\rbrace$ est un sous-groupe de $G$ .

Définition

Soit $f : (G,\ast)\to (G',\diamond)$ un morphisme de magmas . Si $(G,\ast)$ et $(G',\diamond)$ sont des groupes , alors $f$ prend le nom de morphisme de groupes.
Même chose dans le cas où $f$ est un endomorphisme , un isomorphisme ou un automorphisme

Exemples :

a. l'application $x\mapsto 2x$ est un endomorphisme de groupe $(\Z,+)$ , ce n'est pas un automorphisme car son image est l'ensemble des entiers pairs .

b. Considérons la fonction exponentielle $\begin{array}{cccc} \exp : & \R & \to & \R^{*}_{+} \\ & x & \mapsto & \text{e}^{x} \\ \end{array}$
La propriété fondamentale $\left(\forall x,y\in \R \text{ : }\text{e}^{x+y}=\text{e}^{x}\text{e}^{y}\right)$ exprime que l'exponentielle est un morphisme du groupe $(\R,+)$ dans le groupe $(\R^{*}_{+},\times)$ ( c'est d'ailleurs un isomorphisme ) .

c. Soit $G$ un groupe. On considère l'application $\begin{array}{cccc} \Gamma : & G & \to & \mathfrak{S}_{G} \\ & x & \mapsto & \gamma_x \\ \end{array}$ , $\gamma_x$ étant la translation à gauche .

$\Gamma$ est un morphisme du groupe $G$ dans le groupe $\mathfrak{S}_G$ des bijections de $G$ dans lui-même , muni de la loi $\circ$ .

En effet : On a pour $x,y\in G$ :
$\forall z\in G \text{ : } \gamma_{xy}(z)=(xy)z=x(yz)=\gamma_x(\gamma_y(z))$
Ce qui donne bien $\gamma_{xy}=\gamma_x\circ \gamma_y$ .

Par contre , l'application $\begin{array}{cccc} \Delta : & G & \to & \mathfrak{S}_{G} \\ & x & \mapsto & \delta_x \\ \end{array}$ (avec $\delta_x$ la translation à droite) , n'est pas un morphisme si $G$ n'est pas commutatif .
On trouve en effet $\delta_{xy}=\delta_y\circ\delta_x$ : la composée n'est pas écrite dans le bon ordre .

Proposition

Soit $f : (G,\ast)\to (G',\diamond)$ un morphisme de groupes . Alors :

1. $f(e_G)=e_{G^'}$ .

2. $\forall x\in G \text{ : } f(x^{-1})=f(x)^{-1}$

Preuve :
1. On a : $f(e_G)=f(e_G\ast e_G)=f(e_G)\diamond f(e_G)$
En simplifiant par $f(e_G)$ dans $G'$ , il vient $f(e_G)=e_{G^'}$

2.Soit $x\in G$ , alors : $f(x)\diamond f(x^{-1})=f(x\ast x^{-1})=f(e_G)=e_{G^'}$
Donc $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$

Définition : Groupes isomorphes

Un groupe $(G,\ast)$ est dit isomorphe à un groupe $(G',\diamond)$ si et seulement s'il existe un isomorphisme entre ces deux groupes.

Méthode : Transport de structure

Soient $(G,\ast)$ un groupe , $(E,\diamond)$ un magma . S'il existe un isomorphisme de magmas de $(G,\ast)$ sur $(E,\diamond)$ , alors $(E,\diamond)$ est un groupe (isomorphe au groupe $(G,\ast)$ ).

Exemple :
Soit $E$ un ensemble et $G = \mathscr{P}(E)$ , Montrons que $(G,\Delta)$ est un groupe commutatif .

On rappelle que $\Delta$ est la différence symétrique de deux ensembles $A,B\in G$ , elle est définie par :

$\forall A,B\in G\text{ : } A\Delta B=(A\cup B) \backslash (A\cap B) =(A\backslash B)\cup (B\backslash A)$
Il est facile de vérifier que :
$\emptyset$ est l'élément neutre .
Que tout élément de $A\in G$ est son propre inverse , en effet : $A\Delta A=A\backslash A =\emptyset$ .
$\Delta$ est commutative par commtativité de $\cup$ et $\cap$ .
Mais l'associativité s'avère fastidieuse à vérifier . On va se ramener à un calcul plus simple .

Notons $F=\mathscr{F}(E,\lbrace 0,1\rbrace)$ l'ensemble des applications de $E$ dans $\lbrace 0,1\rbrace$ . On va exploiter les bijections suivantes :

$\begin{array}{cccc} \psi : & G & \to & F \\ & A & \mapsto & \left(\chi_A : x\mapsto\begin{cases} 1 &\text{ si }x\in A \\0&\text{ si } x\notin A\end{cases} \right)\\ \end{array} \enskip \enskip\enskip \text{ et }\enskip \enskip \enskip \begin{array}{cccc} \varphi : & F & \to & G \\ & f & \mapsto & A_f=\lbrace x\in E /f(x)=1\rbrace \\ \end{array}$

$\chi_A$ est appelée la fonction indicatrice de $A$ .

On vérifie aisément que pour tout $A,B\in G$ : (vérification laissée en exercice)

$\chi_{A\backslash B}=\chi_{A}-\chi_{A}\chi_{B}$
$\chi_{A\cap B}=\chi_A \chi_B$
$\chi_{A\cup B}= \chi_A+\chi_B-\chi_A\chi_B$

On déduit :

$\begin{matrix}\chi_{A\Delta B}&=&\chi_{A\cup B}-\chi_{A\cup B}\chi_{A\cap B}\\& = &\chi_{A}+\chi_{B}-2\chi{A}\chi_{B}\end{matrix}$

On définit alors dans $F$ la loi $\ast$ définie par : $\forall f,g\in F\text{ : } f\ast g= f+g-2fg$

On a alors : $\chi_{A\Delta B}=\chi_A \ast \chi_B$ , ce qui peut s'écrire :

$\begin{cases} \forall A,B\in G\text{ : } \psi(A\Delta B)=\psi (A)\ast \psi (B) \\ \forall f,g\in F\text{ : } \varphi(f\ast g)=\varphi(f)\Delta \varphi(g)\end{cases}$

Or, on a:

$\ast$ est clairement commutative .

$\ast$ est associative , en effet , pour $f,g,h\in F$ :
$(f\ast g)\ast h = (f+g-2fg)\ast h=(f+g-2fg)+h-2(f+g-2fg)h = f+g+h-2(fg+gh+hf)+4fgh$ Cette expression est symétrique en $f,g,h$ donc elle est aussi égale à $(g\ast h)\ast f = f\ast(g\ast h)$

La fonction nulle est de façon évidente élément neutre .

Et pour $f\in F$ , on a $f\ast f=2(f-f^2)=0$ (car $f$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ )

On en tire que $(F,\ast)$ est un groupe commutatif .
Et donc , par transport de structure , $(G,\Delta)$ est aussi un groupe commutatif .

Les bijections $\psi\text{ et }\varphi$ sont des isomorphismes réciproques entre ces deux groupes .

Définition : Noyau et image

Soient $G$ et $G'$ deux groupes et $f : G\to G'$ un morphisme de groupes .

1. On appelle noyau de $f$ l'ensemble noté $\text{Ker }f$ tel que :

$\text{Ker }f \enskip=\enskip\lbrace x\in G \text{ / } f(x)= e_{G^{'}} \rbrace \enskip=\enskip f^{-1}\left(\lbrace e_{G^{'}}\rbrace \right)$

2. On appelle image de $f$ l'ensemble noté $\text{Im }f$ tel que :
$\text{Im } f\enskip=\enskip f(G)\enskip=\enskip\lbrace f(x)\text{ / } x\in G\rbrace$

Proposition

Avec les notations ci-dessus , $\text{Ker }f \text{ et }\text{Im } f$ sont respectivement des sous-groupes de $G$ et de $G'$

Preuve :
Notons $\perp$ la loi de $G$ et $\ast$ la loi de $G'$ .

On a $f(e_G)=e_{G'}$ , donc $e_G\in\text{ Ker }f$

Pour $x,y\in\text{ Ker }f \text{ : }f(x\perp y)=f(x)\ast f(y)=e_{G'}\ast e_{G'}=e_{G'}$ , donc $x\perp y\in \text{ Ker }f$

De même : $f(x^{-1})=f(x)^{-1}=e_{G'}^{-1}=e_{G'} \text{ , donc }x^{-1}\in \text{ Ker }f$

Pour $x',y'\in\text{ Im }f$ , on peut écrire : $x'=f(x) \text{ , } y'=f(y) \text{ avec }x,y\in G$ .

Alors $x'\st y'=f(x)\ast f(y)=f(x\perp y)\in \text{ Im }f \enskip\text{ et }\enskip x'^{-1}=f(x)^{-1}=f(x^{-1})\in\text{ Im }f$ .

Proposition

Soient $G$ et $G'$ deux groupes et $f : G\to G'$ un morphisme de groupes . Alors :

$f\text{ injective }\iff \text{ Ker }f=\lbrace e_G\rbrace$

Preuve :
On adopte ici la notation multiplicative des lois de $G$ et $G'$ .
$\boxed{\Rightarrow}$ : évident , comme $f$ est injective , $e_G$ est le seul antécédent de $e_{G'}$ par $f$ .

$\boxed{\Leftarrow}$ : Soient $x,y\in G$ et supposons $f(x)=f(y)$ . Alors :

$f(x^{-1}y)=f(x^{-1})f(y)=f(x)^{-1}f(y)=e_{G'}$ , c'est-à-dire que $x^{-1}y \in\text{ Ker }f$ .

Par hypothèse , $x^{-1}y=e_{G}$ , et donc $x=y$ .

Remarque :

On a aussi $f\text{ surjective }\iff \texT{Im }f=G'$ , mais ceci est valable pour n'importe quelle application de $G$ dans $G'$ .

Exemple :

Considérons $f:(\R,+)\to (\C^{*},\times ) \text{ ; } \theta\mapsto \text{e}^{i\theta}$ .

On a : $\text{ Ker }f = 2\pi\Z =\lbrace 2k\pi \text{/ } k\in\Z\rbrace \text{ et }\text{ Im }f=\U$

II- Structure d'Anneau

1- Définitions

Définitions

On appelle anneau et on note $(A,+,\times)$ tout ensemble $A$ muni de deux lois notées $+$ et $\times$ vérifiant les propriétés suivantes :

$(A,+)$ est un groupe commutatif . Son élément neutre est appelé élément nul de $A$ et noté $0_A$ .

La loi $\times$ est associative et possède un élément neutre, appelé élément unité de $A$ et noté $1_A$ .

La loi $\times$ est distributive par rapport à la loi $+$ .

De plus , si $\times$ est commutative , on dit que l'anneau $A$ est commutatif .

Remarques :
L'ensemble $A=\lbrace 0 \rbrace$ , muni des lois $+$ et $\times$ est un anneau commutatif , appelé anneau nul , et $0_A=1_A=0$ .
Dans un anneau non nul , on a nécessairement $0_A\neq 1_A$ .
Pour un anneau, l'adjectif commutatif est relatif à la loi de multiplication , on rappelle qu'on note la multiplication $\times \text{ , . ou encore sans signe }$ .
De la définition, on déduit les propriétés élémentaires suivantes :
$\forall x\in A\text{ : }x. 0_A =0_A. x = 0_A\enskip \text{et }\enskip \forall x,y\in A \text{ : }(-x)y=x(-y)=-xy$

Comme $(A,+)$ est un groupe , on dispose dans $A$ de la règle de simplification pour l'addition. Le cas de la multiplication est plus délicat et conduit à la définition suivante :

Définition

On dit que l'anneau $A$ est intègre si et seulement si il est non nul et :

$\forall x,y\in A\enskip : \enskip xy=0\Rightarrow (x=0\text{ ou }y=0)$

Dans un anneau intègre , on a une règle de simplification pour la multiplication :
$\forall x,y\in A \enskip : \enskip \begin{cases} (ax=ay\text{ et }a\neq 0 )\Rightarrow x=y \\ (xa=ya\text{ et }a\neq 0 )\Rightarrow x=y\end{cases}$

Exemples :

a. $(\Z,+,\times) , (\Q,+,\times), (\R,+,\times)\text{ et } (\C,+,\times)$ sont des anneaux commutatifs intègres .

b. L'ensemble $A=\mathscr{F}(\R,\R)$ des fonctions de $\R$ dans $\R$ muni des lois d'addition et de multiplication point par point est un anneau commutatif, l'élément unité et l'élément nul sont respectivement les fonctions constantes $1$ et $0$ .
Il n'est pas intègre, en effet , si on prend par exemple :
$f:x\mapsto\begin{cases} 0&\text{ si } x\in ]-\infty,0[ \\1 &\text{ si }x\in [0,+\infty[ \end{cases}\enskip \enskip \text{ et }\enskip \enskip g:x\mapsto\begin{cases} 1&\text{ si } x\in ]-\infty,0[ \\0 &\text{ si }x\in [0,+\infty[ \end{cases}$
On a $f\neq 0_A , g\neq 0_A \text{ et }fg=0_A$

2- Calculs dans un anneau

Soit $(A,+,\times)$ un anneau . On a alors les règles de calcul suivantes :

a. $\forall x\in A \enskip : \enskip 0_A\cdot x=x\cdot 0_A=0_A\enskip \text{ (on dit que }0_A \text{ est absorbant pour } \times)$

b. $\forall x\in A \enskip : \enskip (-1_{A})\cdot x=x\cdot (-1_{A})=-x$

c. $\forall (x,y)\in A^{2} \enskip : \enskip (-x)y = x(-y)=-xy \enskip \text{ et }\enskip (-x)(-y) = xy$

d. $\forall (x,y,z)\in A^{3} \enskip : \enskip (x-y)z = xz-yz \enskip \text{ et }\enskip z(x-y) = zx-zy$

e. $\forall n\in\mathbb{N}^{*} \text{ , } \forall a\in A \enskip : \enskip (1-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}\right)(1-a)=1-a^{n}$

f. $\forall p\in\mathbb{N} \text{ , } \forall a\in A \enskip : \enskip (1+a)\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}\right)(1+a)=1+a^{2p+1}$

g. $\forall a\in A \text{ , } \forall n\in\mathbb{N}^{*} \text{ , } \forall(x_{1},......,x_{n})\in A^{n} \enskip : \enskip \displaystyle\sum_{i=1}^{n} ax_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}$

h. $\forall n,p\in\mathbb{N}^{*} \text{ , } \forall(x_{1},.....,x_{n})\in A^{n} \text{ , } \forall (y_{1},......,y_{p})\in A^{p} \enskip : \enskip\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} x_{i}y_{j}\right)=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}\right)=$ $\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} y_{1}\right)$

Formules

Soient $(A,+,\times)$ un anneau et $(x,y)\in A^{2}$ tel que $xy=yx$ . On a :

$\forall n\in\N\text{ : }(x+y)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n\choose k} x^{k}y^{n-k}\enskip\enskip\text{ (Formule du binôme)}$

$\forall n\in\N^{*}\text{ : }x^n-y^n=(x-y)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k$

Remarque :

Il faut bien faire attention à ce que $x$ et $y$ commutent , sinon ces formules sont fausses .

En effet , pour $n=2$ : $(x+y)^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2 \neq x^2+2xy+y^2 \text{ si }xy\neq yx$ .

3- Sous-anneaux et morphismes d'anneaux

Définition

Soient $A$ un anneau . On appelle sous-anneau de $A$ toute partie $B\subset A$ vérifiant les propriétés suivantes :

$B$ est un sous-groupe de $(A,+)$ .

$\forall x,y\in B\enskip : \enskip xy\in B \enskip\enskip\text{ (On dit que }B\text{ est stable par produit )}$

$1_{A}\in B$

Proposition

Si $B$ est un sous-anneau de $A$ , alors $B$ muni des restrictions des lois de $A$ est un anneau .

Proposition

Soit $I$ l'ensemble des indices et soit $(B_i)_{i\in I}$ une famille de sous-anneaux de l'anneau $A$ . Alors $\displaystyle\bigcap_{i\in I} B_i$ est un sous-anneau de $A$ .

Remarque :

Pour un anneau $A$ , il peut exister une partie $B\subset A$ qui , munie des restrictions des lois de $A$ , est un anneau , mais qui n'a pas le même élément unité que $A$ , une telle partie $B$ n'est pas un sous-anneau de $A$ .

Contre-exemple : $A=\mathscr{F}(\R,\R)$ muni des lois point par point , considérons pour $a\in\R$ les fonctions $f_a : x\mapsto\begin{cases} 0 &\text{ si }x\in ]0,+\infty[ \\a&\text{ si } x\geq 0\end{cases}$
et posons $B=\lbrace f_a \text{ / }a\in\R\rbrace$ , on peut vérifier que $B$ , muni des mêmes lois que $A$ , est un anneau , et que l'élément unité de $B$ est la fonction $f_1\neq 1_{A}$

Exemples :
a. $(\Z ,+,\times)$ est un sous-anneau de $(\Q,+,\times)$ , qui lui-même est sous-anneau de $(\R,+,\times)$ , qui est lui-même un sous-anneau de $(\C,+,\times)$ .

b. Pour un entier $a\geq 2$ , l'ensemble $a\Z$ est un sous-groupe de $(\Z,+)$ et il est stable par produit , mais $1 \notin a\Z$ . $a\Z$ n'est donc pas un sous-anneau de $\Z$ .

Définition

Soient $A,A'$ deux anneaux , on appelle morphisme d'anneaux de $A$ dans $A'$ toute application $f : A\to A'$ vérifiant :

$\begin{matrix}&\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\bullet\enskip\forall x,y\in A\enskip :& \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip f(x+y)=f(x)+f(y) &\\ &\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\bullet \enskip\forall x,y\in A\enskip :& \enskip\enskip\enskip \enskipf(xy)=f(x)f(y)&\\ &\bullet\enskip \enskip \enskip \enskip\enskip & f(1_{A}) = 1_{A'} &\end{matrix}$
On appelle endomorphisme d'anneau $A$ tout morphisme de $A$ dans lui-même .
On appelle isomorphisme de $A$ dans $A'$ tout morphisme bijectif de $A$ dans $A'$ . On dit que $A$ et $A'$ sont isomorphes s'il existe un tel isomorphisme .
On appelle automorphisme d'un anneau $A$ est un endomorphisme bijectif de l'anneau $A$ .

Un morphisme d'anneau $f:A\to A'$ est donc en particulier un morphisme du groupe $(A,+)$ dans le groupe $(A',+)$ . Il en résulte : $f(0_A)=0_{A'} \enskip\text{ et }\enskipf(-x)=-f(x)$

Exemples :

a. La conjugaison $z\mapsto\bar{z}$ est un isomorphisme de l'anneau $(\C,+,\times)$ .

b. Soit $E$ un ensemble et $G = \mathscr{P}(E)$ , on avait vu dans un exemple dans le paragraphe I-2 que $(G,\Delta)$ est un groupe commutatif .
On reprend toutes les notations de cet exemple .
On se propose de montrer que $(G,\Delta,\cap)$ est un anneau commutatif .
On sait que l'intersection est associative , commutative et que $E$ est l'élément neutre . Il reste à prouver que $\cap$ est distributive par rapport à $\Delta$ .
Pour cela , on observe que pour $A,B\in G \text{ : }\chi_{A\cap B }=\chi_A \chi_B$ .
On montre alors que dans $F$ , la loi $.$ de produit point par point est distributive par rapport à $\ast$ . On écrit le calcul suivant , pour $f,g,h\in F$ :

$f. (g\ast h)=f(g+h-2gh)=fg+fh-2fgh \enskip \enskip \text{ et } \enskip \enskip (f.g)\ast (f.h)=fg+fh-2f^2gh$

Or , comme $f$ est à valeurs dans $\lbrace 0,1\rbrace$ , on a $f^2=f$ et on en déduit le résultat .
La bijection $\varphi$ "transporte" alors la distributivité dans $G$ .
On conclut que $(G,\Delta,\cap) \text{ et } (F,\ast , .)$ sont deux anneaux isomorphes .

III- Structure de corps

1- Définition et exemples

Définition

On appelle corps tout ensemble $\K$ muni de deux lois notées $+\text{ et }\times$ vérifiant les propriétés suivantes :

$(\K,+,\times)$ est un anneau non nul .

Tout élément non nul de $\K$ est inversible pour $\times$ dans $\K$ .

On se restreindra aux corps commutatifs, dans lesquels les deux lois sont commutatives . Pour un corps $\K$ , on note $\K^{*} =\K\backslash\lbrace 0\rbrace$ . Il est immédiat que $(\K^{*},\times)$ est un groupe , on l'appelle le groupe multiplicatif du corps $\K$ .

Remarque :
Si $(\K,+,\times )$ est un corps , c'est en particulier un anneau intègre , on dispose alors de la règle de simplification dans le groupe multiplicatif $(\K^{*},\times)$ .

Exemples :

a. $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sont des corps.

b. Un corps étant non nul , il contient au moins deux éléments ( $0_{\K} \text{ et }1_{\K}$ ) . Il existe un corps , noté $\F_2$ , contenant exactement $2$ éléments . Il s'agit de l'ensemble $\lbrace 0,1\rbrace$ muni des deux lois définies par les tables suivantes :

$+$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

$\times$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$

2- Sous-corps et morphismes de corps

Définition

Soit $\K$ un corps . On appelle sous-corps de $\K$ toute partie $F\subset \K$ vérifiant les propriétés suivantes :

$F$ est un sous-anneaux de $\K$ .

$\forall x\in F\backslash\lbrace 0\rbrace \enskip :\enskip x^{-1}\in F$

De façon équivalente , on peut dire que $F$ est un sous-corps de $\K$ si et seulement si $(F,+)$ est un sous-groupe de $(\K,+)$ et $(F\backslash\lbrace 0\rbrace,\times)$ est un sous-groupe de $(\K^{*},\times)$ .

Exemple :
$(\Q ,+,\times)$ est un sous-corps de $(\R,+,\times)$ , qui lui-même est sous-corps de $(\C,+,\times)$ .

Définition

Soit $f : \K\to \K'$ un morphisme d'anneaux .
Si $\K$ et $\K'$ sont deux corps , $f$ prend le nom de morphisme de corps.

Même chose dans le cas où $f$ est un endomorphisme , un isomorphisme ou un automorphisme d'anneaux .

On dit que deux corps $\K$ et $\K'$ sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de corps de $\K$ dans $\K'$ .

Exemple :
L'application identitée et la conjugaison dans $\mathbb{C}$ sont des automorphismes de $\mathbb{C}$ .

Proposition

Soient $\K$ et $\K'$ deux corps et $f : \K\to \K'$ un morphisme de corps . Alors :

$f$ est injectif .

$\forall x\in\K^{*}\enskip : \enskip f(x^{-1})=f(x)^{-1}$

Preuve :
Soit $x\in\K^{*}$ . On a : $1_{\K'}=f(1_{\K})=f(xx^{-1})=f(x)f(x)^{-1}$

En particulier , $f(x)\neq 0$ , donc $f$ est injective .

Exemple :

On munit $\R^{2}$ de l'addition et de la multiplication $\otimes$ définies par :

$\forall (x,y),(x',y')\in\R^{2}\enskip :\enskip \begin{cases} (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') \\ (x,y)\otimes (x',y') = (xx'-yy',xy'+x'y)\end{cases}$

Montrons que $(\R^2,+,\otimes)$ est un corps isomorphe à $(\C,+,\times)$ .

On sait déjà que $(\R^2,+)$ est un groupe commutatif .

La loi $\otimes$ est trivialement commutatif .

Montrons que $\otimes$ est associative , soient $(x,y),(x',y'),(x'',y'')\in\R^{2}$ :

$\begin{matrix}[(x,y)\otimes (x',y')]\otimes (x'',y'') &=&(xx'-yy',xy'+x'y)\otimes (x'',y'') \\&=& (xx'x''-y'y''x-y''yx'-yy'x'' , x'x''y+x''xy'+xx'y''-yy'y'')\end{matrix}$

Et l'expression est invariante par permutation circulaire de $(x,y),(x',y'),(x'',y'')$ , donc $\otimes$ est associative .

Montrons que $\otimes$ est distributive par rapport à $+$ , soient $(x,y),(x',y'),(x'',y'')\in\R^{2}$ :

$\begin{matrix}(x,y)\otimes[ (x',y')+ (x'',y'')] &=&(x,y)\otimes (x'+x'',y'+y'') \\&=& (xx'+xx''-yy'-yy'', yx'+yx'' +xy'+xy'')\\&=& (xx'-yy',xy'+x'y)+(xx''-yy'',xy''+x''y)\\&=& (x,y)\otimes(x',y')+(x,y)\otimes (x'',y'')\end{matrix}$

On vérifgie que $(1,0)$ est élément neutre pour $\otimes$ .

Pour $(x,y)\in\R^{2}\backslash\lbrace (0,0)\rbrace$ , cherchons un inverse $(x',y')$ pour $\otimes$ . Ceci conduit à résoudre le système $\begin{cases} xx'-yy'=1\\yx'+xy'=0\end{cases}$ , on trouve bien une solution unique : $(x',y')=\left(\dfrac{x}{x^2+y^2},-\dfrac{y}{x^2,y^2}\right)$ .

Enfin , il est évident qu'on définit un isomorphisme $f$ de $\R^2$ dans $\C$ en posant : $f:(x,y)\mapsto x+iy$ .

Publié par malou/Panter le 29-03-2022

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