Fiche de mathématiques

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Les nombres réels

Cours prérequis:

Ensemble et application
Algèbre générale (Notamment les parties I et II)

On suppose aussi connus les propriétés de l'ensemble $\N$ des entiers naturels, de l'ensemble $\Z$ des entiers relatifs et de l'ensemble $\Q$ des nombres rationnels.

I- Introduction: L'insuffisance de l'ensemble des nombres rationnels

Les mathématiciens grecs de l'école Pythagoricienne (VIe siècle av. J.C.) ont longtemps été persuadé qu'il est toujours possible de mesurer toute longueur à l'aide de quotients d'entiers qu'on appelle de nos jours nombres rationnels, et ceci jusqu'à ce qu'ils se sont rendu compte de leur insuffisance en découvrant que la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 ne peut être un nombre rationnel.

En voici une démonstration:

Notons $x$ cette longueur.

D'après le théorème de Pythagore: $x^2=2$
Raisonnons par l'absurde en supposant l'existence de deux entiers naturels non nuls $m\text{ et }n$ tels que $x=\dfrac{m}{n}$ .
Quitte à diviser autant de fois qu'il est nécessaire par $2$ , on peut supposer que $m \text{ ou }n$ impair.
On a $x^2=2\iff \left(\dfrac{m}{n}\right)^2=2$
On obtient $m^2=2n^2$ , ce qui prouve que $m^2$ (et par suite $m$ ) est pair.
Il existe donc un entier naturel $m'$ vérifiant $m=2m'$ , et par suite, $n^2=2m'^2$ .
Ce qui prouve que $n$ est pair et contredit l'hypothèse.

Si l'on imagine une droite idéalisée avec un point marqué origine $O$ et un autre marqué $I$ donnant l'unité de mesure, et si l'on souhaite appeler nombre la mesure algébrique entre l'origine $O$ et n'importe quel point de cette droite (la mesure algébrique est la longueur affectée d'un signe, positif si le point se trouve à droite de l'origine $O$ , et négatif s'il se trouve à gauche de $O$ ). Alors le report de toutes les mesures rationnelles laisse des trous ou des lacunes, la longueur de la fameuse diagonale d'un carré de côté 1 en est un exemple, pour ne citer qu'un.

Il est alors souhaitable de construire une extension de l'ensemble $\Q$ pour combler ces lacunes qu'on appelle nombres irrationels, cette extension est ce qu'on appelle l'ensemble des nombres réels qu'on note $\R$ . La construction de cet ensemble ne sera pas traîtée ici et son existence sera admise.

II- Généralités: Le corps des réels

1- Opérations et relation d'ordre

On admet l'existence de l'ensemble des nombres réels ayant la propriété fondamentale suivante:

Propriété fondamentale 1

L'ensemble $\R$ , muni de deux lois de composition interne $+\text{ et }\times$ et d'une relation d'ordre total $\leq$ qui prolongent celles définies sur $\Q$ est un corps totalement ordonnée dont $\Q$ est un sous-corps.

On rappelle la compabilité de la relation d'ordre total $\leq$ avec les lois $+\text{ et }\times$ qui s'exprime par les propriétés suivantes:

$\boxed{\begin{matrix} \forall x,y,z\in\R\text{ : } &x\leq y \Longrightarrow x+z\leq y+z \\\\ \forall x,y,z\in\R\text{ : }& (x\leq y \text{ et }0\leq z )\Longrightarrow xz\leq yz \end{matrix}}$

On en déduit les règles classiques suivantes sur la manipulation d'inégalités:

$\boxed{\begin{matrix} \forall x,y,x',y'\in\R\text{ : } &\begin{cases}x\leq y \\x'\leq y' \end{cases} \Longrightarrow x+x'\leq y+y' \\\\ \forall x,y,x',y'\in\R\text{ : } &\begin{cases}0\leq x\leq y \\0\leq x'\leq y' \end{cases} \Longrightarrow xx'\leq yy' \\\\ \forall x,y\in\R\text{ : } & x\leq y \Longrightarrow -y\leq -x \\\\ \forall x,y\in\R\text{ : } & 0<x\leq y \Longrightarrow 0<\dfrac 1y\leq \dfrac 1x \end{matrix}}$

Les propriétés ci-dessus restent vraies si on remplace les inégalités larges $\leq$ par des ingalités strictes $<$ .

Attention: L'inégalité stricte n'est pas une relation d'ordre, en effet, elle n'est pas réflexive.

Proposition: Formule du binôme de Newton

Soient $x\text{ et }y$ deux réels et $n$ un entier naturel. On a:

$(x+y)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k } x^ky^{n-k} \enskip\enskip\text{ où }\enskip {n\choose k }=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Preuve:
Soient $x,y\in\R$ . Pour démontrer la formule du binôme de Newton, nous allons procéder par récurrence sur $n.$
Initialisation: Pour $n=0\text{ : }$ $(x+y)^0=1 \text{ et } \displaystyle {0\choose 0}x^0y^0=1$
Hérédité: Supposons pour un certain $n\in\N\text{ , on a: }(x+y)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k } x^ky^{n-k}$ . Montrons alors que dans cas, on a aussi $(x+y)^{n+1}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} {n\choose k } x^ky^{n+1-k}$
On a:
$\begin{matrix} (x+y)^{n+1}&=& (x+y)(x+y)^n \\ &=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k } x^ky^{n-k}\\&=& x\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k } x^ky^{n-k}+y\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k } x^ky^{n-k}\\&=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k } x^{k+1}y^{n-k}+\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k } x^ky^{n+1-k}\end{matrix}$
Faisons le changement variable $i=k+1$ , puis renommons $i$ par $k\text{ :}$
$\begin{matrix} (x+y)^{n+1}&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} {n\choose k-1 } x^{k}y^{n-k+1}+\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k } x^ky^{n-k+1}\\&=& \displaystyle {n\choose n } x^{n+1}y^0 +\sum_{k=1}^{n} {n\choose k-1 } x^{k}y^{n-k+1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {n\choose k } x^ky^{n-k+1}+ {n\choose 0 } x^0y^{n+1} \\&=& \displaystyle {n+1\choose n+1 } x^{n+1}y^0 +\sum_{k=1}^{n} \left[{n\choose k-1 }+ {n\choose k }\right] x^ky^{n-k+1}+ {n+1\choose 0 } x^0y^{n+1} \\&=& \displaystyle {n+1\choose n+1 } x^{n+1}y^0 +\sum_{k=1}^{n} {n+1\choose k } x^ky^{n-k+1}+ {n+1\choose 0 } x^0y^{n+1} \\ &=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} {n\choose k } x^ky^{n+1-k} \\ \text{ Ce qu'il fallait démontrer } \end{matrix}$
En effet, on a:
$\displaystyle {n\choose n}={n+1\choose n+1 }=1 \enskip\enskip , \enskip \enskip {n\choose 0 }={n+1\choose 0 }=1 \enskip\enskip\text{ et la relation de Pascal } \enskip \enskip {n\choose k-1 }+ {n\choose k }={n+1\choose k }$

Remarque:
La commutativité de la somme dans le corps $\R$ implique que l'on a également: $(x+y)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k } x^{n-k}y^{k}$

Proposition

Soient $x\text{ et }y$ deux réels et $n$ un entier naturel. On a:

$x^n-y^n=(x-y)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1}y^k$

Preuve:
Soient $x,y\in\R$ et $n\in\N$ . La formule se démontre aisément par le calcul suivant:
$\begin{matrix}(x-y)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k-1}y^k&=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}y^k-\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}x^{n-k-1}y^{k+1}\\ &=&\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}y^k-\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x^{n-i}y^{i}\\&=& x^n-y^n\end{matrix}$
Les termes des deux sommes s'annulant deux à deux à l'exception des termes correspondant à $k=0$ et $i=n$ .

Proposition: Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Pour tous $(x_1,\cdots, x_n)\in\R^n \text{ et }(y_1,\cdots,y_n)\in \R^n$ , on a:

$\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \leq \displaystyle\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2 \right)$

Preuve:
Soit $n\in\N^*$ et soient $(x_1,\cdots, x_n)\in\R^n \text{ et }(y_1,\cdots,y_n)\in \R^n$
Considérons l'application définie sur $\R$ par $\varphi\text{ : }\lambda \mapsto \displaystyle \sum_{i=1}^n (\lambda x_i+y_i)^2$
Pour tout réel $\lambda\text{ , } \varphi(\lambda)$ est positif car il s'agit d'une somme de carrés. De plus:
$\varphi(\lambda)=\displaystyle \sum_{i=1}^n (\lambda x_i+y_i)^2 = \displaystyle \sum_{i=1}^n \left(\lambda^2 x_i^2+2\lambda x_iy_i+y_i^2\right)=\lambda^2 \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2+2\lambda \displaystyle \sum_{i=1}^nx_iy_i+ \displaystyle \sum_{i=1}^ny_i^2$
En posant $a= \displaystyle \sum_{i=1}^nx_i^2 \text{ , } b= \displaystyle \sum_{i=1}^nx_iy_i \text{ et }c= \displaystyle \sum_{i=1}^ny_i^2$ , on obtient $\varphi(\lambda)=a\lambda^2+2b\lambda+c$
Distinguons deux cas:

$\text{ Si }a=0\text{ : Alors pour tout }i\in \lbrace 1;\cdots; n\rbrace\text{ , } x_i=0$ , et l'inégalité de Cauchy-Schwarz qui s'écrit dans ce cas trivialement $0\leq 0$ , est donc vraie.
$\text{ Si }a\neq 0 \text{ : }\enskip$ Etant donné que la fonction la fonction polynomiale du second degré $\varphi$ est positive sur $\R$ .
Alors l'équation $a\lmbda^2 + 2b\lambda + c = 0$ ne peut avoir qu'une racine double ou deux racines complexes (mais il ne peut y avoir deux racines réelles distinctes, sans quoi $\varphi$ serait négative sur un intervalle de longueur non nulle).
On a par conséquent un discriminant négatif pour le trinôme $\varphi\text{ : }\Delta=4b^2-4ac\leq 0$
Cette propriété se traduit par:
$\begin{matrix} b^2-ac\leq 0 &\iff& \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 - \displaystyle\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2 \right)\leq 0 \\&\iff& \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \leq \displaystyle\left(\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2 \right)\end{matrix}$

2- Valeur absolue

Définition

1) Pour tout réel $x$ , on appelle valeur absolue de $x$ et on note $|x|$ le plus grand des deux réels $x$ et $-x$ .

2) Pour tous réels $x\text{ et }y$ , on appelle distance entre $x\text{ et }y$ et on note $d(x;y)$ , le réel $|x-y|$ .

La notion de valeur absolue est fondamentale dans tous les domaines de l'analyse réelle.

Exemples:

$|4|=|-4|=4$

$|0|=0$

Proposition: Propriétés de la valeur absolue

1) $\forall x\in\R\text{ ; }|x|\geq 0 \text{ . De plus : } |x|=0\Longrightarrow x=0$

2) $\forall x,y\in\R\text{ ; }|xy|=|x|\enskip |y|$

3) $\forall x,y\in\R\text{ ; }|x+y|\leq |x|+ |y|\enskip\enskip \text{ (L'inégalité triangulaire) }$

Preuve:
La démonstration de 1) et 2) est laissée en exercice.
Démontrons l'inégalité triangulaire 3) :
Soient $x,y\in\R\text{ : }$
L'astuce pour démontrer cette inégalité triangulaire est de considérer $|x+y|^2$ plutôt que $|x+y|$ , et utiliser le fait que $|x|^2=x^2$ pour tout réel $x\text{ :}$
On a:
$|x+y|^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=|x|^2+2xy+|y|^2$
Et comme $xy\leq |xy|=|x||y|$ , alors:
$|x+y|^2=|x|^2+2xy+|y|^2\leq |x|^2+2|x||y|+|y|^2=(|x|+|y|)^2$
Finalement, par croissance de la fonction carré, nous obtenons l'inégalité triangulaire: $|x+y|\leq |x|+|y|$ .

Remarque :
L'égalité se produit si et seulement si $xy=|xy|$ . Donc si et seulement si $x\text{ et }y$ sont de même signe.

Corollaire: Propriétés de la distance

1) $\forall x,y\in\R\text{ ; }d(x;y)\geq 0 \text{ . De plus : } d(x;y)=0\Longrightarrow x=y$

2) $\forall x,y\in\R\text{ ; }d(x,y)=d(y,x)$

3) $\forall x,y,z\in\R\text{ ; }d(x,z)\leq d(x,y)+d(y;z)\enskip\enskip \text{ (L'inégalité triangulaire) }$

Méthode: Manipulation des valeurs absolues dans les problèmes d'encadrement

Lorsqu'il s'agit de majorer une valeur absolue, l'outil essentiel est l'inégalité triangulaire. On peut aussi se débarasser de la valeur absolue en se ramenant à une double inégalité; on a en effet:

$\text{ Pour tout réel }x\text{ et pour tout réel }M\geq 0 \text{ : }$ $\boxed{|x|\leq M \iff -M\leq x\leq M }$
Cette double inégalité vient de:

Soient $x$ un réel et $M$ un réel positif, distinguons deux cas:

$\bullet \enskip x\geq 0 \text{ , alors } |x|=x \text{ et }-x\leq x\text{ , donc: }$
$|x|\leq M \iff -x \leq x\leq M \iff (x\leq M \text{ et }-x\leq M ) \iff (x\leq M \text{ et }x\geq - M) \iff -M\leq x\leq M$

$\bullet \enskip x\leq 0 \text{ , alors } |x|=-x \text{ et }x\leq -x\text{ , donc: }$
$|x|\leq M \iff x \leq -x\leq M \iff (x\leq M \text{ et }-x\leq M ) \iff (x\leq M \text{ et }x\geq - M) \iff -M\leq x\leq M$

Les problèmes où il s'agit de minorer une valeur absolue sont moins fréquents, mais en général plus délicats. Pour éliminer la valeur absolue on est ici ramené à vérifier l'une ou l'autre de deux inégalités, on a en effet:

$\text{ Pour tout réel }x\text{ et pour tout réel }M\geq 0 \text{ : }$ $\boxed{|x|\geq M \iff \left( x\leq -M\text{ ou } x\geq M \right)}$

Finalement, on peut aussi utiliser l'inégalité suivante, parfois nommée la deuxième inégalité triangulaire:

Proposition

$\forall x,y\in\R\text{ : } |x-y|\geq ||x|-|y||$

Preuve:
Cette inégalité vient de: $\forall x,y\in \R\text{ : }\begin{cases} |x|=|y+(x-y)|\leq |y|+|x-y| \\ |y|=|x+(y-x)|\leq |x|+|x-y|\end{cases}$

Remarque: On peut aussi réecrire cette inégalité sous la forme:

$\boxed{\forall x,y\in\R\text{ : } d(x,y)\geq d(|x|,|y|)}$

III- Propriété de la borne supérieure

1-Rappels

Définiton

Soit $A$ une partie de $\R$ et soit $a \in A$ .

On dit que $a$ est le plus grand élément de $A$ si et seulement si $\text{ : }\enskip\enskip\forall x\in A\text{ : }x\leq a$
Quand il existe, le plus grand élément de $A$ est unique et se note $\max(A)$

On dit que $a$ est le plus petit élément de $A$ si et seulement si $\text{ : }\enskip\enskip\forall x\in A\text{ : }x\geq a$
Quand il existe, le plus grand élément de $A$ est unique et se note $\min(A)$

L'unicité du plus grand élément (respectivement, plus petit élément) vient du fait que si $a \text{ et }b$ sont deux tels élément, on a: $a\leq b \text{ et }b\leq a$ , donc $a=b=\max(A)$ (respectivement, $a=b=\min(A)$ )

Exemples:
Les ensembles $\N\text{ , }\Z\text{ , }\Q\text{ et }\R$ n'admettent pas de plus grand élément, parmi eux, seul $\N$ possède un plus petit élément $\min(\N)=0$
Pour tout réel $x\text{ : }|x|=\max\left\lbrace -x;x\right\rbrace$

Définition

Soit $A$ une partie de $\R$ , un élément $a\in\R$ est:

Un majorant de $A \text{ si : }\enskip\enskip \forall x\in A\text{ , }x\leq a$

Un minorant de $A \text{ si : }\enskip\enskip \forall x\in A\text{ , }x\geq a$

Remarque:
Un majorant ou un minorant d'une partie n'appartient pas nécessairement à cette partie.

Exemple:
$-1$ est un minorant de $\N$ .

Définition

Une partie de $\R$ est dite majorée si elle admet un majorant.

Une partie de $\R$ est dite minorée si elle admet un minorant.

Une partie de $\R$ est dite bornée si elle à la fois majorée et minorée.

Exemple:
Soit $A=\left\lbrace n\in\Z\text{ , }n^2+1\leq 100\right\rbrace$
Alors l'ensemble des majorants de $A$ est l'intervalle $[9;+\infty[$ et $\max A=9$ .
L'ensemble des minorants de $A$ est l'intervalle $]-\infty;-9]$ et $\min A=-9$ .
Ainsi, $A$ est une partie de $\R$ bornée .

2- Borne supérieure - borne inférieure

Définition

Soit $A$ une partie de $\R$

La borne supérieure de $A$ , si elle existe, est le plus petit des majorants de $A$ . Elle se note $\sup(A)$

La borne inférieure de $A$ , si elle existe, est le plus grand des minorants de $A$ . Elle se note $\inf(A)$

Remarques:
Ne pas confondre borne supérieure ( respectivement borne inférieure) d'une partie avec le plus grand élément (respectivement le plus petit élément) de celle-ci. La borne supérieure (respectivement la borne inférieure) est le plus petit des majorants (respectivement le plus grand des minorants) de cette partie , ce n'est pas forcément un élément de cette partie.
Toutefois, si $\max A$ existe, alors $\sup A =\max A$ . De même , si $\min A$ existe, alors $\inf A =\min A$ .

Les bornes supérieure et inférieure quand elles existent sont uniques.

Nous admettons que le corps des nombres réels possède la propriété dite de la borne supérieure et de la borne inférieure.

Propriété fondamentale 2

Propriété de la borne supérieure: Toute partie non vide majorée de $\R$ possède une borne supérieure.

Propriété de la borne inférieure: Toute partie non vide minorée de $\R$ possède une borne inférieure.

Ces propriétés sont caractéristiques de $\R$ , elles ne sont pas vraies dans $\Q$ et permettent de produire des nombres irrationnels, elles sont à la base de nombreuses constantes usuelles, l'existence de "racines n-èmes" en est un exemple, qu'on présentera au paragraphe suivant.

On présente la caractérisation des bornes supérieure et inférieure:

Proposition

Caractérisation de la borne supérieure: Soit $A$ une partie non vide majorée de $\R$ .

La borne supérieure $\sup(A)$ est caractérisée par $\text{ : }\enskip\enskip \boxed{\begin{cases} \forall x\in A\text{ : }x\leq \sup (A) \\ \forall \epsilon >0 \text{ , }\exists x\in A \text{ : }\sup(A)-\epsilon<x\end{cases}}$

Caractérisation de la borne inférieure: Soit $A$ une partie non vide minorée de $\R$ .

La borne inférieure $\inf(A)$ est caractérisée par $\text{ : }\enskip\enskip \boxed{\begin{cases} \forall x\in A\text{ : }x\geq \inf (A) \\ \forall \epsilon >0 \text{ , }\exists x\in A \text{ : }\inf(A)+\epsilon>x\end{cases}}$

La proposition $(\forall x\in A \text{ , } x\leq \sup(A) )$ exprime que $\sup (A)$ est un majorant de $A$ .
Tandis que la proposition $(\forall \epsilon >0 \text{ , }\exists x\in A \text{ : }\sup(A)-\epsilon<x )$ exprime que tout nombre strictement plus petit que $\sup(A)$ n'est pas un majorant de $A$ , donc tout majorant de $A$ est supérieur ou égal à $\sup (A)$ .

La proposition $(\forall x\in A \text{ , } x\geq \inf (A) )$ exprime que $\inf (A)$ est un minorant de $A$ .
Tandis que la proposition $(\forall \epsilon >0 \text{ , }\exists x\in A \text{ : }\inf(A)+\epsilon>x )$ exprime que tout nombre strictement plus grand que $\inf(A)$ n'est pas un minorant de $A$ , donc tout minorant de $A$ doit être inférieur ou égal à $\inf (A)$ .

Exemple:
Soit $A=\left\lbrace \dfrac{2n-1}{1-3n} \text{ / }n\in\N^* \right\rbrace$ . Montrons que $\inf A =-\dfrac{2}{3}\text{ :}$
On a, pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }$
$\dfrac{2n-1}{1-3n}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{6n-3+2-6n}{2(1-3n)} =\dfrac{1}{2(3n-1)} \geq 0$
Ainsi: $\forall n\in\N^*\text{ : }\dfrac{2n-1}{1-3n}\geq -\dfrac{2}{3}\enskip\enskip (i)$
Soit $\epsilon >0$ , trouvons un $n_0\in \N^*$ qui vérifie: $-\dfrac{2}{3}+\epsilon > \dfrac{2n_0-1}{1-3n_0}$
Cette inégalité est équivalente à $\epsilon >\dfrac{1}{2(3n_0-1)}$ , soit $n_0>\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2\epsilon}+1\right)$
Alors, si on prend $n_0=E\left(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2\epsilon}+1\right)\right)+1$ , cette inégalité est vérifiée.
$\forall \epsilon >0 \text{ , }\exists n_0 =E\left(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2\epsilon}+1\right)\right)+1 \in \N^* \text{ : } -\dfrac{2}{3}+\epsilon > \dfrac{2n_0-1}{1-3n_0}\enskip\enskip (ii)$
De $(i)\text{ et }(ii) \text{ : }\inf A =-\dfrac{2}{3}$
(On a ici utilisé la notion de la partie entière d'un réel qui sera traitée dans l'un des paragraphes suivants)

Proposition

Soit $x$ un réel.

$\left(\forall \epsilon>0\text{ : }|x|\leq \epsilon \right)\Longrightarrow x= 0$

Cette proposition est utile et sert à montrer qu'un réel est nul en montrant que sa valeur absolue est plus petite que n'importe quel réel strictement positif.

Preuve:
Raisonnons par l'absurde en supposant que : $\left(\forall \epsilon>0\text{ : }|x|\leq \epsilon \right)\text{ et } x\neq 0$
Puisque $x$ est non nul; le réel $\eta=\dfrac{|x|}{2}$ et strictement positif et vérifie $|x|>\eta$ .
Cela contredit l'hypothèse $\left(\forall \epsilon>0\text{ : }|x|\leq \epsilon \right)$ .
Ce qui est absurde, et l'assertion énoncée dans la proposition est donc vraie.

3- Les racines n-ièmes

Théorème: Existence de racines n-ièmes

Soit $a$ un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul différent de $1$ .

Il existe un unique réel $b$ positif tel que $b^n=a$

Preuve:

Unicité:
Supposons qu'il existe deux réels positifs $b_1$ et $b_2$ tels que $b_1^n = a\text{ et }b_2^n = a$ .
On a alors $b_1^n = b_2^n$ ou encore $b_1^n-b_2^n=0$ . Il s'ensuit que $(b_1-b_2)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} b_1^{n-k-1}b_2^k=0$
Ce produit est nul si et seulement si $b_1-b_2=0$ ou si, pour tout $k\in \left\lbrace 1;\cdots, n\right\rbrace\text{ : } b_1^{n-k-1}b_2^k=0$ , en effet, puisque $b_1 \geq 0$ et $b_2 \geq 0$ la somme est une somme de termes positifs, elle est nulle si et seulement si chacun des termes de cette somme est nul.
Dans le premier cas, cela implique que $b_1 = b_2$ .
Dans le deuxième cas cela implique que $b_1 = b_2 = 0$ (relation obtenue en considérant les valeurs $k = 0$ et $k = n - 1$ ).
On en déduit que s'il existe, le réel $b$ vérifiant $b^n = a$ est unique.

Existence:
Établissons à présent l'existence du réel $b$ ; distinguons deux cas:

$\bullet \text{ Cas où }a \in[1, +\infty[$ .
Considérons l'ensemble $A=\left\lbrace x\in\R_+^* \text{ / }x^n\leq a \right\rbrace$
$A$ est non vide car $1\in A$ .
De plus, $A$ est majoré par $a$ , en effet, $\forall x\in A\text{ : }\begin{cases} \text{ Si }x\geq 1 \text{ , alors }x\leq x^n\leq a \\ \text{ Si }0 <x<1 \text{ , alors }x\leq a \text{ car }\geq 1 \end{cases}$
L'ensemble $A$ admet donc une borne supérieure qu'on note $b$ qui vérifie la caractérisation suivante:

$\begin{matrix} (i) & \forall x\in A\text{ , }x\leq b \\ (ii) & \forall \epsilon>0\text{ , }\exists x\in A \text{ , }b-\epsilon <x \end{matrix}$
On note que $b$ est nécessairement strictement positif d'après $(i)$
Trois cas sont envisageables: ou bien $b^n<a\text{ , }$ ou bien $b^n>a \text{ , }$ ou bien $b^n=a$ .
Étudions ces cas en raisonnant par l'absurde.

$\rhd\text{ Supposons que }b^n<a\text{ , }$ et considérons un réel $\rho \in ]0;1[$ . On a:
$\begin{matrix} (b+\rho)^n-b^n &=& \displaystyle \sum_{k=0}^n{n\choose k} b^k\rho^{n-k} - b^n \\&=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k }b^k \rho^{n-k } \\&\leq & \rho \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} {n\choose k }b^k \enskip \enskip (\text{car }\rho \in ]0;1[ \Longrightarrow \forall i\in\N^*\enskip \rho^i\leq \rho ) \\&<& \rho\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k }b^k \\&=& \rho(1+b)^n \end{matrix}$
On en déduit que si l'on choisit $\rho\in]0;1[$ tel que $\rho<\dfrac{a-b^n}{(1+b)^n}$ , alors $(b+\rho)^n-b^n<a-b^n \iff (b+\rho)^n<a$
Ce qui est absurde car on aurait un réel $b+\rho$ qui serait un élément de $A$ mais plus grand que sa borne supérieure, ceci est en contradiction avec la condition $(i)$ . Ce cas $b^n<a$ est donc impossible .

$\rhd\text{ Supposons à présent que }b^n>a\text{ , pour tout }x\in A\text{ : } 0<x^n\leq a<b^n$
Donc $\left(\dfrac x b \right)^n<1 \Rightarrow 0<\dfrac{x}{b}<1$ et aussi $0<x<b\Rightarrow (\forall k\in\N^x\text{ : }0<x^k<b^k)$
On peut donc écrire:
$\begin{matrix} b^n-a\leq b^n-x^n&=&(b-x)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} b^k x^{n-k-1}\\&\leq & (b-x)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} b^k b^{n-k-1}\\&=&(b-x)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} b^{n-1}\\&\leq &(b-x)nb^{n-1}\end{matrix}$
Il s'ensuit alors que: $\forall x\in A\text{ , }b-x\geq \dfrac{b^n-a}{nb^{n-1}}$ .
Ce qui est en contradiction avec $(ii)$ car il existerait $\epsilon= \dfrac{b^n-a}{nb^{n-1}}$ , tel que pour tout $x$ appartenant à $A \text{ , on aurait }b-\epsilon\geq x$
Le cas $b^n>a$ est donc impossible lui aussi.

$\rhd$ Le seul cas possible est le cas où $b^n = a$ et nous en déduisons l'existence d'une racine n-ième de $a$ pour tout $a \in [1;+\infty[$ qui est la borne supérieure de l'ensemble $A =\left\lbrace x\in\R_+^* \text{ / }x^n\leq a \right\rbrace$

$\bullet\text{ Considérons le cas où }a \in]0;1[ \text{ pour achever la démonstration}$
Posons $\alpha = \dfrac 1a$ ; on a $\alpha \in ]1;+\infty[$ et d'après la partie précédente de la démonstration, on peut affirmer qu'il existe un unique réel $\beta\in\R^*_{+}$ tel que $\beta^n =\alpha$ .
Or: $\beta^n=\alpha \iff \beta^n=\dfrac{1}{a} \iff a= \left(\dfrac{1}{\beta}\right)^n$
On en déduit donc qu'il existe un unique réel $b \in\R^*_{+}$ tel que $b^n = a$ , ce réel étant $\dfrac{1}{\beta}$ .

Définition: Racine n-ième d'un réel strictement positif

Soit $a\in\R_+^*$ et soit $n\in \N^*\backslash\lbrace 1\rbrace$ .
On appelle racine n-ième de $a$ l'unique réel $b$ vérifiant $b^n=a$ . Ce réel est noté $\sqrt[n]{a}$ ou $a^{1/n}$

Remarque:
Si $n=2$ , on se retrouve avec la racine carrée de $a$ , et on écrit $a^{1/2}$ , ou $\sqrt{a}$ à la place de $\sqrt[2]{a}$ .

Proposition: Inégalité de Minkowski

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Pour tous $(x_1,\cdots, x_n)\in\R^n \text{ et }(y_1,\cdots,y_n)\in \R^n$ , on a:

$\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2} \leq \displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 }+\sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 }$

Preuve:
Soit $n\in\N^*$ et soient $(x_1,\cdots, x_n)\in\R^n \text{ et }(y_1,\cdots,y_n)\in \R^n$
Démontrer l'inégalité de Minkowski revient à démontrer l'inégalité $\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2 \leq \left(\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 }+\sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 }\right)^2$
On a $\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2 =\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(x_i^2+2x_iy_i+y_i^2\right)=\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2+2\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i+\displaystyle \sum_{i=1}^n y_i^2$

Et d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz: $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i \leq \displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 }\sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 }$
Par conséquent:
$\begin{matrix} \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2 &=&\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2+2\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i+\displaystyle \sum_{i=1}^n y_i^2 \\&\leq & \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2+2\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 }\sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 }+\displaystyle \sum_{i=1}^n y_i^2 \\&=& \left(\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 }+\sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 }\right)^2\end{matrix}$
Ce qui conclut la démonstration de l'inégalité de Minkowski.

IV- Partie entière et valeurs approchées d'un réel

1- Partie entière d'un réel

Propriété fondamentale 3

$\red\R$ est archimédien , ce qui signifie que:

$\forall x\in \R_+^*\text{ ; }\forall y\in\R\text{ ; }\exists n\in\N^*\text{ : }nx> y$

Preuve:
Par absurde, supposons que, pour $x\in\R_+^* \text{ et }y\in\R\text{ : }\forall n\in\N^*\text{ : }nx\leq y$
L'ensemble $A=\left\lbrace nx/n\in\N^*\right\rbrace$ est alors une partie de $\R$ non vide et majorée (par $y$ ), elle possède donc une borne supérieure qu'on note $a$ .
Or, $\forall n\in\N^*\text{ , }n+1\in\N^*$ , alors $(n+1)x\in A$ , il s'ensuit alors que $(n+1)x\leq a$ , et donc: $\forall n\in\N^*\text{ : }nx\leq a-x$
Ce qui signiferait que $a-x$ est un majorant de $A$ strictement inférieure à sa borne supérieure $a$ , ce qui est impossible, vu que la borne supérieure d'un ensemble est le plus petit ses majorants.
Ce qu'il fallait démontrer.

Exemple:

Exercice

Est-ce-que l'ensemble des rationnels $\Q$ possède lui aussi la propriété d'Archimède?

Solution:

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Corollaire

Soient $x\text{ et }y$ deux réels avec $x>1$ , il existe $n\in\N^*$ tel que $x^n> y$

Preuve:
Comme $x>1$ , on pose $h=x-1>0$ .
D'après la propriété d'archimède: $\exists n\in\N^* \text{ , }nh>y$ et donc $1+nh>y$
Or, on a l'inégalité suivante dite l'inégalité de Bernouilli :
$\forall n\in\N\text{ ; }\forall h\in\R_+^{*}\enskip \text{ : }\enskip (1+h)^n\geq 1+nh$ La démonstration de cette inégalité se fait tout simplement par récurrence, on la laisse à titre d'exercice.
D'où $x^n=(1+h)^n\geq 1+nh$ et on obtient finalement $x^n>y$

Proposition

Étant donnés $x\in\R$ et $a\in\R_+^*$ ; il existe un unique entier relatif $n$ tel que:

$na\leq x<(n+1)a$

Preuve:

Unicité: Soient $x\in\R$ et $a\in\R_+^*$
Supposons qu'il existe $n;n'\in\Z$ tels que $\begin{cases} na\leq x< (n+1)a \\n'a\leq x<(n'+1)a \end{cases}$
On a donc $n\leq \dfrac{x}{a}<n'+1\Rightarrow n<n'+1$ , ce qui donne $n-n'<1$ , d'où $n-n'\leq 0$ .
Et $n'\leq \dfrac{x}{a}<n+1\Rightarrow n'<n+1$ , ce qui donne $n'-n<1$ , d'où $n'-n\leq 0$ .
On conclut alors que $n'-n=0\iff n=n'$

Existence: $\R$ est archimédien, on peut alors trouver : $\begin{cases}n_1\in\N \text{ tel que }x\leq a n_1 \\ n_2\in\N \text{ tel que }-x\leq a n_2 \end{cases}$
L'ensemble $A=\left\lbrace k\in\Z \text{ / } ka\leq x \right\rbrace$ est une partie non vide de $\Z$ car $-n_2\in A$ , et elle est majorée par $n_1$ .
$A$ contient donc un plus grand élément qu'on note $n$ vérifiant $na\leq x$ .
$n$ étant le plus grand élément de $A$ , l'entier relatif $n+1\notin A$ , et donc $x<(n+1)a$
Ce qui prouve que l'entier relatif $n$ convient.

Définition: La partie entière d'un réel

Soit $x$ un réel.
L'unique entier relatif $n\in\Z$ vérifiant $n\leq x<n+1$ s'appelle la partie entière de $x$ et se note $E(x)\text{ ; }[x]$ ou encore $\left\lfloor x\right\rfloor$

On écrit: $\boxed{\forall x\in\R\text{ : }E(x)\leq x<E(x)+1}$
Exemple:

$E(\pi)=3\text{ ; }E(-\pi)=-4\text{ ; }E(3)=3\text{ ; }E(-4)=-4$

Proposition

On a les propriétés suivantes:

1) $\forall x\in\R\text{ : }x-1<E(x)\leq x$

2) $\forall x\in\R\text{ : }E(x)=x\iff x\in\Z$

3) $\forall x\in\R\text{ , }\forall n\in\Z \text{ : }E(x+n)=E(x)+n$

4) $\forall x\in\R\backslash\Z \text{ : }E(-x)=-E(x)-1$

Preuve:
La démonstration de ces propositions est facile et découle directement de la définition de la partie entière, nous allons toutefois démontrer la proposition 4)

4) Soit $x\in\R\backslash\Z\text{ , on a: }E(x)\leq x<E(x)+1$ , donc $-E(x)-1<-x\leq -E(x)$ .
Et comme $x\notin\Z$ , alors $x\neq E(x)$ , ou encore $-x\neq -E(x)$ .
Il s'ensuit alors que $-E(x)-1<-x<-E(x)$ , et en sachant que l'inégalité stricte implique l'inégalité large, on obtient: $-E(x)-1\leq-x<-E(x)$
D'où, $(-E(x)-1)\leq-x<(-E(x)-1)+1$ .
Finalement, en sachant que $(-E(x)-1)\in\Z$ , on déduit d'après la définition de la partie entière que : $E(-x)=-E(x)-1$

2) Densité d'une partie

Définition

On dit qu'un sous-ensemble $A$ de $\R$ est dense dans $\R$ si et seulement si:

$\forall (x;y)\in\R^2 \enskip\enskip \left(x<y \enskip \Longrightarrow\enskip \exists a\in A \text{ : }x<a<y\right)$

Remarque:
Dire que $A$ est une partie dense dans $\R$ signifie qu'entre deux réels distincts il y a toujours (au moins) un élément de $A$ .

Exemple:
L'ensemble des entiers relatifs $\Z$ n'est pas dense dans $\R$ , pour $x=\sqrt{2} \text{ et }y=\sqrt{3}$ , on a pour tout $k\in\Z\text{ : }k\leq \sqrt{2} \text{ ou }k\geq \sqrt{3}$

Proposition

L'ensemble $\Q$ des nombres rationnels est dense dans l'ensemble des réels $\R$

Preuve:
Il s'agit de montrer que pour tous $x;y\in\R$ tels que $x<y$ , il existe au moins un nombre rationnel $r\in\Q$ tel que $x<r<y$
Soient $x;y\in\R$ tels que $x<y$ , et prenons $q=E\left(\dfrac{1}{y-x}\right)+1\geq 1$ puis $p=E(qx)$ .
On a alors: $\dfrac{1}{q} < y-x \enskip\enskip \text{ et }\enskip\enskip \dfrac pq \leq x<\dfrac{p+1}q$
On obtient: $x<\red \dfrac{p+1}{q} \black = \dfrac{p}{q}+\dfrac{1}{q} \leq x+\dfrac{1}{q} <x+(y-x)=y$
Ce qui prouve qu'il existe un rationnel $\red r=\dfrac{p+1}{q}\black\in\Q$ vérifie $x<r<y$

Exercice

En sachant que $\Q$ est dense dans $\R$ , montrer que $\R\backslash\Q$ est lui aussi dense dans $\R$

Solution:

Cliquez pour afficher

Résultat: On déduit de ce qui précède que $\R$ est dense dans lui-même.

3) Valeurs approchées d'un réel

Définition

Soient $a\in\R$ et $\epsilon\in\R_+^*$ .

On appelle valeur approchée de $a$ à la précision $\epsilon$ tout réel $\alpha$ tel que $|a-\alpha|\leq\epsilon$ .
Si, de plus, $\alpha\leq a$ (respectivement $\alpha\geq a$ ) , on dit que $\alpha$ est la valeur approchée de $a$ par défaut (respectivement par excès).

Exemples:

$5$ est la valeur approchée de $6$ à l'unité par défaut. ("à l'unité" est synonyme "à la précision 1")

$\dfrac{16}{5}$ est la valeur approchée de $\pi$ au dixième par excès. ("au dixième" veut dire "à la précision $\dfrac{1}{10}$ ")

Proposition

Soit $a\in\R$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on note $a_n=\dfrac{E(10^n a)}{10^n}\enskip\text{ et }\enskip a_n^{'}=\dfrac{E(10^n a)+1}{10^n}$
Alors $a_n$ (respectivement $a_n^'$ ) est valeur approchée de $a$ par défaut (respectivement par excès) à la précision $10^{-n}$ .

Preuve:
Soit $n$ un entier naturel.
Par définition de la partie entière: $a_n\leq a<a_n^'$ . De plus $a_n^{'}-a_n=\dfrac{1}{10^n}$
Le résultat en découle

Développement décimal illimité propre d'un réel:
Supposons ici que $a$ un réel positif, et soient $n \in\N^* \text{ et } a_n$ la valeur approchée de $a$ par défaut à la précision $10^{-n}$
Notons $c_n=E(10^n a)-10E(10^{n-1}a)\in\Z$
On a les inégalités suivantes:
$\begin{matrix}10^na-1<E(10^n a)\leq 10^n a\\-10^n a\leq -10E(10^{n-1}a)<-10^n a+10\end{matrix}$
Il s'ensuit alors que $-1<c_n<10$ , et comme $c_n$ est un entier, alors $c_{n}\in \left\lbrace 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\rbrace$
D'autre part: $\dfrac{c_n}{10^n}=a_n-a_{n-1}$
Et donc, par une récurrence immédiate, il vient: $a_n=E(a)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{c_k}{10^k}$
Il en résulte que l'on peut écrire $a_n$ de la façon suivante: $a_n=E(a)\text{ , } c_1c_2\cdots c_n$
Finalement, $E(a)$ étant un entier, on peut l'écrire en utilisant les chiffres, qu'on note $c_{-N}\dots c_{-2} c_{-1}$ donc, on peut écrire:
$E(a)=c_{-N}\dots c_{-1}c_0$
On en déduit l'écriture décimale de $a_n$ qui est:
$a_n=c_{-N}\dots c_{-1}c_0\text{ , }c_1c_2\dots c_n$
De plus: $\text{La suite }(c_k)_{k\geq -N} \text{ est appelée développement décimal illimité propre de }a$

Exemple:
Soit $a=\dfrac{1}{3}$ , calculons $a_n$ , la valeur approchée de $a$ par défaut à la précision $10^{-n}$ , ceci quelque soit $n\in\N$ .
On a: $E\left(\dfrac{10^n}{3}\right)=E\left(\dfrac{999\cdots 9}{3}+\dfrac{1}{3}\right)=\underbrace{333\cdots 3}_{n\text{fois }}$
Et donc:
$a_n=\dfrac{1}{10^n}E\left(\dfrac{10^n}{3}\right)=0,333\cdots 3 \text{ (n chiffres après la virgule) }$
Et le développement décimal illimité de $a=\dfrac{1}{3}$ est la suite constante ne comportant que le chiffre $3$ .

V-Intervalles de l'ensemble des réels - Droite numérique achevée

1-Intervalles

On rappelle la terminologie concernant les intervalles de $\R$ . Ils se répartissent en les huit types suivants, où $a\text{ et }b$ désignent des réels:

1) $[a;b]=\left\lbrace x\in\R \text{ / }a\leq x\leq b\right\rbrace$
2) $[a;b[=\left\lbrace x\in\R \text{ / }a\leq x< b\right\rbrace$
3) $]a;b]=\left\lbrace x\in\R \text{ / }a< x\leq b\right\rbrace$
4) $]a;b[=\left\lbrace x\in\R \text{ / }a< x< b\right\rbrace$
5) $[a;+\infty[=\left\lbrace x\in\R \text{ / }a\leq x\right\rbrace$
6) $]a;+\infty[=\left\lbrace x\in\R \text{ / }a< x\right\rbrace$
7) $]-\infty;a]=\left\lbrace x\in\R \text{ / }a\geq x\right\rbrace$
8) $]-\infty;a[=\left\lbrace x\in\R \text{ / }a> x\right\rbrace$
Les intervalles des types 1) , 2) , 3) et 4) sont dits bornés.
Les intervalles des types 1) , 5) et 7) sont dits fermés.
Les intervalles des types 4) , 6) et 8) sont dits ouverts.
Les intervalles des types 2) et 3) sont dits semi-fermés ou encore semi-ouverts.
Les intervalles à la fois fermés et bornés, c'est-à-dire, de type 1) , sont appelés segments .

Remarques:
Un intervalle peut être vide, c'est le cas par exemple des intervalles bornés de type 1) , 2) , 3) et 4) lorsque $a>b$ .
Un intervalle peut aussi être réduit à un point, c'est le cas des segments de type 1) lorsque $a=b$ .
L'ensemble des réels $\R$ peut être vu comme intervalle non borné, qu'on note $\R=]-\infty;+\infty[$ , il est à la fois fermé et ouvert. (voir les chapitres de topologie pour l'étude complète de ces notions)

Théorème: Caractérisation des intervalles

Soit $I$ une partie non vide de $\R$ . Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes:

(i) $I$ est un intervalle de $\R$

(ii) $\forall u;v\in I \text{ avec }u<v \text{ , on a } [u;v]\subset I$

Preuve:
(i) $\Longrightarrow$ (ii) : Immédiate en distinguant les différents types d'intervalles présentés ci-dessus.

(ii) $\Longrightarrow$ (i)
$\bullet$ Supposons d'abord que $I$ est borné, puisque $I\neq \emptyset$ , on peut poser $a=\inf I \text{ et }b=\sup I \enskip (\text{ On a nécessairement }a\leq b)$
Démontrons que $I$ est un intervalle borné de $\R$ , pour cela, prouvons que $]a;b[\subset I\subset [a;b] \text{ : }$
On a , $\forall x\in I\text{ , }x\geq a \text{ et }x\leq b\text{ , donc }\boxed{I\subset [a;b]}\enskip (I)$
Prenons $a<b$ et supposons que $x\in ]a;b[$ .
_{(Le cas est trivial et donne directement le résultat, car on a dans ce cas : )}
On a donc $x>a \text{ , d'où }x-a>0$ . Et $x<b \text{ , d'où }b-x>0$
$\R$ étant dense dans lui-même, il existe deux réels $\epsilon_1\text{ et }\epsilon_2 \text{ tels que }\begin{cases}x-a>\epsilon_1>0 \\ b-x>\epsilon_2>0\end{cases}$
D'autre part, comme $a=\inf I$ , il existe $u\in I \text{ / }a+\epsilon_1>u$ , on en tire que $u-a<\epsilon_1 <x-a$ , et donc $u<x$
De même, $b=\sup I$ , il existe donc $v\in I \text{ / }b-\epsilon_2<v$ , il s'ensuit que $b-v<\epsilon_2 <b-x$ , et donc $x<v$
On obtient alors: $x\in \underbrace{[u,v]\subset I }_{\text{ d'après l'hypothèse }}$ .
Et donc $\boxed{]a;b[\subset I}\enskip (II)$

$(I)\text{ et }(II)\text{ : }$ $]a;b[\subset I\subset [a;b]$
CQFD

$\bullet$ On démontre l'implication (ii) $\Longrightarrow$ (i) de la même manière dans le cas où $I$ est minoré et non majoré, et dans le cas où $I$ est non minoré et majoré.
Le cas où $I$ n'est ni minoré ni majoré est le cas $I=\R$

2- La droite numérique achevée

Définition:

On appelle droite numérique achevée et on note $\overline{\R}$ l'ensemble obtenu en adjoignant à $\R$ deux nouveaux éléments notés $-\infty \text{ et }+\infty$
$\overline{\R}=\R\cup\lbrace-\infty;+\infty\rbrace$
On définit sur $\overline{\R}$ une relation d'ordre total qui prolonge celle de $\R$ en faisant la convention suivante:

$\forall x\in\R\text{ : }-\infty<x<+\infty$

On étend également les opérations usuelles de $\R$ à $\overline{\R}$ , tout en préservant leurs propriétés usuelles, en faisant les conventions suivantes:

$\forall x\in\R \text{ : }(+\infty)+x=+\infty \enskip\text{ et }(-\infty)+x=-\infty$
$\forall x\in\R^* \text{ : }(+\infty)\times x =\begin{cases} +\infty \text{ si }x>0 \\ -\infty \text{ si }x<0 \end{cases} \text{ et }(-\infty)\times x =\begin{cases} -\infty \text{ si }x>0 \\ +\infty \text{ si }x<0 \end{cases}$
$(+\infty)+(+\infty)=+\infty \text{ et } (-\infty)+(-\infty)=-\infty$
$(+\infty)\times(+\infty)=+\infty \text{ ; } (-\infty)\times(-\infty)=+\infty\text{ et }(-\infty)\times(+\infty)=-\infty$

En revanche, sous peine d'aboutir à des incohérences, il est impossible de donner une définition de:

$0\times (+\infty) \text{ , }0\times (-\infty) \text{ et }(+\infty)+(-\infty)$

Cet ensemble ne fait pas l'objet d'une étude en soi, mais dans certaines situations, il sera utile de s'y référer pour disposer d'une terminologie pratique.

Publié par malou/Panter le 24-05-2024

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