Ensemble et application
Algèbre générale (Notamment les parties I et II)
On suppose aussi connus les propriétés de l'ensemble des entiers naturels, de l'ensemble des entiers relatifs et de l'ensemble des nombres rationnels.
I- Introduction: L'insuffisance de l'ensemble des nombres rationnels
Les mathématiciens grecs de l'école Pythagoricienne (VIe siècle av. J.C.) ont longtemps été persuadé qu'il est toujours possible de mesurer toute longueur à l'aide de quotients d'entiers qu'on appelle de nos jours nombres rationnels, et ceci jusqu'à ce qu'ils se sont rendu compte de leur insuffisance en découvrant que la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 ne peut être un nombre rationnel.
En voici une démonstration:
Notons cette longueur.
D'après le théorème de Pythagore:
Raisonnons par l'absurde en supposant l'existence de deux entiers naturels non nuls tels que .
Quitte à diviser autant de fois qu'il est nécessaire par , on peut supposer que impair.
On a
On obtient , ce qui prouve que (et par suite ) est pair.
Il existe donc un entier naturel vérifiant , et par suite, .
Ce qui prouve que est pair et contredit l'hypothèse.
Si l'on imagine une droite idéalisée avec un point marqué origine et un autre marqué donnant l'unité de mesure, et si l'on souhaite appeler nombre la mesure algébrique entre l'origine et n'importe quel point de cette droite (la mesure algébrique est la longueur affectée d'un signe, positif si le point se trouve à droite de l'origine , et négatif s'il se trouve à gauche de ). Alors le report de toutes les mesures rationnelles laisse des trous ou des lacunes, la longueur de la fameuse diagonale d'un carré de côté 1 en est un exemple, pour ne citer qu'un.
Il est alors souhaitable de construire une extension de l'ensemble pour combler ces lacunes qu'on appelle nombres irrationels, cette extension est ce qu'on appelle l'ensemble des nombres réels qu'on note . La construction de cet ensemble ne sera pas traîtée ici et son existence sera admise.
II- Généralités: Le corps des réels
1- Opérations et relation d'ordre
On admet l'existence de l'ensemble des nombres réels ayant la propriété fondamentale suivante:
Propriété fondamentale 1
L'ensemble , muni de deux lois de composition interne et d'une relation d'ordre total qui prolongent celles définies sur est un corps totalement ordonnée dont est un sous-corps.
On rappelle la compabilité de la relation d'ordre total avec les lois qui s'exprime par les propriétés suivantes:
On en déduit les règles classiques suivantes sur la manipulation d'inégalités:
Les propriétés ci-dessus restent vraies si on remplace les inégalités larges par des ingalités strictes .
Attention: L'inégalité stricte n'est pas une relation d'ordre, en effet, elle n'est pas réflexive.
Proposition: Formule du binôme de Newton
Soient deux réels et un entier naturel. On a:
Preuve: Soient . Pour démontrer la formule du binôme de Newton, nous allons procéder par récurrence sur
Initialisation: Pour
Hérédité: Supposons pour un certain . Montrons alors que dans cas, on a aussi
On a:
Faisons le changement variable , puis renommons par
En effet, on a:
Remarque: La commutativité de la somme dans le corps implique que l'on a également:
Proposition
Soient deux réels et un entier naturel. On a:
Preuve: Soient et . La formule se démontre aisément par le calcul suivant:
Les termes des deux sommes s'annulant deux à deux à l'exception des termes correspondant à et .
Proposition: Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit un entier naturel non nul.
Pour tous , on a:
Preuve: Soit et soient
Considérons l'application définie sur par
Pour tout réel est positif car il s'agit d'une somme de carrés. De plus:
En posant , on obtient
Distinguons deux cas:
, et l'inégalité de Cauchy-Schwarz qui s'écrit dans ce cas trivialement , est donc vraie.
Etant donné que la fonction la fonction polynomiale du second degré est positive sur .
Alors l'équation ne peut avoir qu'une racine double ou deux racines complexes (mais il ne peut y avoir deux racines réelles distinctes, sans quoi serait négative sur un intervalle de longueur non nulle).
On a par conséquent un discriminant négatif pour le trinôme
Cette propriété se traduit par:
2- Valeur absolue
Définition
1) Pour tout réel , on appelle valeur absolue de et on note le plus grand des deux réels et .
2) Pour tous réels , on appelle distance entre et on note , le réel .
La notion de valeur absolue est fondamentale dans tous les domaines de l'analyse réelle.
Exemples:
Proposition: Propriétés de la valeur absolue
1)
2)
3)
Preuve: La démonstration de 1) et 2) est laissée en exercice.
Démontrons l'inégalité triangulaire 3) :
Soient
L'astuce pour démontrer cette inégalité triangulaire est de considérer plutôt que , et utiliser le fait que pour tout réel
On a:
Et comme , alors:
Finalement, par croissance de la fonction carré, nous obtenons l'inégalité triangulaire: .
Remarque : L'égalité se produit si et seulement si . Donc si et seulement si sont de même signe.
Corollaire: Propriétés de la distance
1)
2)
3)
Méthode: Manipulation des valeurs absolues dans les problèmes d'encadrement
Lorsqu'il s'agit de majorer une valeur absolue, l'outil essentiel est l'inégalité triangulaire. On peut aussi se débarasser de la valeur absolue en se ramenant à une double inégalité; on a en effet:
Cette double inégalité vient de:
Soient un réel et un réel positif, distinguons deux cas:
Les problèmes où il s'agit de minorer une valeur absolue sont moins fréquents, mais en général plus délicats. Pour éliminer la valeur absolue on est ici ramené à vérifier l'une ou l'autre de deux inégalités, on a en effet:
Finalement, on peut aussi utiliser l'inégalité suivante, parfois nommée la deuxième inégalité triangulaire:
Proposition
Preuve: Cette inégalité vient de:
Remarque: On peut aussi réecrire cette inégalité sous la forme:
III- Propriété de la borne supérieure
1-Rappels
Définiton
Soit une partie de et soit .
On dit que est le plus grand élément de si et seulement si
Quand il existe, le plus grand élément de est unique et se note
On dit que est le plus petit élément de si et seulement si
Quand il existe, le plus grand élément de est unique et se note
L'unicité du plus grand élément (respectivement, plus petit élément) vient du fait que si sont deux tels élément, on a: , donc (respectivement, )
Exemples: Les ensembles n'admettent pas de plus grand élément, parmi eux, seul possède un plus petit élément
Pour tout réel
Définition
Soit une partie de , un élément est:
Un majorant de
Un minorant de
Remarque: Un majorant ou un minorant d'une partie n'appartient pas nécessairement à cette partie.
Exemple: est un minorant de .
Définition
Une partie de est dite majorée si elle admet un majorant.
Une partie de est dite minorée si elle admet un minorant.
Une partie de est dite bornée si elle à la fois majorée et minorée.
Exemple: Soit
Alors l'ensemble des majorants de est l'intervalle et .
L'ensemble des minorants de est l'intervalle et .
Ainsi, est une partie de bornée .
2- Borne supérieure - borne inférieure
Définition
Soit une partie de
La borne supérieure de , si elle existe, est le plus petit des majorants de . Elle se note
La borne inférieure de , si elle existe, est le plus grand des minorants de . Elle se note
Remarques: Ne pas confondre borne supérieure ( respectivement borne inférieure) d'une partie avec le plus grand élément (respectivement le plus petit élément) de celle-ci. La borne supérieure (respectivement la borne inférieure) est le plus petit des majorants (respectivement le plus grand des minorants) de cette partie , ce n'est pas forcément un élément de cette partie.
Toutefois, si existe, alors . De même , si existe, alors .
Les bornes supérieure et inférieure quand elles existent sont uniques.
Nous admettons que le corps des nombres réels possède la propriété dite de la borne supérieure et de la borne inférieure.
Propriété fondamentale 2
Propriété de la borne supérieure: Toute partie non vide majorée de possède une borne supérieure.
Propriété de la borne inférieure: Toute partie non vide minorée de possède une borne inférieure.
Ces propriétés sont caractéristiques de , elles ne sont pas vraies dans et permettent de produire des nombres irrationnels, elles sont à la base de nombreuses constantes usuelles, l'existence de "racines n-èmes" en est un exemple, qu'on présentera au paragraphe suivant.
On présente la caractérisation des bornes supérieure et inférieure:
Proposition
Caractérisation de la borne supérieure: Soit une partie non vide majorée de .
La borne supérieure est caractérisée par
Caractérisation de la borne inférieure: Soit une partie non vide minorée de .
La borne inférieure est caractérisée par
La proposition exprime que est un majorant de .
Tandis que la proposition exprime que tout nombre strictement plus petit que n'est pas un majorant de , donc tout majorant de est supérieur ou égal à .
La proposition exprime que est un minorant de .
Tandis que la proposition exprime que tout nombre strictement plus grand que n'est pas un minorant de , donc tout minorant de doit être inférieur ou égal à .
Exemple: Soit . Montrons que
On a, pour tout entier naturel non nul
Ainsi:
Soit , trouvons un qui vérifie:
Cette inégalité est équivalente à , soit
Alors, si on prend , cette inégalité est vérifiée.
De
(On a ici utilisé la notion de la partie entière d'un réel qui sera traitée dans l'un des paragraphes suivants)
Proposition
Soit un réel.
Cette proposition est utile et sert à montrer qu'un réel est nul en montrant que sa valeur absolue est plus petite que n'importe quel réel strictement positif.
Preuve: Raisonnons par l'absurde en supposant que :
Puisque est non nul; le réel et strictement positif et vérifie .
Cela contredit l'hypothèse .
Ce qui est absurde, et l'assertion énoncée dans la proposition est donc vraie.
3- Les racines n-ièmes
Théorème: Existence de racines n-ièmes
Soit un réel strictement positif et un entier naturel non nul différent de .
Il existe un unique réel positif tel que
Preuve:
Unicité: Supposons qu'il existe deux réels positifs et tels que .
On a alors ou encore . Il s'ensuit que
Ce produit est nul si et seulement si ou si, pour tout , en effet, puisque et la somme est une somme de termes positifs, elle est nulle si et seulement si chacun des termes de cette somme est nul.
Dans le premier cas, cela implique que .
Dans le deuxième cas cela implique que (relation obtenue en considérant les valeurs et ).
On en déduit que s'il existe, le réel vérifiant est unique.
Existence: Établissons à présent l'existence du réel ; distinguons deux cas:
.
Considérons l'ensemble
est non vide car .
De plus, est majoré par , en effet,
L'ensemble admet donc une borne supérieure qu'on note qui vérifie la caractérisation suivante:
On note que est nécessairement strictement positif d'après
Trois cas sont envisageables: ou bien ou bien ou bien .
Étudions ces cas en raisonnant par l'absurde.
et considérons un réel . On a:
On en déduit que si l'on choisit tel que , alors
Ce qui est absurde car on aurait un réel qui serait un élément de mais plus grand que sa borne supérieure, ceci est en contradiction avec la condition . Ce cas est donc impossible .
Donc et aussi
On peut donc écrire:
Il s'ensuit alors que: .
Ce qui est en contradiction avec car il existerait , tel que pour tout appartenant à
Le cas est donc impossible lui aussi.
Le seul cas possible est le cas où et nous en déduisons l'existence d'une racine n-ième de pour tout qui est la borne supérieure de l'ensemble
Posons ; on a et d'après la partie précédente de la démonstration, on peut affirmer qu'il existe un unique réel tel que .
Or:
On en déduit donc qu'il existe un unique réel tel que , ce réel étant .
Définition: Racine n-ième d'un réel strictement positif
Soit et soit .
On appelle racine n-ième de l'unique réel vérifiant . Ce réel est noté ou
Remarque: Si , on se retrouve avec la racine carrée de , et on écrit , ou à la place de .
Proposition: Inégalité de Minkowski
Soit un entier naturel non nul.
Pour tous , on a:
Preuve: Soit et soient
Démontrer l'inégalité de Minkowski revient à démontrer l'inégalité
On a
Et d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
Par conséquent:
Ce qui conclut la démonstration de l'inégalité de Minkowski.
IV- Partie entière et valeurs approchées d'un réel
1- Partie entière d'un réel
Propriété fondamentale 3
est archimédien , ce qui signifie que:
Preuve: Par absurde, supposons que, pour
L'ensemble est alors une partie de non vide et majorée (par ), elle possède donc une borne supérieure qu'on note .
Or, , alors , il s'ensuit alors que , et donc:
Ce qui signiferait que est un majorant de strictement inférieure à sa borne supérieure , ce qui est impossible, vu que la borne supérieure d'un ensemble est le plus petit ses majorants.
Ce qu'il fallait démontrer.
Exemple:
Exercice
Est-ce-que l'ensemble des rationnels possède lui aussi la propriété d'Archimède?
Solution:
Cliquez pour afficher
La réponse est Oui, est archimédien:
Soient deux rationnels tels que , on peut toujours trouver un entier naturel non nul qui vérifie: .
En effet:
Si
Si
Il suffit de prendre (en supposant de plus que pour obtenir une inégalité stricte).
Dans le cas particulier où (et donc ) , on peut prendre par exemple , en effet: Puisque , alors , il s'ensuit que . D'où:
Corollaire
Soient deux réels avec , il existe tel que
Preuve: Comme , on pose .
D'après la propriété d'archimède: et donc
Or, on a l'inégalité suivante dite l'inégalité de Bernouilli :
La démonstration de cette inégalité se fait tout simplement par récurrence, on la laisse à titre d'exercice.
D'où et on obtient finalement
Proposition
Étant donnés et ; il existe un unique entier relatif tel que:
Preuve:
Unicité: Soient et
Supposons qu'il existe tels que
On a donc , ce qui donne , d'où .
Et , ce qui donne , d'où .
On conclut alors que
Existence: est archimédien, on peut alors trouver :
L'ensemble est une partie non vide de car , et elle est majorée par .
contient donc un plus grand élément qu'on note vérifiant .
étant le plus grand élément de , l'entier relatif , et donc
Ce qui prouve que l'entier relatif convient.
Définition: La partie entière d'un réel
Soit un réel.
L'unique entier relatif vérifiant s'appelle la partie entière de et se note ou encore
On écrit:
Exemple:
Proposition
On a les propriétés suivantes:
1)
2)
3)
4)
Preuve: La démonstration de ces propositions est facile et découle directement de la définition de la partie entière, nous allons toutefois démontrer la proposition 4)
4) Soit , donc .
Et comme , alors , ou encore .
Il s'ensuit alors que , et en sachant que l'inégalité stricte implique l'inégalité large, on obtient:
D'où, .
Finalement, en sachant que , on déduit d'après la définition de la partie entière que :
2) Densité d'une partie
Définition
On dit qu'un sous-ensemble de est dense dans si et seulement si:
Remarque: Dire que est une partie dense dans signifie qu'entre deux réels distincts il y a toujours (au moins) un élément de .
Exemple: L'ensemble des entiers relatifs n'est pas dense dans , pour , on a pour tout
Proposition
L'ensemble des nombres rationnels est dense dans l'ensemble des réels
Preuve: Il s'agit de montrer que pour tous tels que , il existe au moins un nombre rationnel tel que
Soient tels que , et prenons puis .
On a alors:
On obtient:
Ce qui prouve qu'il existe un rationnel vérifie
Exercice
En sachant que est dense dans , montrer que est lui aussi dense dans
Solution:
Cliquez pour afficher
Soient .
Puisque est dense dans , alors il existe au moins
Posons , est un nombre irrationnel, car s'il était rationnel, alors serait lui aussi rationnel comme somme de deux nombres rationnels, ce qui est faux.
Ceci prouve qu'il existe au moins un nombre irrationnel qui vérifie
Et donc, l'ensemble des nombres irrationnels est dense dans
Résultat: On déduit de ce qui précède que est dense dans lui-même.
3) Valeurs approchées d'un réel
Définition
Soient et .
On appelle valeur approchée de à la précision tout réel tel que .
Si, de plus, (respectivement ) , on dit que est la valeur approchée de par défaut (respectivement par excès).
Exemples:
est la valeur approchée de à l'unité par défaut. ("à l'unité" est synonyme "à la précision 1")
est la valeur approchée de au dixième par excès. ("au dixième" veut dire "à la précision ")
Proposition
Soit .
Pour tout entier naturel , on note
Alors (respectivement ) est valeur approchée de par défaut (respectivement par excès) à la précision .
Preuve: Soit un entier naturel.
Par définition de la partie entière: . De plus
Le résultat en découle
Développement décimal illimité propre d'un réel: Supposons ici que un réel positif, et soient la valeur approchée de par défaut à la précision
Notons
On a les inégalités suivantes:
Il s'ensuit alors que , et comme est un entier, alors
D'autre part:
Et donc, par une récurrence immédiate, il vient:
Il en résulte que l'on peut écrire de la façon suivante:
Finalement, étant un entier, on peut l'écrire en utilisant les chiffres, qu'on note donc, on peut écrire:
On en déduit l'écriture décimale de qui est:
De plus:
Exemple: Soit , calculons , la valeur approchée de par défaut à la précision , ceci quelque soit .
On a:
Et donc:
Et le développement décimal illimité de est la suite constante ne comportant que le chiffre .
V-Intervalles de l'ensemble des réels - Droite numérique achevée
1-Intervalles
On rappelle la terminologie concernant les intervalles de . Ils se répartissent en les huit types suivants, où désignent des réels:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Les intervalles des types 1) , 2) , 3) et 4) sont dits bornés.
Les intervalles des types 1) , 5) et 7) sont dits fermés.
Les intervalles des types 4) , 6) et 8) sont dits ouverts.
Les intervalles des types 2) et 3) sont dits semi-fermés ou encore semi-ouverts.
Les intervalles à la fois fermés et bornés, c'est-à-dire, de type 1) , sont appelés segments .
Remarques: Un intervalle peut être vide, c'est le cas par exemple des intervalles bornés de type 1) , 2) , 3) et 4) lorsque .
Un intervalle peut aussi être réduit à un point, c'est le cas des segments de type 1) lorsque .
L'ensemble des réels peut être vu comme intervalle non borné, qu'on note , il est à la fois fermé et ouvert. (voir les chapitres de topologie pour l'étude complète de ces notions)
Théorème: Caractérisation des intervalles
Soit une partie non vide de . Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
(i) est un intervalle de
(ii)
Preuve: (i)(ii) : Immédiate en distinguant les différents types d'intervalles présentés ci-dessus.
(ii)(i) Supposons d'abord que est borné, puisque , on peut poser
Démontrons que est un intervalle borné de , pour cela, prouvons que
On a ,
Prenons et supposons que .
(Le cas est trivial et donne directement le résultat, car on a dans ce cas : ) On a donc . Et
étant dense dans lui-même, il existe deux réels
D'autre part, comme , il existe , on en tire que , et donc
De même, , il existe donc , il s'ensuit que , et donc
On obtient alors:
.
Et donc
CQFD
On démontre l'implication (ii)(i) de la même manière dans le cas où est minoré et non majoré, et dans le cas où est non minoré et majoré.
Le cas où n'est ni minoré ni majoré est le cas
2- La droite numérique achevée
Définition:
On appelle droite numérique achevée et on note l'ensemble obtenu en adjoignant à deux nouveaux éléments notés
On définit sur une relation d'ordre total qui prolonge celle de en faisant la convention suivante:
On étend également les opérations usuelles de à , tout en préservant leurs propriétés usuelles, en faisant les conventions suivantes:
En revanche, sous peine d'aboutir à des incohérences, il est impossible de donner une définition de:
Cet ensemble ne fait pas l'objet d'une étude en soi, mais dans certaines situations, il sera utile de s'y référer pour disposer d'une terminologie pratique.
Publié par malou/Panter
le
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