Fiche de mathématiques
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Espaces Compacts

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I. La propriété de Borel-Lesbegue

Définition 1
Une famille de parties (O_i)_{i\in I} d'un ensemble E est appelée recouvrement de E si E est la réunion de cette famille, c'est-à-dire si tout point de E appartient à au moins un des O_i.
On appelle recouvrement ouvert d'un espace topologique E toute famille d'ouverts de E qui est un recouvrement de E.


Remarque
On notera qu'un recouvrement de E n'est pas une partie de E, mais une famille de parties de E.

Définition 2
Un espace topologique E est dit compact s'il est séparé et si tout recouvrement ouvert de E contient un sous-recouvrement fini.

Proposition 1
Un espace topologique discret est compact si et seulement s'il est fini.

Théorème 1
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute famille de fermés non vides, qui est stable par intersection finie, possède une intersection non vide.


Une conséquence immédiate de ce théorème est le fait que qu'une famille de fermés dont l'intersection est vide, possède une sous-famille finie dont l'intersection est vide.
Théorème 2
Si E est compact et si F est un fermé de E, F est compact.

Théorème 3
Si E est séparé, et si le sous-espace X de E est compact, X est fermé dans E/

Théorème 4
Si E est un espace séparé, K_1 et K_2 deux parties compactes de E, alors K_1 \cup K_2 est compact.

Théorème 5
Soient E un espace compact et f une surjection continue de E sur un espace séparé F.
Alors F est lui-meme compact.

Corollaire 1
Un espace homéomorphe à un espace compact est lui-même compact.

Corollaire 2
Si f est bijective et continue de l'espace compact E sur l'espace séparé F, f est un homéomorphisme.


Remarque
Tout espace métrique est séparé.


II. Compacts métriques

Théorème 1 (Bolzano-Weierstrass)
Soit E un espace métrique . Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
i) E est compact.
ii) Toute suite de points de E possède dans E une valeur d'adhérence.
iii) Toute suite de points de E possède une sous-suite qui converge dans E.

Théorème 2
Si E est un espace métrique compact et (xn) une suite de points de E qui possède une seule valeur d'adhérence a, la suite (xn) converge vers a.

Définition 1
Si E est un espace métrique, on dit que E est précompact si, pour tout \epsilon > 0, il existe un recouvrement de E par un nombre fini de parties de diamètre inférieur à \epsilon.

Théorème 3
Tout espace métrique compact est précompact.




III. Produits de compacts

Théorème 1
Si E et F sont deux compacts, le produit E × F est compact.

Théorème 2
Le produit d'une famille quelconque d'espaces compacts est compact.




IV. Parties compactes

Théorème 1
L'intervalle [0, 1] de \mathbb{R} est compact.

Théorème 2
Les parties compactes de \mathbb{R} sont les parties fermées et bornées.

Théorème 3
Les parties compactes de R^n sont les parties fermées et bornées.

Théorème 4 (Riesz)
Les parties compactes d'un espace normé de dimension finie sont les parties fermées bornées.
De plus, dans un espace normé de dimension infinie, il existe des parties fermées, bornées qui ne sont pas compactes.




V. Fonctions continues sur un compact

Théorème 1
Si f est une fonction continue du compact K non vide dans \mathbb{R}, f est bornée et atteint sur K sa borne supérieure et sa borne inférieure.

Théorème de Heine
Si f est une application continue de l'espace métrique compact E dans l'espace métrique F, f est uniformément continue.

Théorème de Dini
Si (fn) est une suite croissante de fonctions continues de l'espace compact K dans R, qui converge en tout point de K vers une fonction continue f, la convergence est uniforme.




VI. Espaces localement compacts

Définition 1
Un espace topologique séparé E est dit localement compact si tout point de E possède un voisinage compact.

Proposition 1
Si K est une partie compacte de l'espace localement compact E, il existe un voisinage compact de K, c'est-à-dire un compact qui soit voisinage de chaque point de K.

Définition 2
Un espace topologique localement compact E est dit dénombrable à l'infini s'il existe une suite de parties compactes de E qui recouvre E.

Théorème 1
Si E est un espace localement compact dénombrable à l'infini, il existe une suite exhaustive de compacts de E, c'est-à-dire une suite croissante (Kn) de compacts de E telle que tout compact de E soit contenu dans l'un des Kn.

Théorème 2
Si U est un ouvert de l'espace métrique compact E, U est localement compact dénombrable à l'infini.

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