Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé (evn)
)
est un

-espace vectoriel normé (evn)
I. Les espaces :
et
Définition :
On appelle suite d'éléments de

toute application :

.
Notation et vocabulaire :
Soit

une suite d'éléments de

.
1. Si

,
)
est noté

et on l'appelle le terme d'indice

ou encore le terme général de la suite

.
2. La suite

elle-même est noté
_{n \in \mathbb{N} })
ou encore
)
s'il n'y a pas d'ambiguité.
3. L'ensemble de toutes les suites d'éléments de

est noté

.
Remarque :
On définit de manière analogue les suites de type
_{n\geq n_0})
.
L'étude suivante concerne les suites
_{n \in \mathbb{N}})
mais se généralise aisement aux suites
_{n\geq n_0})
.
Remarque :

est un

-ev pour l'addition d'applications et le produit d'une application par un scalaire.
Définition :
Soit
_{n \in \mathbb{N}} \in E^{\mathbb{N}})
,
_{n \in \mathbb{N}})
est dite
bornée ssi :
L'ensemble de telles suites est noté
)
.
Proposition :
Pour tout
_{n \in \mathbb{N}} \in \mathfrak{B}(\mathbb{N},E))
, on pose :
) = \sup_{n \in \mathbb{N}} ||U_n||)
, alors :

définit une norme sur
)
.
II. Convergence
1. Généralités
Définition :
Soit
 \in E^{\mathbb{N}})
et

.
On dit que
converge vers

(ou que
)
admet

pour limite au voisinage de

) ssi :
et on écrit :
Corollaire :
Soit
 \in E^{\mathbb{N}} \, , \, \ell \in E)
et

une norme sur

équivalente à

alors :

pour

ssi

pour

.
Théorème :
Soit
 \in E^{\mathbb{N}})
et

, si

alors

est unique.
Proposition :
Toute suite convergente d'éléments de

est bornée.
Théorème :
Soit

avec

et soit

.
On dit que

est
adhérent à

ssi il existe une suite
)
d'éléments de

tel que :

.
Corollaire :
Soit

une partie non vide de

.
Alors

est un fermé de

ssi pour toute suite
)
d'éléments de

convergente on a :

.
2. Cas d'une K-algèbre normée
Ici
)
est une

-algèbre normée.
Théorème :
Soient
)
et
)
deux suites d'éléments de

convergentes alors :
)
converge et
 = \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}U_n\right) \times \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}V_n\right))
.
3. Cas de la dimension finie
Ici

est de dimension finie

et
)
est une base de

.
Notation et vocabulaire :
- Si
est une suite d'éléments de
pour chaque
, on note
le système de coordonnées du vecteur
dans la base
.
- La suite
est complètement définie par les suites scalaires
qu'on appelle les suites composantes de
dans la base
.
Théorème :
Soit

et
)
son système de coordonnées dans la base

et soit
 \in E^{\mathbb{N}})
.
Alors

dans
)
ssi pour tout

.
Ainsi en cas de convergence :
4. Cas d'un espace produit
Soit
 \, , \, \cdots \, , \, \left(E_p \, , \, ||.||_p\right) \: \: p \: K)
-evn.
Soit

, on munit

de l'une des normes produits :

ou

.
Notation et vocabulaire :
Pour toute suite
 \in E^{\mathbb{N}})
, on pose :
 \: (n \in \mathbb{N}))
et on a :

.
)
est donc simplement déterminée par les suites
_{n \in \mathbb{N}} \in E_i^{\mathbb{N}})
qu'on appelle les suites projection de la suite
)
.
Théorème :
Soit
 \in E \, , \, (U_n) \in E^{\mathbb{N}})
.
Alors

dans
)
ssi pour tout

on a :

dans
)
.
III. Suites extraites - Valeur d'adhérence - Parties compactes
1. Rappels et généralités
Définition :
Soit
 \in E^{\mathbb{N}})
, une suite
)
d'éléments de

est dite une
suite extraite de
)
ssi il existe

strictement croissante tq :
 \: : \: V_n = U_{\psi(n)})
.
Rappel :
Si

est strictement croissante alors :
 \: : \: \psi (n) \geq n)
.
Remarque :
Soit
 \, , \, (V_n) \, , \, (W_n) \in E^{\mathbb{N}})
.
Si
)
est extraite de
)
et
)
est extraite de
)
, alors
)
est extraite de
)
.
Proposition :
Soit
 \in E^{\mathbb{N}})
, alors :
Si
)
est bornée, alors toute suite extraite de
)
est bornée .
Si
)
converge vers une limite

, alors toute suite extraite de
)
converge vers la même limite

.

La réciproque est fausse en général.
Théorème :
Soit

avec

et soit
 \in E^{\mathbb{N}})
et

.
Alors

ssi :
Définition : " Valeur d'adhérence "
Soit
 \in E^{\mathbb{N}})
et

.
On dit que

est une
valeur d'adhérence de
)
ssi il existe

strictement croissante tq :
} = a)
.
Remarques importantes :
Si
)
converge vers une limite

, alors
)
possède une seule valeur d'adhérence qui est

.
<
Si
)
diverge, elle peut avoir plusieurs valeurs d'adhérence comme elle peut n'en avoir aucune !
2. Parties compactes d'un evn
Définition
Soit

, on dit que

est un
compact de

ssi toute suite d'éléments de

admet au moins une valeur d'adhérence appartenant à

.
C'est-à-dire que de toute suite d'éléments de

on peut extraire une suite convergente de limite appartenant à

.
Théorème :
Tout compact de

est à la fois fermé et borné.

La réciproque est fausse en général.
Proposition :
Toute intersection de compacts de

est un compact de

.
Toute réunion
finie de compacts de

est un compact de

.
Théorème :
Soit
 \, , \, \cdots \, , \, (E_p , ||.||_p) \: p)
evn et

leur evn produit. Pour chaque

, soit

un compact de

.
Alors :

.
3. Théorème de "Bolzano - Weierstrass", théorème d'équivalence des normes en dimension finie et résultats
Rappel : "Théorème de Bolzano - Weierstrass réel et complexe" :
Cas réel : Toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d'adhérence.
Cas complexe : Toute suite complexe bornée admet au moins une valeur d'adhérence.
Théorème de "Bolzano - Weierstrass général" :
Soit
)
un evn de dim finie.
Toute suite bornée d'éléments de

admet au moins une valeur d'adhérence.
Théorème d'équivalence des normes en dimension finie :
Soit

un

-ev de dimension finie.
Toutes les normes sur

sont équivalentes.
Théorème :
Tout sev de dimension finie d'un evn

est un fermé de

.
Théorème :
Dans un evn de dimension finie
)
, une partie

est compact ssi elle est fermée et bornée.
IV. Suites de Cauchy - evn complets
1. Généralités
)
est un evn.
Définition :
Soit
 \in E^{\mathbb{N}})
.
On dit que
)
est de Cauchy ssi :
Remarque :
On peut aussi définir une telle suite de la facon suivante :
)
est de Cauchy ssi :
Ou encore :
)
est de Cauchy ssi :
Remarque :
Si
)
est de Cauchy, alors
 \: : \: \displaystyle \lim_{ n \longrightarrow +\infty } x_{n+p} - x_n = 0_E)
.
Proposition :
Soit
 \in E^{\mathbb{N}})
.
Alors
)
est de Cauchy ssi : il existe

et il existe une suite réelle
_{n \geq n_0})
tels que :
Théorème :
Toute suite de Cauchy est bornée.
Toute suite convergente est de Cauchy.

Les réciproques sont fausses en général .
Théorème :
Soit
 \in E^{\mathbb{N}})
.
Si :
)
est une suite de Cauchy.
)
admet une valeur d'adhérence

.
Alors :
Remarque :
L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de Cauchy est soit vide soit un singleton.
Théorème :
Dans un evn de dimension finie, une suite est convergente ssi elle est de Cauchy.
2. Evn complets
Définition :
Un evn
)
est dit complet ssi toute suite de Cauchy d'éléments de

est convergente.
Vocabulaire :
Un evn complet est un espace de Banach.
Une

-algèbre normée complète est dite une

-algèbre de Banach.
Définition :
Soit
)
un evn, une partie

de

est dite
complète ssi toute suite de Cauchy d'éléments de

converge vers une limite appartenant à

.
Théorème :
Soit
)
un evn.
Toute partie compacte de

est une partie complète.
Toute partie complète de

est fermée.

Les réciproques sont fausses en général.
Théorème :
Soit

un Banach et soit

.
Alors

est une partie complète ssi elle est fermée.