Fiche de mathématiques
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Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé (evn)

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K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}
(E \, , \, ||.||) est un K-espace vectoriel normé (evn)

I. Les espaces : E^{\mathbb{N}} et \mathfrak{B}(\mathbb{N} \, , \, E)

Définition :

On appelle suite d'éléments de E toute application : U \: : \: \mathbb{N} \longrightarrow E.


Notation et vocabulaire :
Soit U une suite d'éléments de E.
    1. Si n \in \mathbb{N}, U(n) est noté U_n et on l'appelle le terme d'indice n ou encore le terme général de la suite U.
    2. La suite U elle-même est noté U = (U_n)_{n \in \mathbb{N} } ou encore (U_n) s'il n'y a pas d'ambiguité.
    3. L'ensemble de toutes les suites d'éléments de E est noté E^{\mathbb{N}}.

Remarque :
On définit de manière analogue les suites de type (U_n)_{n\geq n_0}.
L'étude suivante concerne les suites (U_n)_{n \in \mathbb{N}} mais se généralise aisement aux suites (U_n)_{n\geq n_0}.

Remarque :
E^{\mathbb{N}} est un K-ev pour l'addition d'applications et le produit d'une application par un scalaire.
Définition :

Soit (U_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E^{\mathbb{N}},
(U_n)_{n \in \mathbb{N}} est dite bornée ssi : (\exists k \in \mathbb{R}^{+}) \: (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: ||U_n|| \leq k
L'ensemble de telles suites est noté \mathfrak{B}(\mathbb{N}, E).

Proposition :

\mathfrak{B}(\mathbb{N}, E) est un K-ev, sev de E^{\mathbb{N}}.

Proposition :

Pour tout (U_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathfrak{B}(\mathbb{N},E), on pose : N_{\infty} ((U_n)) = \sup_{n \in \mathbb{N}} ||U_n||, alors :
N_{\infty} définit une norme sur \mathfrak{B}(\mathbb{N}, E).



II. Convergence

1. Généralités

Définition :

Soit (U_n) \in E^{\mathbb{N}} et \ell \in E.
On dit que (U_n) converge vers \ell (ou que (U_n) admet \ell pour limite au voisinage de +\infty) ssi :
(\forall \epsilon > 0 ) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: n \geq N \Longrightarrow ||U_n - l || \leq \epsilon
et on écrit : \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell

Théorème :

Soit (U_n) \in E^{\mathbb{N}} et \ell \in E, alors \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell ssi :
( \forall V \in \mathfrak{V}(\ell)) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: n \geq N \Longrightarrow U_n \in V.

Corollaire :

Soit (U_n) \in E^{\mathbb{N}} \, , \, \ell \in E et ||.||' une norme sur E équivalente à ||.|| alors :
    \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell pour ||.|| ssi \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell pour ||.||'.

Théorème :

Soit (U_n) \in E^{\mathbb{N}} et \ell \in E, si \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell alors \ell est unique.

Théorème :

Soient (U_n) \, , \, (V_n) deux suites d'éléments de E et (\alpha_n) \in K^{\mathbb{N}} tel que : (U_n) \, , \, (V_n) convergent dans E et (\alpha_n) converge dans K, alors :
  • (U_n + V_n) converge dans E et on a : \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}(U_n + V_n )  = \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}U_n + \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}V_n.
  • (\alpha_n U_n) converge dans E et on a : \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}\left(\alpha_n U_n\right) = \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} \alpha_n\right) \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n \right).

Proposition :

Toute suite convergente d'éléments de E est bornée.

Théorème :

Soit A \subset E avec A \not = \not O et soit x \in E.
On dit que x est adhérent à A ssi il existe une suite (a_n) d'éléments de A tel que : \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty } a_n = x.

Corollaire :

Soient A \, , \, B deux parties non vides de E, alors :
  • A est dense dans B ssi tout élément de B est limite d'une suite d'éléments de A.
  • A est dense dans E ssi tout élément de E est limite d'une suite d'éléments de A.

Corollaire :

Soit A une partie non vide de E.
Alors A est un fermé de E ssi pour toute suite (a_n) d'éléments de A convergente on a : \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty } a_n \in A.


2. Cas d'une K-algèbre normée

Ici (E \, , \, ||.||) est une K-algèbre normée.
Théorème :

Soient (U_n) et (V_n) deux suites d'éléments de E convergentes alors :
(U_n \times V_n ) converge et \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}\left(U_n \times V_n \right) = \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}U_n\right) \times \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty}V_n\right).


3. Cas de la dimension finie

Ici E est de dimension finie p \geq 1 et B(e_1 \, , \, \cdots \, , \, e_p) est une base de E.

Notation et vocabulaire :
  • Si (U_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite d'éléments de E pour chaque n \in \mathbb{N}, on note (U_{n,1} \, , \, U_{n,2} \, , \, \cdots \, , \, U_{n,p}) le système de coordonnées du vecteur U_n dans la base B.
  • La suite (U_n)_{n \in \mathbb{N}} est complètement définie par les suites scalaires (U_{n,i})_{n \in \mathbb{N} \, , \, (1 \leq i \leq p) } qu'on appelle les suites composantes de (U_n)_{n \in \mathbb{N}} dans la base B.
Théorème :

Soit \ell \in E et (\ell_1 \, , \, \cdots \, , \, \ell_p) son système de coordonnées dans la base B et soit (U_n) \in E^{\mathbb{N}}.
Alors \displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} U_n = \ell dans (E \, , \, ||.||_\infty) ssi pour tout i \in \ldbrack1,p\rdbrack \: : \: \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{n,i} = \ell_i.
Ainsi en cas de convergence : \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{p} \left(\displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{n,i}\right)e_i


4. Cas d'un espace produit

Soit (E_1 \, , \, ||.||_1) \, , \, \cdots \, , \, \left(E_p \, , \, ||.||_p\right) \: \: p \: K-evn.
Soit E = E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p, on munit E de l'une des normes produits : N = N_1 \, , \, N_2 ou N_\infty.

Notation et vocabulaire :
Pour toute suite (U_n) \in E^{\mathbb{N}}, on pose : U_n = (U_{n1} \, , \, \cdots \, , \, U_{np}) \: (n \in \mathbb{N}) et on a : U_{ni} \in E_i.
(U_n) est donc simplement déterminée par les suites (U_{ni})_{n \in \mathbb{N}} \in E_i^{\mathbb{N}} qu'on appelle les suites projection de la suite (U_n).
Théorème :

Soit \ell = (\ell_1 \, , \, \cdots \, , \, \ell_p) \in E \, , \, (U_n) \in E^{\mathbb{N}}.
Alors \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_n = \ell dans (E \, , \, N) ssi pour tout i \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack on a : \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{ni} = \ell_i dans (E_i , ||.||_i).



III. Suites extraites - Valeur d'adhérence - Parties compactes

1. Rappels et généralités

Définition :

Soit (U_n) \in E^{\mathbb{N}}, une suite (V_n) d'éléments de E est dite une suite extraite de (U_n) ssi il existe \psi \: : \: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} strictement croissante tq : (\forall n \in \mathbb{N}) \: : \: V_n = U_{\psi(n)}.


Rappel :
Si \psi \: : \: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} est strictement croissante alors : \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \: : \: \psi (n) \geq n.

Remarque :
Soit (U_n) \, , \, (V_n) \, , \, (W_n) \in E^{\mathbb{N}}.
Si (V_n) est extraite de (U_n) et (W_n) est extraite de (V_n), alors (W_n) est extraite de (U_n).
Proposition :

Soit (U_n) \in E^{\mathbb{N}}, alors :
  1. Si (U_n) est bornée, alors toute suite extraite de (U_n) est bornée .

  • Si (U_n) converge vers une limite l, alors toute suite extraite de (U_n) converge vers la même limite l .
  • La réciproque est fausse en général.
    Théorème :

    Soit p \in \mathbb{N} avec p \geq 2 et soit (U_n) \in E^{\mathbb{N}} et \ell \in E.
    Alors \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_n = \ell ssi :
    • \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{pn} = \ell
    • \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{pn+1} = \ell
    • \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{pn+p-1} = \ell

    Définition : " Valeur d'adhérence "

    Soit (U_n) \in E^{\mathbb{N}} et a \in E.
    On dit que a est une valeur d'adhérence de (U_n) ssi il existe \psi \: : \: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} strictement croissante tq : \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} U_{\psi(n)} = a.


    Remarques importantes :
    Si (U_n) converge vers une limite \ell, alors (U_n) possède une seule valeur d'adhérence qui est \ell.
    < Si (U_n) diverge, elle peut avoir plusieurs valeurs d'adhérence comme elle peut n'en avoir aucune !

    2. Parties compactes d'un evn

    Définition

    Soit A \subset E, on dit que A est un compact de E ssi toute suite d'éléments de A admet au moins une valeur d'adhérence appartenant à A.

    C'est-à-dire que de toute suite d'éléments de A on peut extraire une suite convergente de limite appartenant à A .
    Théorème :

    Tout compact de E est à la fois fermé et borné.

    La réciproque est fausse en général.
    Proposition :

        Toute intersection de compacts de E est un compact de E.
        Toute réunion finie de compacts de E est un compact de E.

    Théorème :

    Soit p \in \mathbb{N}^* \, , \, (E_1, ||.||_1 ) \, , \, \cdots \, , \, (E_p , ||.||_p) \: p evn et E leur evn produit. Pour chaque i \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack, soit A_i un compact de E_i.
    Alors : A = A_1\times \cdots \times A_p.


    3. Théorème de "Bolzano - Weierstrass", théorème d'équivalence des normes en dimension finie et résultats

    Rappel : "Théorème de Bolzano - Weierstrass réel et complexe" :

    Cas réel : Toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d'adhérence.
    Cas complexe : Toute suite complexe bornée admet au moins une valeur d'adhérence.

    Théorème de "Bolzano - Weierstrass général" :

    Soit (E, ||.||) un evn de dim finie.
    Toute suite bornée d'éléments de E admet au moins une valeur d'adhérence.

    Théorème d'équivalence des normes en dimension finie :

    Soit E un K-ev de dimension finie.
    Toutes les normes sur E sont équivalentes.

    Théorème :

    Tout sev de dimension finie d'un evn E est un fermé de E.

    Théorème :

    Dans un evn de dimension finie (E, ||.||), une partie A est compact ssi elle est fermée et bornée.



    IV. Suites de Cauchy - evn complets

    1. Généralités

    (E \, , \, ||.||) est un evn.
    Définition :

    Soit (x_n) \in E^{\mathbb{N}}.
    On dit que (x_n) est de Cauchy ssi : (\forall \epsilon > 0) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall(n\, , \, m) \in \mathbb{N}^2) \: : \: \lbrace {n \geq N \atop m \geq N} \: \Longrightarrow ||x_n - x_m|| \leq \epsilon


    Remarque :
    On peut aussi définir une telle suite de la facon suivante :
    (x_n) est de Cauchy ssi : (\forall \epsilon >0) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall(n \, , \, m) \in \mathbb{N}^2) \: : \: n \geq N \Longrightarrow ||x_n - x_{n+m}|| \leq \epsilon
    Ou encore :
    (x_n) est de Cauchy ssi : (\forall \epsilon >0) \: (\exists N \in \mathbb{N}) \: (\forall(n \, , \, m) \in \mathbb{N}^2) \: : \: m \geq n > N \Longrightarrow ||x_n - x_m || \leq \epsilon

    Remarque :
    Si (x_n) est de Cauchy, alors (\forall p \in \mathbb{N} ) \: : \: \displaystyle \lim_{ n \longrightarrow +\infty } x_{n+p} - x_n = 0_E.
    Proposition :

    Soit (x_n) \in E^{\mathbb{N}}.
    Alors (x_n) est de Cauchy ssi : il existe n_0 \in \mathbb{N} et il existe une suite réelle (\lambda_n)_{n \geq n_0} tels que :
    \lbrace (\forall(n \, , \, m) \in \mathbb{N}^2) \: : \: m \geq n \geq n_0 \Longrightarrow ||x_n-x_m|| \leq \lambda_n \\ \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} \lambda_n = 0 \.

    Théorème :

        Toute suite de Cauchy est bornée.
        Toute suite convergente est de Cauchy.

    Les réciproques sont fausses en général .
    Théorème :

    Soit (x_n) \in E^{\mathbb{N}}.
    Si :
          (x_n) est une suite de Cauchy.
          (x_n) admet une valeur d'adhérence a.
    Alors : \displaystyle \lim_{n \longrightarrow +\infty} x_n = a


    Remarque :
    L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de Cauchy est soit vide soit un singleton.
    Théorème :

    Dans un evn de dimension finie, une suite est convergente ssi elle est de Cauchy.


    2. Evn complets

    Définition :

    Un evn (E, ||.||) est dit complet ssi toute suite de Cauchy d'éléments de E est convergente.


    Vocabulaire :
        Un evn complet est un espace de Banach.
        Une K-algèbre normée complète est dite une K-algèbre de Banach.
    Définition :

    Soit (E \, , \, ||.||) un evn, une partie A de E est dite complète ssi toute suite de Cauchy d'éléments de A converge vers une limite appartenant à A.

    Théorème :

    Soit (E \, , \, ||.||) un evn.
    Toute partie compacte de E est une partie complète.
    Toute partie complète de E est fermée.

    Les réciproques sont fausses en général.
    Théorème :

    Soit E un Banach et soit A \subset E.
    Alors A est une partie complète ssi elle est fermée.

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