Prérequis: Topologie des espaces vectoriels normés (normes, notion de base de la topologie, suites d'éléments d'un evn et séries à termes dans un evn).
Limite et continuité dans .
Dans tout ce chapitre:
sont deux espaces vectoriels normés (evn).
On note indifféremment la norme de et de .
et .
I. Limites
1. Généralités
Définition:
Soit .
On dit que admet pour limite en (ou encore que tend vers quand tend vers ) ssi:
.
On écrit: .
Remarques:
Rq 1. Si , alors:
Donc tout serait limite de au point : La notion de limite perdrait son sens, c'est pourquoi on prend toujours
Rq 2. Si , alors pour quelconque, on a .
Or, .
Alors quand , on conclut alors que dans le cas où .
Rq 3. La notion de limite est une notion locale, pour étudier la limite de au point , il suffit de connaître le comportement local de dans un voisinage de .
En effet: .
Théorème: unicité de la limite
Soit .
Si admet une limite au point alors est unique.
Théorème:
Soit .
Si admet une limite dans au point , alors il existe tq est bornée sur .
Proposition:
Soit .
Alors ssi tq : .
Théorèmes: "Les caractérisations séquentielles de la limite"
La 1ère caractérisation: Soit , alors:
ssi.
La 2ème caractérisation: Soit .
Alors ssi.
Exemple:
Soit avec fixé.
Soit quelconque, soit tq: .
, d'où: .
admet une limite en tout point .
Critère de Cauchy:
Soit . Si alors:
admet une limite au point ssi.
Exemple:
Soit Soit et complet. Montrons que admet une limite au point en utilisant le critère de Cauchy:
Soit .
Soit tq: .
On a: , d'où le resultat.
2. Opérations sur les limites
Théorème:
Soit tq: . Alors:
.
.
.
Théorème:
Soit tq :. Alors:
.
.
Théorème:
Soit tq:
Alors: .
3. Cas où E et F sont de dimension finie
Ici, est dimension finie et notons une base de .
Soit . Pour tout , posons: .
Ainsi, est complètement determinée par les fonctions scalaires , ces fonctions s'appellent les fonctions composantes de relativement à la base .
Théorème:
Avec les notations précédentes, soit .
Alors admet une limite dans au point ssi chaque admet une limite dans au point
De plus, dans ce cas: .
Exemple:
sont les trois fonctions composantes de dans la base canonique de .
Calculons la limite en : On a:
.
Donc: .
4. Cas où E est un espace produit
Ici, est un evn produit de evn .
et .
Proposition:
Soit .
Alors: ssi.
Exemple:
Soit
On a: , montrons que la limite en ce point de est 1:
Soit .
Quand , .
Soit donc tq : .
Soit , on a :
5.Extensions de la notion de la limite
a. Limite par valeurs differentes
Définition:
Soit .
Si admet une limite au point , est dit une limite de au point par valeurs différentes.
On écrit : .
Remarque:
Ainsi, .
Proposition:
Soit .
Si , alors: .
La réciproque est fausse en général.
Remarque: La notion de limite par valeurs differentes est une notion de limites, donc elle possède les propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.
b. Cas : limite à droite - limite à gauche
Ici, .
Définition:
Soit .
Si admet une limite au point , est appelée une limite de à droite du point .
On écrit:.
Définition:
Soit .
Si admet une limite au point , est appelée une limite de à gauche du point .
On écrit:.
Remarque: Les notions de limite à droite et à gauche sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédentes .
Théorème:
Soit . Soit , alors:
ssi:
Remarques:
.
.
c. Cas : limite en et en
Définition:
Soit , soit .
On dit que admet la limite en ssi: .
Et on écrit:
Définition:
Soit , soit .
On dit que admet la limite en ssi: .
Et on écrit:
Remarque: Les notions de limite en et en sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédentes .
d. Cas : les limites infinies
Ici
Définition:
Soit .
On dit que admet une limite au point ssi: .
On écrit :
Définition:
Soit .
On dit que admet une limite au point ssi: On écrit:
Propriétés:
Si , alors n'est minorée sur aucun voisinage de .
Si , alors n'est majorée sur aucun voisinage de .
Remarques: Toutes les opérations sur les limites s'étendent sauf celles qui donnent une forme indterminée.
Il n'y a pas de critère de Cauchy pour les limites infinies.
Proposition:
Soit Alors : .
Proposition:
Soit .
Alors: .
II. Continuité
1. Généralités
.
Définition:
Soit .
On dit que est continue au point ssi possède une limite au point .
Remarque:
Remarques: La continuité de au point ne s'affecte pas dans un passage d'une norme à une autre équivalente à la première aussi bien dans que dans .
La notion de continuité est une notion locale.
Proposition:
Soit .
Si est continue au point , alors il existe tq est bornée sur .
Théorème: "Caractérisation séquentielle de la continuité"
Soit . Alors les p.s.s.e:
est continue au point .
.
Théorème:
Soit tq et sont continues au point et soit . Alors:
sont continues au point .
Si est une est continue au point .
Si et est continue au point .
Théorème:
Soit tq:
.
Alors
Proposition:
Soit .
Alors il existe .
Définition:
Soit .
On dit que est continue sur (ou dans ) ssi elle l'est en tout point de .
Remarque: On note l'ensemble des fonctions continues sur , on a:
est un sev de .
Si est une , alors est une sous algèbre de .
Exemples:
1.Toutes les fonctions lipschitziennes sur sont continues sur . Voir paragraphe I.
2.Toutes les fonctions polynômiales de -variables scalaires sont continues sur , en effet:
Une fonction polynômiale de -variables scalaires s'écrit sous la forme:
.
On cite à titre d'exemple:
3.Les fonctions rationnelles de -variables scalaires sont continues sur leurs ouverts de définition . Une fonction rationnelle de -variables scalaires s'écrit: polynomiales de -variables scalaires.
Son ouvert de définition est: . (on montre facilement que c'est un ouvert)
Théorème:
Soit tq est de dimension finie , soit une base de et les fonctions composantes de relativement à .
Alors est continue au point (resp. sur ) ssi chacuns des fonctions avec l'est au point (resp.sur ).
Théorème:
Soit des evn et , soit la ème fonction projection de .
Alors est continue au point (resp. sur ) ssi chaque l'est au point (resp.sur ).
2. Critère de continuité globale
Définition:
Soit .
On appelle ouvert relatif de (resp. fermé relatif de ) tout ensemble de la forme où est un ouvert (resp. fermé) de .
Remarques: Rq 1. Toute réunion d'ouverts de est un ouvert relatif de .
Toute intersection finie d'ouverts relatifs de est un ouvert relatif de .
On a: et , donc et sont deux ouverts relatifs de .
Tout ouvert relatif d'un ouvert de est un ouvert de .
Rq 2. Dans Rq 1., on peut remplacer "ouvert" par "fermé" à condition de permuter par .
Rq 3., on en déduit que le complémentaire dans d'un fermé (resp.ouvert) relatif est un ouvert (resp.fermé) relatif de .
Théorème:
Soit . Alors les p.s.s.e:
est continue sur .
L'image réciproque par de tout ouvert de est ouvert relatif de .
L'image réciproque par de tout fermé de est fermé relatif de .
Corollaire:
Soit . Alors :
est continue sur ssi l'image réciproque par de tout ouvert de est un ouvert de ssi l'image réciproque par de tout fermé de est un fermé de .
Exemple:
.
est et est un ouvert de .
Donc est un ouvert de .
3. Continuité et compacité
Théorème:
Soit tq : Alors est un compact de .
Corollaire:
Soit tq : Alors est bornée sur et atteint ses bornes.
Corollaire:
Soit tq : Alors
Rappel: On note l'ensemble des fonctions bornées.(voir chapitre : Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé)
Remarques: Si est un compact de , est un sev de , de plus, est une -algèbre, elle est une sous algèbre de .
Sur , on a la norme , induit une norme sur qu'on note encore avec: .
4. Continuité et densité
Théorème:
Soit continue et deux parties de tq est dense dans (ie: ).
Alors est dense dans .
Remarques: Si est continue et est dense dans , alors est dense dans .
Soit continue et une partie de dense dans , alors est dense dans .
Exemple:
. Montrons que est dense dans
est continue, .
est un fermé de qui est strictement inclus dans .
n'est pas dense dans .
Cependant, .
est dense dans car est irrationel.
Alors est dense dans .
Théorème:
Soit continues et une partie dense dans tq: .
Alors: .
Exemple: On veut determiner toutes les fonctions
On constate que: .
et: .
Puis: .
Donc: .
Ensuite , posons : .
On a: est continue.
continue.
.
Comme est dense dans .
.
Conclusion: .
5. Continuité et connexité par arcs:
Définition:
Soit une partie de .
On dit que est un convexe ssi: .
Exemples:
Définition:
Soit une partie non vide de .
On dit que est étoilée ssi: .
Remarque: Tout convexe non vide est étoilé.
La réciproque est fausse en général. Contre-exemple: .
Définition:
Soit une partie de .
On dit que est connexe par arcs ssi pour tout , il existe
Vocabulaire et remarques: Une telle application est dite un chemin de joignant à et contenu dans .
connexe par arcs signifie donc que deux points quelconques de peuvent être joints par un chemin contenu dans .
Exemple: Soit .
Soit .
Posons : .
Soit
est continue.
, ie: .
.
Donc est connexe par arcs.
Théorème:
Toute partie étoilée est connexe par arcs.
Remarques: est connexe par arcs.
Si , alors: Une partie connexe par arcs n'est pas en général étoilé.
Théorème:
Les connexes par arcs de sont les intervalles.
Remarque: Pour une partie de : .
Théorème:"Des valeurs intermédiaires général"
L'image d'un connexe par arcs par une fonction continue est un connexe par arcs.
III. Continuité uniforme
Définition:
On dit que est uniformement continue ssi:
Remarque: Les fonctions lipshitziennes sont uniformement continue .
Théorème:"Caractérisation séquentielle de la continuité uniforme"
Soit . Alors les p.s.s.e:
est uniformement continue.
Proposition
Toute fonction uniformement continue est continue.
Théorème de "Heine" général:
Soit tq : Alors est uniformement continue.
III. Applications linéaires continues
Ici, sont deux evn dont les normes sont notées respectivement.
Théorème:
Soit . Alors les p.s.s.e:
est continue.
est continue en .
est bornée sur .
est bornée sur .
Il existe tq : .
est lipshitizienne.
est uniformement continue.
Remarque: Ce théorème doit être retenu par coeur car il est très utilisé en pratique .
Exemple:
, on munit de sa norme ( voir chapitre : normes sur un -espace vectoriel )
Soit avec .
.
Or, .
Et n'est pas bornée sur .
Donc n'est pas continue.
Théorème:
Toute application linéaire définie sur un evn de dimension finie est continue.
Notation: On note l'ensemble des applications linéaires continues de dans , et si , on le note .
Proposition:
Soit , on note:
.
.
Notation: Pour , On note (on le note aussi s'il n'y a pas d'ambiguité ).
Donc: = .
Proposition:
Soit et où est un evn dont la norme est notée .
Alors: .
Théorème-Définition:
L'application est une norme sur , appelée la norme d'opérateur subordonnée aux .
Si , est une norme d'algèbre sur .
Calcul pratique de pour :
Méthode 1. Si on a montré qu' il existe tq : Alors est continue et .
Si l'inégalité est obtenue de façon "economique", on peut espérer que .
En effet, s'il existe .
Alors , d'où : .
Donc: .
Méthode 2. Si on a montré qu' il existe tq : .
S'il existe tq : , alors : .
En effet: , d'où, quand .
Or, .
D'où
Publié par Panter
le
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