Fiche de mathématiques
> >

Espaces vectoriels normés: Limites et continuité

Partager :


Prérequis:
Topologie des espaces vectoriels normés (normes, notion de base de la topologie, suites d'éléments d'un evn et séries à termes dans un evn).
Limite et continuité dans \mathbb{R}.

Dans tout ce chapitre:
 \mathbb{K}=\mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}
E \text{ et }F sont deux espaces vectoriels normés (evn).
On note indifféremment la norme de E et de F \text{ : }||.||.
D\subset E et D\neq \emptyset.

I. Limites

1. Généralités


Définition:
Soit f : D \longrightarrow F\text{ , }a \in \bar{D} \text{ et } \ell \in F.
On dit que f admet \ell pour limite en a (ou encore que f(x) tend vers \ell quand x tend vers a ) ssi:
\left(\forall \epsilon > 0\right) \: \left(\exists \eta > 0\right) \: \left(\forall x \in D\right) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon.
On écrit: f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell \text{ ou } \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \ell.

Remarques:

Rq 1. Si a\not \in \bar{D}\text{ , }\exists \eta_o>0\text{ tq }B_f(a,\eta_o)\cap D=\emptyset, alors:
\forall \ell\in F \text{ , }\forall\epsilon>0 \text{ , } \forall x\in D \text{ : } ||x-a||\leq\eta_o\Longrightarrow||f(x)-\ell||\leq \epsilon
Donc tout \ell\in F serait limite de f au point a : La notion de limite perdrait son sens, c'est pourquoi on prend toujours a\in\bar{D}

Rq 2. Si a\in D \text{ et }  f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell, alors pour \epsilon>0 quelconque, on a \eta>0\text{ tq }\forall x\in D\cap B_f(a,\eta)\text{ : }||f(a)-\ell||\leq\epsilon.
Or, a\in D\cap B_f(a,\eta) \text{ , donc }||f(a)-\ell||\leq \epsilon \text{ , }\forall \epsilon >0.
Alors quand \epsilon \to 0\text{ , }||f(a)-\ell||\leq 0, on conclut alors que dans le cas où a\in D\text{ : }\ell=f(a).

Rq 3. La notion de limite est une notion locale, pour étudier la limite de f au point a, il suffit de connaître le comportement local de f dans un voisinage V de a.
En effet: f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell \Longleftrightarrow f_{/V\cap D}(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell.

Théorème: unicité de la limite
Soit f:D\longrightarrow F\text{ et }a\in\bar{D}.
Si f admet une limite \ell\in F au point a alors \ell est unique.

Théorème:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\bar{D}.
Si f admet une limite dans F au point a, alors il existe V\in\mathcal{V}(a) tq f est bornée sur V\cap D.

Proposition:
Soit f:D\longrightarrow F \text{ , }a\in\bar{D}\text{ et }\ell\in F.
Alors f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell ssi (\forall V\in\mathcal{V}(a))(\exists U\in \mathcal{V}(a)) tq : f(U\cap D)\subset V.

Théorèmes: "Les caractérisations séquentielles de la limite"
La 1ère caractérisation:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\bar{D}\text{ et }\ell\in F, alors:
f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell ssi \forall(x_n)\in D^{\mathbb{N}}\text{ : }x_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} a \Longrightarrow f(x_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \ell.

La 2ème caractérisation:
Soit f:D\longrightarrow F \text{ , }a\in\bar{D}.
Alors f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell ssi \forall(x_n)\in D^{\mathbb{N}}\text{ : }x_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} a\Longrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}\text{ converge } .

Exemple:

Soit \begin{array}{clcl}f: & D & \rightarrow& F \\ & x & \mapsto & c\end{array} avec c\in F fixé.

Soit a\in\bar{D} quelconque, soit (x_n)_n\in D^{\mathbb{N}} tq: x_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} a.
\forall n\in \mathbb{N}\text{ : }f(x_n)=c, d'où: f(x_n)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} c.
f admet une limite c en tout point a\in\bar{D}.

Critère de Cauchy:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\bar{D}. Si F\text{ est complet, } alors:
f admet une limite au point a ssi (\forall \epsilon>0)(\exists\eta>0)(\forall(x,y)\in D^2)\text{ : }\left\lbrace \begin{array}l ||x-a||\leq\eta \\ ||y-a||\leq\eta \end{array} \Longrightarrow||f(x)-f(y)||\leq\epsilon.

Exemple:

Soit f:D\longrightarrow F \text{ une fonction k-lipschitzienne: }
Soit a\in\bar{D}\backslash D et F complet. Montrons que f admet une limite au point a en utilisant le critère de Cauchy:

Soit \epsilon>0 \text{ , }\eta=\dfrac{\epsilon}{2(k+1)}.
Soit (x,y)\in D tq: ||x-a||\leq\eta\text{ et }||y-a||\leq\eta.
On a: ||f(x)-f(y)||\leq k||x-y||\leq k(||x-a||+||a-y||)\leq\dfrac{k}{k+1} \epsilon\leq\epsilon, d'où le resultat.

2. Opérations sur les limites


Théorème:
Soit f,g:D\longrightarrow F \text{, }a\in\bar{D}\text{ , }(\ell,L)\in F^2 tq: f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell\text{ et }g(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} L. Alors:

f(x)+g(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell+L.

\forall \lambda\in \mathbb{K}\text{ : }\lambda f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \lambda \ell.

\text{Si, de plus, } F\text{ est une }\mathbb{K}\text{-algèbre normée : }f(x)\times g(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell\times L.

Théorème:
Soit f,g:D\longrightarrow \mathbb{K}\text{ , }a\in\bar{D}\text{ , }\ell,L\in \mathbb{K}tq :g(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}L\text{ et } f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell\text{ et }( 0\not\in f(D) \text{ et } \ell\not=0 ). Alors:

\dfrac{1}{f(x)}\underset{x\to a}{\longrightarrow} \dfrac{1}{\ell}.

\dfrac{g(x)}{f(x)}\underset{x\to a}{\longrightarrow} \dfrac{L}{\ell}.

Théorème:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }g:\Delta\longrightarrow G \text{ , }a\in\bar{D}\text{ , }b\in \Delta\text{ , }\ell\in G tq:

\left\lbrace \begin{array}{cl}\bullet& \Delta \subset F\text{ , } \Delta\neq \emptyset. \\\bullet &G \text{ est un evn .} \\\bullet &f(D)\subset\Delta. \\\bullet &f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} b \text{ et }g(y)\underset{y\to b}{\longrightarrow} \ell\end{array}.

Alors: gof(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell.

3. Cas où E et F sont de dimension finie


Ici, F est dimension finie p>1 et notons \mathcal{B}=(e_1,\cdots,e_p) une base de F.
Soit f:D\longrightarrow F. Pour tout x\in D, posons: \displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^{p} f_i(x)e_i \text{ où } f_i(x)\in \mathbb{K}\text{ est la i-ème composante de }f(x)\text{ dans }\mathcal{B}.
Ainsi, f est complètement determinée par les p fonctions scalaires f_i : D\longrightarrow \mathbb{K}, ces fonctions f_1,\cdots, f_p s'appellent les fonctions composantes de f relativement à la base \mathcal{B}.
Théorème:
Avec les notations précédentes, soit a\in\bar{D}.
Alors f admet une limite dans F au point a ssi chaque f_i admet une limite dans \mathbb{K} au point a

De plus, dans ce cas: \boxed{ \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\sum_{i=1}^p(\displaystyle \lim_{x\to a}f_i(x))e_i}.

Exemple:

\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{R}^* & \rightarrow& \mathbb{R}^3\\  & x & \mapsto & \left(\dfrac{e^x-1}{x} ,x\ln|x| ,x^2-1\right) \end{array}
sont les trois fonctions composantes de f dans la base canonique de \mathbb{R}^3.
Calculons la limite en 0\in\overline{\mathbb{R}^*}:
On a:

\left\lbrace \begin{array}{cl}\bullet &f_1(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 1. \\\\\bullet &f_2(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 0. \\\\\bullet & f_3(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} -1\end{array}.

Donc: f(x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow} (1,0,-1).

4. Cas où E est un espace produit


Ici, E=E_1\times \cdots \times E_p est un evn produit de p evn (E_i,||.||_i).
D\subset Eet D\neq \emptyset.

Proposition:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }a=(a_1,\cdots,a_p)\in\bar{D}\text{ et }\ell\in F.
Alors: f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell ssi \forall\epsilon >0\text{ , }\exists \eta>0\text{ , }\forall x=(x_1,\cdots,x_p)\in D\text{ : }\left\lbrace\begin{array}{cl} ||x_1-a_1||_1\leq\eta \\ \vdots \\ ||x_p-a_p||_p\leq \eta \end{array}\Longrightarrow ||f(x)-l||\leq \epsilon.

Exemple:

Soit \begin{array}{clcl}f: & \mathbb{R}^*\times\mathbb{R} & \rightarrow& \mathbb{R}\\  & (x,y) & \mapsto & y\dfrac{\sin x}{x}+\text{e}^y \end{array}

On a: (0,0)\in\overline{\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}}, montrons que la limite en ce point de f(x,y) est 1:

Soit \epsilon >0\text{ , }\forall(x,y)\in\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}\text{ : }|f(x,y)-1|-\left|y\dfrac{\sin x}{x}+\text{e}^y-1\right|\leq |y|\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|+\left|\text{e}^y-1\right|\leq |y|+|\text{e}^y-1|.
Quand t\to 0, |t|\to 0 \text{ et }|\text{e}^t-1|\to 0.
Soit donc \eta_1>0\text{ et }\eta_2>0 tq : \left\lbrace\begin{array}{cl}|t|\leq \eta_1&\Longrightarrow |t|\leq\dfrac{\epsilon}{2} \\  |t|\leq \eta_2&\Longrightarrow |\text{e}^t-1|\leq\dfrac{\epsilon}{2}\end{array}.
Soit \eta =\min (\eta_1,\eta_2), on a : \left\lbrace \begin{array}{cl}|x|\leq \eta \\ |y|\leq\eta \end{array}\Longrightarrow |f(x,y)-1|\leq  \dfrac{\epsilon}{2} +   \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon

5.Extensions de la notion de la limite


a. Limite par valeurs differentes

Définition:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\overline{D\backslash\lbrace a\rbrace }.
Si  f_/_{ D\backslash\lbrace a\rbrace} admet une limite \ell au point a, \ell est dit une limite de f au point a par valeurs différentes.
On écrit :  f(x)\underset{\underset{x\neq a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell.

Remarque:

Ainsi,  f(x)\underset{\underset{x\neq a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell \Longleftrightarrow  (\forall\epsilon>0) (\exists \eta>0) (\forall x\in D) \text{ : } 0<||x-a||\leq\eta \Longrightarrow||f(x)-\ell||\leq\epsilon.

Proposition:
Soit f:D\longrightarrow F \text{ , }a\in\overline{D\backslash\lbrace a\rbrace }\text{ , }\ell\in F.
Si f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell, alors:  f(x)\underset{\underset{x\neq a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell.
La réciproque est fausse en général.

Remarque:
La notion de limite par valeurs differentes est une notion de limites, donc elle possède les propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.

b. Cas \color{red}E=\mathbb{R}: limite à droite - limite à gauche

Ici, E=\mathbb{R}\text{ , }D\subset\mathbb{R}\text{ et }D\neq \emptyset.
Définition:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\mathbb{R}\text{ tq: }a\in\overline{D\cap ]a,+\infty[}.
Si  f_{/{ D\cap]a,+\infty[}} admet une limite \ell au point a, \ell est appelée une limite de f à droite du point a.

On écrit: f(x)\underset{\underset{x>a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell\text{ ou }f(x)\underset{x\to a^+}{\longrightarrow} \ell\text{ ou }\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=\ell\text{ ou encore }\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\ell.

Définition:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\mathbb{R}\text{ tq: }a\in\overline{D\cap ]-\infty,a[}.
Si  f_{/{ D\cap]-\infty,a[}} admet une limite \ell au point a, \ell est appelée une limite de f à gauche du point a.

On écrit: f(x)\underset{\underset{x<a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell\text{ ou }f(x)\underset{x\to a^-}{\longrightarrow} \ell\text{ ou }\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=\ell\text{ ou encore }\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=\ell.

Remarque:
Les notions de limite à droite et à gauche sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédentes .
Théorème:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in\mathbb{R}\text{ tq: }a\in\overline{D\cap]-\infty,a[}\cap \overline{D\cap]a,+\infty[}. Soit \ell\in F, alors:
 f(x)\underset{\underset{x\neq a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell ssi: \left\lbrace\begin{array}{cl}f(x)\underset{\underset{x<a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell \\ f(x)\underset{\underset{x>a}{x\to a}}{\longrightarrow}\ell\end{array}

Remarques:

f(x)\underset{x\to a^+}{\longrightarrow} \ell \Longleftrightarrow [(\forall\epsilon>0)(\exists\eta>0)(\forall x\in D)\text{ : }a\leq x\leq a+\eta \Longrightarrow||f(x)-\ell||\leq\epsilon].
f(x)\underset{x\to a^-}{\longrightarrow} \ell \Longleftrightarrow [(\forall\epsilon>0)(\exists\eta>0)(\forall x\in D)\text{ : }a-\eta\leq x\leq a \Longrightarrow||f(x)-\ell||\leq\epsilon].

c. Cas \color{red}E=\mathbb{R}: limite en \color{red}+\infty et en \color{red}-\infty

Définition:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ où } D \text{ contient un intervalle de la forme }[\alpha,+\infty[, soit \ell\in F.
On dit que f admet la limite \ell en +\infty ssi: (\forall\epsilon>0)(\exists B>0)(\forall x\in D)\text{ : } x\geq B\Longrightarrow ||f(x)-\ell||\leq\epsilon.
Et on écrit: f(x)\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow} \ell \text{ ou }\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell

Définition:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ où } D \text{ contient un intervalle de la forme }]-\infty,\beta], soit \ell\in F.
On dit que f admet la limite \ell en -\infty ssi: (\forall\epsilon>0)(\exists B>0)(\forall x\in D)\text{ : } x\leq B\Longrightarrow ||f(x)-\ell||\leq\epsilon.
Et on écrit: f(x)\underset{x\to-\infty}{\longrightarrow} \ell \text{ ou }\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell

Remarque:
Les notions de limite en -\infty et en +\infty sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédentes .

d. Cas \color{red}F=\mathbb{R}: les limites infinies

Ici F=\mathbb{R}
Définition:
Soit f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in\bar{D}.
On dit que f admet une limite +\infty au point a ssi: (\forall A>0)(\exists \eta>0)(\forall x\in D) \text{ : } ||x-a||\leq \eta\Longrightarrow f(x)\geq A.
On écrit : f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} +\infty\text{ ou }\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty

Définition:
Soit f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in\bar{D}.
On dit que f admet une limite -\infty au point a ssi: (\forall A>0)(\exists \eta>0)(\forall x\in D) \text{ : } ||x-a||\leq \eta\Longrightarrow f(x)\leq A
On écrit: f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} -\infty\text{ ou }\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty

Propriétés:
Si f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} -\infty, alors f n'est minorée sur aucun voisinage de a.
Si f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} +\infty , alors f n'est majorée sur aucun voisinage de a.

Remarques:
Toutes les opérations sur les limites s'étendent sauf celles qui donnent une forme indterminée.
Il n'y a pas de critère de Cauchy pour les limites infinies.
Proposition:
Soit f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in\bar{D}\text{ tq: }\left \lbrace \begin{array}{l} f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow} 0 \\ \forall x\in D\text{ : } f(x)>0  \text{ (resp.}<0\text{)}&\end{array}
Alors : \dfrac{1}{f(x)}\underset{x\to a}{\longrightarrow} +\infty \text{ (resp.} -\infty\text{)}.

Proposition:
Soit f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in\bar{D}\text{ tq: }\left\lbrace \begin{array}{l} f(x)\underset{x\to}{\longrightarrow}+\infty \text{ (resp}-\infty\text{)}\\ 0\not\in f(D)}\end{array}.
Alors: \dfrac{1}{f(x)} \underset{x\to a}{\longrightarrow} 0.

II. Continuité

1. Généralités


D\subset E\text{ et }D\neq \emptyset.
Définition:
Soit f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in D.
On dit que f est continue au point a ssi f possède une limite au point a.

Remarque:

\begin{array}{cl}f \text{ est continue au point } a&\Longleftrightarrow f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}f(a)\\\\&\Longleftrightarrow  [(\forall\epsilon>0)(\exist\eta>0)(\forall x\in A)\text{ : } ||x-a||\leq\eta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||\leq\epsilon]\\\\&\Longleftrightarrow  [(\forall V\in\mathcal{V}(f(a)))(\exists U\in\mathcal{V}(a))\text{ : }f(U\cap D)\subset V]\end{array}
Remarques:
La continuité de f au point a\in D ne s'affecte pas dans un passage d'une norme à une autre équivalente à la première aussi bien dans E que dans F.
La notion de continuité est une notion locale.

Proposition:
Soit f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in D.
Si f est continue au point a, alors il existe U\in\mathcal{V}(a) tq f est bornée sur U\cap D.


Théorème: "Caractérisation séquentielle de la continuité"
Soit f:D\longrightarrow \mathbb{R}\text{ , }a\in D. Alors les p.s.s.e:
f est continue au point a.

(\forall (x_n)\in D^{\mathbb{N}}) \text{ : }x_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} a\Longrightarrow f(x_n)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} f(a).


Théorème:
Soit f,g:D\longrightarrow F\text{ , }a\in D tq f et g sont continues au point a et soit \mu\in \mathbb{K}. Alors:
f+g\text{ et }\mu f sont continues au point a.
Si Fest une \mathbb{K}-\text{algèbre normée}\text{ : }f\times g est continue au point a.
Si F=\mathbb{K} et 0\not\in f(D)\text{ : }\dfrac{1}{f} est continue au point a.


Théorème:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ et }g:\Delta\longrightarrow G\text{ , }a\in D tq:
\left\lbrace \begin{array}{cl}\bullet& \Delta \subset F\text{ , } \Delta\neq \emptyset.  \\\bullet &G \text{ est un evn .}  \\\bullet &f(D)\subset\Delta.  \\\bullet &f \text{ est continue au point }a\text{ et } g \text{ est continue au point }f(a)\end{array}.
Alors gof \text{ est continue au point } a


Proposition:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ tq: }\left\lbrace \begin{array}{l}f\text{ est continue au point } a \\ f(a)\neq 0_F\end{array}.
Alors il existe V\in\mathcal{V}(a)\text{ tq: }\forall x\in V\cap D\text{ : }f(x)\neq 0_F.


Définition:
Soit f:D\longrightarrow F.
On dit que f est continue sur D (ou dans D) ssi elle l'est en tout point de D.

Remarque:
On note \mathcal{C}^o(D,F) l'ensemble des fonctions f:D\longrightarrow F continues sur D, on a:

\mathcal{C}^o(D,F) est un sev de F^D.
Si F est une \mathbb{K}-\text{algèbre normée }, alors \mathcal{C}^o(D,F) est une sous algèbre de F^D.

Exemples:

1. Toutes les fonctions lipschitziennes sur D sont continues sur D.
Voir paragraphe I.

2. Toutes les fonctions polynômiales de p-variables scalaires sont continues sur \mathbb{K}^p, en effet:
Une fonction polynômiale f de p-variables scalaires s'écrit sous la forme:

\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{K}^p & \rightarrow& \mathbb{K}\\  & (x_1,\cdots,x_p) & \mapsto & \displaystyle\sum_{(i_1,\cdots , i_p)\in S}^{} a_{i_1\cdots i_p}x_1^{i_1}\cdots x_p^{i_p} \end{array} \text{ (avec } S \text{ une partie finie de }\mathbb{N}^p\text{) }.

On cite à titre d'exemple:

\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}\\  & (x,y) & \mapsto & 2x^2y-x^3y^3+x^2-y^2x \end{array}\text{ et }\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{C}^3 & \rightarrow& \mathbb{C}\\  & (z_1,z_2,z_3) & \mapsto & z_1z_2z_3+2z_1^2+z_2z_3^5 \end{array}


3. Les fonctions rationnelles de p-variables scalaires sont continues sur leurs ouverts de définition \mathcal{D}.
Une fonction rationnelle h de p-variables scalaires s'écrit: h=\dfrac{f}{g}\text{ avec }f,g:\mathbb{K}^p\longrightarrow \mathbb{K} polynomiales de p-variables scalaires.
Son ouvert de définition est: \mathcal{D}_h=\lbrace (x_1,\cdots,x_p)\in \mathbb{K}^p\text{ / }g(x_1,\cdots,x_p)\neq 0\rbrace . (on montre facilement que c'est un ouvert)

Théorème:
Soit f:D\longrightarrow F\text{ , }a\in D tq F est de dimension finie p \geq1 , soit \mathcal{B}(e_1,\cdots,e_p) une base de F et f_1,\cdots,f_p les fonctions composantes de f relativement à \mathcal{B}.
Alors f est continue au point a (resp. sur D ) ssi chacuns des fonctions f_i avec i\in\ldbrack 1,p\rdbrack l'est au point a (resp.sur D).


Théorème:
Soit F_1,\cdots,F_p des evn et f:D\longrightarrow F_1\times\cdots\times F_p\text{ , }a\in D, soit f_i:D\longrightarrow F_i la i-ème fonction projection de f.
Alors f est continue au point a (resp. sur D ) ssi chaque f_i l'est au point a (resp.sur D ).


2. Critère de continuité globale


Définition:
Soit A\subset E.
On appelle ouvert relatif de A (resp. fermé relatif de A) tout ensemble de la forme U\cap AU est un ouvert (resp. fermé) de E.

Remarques:
Rq 1.
Toute réunion d'ouverts de A est un ouvert relatif de A\text{ : }\displaystyle \bigcup_{i\in I} \left(U_i\cap A\right)=\left(\bigcup_{i\in I}U_i\right)\cap A.
Toute intersection finie d'ouverts relatifs de A est un ouvert relatif de A.
On a: \emptyset=\emptyset\cap Aet A=E\cap A, donc \emptyset et E sont deux ouverts relatifs de A.
Tout ouvert relatif d'un ouvert de E est un ouvert de E.

Rq 2. Dans Rq 1., on peut remplacer "ouvert" par "fermé" à condition de permuter \displaystyle\bigcup_i par \displaystyle\bigcap_i.

Rq 3. \displaystyle C_{A}^{U\cap A}=A\backslash(U\cap A)=A\cap(U\cap A)^{c}=A\cap(U^c\cup A^c)=(A\cap U^c)\cup\emptyset=A\cap U^c, on en déduit que le complémentaire dans A d'un fermé (resp.ouvert) relatif est un ouvert (resp.fermé) relatif de A.
Théorème:
Soit f:D\longrightarrow F. Alors les p.s.s.e:
f est continue sur D.
L'image réciproque par f de tout ouvert de F est ouvert relatif de D.
L'image réciproque par f de tout fermé de F est fermé relatif de D.

Corollaire:
Soit f:E\longrightarrow F. Alors :
f est continue sur E ssi l'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E ssi l'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E.

Exemple:

U=\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\text{ / }\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}<1\right\rbrace
\begin{array}{clcl}\text{On a }U=f^{-1} (]-\infty,1[)\text{ avec }f: & \mathbb{R}^2 & \rightarrow& \mathbb{R}\\  & (x,y) & \mapsto & \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} \end{array}.
f est \mathcal{C}^o et ]-\infty,1[ est un ouvert de \mathbb{R}.
Donc U est un ouvert de \mathbb{R}^2.

3. Continuité et compacité


Théorème:
Soit f:D\longrightarrow F tq : \left\lbrace \begin{array}{l} D \text{ est un compact de }E\\ f \text{ est continue } \end{array}
Alors f(D) est un compact de F.

Corollaire:
Soit f:D\longrightarrow \mathbb{R} tq : \left\lbrace \begin{array}{l} D \text{ est un compact de }E \\f \text{ est continue }\end{array}
Alors f est bornée sur D et atteint ses bornes.


Corollaire:
Soit f:D\longrightarrow F tq : \left\lbrace \begin{array}{l} D \text{ est un compact de }E \\f \text{ est continue }\end{array}
Alors \left\lbrace \begin{array}{l} f \text{ est bornée } \\\displaystyle \max_{x\in D}||f(x)|| \text{ et } \min_{x\in D}||f(x)|| \text{ existent}\end{array}


Rappel:
On note \mathcal{B}(D,F) l'ensemble des fonctions f:D\longrightarrow F bornées.(voir chapitre : Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé)

Remarques:
Si D est un compact de E, \mathcal{C}^o(D,F) est un sev de \mathcal{B}(D,F), de plus, F est une \mathbb{K}-algèbre, elle est une sous algèbre de \mathcal{B}(D,F).
Sur \mathcal{B}(D,F), on a la norme \displaystyle N_{\infty}:f\longrightarrow \sup_{x\in D} ||f(x)||, N_{\infty} induit une norme sur \mathcal{C}^o(D,F) qu'on note encore N_{\infty} avec: \forall f\in \mathcal{C}^o(D,F)\text{ : }\displaystyle N_{\infty}(f)=\sup_{x\in D}||f(x)||=\min_{x\in D}||f(x)||.

4. Continuité et densité


Théorème:
Soit f:E\longrightarrow F continue et A\text{ , }B deux parties de E tq A est dense dans B (ie: B\subset\bar{A}).
Alors f(A) est dense dans f(B).

Remarques:
Si f:E\longrightarrow F est continue et A est dense dans E, alors f(A) est dense dans f(E).
Soit f:D\longrightarrow F continue et A une partie de D dense dans D, alors f(A) est dense dans f(D).

Exemple:

\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{R} & \rightarrow& \mathbb{R}\\  & x & \mapsto & \sin(x) \end{array}. Montrons que U=\left\lbrace \sin(n)/n\in\mathbb{Z}\right\rbrace est dense dans [-1,1]

f est continue, U=f(\mathbb{Z}).
\mathbb{Z} est un fermé de \bar{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z} qui est strictement inclus dans \mathbb{R}.
\mathbb{Z} n'est pas dense dans \mathbb{R}.
Cependant, U=f(\mathbb{Z})=f(\mathbb{Z}+2\pi \mathbb{Z}).
\mathbb{Z}+2\pi\mathbb{Z} est dense dans \mathbb{R} car 2\pi est irrationel.
Alors U est dense dans f(\mathbb{R})=[-1,1].

Théorème:
Soit f,g:E\longrightarrow F continues et A une partie dense dans E tq: (\forall x\in A) \text{ : } f(x)=g(x).
Alors: (\forall x\in E)\text{ : }f(x)=g(x).

Exemple:
On veut determiner toutes les fonctions f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ continues tq: }\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\text{ : }f(x+y)=f(x)+f(y)

On constate que: f(0)=0.
et: \forall n\in\mathbb{N}\text{ , }\forall x\in\mathbb{R}\text{ : }f(nx)=nf(x).
Puis: f(-x)=-f(x).
Donc: \forall n\in\mathbb{Z}\text{ , }\forall x\in\mathbb{R}\text{ : }f(nx)=nf(x).
Ensuite \forall x\in\mathbb{Q}\text{ : }f(x)=xf(1), posons : a=f(1).
On a: f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} est continue.

\begin{array}{clcl}g: & \mathbb{R} & \rightarrow& \mathbb{R}\\  & x & \mapsto & ax \end{array} continue.

\forall x\in\mathbb{Q}\text{ : }f(x)=g(x).
Comme \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}.
\forall x\in\mathbb{R}\text{ : }f(x)=g(x).
Conclusion: \exists a\in\mathbb{R}\text{ , }\forall x\in\mathbb{R}\text{ : }f(x)=ax.

5. Continuité et connexité par arcs:


Définition:
Soit A une partie de E.
On dit que A est un convexe ssi: \forall a\in A\text{ , }\forall b\in A\text{ , }\forall t\in [0,1]\text{ : }(1-t)a+tb\in A.



Exemples:
Espaces vectoriels normés - limites et continuité - supérieur : image 3

Définition:
Soit A une partie non vide de E.
On dit que A est étoilée ssi: \exists a\in A\text{ , }\forall b\in A\text{ , }\forall t\in [0,1]\text{ : }(1-t)a+tb\in A.


Espaces vectoriels normés - limites et continuité - supérieur : image 4


Remarque:
Tout convexe non vide est étoilé.
La réciproque est fausse en général. Contre-exemple: A=(\mathbb{R}\times\lbrace 0\rbrace )\cup(\lbrace 0\rbrace \times\mathbb{R}).

Définition:
Soit A une partie de E.
On dit que A est connexe par arcs ssi pour tout (a,b)\in A^2, il existe \gamma:[0,1]\longrightarrow E\text{ continue tq: }\left\lbrace\begin{array}{l}\gamma(0)=a \text{ , } \gamma(1)=b\\ \gamma([0,1])\subset A\end{array}


Vocabulaire et remarques:
Une telle application \gamma est dite un chemin de E joignant a à b et contenu dans A.
A connexe par arcs signifie donc que deux points quelconques de A peuvent être joints par un chemin contenu dans A.

Exemple:
Soit E=\mathbb{R}^2\text{ , }A=\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2 / x^2+y^2=1\right\rbrace \text{ ( }A \text{ n'est autre que le cercle de centre } (0,0) \text{ et de rayon } 1 \text{ ) }.
Soit a,b\in A.
Posons : a=(\cos(2\pi\theta_1),\sin(2\pi\theta_1)) \text{ et }b=(\cos(2\pi \theta_2),\sin(2\pi\theta_2)).

Soit \begin{array}{clcl}\gamma: & [0,1] & \rightarrow& \mathbb{R}^2\\  & t & \mapsto & \left(\cos[2\pi((1-t)\theta_1+t\theta_2)],\sin[2\pi((1-t)\theta_1+t\theta_2)] \right)\end{array}

\gamma est continue.
\forall t\in [0,1]\text{ : }\gamma(t)\in A , ie: \gamma([0,1])\subset A.
\gamma(0)=(\cos(2\pi \theta_1),\sin(2\pi\theta_1))=a\text{ et }\gamma(1)=b.
Donc A est connexe par arcs.

Théorème:
Toute partie étoilée est connexe par arcs.


Remarques:
\emptyset est connexe par arcs.
Si A\neq \emptyset, alors:  A \text{ convexe } \Longrightarrow A \text{ étoilée } \Longrightarrow A \text{ connexe par arcs }
Une partie connexe par arcs n'est pas en général étoilé.

Théorème:
Les connexes par arcs de \mathbb{R} sont les intervalles.


Remarque:
Pour une partie A de \mathbb{R}: A \text{ convexe } \Longleftrightarrow A \text{ étoilée } \Longleftrightarrow A \text{ connexe par arcs }\Longleftrightarrow A \text{ intervalle}.

Théorème:"Des valeurs intermédiaires général"
L'image d'un connexe par arcs par une fonction continue est un connexe par arcs.


III. Continuité uniforme


Définition:
On dit que f:D\longrightarrow F est uniformement continue ssi: (\forall\epsilon >0)(\exists \eta>0) (\forall(x,y)\in D^2) \text{ : } ||x-y||\leq\eta\Longrightarrow||f(x)-f(y)||\leq\epsilon


Remarque:
Les fonctions lipshitziennes sont uniformement continue  .

Théorème:"Caractérisation séquentielle de la continuité uniforme"
Soit f:D\longrightarrow F. Alors les p.s.s.e:

f est uniformement continue.

\forall(x_n)\in D^{\mathbb{N}}\text{ , }\forall(y_n)\in D^{\mathbb{N}}\text{ : }x_n-y_n\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0_E\Longrightarrow f(x_n)-f(y_n)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0_F


Proposition
Toute fonction uniformement continue est continue.


Théorème de "Heine" général:
Soit f:D\longrightarrow F tq : \left \lbrace\begin{array}{l} D \text{ est un compact de } E\\ f \text{ est continue}\end{array}
Alors f est uniformement continue.

III. Applications linéaires continues


Ici,  E \text{ et } F sont deux evn dont les normes sont notées  ||.||_E \text{ et } ||.||_F respectivement.

Théorème:
Soit f\in\mathcal{L}(E,F). Alors les p.s.s.e:
f est continue.
f est continue en 0_E.
f est bornée sur B_f(0_E,1).
f est bornée sur S(0_E,1).
Il existe k\in\mathbb{R}_+ tq : \forall x\in E\text{ : }||f(x)||_F\leq k||x||_E.
f est lipshitizienne.
fest uniformement continue.


Remarque:
Ce théorème doit être retenu par coeur car il est très utilisé en pratique .

Exemple:

\begin{array}{clcl}f: & \mathbb{K}[X] & \longrightarrow& \mathbb{K}[X]\\  & P & \longrightarrow & P^' \end{array}

f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}[X]), on munit \mathbb{K}[X] de sa norme ||.||_\infty( voir chapitre : normes sur un \mathbb{K}-espace vectoriel )
Soit P_n=X^n avec n\in \mathbb{N}.

\forall n\in \mathbb{N}^*\text{ : }||f(P_n)||_\infty = ||nX^{n-1}||_\infty = n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} +\infty.
Or, \forall n\text{ : }P_n\in S(0_E,1).
Et f n'est pas bornée sur S(0_E,1).
Donc f n'est pas continue.

Théorème:
Toute application linéaire définie sur un evn de dimension finie est continue.

Notation:
On note \mathcal{L}_c(E,F) l'ensemble des applications linéaires continues de E dans F, et si E=F, on le note \mathcal{L}_c(E).

Proposition:
Soit f\in\text{ , }\mathcal{L}_c(E,F), on note:
\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{lll}\displaystyle \alpha = \sup_{||x||_E = 1} ||f(x)||_F &, &\displaystyle \beta=\sup_{||x||_E\leq 1 } ||f(x)||_F\\\\\displaystyle \gamma =\sup_{x\in E\backslash\lbrace 0_E\rbrace }\dfrac{||f(x)||_F}{||x||_E}&,&\displaystyle \delta = \inf \lbrace k\in\mathbb{R}_+ / x\in E \text{ : } ||f(x)||_F\leq k ||x||_E\rbrace \end{array} .

\alpha,\beta,\gamma  \text{ et } \delta \text{ existent dans }\mathbb{R} \text{ et on a : } \boxed{\alpha=\beta=\gamma=\delta}.



Notation:
Pour f\in \mathcal{L}_c(E,F), On note \text{ : }|||f|||_{E,F} = \alpha (on le note aussi |||f||| s'il n'y a pas d'ambiguité ).
Donc: |||f|||_{E,F}= \alpha=\beta=\gamma=\delta.

Proposition:
Soit f\in\mathcal{L}_c(E,F) et g\in\mathcal{L}_c(F,G)G est un evn dont la norme est notée ||.||_G.
Alors: |||gof|||_{E,G} \leq |||g|||_{F,G} . |||f|||_{E,F}.


Théorème-Définition:
L'application \begin{array}{clcl}|||.|||: & \mathcal{L}_c(E,F) & \rightarrow& \mathbb{R}\\  & f & \mapsto & |||f||| \end{array} est une norme sur \mathcal{L}_c(E,F), appelée la norme d'opérateur subordonnée aux  ||.||_E et ||.||_F.
Si F=E, |||.||| est une norme d'algèbre sur \mathcal{L}_c(E).


Calcul pratique de |||f||| pour f\in\mathcal{L}_c(E,F):

Méthode 1.
Si on a montré qu' il existe k\in\mathbb{R}_+ tq : \forall x\in E\text{ : }||f(x)||_F\leq k||x||_E\text{ }\color{blue}(1)
Alors f est continue et |||f|||\leq k.
Si l'inégalité \color{blue}(1) est obtenue de façon "economique", on peut espérer que k=|||f|||.
En effet, s'il existe x_o\in E\backslash\lbrace 0_E\rbrace \text{ tq: }||f(x_o)||_F=k||x_o||_E.

Alors k=\dfrac{||f(x_o)||_F}{||x_o||_E}, d'où : k\leq|||f|||.

Donc: k=|||f|||.

Méthode 2.
Si on a montré qu' il existe k\in\mathbb{R}_+ tq : \forall x\in E\text{ : }||f(x)||_F\leq k||x||_E \color{blue}(1).
S'il existe (x_n)\in B_f(0_E,1)^{\mathbb{N}} tq : ||f(x_n)||_F\underset{n\to\infty}{\longrightarrow} k, alors : |||f|||=k.
En effet: \forall n\in \mathbb{N}\text{ : }||f(x_n)||_F\leq |||f||| , d'où, quand n\longrightarrow +\infty\text{ : }k\leq|||f|||.
Or, \color{blue}(1)\color{black}\Longrightarrow|||f|||\leq k.
D'où k=|||f|||
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Panter Correcteur
/
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1328 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !