Fiche de mathématiques
> >

Espaces vectoriels normés : limites et continuité

Partager :
Prérequis :
    Topologie des espaces vectoriels normés (normes, notion de base de la topologie, suites d'éléments d'un evn et séries à termes dans un evn) [Topologie]
    Limite et continuité dans \mathbb{R} [Analyse réelle]

Dans tout ce chapitre :
    K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}.
    E et F sont deux espaces vectoriels normés (evn).
    On note indifféremment la norme de E et de F : ||.||.
    D\subset E et D\not = \not O.

I. Limites

1. Généralités

Définition :

Soit f : D \longrightarrow F, a \in \bar{D} et \ell \in F.
On dit que f admet \ell pour limite en a (ou encore que f(x) tend vers \ell quand x tend vers a ) ssi :
\left(\forall \epsilon > 0\right) \: \left(\exists \eta > 0\right) \: \left(\forall x \in D\right) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon.
On écrit : f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell ou \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \ell.

Remarques :
Rq 1. Si a \not \in \bar{D}, \, \exists \eta_o > 0 tq : B_f(a,\eta_o) \cap D = \not O, alors :
\forall \ell \in F, \, \forall \epsilon > 0, \, \forall x \in D \: : \: ||x-a|| \leq \eta_o \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon
Donc tout \ell \in F serait limite de f au point a : la notion de limite perdrait son sens, c'est pourquoi on prend toujours : a \in \bar{D}.
Rq 2. Si a \in D et f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell, alors pour \epsilon > 0 quelconque, on a \eta > 0 tq : \forall x \in D \cap B_f(a,\eta) : ||f(a) - \ell|| \leq \epsilon.
Or : a \in D \cap B_f(a,\eta), donc : ||f(a) - \ell|| \leq \epsilon \: \forall \epsilon > 0.
Alors quand \epsilon \to 0 \: : \: ||f(a) - \ell|| \leq 0, on conclut alors que dans le cas où a \in D \: : \: \ell = f(a).
Rq 3. La notion de limite est une notion locale, pour étudier la limite de f au point a, il suffit de connaître le comportement local de f dans un voisinage V de a.
En effet : f(x)\longrightarrow_{x\to a} \ell \: \: \Longleftrightarrow f_{/V\cap D}(x)\longrightarrow_{x\to a} \ell.
Théorème : unicité de la limite

Soit f : D \longrightarrow F et a \in \bar{D}.
Si f admet une limite \ell \in F au point a alors \ell est unique.

Théorème :

Soit f : D \longrightarrow F \, , \, a\in\bar{D}.
Si f admet une limite dans F au point a, alors il existe V \in \mathfrak{V}(a) tq f est bornée sur V\cap D.

Proposition :

Soit f : D \longrightarrow F \, , \, a\in\bar{D} et \ell \in F.
Alors f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell ssi (\forall V \in \mathfrak{V}(a)) \, \left(\exists U \in \mathfrak{V}(a)\right) tq : f(U \cap D)\subset V.

Théorèmes : "Les caractérisations séquentielles de la limite"

La 1ère caractérisation :
Soit f : D \longrightarrow F \, , \, a \in \bar{D} \, , \, \ell \in F, alors :
f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell ssi : \forall(x_n) \in D^{\mathbb{N}}, x_n \longrightarrow_{n\to+\infty} a \: \Longrightarrow \: f(x_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} \ell.

La 2ème caractérisation :
Soit f : D \longrightarrow F \, , \, a \in \bar{D}.
Alors f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell ssi \forall(x_n) \in D^{\mathbb{N}} : x_n\longrightarrow_{n\to+\infty} a \: \Longrightarrow \: (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}} converge.

Exemple :
    Soit \begin{array}{rcl} f : & D & \longrightarrow & F &\\  \hspace{1pt} & x & \longrightarrow & c \end{array} avec c \in F fixé
Soit a \in \bar{D} quelconque, soit (x_n)_n \in D^{\mathbb{N}} tq : x_n \longrightarrow_{n\to+\infty} a
\forall n \in \mathbb{N} \: : \: f(x_n) = c, d'où : f(x_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} c
f admet une limite c en tout point a \in \bar{D}.
Critère de Cauchy :

Soit f: D \longrightarrow F \, , \, a \in \bar{D}, si F est complet, alors :
f admet une limite au point a ssi : \left(\forall \epsilon > 0\right)\left(\exists \eta > 0\right)\left(\forall (x,y)\in D^2\right) \: : \: \lbrace {||x - a|| \leq \eta \atop ||y-a|| \leq \eta} \Longrightarrow ||f(x) - f(y)|| \leq \epsilon.

Exemple : .
Soit f : D \longrightarrow F k-lipschitzienne.
Soit a \in \bar{D} \backslash D et F complet.
Montrons que f admet une limite au point a en utilisant le critère de Cauchy :
Soit \epsilon > 0 \, , \, \eta = \frac{\epsilon}{2(k+1)}.
Soit (x , y) \in D tq : ||x - a|| \leq \eta et ||y - a|| \leq \eta.
On a : ||f(x) - f(y)|| \leq k||x - y|| \leq k\left(||x - a|| + ||a - y||\right) \leq \frac{k}{k+1} \epsilon \leq \epsilon d'où le resultat.

2. Opérations sur les limites

Théorème :

Soit g, \, f : D \longrightarrow F \, , \, a \in \bar{D}, \ell, L \in F tq : f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell et g(x) \longrightarrow_{x\to a} L.
Alors :
    f(x) + g(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: \ell + L
    \forall \lambda \in K \: : \: \lambda f(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: \lambda \ell.
    Si F est une K-algèbre normée : f(x) \times g(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell \times L.

Théorème :

Soit g, \, f : D \longrightarrow K, \, a \in \bar{D} \, , \, \ell, \, L \in K tq : g(x) \longrightarrow_{x\to a} L, f(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: \ell et \left(0 \not \in f(D) \text{ et } \ell \not= 0 ). Alors :
    \frac{1}{f(x)} \: \longrightarrow_{x\to a} \: \frac{1}{l}.
    \frac{g(x)}{f(x)} \: \longrightarrow_{x\to a} \: \frac{L}{l}.

Théorème :

Soit f : D \longrightarrow F, g : \Delta \longrightarrow G; a \in \bar{D}, b \in \Delta, \ell \in G tq :
    \Delta \subset F, \Delta \not = \not O.
    G est un evn.
    f(D) \in \Delta.
    f(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: b et g(y) \: \longrightarrow_{y\to b} \: \ell. Alors : g \circ f(x) \: \longrightarrow_{x\to a} \: \ell.


3. Cas où E et F sont de dimension finie

Ici, F est dimension finie p > 1. Soit \mathfrak{B}=(e_1,\cdots,e_p) une base de F.
Soit f : D\longrightarrow F. Pour tout x \in D, posons :
      f(x) = \bigsum_{i=1}^{p} f_i(x) e_if_i(x) \in K est la ième composante de f(x) dans \mathfrak{B}.
Ainsi, f est complètement determinée par les p fonctions scalaires f_i : D\longrightarrow K.
f_1,\cdots, f_p s'appellent les fonctions composantes de f relativement à la base \mathfrak{B}.
Théorème :

Avec les notations précédentes, soit a \in \bar{D}.
Alors f admet une limite dans F au point a ssi chaque f_i admet une limite dans K au point a.
De plus, dans ce cas : \red \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \bigsum_{i=1}^p \left(\displaystyle \lim_{x\to a}f_i(x)\right)e_i

Exemple :
\begin{array}{rcl} f : & \mathbb{R}^* & \longrightarrow& \mathbb{R}^3&\\ \hspace{1pt} & x & \longrightarrow & \left(\frac{e^x-1}{x} \, , \, x\ln|x| \, , \, x^2-1\right) \end{array}
f_1 : x \longrightarrow \frac{e^x-1}{x} \, , \hspace{15pt} f_2:x \longrightarrow x\ln|x|   et   f_3 : x\longrightarrow x^2-1 sont les trois fonctions composantes de f dans la base canonique de \mathbb{R}^3.
Calculons la limite en 0 \in \bar{\mathbb{R}^*} :
f_1(x)\longrightarrow_{x\to 0} 1 \, ; \, f_2(x) \longrightarrow_{x\to 0} 0 \, ; \, f_3(x) \longrightarrow_{x\to 0} -1.
Donc : f(x) \longrightarrow_{x\to 0} (1, 0, -1)

4. Cas où E est un espace produit

Ici, E = E_1 \times \cdots \times E_p est un evn produit de p evn (E_i,||.||_i).
D \subset E et D \not = \not O.
Proposition :

Soit f : D\longrightarrow F, a = (a_1, \cdots , a_p) \in \bar{D} et \ell \in F.
Alors : f(x)\longrightarrow_{x\to a} \, \ell ssi \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall x = (x_1, \cdots, x_p) \in D :
\lbrace {||x_1-a_1||_1 \leq \eta \atop \vdots \\ ||x_p - a_p||_p \leq \eta } \: \Longrightarrow \: ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon.

Exemple :
    Soit \begin{array}{rcl}f : & \mathbb{R}^*\times\mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\  & (x,y) & \longrightarrow & y\frac{\sin x}{x}+e^y \end{array}
On a : (0,0) \in \bar{\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}}, montrons que la limite en ce point de f(x,y) est 1 :
Soit \epsilon >0, \, \forall(x,y) \in \mathbb{R}^*\times\mathbb{R} : |f(x,y) - 1| - \|y\frac{\sin x}{x} + e^y - 1\| \leq |y| \|\frac{\sin x}{x}\| + |e^y - 1| \leq |y| + |e^y-1|.
Quand t\to 0, |t| \to 0 et |e^t-1| \to 0.
Soit donc \eta_1 > 0 et \eta_2 > 0 tq : \lbrace {|t|\leq \eta_1 \Longrightarrow |t| \leq \frac{\epsilon}{2} \atop  |t| \leq \eta_2 \Longrightarrow |e^t - 1| \leq \frac{\epsilon}{2}}.
Soit \eta = \min (\eta_1,\eta_2), on a : \lbrace {|x| \leq \eta \atop |y| \leq \eta} \Longrightarrow |f(x,y) - 1| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon

5. Extensions de la notion de la limite
a) Limite par valeurs differentes

Définition :

Soit f : D\longrightarrow F, a \in \bar{D\backslash\lbrace a\rbrace }.
Si f_/_{D\backslash\lbrace a\rbrace } admet une limite \ell au point a, \ell est dit une limite de f au point a par valeurs différentes.
On écrit : \large f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \: \ell

Remarque :
Ainsi,
\large{f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \: \ell} \: \Longleftrightarrow \left((\forall \epsilon > 0\right) (\exists \eta > 0) \: (\forall x\in D) \: : \: 0 < ||x-a|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon).
Proposition :

Soit f : D\longrightarrow F, a \in \bar{D\backslash\lbrace a\rbrace }, \ell \in F.
Si f(x) \longrightarrow_{x\to a} \ell, alors : \large f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \ell.
La réciproque est fausse en général.

Remarque :
La notion de limite par valeurs differentes est une notion de limites, donc elle possède les propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.

b) Cas E = \mathbb{R} : limite à droite - limite à gauche

Ici, E = \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R} , D\not = \not O.
Définition :

Soit f : D \longrightarrow F, a \in \mathbb{R} tq : a \in \bar{D \cap ]a,+\infty[}.
Si  f_/_{D\cap]a,+\infty[} admet une limite \ell au point a, \ell est appelée une limite de f à droite du point a.
On écrit : f(x) \longrightarrow_{x \to a \atop x > a} \: \ell ou f(x) \longrightarrow_{x\to a^+} \ell ou encore \displaystyle \lim_{x\to a_+} f(x) = \ell.

Définition :

Soit f : D \longrightarrow F \, , \, a \in \mathbb{R}, tq : a \in \bar{D \cap ]-\infty , a[}.
Si  f_/_{D \cap ]-\infty , a[} admet une limite \ell au point a, \ell est appelée une limite de f à gauche au point a.
On écrit : f(x)\longrightarrow_{x\to a\atop x<a} \ell ou f(x)\longrightarrow_{x\to a^-} \ell ou encore \displaystyle \lim_{x\to a_-} f(x) = \ell

Remarque :
Les notions de limite à droite et à gauche sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.
Théorème :

Soit f : D \longrightarrow F, a \in \mathbb{R} tq a \in \bar{D\cap]-\infty,a[} \cap \bar{D\cap]a,+\infty[}. Soit \ell \in F, alors :
f(x)\longrightarrow_{x\to a\atop x\not=a} \ell ssi :
    f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x<a} \ell
    f(x) \longrightarrow_{x\to a\atop x>a} \ell

Remarques :
f(x) \longrightarrow_{x\to a^+} \ell \: \Longleftrightarrow \: [(\forall \epsilon >0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x\in D) \: : \: a\leq x \leq a+ \eta \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon]
f(x)\longrightarrow_{x\to a^-} \ell \: \Longleftrightarrow \: [(\forall \epsilon > 0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: a - \eta \leq x \leq a \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon]

c) Cas E = \mathbb{R} : limite en +\infty et en -\infty

Définition :

Soit f : D\longrightarrow FD contient un intervalle de la forme [\alpha , +\infty[, soit \ell \in F.
On dit que f admet la limite \ell en +\infty ssi : (\forall \epsilon > 0) \, (\exists B > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: x \geq B \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon.
Et on écrit : f(x) \longrightarrow_{x\to+\infty} \ell ou \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell.

Définition :

Soit f : D \longrightarrow FD contient un intervalle de la forme ]-\infty , \beta], soit \ell \in F.
On dit que f admet une limite \ell en -\infty ssi : (\forall \epsilon > 0) \, (\exists B > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: x \leq B \Longrightarrow ||f(x) - \ell|| \leq \epsilon.
Et on écrit : f(x) \longrightarrow_{x \to -\infty} \ell.

Remarque :
Les notions de limite en -\infty et en +\infty sont des notions de limite, elle ont donc les mêmes propriétés de limite vues aux paragraphes précédents.

d) Cas F = \mathbb{R} : les limites infinies

Ici F = \mathbb{R}.
Définition :

Soit f : D \longrightarrow \mathbb{R}, a\in\bar{D}.
On dit que f admet une limite +\infty au point a ssi : (\forall A > 0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow f(x) \geq A
On écrit : f(x) \longrightarrow_{x\to a} +\infty ou \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = +\infty

Définition :

Soit f : D \longrightarrow \mathbb{R}, a \in \bar{D}.
On dit que f admet une limite -\infty au point a ssi : (\forall A > 0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x \in D) \: : \: ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow f(x) \leq A
On écrit : f(x) \begin{array}{c} \longrightarrow\\ x \to a \end{array} = -\infty ou \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = -\infty

Propriétés :

Si f(x)\longrightarrow_{x\to a} -\infty, alors f n'est minorée sur aucun voisinage de a.
Si f(x)\longrightarrow_{x\to a} +\infty, alors f n'est majorée sur aucun voisinage de a.

Remarques :
Toutes les opérations sur les limites s'étendent sauf celles qui donnent une forme indterminée.
Il n'y a pas de critère de Cauchy pour les limites infinies.
Proposition :

Soit f : D\longrightarrow \mathbb{R}, a \in \bar{D} tq : \lbrace {f(x) \longrightarrow_{x\to a} 0 \atop \rm \forall x \in D : f(x) > 0 \: (\text{resp } < 0)}
Alors : \frac{1}{f(x)} \longrightarrow_{x\to a} +\infty \: (\text{ resp } : -\infty).

Proposition :

Soit f : D \longrightarrow \mathbb{R}, a \in \bar{D} tq : \lbrace {f(x)\longrightarrow_{x\to a}+\infty  (\text{resp } -\infty) \atop 0 \not \in f(D)}
Alors : \frac{1}{f(x)} \: \longrightarrow_{x\to a} \: 0



II. Continuité

1. Généralités

D\subset E et D\not = \not O.
Définition :

Soit f : D\longrightarrow \mathbb{R}, a \in D.
On dit que f est continue au point au point a ssi f possède une limite au point a.

Remarque :
f \text{ est continue au point } a \: \Longleftrightarrow \: f(x) \longrightarrow_{x\to a} f(a) \\ \hspace{190pt} \Longleftrightarrow \: [(\forall \epsilon > 0) \, (\exists \eta > 0) \, (\forall x \in A) ||x - a|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - f(a)|| \leq \epsilon] \\ \hspace{190pt} \Longleftrightarrow \: [(\forall V \in \mathfrak{V}(f(a))) \: (\exists U\in\mathfrak{V}(a)) \: : \: f(U\cap D)\subset V]

Remarques :
La continuité de f au point a\in D ne s'affecte pas dans un passage d'une norme à une autre équivalente à la première aussi bien dans E que dans F.
La notion de continuité est une notion locale.
Proposition :

Soit f : D \longrightarrow \mathbb{R}, a \in D.
Si f est continue au point a alors il existe U \in \mathfrak{V}(a) tq f est bornée sur U\cap D.

Théorème : "Caractérisation séquentielle de la continuité"

Soit f : D \longrightarrow \mathbb{R}, a \in D. Alors les p.s.s.e :
    f est continue au point a
    (\forall (x_n) \in D^{\mathbb{N}}) \: : \: x_n \longrightarrow_{n\to+\infty} a \Longrightarrow f(x_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} f(a).

Théorème :

Soit f \, , \, g : D \longrightarrow F, a \in D tq f et g sont continues au point a et soit \mu \in K. Alors :
    f+ g et \mu f sont continues au point a.
    Si F est une K-algèbre normée : f \times g est continue au point a.
    Si F = K et 0 \not\in f(D) : \frac{1}{f} est continue au point a.

Théorème :

Soit f : D \longrightarrow F et g : \Delta \longrightarrow G, a\in D tq :
    \Delta \subset F
    \Delta \not=\not O
    G est un evn
    f(D) \subset \Delta
    f est continue au point a et g est continue au point f(a).
Alors g \circ f est continue au point a.

Proposition :

Soit f:D\longrightarrow F tq : \rm\lbrace {f est continue au point a\atop f(a)\not=0_F} .
Alors il existe V\in\mathfrak{V}(a) tq : \forall x\in V\cap D \: : \: f(x)\not = 0_F

Définition :

Soit f : D \longrightarrow F.
On dit que f est continue sur D (ou dans D) ssi elle l'est en tout point de D.

Remarque :
On note \mathfrak{C}^o(D,F) l'ensemble des fonctions f : D\longrightarrow F continues sur D.
    \mathfrak{C}^o(D,F) est un sev de F^D.
    Si F est une K-algèbre normée, alors \mathfrak{C}^o(D,F) est une sous algèbre de F^D.

Exemples :
1. Toutes les fonctions lipschitziennes sur D sont continues sur D
Voir paragraphe I)

2. Toutes les fonctions polynômiales de p-variables scalaires sont continue sur K^p
Une fonction polynômiale f de p-variables scalaires s'écrit sous la forme :
\begin{array}{rcl}f: & K^p & \longrightarrow& K&\\  & (x_1,\cdots,x_p) & \longrightarrow & \bigsum_{(i_1,\cdots , i_p)\in S} a_{i_1\cdots i_p}x_1^{i_1}\cdots x_p^{i_p} \end{array} (avec S une partie finie de \mathbb{N}^p).
Par exemple : \begin{array}{rcl}f: & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\  & (x,y) & \longrightarrow & 2x^2y-x^3y^3+x^2-y^2x \end{array} , \begin{array}{rcl}f: & \mathbb{C}^3 & \longrightarrow& \mathbb{C}&\\  & (z_1,z_2,z_3) & \longrightarrow & z_1z_2z_3+2z_1^2+z_2z_3^5 \end{array}

3. Les fonctions rationnelles de p-variables scalaires sont continues sur leurs ouverts de définition \mathfrak{D}
Une fonction rationnelle h de p- variables scalaires s'écrit : h = \frac{f}{g} avec f , g : K^p \longrightarrow K polynomiales de p-variables scalaires.
Son ouvert de définition est : \mathfrak{D}_h=\lbrace (x_1,\cdots,x_p)\in K^p/g(x_1,\cdots,x_p)\not = 0\rbrace . (on montre facilement que c'est un ouvert)
Theorème :

Soit f : D\longrightarrow F, a \in D tq F est de dimension finie p \geq 1, soit \mathfrak{B}(e_1,\cdots,e_p) une base de F et f_1, \cdots , f_p les fonctions composantes de f relativement à \mathfrak{B}.
Alors f est continue au point a (resp. sur D) ssi chacune des fonctions f_i avec i\in \ldbrack1,p\rdbrack l'est au point a (resp.sur D).

Theorème :

Soit F_1,\cdots,F_p des evn et f : D\longrightarrow F_1\times\cdots\times F_p, a \in D, soit f_i : D\longrightarrow F_i la i-ème fonction projection de f.
Alors f est continue au point a (resp. sur D) ssi chaque f_i avec l'est au point a (resp.sur D).


2. Critère de continuité globale

Définition :

Soit A\subset E.
On appelle ouvert relatif de A (resp. fermé relatif de A) tout ensemble de la forme U \cap AU est un ouvert (resp. fermé) de E.

Remarques :
1. Toute réunion d'ouverts de A est un ouvert relatif de A : \bigcup_{i\in I} (U_i\cap A) = (\bigcup_{i\in I}U_i)\cap A.
    Toute intersection finie d'ouverts relatifs de A est un ouvert relatif de A.
    On a : \not O = \not O\cap A et A = E\cap A, donc \not O et A sont deux ouverts relatifs de A.
    Tout ouvert relatif d'un ouvert de E est un ouvert de E.

2. Dans 1., on peut remplacer "ouvert" par "fermé" à condition de permuter \bigcup_i par \bigcap_i.

3. C_{A}^{U\cap A} = A\backslash(U\cap A) = A\cap(U\cap A)^{c} = A\cap(U^c\cup A^c) = (A\cap U^c)\cup\not O = A\cap U^c, on en déduit que le complémentaire dans A d'un fermé (resp. ouvert) relatif est un ouvert (resp. fermé) relatif de A.
Theorème :

Soit f:D\longrightarrow F. Alors les p.s.s.e :
    f est continue sur D.
    l'image réciproque par f de tout ouvert de F est ouvert relatif de D.
    l'image réciproque par f de tout fermé de F est fermé relatif de D.

Corollaire :

Soit f : E \longrightarrow F. Alors :
f est continue sur E ssi l'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E ssi l'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E.

Exemple :
U = \lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2/\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1\rbrace .
U=f^{-1} (]-\infty,1[) avec : \begin{array}{rcl}f: & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\  & (x,y) & \longrightarrow & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \end{array}
f est \mathfrak{C}^o et ]-\infty,1[ est un ouvert de \mathbb{R}.
Donc U est un ouvert de \mathbb{R}^2.

3. Continuité et compacité

Theorème :

Soit f : D \longrightarrow F tq : \rm \lbrace {D est un compact de E \atop f est continue }
Alors f(D) est un compact de F.

Corollaire :

Soit f : D \longrightarrow \mathbb{R} tq : \rm \lbrace {D est un compact de E \atop f est continue }
Alors f est bornée sur D et atteint ses bornes.

Corollaire :

Soit f : D\longrightarrow F tq :\rm \lbrace {D est un compact de E\atop f est continue }.
Alors : \rm\lbrace {f est born\bar{e}e\atop \max_{x\in D}||f(x)|| et \min_{x\in D}||f(x)|| existent }

Rappel :
On note \mathfrak{B}(D,F) l'ensemble des fonctions f : D\longrightarrow F bornées.
(voir chapitre : Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé)

Remarques :
    Si D est un compact de E, \mathfrak{C}^o(D,F) est un sev de \mathfrak{B}(D,F), de plus, F est une K-algèbre, il est une sous algèbre de \mathfrak{B}(D,F).
    Sur \mathfrak{B}(D,F), on a la norme N_{\infty} : f \longrightarrow \sup_{x\in D} ||f(x)||, N_{\infty} induit une norme sur \mathfrak{C}^o(D,F) qu'on note encore N_{\infty} avec : \forall f\in \mathfrak{C}^o(D,F), N_{\infty}(f) = \sup_{x\in D}||f(x)|| = \min_{x\in D}||f(x)||.

4. Continuité et densité

Theorème :

Soit f : E\longrightarrow F continue et A, B deux parties de E tq A est dense dans B (ie : B\subset\bar{A}).
Alors f(A) est dense dans f(B).

Remarques :
Si f : E\longrightarrow F continue et A dense dans E, alors f(A) est dense dans f(E).
Soit f : D\longrightarrow F continue et A une partie de D dense dans D, alors f(A) est dense dans f(D).

Exemple :
\begin{array}{rcl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\  & x & \longrightarrow & \sin(x) \end{array} Montrons que U=\lbrace \sin(n)/n\in\mathbb{Z}\rbrace est dense dans [-1,1] :
f est continue, U = f(\mathbb{Z}).
\mathbb{Z} est un fermé de \bar{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z} qui est strictement inclus dans \mathbb{R}.
\mathbb{Z} n'est pas dense dans \mathbb{R}.
Cependant, U = f(\mathbb{Z}) = f(\mathbb{Z} + 2\pi \mathbb{Z}).
\mathbb{Z} + 2\pi\mathbb{Z} est dense dans \mathbb{R} car 2\pi est irrationnel.
Alors U est dense dans f(\mathbb{R}) = [-1,1].
Theorème :

Soit f,g:E\longrightarrow F continues et A une partie dense dans E tq : (\forall x\in A) : f(x) = g(x).
Alors : (\forall x\in E) \: : \: f(x) = g(x).

Exemple :
On veut determiner toutes les fonctions f : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} continues tq : \forall(x,y) \in \mathbb{R}^2 \: : \: f(x+y) = f(x) + f(y) :
On constate que : f(0) = 0.
et : f(nx) = nf(x) \: \forall n\in\mathbb{N}, \, \forall x\in\mathbb{R}.
Puis : f(-x) = -f(x)
Donc : \forall n \in \mathbb{Z}, \, \forall x \in \mathbb{R} \: : \: f(nx) = nf(x)
Ensuite \forall x \in \mathbb{Q} \: : \: f(x) = x f(1), posons : a = f(1)
On a : f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} est continue.
\begin{array}{rcl}g: & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\  & x & \longrightarrow & ax \end{array} continue.
\forall x \in \mathbb{Q} \: : \: f(x) = g(x).
Comme \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}.
\forall x\in\mathbb{R} \: : \: f(x) = g(x).
Conclusion : \longrightarrow \: \exists a\in\mathbb{R}, \forall x\in\mathbb{R} \: : \: f(x) = ax.

5. Continuité et connexité par arcs

Définition :

Soit A une partie de E. On dit que A est un convexe ssi : \forall a\in A, \forall b\in A, \forall t\in [0,1] : (1-t)a+tb\in A.

Exemples :
Espaces vectoriels normés - limites et continuité - supérieur : image 1
Définition :

Soit A une partie non vide de E.
On dit que A est étoilée ssi : \exists a \in A, \forall b\in A, \forall t \in [0 , 1] : (1-t)a+tb\in A.


Espaces vectoriels normés - limites et continuité - supérieur : image 2


Remarque :
Tout convexe non vide est étoilé.
La réciproque est fausse en général.
Contre-exemple : A = (\mathbb{R}\times\lbrace 0\rbrace ) \cup (\lbrace 0\rbrace \times\mathbb{R}).
Définition :

Soit A une partie de E.
On dit que A est connexe par arcs ssi pour tout (a,b)\in A^2 il existe \gamma : [0,1] \longrightarrow E continue tq :
\rm \lbrace {\gamma(0) = a , \gamma(1) = b \atop \gamma([0,1])\subset A}

Vocabulaire et remarques :

  Une telle application \gamma est dite un chemin de E joignant a à b et contenu dans A.
  Aconnexe par arcs signifie donc que deux points quelconques de A peuvent être joints par un chemin contenu dans A.

Exemple :
Soit E=\mathbb{R}^2 \: : \: A = \lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2 / x^2+y^2=1\rbrace (Cercle de centre (0,0) et de rayon 1) :
Soit a,b\in A.
Posons : a = (\cos(2\pi\theta_1) , \sin(2\pi\theta_1)) et b = (\cos(2\pi \theta_2) , \sin(2\pi\theta_2)).
Soit \begin{array}{rcl}\gamma : & [0,1] & \longrightarrow& \mathbb{R}^2&\\  & t & \longrightarrow & (\cos[2\pi((1-t)\theta_1+t\theta_2)] , \sin[2\pi((1-t)\theta_1+t\theta_2)] )\end{array}
\gamma est continue.
\forall t \in [0,1] \: : \: \gamma(t)\in A ie : \gamma([0,1])\subset A.
\gamma(0) = (\cos(2\pi \theta_1) , \sin(2\pi\theta_1))=a et \gamma(1) = b.
donc A est connexe par arcs .
Theorème :

Toute partie étoilée est connexe par arcs.

Remarques :
\not O est connexe par arcs.
Si A\not = \not O, alors : A convexe \Longrightarrow \: A étoilé \Longrightarrow \: A connexe par arcs.
Une partie connexe par arcs n'est pas en général étoilé.
Theorème :

Les connexes par arcs de \mathbb{R} sont les intervalles.

Remarque :
Pour une partie A de \mathbb{R} : A convexe \Longleftrightarrow \: A étoilé \Longleftrightarrow \: A connexe par arcs \Longleftrightarrow \: A intervalle
Theorème : "Des valeurs intermédiaires général" :

L'image d'un connexe par arcs par une fonction continue est un connexe par arcs.



III. Continuité uniforme

Définition :

On dit que f : D\longrightarrow F est dite uniformement continue ssi :
(\forall \epsilon > 0) \: (\exists \eta >0) \: (\forall(x,y)\in D^2) \: : \: ||x - y|| \leq \eta \Longrightarrow ||f(x) - f(y)|| \leq \epsilon

Remarque :
Les fonctions lipshitziennes sont uniformement continues.
Theorème :

Soit f : D\longrightarrow F. Alors les p.s.s.e :
  f est uniformément continue.
  \forall(x_n)\in D^{\mathbb{N}}, \forall(y_n)\in D^{\mathbb{N}} : x_n-y_n\longrightarrow_{n\to+\infty} 0_E \: \Longrightarrow \: f(x_n) - f(y_n) \longrightarrow_{n\to+\infty} 0_F

Proposition :

Toute fonction uniformément continue est continue.

Theorème de "Heine" général :

Soit f : D\longrightarrow F tq : \rm \lbrace {D est un compact de E\atop f est continue}
Alors f est uniformément continue.



IV. Applications linéaires continues


Ici, E \text{ et } F sont deux evn dont les normes sont notées \rm ||.||_E et ||.||_F respectivement.
Theorème :

Soit f \in \mathfrak{L}(E,F). Alors les p.s.s.e :
  f est continue.
  f est continue en 0_E.
  f est bornée sur B_f(0_E,1)
  f est bornée sur S(0_E,1).
  il existe k \in \mathbb{R}_+ tq : \forall x\in E \: : \: ||f(x)||_F\leq k||x||_E.
  f est lipshitizienne.
f est uniformément continue.

Remarque :
Ce théorème doit être retenu par coeur car il est très utilisé en pratique.

Exemple :
\begin{array}{rcl}f: & K[X] & \longrightarrow& K[X]&\\  & P & \longrightarrow & P^' \end{array}
f \in \mathfrak{L}(K[X]), on munit K[X] de sa norme ||.||_\infty. (voir chapitre : normes sur un K-espace vectoriel)
Soit P_n = X^n avec n \in \mathbb{N}.
\forall n\in \mathbb{N}^* \: : \: ||f(P_n)||_\infty = ||nX^{n-1}||_\infty = n\longrightarrow_{n\to+\infty} +\infty
Or : \forall n \: : \: P_n\in S(0_E,1).
Et f n'est pas bornée sur S(0_E,1).
Donc f n'est pas continue .
Theorème :

Toute application linéaire définie sur un evn de dimension finie est continue.

Notation :
On note \mathfrak{L}_c(E,F) l'ensemble des applications linéaires continues de E dans F, et si E = F, on le note \mathfrak{L}_c(E).
Proposition :

Soit f \in \mathfrak{L}_c(E,F).
On note : \alpha = \sup_{||x||_E = 1} ||f(x)||_F, \beta = \sup_{||x||_E\leq 1 } ||f(x)||_F, \gamma = \sup_{x\in E\backslash\lbrace 0_E\rbrace }\frac{||f(x)||_F}{||x||_E} et \delta = \inf \lbrace k\in\mathbb{R}_+ / x\in E  : ||f(x)||_F\leq k ||x||_E\rbrace
\rm \alpha, \beta,\gamma  et \delta existent dans \mathbb{R} et on a : \red \rm \alpha=\beta=\gamma=\delta.

Notation :
Pour f \in \mathfrak{L}_c(E,F), On note : |||f|||_{E,F} = \alpha (on le note aussi |||f||| s'il n'y a pas d'ambiguité ).
Donc |||f|||_{E,F} = \red\rm\alpha=\beta=\gamma=\delta.
Proposition :

Soit f\in\mathfrak{L}_c(E,F) et g\in\mathfrak{L}_c(F,G)G est un evn dont la norme est notée ||.||_G.
Alors : |||g \circ f|||_{E,G} \leq |||g|||_{F,G} . |||f|||_{E,F}.

Théorème - Définition :

1. L'application \begin{array}{rcl}|||.|||: & \mathfrak{L}_c(E,F) & \longrightarrow& \mathbb{R}&\\  & f & \longrightarrow & |||f||| \end{array} est une norme sur \mathfrak{L}_c(E,F) appelée la norme d'opérateur subordonnée aux \rm ||.||_E et ||.||_F.
2. Si F=E, |||.||| est une norme d'algèbre sur \mathfrak{L}_c(E).

Calcul pratique de |||f||| pour f \in \mathfrak{L}_c(E,F) :
Méthode 1 :
Si on a montré qu' il existe k\in\mathbb{R}_+ tq : \forall x\in E : ||f(x)||_F\leq k||x||_E (1) .
Alors f est continue et |||f|||\leq k.
Si l'inégalité (1) est obtenue de façon "economique", on peut ésperer que k=|||f|||.
En effet, s'il existe x_o\in E\backslash\lbrace 0_E\rbrace tq : ||f(x_o)||_F=k||x_o||_E.
Alors k = \frac{||f(x_o)||_F}{||x_o||_E}, d'où : k\leq|||f|||.
Donc : k=|||f|||.

Méthode 2 :
Si on a montré qu' il existe k\in\mathbb{R}_+ tq : \forall x\in E \: : \: ||f(x)||_F\leq k||x||_E (1) .
S'il existe (x_n)\in B_f(0_E,1)^{\mathbb{N}} tq : ||f(x_n)||_F\longrightarrow_{n\to+\infty} k, alors : |||f|||=k .
En effet: \forall n\in \mathbb{N} \: : \: ||f(x_n)||_F\leq |||f|||, d'où quand n\longrightarrow +\infty \: : \: k\leq|||f||| .
Or : (1) \: \Longrightarrow \: |||f|||\leq k.
D'où k = |||f|||
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1250 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !