Séries à termes dans un espace vectoriel normé
)
est un K-ev normé.
I. Généralités
1. Définitions
Définition :
On appelle série à termes dans

tout couple
_{n\in \mathbb{N}} \, , \, (S_{n})_{n\in \mathbb{N}}))
où
\in E^{\mathbb{N}})
et
\in E^{\mathbb{N}})
tel que :
Notations - Vocabulaire :
1. Soit
_{n\in \mathbb{N}} \, , \, (S_{n})_{n\in \mathbb{N}}))
une série à termes dans

.

s'appelle le terme général (ou le terme d'indice

) de

.

s'appelle la somme partielle d'indice

de

.

est déterminée par la suite
_{n\in\mathbb{N}})
de ses termes généraux, on note alors

ou encore
2. On peut aussi définir les séries de type

, l'étude suite concerne les séries

mais elle se généralise aisement aux séries
3. Les séries à termes dans

(c'est-à-dire

) s'appellent les séries numériques.
2. Convergence - divergence
Définition :
Soit

une série à termes dans

.
On dit que
converge ssi la suite
)
de ses sommes partielles converge.
Dans ce cas, la limite de la suite
)
s'appelle la
somme de la série

, on la note

.
Et si

ne converge pas, on dit qu'elle
diverge.
N.B :
En cas de convergence :
Remarque :
On définit de même la convergence et la somme d'une série
Proposition :
Soit

une série à termes dans

. Alors :
Si

converge alors

.
Remarque importante :
La réciproque de la proposition précédente est fausse en général.
Vocabulaire :
Si

quand

, alors

diverge, plus précisément, on dit que

diverge grossièrement.
Proposition - Définition :
Soit

une série
convergente à termes dans

.
Alors pour tout

, la série

converge.
De plus, si on note

et

, on a :

,

s'appelle le reste à l'ordre

de la série
convergente 
.
Proposition :
Soit

une série convergente à termes dans

et soit
)
la suite de ses restes.
Alors :
Remarque :
Avec les notations de la "proposition-définition" précédente on a :

et

étant donné, il existe

tel que :
Pour tout

,

est une valeur approchée de

à

près.
Théorème :
Soit

et

deux séries à termes dans

. Alors :
Si

et

convergent, il en est de même de
)
, de plus dans ce cas :
Si l'une des deux séries

et

converge et l'autre diverge, on a :
)
diverge.
Si

et

divergent, on ne peut rien dire de général sur la convergence de
)
.
Théorème :
Soit

et soit

une série à termes dans

convergente, alors

converge et on a :
3. Condition de Cauchy
Soit

une série à termes dans

. La condition de Cauchy pour la convergence de la série

est la suivante :
Remarque :
Si on pose

, on a :

.
Donc la condition de Cauchy traduit que la suite
)
des sommes partielles de

est une suite de Cauchy.
Théorème :
Soit

une série à termes dans

. Alors :
La condition de Cauchy est une condition nécessaire de convergence de la série
Si

est complet, la condition de Cauchy est une condition nécessaire et suffisante de convergence de

.
Remarque :
D'après le théorème précédent, la condition de Cauchy est alors une condition nécessaire et suffisante (C.N.S) de convergence pour les séries numériques et aussi pour les séries à termes dans un evn de dimension
finie.
4. Séries à termes dans un evn de dimension finie
Ici,

est de dimension finie avec :

et
)
est une base de

.
Soit

une série à termes dans

, soit
_{n\in\mathbb{N}})
la

-ème suite composante de
)
dans la base

.
Théorème :
Avec les notations précédentes, on a :

converge ssi
 \: : \: \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_{j,n})
converge dans

.
De plus, dans ce cas :
5. Séries téléscopiques

est dite
télescopique s'il existe une suite
_{n\geq n_0})
d'éléments de

tel que :
 \: : \: U_n = \beta_{n+1} - \beta_{n})
(respectivement :

)
On a donc :
 = \beta_{n+1}-\beta_{n_0})
(respectivement :

).
Alors :

converge ssi
_{n\geq n_0})
converge, de plus, dans ce cas :

(respectivement :

)
II. Convergence absolue
Définition :
Soit

une série à termes dans

.
On dit que

converge absolument ssi la série

converge dans

.
Exemples :
1. 
muni de de la norme

(module) et
On a :

, donc

converge,
on en déduit que

converge absolument.
2. 
muni de la norme

(valeur absolue) et
On a :

, donc

ne converge pas absolument alors que

converge d'après la condition de Cauchy.
3. ![E = K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E = K[X])
muni de la norme

(rappel : dans
![K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[X])
, pour

on a :

) et

, donc :

converge c'est-à-dire que

converge absolument.
Montrons cependant que
diverge :
Soit

, soit
![P \in K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P \in K[X])
et posons :

(

et

).
donc

, si

, on aurait
^2})
ce qui est absurde.
Donc

diverge .
Théorème :
Dans un Banach, toute série absolument convergente est convergente.
Lemme :
Soit

une série à termes dans

,

et
_{n\geq n_0})
une suite réelle tq :
Alors

converge absolument.
Proposition :
Soit

et

deux séries à termes dans

absolument convergentes.
Alors, pour tout
 \in K^2)
, la série :
)
converge absolument.
III. Produit de Cauchy
Ici,
)
est une

-algèbre normée.
Soit

et

deux séries à termes dans

, on pose

avec

.
La série

s'appelle la série produit de Cauchy des séries

et

.
Remarques :
Lemme :
Soit

et

deux séries à termes dans

et soit

leur série produit de Cauchy.
Si

et

convergent, il en est de même de

et on a :
Théorème :
Soit

et

deux séries à termes dans la

-algèbre normée

absolument convergentes, soit

leur série produit de Cauchy, alors :

est absolument convergente.
Si

est une

-algèbre de Banach, on a :

,

et

convergent absolument et on a :