Fiche de mathématiques
> >

Séries à termes dans un espace vectoriel normé

Partager :
(E \, , \, ||.||) est un K-ev normé.

I. Généralités

1. Définitions

Définition :

On appelle série à termes dans E tout couple T = ((U_n)_{n\in \mathbb{N}} \, , \, (S_{n})_{n\in \mathbb{N}})(U_n)\in E^{\mathbb{N}} et (S_n)\in E^{\mathbb{N}} tel que : S_n = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} U_k


Notations - Vocabulaire :
1. Soit T = ((U_n)_{n\in \mathbb{N}} \, , \, (S_{n})_{n\in \mathbb{N}}) une série à termes dans E.
    U_n s'appelle le terme général (ou le terme d'indice n) de T.
    S_n s'appelle la somme partielle d'indice n de T.
    T est déterminée par la suite (U_n)_{n\in\mathbb{N}} de ses termes généraux, on note alors T = \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}}U_n \, , \, \displaystyle \sum_{n\geq 0 }U_n \, , \, \displaystyle \sum_{n }U_n ou encore \displaystyle \sum U_n
2. On peut aussi définir les séries de type \displaystyle \sum_{n\geq n_0 }U_n, l'étude suite concerne les séries \displaystyle \sum_{n\geq 0 }U_n mais elle se généralise aisement aux séries \displaystyle \sum_{n\geq n_0 }U_n
3. Les séries à termes dans K (c'est-à-dire \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}) s'appellent les séries numériques.

2. Convergence - divergence

Définition :

Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n une série à termes dans E.
On dit que \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n converge ssi la suite (S_n) de ses sommes partielles converge.
Dans ce cas, la limite de la suite (S_n) s'appelle la somme de la série \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n, on la note \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} U_n.
Et si \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n ne converge pas, on dit qu'elle diverge.


N.B :
En cas de convergence : \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} U_n = \displaystyle \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^N U_n

Remarque :
On définit de même la convergence et la somme d'une série \displaystyle \sum_{n\geq n_0} U_n
Proposition :

Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n une série à termes dans E. Alors :
Si \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n converge alors U_n \longrightarrow_{n\to+\infty} 0_E.


Remarque importante :
La réciproque de la proposition précédente est fausse en général.

Vocabulaire :
Si U_n \not\longrightarrow 0_E quand n \to +\infty, alors \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n diverge, plus précisément, on dit que \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n diverge grossièrement.
Proposition - Définition :

Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n une série convergente à termes dans E.
Alors pour tout n\in \mathbb{N}, la série \displaystyle \sum_{k\geq n+1} U_k converge.
De plus, si on note S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} U_k \, , \, S = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} U_k et R_n = \displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty} U_k, on a :
\boxed{S = S_n + R_n}, R_n s'appelle le reste à l'ordre n de la série convergente  \displaystyle \sum_{k\geq0}^{} U_k.

Proposition :

Soit  \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n une série convergente à termes dans E et soit (R_n) la suite de ses restes.
Alors : R_n \longrightarrow _{n\to +\infty}0_E


Remarque :
Avec les notations de la "proposition-définition" précédente on a : S = S_n + R_n et R_n \longrightarrow _{n\to +\infty}0_E
\epsilon > 0 étant donné, il existe \eta \in \mathbb{N} tel que : \forall n \geq \eta \: : \: ||R_n|| = ||S - S_n|| \leq \epsilon
Pour tout n\geq \eta, S_n est une valeur approchée de S à \epsilon près.
Théorème :

Soit \sum U_n et \sum V_n deux séries à termes dans E. Alors :
    Si \sum U_n et \sum V_n convergent, il en est de même de \sum(U_n + V_n), de plus dans ce cas : \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (U_n + V_n) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} U_n + \sum_{n=0}^{+\infty} V_n
    Si l'une des deux séries \sum U_n et \sum V_n converge et l'autre diverge, on a : \sum(U_n + V_n) diverge.
    Si \sum U_n et \sum V_n divergent, on ne peut rien dire de général sur la convergence de \sum(U_n+V_n).

Théorème :

Soit \lambda \in K et soit \sum U_n une série à termes dans E convergente, alors \sum \lambda U_n converge et on a :
\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda U_n = \lambda\sum_{n=0}^{+\infty}  U_n


3. Condition de Cauchy

Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n une série à termes dans E. La condition de Cauchy pour la convergence de la série \displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n est la suivante : \left(\forall \epsilon > 0\right) \: \left(\exists n \in \mathbb{N}\right) \: \left(\forall(n,m) \in \mathbb{N}^2\right) \: : \: m > n \geq N \Longrightarrow ||\displaystyle \sum_{k=n+1}^{m} U_k|| \leq \epsilon

Remarque :
Si on pose S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n U_k, on a : \displaystyle \sum_{k=n+1}^{m} U_k = S_m-S_n.
Donc la condition de Cauchy traduit que la suite (S_n) des sommes partielles de \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n est une suite de Cauchy.
Théorème :

Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n une série à termes dans E. Alors :
    La condition de Cauchy est une condition nécessaire de convergence de la série  \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n
    Si E est complet, la condition de Cauchy est une condition nécessaire et suffisante de convergence de \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n.


Remarque :
D'après le théorème précédent, la condition de Cauchy est alors une condition nécessaire et suffisante (C.N.S) de convergence pour les séries numériques et aussi pour les séries à termes dans un evn de dimension finie.

4. Séries à termes dans un evn de dimension finie

Ici, E est de dimension finie avec : \dim{E} = p \geq 1 et \mathfrak{B} = (e_1 \, , \, \cdots \, , \, e_p) est une base de E.
Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n une série à termes dans E, soit (U_{j,n})_{n\in\mathbb{N}} la j-ème suite composante de (U_n) dans la base \mathfrak{B}.
\forall n \in \mathbb{N} \: : \: \displaystyle\sum_{j=1}^{p}U_{j,n}e_j = U_n
Théorème :

Avec les notations précédentes, on a : \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n converge ssi (\forall j \in \ldbrack1,p\rdbrack) \: : \: \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_{j,n} converge dans K.
De plus, dans ce cas : \red \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} U_n = \sum_{j=1}^{p} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}U_{j,n}\right)e_j



5. Séries téléscopiques

\displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n est dite télescopique s'il existe une suite (\beta_n)_{n\geq n_0} d'éléments de E tel que :
(\forall n\geq n_0) \: : \: U_n = \beta_{n+1} - \beta_{n} (respectivement : U_n = \beta_{n} -\beta_{n+1})
On a donc : S_n = \displaystyle \sum_{k=n_0}^{n} U_k = \sum_{k=n_0}^{n} (\beta_{k+1} - \beta_{n}) = \beta_{n+1}-\beta_{n_0} (respectivement : S_n = \beta_{n_0} - \beta_{n+1}).
Alors : \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n converge ssi (\beta_n)_{n\geq n_0} converge, de plus, dans ce cas :
\displaystyle \sum_{n=n_0}^{+\infty} U_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \beta_n - \beta_{n_0} (respectivement : \displaystyle \sum_{n=n_0}^{+\infty} U_n = \beta_{n_0} - \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \beta_n)

II. Convergence absolue

Définition :

Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n une série à termes dans E.
On dit que \displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n converge absolument ssi la série \displaystyle \sum_{n\geq 0} ||U_n|| converge dans \mathbb{R}.


Exemples :
    1. E = \mathbb{C} muni de de la norme |.| (module) et  U_n = \frac{e^{inx}}{n^2}
On a : |U_n| = \frac{1}{n^2}, donc \sum |U_n| converge,
on en déduit que \sum U_n converge absolument.
    2. E = \mathbb{R} muni de la norme |.| (valeur absolue) et U_n = \frac{(-1)^n}{n}
On a : |U_n| = \frac{1}{n}, donc \sum |U_n| ne converge pas absolument alors que \sum U_n converge d'après la condition de Cauchy.
    3. E = K[X] muni de la norme ||.||_2 (rappel : dans K[X], pour P = \displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_k X^k on a : ||P||_2 = \sqrt{\displaystyle \sum_{k\in\mathbb{N}} |a_k|^2}) et U_n = \frac{X^n}{n^2}
||U_n||_2 = \frac{1}{n^2}, donc : \sum ||U_n||_2 converge c'est-à-dire que \sum U_n converge absolument.
Montrons cependant que \sum U_n diverge :
Soit S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}U_k = \sum_{k=1}^n \frac{X^k}{k^2}, soit P \in K[X] et posons : P = \displaystyle\sum_{k=0}^d a_k X^k (d \in \mathbb{N} et a_k \in K).
||S_n - P||_2 = ||a_0 + \displaystyle\sum_{k=1}^{d}(\frac{1}{k^2}-a_k)X^k  + \sum_{k=d+1}^{n} \frac{X^k}{k^2}||_2 = \sqrt{|a_0|^2 + \displaystyle \sum_{k=1}^{d}| \frac{1}{k^2} - a_k|^2 + \sum_{k=d+1}^{n} \frac{1}{k^2}} \geq \sqrt{\frac{1}{(d+1)^4}} = \frac{1}{(d+1)^2}
donc ||S_n - P||_2 \geq \frac{1}{(d+1)^2}
\forall n > d, si S_n \longrightarrow_{n\to+\infty} P, on aurait 0 \geq  \frac{1}{(d+1)^2} ce qui est absurde.
Donc \sum U_n diverge .
Théorème :

Dans un Banach, toute série absolument convergente est convergente.

Lemme :

Soit \sum U_n une série à termes dans E, n_0\in\mathbb{N} et (\alpha_n)_{n\geq n_0} une suite réelle tq : \lbrace {(\forall n \geq n_0) \: : \: ||U_n|| \leq \alpha_n \atop \sum \alpha_n \text{ converge}}
Alors \sum U_n converge absolument.

Proposition :

Soit \sum U_n et \sum V_n deux séries à termes dans E absolument convergentes.
Alors, pour tout (a,b) \in K^2, la série : \sum (aU_n + bV_n) converge absolument.



III. Produit de Cauchy

Ici, (E \, , \, ||.||) est une K-algèbre normée.
Soit \sum U_n et \sum V_n deux séries à termes dans E, on pose W_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} U_k \times V_{n-k} avec n \in \mathbb{N}.
La série \sum W_n s'appelle la série produit de Cauchy des séries \sum U_n et \sum V_n.

Remarques :
    W_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} U_{k} \times V_{n-k} = U_0 \times V_n + U_1 \times V_{n-1} + \cdots + U_n \times V_0 = U_n \times V_0 + U_{n-1} \times V_1 + \cdots + U_0\times V_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} U_{n-k} \times V_k
    W_n = \displaystyle \Bigsum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2\\lbrace i+j=n}} U_{i}\times V_j
Lemme :

Soit \sum a_n et \sum b_n deux séries à termes dans \mathbb{R}^+et soit \sum c_n leur série produit de Cauchy.
Si \sum a_n et \sum b_n convergent, il en est de même de \sum c_n et on a :
\red \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a_k b_{n-k}\right) = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)

Théorème :

Soit \sum U_n et \sum V_n deux séries à termes dans la K-algèbre normée E absolument convergentes, soit \sum W_n leur série produit de Cauchy, alors :
    \sum W_n est absolument convergente.
    Si E est une K-algèbre de Banach, on a :
        \sum U_n, \sum V_n et \sum W_n convergent absolument et on a : \red \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} W_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} U_k V_{n-k}\right) = \left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} U_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} V_n\right)

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1328 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !