Fiche de mathématiques

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Séries à termes dans un espace vectoriel normé

$(E \, , \, ||.||)$ est un K-ev normé.

I. Généralités

1. Définitions

Définition :

On appelle série à termes dans $E$ tout couple $T = ((U_n)_{n\in \mathbb{N}} \, , \, (S_{n})_{n\in \mathbb{N}})$ où $(U_n)\in E^{\mathbb{N}}$ et $(S_n)\in E^{\mathbb{N}}$ tel que : $S_n = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} U_k$

Notations - Vocabulaire :
1. Soit $T = ((U_n)_{n\in \mathbb{N}} \, , \, (S_{n})_{n\in \mathbb{N}})$ une série à termes dans $E$ .
$U_n$ s'appelle le terme général (ou le terme d'indice $n$ ) de $T$ .
$S_n$ s'appelle la somme partielle d'indice $n$ de $T$ .
$T$ est déterminée par la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de ses termes généraux, on note alors $T = \displaystyle \sum_{n\in \mathbb{N}}U_n \, , \, \displaystyle \sum_{n\geq 0 }U_n \, , \, \displaystyle \sum_{n }U_n$ ou encore $\displaystyle \sum U_n$
2. On peut aussi définir les séries de type $\displaystyle \sum_{n\geq n_0 }U_n$ , l'étude suite concerne les séries $\displaystyle \sum_{n\geq 0 }U_n$ mais elle se généralise aisement aux séries $\displaystyle \sum_{n\geq n_0 }U_n$
3. Les séries à termes dans $K$ (c'est-à-dire $\mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$ ) s'appellent les séries numériques.

2. Convergence - divergence

Définition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ une série à termes dans $E$ .
On dit que $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ converge ssi la suite $(S_n)$ de ses sommes partielles converge.
Dans ce cas, la limite de la suite $(S_n)$ s'appelle la somme de la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ , on la note $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} U_n$ .
Et si $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ ne converge pas, on dit qu'elle diverge.

N.B :
En cas de convergence : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} U_n = \displaystyle \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^N U_n$

Remarque :
On définit de même la convergence et la somme d'une série $\displaystyle \sum_{n\geq n_0} U_n$

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ une série à termes dans $E$ . Alors :
Si $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ converge alors $U_n \longrightarrow_{n\to+\infty} 0_E$ .

Remarque importante :
La réciproque de la proposition précédente est fausse en général.

Vocabulaire :
Si $U_n \not\longrightarrow 0_E$ quand $n \to +\infty$ , alors $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ diverge, plus précisément, on dit que $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ diverge grossièrement.

Proposition - Définition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ une série convergente à termes dans $E$ .
Alors pour tout $n\in \mathbb{N}$ , la série $\displaystyle \sum_{k\geq n+1} U_k$ converge.
De plus, si on note $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} U_k \, , \, S = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} U_k$ et $R_n = \displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty} U_k$ , on a :
$\boxed{S = S_n + R_n}$ , $R_n$ s'appelle le reste à l'ordre $n$ de la série convergente $\displaystyle \sum_{k\geq0}^{} U_k$ .

Proposition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ une série convergente à termes dans $E$ et soit $(R_n)$ la suite de ses restes.
Alors : $R_n \longrightarrow _{n\to +\infty}0_E$

Remarque :
Avec les notations de la "proposition-définition" précédente on a : $S = S_n + R_n$ et $R_n \longrightarrow _{n\to +\infty}0_E$
$\epsilon > 0$ étant donné, il existe $\eta \in \mathbb{N}$ tel que : $\forall n \geq \eta \: : \: ||R_n|| = ||S - S_n|| \leq \epsilon$
Pour tout $n\geq \eta$ , $S_n$ est une valeur approchée de $S$ à $\epsilon$ près.

Théorème :

Soit $\sum U_n$ et $\sum V_n$ deux séries à termes dans $E$ . Alors :
Si $\sum U_n$ et $\sum V_n$ convergent, il en est de même de $\sum(U_n + V_n)$ , de plus dans ce cas : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (U_n + V_n) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} U_n + \sum_{n=0}^{+\infty} V_n$
Si l'une des deux séries $\sum U_n$ et $\sum V_n$ converge et l'autre diverge, on a : $\sum(U_n + V_n)$ diverge.
Si $\sum U_n$ et $\sum V_n$ divergent, on ne peut rien dire de général sur la convergence de $\sum(U_n+V_n)$ .

Théorème :

Soit $\lambda \in K$ et soit $\sum U_n$ une série à termes dans $E$ convergente, alors $\sum \lambda U_n$ converge et on a :
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda U_n = \lambda\sum_{n=0}^{+\infty} U_n$

3. Condition de Cauchy

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n$ une série à termes dans $E$ . La condition de Cauchy pour la convergence de la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n$ est la suivante : $\left(\forall \epsilon > 0\right) \: \left(\exists n \in \mathbb{N}\right) \: \left(\forall(n,m) \in \mathbb{N}^2\right) \: : \: m > n \geq N \Longrightarrow ||\displaystyle \sum_{k=n+1}^{m} U_k|| \leq \epsilon$

Remarque :
Si on pose $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n U_k$ , on a : $\displaystyle \sum_{k=n+1}^{m} U_k = S_m-S_n$ .
Donc la condition de Cauchy traduit que la suite $(S_n)$ des sommes partielles de $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ est une suite de Cauchy.

Théorème :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ une série à termes dans $E$ . Alors :
La condition de Cauchy est une condition nécessaire de convergence de la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$
Si $E$ est complet, la condition de Cauchy est une condition nécessaire et suffisante de convergence de $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ .

Remarque :
D'après le théorème précédent, la condition de Cauchy est alors une condition nécessaire et suffisante (C.N.S) de convergence pour les séries numériques et aussi pour les séries à termes dans un evn de dimension finie.

4. Séries à termes dans un evn de dimension finie

Ici, $E$ est de dimension finie avec : $\dim{E} = p \geq 1$ et $\mathfrak{B} = (e_1 \, , \, \cdots \, , \, e_p)$ est une base de $E$ .
Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ une série à termes dans $E$ , soit $(U_{j,n})_{n\in\mathbb{N}}$ la $j$ -ème suite composante de $(U_n)$ dans la base $\mathfrak{B}$ .
$\forall n \in \mathbb{N} \: : \: \displaystyle\sum_{j=1}^{p}U_{j,n}e_j = U_n$

Théorème :

Avec les notations précédentes, on a : $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ converge ssi $(\forall j \in \ldbrack1,p\rdbrack) \: : \: \displaystyle \sum_{n\geq 0} U_{j,n}$ converge dans $K$ .
De plus, dans ce cas : $\red \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} U_n = \sum_{j=1}^{p} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}U_{j,n}\right)e_j$

5. Séries téléscopiques

$\displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n$ est dite télescopique s'il existe une suite $(\beta_n)_{n\geq n_0}$ d'éléments de $E$ tel que :
$(\forall n\geq n_0) \: : \: U_n = \beta_{n+1} - \beta_{n}$ (respectivement : $U_n = \beta_{n} -\beta_{n+1}$ )
On a donc : $S_n = \displaystyle \sum_{k=n_0}^{n} U_k = \sum_{k=n_0}^{n} (\beta_{k+1} - \beta_{n}) = \beta_{n+1}-\beta_{n_0}$ (respectivement : $S_n = \beta_{n_0} - \beta_{n+1}$ ).
Alors : $\displaystyle \sum_{n\geq 0} U_n$ converge ssi $(\beta_n)_{n\geq n_0}$ converge, de plus, dans ce cas :
$\displaystyle \sum_{n=n_0}^{+\infty} U_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \beta_n - \beta_{n_0}$ (respectivement : $\displaystyle \sum_{n=n_0}^{+\infty} U_n = \beta_{n_0} - \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \beta_n$ )

II. Convergence absolue

Définition :

Soit $\displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n$ une série à termes dans $E$ .
On dit que $\displaystyle \sum_{n\geq 0}^{} U_n$ converge absolument ssi la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0} ||U_n||$ converge dans $\mathbb{R}$ .

Exemples :
1. $E = \mathbb{C}$ muni de de la norme $|.|$ (module) et $U_n = \frac{e^{inx}}{n^2}$
On a : $|U_n| = \frac{1}{n^2}$ , donc $\sum |U_n|$ converge,
on en déduit que $\sum U_n$ converge absolument.
2. $E = \mathbb{R}$ muni de la norme $|.|$ (valeur absolue) et $U_n = \frac{(-1)^n}{n}$
On a : $|U_n| = \frac{1}{n}$ , donc $\sum |U_n|$ ne converge pas absolument alors que $\sum U_n$ converge d'après la condition de Cauchy.
3. $E = K[X]$ muni de la norme $||.||_2$ (rappel : dans $K[X]$ , pour $P = \displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_k X^k$ on a : $||P||_2 = \sqrt{\displaystyle \sum_{k\in\mathbb{N}} |a_k|^2}$ ) et $U_n = \frac{X^n}{n^2}$
$||U_n||_2 = \frac{1}{n^2}$ , donc : $\sum ||U_n||_2$ converge c'est-à-dire que $\sum U_n$ converge absolument.
Montrons cependant que $\sum U_n$ diverge :
Soit $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}U_k = \sum_{k=1}^n \frac{X^k}{k^2}$ , soit $P \in K[X]$ et posons : $P = \displaystyle\sum_{k=0}^d a_k X^k$ ( $d \in \mathbb{N}$ et $a_k \in K$ ).
$||S_n - P||_2 = ||a_0 + \displaystyle\sum_{k=1}^{d}(\frac{1}{k^2}-a_k)X^k + \sum_{k=d+1}^{n} \frac{X^k}{k^2}||_2 = \sqrt{|a_0|^2 + \displaystyle \sum_{k=1}^{d}| \frac{1}{k^2} - a_k|^2 + \sum_{k=d+1}^{n} \frac{1}{k^2}} \geq \sqrt{\frac{1}{(d+1)^4}} = \frac{1}{(d+1)^2}$
donc $||S_n - P||_2 \geq \frac{1}{(d+1)^2}$
$\forall n > d$ , si $S_n \longrightarrow_{n\to+\infty} P$ , on aurait $0 \geq \frac{1}{(d+1)^2}$ ce qui est absurde.
Donc $\sum U_n$ diverge .

Théorème :

Dans un Banach, toute série absolument convergente est convergente.

Lemme :

Soit $\sum U_n$ une série à termes dans $E$ , $n_0\in\mathbb{N}$ et $(\alpha_n)_{n\geq n_0}$ une suite réelle tq : $\lbrace {(\forall n \geq n_0) \: : \: ||U_n|| \leq \alpha_n \atop \sum \alpha_n \text{ converge}}$
Alors $\sum U_n$ converge absolument.

Proposition :

Soit $\sum U_n$ et $\sum V_n$ deux séries à termes dans $E$ absolument convergentes.
Alors, pour tout $(a,b) \in K^2$ , la série : $\sum (aU_n + bV_n)$ converge absolument.

III. Produit de Cauchy

Ici, $(E \, , \, ||.||)$ est une $K$ -algèbre normée.
Soit $\sum U_n$ et $\sum V_n$ deux séries à termes dans $E$ , on pose $W_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} U_k \times V_{n-k}$ avec $n \in \mathbb{N}$ .
La série $\sum W_n$ s'appelle la série produit de Cauchy des séries $\sum U_n$ et $\sum V_n$ .

Remarques :
$W_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} U_{k} \times V_{n-k} = U_0 \times V_n + U_1 \times V_{n-1} + \cdots + U_n \times V_0 = U_n \times V_0 + U_{n-1} \times V_1 + \cdots + U_0\times V_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} U_{n-k} \times V_k$
$W_n = \displaystyle \Bigsum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2\\lbrace i+j=n}} U_{i}\times V_j$

Lemme :

Soit $\sum a_n$ et $\sum b_n$ deux séries à termes dans $\mathbb{R}^+$ et soit $\sum c_n$ leur série produit de Cauchy.
Si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent, il en est de même de $\sum c_n$ et on a :
$\red \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} a_k b_{n-k}\right) = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)$

Théorème :

Soit $\sum U_n$ et $\sum V_n$ deux séries à termes dans la $K$ -algèbre normée $E$ absolument convergentes, soit $\sum W_n$ leur série produit de Cauchy, alors :
$\sum W_n$ est absolument convergente.
Si $E$ est une $K$ -algèbre de Banach, on a :
$\sum U_n$ , $\sum V_n$ et $\sum W_n$ convergent absolument et on a : $\red \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} W_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} U_k V_{n-k}\right) = \left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} U_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} V_n\right)$

Publié par Panter le 30-11--0001

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