Fiche de mathématiques
> >

Normes sur un K-espace vectoriel

Partager :

\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}

Définition de Normes :

Définition :

On appelle norme sur E toute application \text{N} : \mathbb{R} \right \mathbb{R} tel que :
  1. \left( \forall x \in \text{E} \right) : \text{N}(x) \geq 0
  2. \left( \forall x \in \text{E} \right) : \text{N}(x) = 0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}
  3. \left(\forall x \in \text{E}\right) \left(\forall \lambda \in \mathbb{R}\right) : \text{N}(\lambda  x) = \|\lambda \| \text{N}(x)
  4. \left(\forall (x,y) \in \text{E}^2 ) : \text{N}(x+y) \leq \text{N}(x) + \text{N}(y)

Proposition :

Si N est une norme sur E, alors pour tout (x,y) \in \text{E}^2, on a :
| N(x) - N(y) | \leq N(x-y)


Normes de K-algèbre :

Soit (E,+,×,.) une K-algèbre.
Une application N : E \right \mathbb{R} est dite une norme d'algèbre ssi :
  • N est une norme de K-ev (E,+,.)
  • (\forall (x,y) \in\text{E}^2) : N(xy) \leq N(x) N(y)


Normes Equivalentes :

Soit N_{1} et N_{2} deux normes sur E, on dit qu'elles sont équivalentes ssi :
(\exists (\alpha,\psi)\in \mathbb{R}^{*+}) \; : \; \alpha N_{1}(x) \leq N_{2}(x) \leq \psi N_{1}(x)


Notion de distance :

Définition :

On appelle distance sur un ensemble non vide X toute application D:X^3 \rightarrow \mathbb{R} telle que :
  1. \left(\forall (x,y) \in X^2\right) \; : \; D(x,y) \geq 0
  2. \left(\forall (x,y) \in X^2\right) \; : \; D(x,y) = 0 \text{ ssi } y = x
  3. \left(\forall (x,y) \in X^2\right) \; : \; D(x,y) = D(y,x)
  4. \left(\forall (x,y,z) \in X^3\right) \; : \; D(x,y) \leq D(x,z) + D(z,y)

Définition :

L'application d : E \times E \rightarrow \mathbb{R} définit par d(x,y) = N(x-y) est une distance sur l'evn E de norme N.
On l'appelle la distance associée à la norme N.

Proposition :

Soit d la distance sur E associée à la norme N, alors : \left(\forall (x,y,z) \in E^3\right) \left(\forall \lambda \in K\right), on a :
  • d(x+z,y+z) = d(x,y)
  • d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda|d(x,y)

Proposition - Définition :

Soit x \in E et A une partie non vide de E, le nombre d(x,A) = inf \lbrace  N(x-a)/a \in A \rbrace existe dans \mathbb{R} et on l'appelle la distance de x à A.

Proposition :

Soit A une partie non vide de E, pour tout (x,y) \in E^2 on a : |d(x,A) - d(y,A)| \leq N(x-y)


Boules Ouvertes - Boules Fermées - Sphères :

Définitions :

Soit a \in E et r > 0
  • On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r l'ensemble : B(a,r) = \lbrace x \in E/N(x-a) < r\rbrace
  • On appelle boule fermée de centre a et de rayon r l'ensemble : B_{f}(a,r)=\lbrace x\in E/N(x-a) \le r\rbrace
  • On appelle sphère de centre a et de rayon r l'ensemble : S(a,r)=\lbrace x \in E/N(x-a)=r\rbrace


Quelques Normes usuelles :

  • E = K^n \; (n \in \mathbb{N} - \lbrace 0,1\rbrace ), pour x = (x_{1},...,x_{n}) \in K^n, on pose :
    N_{1}(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{2}(x) = (\displaystyle \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^2)^{1/2} \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{\infty}(x) = Max_{1 \leq k \leq n} |x_{k}|
  • E = K[x] pour P = \displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} a_{k}x^k on pose :
    N_{1}(P)=\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} |a_{k}| \hspace{5pt} ,  \hspace{5pt} N_{2}(P)= (\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} |a_{k}|^2)^{1/2} \hspace{5pt}  , \hspace{5pt} N_{\infty}(P) = Max_{k\in N}|a_{k}|
  • E = C^0([a,b],K) pour f \in E, on pose :
    N_{1}(f) = \displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)| dt \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{2}(f) = \left(\displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)|^2dt\right)^{1/2} \hspace{5pt}  ,  \hspace{5pt} N_{\infty}(f) = Sup_{t \in [a,b]}|f(t)|
  • E = K, le module |.| est une norme sur K

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1250 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !