Fiche de mathématiques
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Notions de base de la topologie dans un espace vectoriel normé

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Prérequis : Normes sur un K-espace vectoriel (K-ev)
Ici, (E, ||.||) désigne un espace vectoriel normé (evn) (||.|| est une norme).

I. Parties Bornées

Soit A une partie de E.
On dit que A est bornée ssi : Il existe r \geq 0 et a \in E tq : A \subset B_{f}(a,r).


Remarques :
  1. \empty est borné.
  2. B(a,r) et B_{f}(a,r) sont bornées.
  3. Soit A et B deux parties de E tq : A \subset B, alors si B est bornée alors A l'est aussi.
  4. Soit X un evn non vide, une application \begin{array}{rcccl} f&:&X&\to& E\\ \end{array} est bornée ssi : f(X) est bornée dans E.

Proposition - Définition :

Soit A \subset E ; A \neq \empty, les propositions suivantes sont equivalentes (p.p.s.e) :
  • A est bornée.
  • Il existe r \geq 0 tq : A \subset B_{f}(0_{E},r).
  • \lbrace  ||x-y|| / (x,y) \in A^2 \rbrace est majoré.


Si A est bornée, sup\lbrace ||x-y|| /(x,y) \in A^2\rbrace est appelé le diamètre de A noté : diam(A).



II. Voisinages

Soient a \in E et V \subset E.
On dit que V est un voisinage de a ssi : il existe r>0 tq : B_{f}(a,r) \subset V.


Notation :
L'ensemble des voisinages de a est noté : \mathfrak{V}(a).

Exemples :
  1. E = \mathbb{R}, A un intervalle ouvert non vide, alors A est voisinage de chacun de ses points. Par contre, si A = [a,b[ avec (a,b) \in \mathbb{R}^2, alors : A \not \in \mathfrak{V}(a).
    Plus généralement, un intervalle non ouvert n'est pas voisinage de ses extremités qui lui appartiennent.
  2. Soient a \in E, r > 0 et A = B(a,r), montrons que A est voisinage de chacun de ses points :
    Soit x \in A, il suffit alors de montrer que : \exists \phi >0 tq : B_{f}(x, \phi) \subset A
    On a : r - ||x-a|| > 0, soit \phi \in \mathbb{R} tq : 0 < \phi < r - ||x - a||
    Soit y \in B_{f}(x,\phi) : ||y - a|| = ||y - x + x - a|| \leq ||y - x|| + ||x - a|| \leq \phi + ||x - a||  < r
    alors : B_{f}(x, \phi) \subset A, d'où le résultat.

Proposition :

Soit (a,b) \in E^2 :
  1. Soit p \in \mathbb{N}^{*} et soit V_{1}, \ldots , V_{p} p voisinage de a, alors : \bigcap_{i=1}^p  V_{i} est un voisinage de a.
  2. Si a \neq b, il existe un U \in \mathfrak{V}(a) et un W \in \mathfrak{V}(b) tq : U \cap W = \empty.
  3.  \bigcap_{V\in \mathfrak{V}(a)}^{} V = \lbrace a\rbrace .



III. Points adhérents à une partie

Soient A \subset E et x \in E.
On dit que x est adhérent à A ssi : (\forall V \in \mathfrak{V}(x) ) : V \cap A \not = \empty.


Notation - Vocabulaire :
L'ensemble des points adhérents à A est noté : Adh(A) ou \bar A et on l'appelle l'adhérence de A.
Proposition :

Soient A \subset E , A \neq \empty et x \in E, alors les p.s.s.e :
  • x \in \bar A.
  • (\forall \epsilon > 0) : B_{f}(x,\epsilon) \cap A \neq \empty.
  • (\forall \epsilon >0) : B(x,\epsilon) \cap A \neq \empty.

Théorème :

Soit A \subset E , A \neq \empty et soit x \in E, on a : x \in \bar A \Leftrightarrow  d(x,A) = 0.


Remarque :
On peut définir l'adhérence de A de la manière suivante : \bar A = \lbrace  x \in E  / d(x,A)=0\rbrace .

IV. Densité

Soient A et B deux parties de E.
On dit que A est dense dans B ssi : B \subset \bar A.


Exemples :
  1. Soit a \in E et soit r >0, on a B(a,r) est dense dans S(a,r).
  2. E = \mathbb{R}, on a \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{Q} et on a aussi : \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}.

Remarque :
Si B = E, A est dense dans E ssi : E \subset \bar A c'est-à-dire ssi : E = \bar A.

V. Points intérieurs à une partie

Soient A \subset E et x \in E.
On dit que x est un point intérieur à A ssi : A \in \mathfrak{V}(x).


Notation - Vocabulaire :
L'ensemble des points intérieurs à A est noté Int(A) ou A^{o} et on l'appelle l'interieur de A.
Proposition :

Soit A \subset E, et soit A^{c} le complémentaire de A dans E, on a :
  • Int(A^{c})  = (\bar A)^{c}.
  • \bar {A^{c}} = (Int(A))^{c}.

On dit ainsi que les notions d'adhérence et d'interieur sont duales.

VI. Frontière d'une partie

Soit A une partie de E.
On appelle frontière de A l'ensemble noté Fr(A) tq : Fr(A)=\bar A  \backslash A^{o}.


Remarque :
Fr(A) = \bar A  \cap (Int(A))^{c} = \bar A \cap \bar {A^c}.

Exemple :
E = \mathbb{R} : Fr(\mathbb{Q}) = \bar{ \mathbb{Q}} \cap \bar {\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}.

VII. Ouverts et Fermés

Une partie A de E est dite un ouvert de E ssi : (\forall x \in A) : A \in \mathfrak{V}(x).

Une partie A de E est dite un fermé de E ssi : A^{c} est un ouvert.

Proposition :

Soit A \subset E alors :
  1. Int(A) est un ouvert, et Adh(A) est un fermé.
  2. A est un ouvert (respectivement fermé ) ssi Int(A)=A (respectivement Adh(A) =A).

Théorème :
  • Toute réunion (respectivement intersection) d'ouverts (respectivement de fermés) de E est un ouvert (respectivement un fermé) de E.
  • Toute intersection (respectivement réunion) finie d'ouverts (respectivement de fermés) de E est un ouvert (respectivement un fermé) de E.


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