Notions de base de la topologie dans un espace vectoriel normé
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Prérequis : Normes sur un K-espace vectoriel (K-ev) Ici, désigne un espace vectoriel normé (evn) ( est une norme).
I. Parties Bornées
Soit une partie de .
On dit que est bornée ssi : Il existe et tq : .
Remarques :
est borné.
et sont bornées.
Soit et deux parties de tq : , alors si est bornée alors l'est aussi.
Soit un evn non vide, une application est bornée ssi : est bornée dans .
Proposition - Définition :
Soit ; , les propositions suivantes sont equivalentes (p.p.s.e) :
est bornée.
Il existe tq : .
est majoré.
Si est bornée, est appelé le diamètre de noté : .
II. Voisinages
Soient et .
On dit que est un voisinage de ssi : il existe tq : .
Notation : L'ensemble des voisinages de est noté : .
Exemples :
, un intervalle ouvert non vide, alors est voisinage de chacun de ses points. Par contre, si avec , alors : .
Plus généralement, un intervalle non ouvert n'est pas voisinage de ses extremités qui lui appartiennent.
Soient , et , montrons que est voisinage de chacun de ses points : Soit , il suffit alors de montrer que : tq : On a : , soit tq : Soit : alors : , d'où le résultat.
Proposition :
Soit :
Soit et soit voisinage de , alors : est un voisinage de .
Si , il existe un et un tq : .
.
III. Points adhérents à une partie
Soient et .
On dit que est adhérent à ssi : : .
Notation - Vocabulaire : L'ensemble des points adhérents à est noté : ou et on l'appelle l'adhérence de .
Proposition :
Soient et , alors les p.s.s.e :
.
: .
: .
Théorème :
Soit et soit , on a : .
Remarque : On peut définir l'adhérence de de la manière suivante : .
IV. Densité
Soient et deux parties de .
On dit que est dense dans ssi : .
Exemples :
Soit et soit , on a est dense dans .
, on a est dense dans et on a aussi : est dense dans .
Remarque : Si , est dense dans ssi : c'est-à-dire ssi : .
V. Points intérieurs à une partie
Soient et .
On dit que est un point intérieur à ssi : .
Notation - Vocabulaire : L'ensemble des points intérieurs à est noté ou et on l'appelle l'interieur de .
Proposition :
Soit , et soit le complémentaire de dans , on a :
.
.
On dit ainsi que les notions d'adhérence et d'interieur sont duales.
VI. Frontière d'une partie
Soit une partie de .
On appelle frontière de l'ensemble noté tq : .
Remarque : .
Exemple : : .
VII. Ouverts et Fermés
Une partie de est dite un ouvert de ssi : : .
Une partie de est dite un fermé de ssi : est un ouvert.
Proposition :
Soit alors :
est un ouvert, et est un fermé.
est un ouvert (respectivement fermé ) ssi (respectivement).
Théorème :
Toute réunion (respectivement intersection) d'ouverts (respectivement de fermés) de est un ouvert (respectivement un fermé) de .
Toute intersection (respectivement réunion) finie d'ouverts (respectivement de fermés) de est un ouvert (respectivement un fermé) de .
Publié par Panter
le
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