Fiche de mathématiques
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Espaces vectoriels et Applications linéaires - Notions d'Algèbre

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I. Espaces vectoriels

1. Généralités

Définitions :
Soit E un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne (l.c.i) + et soit \mathbb{K} un corps commutatif.
On définit une application
\begin{array}{rcccl}  & &\mathbb{K} \times E&\to&E\\ & & (\lambda,x)&\mapsto &\lambda . x\end{array}
appelée loi de composition externe (l.c.e) sur E à corps d'opérateur \mathbb{K}.
On dit que le triplet (E,+,.) est un \mathbb{K}-espace vectoriel ssi
(E,+) est un groupe abélien.
\forall(x,y) \in E^2, \forall(\lambda, \rho) \in \mathbb{K}^2 on a :
  1. \lambda .(x+y) = \lambda.x + \lambda.y
  2. \lambda.(\rho.x)=(\lambda.\rho).x
  3. (\lambda+\rho).x = \lambda.x+\rho.x
  4. 1_{\mathbb{K}}.x=x


Remarques :
Pour E un \mathbb{K}-espace vectoriel (\mathbb{K}-ev), les éléments de \mathbb{K} sont dits des scalaires, et les éléments de E sont des vecteurs, le zéro 0_{E} de (E,+) est dit le vecteur nul de \mathbb{K}-ev E.

Calcul dans un espace vectoriel :
Soit E un \mathbb{K}-ev et soit (x,y) \in E^2 et (\lambda,\rho) \in \mathbb{K}^2, on a :
  1. 0_{\mathbb{K}}.x=0_{\mathbb{E}} ; \lambda . 0_{E} = 0_{E}.
  2. \lambda . x = 0_{E} \Leftrightarrow  \lambda = 0_{\mathbb{K}} ou  x = 0_E
  3. (\lambda - \rho ) .x = \lambda.x-\rho.x
  4. \lambda.(x-y) = \lambda.x-\lambda.y
  5. -(\lambda.x)=(-\lambda).x = \lambda.(-x)


2. Sous-espace vectoriel (sev)

Définition :
Soit E un \mathbb{K}-ev , F partie non vide de E, on dit que (F,+,.) est un sous-espace vectoriel de E ssi :
\forall (x,y) \in F^2 , \forall \lambda \in \mathbb{K} on a :
    x+y \in F \\ \lambda.x \in F

Proposition :
Soit E un \mathbb{K}-ev, F\subset E.
F est un sev de E ssi : F \neq \varnothing et \forall(x,y) \in E^2, \forall (\lambda,\mu )\in \mathbb{K^2} : \lambda x +\mu y \in F
On dit alors que F est stable par combinaison linéaire.



3. Intersection des sev - sev engendré par une partie

Proposition :
Soit E un \mathbb{K}-ev et soit (F_i)_{i \in I} avec I \not =  \varnothing une famille de sev de E.
\displaystyle \bigcap_{i \in I}^{ }  F_i est aussi un sev de E

Théorème - Définition :
Soit E un \mathbb{K}-ev et soit X un partie de E.
alors il existe un plus petit sev de E qui contient X appelé sous espace vectoriel engendré par X et on le note Vect(X).


Remarques :
  1. Si X =  \varnothing, alors Vect(X) = \lbrace 0\rbrace .
  2. Si X est un sev de E, alors : Vect(X)=X.
Définition : Combinaison linéaire
Soit E un \mathbb{K}-ev et soient X \subset E une partie non vide de E et x \in E.
On dit que x est combinaison linéaire des éléments de X s'il existe n \in \mathbb{N}^*, (a_1,\cdots , a_n) \in \mathbb{K}^n et (x_{i_1}, \cdots , x_{i_n}) \in X^n tq : x = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k x_{i_k}.

Proposition :
Soit E un \mathbb{K}-ev et soit X \subset E une partie non vide de E.
Alors Vect(X) est l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de X.



II. Applications Linéaires

Définition :
Soient E,F deux \mathbb{K}-ev , f \, : \, E \, \to \, F une application.
On dit que f est linéaire si :
  • \forall (x,y) \in E^2  : f(x+y) = f(x)+f(y).
  • \forall \lambda \in \mathbb{K} , \forall x \in E : f(\lambda x) = \lambda f(x).

Définitions :
Soient E et F deux \mathbb{K}-ev et \begin{array}{rcccl} f&:&E&\to& F\\ \end{array} une application linéaire.
  1. L'ensemble des applications linéaires de E vers F est noté \mathfrak{L} (E,F).
  2. Si E=F, f est appelé endomorphisme et \mathfrak{L} (E,F) sera noté par \mathfrak{E}nd (E) ou \mathfrak{L}(E).
  3. Si F=\mathbb{K}, f est appelé forme linéaire et \mathfrak{L} (E,F) sera noté E^* appelé l'espace dual de E.
  4. On appelle isomorphisme toute application linéaire bijective.
  5. On appelle automorphisme tout endomorphisme bijectif de E, et on note Aut(E) ou GL(E) l'ensemble de tout les automorphismes de E.


Remarque :
Si f \in \mathfrak{L} (E,F), alors : f(0_E) = 0_{\mathbb{K}}.
Proposition :
Soient E,F deux \mathbb{K}-ev, f \, : \, E \, \to \, F une application , on a alors :
f \in \mathfrak{L}(E,F) \Leftrightarrow  (\forall(x,y) \in E^2) , (\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^2 ) \; : \; f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)

Proposition :
Soient E,F deux \mathbb{K}-ev, alors :
(\mathfrak{L}(E,F) , + , .) est un \mathbb{K}-ev.
La composée de deux applications linéaires est linéaire.

Proposition :
Soient E,F deux \mathbb{K}-ev, f \in \mathfrak{L}(E,F), et A(resp. B) un sev de E (resp. F), alors :
f(A) est un sev de F.
f^{-1}(B) est un sev de E.

Définitions : Image - Noyau
Soient E,F deux \mathbb{K}-ev, f\in \mathfrak{L}(E,F).
  1. On appelle image de l'application linéaire f et on note Im f le sev de F : Imf = \lbrace f(x) / x \in E\rbrace  = f(E).
  2. On appelle noyau de l'application linéaire f et on note Kerf le sev deE : Kerf=\lbrace x \in E /f(x)=0_F } = f^{-1}(0_F).

Proposition :
Soient E,F deux \mathbb{K}-ev et f \in \mathfrak{L}(E,F), alors :
f est injective \Leftrightarrow Kerf=\lbrace 0_E\rbrace .



III. Somme de sous-espaces vectoriels

Définitions :
Soient E un \mathbb{K}-ev et E_1 et E_2 deux sev de E.
  1. Le sev engendré par E_1 \cup E_2 est appelé somme des sev E_1 et E_2, on le note par : E_1+E_2. Et on a : x \in E_1+E_2 \Leftrightarrow \exists (x_1 , x_2) \in E_1 \times E_2 / x = x_1+x_2.
  2. La somme E_1+E_2 est dite directe lorsque : E_1 \cap E_2 = \lbrace 0_E\rbrace et on note dans ce cas : E_1 \oplus  E_2.
  3. On dit que E_1 et E_2 sont supplémentaires dans E si : E = E_1 \oplus  E_2.


Remarque :
Si E = E_1 \oplus  E_2, on dit que E_1 est supplémentaire de E_2 et réciproquement.
Proposition :
Soient E un \mathbb{K}-ev et E_1 et E_2 deux sev de E, alors on a equivalence entre :
  1. E = E_1 \oplus  E_2.
  2. E = E_1 + E_2 et E_1 \cap E_2 = \lbrace 0_E\rbrace .
  3. (\forall x \in E) (\exists ! (x_1 , x_2) \in E_1 \times E_2) / x = x_1 +x_2.

Propriété :
Soient E,F deux \mathbb{K}-ev , f \in \mathfrak{L}(E,F), H un sev de E et g= f _{\backslash H}.
On a : Kerg = H \cap Kerf.

Théorème : noyau - image :
Imf est isomorphe à tout supplémentaire de Kerf.



IV. Projecteurs et Symétrie vectorielle

Définition :
Soient E un \mathbb{K}-ev, F et G deux sev de E tq E = F \oplus G, (x,x_1 , x_2)  \in E \times F \times G, et p \: , \: q deux applications définies par :
\begin{array}{rcccl} p&:&E&\to& E\\ & &x=x_1+x_2 &\mapsto &p(x)=x_1\end{array}       et       \begin{array}{rcccl} q&:&E&\to& E\\ & &x=x_1+x_2 &\mapsto &q(x)=x_2\end{array}
p et q sont bien définies car E = F \oplus G, (ce n'est pas le cas si E = F+G), alors :
  • p est appelé projection sur F parallèlement à G.
  • q est appelé projection sur G parallèlement à F.

Propriétés :
Avec les notations de la définition prédédente, on a :
    p - q= Id_E \\ p \circ p = p \text{ et } q \circ q = q \\ p \circ q = 0 \text{ et } q \circ p = 0 \\ Im \, p = F \text{ et } Ker \, p = G \\ Im \, q =G \text{ et } Ker \, q = F

Définition :
Soit E un \mathbb{K}-ev.
    Un endomorphisme f de E est dit idempotent lorsque : f \circ f = f.
    On appelle projecteur de E tout endomorphisme idempotent de E.

Propriétés :
Etant donné un projecteur p de E, on a : Ker \, p \oplus Im \, p = E.
Soit p \in \mathfrak{L}(E), Id_E- p est un projecteur ssi p est un projecteur.
Si p est un projecteur deE, alors : Ker(Id_E-p) = Im \, p et Im(Id_E-p) = Ker \, p.

Définition :
Soit E un \mathbb{K}-ev.
On appelle symétrie vectorielle de E tout endomorphisme s de E vérifiant : s \circ s = Id_E.

Théorème :
Soit E un \mathbb{K}-ev.
Si s est une symétrie alors : E = Ker(s-Id_E) \oplus Ker(s+Id_E).


Remarque :
Si s est une symétrie vectorielle alors -s est aussi une symétrie .

Notions d'Algèbre
Définition :
Soit A un ensemble non vide muni de deux l.c.i + et \times et d'une l.c.e . sur le corps commutatif (\mathbb{K}, + , .).
  • (A,+,.,\times) est dit une \mathbb{K}-algèbre si :
    • (A,+,.) est un \mathbb{K}-ev.
    • (A,+, \times) est un anneau.
    • \forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall(x,y) \in A^2 \; : \; \lambda . (x \times y ) = ( \lambda . x) \times y =x \times ( \lambda . y).
  • Si en plus \times est une loi commutative, on dit que (A,+,.,\times) est une \mathbb{K}-algèbre commutative.


Exemples :
\mathbb{Q} est une \mathbb{Q}-algèbre ; \mathbb{R} est une \mathbb{R}-algèbre ; \mathbb{C} est une \mathbb{C}-algèbre.
Définition :
Soient (A,+,.,\times) une \mathbb{K}-algèbre et H une partie de A.
On dit que H est une sous-algèbre de A si :
  • H est un sous-anneau de (A,+, \times).
  • H est un sev de (A,+,.).

Définition :
Soient (A,+,.,\times) et (B, +, . , \circ ) deux \mathbb{K}-algèbre et f \, : \, A \, \to \, B une application.
f est dite morphisme de \mathbb{K}-algèbre si :
  • f(1_A) = 1_B.
  • \forall (a,b ) \in A^2 \; : \; f(a + b) = f(a) + f(b) \text{ et } f(a \circ b  ) = f(a) \circ f(b).
  • \forall \lambda \in \mathbb{K} \; , \; \forall a \in A \; : \; f( \lambda . a ) = \lambda . f(a).


Remarque :
Une sous-algèbre H d'une \mathbb{K}-algèbre (A,+,.,\times) est une \mathbb{K}-algèbre pour les lois induites par + \: , \; . \; \text{ et } \; \times.

Exemple :
\mathbb{R} est une sous \mathbb{R}-algèbre de la \mathbb{R}-algèbre \mathbb{C}.
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