Fiche de mathématiques
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Espaces vectoriels de dimension finie

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Soit K un corps commutatif.

I. Familles libres - familles génératrices - bases

E est un K-espace vectoriel

1. Familles d'éléments

Définitions :
Une famille indexée par un ensemble I est une application i \longrightarrow x_i de I dans E. On la note (x_i)_{i \in I}.
Le support d'une famille (x_i)_{i \in I} est le sous-ensemble \lbrace i \in I \, / \, x_i  \not = 0 \rbrace .
Une famille (x_i)_{i \in I} est dite finie lorsque I est un ensemble fini.

Définition : "sous-famille et sur-famille" :
Soit (x_i)_{i \in I} une famille de E et J \subset I.
On dit que (x_j)_{j \in J} est une sous-famille de (x_i)_{i \in I} ou encore que (x_i)_{i \in I} est une sur-famille de (x_j)_{j \in J}.



2. Combinaisons linéaires d'éléments de E

Définition :
Soit (x_i)_{i \in I} une famille d'éléments de E.
On dit que x \in E est combinaison linéaire de cette famille quand il existe une famille (\beta_i)_{i \in I} de scalaires à support fini telle que : x = \displaystyle \sum _{ i \in I , \beta_i \not = 0 } \beta_i x_i, on note alors : x = \displaystyle \sum_{i \in I} \beta_i x_i.

Définition :
Soit F une partie de E.
On dit que x \in E est combinaison linéaire de F lorsqu'il est combinaison linéaire de la famille (x_k)_{k \in F} des éléments de F.



3. Familles génératrices

Définition :
Une famille (x_i)_{i \in I} d'éléments de E est dite génératrice de E si et seulement si tout élément de E est combinaison linéaire de (x_i)_{i \in I}.

Propriété :
Toute sur-famille d'une famille génératrice est aussi une famille génératrice de E.



4. Familles libres - familles liées

Définition :
Une famille (x_i)_{i \in I} d'éléments de E est dite libre ssi pour toute famille (\beta_i)_{i \in I} d'éléments de K à support fini :
\displaystyle \sum_{i \in I} \beta_i x_i = 0 \Longrightarrow (\forall i \in I \, , \, \beta_i = 0 )
Une famille (x_i)_{i \in I} d'éléments de E est dite liée si elle n'est pas libre, c'est-à-dire ssi il existe une famille (\beta_i)_{i \in I} d'éléments de K à support fini, telle que :
(\beta_i)_{i \in I} \not = (0) et \displaystyle \sum_{i \in I} \beta_i x_i = 0

Propriétés :
1. Une famille à un élément (x) est libre ssi x \not = 0_E.
2. Les éléments d'une famille libre sont deux à deux distincts.
3. Toute sur-famille d'une famille liée est liée.
4. Toute sous-famille d'une famille libre est libre.



5. Bases

Définition :
Une base de E est une famille (b_i)_{i \in I} d'éléments de E à la fois libre et génératrice de E.

Proposition - Définition :
Si (b_i)_{i \in I} est une base de E, alors, pour tout x de E, il existe une famille (\lambda_i)_{i \in I} de K ; à support fini, unique, telle que x = \displaystyle \sum_{i \in I}^{ } \lambda_i b_i. Les \lambda_i \: \: (i \in I) sont appelés les coordonnées ou composantes de x dans la base (b_i)_{i \in I}.

Proposition :
Si B=(b_i)_{i\in I} est une famille d'éléments de E, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1. B est une base
2. B est une famille libre maximale (i.e. aucune sur-famille stricte de B n'est libre)
3. B est une famille génératrice minimale (i.e. aucune sous-famille stricte de B n'est génératrice).



6. Applications linéaires

Propriété :
Soient E et F des K-ev, u \in \mathfrak{L}(E,F) et (x_i)_{i \in I } une famille génératrice de E.
Alors (u(x_i))_{i \in I} est une famille génératrice de Im (u).

Propriétés :
Soient E et F deux K-ev et u \in \mathfrak{L}(E,F).
Si (x_i)_{i \in I} est une famille liée de E, alors (u(x_i))_{i \in I} est une famille liée de F.
Si u est injective et (x_i)_{i \in I} est une famille libre de E, alors (u(x_i))_{i \in I} est libre dans F.

Théorème :
Soient E et F deux K-ev, \mathfrak{B} = (b_i)_{i \in I} une base de E et \mathfrak{X} = (x_i)_{i \in I} une famille de vecteurs de F.
Alors il existe une unique application linéaire \psi \: : \: E \longrightarrow F telle que : \psi (b_i) = x_i (pour tout i \in I), et qui est :
Surjective ssi \mathfrak{X} est une famille génératrice de F.
Injective ssi \mathfrak{X} est une famille libre.
Un isomorphisme ssi \mathfrak{X} est une base de F.



II. Les bases d'un espace vectoriel de dimension finie

1. Espaces vectoriels de dimension finie

Définition :
On dit qu'un K-ev est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie.

Théorème de la base incomplète :
Soient E un K-ev non nul de dimension finie, et (x_i)_{i \in I} une famille génératrice finie de E.
Pour toute sous-famille libre (x_i)_{i \in I^{'}} de (x_i)_{i \in I} (avec I' \subset I), il existe I^{\prim \prim} tel que I' \subset I^{\prim \prim} \subset I et tel que (x_i)_{i \in I^{\prim \prim}} soit une base de E.

Proposition :
Tout K-ev non nul de dimension finie admet une base finie.

Lemme de "Ernst Steinitz" :
Soit E un K-ev et A un sev non nul de dimension finie.
Si A admet une famille génératrice de cardinal n \in \mathbb{N}^*, donc toute famille de A de cardinal n+1 est liée.

Proposition :
Soit E un K-ev. Si E admet une famille génératrice de cardinal n, alors :
    1. Toute famille libre est de cardinal au plus n.
    2. Toute famille d'au moins n+1 vecteurs est liée.



2. Dimension d'un espace vectoriel

Théorème de la dimension :
Soit E un K-ev non nul de dimension finie.
Alors toutes les bases dans E ont le même nombre d'éléments.

Définition :
Soit E un K-ev non nul de dimension finie.
On appelle le nombre d'éléments d'une base de E la dimension de E, et on le note par \dim_K E ou plus simplement \dim E s'il n'y a pas d'ambiguité.


Remarque :
On convient de dire que l'espace vectoriel nul a pour dimension 0.
Propriété :
Des K-ev de dimensions finies sont isomorphes ssi ils ont la même dimension.



III. Sous-espaces supplémentaires et dimension

1. Dimension d'un sev

Propriété :
Soit E un K-ev de dimension finie et soit F un sev de E.
    1. F est de dimension finie et \dim F \leq \dim E.
    2.On a \dim F = \dim E ssi F = E.


2. Sous espaces supplémentaires

Théorème :
Tout sev d'un espace vectoriel E de dimension finie admet un supplémentaire dans E.

Théorème :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soient F et G deux sev de E.
Si F \oplus G = E, alors \dim F + \dim G = \dim E.


Remarque :
D'après le théorème précédent, si H est un hyperplan, alors : \dim H = \dim E -1.
Propriété :
Soit E un K-ev.
Si F et G sont deux sev non nuls supplémentaires dans E et de dimensions finies, alors E est aussi de dimension finie et on a : \dim F + \dim G = \dim E.

Théorème :
Soit E un K-ev de dimension finie et soient F et G deux sev de E, on a :
\red \dim(F+G) + \dim (F \cap G) = \dim F+ \dim G

Propriétés :
Soit E un K-ev de dimension finie et soient F et G deux sev de E.
F est G sont supplémentaires ssi :
    F \cap G = \lbrace 0_E\rbrace   et   \dim F + \dim G = \dim E
ou bien ssi : F+G = E   et   \dim F + \dim G = \dim E.

Théorème de l'espace produit :
Soit E et F deux K-ev de dimensions finies, alors :
E \times F est de dimension finie et \dim(E \times F) = \dim E+ \dim F.

Théorème fondamental des applications linéaires :
L'espace vectoriel \mathfrak{L} (E,F) est de dimension finie et : \dim \mathfrak{L}(E,F) = \dim E . \dim F.



IV. Rang d'une application linéaire - Rang d'un système de vecteurs

1. Rang d'une application linéaire

Définition - Théorème du rang :
Soit E et F des K-espaces vectoriels et f \in \mathfrak{L}(E,F).
Si E est de dimension finie, alors Im(f) est de dimension finie et sa dimension est appelée le rang de f et est notée rg f, de plus, on a : \dim(Im(f)) + \dim(Ker(f)) = \dim E c'est-à-dire : rgf + \dim(Kerf) = \dim E

Théorème :
Soit E et F des K-ev de dimension finie avec \dim E = \dim F= n et soit f \in \mathfrak{L}(E,F), alors les propositions suivantes sont équivalentes :
    1. f est injective.
    2. f est surjective.
    3. f est bijective.
    4. rg f = n.

Propriétés :
Soient E \, , \, F et G des K-ev avec E \, , \, F de dimensions finies, et soient f \in \mathfrak{L}(E,F) et g \in \mathfrak{L}(F,G), on a :
    rg(g \circ f) = rg(g|_{Imf}) = rg f - \dim(Ker g \cap Im f)
    rg(g \circ f) \leq inf(rg f, rg g)
De plus, si f est bijective, alors rg(g \circ f) = rg g et si g est bijective, alors rg(g \circ f) = rg f.



2. Rang d'un système de vecteurs

Définition :
Le rang d'une famille finie (x_1, \cdots, x_p) d'éléments d'un K-ev E est la dimension du sev engendré par ces p vecteurs.


Remarque :
Soient E et F deux K-ev avec E de dimension finie n, f \in \mathfrak{L}(E,F) et (e_1 \, , \, e_2 \, , \, \cdots \, , \, e_n) une base de E.
Le système (f(e_1) \, , \, \cdots \, , \, f(e_n)) est un générateur de Im f alors on a rg f = rg(f(e_1) \, , \, \cdots \, , \, f(e_n)).
Propriétés : Méthode du pivot de Gauss :
Soit E un K-ev et soit (x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_n ) une système de vecteurs de E.
    1. Pour toute permutation \sigma \in \mathfrak{S}_p \, , \, rg(x_{\sigma(i)})_{i \in \ldbrack 1 \, , \, p\rdbrack} = rg(x_i)_{i \in \ldbrack 1,p \rdbrack }.
    2. Pour tout \gamma \in K^* \, , \, rg(\gamma x_1 \, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n) = rg(x_1 \, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n).
    3. Pour tout (\gamma_k)_{k \in \ldbrack2 \, , \, p\rdbrack} \in K^{p-1} \, , \, rg(x_1 + \displaystyle \sum_{k=2}^{p} \gamma_k x_k , x_2, \cdots , x_p ) = rg(x_1, x_2, \cdots , x_p).
    4. rg (x_1, \cdots , x_p , 0_E) = rg(x_1, \cdots , x_p).

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