Familles numériques sommables
Dans tout ce chapitre :
I. Ensembles dénombrables
Définition :
Un ensemble
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
est dit
dénombrable ssi il est équipotent à
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
.
Il est dit
au plus dénombrable ssi il est équipotent à une partie de
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
.
Rappels :
Deux ensembles
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
sont dits équipotents s'il existe une bijection
![f : E \longrightarrow F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f : E \longrightarrow F)
.
Si
![\mathcal{E}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{E})
est un ensemble d'ensembles, alors la relation d'équipotence sur
![\mathcal{E}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{E})
est une relation d'équivalence.
Exemples :
1) Soit
![\mathcal{P}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{P})
(resp.
![\mathcal{J}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{J})
) l'ensemble des entiers naturels pairs (resp. impairs).
Les applications
![\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathcal{P} \\ & n & \longrightarrow & 2n \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathcal{P} \\ & n & \longrightarrow & 2n \end{array})
et
![\begin{array}{rccl}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow& \mathcal{J}\\ & n & \longrightarrow & 2n+1 \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rccl}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow& \mathcal{J}\\ & n & \longrightarrow & 2n+1 \end{array})
sont des bijections.
Donc
![\mathcal{P}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{P})
et
![\mathcal{J}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{J})
sont dénombrables.
2) Tout ensemble fini est au plus dénombrable car il est équipotent à une partie de
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
de la forme
Remarque :
Si
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
est un ensemble dénombrable (resp. au plus dénombrable) alors tout ensemble
![\Delta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta)
équipotent à
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
est dénombrable (resp. au plus dénombrable).
Théorème :
Soit
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
une partie infinie de
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
. Alors :
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
est dénombrable.
Soit
![\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow P)
tel que :
Alors
![\sigma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sigma)
est l'unique bijection strictement croissante de
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
dans
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
.
Corollaire :
Soit
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
un ensemble.
Alors
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
est au plus dénombrable ssi
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
est fini ou dénombrable.
Proposition :
Soit
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
un ensemble.
S'il existe une application injective
![f:D\longrightarrow \mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f:D\longrightarrow \mathbb{N})
, alors
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
est au plus dénombrable.
S'il existe une application surjective
![g: \mathbb{N} \longrightarrow D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g: \mathbb{N} \longrightarrow D)
, alors
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
est au plus dénombrable.
Exemple :
Soit
f est injective par unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
![\mathbb{N}^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N}^2)
est au plus dénombrable, et comme il est infini, il est dénombrable.
Théorème :
Toute réunion d'une suite d'ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.
Toute réunion d'une suite d'ensembles au plus dénombrables est un ensemble au plus dénombrable.
Théorème :
Soit
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
un ensemble. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
est au plus dénombrable.
Il existe une suite
![(D_n)_{n\in\mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(D_n)_{n\in\mathbb{N}})
de parties finies de
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
tq :
Exemple :
![D_n = \ldbrack-n,n\rdbrack](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D_n = \ldbrack-n,n\rdbrack)
(avec :
![n \in \mathbb{N}^*](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n \in \mathbb{N}^*)
)
On a :
![D_n \subset\mathbb{Z}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D_n \subset\mathbb{Z})
,
![D_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D_n)
fini.
![\mathbb{Z}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{Z})
est au plus dénombrable et puisque
![\mathbb{Z}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{Z})
est infini,
![\mathbb{Z}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{Z})
est dénombrable.
II. Familles sommables de réels positifs
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
est un ensemble au plus dénombrable.
Définition :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
une famille de réels positifs indexée par
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
.
On dit que
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
est sommable ssi
![\left \lbrace \displaystyle \sum_{i\in J}a_i / J\subset I, J \text{ fini} \right \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left \lbrace \displaystyle \sum_{i\in J}a_i / J\subset I, J \text{ fini} \right \rbrace )
est majoré dans
![\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R})
.
Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble est appelée la somme de la famille
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
et notée
![\displaystyle \sum_{i\in I} a_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{i\in I} a_i)
.
Notation :
![\mathcal{F}(I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{F}(I))
désigne l'ensemble de toutes les parties finies de
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
.
Ainsi :
![\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \sup_{J\in \mathcal{F}(I)} \left(\displaystyle \sum_{i\in J} a_i\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \sup_{J\in \mathcal{F}(I)} \left(\displaystyle \sum_{i\in J} a_i\right))
si la famille est sommable.
Exemples :
Exemple 1 : Soit
Soit
![J\in\mathcal{F}(I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J\in\mathcal{F}(I))
; il existe
![N\in\mathbb{N}^*](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?N\in\mathbb{N}^*)
tq :
En effet, soit
![(i,j) \in J](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(i,j) \in J)
,
![k = (i,j)\in\mathbb{N}^{*}^2 = \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}^*} \ldbrack 1,n\rdbrack^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k = (i,j)\in\mathbb{N}^{*}^2 = \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}^*} \ldbrack 1,n\rdbrack^2)
.
![\exists n_k \in \mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\exists n_k \in \mathbb{N})
tq
Soit
![N = \max_{k\in J}( n_k)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?N = \max_{k\in J}( n_k))
,
![N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?N)
existe car
![J](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J)
est fini.
On a
![k = (i,j)\in J](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k = (i,j)\in J)
.
On a :
![\left \lbrace \begin{array}{l} 1 \leq i \leq n_k \leq N \\ 1\leq j \leq n_k \leq N \end{array} \right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left \lbrace \begin{array}{l} 1 \leq i \leq n_k \leq N \\ 1\leq j \leq n_k \leq N \end{array} \right.)
d'où :
On conclut :
![J\subset \ldbrack1,N\rdbrack^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J\subset \ldbrack1,N\rdbrack^2)
(ce qui fallait démontrer)
Soit maintenant
![N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?N)
un tel entier :
![\displaystyle \sum_{(i,j)\in \ldbrack1,N\rdbrack^2} \frac{1}{i^2 \times j^2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{i^2\times j^2}\right) = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right) \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j)\in \ldbrack1,N\rdbrack^2} \frac{1}{i^2 \times j^2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{i^2\times j^2}\right) = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right) \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right) = \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2)
, de plus, on sait que
![\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2})
converge.
Posons :
![S](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S)
sa somme.
![\forall J\in \mathcal{F}(I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall J\in \mathcal{F}(I))
,
![\displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2)
.
Donc :
![(a_{ij})_{(i,j)\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{ij})_{(i,j)\in I})
est
sommable et
![\displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2)
.
Montrons que :
![S^2 = \displaystyle \sum_{(i,j)\in I} a_{ij} = \sup_{J\in \mathcal{F}(I)} \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S^2 = \displaystyle \sum_{(i,j)\in I} a_{ij} = \sup_{J\in \mathcal{F}(I)} \sum_{(i,j)\in J} a_{ij})
.
![S^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S^2)
est déjà un majorant de l'ensemble :
![A = \left\lbrace \displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij} \, / \, J\in\mathcal{F}(I) \right \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A = \left\lbrace \displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij} \, / \, J\in\mathcal{F}(I) \right \rbrace )
.
Soit
![\epsilon > 0 \, ; \, \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2 \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}S^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\epsilon > 0 \, ; \, \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2 \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}S^2)
, et comme
![\left(\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2\right)_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2\right)_n)
est croissante.
Alors :
Posons donc :
![N \in \mathbb{N}^*](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?N \in \mathbb{N}^*)
tq :
![S^2 - \epsilon < \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S^2 - \epsilon < \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2)
, d'où
C'est-à-dire :
![S^2 - \epsilon < \displaystyle \sum_{(i,j) \in \ldbrack1,N\rdbrack^2} a_{ij} \in A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S^2 - \epsilon < \displaystyle \sum_{(i,j) \in \ldbrack1,N\rdbrack^2} a_{ij} \in A)
.
Donc :
![\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*}^{2}} \frac{1}{i^2\times j^2} = S^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*}^{2}} \frac{1}{i^2\times j^2} = S^2)
.
Exemple 2 :
Soit
On a :
Donc :
![A= \left \lbrace \displaystyle \sum_{i\in J} a_i \: / \: J\in\mathcal{F}(\mathbb{Z}) \right \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A= \left \lbrace \displaystyle \sum_{i\in J} a_i \: / \: J\in\mathcal{F}(\mathbb{Z}) \right \rbrace )
n'est pas majoré.
Donc
![(e^{-i})_{i\in\mathbb{Z}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(e^{-i})_{i\in\mathbb{Z}})
n'est pas sommable.
Remarques :
1) Soit
![(a_i)_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_i)
une famille de réels positifs sommable, alors :
![\displaystyle \sum_{i\in I} a_i \geq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{i\in I} a_i \geq 0)
.
Si
![\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0)
,
D'où
![\forall J\in\mathcal{F}(I) \: : \: \displaystyle \sum_{i\in J} a_i = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall J\in\mathcal{F}(I) \: : \: \displaystyle \sum_{i\in J} a_i = 0)
.
En particulier :
![\forall j \in I \: : \: \displaystyle \sum_{i\in\lbrace j\rbrace } a_i=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall j \in I \: : \: \displaystyle \sum_{i\in\lbrace j\rbrace } a_i=0)
, ie :
![\forall j \in I \: : \: a_j=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall j \in I \: : \: a_j=0)
.
Réciproquement, si la famille est nulle, elle est sommable de somme 0.
Conclusion : ![\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0)
ssi
![\forall i \in I \, , \, a_i = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall i \in I \, , \, a_i = 0)
.
2) Toute sous famille d'une famille de réels positifs sommable est elle-même sommable de somme plus petite.
Théorème :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
et
![(b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i)_{i\in I})
deux familles de réels positifs tq :
![\forall i \in I \: : \: a_i \leq b_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall i \in I \: : \: a_i \leq b_i)
. Alors :
Si
![(b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i)_{i\in I})
est sommable, il en est de même de
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
et on a :
![\displaystyle \sum_{i\in I} a_i \leq \displaystyle \sum_{i\in I} b_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{i\in I} a_i \leq \displaystyle \sum_{i\in I} b_i)
.
Si
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
n'est pas sommable, il en est de même de
![(b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i)_{i\in I})
.
Exemples :
Exemple 1 :
Pour tout
![(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(i,j)\in \mathbb{N}^{*2})
, on a :
D'où :
Comme
![(b_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}})
est sommable (d'après un exemple précédent), on a :
![(a_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}})
est sommable.
Exemple 2 :
On a :
![\dfrac{1}{i} \leq \dfrac{\ln(i+2)}{i} \: \forall i \in \mathbb{N}^*](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{1}{i} \leq \dfrac{\ln(i+2)}{i} \: \forall i \in \mathbb{N}^*)
.
![\left(\dfrac{1}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\dfrac{1}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*})
est non sommable.
On en déduit que :
![\left(\dfrac{\ln(i+2)}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\dfrac{\ln(i+2)}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*})
est non sommable.
Proposition :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
et
![(b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i)_{i\in I})
deux familles de réels positifs indexée par
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
sommables. Soit
![c\in \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?c\in \mathbb{R})
. Alors :
![(a_i+b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i+b_i)_{i\in I})
est sommable et
![\displaystyle \sum_{i\in I} (a_i+b_i) = \displaystyle \sum_{i\in I} (a_i) + \displaystyle \sum_{i\in I} (b_i)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{i\in I} (a_i+b_i) = \displaystyle \sum_{i\in I} (a_i) + \displaystyle \sum_{i\in I} (b_i))
.
![(ca_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(ca_i)_{i\in I})
est sommable et
![\displaystyle \sum_{i\in I} ca_i = c \displaystyle \sum_{i\in I} a_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{i\in I} ca_i = c \displaystyle \sum_{i\in I} a_i)
.
Théorème :
Soit
![(J_n)_{n\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(J_n)_{n\in \mathbb{N}})
une suite croissante de parties finies de
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
tq
![\displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}} J_n= I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}} J_n= I)
.
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
une famille de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
est sommable.
La suite réelle
![\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n)
est majorée.
La suite réelle
![\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n)
est convergente.
De plus, dans ce cas :
Exemple :
![I = \mathbb{N}^{*2} \, , \, a_{ij}=\dfrac{1}{(i+j)^r}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I = \mathbb{N}^{*2} \, , \, a_{ij}=\dfrac{1}{(i+j)^r})
avec :
![r \in \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r \in \mathbb{R})
donné.
Soit
![J_n=\lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \, / \, i+j\leq n\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J_n=\lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \, / \, i+j\leq n\rbrace )
. On a :
![(J_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(J_n))
est croissante.
![\forall n \, , \, J_n \in \mathcal{F}(\mathbb{N}^*^2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall n \, , \, J_n \in \mathcal{F}(\mathbb{N}^*^2))
et
![= \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^r}\left(\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \\ i+j=k \end{array} 1\right) = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^r} .Card\lbrace (i,j)\in \mathbb{N}^{*2} / i+j=k\rbrace = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{k-1}{k^r}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?= \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^r}\left(\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \\ i+j=k \end{array} 1\right) = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^r} .Card\lbrace (i,j)\in \mathbb{N}^{*2} / i+j=k\rbrace = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{k-1}{k^r})
.
Or,
Donc :
![(a_{ij})_{(i,j)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{ij})_{(i,j)})
sommable
![\Longleftrightarrow \displaystyle \sum \frac{n-1}{n^r}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Longleftrightarrow \displaystyle \sum \frac{n-1}{n^r})
converge
![\Longleftrightarrow r - 1 > 1 \Longleftrightarrow r > 2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Longleftrightarrow r - 1 > 1 \Longleftrightarrow r > 2)
.
En outre dans ce cas :
![\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in J_n} \frac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k-1}{k^r}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in J_n} \frac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k-1}{k^r})
.
Soit :
![\zeta : x \longrightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\zeta : x \longrightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x})
,
![D_{\zeta} = ]1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D_{\zeta} = ]1,+\infty[)
d'après la règle de Riemann.
Alors :
![\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{k^{r-1}} -\frac{1}{k^r} \right) = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r-1}} - \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r}} = \zeta(r-1) - \zeta(r)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{k^{r-1}} -\frac{1}{k^r} \right) = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r-1}} - \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r}} = \zeta(r-1) - \zeta(r))
.
La fonction
![\zeta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\zeta)
est appelée la fonction
Zéta de Riemann.
Rappel :
On dit que
![(J_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(J_n))
est une suite exhaustive de
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
ssi :
![J_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J_n)
est une partie finie de
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
.
![J_n\subset J_{n+1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J_n\subset J_{n+1})
.
![\bigcup J_n = \mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bigcup J_n = \mathbb{N})
.
Proposition :
Soit
![(a_n)_{n\in\mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_n)_{n\in\mathbb{N}})
une suite de réels positifs.
Alors
![(a_n)_{n\in\mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_n)_{n\in\mathbb{N}})
est sommable ssi la série
![\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n)
converge .
De plus, dans ce cas :
![\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n)
.
Proposition :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
une famille dénombrable de réels positifs, soit
![\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I)
une bijection .
Alors
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
est sommable ssi
![\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)})
converge.
De plus, dans ce cas :
![\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)})
.
Corollaire :
Soit
![(a_n)_{n\in\mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_n)_{n\in\mathbb{N}})
une suite de réels positifs, soit
![\sigma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sigma)
une permutation de
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
.
On a alors :
![\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n)
converge ssi
![\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)})
, et dans ce cas :
![\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)})
.
III. Famille sommable d'éléments de K (cas général)
1. Sommabilité
Définition :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
une famille d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
indexée par
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
.
On dit que
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
est sommable ssi
![(|a_i|)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(|a_i|)_{i\in I})
est sommable en tant que famille de réels positifs.
Exemples :
1)
![|a_{ij}| = \dfrac{1}{(i+j)^r}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?|a_{ij}| = \dfrac{1}{(i+j)^r})
et
![r>2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r>2)
; d'après un exemple précédent :
![(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}})
est sommable.
2)
On a :
![|a_n|=\dfrac{1}{n^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?|a_n|=\dfrac{1}{n^2})
, donc
![(a_n)_{n\in\mathbb{Z}^{*}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_n)_{n\in\mathbb{Z}^{*}})
est sommable.
Remarques :
Toute famille finie d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
est sommable.
Toute famille presque nulle d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
est sommable.
Toute sous famille d'une famille sommable d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
est, elle-même sommable.
Proposition :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
une famille d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
et
![(b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i)_{i\in I})
une famille de réels positifs indexée par le même
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
tq :
![(\forall i \in I) \: : \: |a_i|\leq b_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\forall i \in I) \: : \: |a_i|\leq b_i)
. Alors :
Si
![(b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i)_{i\in I})
est sommable, il en est de même de
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
.
Si
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
est non sommable, il en est de même de
![(b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i)_{i\in I})
.
Remarque :
On note
![\ell^1(I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\ell^1(I))
l'ensemble des familles sommables d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
indexés par
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
.
![\ell^1(I) \neq \varnothing](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\ell^1(I) \neq \varnothing)
car il contient la famille nulle.
![\ell^1(I) \subset K^I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\ell^1(I) \subset K^I)
.
![\ell^1(I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\ell^1(I))
est stable par combinaison linéaire.
![\ell^1(I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\ell^1(I))
est un
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
-ev, sev de
![K^I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K^I)
.
Proposition :
Soit
![(z_p)_{p\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(z_p)_{p\in I})
une famille des nombres complexes indexée par
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
et soit
![a_p = \mathfrak{Re}(z_p)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a_p = \mathfrak{Re}(z_p))
et
![b_p = \mathfrak{Im}(z_p)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b_p = \mathfrak{Im}(z_p))
.
Alors
![(z_p)_{p\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(z_p)_{p\in I})
est sommable ssi
![(a_p)_{p\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_p)_{p\in I})
et
![(b_p)_{p\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_p)_{p\in I})
sont sommables.
2. Somme d'une famille sommable
Théorème - Définition :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
une famille sommable d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
. Soit
![(J_n)_{n\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(J_n)_{n\in \mathbb{N}})
une suite exhaustive de
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
, alors :
La suite
![\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i \right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i \right))
est convergente dans
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
.
La limite de cette suite ne dépend pas du choix de
![(J_n)_{n\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(J_n)_{n\in \mathbb{N}})
, on l'appelle la somme de la famille
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
, on la note
![\displaystyle \bigsum_{i\in I} a_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \bigsum_{i\in I} a_i)
.
Remarque :
En général :
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
sommable
![\Rightarrow \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Rightarrow \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right))
converge.
La réciproque est fausse en général .
Contre-exemple :
Soit
![I = \mathbb{N} \, , \, a_i = \dfrac{(-1)^i}{i+1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I = \mathbb{N} \, , \, a_i = \dfrac{(-1)^i}{i+1})
et
![(J_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(J_n))
est exhaustive de
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
.
![\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i \right) = \left(\displaystyle \sum_{i=0}^N \dfrac{(-1)^1 }{i+1}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i \right) = \left(\displaystyle \sum_{i=0}^N \dfrac{(-1)^1 }{i+1}\right))
converge (critère des séries alternées).
Or,
![\left(|a_i|\right)_{i\in\mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(|a_i|\right)_{i\in\mathbb{N}})
n'est pas sommable car
![\sum \dfrac{1}{n+1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sum \dfrac{1}{n+1})
diverge.
Donc
![(a_i)_{i\in\mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in\mathbb{N}})
n'est pas sommable.
Proposition :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
et
![(b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i)_{i\in I})
deux familles sommables d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
et soit
![\lambda \in\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lambda \in\mathbb{R})
. Alors :
![(\lambda a_i + b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\lambda a_i + b_i)_{i\in I})
est sommable.
Proposition :
Soit
![(z_k)_{k\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(z_k)_{k\in \mathbb{N}})
une famille de nombres complexes. On pose :
![a_k = \mathfrak{Re}(z_k)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a_k = \mathfrak{Re}(z_k))
et
![b_k = \mathfrak{Im}(z_k)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b_k = \mathfrak{Im}(z_k))
. Alors :
![(z_k)_{k\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(z_k)_{k\in \mathbb{N}})
est sommable ssi
![(a_k)_{k \in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_k)_{k \in \mathbb{N}})
et
![(b_k)_{k\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_k)_{k\in \mathbb{N}})
sont sommables.
Si
![(z_k)_{k\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(z_k)_{k\in \mathbb{N}})
est sommable, on a :
Proposition :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
une famille sommable d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
. Alors :
Théorème :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
et
![(b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i)_{i\in I})
deux familles d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
tq :
![(a_i ^2)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i ^2)_{i\in I})
et
![(b_i ^2)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(b_i ^2)_{i\in I})
sont sommables.
Alors :
![(\bar{a_i} b_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\bar{a_i} b_i)_{i\in I})
est sommable.
De plus, dans ce cas :
Théorème :
Soit
![(a_n)_{n\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_n)_{n\in \mathbb{N}})
une suite d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
. Alors la suite
![(a_n)_{n\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_n)_{n\in \mathbb{N}})
est sommable ssi la série
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n)
converge absolument.
De plus, dans ce cas :
![\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n)
.
Proposition :
Soit
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
une famille d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
, soit
![\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I)
une bijection.
Alors
![(a_i)_{i\in I}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{i\in I})
est sommable ssi :
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)})
converge absolument.
De plus, dans ce cas :
Corollaire :
Soit
![(a_n)_{n\in \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_n)_{n\in \mathbb{N}})
une suite d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
et
![\sigma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sigma)
une permutation de
![\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{N})
. Alors :
![\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n)
converge absolument ssi
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)})
converge absolument.
De plus, dans ce cas :
![\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)})
.
IV. Suites doubles sommables
Théorème :
Soit
![\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n)
et
![\displaystyle \sum_{n\geq 0 } b_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0 } b_n)
deux séries absolument convergentes.
Alors la suite double
![(a_n b_m)_{(n,m)\in\mathbb{N}^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_n b_m)_{(n,m)\in\mathbb{N}^2})
est sommable et on a :
![\displaystyle \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}^2} a_n b_m = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}^2} a_n b_m = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right))
.
Théorème : "d'interversion des sommations"
Soit
![(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2})
une suite double de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
![(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2})
est sommable.
De plus, dans ce cas :
![\displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right))
.
Théorème de "Fubini" :
Soit
![(a_{ij})_{(i,j) \in \mathbb{N}^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{ij})_{(i,j) \in \mathbb{N}^2})
une suite double d'éléments de
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
. Alors si
![(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2})
est sommable, on a :
![\displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right))
.
Remarque :
La réciproque du théorème de Fubini est fausse en général.
Exemple :
Soient
On a :
On sait que :
![\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|a|^n}{n!} \text{ et } \displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|b|^n}{n!}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|a|^n}{n!} \text{ et } \displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|b|^n}{n!})
sont deux séries à termes positifs convergentes.
Donc
![(U_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(U_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2})
est sommable.
![\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in A_n} \frac{a^ib^j}{(i+j)!}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in A_n} \frac{a^ib^j}{(i+j)!})
avec
![A_n = \lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^2/i+j\leq n\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A_n = \lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^2/i+j\leq n\rbrace )
.
Donc :
Si
:
On a :
![\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{(b-a)k!} = \frac{1}{b-a}\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{k!} = \frac{be^b-ae^a}{b-a}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{(b-a)k!} = \frac{1}{b-a}\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{k!} = \frac{be^b-ae^a}{b-a})
.
Si
:
![\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^i b^j}{(i+j)!} = \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^{i +j}}{(i+j)!} = (a+1)e^a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^i b^j}{(i+j)!} = \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^{i +j}}{(i+j)!} = (a+1)e^a)
.
Contre-exemple :
Considérons la famille
![(u_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb{N} \times \mathbb{N}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb{N} \times \mathbb{N}})
définie par
![u_{m,n} = \dfrac{1}{m^2-n^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_{m,n} = \dfrac{1}{m^2-n^2})
si
![m \neq n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?m \neq n)
et
![u_{n,n} = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_{n,n} = 0)
.
Il est clair que pour
![m](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?m)
fixé la série
![\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} u_{m,n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} u_{m,n})
est convergente et que pour
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
fixé la série
![\displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} u_{m,n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} u_{m,n})
est convergente.
On a
Soit
![m > 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?m > 0)
. Comme
![\dfrac{1}{m^2-n^2} = \dfrac{1}{2m(m+n)}+\dfrac{1}{2m(m-n)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{1}{m^2-n^2} = \dfrac{1}{2m(m+n)}+\dfrac{1}{2m(m-n)})
et comme
![\dfrac{1}{2m(m+n)} + \dfrac{1}{2m(m-(2m+n))} = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{1}{2m(m+n)} + \dfrac{1}{2m(m-(2m+n))} = 0)
, on voit que
![\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n} = -\frac{3}{4m^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n} = -\frac{3}{4m^2})
car dans la somme les seuls termes qui ne s'annulent pas deux à deux sont
![\dfrac{-1}{2m^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{-1}{2m^2})
et
![\dfrac{-1}{4m^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{-1}{4m^2})
. Ceci montre que la série
![\displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right))
est convergente et que
![\displaystyle \sum_{m=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right) < 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{m=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right) < 0)
.
Mais on a
![u_{m,n} = -u_{n,m}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_{m,n} = -u_{n,m})
pour tout couple
![(m,n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(m,n))
, donc
![\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{m=0}^\infty u_{m,n}\right) > 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{m=0}^\infty u_{m,n}\right) > 0)
et on voit que dans ce cas
V. Groupements de termes
Les séries envisagées dans ce paragraphe sont à termes dans un evn
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
Définitions générales :
Soient
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n)
une série et
![\sigma : \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sigma : \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N})
une extractrice (application linéaire strictement croissante). Notons pour tout
![n\in\mathbb{N} \: : \: v_n = \displaystyle \sum_{k = \sigma(n)}^{\sigma(n+1)-1} u_k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in\mathbb{N} \: : \: v_n = \displaystyle \sum_{k = \sigma(n)}^{\sigma(n+1)-1} u_k)
.
On dit que la série
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n)
a été obtenue par groupement de termes à partir de la série
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n)
.
Les
![v_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v_n)
sont appelés les paquets et
![\sigma(n+1) - \sigma(n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sigma(n+1) - \sigma(n))
est appelée la longueur du paquet
![v_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v_n)
.
Nous nous intéressons ici aux liens éventuels entre les natures de
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n)
et
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n)
et, dans le cas de convergence, aux liens éventuels entre leurs sommes.
Proposition :
Si
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n)
converge, alors
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n)
converge et :
![\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k)
.
Remarque :
La réciproque de cette proposition est fausse en général.
Cette proposition n'est pas pratique car elle suppose que
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n)
converge déjà.
Théorème : "de groupement de termes" :
Avec les notations précédentes :
Si
![\left \lbrace \begin{array}{l} u_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0 \\ \left(\sigma(n+1) - \sigma(n)\right)_{n\in\mathbb{N}} \text{ est bornée} \end{array} \right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left \lbrace \begin{array}{l} u_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0 \\ \left(\sigma(n+1) - \sigma(n)\right)_{n\in\mathbb{N}} \text{ est bornée} \end{array} \right.)
, alors les séries
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n)
et
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n)
sont de même nature et, dans le cas de convergence, on a :
![\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k)
.
Remarque :
Si la longueur des paquets n'est pas bornée, il se peut que
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n)
diverge et
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n)
converge.
Exemple :
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n)
diverge d'après la proposition précédente, puisque la série groupée ainsi :
![1 + \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\right) - \cdots](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1 + \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\right) - \cdots)
diverge.
Et
![\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n = \left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \cdots](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n = \left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \cdots)
qui converge.