Fiche de mathématiques
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Familles numériques sommables

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Dans tout ce chapitre : K=\mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}

I. Ensembles dénombrables

Définition :
Un ensemble D est dit dénombrable ssi il est équipotent à \mathbb{N}.
Il est dit au plus dénombrable ssi il est équipotent à une partie de \mathbb{N}.


Rappels :
Deux ensembles E et F sont dits équipotents s'il existe une bijection f : E \longrightarrow F.
Si \mathcal{E} est un ensemble d'ensembles, alors la relation d'équipotence sur \mathcal{E} est une relation d'équivalence.

Exemples :
1) Soit \mathcal{P} (resp. \mathcal{J}) l'ensemble des entiers naturels pairs (resp. impairs).
Les applications \begin{array}{rccl} f : & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathcal{P} \\      & n & \longrightarrow & 2n \end{array}     et     \begin{array}{rccl}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow& \mathcal{J}\\  & n & \longrightarrow & 2n+1 \end{array} sont des bijections.
Donc \mathcal{P} et \mathcal{J} sont dénombrables.
2) Tout ensemble fini est au plus dénombrable car il est équipotent à une partie de \mathbb{N} de la forme \ldbrack1,n\rdbrack \: \left(n \in \mathbb{N}\right).

Remarque :
Si D est un ensemble dénombrable (resp. au plus dénombrable) alors tout ensemble \Delta équipotent à D est dénombrable (resp. au plus dénombrable).
Théorème :
Soit P une partie infinie de \mathbb{N}. Alors :
P est dénombrable.
Soit \sigma : \mathbb{N} \longrightarrow P tel que : \left \lbrace \begin{array}{l} \sigma(0)=\min P \\ \forall n>0 , \sigma(n)=\min(P\backslash \lbrace \sigma(0),\cdots , \sigma(n-1)   \rbrace ) \end{array} \right.
Alors \sigma est l'unique bijection strictement croissante de \mathbb{N} dans P.

Corollaire :
Soit D un ensemble.
Alors D est au plus dénombrable ssi D est fini ou dénombrable.

Proposition :
Soit D un ensemble.
S'il existe une application injective f:D\longrightarrow \mathbb{N}, alors D est au plus dénombrable.
S'il existe une application surjective g: \mathbb{N} \longrightarrow D, alors D est au plus dénombrable.


Exemple :
Soit \begin{array}{rccl}f: & \mathbb{N}^2 & \longrightarrow& \mathbb{N}\\  & (n,m) & \longrightarrow & 2^n\times3^m \end{array}
f est injective par unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
\mathbb{N}^2 est au plus dénombrable, et comme il est infini, il est dénombrable.
Théorème :
Toute réunion d'une suite d'ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable.
Toute réunion d'une suite d'ensembles au plus dénombrables est un ensemble au plus dénombrable.

Théorème :
Soit D un ensemble. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
D est au plus dénombrable.
Il existe une suite (D_n)_{n\in\mathbb{N}} de parties finies de D tq :  \left \lbrace \begin{array}{l} (\forall n\in\mathbb{N}) \, : \, D_n \subset D_{n+1} \\ \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} D_n = D \end{array} \right.


Exemple :
D = \mathbb{Z}
D_n = \ldbrack-n,n\rdbrack (avec : n \in \mathbb{N}^*)
On a :
    \mathbb{Z} = \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} D_n
    D_n \subset\mathbb{Z} , D_n fini.
    D_n \subset D_{n+1}
\mathbb{Z} est au plus dénombrable et puisque \mathbb{Z} est infini, \mathbb{Z} est dénombrable.


II. Familles sommables de réels positifs

I est un ensemble au plus dénombrable.
Définition :
Soit (a_i)_{i\in I} une famille de réels positifs indexée par I.
On dit que (a_i)_{i\in I} est sommable ssi \left \lbrace  \displaystyle \sum_{i\in J}a_i / J\subset I, J \text{ fini} \right \rbrace est majoré dans \mathbb{R}.
Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble est appelée la somme de la famille (a_i)_{i\in I} et notée \displaystyle \sum_{i\in I} a_i.


Notation :
\mathcal{F}(I) désigne l'ensemble de toutes les parties finies de I.
Ainsi : \displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \sup_{J\in \mathcal{F}(I)} \left(\displaystyle \sum_{i\in J} a_i\right) si la famille est sommable.

Exemples :
Exemple 1 : Soit I = \mathbb{N}^*^2 \, , \, (i,j)\in I \, , \, a_{ij}=\dfrac{1}{i^2\times j^2}
Soit J\in\mathcal{F}(I) ; il existe N\in\mathbb{N}^* tq : J \subset \ldbrack1,N\rdbrack^2
En effet, soit (i,j) \in J, k = (i,j)\in\mathbb{N}^{*}^2 = \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}^*} \ldbrack 1,n\rdbrack^2.
\exists n_k \in \mathbb{N} tq k \in \ldbrack1,n_k\rdbrack^2
Soit N = \max_{k\in J}( n_k), N existe car J est fini.
On a k = (i,j)\in J.
On a : \left \lbrace \begin{array}{l} 1 \leq i \leq n_k \leq N \\  1\leq j \leq n_k \leq N \end{array} \right. d'où : k=(i,j) \in \ldbrack 1,N \rdbrack^2
On conclut : J\subset \ldbrack1,N\rdbrack^2 (ce qui fallait démontrer)

Soit maintenant N un tel entier :
\displaystyle \sum_{(i,j)\in \ldbrack1,N\rdbrack^2} \frac{1}{i^2 \times j^2} =  \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{i^2\times j^2}\right)   = \displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2} \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right)   = \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right) \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\right)   = \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2, de plus, on sait que \displaystyle \sum_{n\geq 1}  \frac{1}{n^2} converge.
Posons : S sa somme. \forall J\in \mathcal{F}(I), \displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2.
Donc : (a_{ij})_{(i,j)\in I} est sommable et \displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}\leq S^2.
Montrons que : S^2 = \displaystyle \sum_{(i,j)\in I} a_{ij} = \sup_{J\in \mathcal{F}(I)} \sum_{(i,j)\in J} a_{ij}.
S^2 est déjà un majorant de l'ensemble : A = \left\lbrace \displaystyle \sum_{(i,j)\in J} a_{ij} \, / \, J\in\mathcal{F}(I) \right \rbrace .
Soit \epsilon > 0 \, ; \, \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2 \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}S^2, et comme \left(\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}\right)^2\right)_n est croissante.
Alors : S^2 = \sup \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2
Posons donc : N \in \mathbb{N}^* tq : S^2 - \epsilon < \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{i^2}\right)^2, d'où S^2 - \epsilon < \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{i^2\times j^2}
C'est-à-dire : S^2 - \epsilon < \displaystyle \sum_{(i,j) \in \ldbrack1,N\rdbrack^2} a_{ij} \in A .
Donc : \displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*}^{2}} \frac{1}{i^2\times j^2} = S^2.


Exemple 2 : I=\mathbb{Z} \, , \, a_i = e^{-i}
Soit J_n = \ldbrack-n,0\rdbrack \, , \, J_n \in \mathcal{F}(\mathbb{Z})
On a : \displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i = \sum_{i=-n}^{0} e^{-i} = \sum_{i=0}^n e^i \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} +\infty
Donc : A= \left \lbrace \displaystyle \sum_{i\in J} a_i \: / \: J\in\mathcal{F}(\mathbb{Z}) \right \rbrace n'est pas majoré.
Donc (e^{-i})_{i\in\mathbb{Z}} n'est pas sommable.

Remarques :
1) Soit (a_i)_i une famille de réels positifs sommable, alors : \displaystyle \sum_{i\in I} a_i \geq 0.
Si \displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0, \forall J\in\mathcal{F}(I) \: : \: 0\leq \displaystyle \sum_{i\in J} a_i \leq 0
D'où \forall J\in\mathcal{F}(I) \: : \: \displaystyle \sum_{i\in J} a_i = 0.
En particulier : \forall j \in I \: :  \: \displaystyle \sum_{i\in\lbrace j\rbrace } a_i=0, ie : \forall j \in I \:  : \: a_j=0.
Réciproquement, si la famille est nulle, elle est sommable de somme 0.
Conclusion : \displaystyle \sum_{i\in I} a_i = 0 ssi \forall i \in I \, , \, a_i = 0.
2) Toute sous famille d'une famille de réels positifs sommable est elle-même sommable de somme plus petite.
Théorème :
Soit (a_i)_{i\in I} et (b_i)_{i\in I} deux familles de réels positifs tq : \forall i \in I \: : \: a_i \leq b_i. Alors :
Si (b_i)_{i\in I} est sommable, il en est de même de (a_i)_{i\in I} et on a : \displaystyle \sum_{i\in I} a_i \leq \displaystyle \sum_{i\in I} b_i.
Si (a_i)_{i\in I} n'est pas sommable, il en est de même de (b_i)_{i\in I}.


Exemples :
Exemple 1 : I = \mathbb{N}^{*}^2 \, , \, a_{ij} = \dfrac{2}{i^4+j^4}
Pour tout (i,j)\in \mathbb{N}^{*2}, on a : i^4+j^4 \geq 2i^2\times j ^2
D'où : a_{ij} \leq \dfrac{1}{i^2\times j^2} = b_{ij}
Comme (b_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}} est sommable (d'après un exemple précédent), on a : (a_{ij})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*2}} est sommable.

Exemple 2 : \left(\dfrac{ln(i+2)}{i}\right)_{i\in\mathbb{N}^*}
On a : \dfrac{1}{i} \leq \dfrac{\ln(i+2)}{i} \: \forall i \in \mathbb{N}^*.
\left(\dfrac{1}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*} est non sommable.
On en déduit que : \left(\dfrac{\ln(i+2)}{i}\right)_{i\in \mathbb{N}^*} est non sommable.
Proposition :
Soit (a_i)_{i\in I} et (b_i)_{i\in I} deux familles de réels positifs indexée par I sommables. Soit c\in \mathbb{R}. Alors :
(a_i+b_i)_{i\in I} est sommable et \displaystyle \sum_{i\in I} (a_i+b_i) = \displaystyle \sum_{i\in I} (a_i) + \displaystyle \sum_{i\in I} (b_i).
(ca_i)_{i\in I} est sommable et \displaystyle \sum_{i\in I} ca_i = c \displaystyle \sum_{i\in I} a_i.

Théorème :
Soit (J_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite croissante de parties finies de I tq \displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}}  J_n= I.
Soit (a_i)_{i\in I} une famille de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
(a_i)_{i\in I} est sommable.
La suite réelle \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n est majorée.
La suite réelle \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right)_n est convergente.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n}a_i\right) = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n}a_i\right)


Exemple :
I = \mathbb{N}^{*2} \, , \, a_{ij}=\dfrac{1}{(i+j)^r} avec : r \in \mathbb{R} donné.
Soit J_n=\lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \, / \, i+j\leq n\rbrace . On a :
(J_n) est croissante.
\forall n \, , \, J_n \in \mathcal{F}(\mathbb{N}^*^2) et \bigcup_{n} J_n = \mathbb{N}^*^2
\displaystyle \sum_{(i,j)\in J_n} a_{ij} = \displaystyle \sum_{k=2}^n \left(\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \\ i+j=k \end{array} \dfrac{1}{(i+j)^r}\right) = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^r}\left(\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2} \\ i+j=k \end{array} 1\right) = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^r} .Card\lbrace (i,j)\in \mathbb{N}^{*2} / i+j=k\rbrace  = \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{k-1}{k^r}.
Or, \displaystyle \frac{n-1}{n^r} \underset{n\to+\infty}{\sim}  \frac{1}{n^{r-1}}
Donc : (a_{ij})_{(i,j)} sommable \Longleftrightarrow \displaystyle \sum \frac{n-1}{n^r} converge \Longleftrightarrow r - 1 > 1 \Longleftrightarrow r > 2 .
En outre dans ce cas : \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in J_n} \frac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k-1}{k^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k-1}{k^r}.
Soit : \zeta : x \longrightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x}, D_{\zeta} = ]1,+\infty[ d'après la règle de Riemann.
Alors : \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}} \dfrac{1}{(i+j)^r} = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{k^{r-1}} -\frac{1}{k^r} \right) = \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r-1}} - \displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{r}}  = \zeta(r-1) - \zeta(r).
La fonction \zeta est appelée la fonction Zéta de Riemann.

Rappel :
On dit que (J_n) est une suite exhaustive de \mathbb{N} ssi :
J_n est une partie finie de \mathbb{N}.
J_n\subset J_{n+1}.
\bigcup J_n = \mathbb{N}.
Proposition :
Soit (a_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite de réels positifs.
Alors (a_n)_{n\in\mathbb{N}} est sommable ssi la série \displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n converge .
De plus, dans ce cas : \displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n.

Proposition :
Soit (a_i)_{i\in I} une famille dénombrable de réels positifs, soit \sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I une bijection .
Alors (a_i)_{i\in I} est sommable ssi \displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)} converge.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}.

Corollaire :
Soit (a_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite de réels positifs, soit \sigma une permutation de \mathbb{N}.
On a alors : \displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n converge ssi \displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_{\sigma(n)}, et dans ce cas : \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}.



III. Famille sommable d'éléments de K (cas général)

1. Sommabilité

Définition :
Soit (a_i)_{i\in I} une famille d'éléments de K indexée par I.
On dit que (a_i)_{i\in I} est sommable ssi (|a_i|)_{i\in I} est sommable en tant que famille de réels positifs.


Exemples :
1) I = \mathbb{N}^*^2 \, ; \, a_{ij}=\dfrac{(-1)^i}{(i+j)^}   (r>2)
|a_{ij}| = \dfrac{1}{(i+j)^r} et r>2 ; d'après un exemple précédent : (a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^{*2}} est sommable.
2) I = \mathbb{Z}^*  \, ; \, a_n = \dfrac{e^{in}}{n^2}
On a : |a_n|=\dfrac{1}{n^2}, donc (a_n)_{n\in\mathbb{Z}^{*}} est sommable.

Remarques :
Toute famille finie d'éléments de K est sommable.
Toute famille presque nulle d'éléments de K est sommable.
Toute sous famille d'une famille sommable d'éléments de K est, elle-même sommable.
Proposition :
Soit (a_i)_{i\in I} une famille d'éléments de K et (b_i)_{i\in I} une famille de réels positifs indexée par le même I tq :
(\forall i \in I) \: : \: |a_i|\leq b_i. Alors :
Si (b_i)_{i\in I} est sommable, il en est de même de (a_i)_{i\in I}.
Si (a_i)_{i\in I} est non sommable, il en est de même de (b_i)_{i\in I}.


Remarque :
On note \ell^1(I) l'ensemble des familles sommables d'éléments de K indexés par I.
\ell^1(I) \neq  \varnothing car il contient la famille nulle.
\ell^1(I) \subset K^I.
\ell^1(I) est stable par combinaison linéaire.
\ell^1(I) est un K-ev, sev de K^I.
Proposition :
Soit (z_p)_{p\in I} une famille des nombres complexes indexée par I et soit a_p = \mathfrak{Re}(z_p) et b_p = \mathfrak{Im}(z_p).
Alors (z_p)_{p\in I} est sommable ssi (a_p)_{p\in I} et (b_p)_{p\in I} sont sommables.



2. Somme d'une famille sommable

Théorème - Définition :
Soit (a_i)_{i\in I} une famille sommable d'éléments de K. Soit (J_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite exhaustive de I, alors :
La suite \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i \right) est convergente dans K.
La limite de cette suite ne dépend pas du choix de (J_n)_{n\in \mathbb{N}}, on l'appelle la somme de la famille (a_i)_{i\in I}, on la note \displaystyle \bigsum_{i\in I} a_i.


Remarque :
En général : (a_i)_{i\in I} sommable \Rightarrow \left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i\right) converge.
La réciproque est fausse en général .

Contre-exemple :
Soit I = \mathbb{N} \, , \, a_i = \dfrac{(-1)^i}{i+1} et J_n = \ldbrack0,n\rdbrack
(J_n) est exhaustive de \mathbb{N}.
\left(\displaystyle \sum_{i\in J_n} a_i \right) = \left(\displaystyle \sum_{i=0}^N \dfrac{(-1)^1 }{i+1}\right) converge (critère des séries alternées).
Or, \left(|a_i|\right)_{i\in\mathbb{N}} n'est pas sommable car \sum \dfrac{1}{n+1} diverge.
Donc (a_i)_{i\in\mathbb{N}} n'est pas sommable.
Proposition :
Soit (a_i)_{i\in I} et (b_i)_{i\in I} deux familles sommables d'éléments de K et soit \lambda \in\mathbb{R}. Alors :
    (\lambda a_i + b_i)_{i\in I} est sommable.
    \displaystyle \sum_{i\in I} \left(\lambda a_i+b_i\right) = \lambda \displaystyle \sum_{i\in I} a_i + \displaystyle \sum_{i\in I} b_i

Proposition :
Soit (z_k)_{k\in \mathbb{N}} une famille de nombres complexes. On pose : a_k = \mathfrak{Re}(z_k) et b_k = \mathfrak{Im}(z_k). Alors :
    (z_k)_{k\in \mathbb{N}} est sommable ssi (a_k)_{k \in \mathbb{N}} et (b_k)_{k\in \mathbb{N}} sont sommables.
    Si (z_k)_{k\in \mathbb{N}} est sommable, on a : \displaystyle \sum_{k\in I} a_k = \displaystyle \sum_{k\in I} a_k + i \displaystyle \sum_{k\in I} b_k

Proposition :
Soit (a_i)_{i\in I} une famille sommable d'éléments de K. Alors :
|\displaystyle \sum_{i\in I} a_i | \leq \displaystyle \sum_{i\in I} |a_i|

Théorème :
Soit (a_i)_{i\in I} et (b_i)_{i\in I} deux familles d'éléments de K tq : (a_i ^2)_{i\in I} et (b_i ^2)_{i\in I} sont sommables.
Alors : (\bar{a_i} b_i)_{i\in I} est sommable.
De plus, dans ce cas : |\displaystyle \sum_{i\in I} \bar{a_i} b_i | \leq \left(\displaystyle \sum_{i\in I} |a_i|^2\right)^{1/2}\left(\displaystyle \sum_{i\in I} |b_i|^2\right)^{1/2}

Théorème :
Soit (a_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite d'éléments de K. Alors la suite (a_n)_{n\in \mathbb{N}} est sommable ssi la série \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n converge absolument.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n.

Proposition :
Soit (a_i)_{i\in I} une famille d'éléments de K, soit \sigma : \mathbb{N} \longrightarrow I une bijection.
Alors (a_i)_{i\in I} est sommable ssi : \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)} converge absolument.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \sum_{i\in I} a_i = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}

Corollaire :
Soit (a_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite d'éléments de K et \sigma une permutation de \mathbb{N}. Alors :
\displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n converge absolument ssi \displaystyle \sum_{n\geq 0} a_{\sigma(n)} converge absolument.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}.





IV. Suites doubles sommables

Théorème :
Soit \displaystyle \sum_{n\geq 0 } a_n et \displaystyle \sum_{n\geq 0 } b_n deux séries absolument convergentes.
Alors la suite double (a_n b_m)_{(n,m)\in\mathbb{N}^2} est sommable et on a : \displaystyle \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}^2} a_n b_m = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right).

Théorème : "d'interversion des sommations"
Soit (a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} une suite double de réels positifs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
    (a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} est sommable.
    \left \lbrace \begin{array}{l}  \forall i\in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{j\geq 0}a_{ij} \text{ convege. } \\ \displaystyle \sum_{i\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} a_{ij}\right) \: \text{ converge.} \end{array} \right.
    \left \lbrace \begin{array}{l} \forall j\in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{i\geq 0}a_{ij} \text{ convege. } \\ \displaystyle \sum_{j\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} a_{ij}\right) \text{ converge.} \end{array} \right.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right).

Théorème de "Fubini" :
Soit (a_{ij})_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} une suite double d'éléments de K. Alors si (a_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} est sommable, on a :
    \left \lbrace \begin{array}{l}  \forall i\in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{j\geq 0}a_{ij} \text{ converge absolument.} \\ \displaystyle \sum_{i\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} a_{ij}\right) \text{ converge absolument.} \end{array} \right.
    \left \lbrace \begin{array}{l}  \forall j \in\mathbb{N} \, , \, \displaystyle \sum_{i\geq 0}a_{ij} \text{ converge absolument.} \\ \displaystyle \sum_{j\geq 0} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right) \text{ converge absolument.} \end{array} \right.
    \displaystyle \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} a_{ij} = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{ij}\right) = \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}a_{ij}\right).


Remarque :
La réciproque du théorème de Fubini est fausse en général.

Exemple :
Soient a,b \in\mathbb{C} \, ; \, |U_{ij}| = \dfrac{a^ib^j}{(i+j)!}
On a : |U_{ij}| \leq \dfrac{|a|^i}{i!}\dfrac{|b|^j}{j!}
On sait que : \displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|a|^n}{n!} \text{ et } \displaystyle \sum_{n\geq 0}\frac{|b|^n}{n!} sont deux séries à termes positifs convergentes.
Donc (U_{ij})_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} est sommable.
\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \displaystyle \sum_{(i,j)\in A_n} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} avec A_n = \lbrace (i,j)\in\mathbb{N}^2/i+j\leq n\rbrace .
Donc : \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\ti+\infty} \displaystyle \sum_{k=0} \left(\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2/ i+j = k} \frac{a^ib^j}{(i+j)!}\right) = \displaystyle \lim_{n\ti+\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left(\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2/ i+j=k} a^ib^j\right)
      Si a \neq b :
On a : b^{k+1} - a^{k+1} = (b - a) \displaystyle \sum_{i=0}^k a^i b^{k-i} = (b - a) \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2 / i+j=k} a^i b^j
\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \frac{a^ib^j}{(i+j)!} = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{(b-a)k!} = \frac{1}{b-a}\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{k!} = \frac{be^b-ae^a}{b-a}.
      Si a = b :
\displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^i b^j}{(i+j)!} = \displaystyle \sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^2} \dfrac{a^{i +j}}{(i+j)!} = (a+1)e^a.

Contre-exemple :
Considérons la famille (u_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb{N} \times \mathbb{N}} définie par u_{m,n} = \dfrac{1}{m^2-n^2} si m \neq n et u_{n,n} = 0.
Il est clair que pour m fixé la série \displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} u_{m,n} est convergente et que pour n fixé la série \displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} u_{m,n} est convergente.
On a \displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{0,n} = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} < 0
Soit m > 0. Comme \dfrac{1}{m^2-n^2} = \dfrac{1}{2m(m+n)}+\dfrac{1}{2m(m-n)} et comme \dfrac{1}{2m(m+n)} + \dfrac{1}{2m(m-(2m+n))} = 0, on voit que \displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n} = -\frac{3}{4m^2} car dans la somme les seuls termes qui ne s'annulent pas deux à deux sont \dfrac{-1}{2m^2} et \dfrac{-1}{4m^2}. Ceci montre que la série \displaystyle \sum_{m\in\mathbb{N}} \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right) est convergente et que \displaystyle \sum_{m=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right) < 0.
Mais on a u_{m,n} = -u_{n,m} pour tout couple (m,n), donc \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{m=0}^\infty u_{m,n}\right) > 0 et on voit que dans ce cas
\displaystyle \sum_{m=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_{m,n}\right) \neq \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \sum_{m=0}^\infty u_{m,n}\right)


V. Groupements de termes

Les séries envisagées dans ce paragraphe sont à termes dans un evn E.
Définitions générales :
Soient \displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n une série et \sigma : \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N} une extractrice (application linéaire strictement croissante). Notons pour tout n\in\mathbb{N} \: : \: v_n = \displaystyle \sum_{k = \sigma(n)}^{\sigma(n+1)-1} u_k.
On dit que la série \displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n a été obtenue par groupement de termes à partir de la série \displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n.
Les v_n sont appelés les paquets et \sigma(n+1) - \sigma(n) est appelée la longueur du paquet v_n.


Nous nous intéressons ici aux liens éventuels entre les natures de \displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n et \displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n et, dans le cas de convergence, aux liens éventuels entre leurs sommes.
Proposition :
Si \displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n converge, alors \displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n converge et : \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k.


Remarque :
La réciproque de cette proposition est fausse en général.
Cette proposition n'est pas pratique car elle suppose que \displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n converge déjà.
Théorème : "de groupement de termes" :
Avec les notations précédentes :
Si \left \lbrace \begin{array}{l} u_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0 \\ \left(\sigma(n+1) - \sigma(n)\right)_{n\in\mathbb{N}} \text{ est bornée} \end{array} \right. , alors les séries \displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n et \displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n sont de même nature et, dans le cas de convergence, on a : \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n  = \displaystyle \sum_{k=\sigma(0)}^{+\infty} u_k.


Remarque :
Si la longueur des paquets n'est pas bornée, il se peut que \displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n diverge et \displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n converge.

Exemple :
\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \cdots
\displaystyle \sum_{n\geq 0} u_n diverge d'après la proposition précédente, puisque la série groupée ainsi :
1 + \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\right) - \cdots diverge.
Et \displaystyle \sum_{n\geq 0} v_n = \left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \cdots qui converge.
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