Dans tout ce chapitre, désigne un intervalle non trivial de et désigne son intérieur.
I. Définitions et propriétés
Définition :
Soit .
On dit que est convexe si .
Définition :
Soit .
On appelle épigraphe de noté l'ensemble : .
Définitions :
Soit . On dit que :
1. est convexe si est convexe.
2. est concave si est convexe.
Proposition :
Soit .
est convexe ssi : .
Interprétation géométrique : On dit que est convexe ssi pour tout , la corde joignant les points et est située au-dessus de la courbe de restreint sur .
Exemple : La fonction : est convexe :
en effet :
Soit et .
donc est bien convexe.
II. Continuité et dérivabilité d'une fonction convexe
Théorème :
Soit . Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1. est convexe.
2. 3. la fonction définie par :
Théorème :
Soit une fonction convexe, alors on a :
1. Pour tout , admet une dérivée à droite et à gauche.
2. est continue sur .
3. tel que on a : Ainsi, et sont croissantes sur .
Remarques : 1. Si est convexe, il se peut qu'elle ne soit pas continue aux extremités.
2. Une fonction convexe peut ne pas être bornée.
3. Si est dérivable et convexe, alors est croissante.
4. Si est deux fois dérivable et convexe, alors
Théorème :
Soit une fonction dérivable sur .
alors est convexe ssi est croissante sur .
Théorèmes :
Soit dérivable, alors est convexe ssi sa courbe représentative est située au-dessus de toutes ses tangentes.
Publié par Panter
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
désigne un intervalle non trivial de 
et 
désigne son intérieur.
est convexe ssi pour tout )
, la corde joignant les points ))
et ))
est située au-dessus de la courbe de ![[x_1,x_2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[x_1,x_2])
.
est convexe :
 \in \mathbb{R}^2)
et ![t \in [0,1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t \in [0,1])
.
x_2) - tf(x_1) - (1-t)f(x_2) = t^2x_1^2 + (1-t)^2x_2^2 + 2t(1-t)x_1x_2-tx_1^2-(1-t)x_2^2\\ \hspace{125pt} = t(t-1)(x_1-x_2)^2 \leq 0)
est croissante.
.
est convexe si ![\forall(A,B) \in D^2 \: : \: [A,B] \subset D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall(A,B) \in D^2 \: : \: [A,B] \subset D)
.
.
)
l'ensemble :  = \lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 / y \geq f(x)\rbrace )
.
)
est convexe.
![\left\lbrace\begin{matrix} \forall(x_1,x_2)\in I^2 \\ \forall t \in [0,1] \end{matrix}\right\quad \text{ on a }f(tx_1+(1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \left\lbrace\begin{matrix} \forall(x_1,x_2)\in I^2 \\ \forall t \in [0,1] \end{matrix}\right\quad \text{ on a }f(tx_1+(1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2))
.
 \in I^3 \: : \: x < y < z \Longrightarrow \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x} \leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y}.)
la fonction 
définie par :![\begin{matrix} \psi_a &: & I-\lbrace a \rbrace & \longrightarrow & \matbb R\\ & & t & \longrightarrow & \frac{f(t)-f(a)}{t-a} \end{matrix}\quad \text{ est croissante sur } I \cap ]a,+\infty[ \text { et sur } ]-\infty,a[ \cap I.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \psi_a &: & I-\lbrace a \rbrace & \longrightarrow & \matbb R\\ & & t & \longrightarrow & \frac{f(t)-f(a)}{t-a} \end{matrix}\quad \text{ est croissante sur } I \cap ]a,+\infty[ \text { et sur } ]-\infty,a[ \cap I.)
, 
tel que 
on a :  \leq f'_d(a) \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq f'_g(b) \leq f'_d(b).)
et 
sont croissantes sur 
est située au-dessus de toutes ses tangentes.
analyse en post-bac