Algèbre générale (partie III) - compléments et notion d'idéal
Cours prérequis :
Groupes - Anneaux - Corps
Espaces vectoriels - Applications linéaires
I. Compléments sur les groupes
1. Le groupe
(
fixé)
Proposition - Définition :
La relation

définie sur

par :

est une relation d'équivalence, on l'appelle la
congruence modulo 
.
On note cette relation par :
![x \equiv y [n]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \equiv y [n])
ou
)
.
Notation :
Soit

, la classe d'équivalence de

pour la relation de congruence modulo

est notée

(s'il n'y a pas d'ambiguité). Et on a :
![\overline x = \lbrace y \in \mathbb{Z} \ | \ y \equiv x \ [n]\rbrace = \lbrace x+kn \ | \ k\in\mathbb{Z}\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overline x = \lbrace y \in \mathbb{Z} \ | \ y \equiv x \ [n]\rbrace = \lbrace x+kn \ | \ k\in\mathbb{Z}\rbrace )
.
Notation :
L'ensemble quotient de

par la congruence modulo

est noté

et on a :

.
Remarque :
L'application

est surjective.
Proposition :
 \longrightarrow \overline{x+x'})
définit une L.c.i sur

noté encore

.

muni de cette loi est un groupe abélien dont l'élément neutre est

.
2. Sous-groupe (s.g) engendré par une partie
)
est un groupe
Rappel :
Toute intersection de sous-groupes de

est un sous-groupes de

.
Définition :
Soit

une partie de

et

l'ensemble de tous les sous-groupes de

contenant

.
Le sous-groupe de

noté

tel que :

est appelé le sous-groupe engendré par

.
Remarques :
1. 
est un s.g contenant

.
Pour tout s.g

de

, on a :

, donc au sens de la relation d'ordre "

",

est le plus petit s.g de

contenant

.
2. 
est un s.g de

.
Théorème :
Soit

une partie non vide de

.
Alors :

.
Cas particuliers :
1. 
avec

.
Soit

.
Soit

et

tel que
Posons

, on a :

.
Ainsi :

.
Réciproquement : Soit

.
On a

.
Si :

et si :

:
^{-1} \in <a>)
.
Donc :
Conclusion : 
.
2. 
avec

tel que
)
.

est noté

.
Comme avant :

.
Rappels :
Soit

.
Si

est fini, on dit que

est d'ordre fini, sinon, on dit que

est d'ordre infini.
Si

est d'ordre fini, on note :
 = Card<a>)
.

est d'ordre fini ssi il existe

tel que

. Dans ce cas,
 = \min\lbrace k \in \mathbb{N}^{\text{*}} / a^k = e \rbrace )
.
Si

est d'ordre fini

, alors :
Exemple :
)
.
On a :

, ainsi, 1 et -1 sont d'ordre infini.
Si
Si

:

est infini.
Si

:

.
Le seul élément de

d'ordre fini est 0.
Rappels :
Le groupe

est
monogène ssi :
Le groupe

est dit
cyclique ssi il est monogène et fini, dans ce cas, il existe

tel que :

, donc :
 = \text{Card} G)
.
Par abus de langage, le cardinal de

est dit aussi l'ordre de

et plus généralement, pour tout groupe fini, sont cardinal est dit son ordre.
Exemple :

est monogène mais non cyclique.

est cyclique d'ordre

.
Définition : " L'indicateur d'Euler "
Le nombre défini par
 = Card \lbrace k \in \ldbrack 1,n\rdbrack \rm / k\wedge n=1 \rbrace )
est appelé l'indicateur d'Euler de

, c'est le nombre de générateurs du groupe cyclique

.
Théorème de " Lagrange " :
L'ordre de tout sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.
3. Groupe opérant sur un ensemble
)
est un groupe d'élément neutre

et

un ensemble non vide.
Définition :
On appelle action (ou opération) de

sur

toute application

telle que :
 \: : \: P(e,x) = x)
.
 \in G^2) \: (\forall x \in E) \: : \: P(ab,x) = P(a,P(b,x)))
.
Exemple :
1. )
(groupe de permutation de

)
Soit :

est une action de
)
sur

appelée l'action naturelle de
)
sur

.
Proposition :
Les p.s.s.e :

agit sur

.
Il existe un morphisme de groupes
)
.
Remarques et Vocabulaire :
Si

est une action de

sur

,

et

. Alors :
-
où :  : E & \longrightarrow& E\\ x & \longrightarrow & p(a,x) \end{array})
-
est appelé le morphisme associé à
Si
)
est un morphisme de groupes, l'action :
& \longrightarrow & \gamma(a)(x) \end{array})
est appelé l'action de

sur

associé au morphisme

.
Proposition - Définition :
Soit

une action de

sur

, la relation définie sur

par :
 \, y=p(a,x))
est une relation d'équivalence sur

.
La classe d'équivalence de

pour

est appelé l'orbite de

dans l'action

.
Proposition - Définition :
Soit

une action de

sur

.
L'ensemble
=x\rbrace )
est un sous groupe de

appelé le stabilisateur de

dans l'action

, on le note :
)
.
II. Compléments sur les anneaux et notion d'idéal
1. L'anneau
Proposition :
 \longrightarrow \overline{xx'})
est une L.c.i sur

notée

.
)
est un anneau commutatif de zéro

et d'unité

.
Théorème :
Soit

.
Alors

est inversible ssi

.
Remarque :

est inversible dans l'anneau
)
ssi

engendre le groupe cyclique
)
.
Théorème :
Les propositions suivantes sont équivalentes :

est un corps commutatif.

est un anneau intègre.

est un nombre premier.
Lemme : "lemme chinois" :
Soit
 \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*)
, alors :
 \end{array})
est un morphisme d'anneaux.

est un isomorphisme d'anneaux ssi

.
Rappels :
Soient

deux anneaux, pour
,(a',b'))\in (A\times B)^2)
on pose :
On définit ainsi deux L.c.i sur

notées

et
)
est un anneau de zéro
)
et d'unité
)
.
Si

et

sont commutatifs, alors

l'est également.
Si

et

sont non nuls,

n'est jamais intègre (même si

et

le sont).
\times(0_A,1_B)=(0_A,0_B)=0_{A\times B})
.
2. Notion d'idéal d'un anneau commutatif
 , (B,+,\times))
sont deux anneaux commutatifs.
Définition :
On appelle idéal de

toute partie

de

tel que :
Proposition - Définition :
Si

,

est un idéal de

appelé l'idéal principal engendré par

, on le note
)
.
Proposition :
Toute intersection d'idéaux de

est un idéal de

.
Proposition - Définition :
Soit

p idéaux de

.
Alors

est un idéal de

appelé l'idéal somme de

et on le note

.
Proposition :
Soit

un morphisme d'anneaux, alors :
L'image réciproque par

de tout idéal de

est un idéal de

.
Si

est surjective, l'image directe par

de tout idéal de

est un idéal de

.
Remarque :
Si

est non surjective, il se peut que l'image directe d'un idéal de

par

ne soit pas un idéal de

.
Contre-exemple :

,

dans ce cas est un morphisme d'anneaux.
Soit :
 = 2\mathbb{Z})
,

est un idéal de

et

, mais
Donc

n'est pas un idéal de

.
Théorème :
Soit

un sous-corps de
Les idéaux de

et les idéaux de l'anneau
![K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[X])
des polynômes sur

sont tous principaux.
Remarques :
Soit

deux entiers de

ou deux polynômes de
![K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[X])
.
1.
2. =(b) \: \Longleftrightarrow \: a/b \text{ et } b/a \: \Longleftrightarrow \: \exists k \text{ inversible tq : } b=ka)
Plus précisement :
Dans
Dans
On en déduit :
- Tout idéal de
est principal engendré par un unique entier positif.
- Tout idéal de
est principal engendré par un unique polynôme nul ou unitaire.
Théorème :
Soient

(resp.
![K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[X])
), soit

, alors :

est l'unique entier positif (resp.polynôme nul ou unitaire) tel que :
+(b)=(d))
.
Remarque :
Supposons

(

), donc
+(b)=(1))
d'après le théorème.
Et puisque
)
, donc
+(b))
.
D'où :
\in \mathbb{Z}^2)
(resp.
![K[X]^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[X]^2)
) tel que :

.
Réciproquement, supposons donné

tel que

.
D'où :
Soit

, on a :
+(b))
d'où
Alors

, on en déduit alors que :

, donc :

.
Donc :
le théorème précédent offre une démonstration simple du théorème de Bezout.
3. Notion de caractéristique d'un anneau
Définition :
Soit

un anneau .
On dit que

est de caractéristique non nulle ssi

est d'ordre fini dans le groupe
)
.
Dans ce cas,
)
est appelé le caractéristique de

, on le note
)
.
On a
a=0_A)
pour tout

.
Convention :
Si

est d'ordre infini, on dit que

est de caractéristique nulle, ie :
=0)
.
Ainsi,
 = \min\lbrace k \in \mathbb{N}^* / k.1_A=0_A\rbrace )
si

est de caractéristique non nulle.
=0)
.
=n)
.
III. Polynômes d'un élément d'une K-algèbre
Ici,

désigne un sous corps de

.
Définition :
Soit

une

-algèbre,

et
![P = \displaystyle \sum_{k\in \mathbb{N}}a_kX^k\in K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P = \displaystyle \sum_{k\in \mathbb{N}}a_kX^k\in K[X])
.
L'élément

de

est dit un polynôme de

, on le note
)
.
Avec

désigne :
Exemple :

, alors :
 = -2.1_A+\alpha+\alpha^2)
.
Notation :
![K[\alpha] = \lbrace P(\alpha)/P\in K[X]\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[\alpha] = \lbrace P(\alpha)/P\in K[X]\rbrace )
et
![K[\alpha]\subset A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[\alpha]\subset A)
.
Proposition :
Soit
![P,Q\in K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P,Q\in K[X])
et

, alors :
Pour tout

:
(\alpha) = \lambda P(\alpha)+Q(\alpha))
.
(\alpha) = P(\alpha)\times Q(\alpha)=Q(\alpha)\times P(\alpha))
.
Corollaire :
Soit

.
L'application :
![\begin{array}{rccl}f : & K[X] & \longrightarrow &A\\ & P & \longrightarrow & P(\alpha) \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rccl}f : & K[X] & \longrightarrow &A\\ & P & \longrightarrow & P(\alpha) \end{array})
est un morphisme d'algèbre.
![K[\alpha]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[\alpha])
est un sous-algèbre commutative de

.
Remarques :
![K[\alpha]=\lbrace P(\alpha) / P\in K[X]\rbrace = \lbrace \displaystyle\sum_{k\in \mathbb{N}}a_k \alpha^k / (a_k)_{k\in \mathbb{N}}\in K^{\mathbb{N}}\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[\alpha]=\lbrace P(\alpha) / P\in K[X]\rbrace = \lbrace \displaystyle\sum_{k\in \mathbb{N}}a_k \alpha^k / (a_k)_{k\in \mathbb{N}}\in K^{\mathbb{N}}\rbrace )
, d'où
![\alpha \in K[\alpha]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha \in K[\alpha])
.
![K[\alpha]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[\alpha])
est la plus petite sous-algèbre de

contenant

(au sens de l'inclusion).
Définition :
Soit

. On appelle polynôme annulateur de

tout polynôme
![P \in K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P \in K[X])
tel que :
=0_A)
.
Exemple :
Soit
)
avec

un

-ev et

un projecteur de

.
On a

, donc :

, ie :
Alors

est un polynôme annulateur de

.
Proposition :
Soit

.
L'ensemble
)
de tous les polynômes annulateurs de

est un idéal de
![K[\alpha]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[\alpha])
.
Remarque :
Pour toute

-algèbre

et pour tout

, le polynôme nul de
![K[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K[X])
est annulateur de

, ie :
)
.
Définition :
Soit

.
Si
\not = \lbrace 0\rbrace )
, on dit que

est algébrique sur

.
Dans le cas contraire,

est dit transcendant sur

.
Théorème :
Si la

-algébre

est de dimension finie, tout élément de

est algébrique sur

.
Remarque :
L'hypothèse du théorème précédent peut-être remplacée par :
Définition :
Soit

algébrique sur

.
L'unique générateur de l'idéal non nul
)
est appelé le polynôme minimal de

.