Fiche de mathématiques
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Compléments d'algèbre général - Notion d'idéal

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Cours prérequis :
Groupes - Anneaux - Corps
Espaces vectoriels - Applications linéaires


I. Compléments sur les groupes

1. Le groupe \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ( n\in \mathbb{N}^* fixé)

Proposition - Définition :
La relation \mathfrak{R} définie sur \mathbb{Z} par : x\mathfrak{R}y  \text{ ssi } n/x-y est une relation d'équivalence, on l'appelle la congruence modulo n.
On note cette relation par : x \equiv y [n] ou x \equiv y \: \text{mod}(n).

Propriétés :
p, \, x , \, y , \, x', \, y' \in \mathbb{Z} et r \in \mathbb{N}.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ \equiv } c} x & y[n] \\ x' &  y'[n] \end{array} \right.  \Longrightarrow x+x' \equiv y+y'[n]
\left \lbrace \begin{array}{c @{ \equiv } c} x & y[n] \\ x' & y'[n] \end{array} \right. \Longrightarrow xx' \equiv yy' [n]
x \equiv y[n] \Longrightarrow p x \equiv py [n]
x \equiv y[n] \Longrightarrow x^r \equiv y^r[n]


Notation :
Soit x \in \mathbb{Z}, la classe d'équivalence de x pour la relation de congruence modulo n est notée \bar x (s'il n'y a pas d'ambiguité). Et on a : \overline x = \lbrace y \in \mathbb{Z} \ | \ y \equiv x \ [n]\rbrace  = \lbrace x+kn \ | \ k\in\mathbb{Z}\rbrace .
Propriétés :
x \in \bar x
\bar x = \bar y \text{ ssi } x \equiv y[n]
\bar x \neq \bar y \: \Longleftrightarrow \: \bar x \cap \bar y = \emptyset
\displaystyle \bigcup_{x \in \mathbb{Z}} \bar x = \mathbb{Z}


Notation :
L'ensemble quotient de \mathbb{Z} par la congruence modulo n est noté \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} et on a : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \lbrace \bar x / x \in \mathbb{Z}\rbrace .

Remarque :
L'application \begin{array}{lll} p \: : \: \mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ x & \longrightarrow & \bar x \\ \end{array} est surjective.
Proposition :
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \lbrace \bar 0 , \, \bar 1 , \, \cdots, \, \overline{n-1}\rbrace

Proposition :
(\bar{x} \, , \, \bar{x'}) \longrightarrow \overline{x+x'} définit une L.c.i sur \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} noté encore +.
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} muni de cette loi est un groupe abélien dont l'élément neutre est \bar 0.




2. Sous-groupe (s.g) engendré par une partie

(G \, , \, .) est un groupe

Rappel :
Toute intersection de sous-groupes de G est un sous-groupes de G.
Définition :
Soit S une partie de G et \mathfrak{H}_s l'ensemble de tous les sous-groupes de G contenant S.
Le sous-groupe de G noté <S> tel que : <S> = \displaystyle \bigcap_{H \in \mathfrak{H}_s} H est appelé le sous-groupe engendré par S.


Remarques :
1. <S> est un s.g contenant S.
  Pour tout s.g H de G, on a : S \subset H \Longrightarrow <S> \subset H, donc au sens de la relation d'ordre "\subset", <S> est le plus petit s.g de G contenant S.
2. <S> = S \Longleftrightarrow S est un s.g de G.
Théorème :
Soit S une partie non vide de G.
Alors : <S> = \lbrace x_1^{\epsilon_1} \cdots x_p^{\epsilon_p}  /  p \in \mathbb{N}^* \, , \, x_i \in S \, , \, \epsilon_i \in \lbrace -1,1\rbrace \rbrace .


Cas particuliers :
1. S = \lbrace a\rbrace avec a \in G.
Soit x \in <\lbrace a\rbrace > \stackrel{\text{Notation}}{=} <a>.
Soit p \in \mathbb{N}^* \, , \, x_1,\cdots,x_p \in \lbrace a\rbrace et \epsilon_1 \, , \, \cdots \, , \, \epsilon_p \in \lbrace -1,1\rbrace tel que x = x_1^{\epsilon_1}\cdots x_p^{\epsilon_p}
Posons k = \epsilon_1 + \cdots + \epsilon_p, on a : x=a^k.
Ainsi :  <a> \subset \lbrace a^k / k \in \mathbb{Z}\rbrace .
Réciproquement : Soit k \in \mathbb{Z}.
On a a \in <a>.
Si : k \in \mathbb{N} \: : \: a^k \in <a> et si : k \in \mathbb{Z}^- : a^k = (a^{-k})^{-1} \in <a>.
Donc :  \lbrace a^k / k \in \mathbb{Z}\rbrace  \subset <a>
Conclusion : <a> = \lbrace a^k/k \in \mathbb{Z}\rbrace .
2. S = \lbrace a,b\rbrace avec a \, , \, b \in G tel que ab=ba \left(a=bab^{-1} \, , \, b^{-1}a=ab^{-1}\right).
<\lbrace a,b\rbrace > est noté <a,b>.
Comme avant : <a \, ; \, b> = \lbrace a^kb^h/k,h \in \mathbb{Z}\rbrace .

Rappels :
Soit a \in G.
  Si <a> est fini, on dit que a est d'ordre fini, sinon, on dit que a est d'ordre infini.
  Si a est d'ordre fini, on note : o(a) = Card<a>.
  a est d'ordre fini ssi il existe k \in \mathbb{N}^* tel que a^k=e. Dans ce cas, o(a) = \min\lbrace k \in \mathbb{N}^{\text{*}} / a^k = e \rbrace .
  Si a est d'ordre fini p, alors : \left \lbrace \begin{array}{l} <a> = \lbrace e,a,\cdots, a^{-1}\rbrace  \\ (\forall k \in \mathbb{N}^*) , a^k = e \, \Longleftrightarrow  \, p/k \\ \end{array} \right.

Exemple :
G = (\mathbb{Z},+).
On a : <1>=\mathbb{Z}=<-1>, ainsi, 1 et -1 sont d'ordre infini.
Si n\in \mathbb{Z} \: : \: <n>=\lbrace kn / k \in \mathbb{Z}\rbrace =n\mathbb{Z}
Si n \not = 0 : <n> est infini.
Si n = 0 : <n> = \lbrace 0\rbrace .
Le seul élément de \mathbb{Z} d'ordre fini est 0.

Rappels :
  Le groupe G est monogène ssi : (\exists a\in G) \: : \: G = <a>
  Le groupe G est dit cyclique ssi il est monogène et fini, dans ce cas, il existe a \in G tel que : <a> = G, donc : o(a) = \text{Card} G.
  Par abus de langage, le cardinal de G est dit aussi l'ordre de G et plus généralement, pour tout groupe fini, sont cardinal est dit son ordre.

Exemple :
  \mathbb{Z} est monogène mais non cyclique.
  \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est cyclique d'ordre n.
Définition : " L'indicateur d'Euler "
Le nombre défini par \phi (n) = Card \lbrace k \in \ldbrack 1,n\rdbrack \rm / k\wedge n=1 \rbrace est appelé l'indicateur d'Euler de n, c'est le nombre de générateurs du groupe cyclique \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.


Théorème de " Lagrange " :
L'ordre de tout sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.




3. Groupe opérant sur un ensemble

(G \, , \, .) est un groupe d'élément neutre e et E un ensemble non vide.
Définition :
On appelle action (ou opération) de G sur E toute application P \: : \:  G\times E \longrightarrow E telle que :
(\forall x \in E) \: : \: P(e,x) = x.
(\forall (a \, , \, b) \in G^2) \: (\forall x \in E) \: : \: P(ab,x) = P(a,P(b,x)).


Exemple :
1. G = S(E) (groupe de permutation de E)
Soit : \begin{array}{rccl} p : & G \times E  & \longrightarrow & E\\    & (f,x) & \longrightarrow & f(x) \end{array}
p(id_E,x)=id_E(x)=x \\  p(f \circ g,x)=f \circ g(x)=f(g(x))=p(f,g(x))=p(f,p(g,x))
p est une action de S(E) sur E appelée l'action naturelle de S(E) sur E.
Proposition :
Les p.s.s.e :
G agit sur E.
Il existe un morphisme de groupes \gamma \: : \: G \longrightarrow S(E).


Remarques et Vocabulaire :
Si p est une action de G sur E, a \, , \, b \in G et x \in E. Alors :
  • \begin{array}{rccl} \gamma : & G  & \longrightarrow & S(E) \\ & a & \longrightarrow & \gamma(a) \\ \end{array}     où :     \begin{array}{rcl} \gamma(a) :  E  & \longrightarrow& E\\   x & \longrightarrow & p(a,x) \end{array}
  • p(ab,x) est appelé le morphisme associé à p

Si \gamma : G \longrightarrow S(E) est un morphisme de groupes, l'action : \begin{array}{rccl}p : & G \times E  & \longrightarrow& E\\  & (a,x)& \longrightarrow & \gamma(a)(x) \end{array} est appelé l'action de G sur E associé au morphisme \gamma.
Proposition - Définition :
Soit p une action de G sur E, la relation définie sur E par : x \mathfrak{R} y \Longleftrightarrow (\exists a \in G) \, y=p(a,x) est une relation d'équivalence sur E.
La classe d'équivalence de x \in Epour \mathfrak{R} est appelé l'orbite de x dans l'action p.

Proposition - Définition :
Soit p une action de G sur E.
L'ensemble \lbrace a \in E / p(a,x)=x\rbrace est un sous groupe de G appelé le stabilisateur de x dans l'action p, on le note : St_p(x).




II. Compléments sur les anneaux et notion d'idéal

1. L'anneau \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

Proposition :
(\bar{x}, \bar{x'}) \longrightarrow \overline{xx'} est une L.c.i sur \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} notée \times.
(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,\times) est un anneau commutatif de zéro \bar{0} et d'unité \bar{1}.


Théorème :
Soit k \in \mathbb{Z}.
Alors \bar{k} est inversible ssi k \wedge n = 1.


Remarque :
\bar{k} est inversible dans l'anneau (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,\times) ssi \bar{k} engendre le groupe cyclique (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+).
Théorème :
Les propositions suivantes sont équivalentes :
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est un corps commutatif.
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est un anneau intègre.
n est un nombre premier.


Lemme : "lemme chinois" :
Soit (n,m) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*, alors :
  \begin{array}{rccl} M : & \mathbb{Z}/nm\mathbb{Z} & \longrightarrow &\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\\   & \bar{x} & \longrightarrow & (^n\bar{x},^m\bar{x}) \end{array} est un morphisme d'anneaux.
  M est un isomorphisme d'anneaux ssi n \wedge m = 1.



Rappels :
Soient A,B deux anneaux, pour ((a,b),(a',b'))\in (A\times B)^2 on pose :
  (a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')
  (a,b)\times(a',b') = (aa',bb')

On définit ainsi deux L.c.i sur A\times B notées +,\times et (A\times B,+,\times) est un anneau de zéro (0_A,0_B) et d'unité (1_A,1_B).
Si A et B sont commutatifs, alors A\times B l'est également.
Si A et B sont non nuls, A\times B n'est jamais intègre (même si A et B le sont).
(1_A,0_B)\times(0_A,1_B)=(0_A,0_B)=0_{A\times B}.


2. Notion d'idéal d'un anneau commutatif

(A,+,\times) , (B,+,\times) sont deux anneaux commutatifs.
Définition :
On appelle idéal de A toute partie I de A tel que : \left \lbrace \begin{array}{l} I \text{ est un sous-groupe de } (A,+) \\ (\forall x\in I) \: (\forall a\in A) \: : \: ax\in I \\ \end{array} \right.

Proposition - Définition :
Si x \in A, xA = \lbrace xa/a\in A\rbrace est un idéal de A appelé l'idéal principal engendré par x, on le note (x).

Proposition :
Toute intersection d'idéaux de A est un idéal de A.

Proposition - Définition :
Soit I_1 \, , \, \cdots \, , \, I_p p idéaux de A.
Alors \lbrace x_1 + \cdots + x_p\ | \forall j\in \ldbrack1 , p \rdbrack, \ x_j \in I_j\rbrace est un idéal de A appelé l'idéal somme de I_1 , \cdots , I_p et on le note I_1 + \cdots + I_p.

Proposition :
Soit f : A\longrightarrow B un morphisme d'anneaux, alors :
L'image réciproque par f de tout idéal de B est un idéal de A.
Si f est surjective, l'image directe par f de tout idéal de A est un idéal de B.



Remarque :
Si f est non surjective, il se peut que l'image directe d'un idéal de A par f ne soit pas un idéal de B.
Contre-exemple :
\begin{array}{rccl}f : &\mathbb{Z}  & \longrightarrow &\mathbb{Q}\\  & x& \longrightarrow & x \end{array}, f dans ce cas est un morphisme d'anneaux.
Soit : I = (2) = 2\mathbb{Z}, I est un idéal de \mathbb{Z}
f(I)=I
2 \in I et \frac{1}{3} \in \mathbb{Q}, mais 2\times\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \not\in  I
Donc I n'est pas un idéal de \mathbb{Q}.
Théorème :
Soit K un sous-corps de \mathbb{C}
Les idéaux de \mathbb{Z} et les idéaux de l'anneau K[X] des polynômes sur K sont tous principaux.


Remarques :
Soit a,b deux entiers de \mathbb{Z} ou deux polynômes de K[X].
1. a/b \: \Longleftrightarrow \exists k / b=ka \: \Longleftrightarrow \: b\in (a) \: \Longleftrightarrow  \: (b)\subset(a)
2. (a)=(b) \: \Longleftrightarrow \: a/b \text{ et } b/a \: \Longleftrightarrow \: \exists k \text{ inversible tq : } b=ka Plus précisement :
Dans \mathbb{Z} \: : \: (a)=(b) \: \Longleftrightarrow \: b=+a ou b=-a
Dans K[X] \: : \: (a)=(b) \: \Longleftrightarrow \:  (\exists k \in K^*) \: \: b=ka
On en déduit :
  • Tout idéal de \mathbb{Z} est principal engendré par un unique entier positif.
  • Tout idéal de K[X] est principal engendré par un unique polynôme nul ou unitaire.

Théorème :
Soient a,b \in \mathbb{Z} (resp. K[X]), soit d=a\wedge b , alors :
d est l'unique entier positif (resp.polynôme nul ou unitaire) tel que : (a)+(b)=(d).


Remarque :
Supposons a \wedge b = 1 (d=1), donc (a)+(b)=(1) d'après le théorème.
Et puisque 1 \in (1), donc 1\in (a)+(b).
D'où : \exist(u,v)\in \mathbb{Z}^2 (resp. K[X]^2) tel que : 1=au+vb.
Réciproquement, supposons donné u,v tel que 1=ua+vb.
D'où : 1 \in (a)+(b)
Soit d=a\wedge b, on a : d \in (a)+(b) d'où 1\in (d)
Alors d/1, on en déduit alors que : d=1, donc : a\wedge b = 1.
Donc : le théorème précédent offre une démonstration simple du théorème de Bezout.


3. Notion de caractéristique d'un anneau

Définition :
Soit A un anneau .
On dit que A est de caractéristique non nulle ssi 1_A est d'ordre fini dans le groupe (A,+).
Dans ce cas, o(1_A) est appelé le caractéristique de A, on le note car(A).
On a car(A)a=0_A pour tout a\in A.


Convention :
Si 1_A est d'ordre infini, on dit que A est de caractéristique nulle, ie : car(A)=0.
Ainsi, car(A) = \min\lbrace k \in \mathbb{N}^* / k.1_A=0_A\rbrace si A est de caractéristique non nulle.
\mathbb{Z} \: \: car(\mathbb{Z})=0.
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \: : \: car(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=n.


III. Polynômes d'un élément d'une K-algèbre

Ici, K désigne un sous corps de \mathbb{C}.
Définition :
Soit A une K-algèbre, \alpha \in A et P = \displaystyle \sum_{k\in \mathbb{N}}a_kX^k\in K[X].
L'élément \beta = \displaystyle \sum_{k\in \mathbb{N}} a_k\alpha^k de A est dit un polynôme de \alpha, on le note \beta = P(\alpha).
Avec \alpha^k désigne : \left \lbrace \begin{array}{l} 1_A \text{ si } k = 0 \\ \alpha^{k-1}.\alpha \text{ si } k\geq 1 \\ \end{array} \right.


Exemple :
P = -2+X+X^2, alors : P(\alpha) = -2.1_A+\alpha+\alpha^2.

Notation :
K[\alpha] = \lbrace P(\alpha)/P\in K[X]\rbrace et K[\alpha]\subset A.
Proposition :
Soit P,Q\in K[X] et \alpha \in A, alors :
Pour tout \lambda \in K : (\lambda P+Q)(\alpha) = \lambda P(\alpha)+Q(\alpha).
(P.Q)(\alpha) = P(\alpha)\times Q(\alpha)=Q(\alpha)\times P(\alpha).

Corollaire :
Soit \alpha \in A.
L'application : \begin{array}{rccl}f : & K[X] & \longrightarrow &A\\  & P & \longrightarrow & P(\alpha) \end{array} est un morphisme d'algèbre.
K[\alpha] est un sous-algèbre commutative de A.


Remarques :
K[\alpha]=\lbrace P(\alpha) / P\in K[X]\rbrace  = \lbrace \displaystyle\sum_{k\in \mathbb{N}}a_k \alpha^k / (a_k)_{k\in \mathbb{N}}\in K^{\mathbb{N}}\rbrace , d'où K[\alpha] = Vect(\alpha^k)_{k\in \mathbb{N}}
\alpha \in K[\alpha].
K[\alpha] est la plus petite sous-algèbre de A contenant \alpha (au sens de l'inclusion).
Définition :
Soit \alpha \in A. On appelle polynôme annulateur de \alpha tout polynôme P \in K[X] tel que : P(\alpha)=0_A.


Exemple :
Soit A = \mathfrak{L}(E) avec E un K-ev et \alpha un projecteur de E.
On a \alpha \in A, donc : \alpha^2=\alpha, ie : \alpha^2-\alpha=0
Alors X^2-X est un polynôme annulateur de \alpha.
Proposition :
Soit \alpha \in A.
L'ensemble Ann(\alpha) de tous les polynômes annulateurs de \alpha est un idéal de K[\alpha].


Remarque :
Pour toute K-algèbre A et pour tout \alpha \in A, le polynôme nul de K[X] est annulateur de \alpha, ie : 0\in Ann(\alpha).
Définition :
Soit \alpha \in A.
Si Ann(\alpha)\not = \lbrace 0\rbrace , on dit que \alpha est algébrique sur K.
Dans le cas contraire, \alpha est dit transcendant sur K.

Théorème :
Si la K-algébre A est de dimension finie, tout élément de A est algébrique sur K.


Remarque :
L'hypothèse du théorème précédent peut-être remplacée par :  \rm \left \lbrace \begin{array}{l} \text{ A est une K-algebre quelconque } \\ \alpha \in \text{ A tel que } K[\alpha] \text{ est de dimension finie.} \\ \end{array} \right .
Définition :
Soit \alpha\in A algébrique sur K.
L'unique générateur de l'idéal non nul Ann(\alpha) est appelé le polynôme minimal de \alpha.

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