Fiche de mathématiques
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Intégration (Partie V) : Les intégrales doubles

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K = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}


I. Aire d'un domaine de \mathbb{R}^2

I. 1. Pavé et pavage

Définitions
On appelle pavé (ou rectangle) de \mathbb{R}^2 tout partie P de \mathbb{R}^2 de la forme P = [a,b] \times [c,d] avec a,b,c,d \in \mathbb{R} tels que a \leq b et c\leq d. Autrement dit, un pavé de \mathbb{R}^2 est le produit cartésien de deux segments de \mathbb{R}.
Intégrales doubles - supérieur : image 1

On appelle aire ( surface ou encore mesure) d'un pavé P = [a,b]\times [c,d] le réel : A(P)=(b-a)(d-c).
Un pavé est dit singulier ssi son aire est nulle. C'est-à-dire si a=b ou c=d.


Proposition
L'intersection de deux pavés est soit vide soit un pavé.
Un pavé est une partie compacte de \mathbb{R}^2.


Définitons
Deux pavés sont dits quasi-disjoints ssi leur intersection est un pavé singulier.
Deux pavés sont disjoints ssi leur intersection est vide.


Définitions
On appelle pavage de \mathbb{R}^2 toute famille d'un nombre fini de pavés de \mathbb{R}^2 deux à deux quasi-disjoints.
Soient P_1,\cdots, P_n n pavés deux à deux quasi-disjoints de \mathbb{R}^2, on appelle support du pavage (P_1,\cdots,P_n) et on note Supp(P_1,\cdots,P_n) l'ensemble : Supp(P_1,\cdots,P_n) = \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n} P_i.
On dit qu'une partie de \mathbb{R}^2 est pavable ssi elle se présente comme support d'un pavage bien déterminé, c'est-à-dire ssi elle est réunion d'une famille finie de pavés deux à deux quasi-disjoints.
On appelle aire du pavage (P_1,\cdots,P_n) le réel : \mathfrak{A} = \displaystyle \sum_{i=1}^n A_i(P_i) avec A_i(P_i) l'aire du pavé P_i pour tout i\in \lbrace 1,\cdots, n\rbrace .



I. 2. Partie quarrable

Soit B une partie bornée non vide de \mathbb{R}^2.
Définitions
On appelle pavage intérieur à B tout pavage dont le support est inclus dans B.
On appelle pavage extérieur à B tout pavage dont le support contient B.


Proposition
Si P_{int} et P_{ext} désignent respectivement des pavages intérieur et extérieur à B d'aires respectivement A(P_{int}) et A(P_{ext}), alors : A(P_{int}) \leq A(P_{ext}).


Définitions
On appelle aire intérieure à B et on note A_{int} (B) la borne supérieure des aires des pavages intérieurs à B.
On appelle aire extérieure à B et on note A_{ext}(B) la borne inférieure des aires des pavages extérieurs à B.


Proposition
Avec les notations précédentes : A_{int} (B) \leq A_{ext}(B).


Définition
La partie B est dite quarrable ssi : A_{int}(B) = A_{ext}(B), cette valeur commune est appelée l'aire de B et on note A(B).


Remarque :
Par convention, \emptyset est une partie quarrable et A(\emptyset)=0.

Exemple :
Soit f une fonction continue et positive sur un segment [a,b].
Soit A la partie de \mathbb{R}^2 définie par : A = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 / a \leq x \leq b , 0 \leq y \leq f(x) \rbrace .
A est une partie quarrable.


II. Intégrale double d'une fonction bornée de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}

II. 1. Sommes de Darboux


Soit D une partie quarrable de \mathbb{R}^2.
Soit f une fonction bornée définie sur D et à valeurs dans \mathbb{R}
Définition
Etant donné une subdivision \sigma = \lbrace D_i \rbrace _{i\in I} de D formée de parties quarrables d'intérieurs disjoints.
On définit :
Somme de Darboux inférieure associée à f et \sigma le nombre : S_D(f,\sigma)_{inf} = \displaystyle \sum_j A(D_j) \inf_{(x,y)\in D_j} f(x,y)
Somme de Darboux supérieure associée à f et \sigma le nombre :S_D(f,\sigma)_{sup} = \displaystyle \sum_j A(D_j) \sup_{(x,y)\in D_j} f(x,y)
Avec : A(D_j) l'aire de la partie quarrable D_j.


Proposition - Définition
La fonction f est intégrable sur D ssi en notant \Delta l'ensemble de toutes les subdivisions en parties quarrables d'intérieurs disjoints de D, on a : \inf_{\sigma\in \Delta} S_D(f,\sigma) = \sup_{\sigma\in \Delta} S_D(f,\sigma). Et cette valeur commune de ces bornes est alors appelée intégrale double de f sur D et est notée : \displaystyle \int \int_D f(x) dA ou encore \displaystyle \int\int_D f(x,y) dxdy.


Théorème
Une fonction continue sur une partie quarrable compacte y est intégrable.



II. 2. Sommes de Riemann

Définition
Etant donné une subdivision \sigma = \lbrace D_i \rbrace _{i\in I} de D formée de parties quarrables d'interieurs disjoints, on appelle une somme de Riemann de f relativement à \sigma toute somme qui s'écrit comme suit : \mathfrak{S}(f,\sigma) = \displaystyle \sum_ k f(\zeta_k) A(D_k)
avec :
A(D_k) l'aire de la partie quarrable D_k.
\zeta_k des points choisis de la partie D_k.


Théorème
Si la fonction bornée f est intégrable sur D, alors les sommes de Riemann \mathfrak{S}(f,\sigma) convergent vers \displaystyle \int \int_D f(x,y) dx dy quand \max_{j} A(D_j) tend vers 0.



II. 3. Propriétés

Théorème
Soient deux parties quarrables D et D' d'intérieurs disjoints.
Si la fonction bornée f est intégrable sur chacune des parties quarrables Det D' alors elle est intégrable sur D \cup D' et :
\displaystyle \int \int_{D \cup D'} f(x,y) dx dy = \displaystyle \int \int_{D} f(x,y) dx dy + \displaystyle \int \int_{D'} f(x,y) dx dy


Théorème
L'ensemble des fonctions à valeurs réelles bornées et intégrables sur une partie quarrable D est un espace vectoriel réel et l'intégrale est une forme linéaire sur cet espace, c'est-à-dire qu'on a :
Pour tout couple de fonctions (f,g) à valeurs réelles, bornées et intégrables sur D, \forall \lambda \in \mathbb{R} :
\displaystyle \int \int_D (\lambda f + g)(x,y) dx dy = \lambda \displaystyle \int \int_D f(x,y) dx dy + \displaystyle \int \int_D g(x,y) dx dy


Théorème
Si deux fonctions bornées et intégrables sur la partie quarrable D vérifient : \forall \nu \in D, f(\nu)\leq g(\nu).
Alors :
\displaystyle \int \int_D f(x,y) dx dy \leq \displaystyle \int \int_D g(x,y) dx dy


Théorème
Si f est bornée et intégrable sur la partie quarrable D, alors |f| l'est aussi et :
| \displaystyle \int \int_D f(x,y) dx dy | \leq  \displaystyle \int \int_D |f(x,y)| dx dy.

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