On appelle pavé (ou rectangle) de tout partie de de la forme avec tels que et . Autrement dit, un pavé de est le produit cartésien de deux segments de .
On appelle aire ( surface ou encore mesure) d'un pavé le réel : .
Un pavé est dit singulier ssi son aire est nulle. C'est-à-dire si ou .
Proposition
L'intersection de deux pavés est soit vide soit un pavé.
Un pavé est une partie compacte de .
Définitons
Deux pavés sont dits quasi-disjoints ssi leur intersection est un pavé singulier.
Deux pavés sont disjoints ssi leur intersection est vide.
Définitions
On appelle pavage de toute famille d'un nombre fini de pavés de deux à deux quasi-disjoints.
Soient n pavés deux à deux quasi-disjoints de , on appelle support du pavage et on note l'ensemble : .
On dit qu'une partie de est pavable ssi elle se présente comme support d'un pavage bien déterminé, c'est-à-dire ssi elle est réunion d'une famille finie de pavés deux à deux quasi-disjoints.
On appelle aire du pavage le réel : avec l'aire du pavé pour tout .
I. 2. Partie quarrable
Soit une partie bornée non vide de .
Définitions
On appelle pavage intérieur à tout pavage dont le support est inclus dans .
On appelle pavage extérieur à tout pavage dont le support contient .
Proposition
Si et désignent respectivement des pavages intérieur et extérieur à d'aires respectivement et , alors : .
Définitions
On appelle aire intérieure à et on note la borne supérieure des aires des pavages intérieurs à .
On appelle aire extérieure à et on note la borne inférieure des aires des pavages extérieurs à .
Proposition
Avec les notations précédentes : .
Définition
La partie est dite quarrable ssi : , cette valeur commune est appelée l'aire de et on note .
Remarque : Par convention, est une partie quarrable et .
Exemple : Soit une fonction continue et positive sur un segment .
Soit la partie de définie par : .
est une partie quarrable.
II. Intégrale double d'une fonction bornée de dans
II. 1. Sommes de Darboux
Soit une partie quarrable de .
Soit une fonction bornée définie sur et à valeurs dans
Définition
Etant donné une subdivision de formée de parties quarrables d'intérieurs disjoints.
On définit :
Somme de Darboux inférieure associée à et le nombre :
Somme de Darboux supérieure associée à et le nombre :
Avec : l'aire de la partie quarrable .
Proposition - Définition
La fonction est intégrable sur ssi en notant l'ensemble de toutes les subdivisions en parties quarrables d'intérieurs disjoints de , on a : . Et cette valeur commune de ces bornes est alors appelée intégrale double de sur et est notée : ou encore .
Théorème
Une fonction continue sur une partie quarrable compacte y est intégrable.
II. 2. Sommes de Riemann
Définition
Etant donné une subdivision de formée de parties quarrables d'interieurs disjoints, on appelle une somme de Riemann de relativement à toute somme qui s'écrit comme suit :
avec :
l'aire de la partie quarrable .
des points choisis de la partie .
Théorème
Si la fonction bornée est intégrable sur , alors les sommes de Riemann convergent vers quand tend vers .
II. 3. Propriétés
Théorème
Soient deux parties quarrables et d'intérieurs disjoints.
Si la fonction bornée est intégrable sur chacune des parties quarrables et alors elle est intégrable sur et :
Théorème
L'ensemble des fonctions à valeurs réelles bornées et intégrables sur une partie quarrable est un espace vectoriel réel et l'intégrale est une forme linéaire sur cet espace, c'est-à-dire qu'on a :
Pour tout couple de fonctions à valeurs réelles, bornées et intégrables sur , :
Théorème
Si deux fonctions bornées et intégrables sur la partie quarrable vérifient : , .
Alors :
Théorème
Si est bornée et intégrable sur la partie quarrable , alors l'est aussi et :
.
Publié par Panter
le
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