Intégration (Partie II)
Intégration sur un intervalle quelconque
est un intervalle quelconque de
d'interieur
non vide.
Les fonctions étudiées sont définies sur
et à valeurs dans
Rappels, notations et vocabulaire :
i) désigne l'ensemble des segments inclus dans
ii) On appelle suite exhaustive de
toute suite
d'éléments de
tq :
L'ensemble des suites exhaustives de
est noté
iii) Soit
, on note :
On a :
et
Si
, alors :
iv) Soit
, on pose :
et
Si
donc :
I. Intégration de fonctions à valeurs réelles positives ou nulles
Définition :
Soit
et
On dit que
est
intégrable sur
ssi
est majoré dans
Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble est appelée intégrale de
sur
, on la note :
ou
Ainsi, si cela existe :
Remarques :
Si
est
et intégrable sur
, alors :
Si
est un segment
et
:
Propriétés :
Soit
continue, positive et intégrable. Alors :
ssi
Soit
continue par morceaux et positive, et soit
un intervalle de
inclus dans
d'interieur non vide. Si
est intégrable sur
, alors
est intégrable sur
et on a :
Soient
continues par morceaux tq :
:
. Alors :
Si
est intégrable sur
, il en est de même de
et on a :
Si
est non intégrable sur
, il en est de même de
[
Une fonction constante strictement positive sur
est intégrable sur
ssi
est borné.
Rermarque :
La fonction nulle est intégrable sur tout intervalle.
Théorème :
Soit
. Soit
. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
est intégrable sur
est majorée dans
est convergente dans
De plus, dans ce cas :
Exemples :
Soit
Donc
est continue et positive; soit :
On a :
est intégrable sur
et
Théorème :
Soit
. Soit
. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
est intégrable sur
est majorée dans
est convergente dans
De plus, dans ce cas :
Remarque :
Remarquer que dans le 1er théorème :
, et que dans le 2e :
Exemple :
est continue et positive.
Soit
avec
On pose :
Or, on a :
Donc :
est intégrable sur
et :
Corollaire :
Soit
continue par morceaux et positive, alors :
est intégrable sur
ssi
est intégrable sur
. Et dans ce cas :
Autres Propriétés :
Si
continues par morceaux, positives et intégrables, et si
, alors
est intégrable sur
et :
Soit
et
continue par morceaux et positive, alors
est intégrable sur
ssi elle l'est sur chacun des intervalles
et
De plus, dans ce cas :
Ce dernier résultat ramène l'étude de l'intégrabilité et le calcul de l'intégrale au cas des intervalles semi-ouverts :
Intégration sur un intervalle semi-ouvert
a) Ici I est semi-ouvert en c
Théorèmes :
Soient
continues par morceaux et poisitives tq :
(resp.
). Alors :
Si
est intégrable sur
, il en est de même de
Si
est non intégrable sur
, il en est de même de
Soient
continues par morceaux et positives tq
Alors
est intégrable sur
, ssi
est intégrable sur
b) Ici : I = [a , b[ avec < a < b
Théorème :
Soit
continue par morceaux et positive, soit :
Alors
est intégrable sur
ssi
est majorée sur
ssi
admet une limite réelle en
De plus, dans ce cas :
c) Ici : I = ]a , b] avec a < b <
Théorème :
Soit
continue par morceaux et positive, soit :
Alors
est intégrable sur
ssi
est majorée sur
ssi
admet une limite réelle en
De plus, dans ce cas :
Application : Règles de Riemann :
Soit
et
est intégrable sur
ssi
Soit
avec
et
est intégrable sur
ssi
Soit
avec
et
est intégrable sur
ssi
II. Intégration d'une fonction réelle ou complexe
Définition :
Soit
continue par morceaux.
On dit que
est intégrable ssi
l'est en tant que fonction continue par morceaux et positive.
Exemple :
est continue donc continue par morceaux.
On a :
Or,
est intégrable sur
Donc, d'après une propriété précédente,
est intégrable.
On en déduit que
est intégrable.
Propriétés :
Soit
continue par morceaux et
un intervalle de
inclus dans
tq
. Si
est intégrable sur
alors elle l'est sur
.
Soit
Alors
intégrable sur
ssi
est bornée.
Soit
continue par morceaux et
continue par morceaux et positive tq :
.
Alors si
est intégrable sur
, il en est de même de
, et si
est non intégrable sur
, il en est de même de
.
Soit
continues par morceaux et
. Si
sont intégrables sur
, il en est de même de
.
Soit
continue par morceaux et
. Alors
est intégrable sur
ssi :
est intégrable sur
.
est intégrable sur
.
Proposition - Définition :
Soit
.
Alors
est intégrable sur
ssi les deux fonctions
et
le sont en tant que fonctions
et positives.
Dans ce cas, le nombre réel
est appelé l'intégrale de
sur
, on le note
ou
.
Ainsi :
(quand cela existe).
Proposition - Définition :
Soit
.
Alors
est intégrable ssi
et
le sont.
Dans ce cas, le nombre complexe
s'appelle l'intégrable de
sur
, on le note
ou
.
Ainsi
.
Théorème :
Soit
et
.
Alors si
est intégrable on a :
.
Remarque :
D'après le théorème, pour
, on a :
intégrable
converge.
De plus, si
est positive, on a la réciproque, sinon, la réciproque est fausse en général.
Contre-exemple :
avec
On a :
On a en déduit que
converge.
Or,
Donc :
, on en déduit que
diverge.
Alors
n'est pas intégrable sur
Théorème :
Soit
et intégrables et
.
Alors :
.
Théorème :
Soit
et intégrable. Alors :
.
Théorème :
Soit
continue par morceaux et intégrable et soit
.
Alors :
.
Ce théorème ramène l'étude et le calcul intégral au cas d'un intervalle semi-ouvert.
Intégration sur un intervalle semi-ouvert
a) Ici I est un intervalle semi ouvert en c
Théorème :
Soient
continues par morceaux telles que :
. Alors :
Si
est intégrable sur
, il en est de même de
.
Si
est non intégrable sur
, il en est de même de
.
Remarque :
Si
, on a les mêmes conclusions.
Théorème :
Soit
continues par morceaux tq
, alors :
est intégrable sur
ssi
est intégrable sur
.
b) Ici , I = [a , b[ avec : < a < b
Théorème :
Soit
continue par morceaux, soit
Si
est intégrable sur
, alors :
.
Ainsi : si
est intégrable sur
c) Cas : I = ]a , b] avec : a < b <
Théorème :
Soit
continue par morceaux et
Si
est intégrable sur
alors :
.
Ainsi, si
est intégrable sur ]a , b] :
Remarque :
Les réciproques de a) , b) et c) sont fausses en général.
Contre-exemple :
Soit
,
On a :
Et
On sait que
est intégrable sur
, alors :
l'est aussi sur
.
Donc :
admet une limite finie en
.
Or,
soit
avec
.
On a :
Donc :
Alors
n'est pas intégrable sur
.
Définition :
Soit
continue par morceaux.
Si
existe dans
. On dit que f possède une intégrale impropre sur
et on pose :
Remarque :
On dit aussi que l'intégrale
converge.
Définition :
Soit
continue par morceaux.
Si
existe dans
. On dit que
possède une intégrale impropre sur
et on pose :
Remarque :
On dit aussi que l'intégrale
converge.
Définition :
Soit
continue par morceaux et soit
. Alors :
Si
et
convergent alors
ne depend pas du choix de
.
On dit que
admet une intégrale impropre sur
et on pose :
Remarque :
On dit aussi que l'intégrale
converge.
III. Intégration des relations de comparaison
1. Ici :
continue par morceaux,
continue par morceaux, positive et intégrable sur
:
Théorèmes :
i) Si
(resp.
). Alors :
est intégrable sur
.
(resp .
)
ii) Si
. Alors :
est intégrable sur
.
.
2. Ici
continue par morceaux,
continue par morceaux, positive et intégrable sur
:
Théorèmes :
i) Si
(resp.
). Alors :
est intégrable sur
.
(resp.
)
ii) Si
. Alors :
est intégrable sur
.
.
3. Ici :
continue par morceaux,
continue par morceaux, positive et non intégrable sur
:
Théorèmes :
i) Si
(resp.
). Alors :
(resp.
)
ii) Si
. Alors :
est non intégrable sur
.
.
4. Ici
continue par morceaux ,
continue par morceaux, positive et non intégrable sur
:
Théorèmes :
i) Si
(resp.
). Alors :
(resp.
).
ii) Si
. Alors :
est non intégrable sur
.
.