Fiche de mathématiques
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Intégration (Partie II)
Intégration sur un intervalle quelconque

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I est un intervalle quelconque de \mathbb{R} d'interieur I^o non vide.
Les fonctions étudiées sont définies sur I et à valeurs dans K.

Rappels, notations et vocabulaire :
i) S(I) désigne l'ensemble des segments inclus dans I.

ii) On appelle suite exhaustive de I toute suite (J_n) d'éléments de S \subset I tq : \left \lbrace \begin{array}{l} \text{J}_n \subset \text{J}_{n+1} \, , \, \forall n \\ \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \text{J}_n = I \\ \end{array} \right.
L'ensemble des suites exhaustives de I est noté S_e(I).

iii) Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R}, on note : \left \lbrace \begin{array}{l} f^+ = \sup(f,0) \\ f^- = \sup(-f,0)}\\ \end{array} \right.
On a :
f^+ \geq 0 et f^- \geq 0.
\left \lbrace \begin{array}{l} f^+(x) = \dfrac{f(x)+|f(x)|}{2} \\ f^-(x) = \dfrac{-f(x)+|f(x)|}{2}}\\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} f^+ + f^- = |f| \\ f^+ - f^- = f \\ \end{array} \right.
Si f \in \mathfrak{C}^o_m(I,\mathbb{R}), alors : f^+ ~,~ f^- \in \mathfrak{C}^o_m(I,\mathbb{R}).

iv) Soit f : I \longrightarrow \mathbb{C}, on pose : \left \lbrace \begin{array}{l} Re~f(x) = Re~(f(x))\\ Im~f(x) = Im~(f(x))\\ \end{array} \right.
f = Re~f + i Im~f
|f| = \sqrt{Re^2~f + Im^2~f}
|Re~f| \leq |f| et |Im~f|\leq |f|.
Si f \in \mathfrak{C}^o_m (I,\mathbb{C}), donc : Re~f \, , \, Im~f \in \mathfrak{C}^o_m (I,\mathbb{C}).


I. Intégration de fonctions à valeurs réelles positives ou nulles

Définition :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} \, \, \mathfrak{C}^o_ m et \geq 0.
On dit que f est intégrable sur I ssi \lbrace \displaystyle \int_J f/J \in S(I) \rbrace est majoré dans \mathbb{R}.
Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble est appelée intégrale de f sur I, on la note : \displaystyle \int_I f ou \displaystyle \int_I f(x) dx.
Ainsi, si cela existe : \displaystyle \int_I f = \sup_{J\in S(I)} \displaystyle \int_J f.


Remarques :
Si f est \mathfrak{C}^o_m \, , \, \geq 0 et intégrable sur I, alors : \displaystyle \int_I f \geq 0.
Si I est un segment [a~,~b] et f : I \longrightarrow \mathbb{R} \, \, \mathfrak{C}^o_m \, , \, \geq 0 : \displaystyle \int_{[a,b]} f = \max \lbrace \displaystyle \int_J f / J \in S(I) \rbrace.

Propriétés :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} continue, positive et intégrable. Alors : \displaystyle \int_I f = 0 ssi \forall x \in I, \, f(x) = 0.
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux et positive, et soit I' un intervalle de \mathbb{R} inclus dans I d'interieur non vide. Si f est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I' et on a : \displaystyle \int_{I'} f \leq \displaystyle \int_{I} f.
Soient f~,~g : I \longrightarrow \mathbb{R} continues par morceaux tq : \forall x \in I : 0 \leq f(x) \leq g(x). Alors :
      Si g est intégrable sur I, il en est de même de f et on a : \displaystyle \int_I f \leq \displaystyle \int_I g.
      Si f est non intégrable sur I, il en est de même de g. [
Une fonction constante strictement positive sur I est intégrable sur I ssi I est borné.


Rermarque :
La fonction nulle est intégrable sur tout intervalle.

Théorème :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} \, , \, \mathfrak{C}^o_m \, , \, \geq 0. Soit (J_n) \in S_e(I). Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
f est intégrable sur I.
\left(\displaystyle \int_{J_n} f \right)_n est majorée dans \mathbb{R}.
\left(\displaystyle \int_{J_n} f \right)_n est convergente dans \mathbb{R}.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \int_I f = \sup_{n\in \mathbb{N}} \displaystyle \int_{J_n} f = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \int_{J_n} f.


Exemples :
\begin{array}{rccl} f : & [0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\   & x & \longrightarrow & \dfrac{1}{x^2+1} \\ \end{array}
Soit J_n = [0~,~n], \, (J_n) \in S_e([0~,~+\infty[)
\displaystyle \int_{J_n} f = \displaystyle \int_0^n \dfrac{dx}{1+x^2} = \arctan(n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \dfrac{\pi}{2}
Donc \boxed{f \text{ est intégrable sur } [0~,~+\infty[ \text{ et } \int_{[0,+\infty[} \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}}.
\begin{array}{rccl} f: & ]0~,~1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\   & x & \longrightarrow & |\ln(x)| \\ \end{array}
f est continue et positive; soit : J_n = ]\dfrac{1}{n}~,~1]
On a : J_n \in S_e(]0,1])
\displaystyle \int_{J_n} f = \displaystyle \int_{\dfrac{1}{n}}^1 \left(-\ln(x)\right)dx = [x - x\ln(x)]_{\frac{1}{n}}^{1} = 1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} \ln\left(\dfrac{1}{n} \right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 1.
f est intégrable sur ]0~,~1] et \displaystyle \int_{]0,1]} f = 1.

Théorème :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} \, , \, \mathfrak{C}^o_m \, , \, \geq 0. Soit (J_n)\in S_e(I^o). Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
f est intégrable sur I.
\left(\displaystyle \int_{J_n} f \right)_n est majorée dans \mathbb{R}.
\left(\displaystyle \int_{J_n} f \right)_n est convergente dans \mathbb{R}.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \int_I f = \sup_{n\in \mathbb{N}} \displaystyle \int_{J_n} f = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \int_{J_n} f.


Remarque :
Remarquer que dans le 1er théorème : (J_n) \in S_e(I), et que dans le 2e : (J_n) \in S_e(I^o).

Exemple :
\begin{array}{rccl} f : & [0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\   & x & \longrightarrow & \dfrac{|x^2-1|}{x^4+1}\\ \end{array}
f est continue et positive.
Soit J_n = \left[\dfrac{1}{n}~,~n\right] avec n\in\mathbb{N}^*.
(J_n) \in S_e([0,+\infty[^o) = S_e(]0,+\infty[)
\displaystyle \int_J_n f = \displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^n \dfrac{|x^2-1|}{x^4+1} dx = \displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^n \dfrac{|1-\dfrac{1}{x^2}|}{x^2+\dfrac{1}{x^2}} dx = \displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^1 \dfrac{\dfrac{1}{x^2}-1}{x^2+\dfrac{1}{x^2}} + \displaystyle \int_1^n \dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}} dx
On pose : t = x + \dfrac{1}{x} \, , \, dt = \left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right) dx.
t^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2
\displaystyle \int_{J_n} f = - \displaystyle \int_{n + \frac{1}{n}}^2 \dfrac{dt}{t^2-2} + \displaystyle \int_{2}^{n + \frac{1}{n}} \dfrac{dt}{t^2 - 2} = 2 \displaystyle \int_{2}^{n + \frac{1}{n}} \dfrac{dt}{t^2-2}.
Or, on a : \dfrac{1}{t^2-2} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \left(\dfrac{1}{t-\sqrt{2}} - \dfrac{1}{t+\sqrt{2}} \right).
Donc : \displaystyle \int_J_n f = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \displaystyle \int_{2}^{n+\frac{1}{n}} \left(\dfrac{1}{t-\sqrt{2}} - \dfrac{1}{t+\sqrt{2}} \right) dt = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left[\ln \left(\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}} \right) \right]_{2}^{n+\frac{1}{n}}.
\displaystyle \int_J_n f = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left[\ln \left(\dfrac{n+\frac{1}{n}-\sqrt{2}}{n+\frac{1}{n}+\sqrt{2}} \right) - \ln \left(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \right) \right] \xrightarrow[n\to+\infty]{} \dfrac{-1}{\sqrt{2}} \ln \left(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ln \left(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \right)
f est intégrable sur [0~,~+\infty[ et : \boxed{\int_{[0,+\infty[}f = \frac{1}{\sqrt 2} \ln\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}.

Corollaire :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux et positive, alors :
f est intégrable sur I^o ssi f est intégrable sur I. Et dans ce cas : \displaystyle \int_{I^o} f = \displaystyle \int_I f.


Autres Propriétés :
Si g \, , \, f : I \longrightarrow \mathbb{R} continues par morceaux, positives et intégrables, et si c \in \mathbb{R}^+, alors f + cg est intégrable sur I et : \displaystyle \int_I(f+cg) = \displaystyle \int_I f + c \displaystyle \int_I g.
Soit c \in I^o et f : I \longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux et positive, alors f est intégrable sur I ssi elle l'est sur chacun des intervalles ]-\infty~,~c] \cap I et [c~,~+\infty[ \cap I. De plus, dans ce cas : \displaystyle \int_I f = \displaystyle \int_{]-\infty,c]\cap I} f + \displaystyle \int_{[c,+\infty[\cap I} f.


Ce dernier résultat ramène l'étude de l'intégrabilité et le calcul de l'intégrale au cas des intervalles semi-ouverts :

Intégration sur un intervalle semi-ouvert
a) Ici I est semi-ouvert en c

Théorèmes :
Soient f \, , \, g : I \longrightarrow \mathbb{R} continues par morceaux et poisitives tq : \displaystyle f \stackrel{=}{_c} O(g) (resp. \displaystyle f \stackrel{=}{_c} o(g)). Alors :
      Si g est intégrable sur I, il en est de même de f.
      Si f est non intégrable sur I, il en est de même de g.
Soient f \, , \, g : I \longrightarrow \mathbb{R} continues par morceaux et positives tq \displaystyle f \stackrel{\sim}{_c} g. Alors f est intégrable sur I, ssi g est intégrable sur I.



b) Ici : I = [a , b[ avec -\infty < a < b \leq +\infty

Théorème :
Soit f : [a~,~b[ \longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux et positive, soit : \begin{array}{rccl} \phi : & [a~,~b[ & \longrightarrow & \mathbb{R}\\  & x & \longrightarrow & \displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt \\ \end{array}
Alors f est intégrable sur [a~,~b[ ssi \phi est majorée sur [a~,~b[ ssi \phi admet une limite réelle en b.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \int_{[a,b[} f = \sup_{x\in[a,b[} \displaystyle \int_{a}^{x} f(t)dt = \displaystyle \lim_{x\to b} \displaustyle \int_{a}^{x} f(t) dt



c) Ici : I = ]a , b] avec -\infty \leq a < b < +\infty

Théorème :
Soit f : ]a~,~b] \longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux et positive, soit : \begin{array}{rccl} \phi : & ]a~,~b] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\  & x & \longrightarrow & \displaystyle \int_{x}^b f(t)dt \\ \end{array}
Alors f est intégrable sur ]a~,~b] ssi \phi est majorée sur ]a~,~b] ssi \phi admet une limite réelle en b.
De plus, dans ce cas : \displaystyle \int_{]a,b]} f = \sup_{x\in]a,b]} \displaystyle \int_{x}^b f(t) dt = \displaystyle \lim_{x\to a} \displaystyle \int_{x}^{b} f(t) dt.


Application : Règles de Riemann :
Soit a > 0 et
        \begin{array}{rccl} f : & [a~,~+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\  & x & \longrightarrow & \dfrac{1}{x^\lambda} \\ \end{array}
f est intégrable sur [a~,~+\infty[ ssi \lambda > 1.

Soit a~,~b \in \mathbb{R} avec -\infty < a < b < +\infty et
        \begin{array}{rccl} f : & ]a~,~b] & \longrightarrow & \mathbb{R}\\  & x & \longrightarrow & \dfrac{1}{(x-a)^\lambda} \\ \end{array}
f est intégrable sur ]a~,~b] ssi \lambda < 1.

Soit a~,~b \in \mathbb{R} avec -\infty < a < b < +\infty et
        \begin{array}{rccl} f : & [a,b[ & \longrightarrow& \mathbb{R} \\  & x & \longrightarrow & \dfrac{1}{(b-x)^\lambda} \\ \end{array}
f est intégrable sur [a,b[ ssi \lambda < 1.




II. Intégration d'une fonction réelle ou complexe

Définition :
Soit f : I \longrightarrow K continue par morceaux.
On dit que f est intégrable ssi |f| l'est en tant que fonction continue par morceaux et positive.


Exemple :
\begin{array}{rccl} f : & [0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\   & x & \longrightarrow & \dfrac{\sin(x)}{1+x^2} \\ \end{array}
f est continue donc continue par morceaux.
On a : 0 \leq |f(x)| = \dfrac{|\sin x|}{1+x^2} \leq \dfrac{1}{1+x^2}
Or, x \longrightarrow \dfrac{1}{x^2+1} est intégrable sur [0,+\infty[.
Donc, d'après une propriété précédente, |f| est intégrable.
On en déduit que f est intégrable.

Propriétés :
Soit f : I \longrightarrow K continue par morceaux et I' un intervalle de \mathbb{R} inclus dans I tq I^o \not = \not O. Si f est intégrable sur I alors elle l'est sur I'.
Soit \begin{array}{rccl} f: & I & \longrightarrow& K \\  & x & \longrightarrow & c \\ \end{array} \, \, (c \in K^*)
Alors f intégrable sur I ssi I est bornée.
Soit f : I \longrightarrow K continue par morceaux et g : I \longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux et positive tq : |f(x)|\leq  g(x).
Alors si g est intégrable sur I, il en est de même de f, et si f est non intégrable sur I, il en est de même de g.
Soit f~,~g : I \longrightarrow K continues par morceaux et \lambda \in K. Si f \text{ et } g sont intégrables sur I, il en est de même de \lambda f + g.
Soit f : I \longrightarrow K continue par morceaux et c \in I^o. Alors f est intégrable sur I ssi :
f est intégrable sur I \cap ]-\infty, c].
f est intégrable sur I \cap [c,+\infty[.



Proposition - Définition :
Soit f:I\longrightarrow \mathbb{R} \, \, \mathfrak{C}^o_m.
Alors f est intégrable sur I ssi les deux fonctions f^+ et f^- le sont en tant que fonctions \mathfrak{C}^o_m et positives.
Dans ce cas, le nombre réel \displaystyle \int_I f^+ - \displaystyle \int_I f^- est appelé l'intégrale de f sur I, on le note \displaystyle \int_I f ou \displaystyle \int_I f(x) dx.
Ainsi : \displaystyle \int_I f = \displaystyle \int_I f^+ - \displaystyle \int_I f^- (quand cela existe).



Proposition - Définition :
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{C} \, \, \mathfrak{C}^o_m.
Alors f est intégrable ssi Re~f et Im~f le sont.
Dans ce cas, le nombre complexe \displaystyle \int_I Re~f + i \displaystyle \int_I Im~f s'appelle l'intégrable de f sur I, on le note \displaystyle \int_I f ou \displaystyle \int_I f(x) dx.
Ainsi \displaystyle \int_I f = \displaystyle \int_I Re~f + i \displaystyle \int_I Im~f.



Théorème :
Soit f : I \longrightarrow K \, \, \mathfrak{C}^o_m et (J_n) \in Se(I).
Alors si f est intégrable on a : \displaystyle \int_{J_n} f \xrightarrow[n\to +\infty] \displaystyle \int_I f.


Remarque :
D'après le théorème, pour f : I \longrightarrow K \, \ \mathfrak{C}^o_m, on a : f intégrable \Longrightarrow \left( \displaystyle \int_{J_n} f \right)_n converge.
De plus, si f est positive, on a la réciproque, sinon, la réciproque est fausse en général.

Contre-exemple :
\begin{array}{rccl} f : & [0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\   & x & \longrightarrow & \sin(x) \\ \end{array} avec J_n = [0~,~2\pi n]
On a : \displaystyle \int_{J_n} f = \displaystyle \int_{0}^{2\pi n} \sin(x) dx = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \sin(x) dx = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin(t+2k\pi) dt = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin(t) dt = n \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin(t) dt = 0.
On a en déduit que \left(\displaystyle \int_{J_n} f \right)_n converge.
Or,
\displaystyle \int_{J_n} |f| = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}  |\sin(t)| dt = n \displaystyle \int_{0}^{2\pi} |\sin(t)|dt = n \left( \displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin(t) dt + \displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin(t)) dt \right) = 4n
Donc : \displaystyle \int_{J_n} |f| = 4n \xrightarrow[n\to+\infty] +\infty, on en déduit que \left( \displaystyle \int_{J_n} |f| \right)_n diverge.
Alors f n'est pas intégrable sur [0~,~+\infty[.

Théorème :
Soit f~,~g ~:~I \longrightarrow K \, \, \mathfrak{C}^o_m et intégrables et \lambda \in K.
Alors : \displaystyle \int_I \left(\lambda f+g \right) = \lambda \displaystyle \int_I f + \displaystyle \int_I g.



Théorème :
Soit f~:~I ~ \longrightarrow K \, \, \mathfrak{C}^o_m et intégrable. Alors : |\displaystyle \int_I f| \leq \displaystyle \int_I |f|.



Théorème :
Soit f~:~I \longrightarrow K continue par morceaux et intégrable et soit c \in I^o.
Alors : \displaystyle \int_I f = \displaystyle \int_{I \cap ]-\infty,c]} f  + \displaystyle \int_{I\cap [c,+\infty[} f.


Ce théorème ramène l'étude et le calcul intégral au cas d'un intervalle semi-ouvert.

Intégration sur un intervalle semi-ouvert
a) Ici I est un intervalle semi ouvert en c

Théorème :
Soient f : I \longrightarrow K \, , \, g : I \longrightarrow \mathbb{R} continues par morceaux telles que : f \stackrel{=}{_c} O(g). Alors :
Si g est intégrable sur I, il en est de même de f.
Si f est non intégrable sur I, il en est de même de g.



Remarque :
Si f \stackrel{=}{_c} o(g), on a les mêmes conclusions.

Théorème :
Soit f~,~g : I \longrightarrow K continues par morceaux tq f \stackrel{\sim}{_c} g, alors :
f est intégrable sur I ssi g est intégrable sur I.



b) Ici , I = [a , b[ avec : -\infty < a < b \leq +\infty

Théorème :
Soit f : [a~,~b[ \longrightarrow  K continue par morceaux, soit \begin{array}{rccl} \phi : & [a~,~b[ & \longrightarrow & K \\  & x & \longrightarrow & \displaystyle \int_{a}^x f(t) dt \\ \end{array}
Si f est intégrable sur I, alors : \phi(x) \xrightarrow[x \to b] \displaystyle \int_{[a,b[} f.
Ainsi : si f est intégrable sur [a~,~b[ \, : \, \displaystyle \int_{[a,b[} f = \displaystyle \lim_{x\to b} \displaystyle \int_{a}^x f(t) dt.



c) Cas : I = ]a , b] avec : -\infty \leq a < b < +\infty

Théorème :
Soit f : ]a~,~b] \longrightarrow K continue par morceaux et \begin{array}{rccl} \phi : & ]a~,~b] & \longrightarrow & K \\ & x & \longrightarrow & \displaystyle \int_{x}^b f(t) dt \\ \end{array}
Si f est intégrable sur ]a~,~b] alors : \phi(x) \xrightarrow[x \to a] \displaystyle \int_{]a,b]} f.
Ainsi, si f est intégrable sur ]a , b] : \displaystyle \int_{]a,b]}^{} f = \displaystyle \lim_{x \to a} \displaystyle \int_{x}^b f(t) dt.



Remarque :
Les réciproques de a) , b) et c) sont fausses en général.

Contre-exemple :
\begin{array}{rccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\   & t & \longrightarrow &  \left \lbrace \begin{array}{l} \dfrac{\sin t}{t}, t \not= 0 \\ 1, t = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}
Soit x > 0,
\displaystyle \int_{a}^x f(t) dt = \displaystyle \int_0^x \dfrac{\sin(t)}{t} dt = \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\sin(t)}{t} dt + \displaystyle \int_1^x \dfrac{\sin(t)}{t} dt \\ = \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\sin(t)}{t} dt + \left[ - \dfrac{\cos(t)}{t}]_1^x - \displaystyle \int_{1}^{x} \dfrac{\cos(t)}{t^2} dt \\ = \displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{\sin(t)}{t} dt + \cos(1) - \dfrac{\cos(x)}{x} - \displaystyle \int_{1}^{x} \dfrac{\cos(t)}{t^2} dt
On a : \dfrac{\cos(t)}{t} \xrightarrow[t\to+\infty] 0
Et |\dfrac{\cos(t)}{t^2}|\leq \dfrac{1}{t^2}.
On sait que t \longrightarrow \dfrac{1}{t^2} est intégrable sur [1,+\infty[, alors : t \longrightarrow \dfrac{\cos t}{t^2} l'est aussi sur [1,+\infty[.
\displaystyle \int_{1}^{x} \dfrac{\cos t}{t^2} dt \xrightarrow[x\to +\infty] \displaystyle \int_{[1,+\infty[} \dfrac{\cos(t)}{t^2} dt
Donc : \displaystyle \int_{0}^{x} \dfrac{\sin(t)}{t} dt \xrightarrow[x\to +\infty] \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\sin(t)}{t} dt + \cos(1) - \displaystyle \int_{[1,+\infty[} \dfrac{\cos(t)}{t^2} dt
x \longrightarrow \displaystyle \int_{0}^{x} \dfrac{\sin(t)}{t} dt admet une limite finie en +\infty.
Or,
soit J_n = [0~,~n\pi] avec n \in \mathbb{N}^*.
On a : (J_n) \in S_e([0~,~+\infty[)
\displaystyle \int_{J_n} |f| = \displaystyle \int_{0}^{n\pi} |\dfrac{\sin(t)}{t}| dt = \displaystyle \int_{0}^{n\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t} dt = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \dfrac{|\sin(t)|}{t} dt = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{0}^{\pi} \dfrac{|\sin(x+k\pi)|}{x+k\pi} dx.
|\sin(x+k\pi)| = |(-1)^k \sin x| = |\sin x| = \sin x \, , \, \forall x \in [0~,~\pi]. \\ \displaystyle \int_{J_n} |f| = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle \int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin x}{x+k\pi} dx. \\ \forall x \in [0~,~\pi] \, : \, x + k\pi \leq (k + 1) \pi \\ \displaystyle \int_{J_n} |f| \geq \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin(x) dx}{(k+1)\pi} = \dfrac{2}{\pi} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \xrightarrow[n\to +\infty] +\infty
Donc : \displaystyle \int_{J_n} |f| \xrightarrow[n\to +\infty] +\infty
Alors f n'est pas intégrable sur [0~,~+\infty[.

Définition :
Soit f:[a,b[\longrightarrow K continue par morceaux.
Si \displaystyle \lim_{x\to b} \displaystyle \int_{a}^x f(t) dt existe dans K. On dit que f possède une intégrale impropre sur [a~,~b[ et on pose :
\displaystyle \int_{a}^b f(t) dt = \displaystyle \lim_{x\to b} \displaystyle \int_{a}^x f(t) dt



Remarque :
On dit aussi que l'intégrale \displaystyle \int_{a}^b f(t) dt converge.

Définition :
Soit f : ]a~,~b] \longrightarrow K continue par morceaux.
Si \displaystyle \lim_{x\to a} \displaystyle \int_{x}^b f(t)dt existe dans K. On dit que f possède une intégrale impropre sur ]a~,~b] et on pose :
\displaystyle \int_a^b f(t) dt = \displaystyle \lim_{x\to a} \displaystyle \int_{x}^b f(t)dt



Remarque :
On dit aussi que l'intégrale \displaystyle \int_{a}^b f(t) dt converge.

Définition :
Soit f : ]a~,~b[ \longrightarrow K continue par morceaux et soit c \in ]a~,~b[. Alors :
Si \displaystyle \int_{a}^c f(t)dt et \displaystyle \int_{c}^b f(t)dt convergent alors \displaystyle \int_{a}^c f(t)dt + \displaystyle \int_{c}^b f(t)dt ne depend pas du choix de c.
On dit que f admet une intégrale impropre sur ]a~,~b[ et on pose :
\displaystyle \int_{a}^b f(t) dt = \displaystyle \int_{a}^c f(t) dt + \displaystyle \int_{c}^b f(t)dt



Remarque :
On dit aussi que l'intégrale \displaystyle \int_{a}^b f(t) dt converge.


III. Intégration des relations de comparaison

1. Ici : f~:~[a~,~b[ \longrightarrow K continue par morceaux, g~:~[a~,~b[ \longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux, positive et intégrable sur [a~,~b[ :
Théorèmes :
i) Si \displaystyle f(x) \stackrel{=}{_{x\to b}} o(g(x)) (resp. \displaystyle f(x) \stackrel{=}{_{x\to b}} O(g(x))). Alors :
f est intégrable sur [a~,~b[.
\displaystyle \int_{x}^b f(t) dt \stackrel{=}{_{x\to b}} o\left(\displaystyle \int_x^b g(t)dt\right) (resp . \displaystyle \int_{x}^bf(t)dt \stackrel{=}{_{x\to b}} O \left( \displaystyle \int_x^b g(t)dt \right) )

ii) Si \displaystyle f \stackrel{\sim}{_b} g. Alors :
f est intégrable sur [a~,~b[.
\displaystyle \int_{x}^b f(t)dt \stackrel{\sim}{_{x \to b}} \left(\displaystyle \int_x^b g(t)dt\right).



2. Ici f~:~]a~,~b] \longrightarrow K continue par morceaux, g~:~]a~,~b] \longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux, positive et intégrable sur ]a~,~b] :
Théorèmes :
i) Si \displaystyle f(x) \stackrel{=}{_{x\to a}} o(g(x)) (resp. \displaystyle f(x) \stackrel{=}{_{x\to a}} O(g(x))). Alors :
f est intégrable sur ]a~,~b].
\displaystyle \int_a^x f(t) dt \stackrel{=}{_{x\to a}} o\left(\displaystyle \int_a^x g(t)dt\right) (resp. \displaystyle \int_a^x f(t) dt \stackrel{=}{_{x\to a}} O\left(\displaystyle \int_a^x g(t)dt\right))

ii) Si \displaystyle f \stackrel{\sim}{_a} g. Alors :
f est intégrable sur ]a~,~b].
\displaystyle \int_a^x f(t)dt \stackrel{\sim}{_{x\to a}} \displaystyle \int_a^x g(t)dt.



3. Ici : f~:~[a~,~b[ \longrightarrow K continue par morceaux, g~:~[a~,~b[ \longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux, positive et non intégrable sur [a~,~b[ :
Théorèmes :
i) Si \displaystyle f(x) \stackrel{=}{_{x\to b}} o(g(x)) (resp. \displaystyle f(x) \stackrel{=}{_{x\to b}} O(g(x))). Alors :
\displaystyle \int_a^x f(t) dt \stackrel{=}{_{x\to b}} o\left(\displaystyle \int_a^x g(t)dt \right) (resp. \displaystyle \int_a^x f(t) dt \stackrel{=}{_{x\to b}}  O\left(\displaystyle \int_a^x g(t)dt\right))

ii) Si \displaystyle f \stackrel{\sim}{_b} g. Alors :
f est non intégrable sur [a~,~b[.
\displaystyle \int_{a}^x f(t) dt \stackrel{\sim}{_{x\to b}} \displaystyle \int_{a}^x g(t)dt.



4. Ici f:]a,b]\longrightarrow K continue par morceaux , g:]a,b]\longrightarrow \mathbb{R} continue par morceaux, positive et non intégrable sur ]a,b] :
Théorèmes :
i) Si \displaystyle f(x) \stackrel{=}{_{x\to a}} o(g(x)) (resp. \displaystyle f(x) \stackrel{=}{_{x\to a}} O(g(x))). Alors :
\displaystyle \int_{x}^b f(t) dt \stackrel{=}{_{x\to a}} o\left(\displaystyle \int_x^b g(t)dt \right) (resp. \displaystyle \int_{x}^b f(t) dt \stackrel{=}{_{x\to a}} O\left(\displaystyle \int_x^b g(t)dt\right)).

ii) Si \displaystyle f \stackrel{\sim}{_{a}} g. Alors :
f est non intégrable sur ]a~,~b].
\displaystyle \int_{x}^b f(t)dt \stackrel{\sim}{_{x\to a}} \displaystyle \int_x^b g(t) dt.

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