2) Elever l'inégalité obtenue en 1) au carré, choisir soigneusement deux réels et utiliser le fait que
exercice 6
Soient deux parties non vides de avec bornée et
Comparer
exercice 7
Soit une partie non vide et majorée de avec .
Montrer qu'il existe au moins un élément de strictement positif.
exercice 8
Soient deux parties non vides et bornées de et soit , on définit les parties de suivantes:
1) Montrer que
2) Montrer que
3) Montrer que
4) A-t-on
exercice 9
Soient deux parties non vides et bornées de .
1) Montrer que .
2) On suppose de plus que . A-t-on
Indication:
Cliquez pour afficher
Utiliser le résultat de l'exercice 6
exercice 10
Déterminer les bornes supérieure et inférieure des ensembles suivants, si elles existent:
Indication:
Cliquez pour afficher
Faire un dessin représentant les points des différents ensembles pour pouvoir conjecturer les valeurs des bornes supérieure et inférieure si elles existent.
exercice 11
Soient deux réels, et soit .
1) Montrer que
2) Montrer que
exercice 12
Soit un réel et un entier naturel non nul.
Montrer que
exercice 13
Soit un réel et un entier naturel non nul.
Montrer que
Indication:
Cliquez pour afficher
Effectuer la division euclidienne de par , puis encadrer pour tout en fonction du quotient et du reste de cette division.
exercice 14
1) Montrer que:
2) En déduire la valeur de
Indication:
Cliquez pour afficher
Evaluer le carré des membres et
exercice 15
Calculer pour tout
exercice 16
Soient deux parties de telles que .
Montrer que est dense dans
exercice 17
Soit Montrer que est dense dans .
Indication:
Cliquez pour afficher
Utiliser le résultat: est dense dans
exercice 18
On appelle nombre dyadique tout nombre rationnel de la forme où .
1) Montrer que:
2) Montrer en utilisant la propriété d'Archimède que l'ensemble des nombres dyadiques est dense dans
Indication:
Cliquez pour afficher
Pour , poser puis appliquer la propriété d'Archimède.
exercice 19
Soit tel que ne soit le carré d'aucun entier.
Montrer que .
Indication:
Cliquez pour afficher
Cet exercice teste vos connaissances en arithmétique:
Décomposer en produit de facteurs premiers en prenant en compte qu'il n'est pas un carré parfait.
Raisonner par l'absurde et penser au lemme d'Euclide et au théorème de Gauss.
1) Cette inéquation n'a de sens que si le réel vérifie:
est donc le domaine d'étude de cette inéquation.
Or, on remarque que
De plus,
L'inéquation est donc vérifiée pour tout réel appartenant au domaine d'étude , et donc:
2) Le domaine d'étude de cette inéquation est
On a, pour tout
Multiplions les membres de l'inégalité par
Si
Si
L'ensemble des solutions de l'inéquation en question est donc:
exercice 3
Soient deux réels tels que
Distinguons deux cas:
On en déduit que:
On peut aussi écrire le réel sous la forme:
exercice 4
1-a) Soient .
On a:
Par croissance de la fonction racine carrée, on obtient:
b) Soient .
On a, d'après la question 1-a):
D'où:
On montre de la même manière que:
On obtient:
On déduit de que:
2) Soient .
On a, par l'inégalité triangulaire:
En sommant ces deux inégalités, on trouve:
3) On remarque qu'on a pour tous
Et donc, d'après l'inégalité triangulaire:
Ce qu'il fallait démontrer:
exercice 5
1) Pour tout
Et puisque
Il s'ensuit que
Ce qui veut dire que:
En additionnant les inégalités, on obtient:
2) Puisque les deux membres de l'inégalité prouvée en 1) sont positifs, on peut l'élever au carré:
En posant et en sachant que:
On obtient:
De
exercice 6
est une partie non vide et bornée de , alors:
.
étant une partie non vide de , alors est aussi une partie non vide et bornée de , d'où:
.
On sait que
De plus, puisque , il s'ensuit alors que .
Ce qui veut dire que est un majorant de et est un minorant de , or, on sait que est le plus petit des majorants de et que est le plus grand des minorants de , alors:
exercice 7
Raisonnons par l'absurde en supposant que tous les éléments de sont négatifs.
On aurait donc, . Ce qui veut dire que est un majorant de .
Et puisque est le plus petit des majorants de , on obtiendrait , cela contredit l'hypothèse .
Et donc:
exercice 8
1) Pour tout , on a , d'où
Il s'ensuit que est un majorant de . Or, on sait que est le petit des majorants de
On obtient donc:
D'autre part, .
Donc , ce qui veut dire que est un minorant de .
Finalement, est par définition le plus grand des minorants de , donc:
De
Remarque: On montre de la même manière que
2)Pour tout , on a , d'où
Il s'ensuit que est un majorant de . Or, on sait que est le petit des majorants de
On obtient donc:
D'autre part, .
Donc , ce qui veut dire que est un majorant de .
Or, est par définition le plus petit des majorants de , donc:
On obtient alors que est un majorant de qui admet comme borne supérieure et donc comme le plus petit de ses majorants, d'où:
De
Remarque: On montre de la même manière que
3) Découle de 2) en prenant .
En effet, on remarque que , donc
Or, il est évident que puisqu'il n'existe pas de majorant de plus petit que lui-même.
Ce qui donne:
Remarque: On montre de la même manière que
4) Si on prend , on a
Alors, , mais
Par contre, prenons et des parties de .
Si , alors , et donc
De même, si , alors
Si
Alors pour tous
Puisque
On en tire que est majorant de qui admet comme le plus petit de ses majorants, alors:
D'autre part, .
Donc , ce qui veut dire que est un majorant de .
Or, est par définition le plus petit des majorants de , donc:
On obtient alors que est un majorant de qui admet comme borne supérieure et donc comme le plus petit de ses majorants, d'où:
De
Conclusion:
exercice 9
1) Puisque sont deux parties non vides et bornées, donc est aussi non vide et bornée.
admet donc une borne supérieure (et une borne inférieure).
Il s'ensuit que
On obtient
Et donc est un majorant de , qui admet sa borne supérieure comme le plus petit de ses majorants, d'où:
De
Remarque: On montre de la même façon que
2) La réponse est non.
Contre-exemple: Si on prend
On a donc
Et
Conclusion:
Montrons cependant qu'on a toujours:
Puisque bornées, donc est évidemment bornée.
De plus, est supposée non vide, donc admet une borne supérieure (et une borne inférieure).
Et donc directement:
Remarque: On montre de la même façon que
exercice 10
1)
On a, pour tout , donc est une partie bornée de .
De plus, il est évident que puisque par exemple, donc:
Faisons un dessin représentant quelques points de l'ensemble
On a , ce qui veut dire que est un majorant de .
Donc
Or, d'après le dessin, on peut conjecturer que , démontrons cela:
On a vu que est un minorant de car , il reste à vérifier qu'il est le plus petit des minorants.
C'est-à-dire, il faut prouver que
En appliquant la propriété d'Archimède pour
Donc:
D'où:
est le plus grand des minorants de
Et donc:
2)
On sait que
On peut donc écrire:
De plus, . On en tire que:
On obtient:
est donc une partie bornée de
Et il est évident que
Faisons un dessin représentant quelques points de l'ensemble
On peut conjecturer que , démontrons cela:
On a:
Or, . Et
Il s'ensuit que, pour tout entier naturel
Finalement, si .
Donc,
De
Montrons que
On sait que est un minorant de puisque Reste à prouver qu'il est le plus grand minorant:
Supposons Choisissons n'importe quel entier naturel non nul vérifiant
Si on peut prendre .
Si , on peut prendre par exemple, puisque est négatif dans ce cas.
Dans le cas particulier de , on prend , pour vérifier directement:
D'où:
De
Remarque: On pouvait aussi étudier en tant qu'union des deux ensembles: et utiliser les résultats de l'exercice 9.
3)
On sait que
On peut donc écrire:
On obtient:
est donc une partie bornée de
Et il est évident que
Faisons un dessin représentant quelques points de l'ensemble
On peut conjecturer que .
En distinguant les entiers pairs et impairs, on peut écrire sous la forme:
Montrons que
On montre facilement que
est un majorant de
Et (le cas )
Donc:
On montre à présent que
Pour tout .
est donc bien un majorant de , il suffit de montrer qu'il est le plus petit.
Choisissons n'importe quel entier naturel non nul vérifiant
On peut prendre .
D'où:
Finalement, en utilisant le résultat de l'exercice 9, on obtient:
Montrons que
On montre que
est un minorant de
Et (le cas )
Donc:
On montre que
Pour tout .
est donc bien un minorant de , il suffit de montrer qu'il est le plus grand.
Choisissons n'importe quel entier naturel non nul vérifiant
convient si .
D'où:
Finalement, en utilisant le résultat de l'exercice 9, on obtient:
exercice 11
1) Soient
On a
Donc
Or, puisque sont des entiers relatifs, on obtient:
2) Soient
On a d'une part
Donc:
Et d'autre part
De
Or, les trois membres de cette double inégalité sont des entiers relatifs, alors:
exercice 12
Soient
On a:
En utilisant le résultat de la question 1) de l'exercice précédent, on obtient:
Or,
En réutilisant le résultat de la question 1) de l'exercice précédent:
Et en sachant que
D'autre part, on a:
Ou encore
De
exercice 13
Soient
Effectuons la division euclidienne de par .
Il existe un couple unique tel que
De plus, on sait que:
Donc:
Ce qui donne:
On en tire que:
Distinguons deux cas:
Si
On obtient:
Si
On a:
D'autre part, puisque est le reste de la divison euclidienne, donc
Donc:
On obtient donc:
Soit:
Récapitulons:
On peut à présent simplifier l'expression
On a démontré que:
exercice 14
1) On a pour tout
On obtient alors:
Et:
De
2) Effectuons la somme pour
Or,
On en déduit que:
Ce qui permet de conclure que:
exercice 15
Soit
Calcul de
On a:
Étudions suivant la valeur de l'entier :
Distinguons les cas suivants:
Finalement, en remarquant que . On conclut que:
Calcul de
On a:
On remarque qu'il s'agit d'une somme de "paquets" allant du premier paquet de "" jusqu'au paquet de "".
Constituons ces "paquets", pour ce faire, fixons
On remarque que
Ce qui permet de sommer par paquets:
Conclusion:
exercice 16
Soient tels que .
Puisque est dense dans , il exsite tel que
Or, , donc appartient aussi à et
Il s'ensuit que:
exercice 17
Soient tels que .
Distinguons trois cas:
Si
Et puisque est dense dans , il existe
Il existe donc qui vérifie:
Si
Et puisque est dense dans , il existe
Il existe donc qui vérifie:
Si vérifiant:
On en déduit que:
exercice 18
1) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul
Initialisation: Pour La proposition est donc vraie pour .
Hérédité: Supposons que, pour Montrons qu'on a .
On a:
Conclusion:
2) Montrons que est dense dans .
Soient
D'après la propriété d'Archimède:
Or, d'après 1) , , et donc
Posons
Donc:
On obtient donc:
Ce qu'il fallait démontrer, et donc:
exercice 19
1) Soit n'étant pas un carré d'entier, décomposons-le en produit de facteurs premiers.
Il existe nombres premiers deux à deux distincts et il existe tels que:
Et puisque n'est pas un carré d'entier, alors il existe au moins
Il existe donc
:
Raisonnons par l'absurde en supposant que
Donc: , on en tire que , or
Il existe donc , et il s'ensuit que:
Donc, d'après le théorème de Gauss, et, finalement, d'après le lemme d'Euclide , on aboutit à:
Donc serait un diviseur commun à , ce qui est absurde car on a supposé que
On en déduit que , et en multipliant cet irrationnel par l'entier naturel , on obtient:
Rappels
Lemme d'Euclide: Soient et deux entiers. Si un nombre premier divise le produit , alors divise ou .
Théorème de Gauss: Soient et trois entiers. Si divise le produit et , alors divise .
exercice 20
Raisonnons par l'absurde en supposant que
On a:
Or, d'après le résultat de l'exercice 19, car n'est pas un carré parfait, tandis que car on a supposé que
Il en résulte que:
Ce qui est absurde car il n'existe pas de rationnel qui vérifie .
D'où:
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, quatre réels vérifiant:
les inéquations suivantes:
deux réels positifs tels que 
.
(1+|y-1|))
Cliquez pour afficher
![(x_i;y_i)_{i\in[\![1;n]\!]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x_i;y_i)_{i\in[\![1;n]\!]})
une famille d'éléments de 
vérifiant:
![\forall i\in [\![1;n]\!]\text{ : }0<m\leq \dfrac{y_i}{x_i}\leq M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall i\in [\![1;n]\!]\text{ : }0<m\leq \dfrac{y_i}{x_i}\leq M )
\sum_{i=1}^n x_iy_i \end{matrix} )
\left(\sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) &\leq&\displaystyle \dfrac{(m+M)^2}{4mM}\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2\end{matrix})
deux parties non vides de 
bornée et 
.
, on définit les parties de 
=-\inf A)
=\sup A +\sup B)
=\alpha+\sup A)
=\sup A \text{ . }\sup B \text{ ? })
=\max(\sup A, \sup B))
.
. A-t-on = \min(\sup A, \sup B) ?)
} & A&=&\left\lbrace \dfrac{1}{n}\text{ / } n\in\N^*\right\rbrace \\\red \text{ 2)} & B&=&\left\lbrace (-1)^n+\dfrac{1}{n}\text{ / } n\in\N^*\right\rbrace \\ \red \text{ 3)} & C&=&\left\lbrace (-1)^n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\text{ / } n\in\N^*\right\rbrace\end{matrix})
.
\leq E(y))
+E(y)\leq E(x+y)\leq E(x)+E(y)+1)
un réel et 
un entier naturel non nul.
}{n}\right)=E(x))
=E(nx))
)
&&&&;&&&& \sigma_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n^2}E(\sqrt{k})\end{matrix} )
deux parties de 
.
est dense dans 
Montrer que 
est dense dans 
où 
.
est dense dans 
tel que 
.
^2+(z-t)^2=-xy+yz+zt+tx\end{matrix})
^2+(t-x)^2=-(-xy+yz+zt+tx)\end{matrix})
^2+(z-t)^2+(y-z)^2+(t-x)^2=0)
^2\geq 0 \text{ ; }(z-t)^2\geq 0\text{ ; }(y-z)^2\geq 0 \text{ et }(t-x)^2\geq 0 )
^2+(z-t)^2+(y-z)^2+(t-x)^2=0&\iff& (x-y)^2=(z-t)^2=(y-z)^2=(t-x)^2=0 \\&\iff& x-y=0 \text{ et }z-t=0\text{ et }y-z=0 \text{ et }t-x=0 \\&\iff& x=y\text{ et }z=t\text{ et }y=z\text{ et }t=x \\&\iff& \boxed{x=y=z=t}\end{matrix})
![\left(2-x\geq 0\text{ et } 3+x\geq 0 \right)\iff x\in [-3;2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(2-x\geq 0\text{ et } 3+x\geq 0 \right)\iff x\in [-3;2])
![[-3;2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-3;2])
est donc le domaine d'étude de cette inéquation.
![\forall x\in [-3;0]\text{ : } \sqrt{2-x}\geq \sqrt{2}>1\enskip\text{ , d'où } \enskip \sqrt{2-x}+\sqrt{3+x}>1+\sqrt{3+x}>1\enskip\enskip\text{ (Puisque }\sqrt{3+x}\geq 0\text{ )}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [-3;0]\text{ : } \sqrt{2-x}\geq \sqrt{2}>1\enskip\text{ , d'où } \enskip \sqrt{2-x}+\sqrt{3+x}>1+\sqrt{3+x}>1\enskip\enskip\text{ (Puisque }\sqrt{3+x}\geq 0\text{ )})
![\forall x\in [0;2]\text{ : } \sqrt{3+x}\geq \sqrt{3}>1\enskip\text{ , d'où } \enskip \sqrt{2-x}+\sqrt{3+x}>1+\sqrt{2-x}>1\enskip\enskip\text{ (Puisque }\sqrt{2-x}\geq 0\text{ )}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [0;2]\text{ : } \sqrt{3+x}\geq \sqrt{3}>1\enskip\text{ , d'où } \enskip \sqrt{2-x}+\sqrt{3+x}>1+\sqrt{2-x}>1\enskip\enskip\text{ (Puisque }\sqrt{2-x}\geq 0\text{ )})
![\boxed{\text{ L'ensemble des solutions de l'inéquation est : }S=[-3;2]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ L'ensemble des solutions de l'inéquation est : }S=[-3;2]})
\text{ , distinguons pour cela deux cas: })
![x\in ]-\infty;-3[\text{ : }x+3<0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in ]-\infty;-3[\text{ : }x+3<0)
![\begin{matrix} \text{ Alors : }-3\leq \dfrac{x-1}{x+3}\leq 3 &\iff& 3(x+3)\leq x-1\leq -3(x+3)\\ &\iff& \begin{cases} 4x+8\leq 0 \\ 2x+10\leq 0 \end{cases}\\& \iff& \begin{cases}x\leq -2 \\x\leq -5\end{cases} \\&\iff &x\leq -5 \\&\iff& x\in ]-\infty;-5] \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \text{ Alors : }-3\leq \dfrac{x-1}{x+3}\leq 3 &\iff& 3(x+3)\leq x-1\leq -3(x+3)\\ &\iff& \begin{cases} 4x+8\leq 0 \\ 2x+10\leq 0 \end{cases}\\& \iff& \begin{cases}x\leq -2 \\x\leq -5\end{cases} \\&\iff &x\leq -5 \\&\iff& x\in ]-\infty;-5] \end{matrix})
![x\in ]-3,+\infty[\text{ : }x+3>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in ]-3,+\infty[\text{ : }x+3>0)
\leq x-1\leq 3(x+3)\\ &\iff& \begin{cases} 4x+8\geq 0 \\ 2x+10\geq 0 \end{cases}\\& \iff& \begin{cases}x\geq -2 \\x\geq -5\end{cases} \\&\iff &x\leq -2 \\&\iff& x\in [-2;+\infty[ \end{matrix})
![\left(]-\infty;-3[\cap ]-\infty;-5]\right)\cup \left(]-3;+\infty[\cap [-2;+\infty[\right)= \boxed{]-\infty;-5]\cup[-2;+\infty[ }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(]-\infty;-3[\cap ]-\infty;-5]\right)\cup \left(]-3;+\infty[\cap [-2;+\infty[\right)= \boxed{]-\infty;-5]\cup[-2;+\infty[ })
deux réels tels que ^2+\sqrt{x-y}\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2 \\&=& (\sqrt{x-y}+\sqrt{y})^2\end{matrix})
^2-\sqrt{x-y}\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2 \\&=& (\sqrt{x-y}-\sqrt{y})^2\end{matrix})
^2}+\sqrt{(\sqrt{x-y}-\sqrt{y})^2} \\\\ &=& \left|\sqrt{x-y}+\sqrt{y}\right|+\left|\sqrt{x-y}-\sqrt{y}\right|\\\\&=& \sqrt{x-y}+\sqrt{y}+\left|\sqrt{x-y}-\sqrt{y}\right| \end{matrix})
)
)
})
.
^2&=&(\sqrt{x})^2+2\sqrt{x}\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2 \\&=& x+y+2\sqrt{xy}\\&\geq& x+y&\enskip \enskip\enskip\text{ puisque }\sqrt{xy}\geq 0 \end{matrix})
^2\geq x+y &\iff& \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}\geq \sqrt{x+y} \\&\iff& \left|\sqrt{x}+\sqrt{y}\right|\geq \sqrt{x+y}\\&\iff&\boxed{\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq \sqrt{x+y}}& \enskip \enskip\enskip\text{ car } \sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 0\end{matrix})
.
 } \\&=& \sqrt{|y|}\end{matrix})
)
)
\text{ et }(ii))
que: 
 &\iff & 2(|x|+|y|)\leq 2(|x+y|+|x-y|) \\\\&\iff& \boxed{|x|+|y|\leq |x+y|+|x-y|}\end{matrix})
(y-1)=xy-x-y+1&\iff& xy=(x-1)(y-1)+x-1+y \\\\&\iff& xy-1=(x-1)(y-1)+x-1+y-1\end{matrix})
(y-1)+x-1+y-1| \\\\&\leq& 1+ |(x-1)(y-1)|+|x-1|+|y-1| \\\\&=& |x-1||y-1|+|x-1|+|y-1|+1 \\\\&=& |x-1|(|y-1|+1)+(|y-1|+1) \\\\&=& (|x-1|+1)(|y-1|+1)\end{matrix})
(1+|y-1|)})
![i\in [\![1;n]\!]\text{ , on a: }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?i\in [\![1;n]\!]\text{ , on a: })
x_iy_i+mMx_i^2=(y_i-mx_i)(y_i-Mx_i))
![\forall i\in [\![1;n]\!]\text{ : }0<m\leq \dfrac{y_i}{x_i}\leq M\enskip\text{ , alors }\enskip mx_i\leq y_i \leq Mx_i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall i\in [\![1;n]\!]\text{ : }0<m\leq \dfrac{y_i}{x_i}\leq M\enskip\text{ , alors }\enskip mx_i\leq y_i \leq Mx_i)
![\forall i\in [\![1;n]\!]\text{ : }0\leq y_i-mx_i \enskip\text{ et }\enskip y_i-Mx_i\leq 0 \enskip\text{ , d'où }\enskip (y_i-mx_i)(y_i-Mx_i)\leq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall i\in [\![1;n]\!]\text{ : }0\leq y_i-mx_i \enskip\text{ et }\enskip y_i-Mx_i\leq 0 \enskip\text{ , d'où }\enskip (y_i-mx_i)(y_i-Mx_i)\leq 0)
![\forall i\in [\![1;n]\!]\text{ : }y_i^2-(m+M)x_iy_i+mMx_i^2\leq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall i\in [\![1;n]\!]\text{ : }y_i^2-(m+M)x_iy_i+mMx_i^2\leq 0 )
x_iy_i+mMx_i^2\right) \leq 0&\iff& \displaystyle \sum_{i=1}^{n} y_i^2-\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (m+M)x_iy_i+\displaystyle \sum_{i=1}^{n} mMx_i^2 \leq 0 \\ &\iff& \displaystyle \sum_{i=1}^{n} y_i^2- (m+M)\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i+ mM\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \leq 0 \\\\ &\iff& \boxed{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} y_i^2+ mM\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \leq (m+M)\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i}\end{matrix})
^2 \leq \left((m+M)\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i}\right)^2 &\iff& \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} y_i^2+ mM\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)^2 \leq (m+M)^2\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i}\right)^2 \enskip\enskip(i)\end{matrix})
et en sachant que:
^2\geq 0 \iff a^2-2ab +b^2\geq 0 \iff a^2+2ab +b^2\geq 4ab \iff (a+b)^2\geq 4ab )
^2 \geq 4 \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\right)\left( mM\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)=4mM\left(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\right)\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^2\right) \enskip\enskip (ii))
\text{ et }(ii)\text{ , et en sachant que } mM\neq 0\text{ : })
\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)\leq (m+M)^2\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i}\right)^2 &\iff& \boxed{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n} y_i^2\right)\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)\leq \dfrac{ (m+M)^2}{4mM}\left(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2 }\end{matrix}} )
.
étant une partie non vide de 
.
)
, il s'ensuit alors que 
.
est un majorant de 
est un minorant de 
est le plus petit des majorants de 
est le plus grand des minorants de  \enskip\enskip\enskip \enskip \enskip \inf A \leq \inf B \enskip\enskip (iii))
\text{ , }(ii)\text{ et }(iii)\text{ , on conclut que: })
. Ce qui veut dire que 
est un majorant de 
, cela contredit l'hypothèse 
.
, on a )
, d'où )
)
est un majorant de 
. Or, on sait que )
est le petit des majorants de \leq -\inf(A)\enskip\enskip (i))
)
.
)
, ce qui veut dire que )
est un minorant de )
est par définition le plus grand des minorants de \leq \inf(A)\iff \sup(-A)\geq -\inf(A) \enskip\enskip (ii))
\text{ et }(ii)\text{ , on déduit que: })
=-\inf(A)})
=-\sup(A))
, on a \text{ et }y\leq \sup(B))
, d'où +\sup(B))
+\sup(B))
est un majorant de 
. Or, on sait que )
est le petit des majorants de \leq \sup(A)+\sup(B)\enskip\enskip (i))
)
.
-y)
, ce qui veut dire que -y)
est un majorant de )
est par définition le plus petit des majorants de \leq \sup(A+B)-y\iff y\leq \sup(A+B)-\sup(A) )
-\sup(A))
est un majorant de )
comme borne supérieure et donc comme le plus petit de ses majorants, d'où:
\leq \sup(A+B)-\sup(A)\iff \sup(A)+\sup(B)\geq \sup(A+B) \enskip\enskip (ii))
=\sup(A)+\sup(B)})
=\inf(A)+\inf(B))
.
, donc =\sup\left(\lbrace \alpha\rbrace \right)+\sup(A) )
=\alpha)
puisqu'il n'existe pas de majorant de 
plus petit que =\alpha +\sup(A)})
=\alpha+\inf(A))
![A=B=[-1;0]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=B=[-1;0])
, on a ![AB=[0;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AB=[0;1])
=\sup(B)=0)
, mais =1 \neq 0)
\neq \sup(A)\sup(B)})
.
, alors 
, et donc =\sup(A)\sup(B)=0)
, alors \backslash \left\lbrace\lbrace 0\rbrace\right\rbrace)
\in A\times B \text{ : })
 \text{ et }y\leq \sup(B))
\sup(B))
\sup(B))
est majorant de 
qui admet )
comme le plus petit de ses majorants, alors:
\leq \sup(A)\sup(B)\enskip\enskip (i))
)
.
}{y})
, ce qui veut dire que }{y})
est un majorant de \leq \dfrac{\sup(AB)}{y}\iff y\leq \dfrac{\sup(AB)}{\sup(A)}\enskip\enskip)
\neq 0 \text{ car }A\neq\lbrace 0 \rbrace\text{ , donc }A\text{ contient au moins un élément strictement positif)} )
}{\sup(A)})
est un majorant de \leq \dfrac{\sup(AB)}{\sup(A)}\iff \sup(A)\sup(B)\leq \sup(AB) \enskip\enskip (ii))
\text{ et }(ii)\text{ , on déduit que: }\sup(AB)=\sup(A)\sup(B))
=\sup(A)\sup(B)})
est aussi non vide et bornée.
 \text{ , alors }\sup(A) \leq \sup(A\cup B) \text{ (D'après le résusltat de l'exercice 6)})
 \text{ , alors }\sup(B) \leq \sup(A\cup B))
;\sup(B))\leq \sup(A\cup B)\enskip (i))
 \text{ ou }x\leq \sup(B) )
;\sup(B)))
;\sup(B)))
est un majorant de  \leq \max(\sup(A);\sup(B)) \enskip (ii) )
=\max(\sup(A);\sup(B)) })
=\min(\inf(A);\inf(B)))
 = 3 \enskip ; \enskip \sup(B)= 5 \enskip\text{ et }\enskip \sup(A\cap B)=2)
=2 \neq \min(\sup(A);\sup(B))=3)
 \neq \min(\sup(A);\sup(B))} )
\leq \min(\sup(A);\sup(B)))
bornées, donc 
est évidemment bornée.
est supposée non vide, donc  \subset A \text{ , alors } \sup(A\cap B)\leq \sup(A) \text{ (D'après le résusltat de l'exercice 6)})
 \subset B \text{ , alors } \sup(A\cap B) \leq \sup(B))
 \leq \min(\sup(A);\sup(B))} )
 \leq \inf(A \cap B))
, donc 
puisque 
par exemple, donc:
, ce qui veut dire que 
est un majorant de 
, démontrons cela:
, il reste à vérifier qu'il est le plus petit des minorants.
^n+\dfrac{1}{n}\text{ / } n\in\N^*\right\rbrace)
^n=\begin{cases} -1 & \text{ si }n\text{ est impair } \\ 1& \text{ si }n\text{ est pair } \end{cases})
^n\leq 1 \iff -1+\dfrac{1}{n} \leq (-1)^n+\dfrac 1n \leq 1+\dfrac 1n )
. On en tire que: ^n+\dfrac 1n \leq 1+\dfrac 1n\leq 2)
^n+\dfrac{1}{n} \leq 2)
, démontrons cela:
\enskip\enskip\enskip\left(\text{ en effet, pour }n=2\text{ : }(-1)^2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \right))
^n+\dfrac{1}{n}\leq 1+\dfrac{1}{n} )
. Et =\dfrac{1}{2}-\dfrac 1n)
^n+\dfrac 1n )
^1+\dfrac{1}{1}=0\leq \dfrac 32 )
.
^n+\dfrac{1}{n}\leq \dfrac 32 \enskip (ii) )
\text{ et }(ii)\text{ , }\dfrac 32\text{ est un majorant de }B\text{ appartenant à }B\text{ , d'où : } )
est un minorant de ^n+\dfrac{1}{n}\enskip\enskip (i))
^n+\dfrac{1}{n})
^n+\dfrac 1n )
^n+\dfrac 1n\right))
on peut prendre +1 )
.
, on peut prendre +1)
par exemple, puisque 
est négatif dans ce cas.
, on prend 
, pour vérifier directement: ^n+\dfrac{1}{n})
)
\text{ et }(ii)\text{ : })
et utiliser les résultats de l'exercice 9.
^n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\text{ / } n\in\N^*\right\rbrace)
^n=\begin{cases} -1 & \text{ si }n\text{ est impair } \\ 1& \text{ si }n\text{ est pair } \end{cases}\enskip\enskip\text{ et que }\enskip 0\leq 1-\dfrac{1}{n}<1)
^n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\leq 1-\dfrac 1n <1 )
^n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)<1 )
est donc une partie bornée de 
.
(le cas 
)
.
est donc bien un majorant de 
, il suffit de montrer qu'il est le plus petit.
+1 )
.
=\max(0;1)\iff \boxed{\sup C=1})
est un minorant de 
(le cas 
.
, il suffit de montrer qu'il est le plus grand.
 \text{ , en effet: } )
\iff 2n>\dfrac{1}{\epsilon}-1 \iff 2n+1>\dfrac{1}{\epsilon}\iff -1+\epsilon >\dfrac{1}{2n+1}- 1 )
\right)+1 )
convient si ![\epsilon\in ]0;1[\text{ , et si }\epsilon\geq 1\text{ , on prend }n=E(\epsilon) \text{ car dans ce cas, }\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\epsilon}-1\right)\text{ est négatif }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\epsilon\in ]0;1[\text{ , et si }\epsilon\geq 1\text{ , on prend }n=E(\epsilon) \text{ car dans ce cas, }\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\epsilon}-1\right)\text{ est négatif })
.
=\min\left(\dfrac 12;-1\right)\iff \boxed{\inf C=-1})
\leq x\black <E(x)+1 \\E(y)\leq \blue y<E(y)+1 \end{cases})
\leq x\leq y <E(y)+1\Longrightarrow E(x)<E(y)+1)
\text{ et }E(y))
sont des entiers relatifs, on obtient:
<E(y)+1\Longrightarrow \boxed{E(x)\leq E(y)})
\leq x\black <E(x)+1 \\E(y)\leq y<E(y)+1 \end{cases})
+E(y)\leq x+y<E(x)+E(y)+2\enskip (1))
\leq x+y\enskip (2))
\text{ et }(2)\text{ on obtient: })
+E(y)-1<E(x+y)<E(x)+E(y)+2)
+E(y)-1<E(x+y)<E(x)+E(y)+2\Longrightarrow \boxed{E(x)+E(y)\leq E(x+y)\leq E(x)+E(y)+1})
\leq x \iff nE(x)\leq nx)
)\leq E(nx))
\in \Z\text{ , donc }E(nE(x))=nE(x)\text{ , soit: })
\leq E(nx)\iff E(x)\leq \dfrac{E(nx)}{n})
)\leq E\left(\dfrac{E(nx)}{n}\right))
\in \Z\text{ , }E(E(x))=E(x)\text{ , on obtient donc: })
\leq \left(\dfrac{E(nx)}{n}\right)\enskip\enskip \red (1) )
\leq nx \iff \dfrac{E(nx)}{n}\leq x )
}{n}\right)\leq E(x)\enskip\enskip \red (2) )
\black\text{ et }\red (2)\black\text{ : })
}{n}\right)= E(x)})
)
par  \in \mathbb{Z}^2)
tel que  = qn + r \text{ et } 0 \leq r < n \text{ .})
\leq nx<E(nx)+1)
![\forall k \in[\![0;n-1]\!] \text{ : }q+\dfrac{r+k}{n} \leq x+\dfrac{k}{n}<q+\dfrac{r+k+1}{n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall k \in[\![0;n-1]\!] \text{ : }q+\dfrac{r+k}{n} \leq x+\dfrac{k}{n}<q+\dfrac{r+k+1}{n})
 :})
=q)
 :})
est le reste de la divison euclidienne, donc 
=q+1)
![\forall k\in [\![0;n-1]\!] \enskip\text{ : }\enskip E\left(x+\dfrac kn\right)=\begin{cases} q&\text{ si } \enskip 0\leq k\leq n-r-1 \\ q+1 &\text{ si }\enskip n-r\leq k\leq n-1\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall k\in [\![0;n-1]\!] \enskip\text{ : }\enskip E\left(x+\dfrac kn\right)=\begin{cases} q&\text{ si } \enskip 0\leq k\leq n-r-1 \\ q+1 &\text{ si }\enskip n-r\leq k\leq n-1\end{cases} )
\text{ : })
&=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n-r-1} E\left(x+\dfrac{k}{n}\right)+\displaystyle \sum_{k=n-r}^{n-1} E\left(x+\dfrac{k}{n}\right) \\ &=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n-r-1} q+\displaystyle \sum_{k=n-r}^{n-1} q+1 \\&=& (n-r)q+r(q+1) \\&=& nq-rq+rq+r \\&=& nq+r \\&=& E(nx)\end{matrix})
=E(nx)})
^2>0&\iff& n+1-2\sqrt{n+1}\sqrt{n}+n >0 \\&\iff& 1 >2\sqrt{n+1}\sqrt{n}-2n\\&\iff& 1 >2\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \\&\iff& \dfrac{1}{2\sqrt{n}} >\sqrt{n+1}-\sqrt{n} &\enskip\enskip (i) \end{matrix})
^2>0&\iff& n-2\sqrt{n}\sqrt{n-1}+n-1 >0 \\&\iff& 2n-2\sqrt{n}\sqrt{n-1} >1 \\&\iff& 2\sqrt{n}\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)>1 \\&\iff& \sqrt{n}-\sqrt{n-1} >\dfrac{1}{2\sqrt{n}} &\enskip\enskip (ii) \end{matrix})
\text{ et }(ii)\text{ :})
![n\in [\![1;10^4]\!]\text{ , on remarque que les sommes sont téléscopiques, on obtient alors: }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in [\![1;10^4]\!]\text{ , on remarque que les sommes sont téléscopiques, on obtient alors: } )
![\begin{matrix} S_n&=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} E\left(\dfrac{k+3\sqrt{k}}{k} \right) &=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} E\left(1+\dfrac{3\sqrt{k}}{k} \right)\\\\ &=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left[1+E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right)\right]&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1+\sum_{k=1}^{n}E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right)\\\\&=& \displaystyle n-1+1+\sum_{k=1}^{n}E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right) &=& \displaystyle n+\sum_{k=1}^{n}E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} S_n&=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} E\left(\dfrac{k+3\sqrt{k}}{k} \right) &=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} E\left(1+\dfrac{3\sqrt{k}}{k} \right)\\\\ &=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left[1+E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right)\right]&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1+\sum_{k=1}^{n}E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right)\\\\&=& \displaystyle n-1+1+\sum_{k=1}^{n}E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right) &=& \displaystyle n+\sum_{k=1}^{n}E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right)\end{matrix})
)
suivant la valeur de l'entier 
:
=0)
![\bullet \enskip \text{ Si } k\in [\![3;9]\!]\text{ : } \dfrac{9}{4}<3\leq k\leq 9\text{ , d'où }\dfrac{3}{2}<\sqrt{k}\leq 3\text{ et } 1\leq\dfrac{3}{\sqrt{k}}<2 \enskip\text{ , il s'ensuit que } E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}}\right)=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \enskip \text{ Si } k\in [\![3;9]\!]\text{ : } \dfrac{9}{4}<3\leq k\leq 9\text{ , d'où }\dfrac{3}{2}<\sqrt{k}\leq 3\text{ et } 1\leq\dfrac{3}{\sqrt{k}}<2 \enskip\text{ , il s'ensuit que } E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}}\right)=1)
=2 )
=3 )
 &=& \displaystyle n+\sum_{k=1}^{9}E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right) \\\\&=& \displaystyle n+E\left(\dfrac{3}{\sqrt{1}} \right)+E\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)+\sum_{k=3}^{9}E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right) &=& n+3+2+(9-3+1)\times 1 \\\\&=&n+12 \end{matrix})
 &=& \displaystyle n+E\left(\dfrac{3}{\sqrt{1}} \right)+E\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)+\sum_{k=3}^{n}E\left(\dfrac{3}{\sqrt{k}} \right) \\\\&=& n+3+2+(n-3+1)\times 1 &=&2n+3 \end{matrix})
 &=& \displaystyle 2+E\left(\dfrac{3}{\sqrt{1}} \right)+E\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)\\\\&=& 2+3+2 &=&7 \end{matrix})
 &=& \displaystyle 1+E\left(\dfrac{3}{\sqrt{1}} \right)\\\\&=& 1+3&=&4 \end{matrix})
. On conclut que:
 &=& E(\sqrt{1})+E(\sqrt{2})+E(\sqrt{3})+E(\sqrt{4})+E(\sqrt{5})+E(\sqrt{6})+\cdots+E(\sqrt{n^2})\\&=& 1+1+1+2+2+2+\cdots + (n-1)+(n-1)+n\end{matrix})
![m\in [\![1;n]\!]\text{ , et résolvons l'équation }E(\sqrt{k})=m \text{ d'inconnue }k\in [\![1;n^2]\!]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?m\in [\![1;n]\!]\text{ , et résolvons l'équation }E(\sqrt{k})=m \text{ d'inconnue }k\in [\![1;n^2]\!])
![\begin{matrix} E(\sqrt{k})=m &\iff& 0<m\leq \sqrt{k}<m+1 \\\\&\iff& m^2 \leq k <(m+1)^2 \\\\&\iff& m^2 \leq k \leq (m+1)^2-1 \\\\&\iff& k\in [\![m^2;m^2+2m]\!] \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} E(\sqrt{k})=m &\iff& 0<m\leq \sqrt{k}<m+1 \\\\&\iff& m^2 \leq k <(m+1)^2 \\\\&\iff& m^2 \leq k \leq (m+1)^2-1 \\\\&\iff& k\in [\![m^2;m^2+2m]\!] \end{matrix})
=n \iff k=n^2)
par paquets:
 &=& \displaystyle \left(\sum_{m=1}^{n-1}\left(\sum_{k=m^2}^{m^2+2m}\underbrace{E(\sqrt{k})}_{=m}\right)\right)+n \\\\&=& \displaystyle \left(\sum_{m=1}^{n-1}\left(m\sum_{k=m^2}^{m^2+2m}1\right)\right)+n &=& \displaystyle \left(\sum_{m=1}^{n-1}m\left(m^2+2m-m^2+1}\right)\right)+n \\\\&=& \displaystyle \left(\sum_{m=1}^{n-1}2m^2+m\right)+n &=&\displaystyle 2\left(\sum_{m=1}^{n-1}m^2\right)+\left(\sum_{m=1}^{n-1}m\right)+n \\\\&=&\displaystyle 2\left(\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}\right)+\left(\dfrac{n(n-1)}{2}\right)+n &=& \dfrac{2n(n-1)(2n-1)+3n(n-1)+6n}{6} \\\\&=& \dfrac{4n^3-2n^2-4n^2+2n+3n^2-3n+6n}{6} &=& \dfrac{4n^3-3n^2+5n}{6} \end{matrix} )
}{6} } )
tels que 
.
est dense dans 
tel que 
, donc 
est dense dans 
qui vérifie: 
qui vérifie: 
vérifiant: 
Montrons qu'on a 
.
}\end{matrix} )
, et donc 
+1\text{ : })
+1}{2^n} \leq \dfrac{2^n x+1}{2^n} = x+\dfrac{1}{2^n} <x+d=y)
+1}{2^n} > \dfrac{2^n x}{2^n} = x)
nombres premiers deux à deux distincts et il existe 
tels que:
 )
![j\in [\![1;r]\!]\text{ tel que }\alpha_j \text{ est impair }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?j\in [\![1;r]\!]\text{ tel que }\alpha_j \text{ est impair })
 \beta_j^{\alpha_j} &=& \left(\displaystyle \prod_{\begin{smallmatrix}i=1\\i\neq j\end{smallmatrix}} \beta_i^{\alpha_i}\right) \beta_j^{2k+1} \end{matrix} )
:
=1)
, on en tire que 
, or 
, et il s'ensuit que:
 = 1)
 )
et, finalement, d'après le lemme d'Euclide )
, on aboutit à: 
serait un diviseur commun à 
, ce qui est absurde car on a supposé que =1)
, et en multipliant cet irrationnel par l'entier naturel 
, on obtient:
 \end{matrix})
car 
n'est pas un carré parfait, tandis que 
car on a supposé que 
 \\&\iff& \alpha^2+1=0 \text{ et }\alpha+1=0 \\&\iff& \alpha^2=-1\text{ et }\alpha=-1\end{matrix})
.
et 
deux entiers. Si un nombre premier 
divise le produit 
, alors 
et 
divise le produit =1)
, alors 
Voir la correction
analyse en post-bac