Le présent cours est repris du travail de Bourbaki.
Il s'agit d'un résumé adapté et facilement lisible du monumental ouvrage :
"Éléments de mathématique - Topologie Générale".
§1 - Les filtres
1. Définition d'un filtre
Définition 1
On appelle
filtre sur un ensemble
,
la donnée d'un sous-ensemble
de parties de
vérifiant les conditions suivantes :
Toute partie de
contenant un ensemble de
appartient à
Toute intersection finie d'ensembles de
appartient à
La partie vide de
n'appartient pas à
Des deux dernières propriétés, on déduit que toute intersection finie d'ensembles de
est non vide. Mais rien n'interdit qu'une intersection infinie d'ensembles de
soit vide.
L'axiome
est encore équivalent aux deux suivants :
Toute intersection de deux ensembles de
appartient à
Les axiomes
et
montrent qu'il n'y a pas de filtre sur l'ensemble vide.
Notons que toute réunion
non vide d'ensembles de
est encore un ensemble de
. En effet, la dite réunion contient un ensemble de
et il suffit d'appliquer
Exemples de filtres:
1) Si
est
non vide, alors
est un filtre sur
.
D'une manière générale, toutes les parties de
contenant une partie non vide
de
est un filtre sur
.
2) Sur un espace topologique
, l'ensemble des voisinages d'une partie non vide de
(et en particulier, d'un point) est un filtre sur
.
3) Si
est un ensemble
infini, l'ensemble des complémentaires des parties finies de
est un filtre sur
. Le filtre des complémentaires des parties finies de
est appelé le
filtre de Fréchet.
2. Comparaison de filtres
On rappelle que si
est un ensemble, l'ensemble
est ordonné par la relation
d'inclusion suivante :
L'ensemble des filtres sur
est une partie de
et peut donc être ordonné
par la relation ci-dessus décrite. Mais ce n'est pas un ensemble totalement ordonné, d'où :
Définition 2
Étant donnés deux filtres
et
sur un ensemble
, on dit que
est plus fin que
si
De tels filtres sont dits
comparables.
Si de plus
alors
est dit
strictement plus fin que
Dans l'ensemble des filtres sur
, l'élément
est le plus petit.
Si
possède a plus d'un élément, l'ensemble ordonné des filtres sur
n'a pas de plus grand élément.
Soit
une famille non vide quelconque de filtres sur un ensemble
.
L'ensemble
vérifie les axiomes
et
et
est donc un filtre sur
, appelé
filtre intersection de la famille
et qui est la borne inférieure de l'ensemble des
dans l'ensemble ordonné des filtres sur
.
Etant donné un ensemble
de parties d'un ensemble
, cherchons s'il existe des filtres
sur
contenant
.
Il est clair d'après
qu'aucune intersection finie d'éléments de
ne doit être vide.
Cette condition nécessaire est suffisante. Plus précisément :
Proposition 1 et définition
Pour qu'il existe un filtre sur
contenant un ensemble
de parties de
,
il faut et il suffit qu'aucune des intersections finies d'ensemble de
ne soit vide.
Dans ces conditions, le plus petit (au sens de l'inclusion) filtre
contenant
est appelé le
filtre engendré par
et on dit que
est un
système générateur de ce filtre.
est l'intersection de tous les filtres qui contiennent
.
Démonstration:
Notons
l'ensemble des intersections finies d'éléments de
Notons
l'ensemble des parties de
qui contiennent un élément de
.
Montrons que
est le plus petit filtre contenant
.
Tout d'abord,
est un filtre. En effet :
Soit
et
.
Comme
contient un élément
de
alors
et
.
satisfait donc
Il est évident que
.
Soient alors
et
deux éléments de
.
et
contiennent alors chacun respectivement un élément
et
de
.
Ainsi,
contient un élément
, et ce, par définition de
.
Il vient donc que
et
satisfait donc
Comme par hypothèse, la partie vide de
n'est pas élément de
,
alors la partie vide de
n'est pas élément de
satisfait donc
.
Enfin, soit
un filtre contenant
.
Alors d'après
, il contient
.
d'après
, il contient toute partie de
qui contient un élément de
.
Autrement dit
contient
.
Notations
Pour tout système générateur
d'un filtre
, on notera
En particulier, dans un espace topologique
, pour tout
,
on notera
le filtre des voisinages de
.
On a donc, si
est un système fondamental de voisinage de
,
Exemple:
Soit
un ensemble de parties quelconques d'un ensemble
et
la topologie sur
engendrée par
(Cette topologie existe toujours).
Comme l'ensemble des intersections finies d'ensemble de
est une base de
,
il résulte que pour tout
,
est engendré par l'ensemble
des ensembles de
auxquels appartient
.
Corollaire 1
Soient
un filtre sur un ensemble
et
une partie de
.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
Démonstration:
On considère
et on vérifie aisément
qu'aucune intersection finie d'élément de
n'est vide.
Alors le filtre
engendré par
convient.
S'il existe un filtre
qui contient
et dont
est élément,
cela signifie d'après
que
rencontre tous les éléments de
et donc de
.
Exemple:
Dans
muni de sa topologie usuelle, considérons
le filtre des voisinages de
et
Il est clair que
rencontre chacun des éléments de
.
Par conséquent il existe un filtre
plus fin que
et qui contient
.
Corollaire 2
Soit
une famille de filtres sur un ensemble non vide
.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
Démonstration:
C'est immédiat car ce n'est que la traduction du fait que l'ensemble
répond au critère de la proposition 1.
Exemple:
Pour tout
, notons
.
L'ensemble
est une famille de filtres sur
.
Il est clair que pour tout famille
finie de réels et tout élément
Par suite, la famille
admet une borne supérieure dans l'ensemble ordonné des filtres sur
.
Cette borne supérieure n'est rien d'autre que le filtre des complémentaires des parties finies de
.
Corollaire 3
L'ensemble ordonné des filtres sur un ensemble non vide
est inductif.
Démonstration:
En effet, considérons une famille
totalement ordonnée de filtres sur
.
Soient alors
des éléments respectifs de
où les
sont différents deux à deux.
Comme la famille
est totalement ordonnée, alors il existe un indice
tel que
.
Alors l'intersection de la famille
est non vide et, en vertu du corollaire 2, la famille
admet une borne supérieure et donc un majorant dans l'ensemble ordonné des filtres sur
.
3. Base d'un filtre
Si
est un système générateur d'un filtre
sur
,
n'est en général pas l'ensemble des parties de
qui contiennent un élément de
.
Par exemple, dans
, considérons les deux parties
et
Comme
, alors il existe un filtre qui contient
et qui contient
.
Ce filtre contient en particulier l'ensemble
qui ne contient ni
ni
.
Définition
Un ensemble de parties
sur un ensemble
est
quasiment stable par intersection finie si l'intersection de deux éléments de
contient un élément de
.
On en déduit qu'un ensemble
est quasiment stable par intersection finie si et seulement si toute intersection finie d'éléments de
contient un élément de
On voit donc que, dans l'exemple ci-dessus, l'ensemble
n'est pas quasiment stable par intersection.
Considérons alors
.
est quasiment stable par intersection.
Proposition 2
Soit
un ensemble de parties d'un ensemble
.
Pour que l'ensemble des parties de
contenant un ensemble de
soit un filtre sur
, il faut et il suffit que
satisfasse aux deux axiomes suivants :
est quasiment stable par intersection finie.
Démonstration:
étant donné, considérons l'ensemble
.
Supposons que
soit un filtre.
Alors, par définition même de
,
doit être non vide.
Si le vide était un élément de
,
serait égal à
, ce qui est impossible.
Ainsi
est satisfait.
Montrons la quasi stabilité par intersection finie de
.
Soient
et
deux éléments de
.
Soit
.
Comme
et que
est un filtre par hypothèse, alors
.
Donc par définition de
,
contient un
.
On a donc l'existence d'un
tel que
.
Comme
et
étaient arbitraires dans
, on en déduit que
est quasiment stable par intersection finie.
Ainsi
est satisfait.
Supposons
Comme
alors
est non vide.
Comme
alors tout élément de
est non vide.
L'axiome
est donc satisfait.
Soit
et
une partie de
contenant
.
Par définition de
, il existe un
tel que
.
Il vient donc que
et par suite
.
L'axiome
est donc satisfait.
Soient maintenant
.
Il existe alors
tels que
et
.
Par hypothèse
est quasiment stable par intersection,
donc il existe
tel que
et par suite
.
L'axiome
est donc satisfait.
Comme
est non vide alors il existe
et comme
on conclut que
.
L'axiome
est donc satisfait.
Conclusion: est un filtre.
Exemple:
Sur
, on considère
, la famile des intervalles de la forme
.
satisfait clairement les conditions de la proposition 1 et engendre donc un filtre sur
.
On vérifie sans peine que
est quasiment stable par intersection (et même stable).
Donc
est l'ensemble des parties de
qui contiennent un des
.
Ce filtre n'est rien d'autre que l'ensemble des voisinages de
pour
muni de sa topologie canonique.
Définition 3
On dit qu'un ensemble de parties
d'un ensemble
qui satisfait aux axiomes
et
est une
base du filtre qu'il engendre.
On dit que deux bases de filtres sont
équivalentes lorsqu'elles engendrent le même filtre.
Une base de filtre est donc un cas particulier de partie génératrice. C'est une partie génératrice quasiment stable par intersection.
Et si
est une partie génératrice d'un filtre
, alors l'ensemble
des intersections finies d'éléments de
est une base de
.
Proposition 3
Pour qu'une partie
d'un filtre
soit une base de ce filtre, il faut et il suffit que tout ensemble de
contienne un ensemble de
Démonstration:
Supposons qu'une partie
d'un filtre
soit une base de ce filtre.
Soit
.
Alors par construction,
contient une intersection finie
d'éléments de
.
Or par hypothèse,
est une base et donc
contient un élément de
.
Donc
contient un élément de
.
Réciproquement, supposons que tout élément
contienne un élément de
.
Remarquons d'abord que
étant une partie de
alors
.
Remarquons ensuite que pour que tout ensemble de
contienne un ensemble de
, il est nécessaire que
soit non vide.
Soient donc
.
Alors, en particulier,
et donc par hypothèse,
contient un élément
Proposition 4
Pour qu'un filtre
de base
soit plus fin qu'un filtre
de base
, il faut et il suffit que tout élémént de
contienne un élément de
.
Démonstration:
Condition suffisante:
Tout élément de
contenant un élément de
, contient également un élément de
, et c'est donc un élément de
.
Condition nécessaire:
Par hypothèse, tout élément de
est élément de
et donc en particulier, tout élément de
est élément de
et contient, en vertu de la proposition 3, un élément de
Corollaire
Pour que deux bases de filtre
et
soient équivalentes, il faut et il suffit que tout élémént de
contienne un élément de
et inversement.
4. Ultrafiltres
Définition 4
On appelle
ultrafiltre sur
un filtre tel qu'il n'en n'existe pas de plus fin que lui.
Autrement dit, c'est un élément maximal de l'ensemble ordonné des filtres sur
.
Théorème 1
Pour tout filtre
sur un ensemble
, il existe un ultrafiltre plus fin que
C'est une conséquence du fait que l'ensemble ordonné des filtres sur
est inductif et du théorème de Zorn.
Proposition 5
Soit
un ultrafiltre sur un ensemble
.
Si
et
sont deux parties de X telles que
alors
ou
Autrement dit, si
, alors pour tout recouvrement de
en deux sous-ensembles, l'un des deux éléments du recouvrement est un élément de
.
Démonstration:
Raisonnons par l'absurde et supposons que
tandis que
.
Considérons l'ensemble
des parties
de
telles que
.
On vérifie que
est un filtre.
Il est clair que si
alors
et donc
et par suite
.
Or par hypothèse,
et donc
est strictement plus fin que
, ce qui est absurde.
Corollaire
Si la réunion d'une suite finie
de parties de
appartient à un ultrafiltre
alors l'un au moins des
appartient à
.
En particulier, si
est un recouvrement (une partition) de
, alors au moins l'un des
est un élément de
puisque
La proposition 5 caractérise les ultrafiltres. Et plus généralement on a le résultat suivant :
Proposition 6
Soit
un système générateur d'un filtre sur un ensemble
.
On suppose que pour toute partie
de
on a
ou
.
Alors
est un ultrafiltre sur
.
Démonstration:
En effet, soit
un filtre contenant
(il en existe par hypothèse).
Soit
.
Dans ce cas
et donc
.
Ce qui entraîne par hypothèse que
et donc
.
Comme on a trivialement
alors
.
Comme l'ajout d'une partie de
dans
est impossible sous peine de tolérer la partie vide de
dans
, on déduit que
est un ultrafiltre.
Exemple d'ultrafiltre:
Soit
un ensemble non vide et
.
L'ensemble
des parties de X qui contiennent
est un ultrafiltre.
En effet, c'est un filtre et si
alors
ou
.
Par conséquent soit
soit
.
Ces ultrafiltres sont appelés
filtres triviaux.
Les ultrafiltres sur des ensembles finis sont tous triviaux.
Un ultrafiltre non trivial est appelé ultrafiltre
libre.
Le théorème 1 nous dit que tout filtre (et plus généralement tout sous-ensemble ayant la propriété de quasi stabilité par intersection) est contenu dans un ultrafiltre, et par conséquent que des ultrafiltres libres existent, mais cette démonstration utilisant l'axiome du choix,il n'est pas possible de donner des exemples d'ultrafiltres non triviaux.
On peut toutefois noter qu'un ultrafiltre libre, sur un ensemble nécessairement infini X, ne contient pas de parties finies de X.
Par conséquent, en vertu du corollaire ci-dessus, un ultrafiltre est libre si et seulement s'il est plus fin que le filtre des compléméntaires des parties finies.
Si on admet l'axiome du choix, les propositions 5 et 6 montrent que «presque tous» les ultrafiltres sur un ensemble infini X sont libres;
plus précisément : le cardinal de l'ensemble des ultrafiltres (donc aussi celui des ultrafiltres libres) est égal à
(strictement supérieur au cardinal |X| de l'ensemble des ultrafiltres triviaux).
En effet, un filtre
sur X est un ultrafiltre si est seulement si pour toute partie
, on a
ou bien
.
A titre d'exemple, l'ensemble des ultrafiltres sur
est équipotent à
.
C'est énorme, et pourtant on ne sait pas en construire qui soit non trivial autrement que par l'axiome du choix.
Par conséquent, dans la suite, on n'utilisera uniquement les propriétés des ultrafiltres telles qu'elles ont été décrites ci-dessus.
Proposition 7
Tout filtre
est l'intersection des ultrafiltres plus fins que lui.
Démonstration:
Il est clair que cette intersection contient
.
Soit alors
et montrons que
n'est pas dans cette intersection.
Posons
.
Comme
ne contient aucun ensemble de
, on a
pour tout
et donc il existe un filtre
plus fin que
et contenant
.
Si maintenant
est un ultrafiltre plus fin que
,
alors
et donc
Par suite, on a construit un ultrafiltre plus fin que
et ne contenant pas
.
5. Filtre induit
Proposition 8
Soient
un filtre sur un ensemble
et
une partie de
.
Pour que la trace
de
sur
soit un filtre sur
, il faut et il suffit que
tout ensemble de
rencontre
.
Rappel :
En particulier, si
, alors
est un filtre sur
.
Définition 5
Si la trace, sur une partie
d'un ensemble
, d'un filtre
sur
,
est un filtre sur
, on dit que ce filtre est
induit par
sur
.
Exemple important:
Soit
) un espace topologique,
une partie de
et
.
Pour que la trace sur
du
filtre des voisinages du point
soit un filtre sur
, il faut et il suffit que tout voisinage de
rencontre
, autrement dit, que
.
Ce qui fait l'intérêt de cet exemple de filtre induit, c'est que, d'une part, il joue un rôle important dans la théorie des limites, et que d'autre part, tout filtre peut être défini de cette manière.
En effet, soit
un filtre sur un ensemble
.
Soit
l'ensemble obtenu en adjoignant à
un nouvel élément
.
Soit
le filtre sur
formé des ensembles
où
parcourt
.
Pour tout point
de
, soit
l'ensemble des parties de
contenant
.
Posons d'autre part
Les
pour
parcourant
définissent sur
une topologie dont ils sont les filtres de voisinages.
Enfin,
est adhérent à
pour cette topologie et
est induit par
sur
.
La topologie ainsi définie sur
s'apelle topologie associée à
.
Proposition 9
Pour qu'un ultrafiltre
sur un ensemble
induise un filtre sur une partie
de
, il faut et il suffit que
.
Si cette condition est remplie,
est un ultrafiltre sur
.
6. Images directe et réciproque d'une base de filtre
Proposition 10
Soit
une base de filtre (resp. d'ultrafiltre) sur un ensemble
.
Soit
une application.
Alors
est une base de filtre (resp. d'ultrafiltre) sur
Démonstration:
Rappelons que
désigne l'ensemble
.
Vérifions les axiomes
et
pour
.
Comme
est une base de
alors la base n'est pas vide et ne contient pas l'ensemble vide.
Donc tout
est non vide et par suite
est non vide et
est non vide et ne contient pas le vide.
Par ailleurs, si
et on a l'existence d'un
tel que
.
La relation
montre que l'intersection de
deux éléments de
contient un élément de
.
Vérifions ce qu'il se passe si
est une base d'ultrafiltre.
Considérons
une partie de
.
Si
contient un ensemble
, alors
contient
Sinon
contient un ensemble
(cf proposition 5)
et donc
contient
.
Ainsi,
ou
et le résultat est alors une conséquence de la proposition 6.
Voyons ce qu'il en est des images réciproques de base de filtre.
Proposition 10b
Soit
une base de filtre sur un ensemble
Soit
une application.
Pour que
soit une base de filtre sur X, il faut et il suffit que
Cela résulte de la relation
.
Cette condition peut s'exprimer en disant que tout ensemble de
rencontre
.
Ou encore que la trace de
sur
est une base de filtre.
7. Produit de filtres.
Définition 6
Soit
une famille d'ensemble et pour tout
un filtre sur
.
On appelle
produit des filtres et l'on note
(si aucune confusion n'en résulte)
le filtre sur
ayant pour base l'ensemble des parties de la forme
, où
pour tout
et
sauf pour un nombre fini d'indices.
Cette définition a un sens en vertu de la formule
8. Filtres élémentaires.
Définition 7
Soit
une suite infinie d'éléments d'un ensemble
.
On appelle
filtre élémentaire associé à la suite le filtre engendré par l'image du filtre de Fréchet par l'application
de
dans
.
Autrement dit, le filtre élémentaire associé à
est l'ensemble des parties
de
telles que l'on ait
sauf pour un nombre fini de valeurs de
Si
, les ensembles
forment une base du filtre élémentaire associé à
.
Tout filtre élémentaire possède donc, par définition, une base dénombrable. Inversement :
Proposition 11
Si un filtre
possède une base dénombrable,
il est le filtre intersection des filtres élémentaires plus fin que
§2 - Les Limites.
1. Limite d'un filtre
Définition 1
Soient
un espace topologique,
un filtre sur
et
.
On dit que
est point limite (ou limite) de , si
est plus fin que le filtre
des voisinages de
.
On dit alors que
converge (ou
est convergent) vers
.
On dit que
est limite d'une base de filtre sur
(ou que
converge vers
) si le filtre
converge vers
.
Très intuitivement, on peut dire qu'un filtre converge vers
s'il contient des ensembles qui sont de plus en plus voisins autour de
.
Il résulte immédiatement de la
proposition 4 du paragraphe précédent ceci :
Proposition 1
Pour qu'une base de filtre
sur un espace topologique
converge vers
,
il faut et il suffit que tout ensemble d'un système fondamental de voisinage de
contienne un ensemble de
Si un filtre
sur
converge vers
,
alors il en est de même de tout filtre plus fin que
.
De même, si on remplace la topologie de
par une topologie moins fine, le filtre des voisianges de
est remplacé par un filtre moins fin, donc
converge encore vers
pour cette topologie.
Si
est une famille de filtres sur
qui convergent tous vers un même point
, alors le filtre
est moins fin que les filtres de
et est donc aussi moins fin que le filtre
intersection des filtres de la famille
.
Autrement dit,
converge aussi vers
.
Avec la proposition 7 du paragraphe précédent, il résulte ceci :
Proposition 2
Pour qu'un filtre
sur un espace topologique
converge vers un point
,
il faut et il suffit que tout ultrafiltre plus fin que
converge vers
2. Point adhérent à une base de filtre
Définition 2
Soit
un espace topologique,
un ensemble de parties de
et
.
On dit que
est
adhérent à s'il est adhérent à tous les ensembles de
.
En particulier, si
est adhérent à une base de filtre
sur
, alors il est adhérent
au filtre de base
et donc à toute base de filtre équivalente.
Il résulte des définitions que :
Proposition 3
Pour qu'un point
soit adhérent à une base de filtre
,
il faut et il suffit que tout ensemble d'un système fondamental de voisinage de
rencontre chacun des ensembles de
Il en résulte immédiatement, avec le corollaire 1 du paragraphe précédent que :
Proposition 4
Pour qu'un point
soit adhérent à un filtre
,
il faut et il suffit qu'il existe un filtre plus fin que
et qui converge vers
.
Démonstration:
Supposons que
soit adhérent à un filtre
.
Désignons par
le filtre des voisinages de
.
Alors
est une base de filtre sur
en vertu de la proposition 3.
Le filtre engéndré par cette base est clairement plus fin que
et converge vers
.
Réciproquement, supposons qu'il existe un filtre
plus fin que
et qui converge vers
.
Alors les éléments de
sont des éléments de
,
lequel contient
Donc si
et
,
rencontre tout voisinage de
dans
,
et par conséquent
est adhérent à
En particulier, tout point limite d'un filtre
est un point adhérent à
.
Corollaire
Pour qu'un point
soit adhérent à un ultrafiltre
,
il faut et il suffit que
soit point limite de
.
Démonstration:
En effet, si
est adhérent à
, alors il existe un filtre
plus fin que
et qui converge vers
.
Comme
est un ultrafiltre, alors
et
converge vers
.
L'ensemble des points adhérents à une base de filtre
est par définition l'ensemble
, d'où :
Proposition 5
L'ensemble des points adhérents à une base de filtre sur un espace topologique
est fermé dans
.
Proposition 6
Soit
une base de filtre sur une partie
d'un espace topologique
.
Alors tout point adhérent à
dans
appartient à
.
Inversement, tout point de
est limite dans
d'un filtre sur
.
Démonstration:
La première assertion est triviale.
D'autre part, si
, la trace sur
du filtre des voisinages de
dans
est un filtre sur
qui converge évidemment vers
.
3. Valeur limite et valeur d'adhérence d'une fonction
Définition 3
Soient
un ensemble filtré et
un espace topologique.
Soit
une application et
.
On dit que
est
valeur limite (ou simplement
limite) de
suivant le filtre
si la base de filtre
converge vers
.
Autrement dit, dans
est limite du filtre
On dit que
est
valeur d'adhérence de
suivant le filtre
si
est un point adhérent à la base de filtre
.
La relation
S'écrit
Ou bien
Ou encore (si aucune confusion n'en résulte)
Voyons tout de suite un exemple simple d'utilisation de la définition.
Exemple important:
Considérons la fonction définie sur
par
si
,
sinon.
L'espace d'arrivée est muni de la topologie usuelle.
Prenons trois filtres différents sur
et voyons quelle est la limite de
suivant ces trois filtres.
1er filtre: le filtre des voisinages de
.
Notons que ce filtre converge vers
.
L'image de ce filtre par
est l'ensemble
qui est la base d'un filtre sur
qui ne converge pas.
En effet, il est assez aisé de vérifier qu'il n'est pas plus fin qu'aucun filtre de voisinage de point.
Selon ce filtre,
n'a pas de limite et possède deux valeurs d'adhérence que sont
et
.
2d filtre: le filtre dont une base est donnée par l'ensemble des voisinages épointés de
.
Notons que ce filtre est plus fin que le filtre des voisinages de
et converge donc vers
.
L'image de ce filtre par
est l'ensemble
qui est une base de l'ultrafiltre
trivial de base
, lequel est plus fin que le filtre des voisinages de 0.
Selon ce filtre,
admet
pour valeur limite et pour valeur d'adhérence.
3ème filtre: le filtre trivial de base
.
Notons que ce filtre est plus fin que le filtre des voisinages de
et converge donc vers
.
L'image de ce filtre par
est l'ensemble
qui est une base de l'ultrafiltre
trivial de base
, lequel est plus fin que le filtre des voisinages de
.
Selon ce filtre,
admet
pour valeur limite et pour valeur d'adhérence.
Proposition 7
Pour que
soit limite de
suivant le filtre
,
il faut et il suffit que pour tout voisinage
de
dans
,
il existe un ensemble
tel que
(ou encore pour tout voisinage
de
dans
).
Pour que
soit valeur d'adhérence de
suivant
,
il faut et il suffit que pour tout voisinage
de
dans
et tout ensemble
, il existe
tel que
.
Démonstration:
Par définition,
est limite de
suivant le filtre
signifie que
dans
.
Si donc
alors il existe un
tel que
.
Ceci équivaut encore à
et donc que
par
.
Exemple 1:
Une suite de points
d'un espace topologique
est une application
de
dans
.
On a souvent à considérer, en Analyse, la notion de valeur limite ou de valeur d'adhérence d'une telle application suivant le filtre de Fréchet sur
.
Si
est limite de l'application
suivant le filtre de Fréchet, on dit que
est limite de la suite lorsque croît indéfiniment
(ou que
tend vers
lorsque
croît indéfiniment)
et l'on écrit
.
On appelle de même valeur d'adhérence de la suite
toute valeur d'adhérence de l'applicaiton
suivant le filtre de Fréchet.
Si
est limite (resp. valeur d'adhérence) d'une application
,
suivant un filtre
sur
, alors
reste valeur limite (resp. valeur d'adhérence) de
suivant
si on remplace la topologie de
par une topologie
moins fine.
De même, si
est limite (resp. valeur d'adhérence) d'une application
,
suivant un filtre
sur
, alors
reste valeur limite (resp. valeur d'adhérence) de
suivant tout filtre
plus fin (resp.
moins fin) que
.
Exemple 2:
Considérons la fonction définie sur
par
si
et
.
Considérons
le filtre des voisinages de
.
On a
.
Par conséquent, l'ensemble des valeurs d'adhérence de
suivant
est l'ensemble
.
en revanche, suivant ce filtre,
n'a pas de valeur limite.
Considérons
le filtre trivial de base
.
L'image
est le filtre trivial de base
sur
,
lequel est une base du filtre trivial de base
sur
, plus fin que le filtre des voisinages de
.
Par conséquent, suivant
a une et une seule valeurs d'adhérence qui est
, et qui est aussi valeur limite.
Remarques:
si
est valeur limite d'une application
suivant le filtre
, alors
reste valeur limite de
suivant
quand on remplace la topologie de
par une topologie moins fine.
si
est valeur limite d'une application
suivant le filtre
, alors
reste valeur limite de
suivant tout filtre plus fin que
.
si
est valeur d'adhérence d'une application
suivant le filtre
, alors
reste valeur d'adhérence de
suivant
quand on remplace la topologie de
par une topologie moins fine.
si
est valeur d'adhérence d'une application
suivant le filtre
, alors
reste valeur d'adhérence de
suivant tout filtre moins fin que
.
Proposition 8
Soient
un ensemble filtré et
un espace topologique.
Soit
une application et
.
Pour que
soit valeur d'adhérence de
suivant
, il faut et il suffit qu'il existe sur
un filtre
plus fin que
et tel que
soit limite de
suivant
Notons enfin que l'ensemble des valeurs d'adhérence de
suivant un filtre, est fermé dans
.
4. Limite et continuité.
Pour ce paragraphe on se place dans
le cas particulier où
est une application entre deux espaces topologiques, et
le filtre des voisinages d'un point
.
Au lieu de dire que "
est limite de
suivant
" et d'écrire
,
on utilise la notation particulière :
qui correspond à la définition suivante :
et on dit que
ou que
De même, au lieu de dire que y est valeur d'adhérence de f suivant
,
on dit que "
est valeur d'adhérence de
au point
".
Par suite
est toujours valeur d'adhérence de
au point
. Plus précisément :
Proposition 9
Soit
une application entre deux espaces topologiques et
.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
.
Démonstration:
En effet, dans la proposition 7, prenons
.
Par définition de la continuité,
sera continue en
si et seulement si pour tout voisinage
de
dans
,
il existe un voisinage
de
dans
tel que
.
La proposition 7 nous dit que c'est encore équivalent à ce que
admette une limite pour le filtre des voisinages de
dans
et que cette limite est
.
corollaire 1
Soient
deux espaces topologiques,
et
.
On suppose que
est continue au point
.
Alors pour toute base de filtre
sur
qui converge vers
, la base de filtre
converge vers
.
Inversement, si, pour tout ultrafiltre
sur
qui converge vers
, la base de filtre
converge vers
, alors
est continue en
.
Démonstration:
La première assertion est une conséquence immédiate de la proposition 9.
Pour démontrer la seconde, supposons que
ne soit pas continue au point
.
Il existe alors un voisinage
de
dans
tel que
ne soit pas un élément du filtre
des voisianges de
dans
.
On a vu qu'il existait un ultrafiltre
plus fin que
et ne contenant pas
, donc, contenant son complémentaire
.
Comme
alors
et
ne converge pas vers
.
corollaire 2
Soit
un espace topologique,
deux ensembles et
.
Soit
un filtre sur
.
Soit
admettant
comme limite suivant le filtre
.
Soit
une application continue en
.
Alors
admet
comme limite suivant le filtre
.
Démonstration:
Par hypothèse
converge vers
dans
.
Comme
est continue en
,
le corollaire 1 nous dit que
converge vers
dans
.
5. Limite relativement à un sous-espace.
On considère ici deux espaces topologiques
et
,
une partie de
, et
un point de
tel que
(mais n'appartenant pas nécessairement à
).
Soit
la trace sur
du filtre des voisinages de
dans
.
Soit
une application et
.
Au lieu de dire que "
est limite de f suivant
"
et d'écrire
, on écrit :
qui correspond à la définition suivante :
et on dit que
ou que
On remarquera que l'on a alors
.
Lorsque
, où a est un point non isolé de X, au lieu d'écrire
, on écrit aussi :
qui correspond à la définition suivante :
Cette limite prend parfois le nom de limite de
en
selon les voisinages épointés de
.
Mais attention au côté abusif de cette dénomination; en effet l'ensemble des voisinages épointés de
n'est pas un filtre,
mais la base d'un filtre strictement plus fin que celui des voisinages de
sous
réserve d'existence tel que le stipule la proposition 1 du §1.
un tel filtre existera si et seulement si
n'est pas un point isolé de
.
On peut alors l'appeler le filtre des voisinages épointés de
.
Soit
un point non isolé de
.
Si une fonction
admet une limite selon les voisinages de
,
alors
admet la même limite selon le filtre des voisinages épointés de
(remarque 2 ci-dessus).L'inverse est inexact.
Plus précisément :
Proposition 9bis
Soit
une application entre deux espaces topologiques et
un point non isolé.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
.
Démonstration:
Notons
.
Comme
est non isolé,
est un filtre sur
.
Si
est un voisinage de
alors
est un voisinage de
et donc
.
Or on a
Comme V est arbitraire, cela signifie que
est une base d'un filtre plus fin
que les voisinages de
dans
et donc que
.
.
Posons
et
un voisinage arbitraire de
dans
On pose
Par la proposition 7, il vient que
.
Il existe donc
tel que
.
On conclut que comme
alors
est un voisinage de
dans
.
Une autre façon de démontrer la proposition 9bis eut été de se contenter de montrer
.
En effet, dans ce cas et compte tenu de la proposition 9, on a imméditement les équivalences :
Corollaire
Si une fonction admet une limite selon les voisinages épointés de
, mais pas selon les voisinages de
,
alors
est discontinue en
.
Exemples:
On considère une application
.
1)
Si la quantité
existe, on dira que
admet une limite à droite en et on la notera :
Cette limite correspond à la définition classique suivante :
Dans ce cas cette limite est égale à
et
est continue à droite.
2)
Si la quantité
existe, on dira que
admet une limite épointée à droite en et on la notera :
Cette limite correspond à la définition suivante :
Dans ce cas cette limite n'est pas nécessairement égale à
.
3)
Si la quantité
existe, on dira que
admet une limite à gauche en et on la notera :
Cette limite correspond à la définition classique suivante :
Dans ce cas cette limite est égale à
et
est continue à gauche.
4)
Si la quantité
existe, on dira que
admet une limite épointée à gauche en et on la notera :
Cette limite correspond à la définition classique suivante :
Dans ce cas cette limite n'est pas nécessairement égale à
.
Remarque-Corollaire
Soit
une application et
.
admet une limite selon les voisinages épointés de
si et seulement si
.
admet une limite selon les voisinages de
si et seulement si
si et seulement si
est continue au point
.