Fiche de mathématiques

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Matrices (II)

Ici, $\mathbb{K}$ désigne un corps commutatif, en général: $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

I- Décomposition en blocs

Dans toute cette partie, soient :
$n,p,q\in\mathbb{N}^{*}$ , $A=(a_{ij})_{ij}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ .
$l,m\in\mathbb{N}^{*}$ , $(n_{1},\ldots,n_{l})\in(\mathbb{N}^{*})^{l}$ , $(p_{1},\ldots,p_{m})\in (\mathbb{N}^{*})^{m}$ tels que $\displaystyle \sum_{t=1}^{l} n_{t}=n$ et $\displaystyle \sum_{t=1}^{m} p_{t}=p$ .
$n_{0}=p_{0}=0$
$\gamma_{k}=\displaystyle\sum_{i=0}^{k}n_{i}$ , $\forall k\in\lbrace 0,\ldots,l\rbrace$
$\theta_{r}=\displaystyle\sum_{j=0}^{r}p_{j}$ , $\forall r\in\lbrace 0,\ldots,m\rbrace$

1- Définition

Définition :

La matrice $A$ est dite écrite par bloc (ou partitionnée) si A est écrite "divisée" d'une manière cohérente en matrices rectangulaires de dimensions inférieures appelées blocs, on écrit:
$A=\begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}&\ldots&B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\ldots&B_{2m}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\B_{l1}&B_{l2}&\ldots&B_{lm}\end{pmatrix}$
tel que: pour $(k,r)\in\lbrace 1,\ldots,l\rbrace\times\lbrace 1,\ldots,m\rbrace$ , la matrice $B_{kr}=\begin{pmatrix} a_{\gamma_{k-1}+1\theta_{r-1}+1} &\ldots&a_{\gamma_{k-1}+1\theta_{r}}\\ \vdots &&\vdots\\a_{\gamma_{k}\theta_{r-1}+1}&\ldots&a_{\gamma_{k}\theta_{r}}\end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n_{k}p_{r}}(\mathbb{K})$ appelée: le $(k,r)^{\text{ème}}$ bloc dans la décomposition de $A$ en blocs suivant le découpage $(n_{1},\ldots,n_{l})$ pour les lignes et $(p_{1},\ldots,p_{m})$ pour les colonnes.

Exemples :
$\begin{pmatrix} x \\X\end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n+1,1}(\mathbb{K})$ , pour $x\in\mathbb{K}$ et $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$
$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n+p}(\mathbb{K})$ , pour $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , $B\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ , $C\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})$ et $D\in\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$

Remarque :
Si $A$ est une matrice carrée, nous n'utiliserons que les décompositions en blocs pour lesquelles $l=m$ et $(n_{1},\ldots,n_{l})=(p_{1},\ldots,p_{m})$ . Et dans ce cas, les blocs sont appelés les blocs diagonaux de la décomposition de $A$ en blocs, ce sont des matrices carrées.

2- Opérations par blocs

Proposition : (Addition et multiplication par scalaire)

Soient $\lambda\in\mathbb{K}$ , $A,B\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ .
Si $A$ et $B$ sont décomposées par blocs avec le même découpage, alors $\lambda A + B$ admet la décomposition en blocs avec le même découpage avec:
$\lambda A+B=\lambda\begin{pmatrix}A_{11}&\ldots&A_{1m}\\\vdots&&\vdots\\ A_{l1}&\ldots&A_{lm}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}B_{11}&\ldots&B_{1m}\\\vdots&&\vdots\\ B_{l1}&\ldots&B_{lm}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda A_{11}+B_{11}&\ldots&\lambda A_{1m}+B_{1m}\\\vdots&&\vdots\\ \lambda A_{l1}+B_{l1}&\ldots&\lambda A_{lm}+B_{lm}\end{pmatrix}$

Exemple :
Soient $A,A^{'}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , $B,B^{'}\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ , $C,C^{'}\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})$ et $D,D^{'}\in\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$ :
$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}A^{'}&B^{'}\\C^{'}&D^{'}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}A+A^{'}&B+B^{'}\\C+C^{'}&D+D^{'}\end{pmatrix}$

Proposition : (Produit)

Soient $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ , $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$ telles que: $A=\begin{pmatrix}A_{11}&\ldots&A_{1m}\\\vdots&&\vdots\\ A_{l1}&\ldots&A_{lm}\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}B_{11}&\ldots&B_{1m^{'}}\\\vdots&&\vdots\\ B_{l^{'}1}&\ldots&B_{l^{'}m^{'}}\end{pmatrix}$ des décompositions en blocs de $A$ et $B$ telles que:
$l^{'}=m$ et $(n_{1}^{'},\ldots,n_{l^{'}}^{'})=(p_{1},\ldots,p_{m})$
Alors $AB$ admet la décomposition en blocs: $AB= \begin{pmatrix}\displaystyle\sum_{j=1}^{l^{'}} A_{1j}B_{j1} & \ldots&\displaystyle\sum_{j=1}^{l^{'}} A_{1j}B_{jm^{'}}\\\vdots&&\vdots\\\displaystyle\sum_{j=1}^{l^{'}} A_{lj}B_{j1}&\ldots&\displaystyle\sum_{j=1}^{l^{'}} A_{lj}B_{jm^{'}}\end{pmatrix}$

Exemple :
Soient: $A,B,C,D,A^{'},B^{'},C^{'},D^{'} \in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$
$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^{'}&B^{'}\\C^{'}&D^{'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}AA^{'}+BC^{'}&AB^{'}+BD^{'}\\CA^{'}+DC^{'}&CB^{'}+DD^{'}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})$

Proposition: (Transposition)

Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ telle que: $A=\begin{pmatrix}A_{11}&\ldots&A_{1m}\\\vdots&&\vdots\\ A_{l1}&\ldots&A_{lm}\end{pmatrix}$ une décomposition en blocs de cette dernière.
On a: $^{t}A=\begin{pmatrix}^{t}A_{11}&\ldots&^{t}A_{l1}\\\vdots&&\vdots\\ ^{t}A_{1m}&\ldots&^{'}A_{lm}\end{pmatrix}$

Exemple :
Soient : $A,B,C,D \in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$
$^{t}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}^{t}A&^{t}C\\^{t}B&^{t}D\end{pmatrix}$

3- Matrices triangulaires par blocs

Définitions:

Une matrice carrée $A$ est dite triangulaire supérieure par blocs si et seulement si elle admet une décomposition en blocs: $A=\begin{pmatrix} A_{11}&\ldots&A_{1l}\\&\ddots&\vdots\\O&&A_{ll}\end{pmatrix}$ telle que $A_{11},\ldots,A_{ll}$ sont des matrices carrées et que les blocs sous la diagonale sont tous des matrices nulles.
Une matrice carrée $A$ est dite triangulaire inférieure par blocs si et seulement si elle admet une décomposition en blocs: $A=\begin{pmatrix} A_{11}&&O\\\vdots&\ddots&\\A_{l1}&\ldots&A_{ll}\end{pmatrix}$ telle que $A_{11},\ldots,A_{ll}$ sont des matrices carrées et que les blocs en dessus de la diagonale sont tous des matrices nulles.
Une matrice carrée $A$ est dite diagonale par blocs si et seulement si elle admet une décomposition en blocs: $A=\begin{pmatrix} A_{11}&&O\\&\ddots&\\O&&A_{ll}\end{pmatrix}$ telle que $A_{11},\ldots,A_{ll}$ sont des matrices carrées et que les blocs non diagonaux sont tous des matrices nulles. Dans ce cas, on peut noter: $A=diag(A_{11},\ldots,A_{ll})$

Proposition:

Le détermiant d'une matrice triangulaire (inférieure ou supérieure) par blocs est égal au produit des déterminant des blocs diagonaux.

II- Exponentielle de matrice

Prérequis : Séries d'applications et espaces vectoriels normés
Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$

Proposition :

La série d'applications $\displaystyle \sum_{k\geq 0}(\begin{array}{clcl} &\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) &\rightarrow &\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\\ &A&\mapsto &\dfrac{1}{k!}A^{k}\\\end{array})$ converge normalement sur toute partie bornée de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

Preuve :
On sait qu'il existe au moins une norme $||.||$ d'algèbre sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , il est simple de vérifier (récurrence immédiate) que: $\forall A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , $\forall k\in\mathbb{N}^{*}$ : $||A^{k}||\leq ||A||^{k}$
Soit X une partie bornée de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , il existe $M\in\mathbb{R}_{+}$ tel que: $\forall A\in X$ : $||A||\leq M$
On a alors :
$\forall k\in\mathbb{N}^{*}$ , $\forall A\in X$ : $||\frac{1}{k!} A^{k}||\leq \frac{1}{k!}||A||^{k}\leq \frac{M^{k}}{k!}$
Et puisque la série numérique $\displaystyle\sum_{k\geq 0} \frac{M^{k}}{k!}$ converge, la série d'applications $\displaystyle \sum_{k\geq 0}(\begin{array}{clcl} &\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) &\rightarrow &\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\\ &A&\mapsto &\frac{1}{k!}A^{k}\\\end{array})$ converge normalement sur $X$ .

Définition :

On appelle exponentielle, et on note $exp$ , l'application de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ définie par :
$\forall A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ : $exp(A)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}A^{k}$

Proposition :

$\forall A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ : $AB=BA\Longrightarrow exp(A+B)=exp(A)exp(B)=exp(B)exp(A)$ .
$\forall A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ : $exp(A)\in \mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K})$ et $(exp(A))^{-1}=exp(-A)$ .
$\forall A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , $\forall P\in \mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K})$ : $exp(P^{-1}AP)=P^{-1}exp(A)P$ .

Publié par Panter le 30-11--0001

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