Ici,
désigne un corps commutatif, en général:
ou
.
I- Décomposition en blocs
Dans toute cette partie, soient :
,
.
,
,
tels que
et
.
,
,
1- Définition
Définition :
La matrice
est dite
écrite par bloc (ou
partitionnée) si A est écrite "divisée" d'une manière cohérente en matrices rectangulaires de dimensions inférieures appelées
blocs, on écrit:
tel que: pour
, la matrice
appelée:
le bloc dans la décomposition de en blocs suivant le découpage pour les lignes et pour les colonnes.
Exemples :
, pour
et
, pour
,
,
et
Remarque :
Si
est une matrice carrée, nous n'utiliserons que les décompositions en blocs pour lesquelles
et
. Et dans ce cas, les blocs sont appelés
les blocs diagonaux de la décomposition de en blocs, ce sont des matrices carrées.
2- Opérations par blocs
Proposition : (Addition et multiplication par scalaire)
Soient
,
.
Si
et
sont décomposées par blocs avec le même découpage, alors
admet la décomposition en blocs avec le même découpage avec:
Exemple :
Soient
,
,
et
:
Proposition : (Produit)
Soient
,
telles que:
et
des décompositions en blocs de
et
telles que:
et
Alors
admet la décomposition en blocs:
Exemple :
Soient:
Proposition: (Transposition)
Soit
telle que:
une décomposition en blocs de cette dernière.
On a:
Exemple :
Soient :
3- Matrices triangulaires par blocs
Définitions:
Une matrice carrée
est dite
triangulaire supérieure par blocs si et seulement si elle admet une décomposition en blocs:
telle que
sont des matrices carrées et que les blocs sous la diagonale sont tous des matrices nulles.
Une matrice carrée
est dite
triangulaire inférieure par blocs si et seulement si elle admet une décomposition en blocs:
telle que
sont des matrices carrées et que les blocs en dessus de la diagonale sont tous des matrices nulles.
Une matrice carrée
est dite
diagonale par blocs si et seulement si elle admet une décomposition en blocs:
telle que
sont des matrices carrées et que les blocs non diagonaux sont tous des matrices nulles. Dans ce cas, on peut noter:
Proposition:
Le détermiant d'une matrice triangulaire (inférieure ou supérieure) par blocs est égal au produit des déterminant des blocs diagonaux.
II- Exponentielle de matrice
Prérequis : Séries d'applications et espaces vectoriels normés
Soit
Proposition :
La série d'applications
converge normalement sur toute partie bornée de
.
Preuve :
On sait qu'il existe au moins une norme
d'algèbre sur
, il est simple de vérifier (récurrence immédiate) que:
,
:
Soit X une partie bornée de
, il existe
tel que:
:
On a alors :
,
:
Et puisque la série numérique
converge, la série d'applications
converge normalement sur
.
Définition :
On appelle
exponentielle, et on note
, l'application de
dans
définie par :
: