Ici,

désigne un corps commutatif.
Tous les

-ev considérés sont supposés de dimension finie
I- Généralités
1- Définitions
Soit
Définitions - Notations :

On appelle
matrice à
lignes,
colonnes et à éléments (ou
coefficients) dans 
toute application de

dans

.

Une application
 &\longmapsto &a_{ij}\\ \end{array})
est notée sous la forme d'un tableau :

Le couple
)
est appelé le
format de la matrice

,

est le
nombre de lignes de

, et

est le
nombre de colonnes de

.

Pour
 \in \lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace)
, le terme

située à la

ligne et

colonne s'appelle le
terme (ou
coefficient) de

.

On dit que :

est une matrice
carrée si et seulement si

, on dit alors que

est une matrice
carrée d'ordre 
.

est une
matrice-colonne (ou
matrice unicolonne) si et seulement si

.

est une
matrice-ligne (ou
matrice uniligne) si et seulement si

.

Si
_{ij})
est carré d'ordre

, les
)
sont appelés les
éléments diagonaux de

, et
)
est appelé la
diagonale de

.

On note
)
l'ensemble des matrices à

lignes,

colonnes, et à éléments dans

.

On note
)
l'ensemble
)
des matrices carrées d'ordre

à éléments dans

.
Exemples:

est une matrice carré d'ordre

à coefficients réels,
)
.

est une matrice carré d'ordre

à coefficients dans

,
)
.

est une matrice colonne de
)
.

est une matrice ligne de
)
.
Définitions :
Soit
_{1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
.

Pour

:
La matrice ligne
_{1\leq j\leq p}=\begin{pmatrix} a_{k,1}&a_{k,2}& \cdots & a_{k,p} \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{K}))
est appelée
la
ligne de 
.
On appelle
vecteur ligne de 
le vecteur
)
, c'est un élément de

.

Pour

:
La matrice colonne
_{1\leq i\leq n}=\begin{pmatrix} a_{1,m}\\a_{2,m}\\ \vdots \\ a_{n,m} \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}))
est appelée
la
colonne de 
.
On appelle
vecteur colonne de 
le vecteur
)
, c'est un élément de

.
2- Opérations sur les matrices
a- Égalité entre deux matrices
L'égalité entre deux matrices est en fait l'égalité entre deux fonctions, par conséquent deux matrices sont égales lorsqu'elles ont la même taille et les mêmes coefficients.
Définition :
Soient
)
tels que
_{1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p})
et
On dit que

et
sont égaux et on note

si et seulement si :
\in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace)
:
b- Addition
Définition :
On appelle
addition dans
)
la loi interne, notée

, définie par:
_{1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p}\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
et
Remarque :
On ne somme que des matrices de même type.
Exemple :
Proporiétés :
La loi

est :
Associative et commutative.
Admet un élément neutre qui est la matrice de
)
dont tous les termes sont nuls, on la note

ou plus simplement

et on la nomme
la matrice nulle.
Tout
)
de
)
admet un opposé noté

défini par :
Remarque:
L'élément neutre de

sera noté

.
Théorème:
,+))
est un groupe abélien
c- Multiplication par un scalaire
Définition :
On appelle multiplication par les scalaires la loi externe
 \longrightarrow \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
, notée par

ou par absence de symbole, définie par :

,
_{ij} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
:
_{ij}=(\lambda. a_{ij})_{ij})
Exemple:
Théorème :
,+,.) )
est un

-espace vectoriel
Définition :
Pour
\in(\mathbb{N}^{*})^{2})
et
\in \lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace)
, on note

la matrice de
)
dont le
^{ème})
terme vaut

et tous les autres sont nuls. Les matrices

sont appelées
les matrices élémentaires de
Exemple :
Les matrices élémentaires de
)
sont :

,

,

et
Les matrices élémentaires de
)
sont :

,

et
Propostion :
_{(i,j)\in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace })
est une base de
)
, appelée base canonique de
)
.
}=np)
, en particulier :
Exemple de manipulation vectorielle :
Soient

,

,

,
On se propose de montrer que la famille
_{1\leq i\leq 4})
est une base de
)
.
Il est clair que
}_{1\leq i\leq 4}=\dim{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}=4)
.
Il suffit donc de montrer que
_{1\leq i\leq 4})
est libre .
Soient

tels que :
Matriciellement :
En résolvant le système, on obtient :
Ce qui permet de conclure.
d- Produit
Définition :
Soient
_{ij} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
,
_{jk}\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}))
.
On appelle produit de

par

, et on note

ou encore par absence de symbole

, la matrice de
)
définie par :
_{ik})
où :
\in \in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, q\rbrace)
:

Remarques :
Le produit

n'est possible que si le nombre de colonnes de

est égal au nombre de lignes de

. Le résultat
a alors autant de lignes que

et autant de colonnes que

.
En général

, il se peut même que

soit défini, mais pas

.
Exemples :

n'est pas défini, par contre
Proposition :
Pseudo-distributivité à gauche :
)
,
)
:
=AB+AC)
.
Pseudo-distributivité à droite :
)
,
)
:
C=AC+BC)
.

,
)
,
)
:
B=\lambda(AB)=A(\lambda B))
.
Pseudo-associativité :
)
,
)
,
)
:
C=A(BC))
.
3- La
-algèbre
des matrices carrées
a- Présentation
Proposition-Définition :
Le produit matriciel

définit une loi de composition interne sur
,+,.,\times))
est une

-algèbre associative, unitaire.
On note
)
l'élément neutre du produit matriciel.
Remarque :
La

-algèbre
,+,.,\times))
n'est commutative que pour

, dans ce cas, elle est identifiable à
)
.
Définition :
On dit que deux matrices

et

de
)
commutent ssi :

.
Remarque :
)
:
Donc :

commute avec toute matrice de
b- Matrices diagonales et matrices triangulaires
Définition :
Une matrice carrée
_{1\leq i,j\leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
est dite
diagonale si et seulement si :
\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace ^{2})
:
On note
)
l'ensemble des matrices diagonales d'ordre

.
Exemples :
Notation :
On notera
_{1\leq i\leq n})
la matrice diagonale de
)
dont la diagonale est la famille
_{1\leq i\leq n})
Exemples :
)
et
Définition :
Soit la matrice carrée
_{1\leq i,j\leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
.
A est dite
triangulaire supérieure (ou:
trigonale supérieure) si et seulement si :
\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace ^{2})
:
On note
)
l'ensemble des matrices triangulaires supérieures d'ordre

.
A est dite
triangulaire inférieure (ou:
trigonale inférieure) si et seulement si :
\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace ^{2})
:
On note
)
l'ensemble des matrices triangulaires inférieures d'ordre

.
Exemples :
Théorème :
 ,\mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K}))
et
)
sont des sous-espaces vectoriels de
 ,\mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K}))
et
)
sont des sous-algèbres de la

-algèbre
)
c- Puissances d'une matrice carrée
Exemple :
Soit
)
tel que :
calculer

(

)
Par calcul simple,

,
On en déduit que

pour
Montrons maintenant par récurrence que

:
Pour

:

(vérifié)
Supposons que pour

:

et montrons que
Résultat :
Remarque :
Attention :
Théorème :
Soit
\in (\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2})
tel que

et

commutent, on a alors
^{m}=\sum_{k=0}^{m} {m\choose k} A^{k} B^{m-k})
(binôme de Newton)
\sum_{k=0}^{m-1} A^{k} B^{m-1-k})
Remarque :

n'implique pas que

ou
Par conséquence,

possède dans
)
d'autres solutions que

et
Par exemple :

,
Définition :
On dit qu'une matrice
)
est
idempotente si

.
On dit qu'une matrice
)
est
nilpotente s'il existe

tel que

.
Exemples :

est idempotente, en effet :

.

est nilpotente.
En effet :

et
Proposition :
Soit
)
tel que
_{1\leq i\leq n})
avec
On a alors :

:
_{1\leq i\leq n})
d- Matrices inversibles
Définition :
Une matrice

de
)
est dite
inversible si et seulement s'il existe
)
telle que
Si

est inversible, alors

est unique et appelée
inverse de

, et notée
On note
)
l'ensemble des matrices inversibles de
)
Exemple :
La matrice

est inversible et :
Proposition :
,\times))
est un groupe appelé
groupe linéaire d'ordre 
.
Théorème : (dit d'inversibilité)
Pour
)
, les propositions suivantes sont équivalantes:
(i) 
est inversible
(ii)
est inversible à droite, ie:
)
:
(iii) 
est inversible à gauche ie:
)
:
De plus si tel est le cas

Remarques :
Pour calculer l'inverse d'une matrice
)
, on prend les deux matrices colonnes
)
et
)
, et on résout le système

, où

est la matrice colonne inconnue (ie. On cherche

,

et

en fonction de

,

et

)
car :

.
Il existe aussi la méthode de
"pivot de Gauss" pour calculer l'inverse d'une matrice, on exposera cette méthode plus tard.
Exemple :
Soit
Soit

et

tels que:
Donc :
Proposition :
Soit
_{1\leq i\leq n})
une famille d'éléments dans

et soit la matrice
)
telle que
_{1\leq i\leq n})
. Les propositions suivantes sont équivalentes:
(i) 
est inversible
(ii) 
:
De plus, dans ce cas :
Soit la matrice
)
(respectivement
)
). On a équivalence entre:
(i) 
est inversible
(ii) Les coefficients diagonaux de

sont tous non nuls.
De plus, si tel est le cas,
)
(respectivement
)
)
4- Transposition
a- Définition et propriétés:
Définition:
Pour toute matrice
_{ 1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p}=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix})
de
)
, on appelle
transposée de

la matrice notée

de
)
définie par :
_{1\leq j\leq p , 1\leq i\leq n}= \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{n1}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{1p}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix} )
(Ainsi le coefficient d'indice
)
de

est égal au coefficient d'indice
)
de

)
Remarque :
Les colonnes et lignes de

correspondent respectivement aux lignes et colonnes de

.
Exemple :

, donc :
Proposition :
L'application
 \longrightarrow \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\\ M \longmapsto ^{t}M\\ \end{array})
est un isomorphisme de

-espaces vectoriels.
Proposition : (Propriétés)
b- Matrices carrées symétriques et antisymétriques
Définitions:
i)
Une matrice

de
)
est dite
symétrique si et seulement si :
On note
)
l'ensemble des matrices symétriques d'ordre

à coefficients dans
ii)
Une matrice

de
)
est dite
antisymétrique si et seulement si :
On note
)
l'ensemble des matrices antisymétriques d'ordre

à coefficients dans
Proposition :
)
est un sous-espace vectoriel de
)
de dimension
)
est un sous-espace vectoriel de
)
de dimension
}{2})
Théorème :
Les sous-espaces vectoriels
)
et
)
sont supplémentaires dans
)
5- Matrices semblables et matrices équivalentes
Définitions :
Soient
)
,

et

sont dites
équivalentes et on note

si et seulement s'il existe deux matrices inversibles
)
et
)
telles que:

.
Soient
)
,

et

sont dites
semblables et on note

si et seulement s'il existe
)
inversible telle que :

Proposition :
Les relations

et

sont des relations d'équivalence respectivement dans
)
et
II- Matrices et applications linéaires
1- Représentations matricielles
a- Matrice colonne des composantes d'un vecteur
Définition :
Soient

un

-ev ,
})
,
)
une base de

,

,
)
les composantes de

dans la base

:
La matrice colonne

s'appelle
la matrice-colonne des composantes de
dans 
, on la note :
)
Remarques :
Puisque les composantes d'un vecteur dépendent de la base choisie, il est nécessaire de préciser celle-ci.
Toutes les matrices des composantes d'un vecteur appartiennent à
)
.
Exemples :
Soit dans
![\mathbb{R}_{3}[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}_{3}[X])
, le polynôme

, la matrice-colonne des composantes de

dans la base canonique
)
est :
Soit dans
)
, la matrice

, la matrice-colonne de

dans la base canonique
)
est :
Théorème :
En conservant les notations de la définition; L'application
\\ x \longmapsto Mat_{\mathcal{B}}(x)\\ \end{array})
est un isomorphisme de

-espace vectoriel.
b- Matrice des composantes d'une famille de vecteurs
Définition :
Soient

un

-ev ,
})
,
)
une base de

,

,
)
une famille finie de

éléments de

, et, pour chaque

de

,
)
les composantes de

dans

:

,
La matrice
_{1\leq i\leq n , 1\leq j \leq p } = \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix})
de
)
s'appelle
la matrice de la famille
relativement à la base 
et est notée
)
ou
)
Remarque :
Dans le cas

, on retrouve la notion de matrice des composantes d'un vecteur.
Exemples :
Considérons l'espace vectoriel

muni de sa base canonique
Soient
, x_{2}=(2,0,1), x_{3}=(1,0,-1))
et
)
quatre vecteurs de
On a :
Soit

un

-ev de dimension

muni d'une base

connue, il est clair que :
c- Matrice d'une application linéaire
Définition :
Soient
}, n=\dim{(F)} \\ \mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{p}) \text{une base de } E , \mathcal{C}=(f_{1},\cdots,f_{n}) \text{une base de } F \\f\in\mathcal{L}(E,F) \end{cases})
.
Pour chaque

de

, notons
)
les composantes de
)
dans

:
On appelle
matrice de
relativement aux bases
et 
, et on note
)
, la matrice de
)
définie par :
= (a_{ij})_{1\leq i\leq n , 1\leq j \leq p } = \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix})
Remarque :
Lorsque
)
, on dit que
est représentée par
dans les bases
et 
, ou que
représente
dans
et
La matrice représentative de

dépend du choix des bases

et

, il est donc nécessaire de préciser celles-ci.
Théorème :
Soient

et

deux

-espaces vectoriels munis respectivement des bases

et
L'application
 \longrightarrow \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\\ u \longmapsto Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\\ \end{array})
est un isomorphisme de

-espaces vectoriels.
Définition : (Cas Endomorphisme)
Soient

un

-ev,
})
,
)
une base de

,
)
.
On appelle
matrice de
relativement à la base 
, et on note
)
, la matrice de
)
définie par :
=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{B}}(f))
Exemples :
Soit

l'application linéaire définie par :
Formons la matrice de f relativement aux bases canoniques
)
et
)
respectivement de

et
On a :
On en déduit:
Soit
)
tel que :
=(y+z;z+x,x+y))
et
)
la base canonique de
On a :
=(0,1,1))
,
=(1,0,1))
,
Donc :
2- Utilisation du calcul matriciel pour quelques problèmes relatifs aux applications linéaires
a- Image d'un vecteur par une application linéaire - Noyau et image
Théorème :
Soient

et

deux

-espaces vectoriels munis respectivement des bases

et

,
La matrice de

dans les bases

et

est l'unique matrice
)
vérifiant :

:
 \Longleftrightarrow Y=AX)
avec
)
et
)
Définitions :
Soit
On appelle
noyau de

le sev de
)
noté
)
, défini par:
On appelle
image de

le sev de
)
noté
)
, défini par:
=\lbrace Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}) , \exists X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}) , Y= AX\rbrace = \lbrace AX , X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})\rbrace)
Théorème : (dit de correspondance)
Soient

et

deux

-espaces vectoriels munis respectivement des bases

et

,
)
,
Il y a correspondance entre
)
et
)
et entre
)
et
)
Cela veut dire que les éléments de
)
sont les représentations matricielles des éléments de
)
et que les éléments de
)
sont les représentations matricielles de
)
(relativement aux bases

et

)
Exemple :
Soit

un

-ev muni d'une base
Soit

un endomorphisme de
)
dont la matrice dans

est :
Soit
On a:
On peut étudier
)
en étudiant
)
, c'est-à-dire en résolvant l'équation matricielle
Ainsi,
Donc :
b- Compositions d'applications linéaires
Proposition :
Soient
On a:
=(Mat_{\mathcal{C},\mathcal{D}}(g)) (Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)) )
Corollaire :
Soit

un

-ev muni d'une base

, on a:
)
:
)
:
=(Mat_{\mathcal{B}}(f))^{m} )
pour tout
Proposition :
Soient

un

-ev de dimension

muni d'une certaine base

,
)
,

la représentation matricielle de

dans la base

, on a:

est nilpotant

est nilpotante

est un projecteur

est une symétrie

c- Bijection et inversibilité
Théorème :
Soient

et

deux

-espaces vectoriels de m^eme dimension munis respectivement des bases

et

,
, A=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f))
. Les propositions suiventes sont équivalantes:
i- f est un isomorphisme.
ii- A est inversible.
De plus, dans ce cas :
=A^{-1})
Corollaire :
Soient

un

-espace vectoriel de dimension

muni d'une base

,
)
. les propositions suivantes sont équivalantes:
i- 
est un automorphisme
ii-
De plus, si tel est le cas :
![Mat_{\mathcal{B}}(f^{-1})=[Mat_{\mathcal{B}}(f)]^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(f^{-1})=[Mat_{\mathcal{B}}(f)]^{-1})
Exemple :
Soit

un

-espace vectoriel muni de la base
)
et soit

un

-espace vectoriel muni de la base
)
.
Soit

l'application linéaire définie par sa représentation matricielle :
Montrons que

est un isomorphisme, pour cela, on montre que
)
est inversible.
Soient

et

de
)
telles que :
Donc :
On en déduit que
)
est inversible, donc

est bijective.
Déterminons

:
On a:
Donc :
Soit
\in F)
:
Enfin :
Remarquons que pour montrer que

est bijective, il suffit de montrer que l'équation matrcielle
\text{. }X=0)
n'admet que

comme solution, donc le noyau de

est se réduit au vecteur nul, donc

est injective, et par raison de dimension (
=dim(F))
),

est bijective. La méthode présentée ci-dessus permet en plus de ça de déterminer

.
d- Quelques endomorphismes particuliers
Proposition : (Homothétie vectorielle)
Soit

un

-ev de dimension

.
Dans toute base de

, la matrice de l'homothétie vectorielle de rapport

est

.
Proposition : (Symétrie et projection)
Soit

un

-ev de dimension

, soient

et

deux sev supplémentaires de

respectivement de dimensions

et

.
La matrice de la projection

sur

parallèlement à

dans une base

adaptée à la supplémentarité de

et

est :
La matrice de la symétrie

sur

parallèlement à

dans une base

adaptée à la supplémentarité de

et

est :
=\begin{pmatrix}I_{r}&O\\O&-I_{n-r}\end{pmatrix})
III- Changement de base
1- Matrice de passage
Définition :
Soit

un

-espace vectoriel de dimension

muni de deux bases
)
et
)
.
On appelle
matrice de passage de la base
à la base 
la matrice de
)
notée

ou plus simplement

telle que :
= Mat_{\mathcal{B}}(e_{1}^{'},\cdots,e_{n}^{'}))
Exemple :
Soit
![E=\mathbb{R}_{3}[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E=\mathbb{R}_{3}[X])
muni de sa base canonique
La famille
^{2},(1+X)^{3}))
est une base de

(démonstration simple et laissée en exercice)
Ecrivons la matrice de passage

:
On sait que :
Donc :
Proposition :
Soit

un

-espace vectoriel.
Pour toutes bases

de

:
)
Théorème: (Caractérisation des bases)
Soit

un

-espace vectoriel de dimension

muni d'une base

, et soit

une famille de

vecteurs de

.
Alors

est une base de

si et seulement si
)
Proposition :
Soit

un

-espace vectoriel de dimension

,

des bases de

. On a:

est inversible et
![[P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}]^{-1}=P_{\mathcal{B}^{'}\mathcal{B}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}]^{-1}=P_{\mathcal{B}^{'}\mathcal{B}})
2- Nouvelles représentations par changement de base
Théorème : (Nouvelles composantes d'un vecteur)
Soient

un

-espace vectoriel de dimension

,

deux bases de

,

,
)
,
)
et
)
.
On a :

et

Théorème : (Nouvelle représentation d'une application linéaire)
Soient

et

deux

-espaces vectoriels,

deux bases de

,

deux bases de

,
)
,
)
,
)
,
)
et
)
.
On a :

Théorème : (Nouvelle représentation d'un endomorphisme)
Soient

un

-espace vectoriel,

deux bases de

,
)
,
)
,
)
et
)
.
On a :

Exemple:
Soit

un

muni d'une base
)
et soit
)
définie par :
=A)
avec

.
Soit
)
une famille d'éléments dans

définie par :

.
Il est simple de vérifier que

est libre (laissé en exercice), donc

est une autre base de

.
La matrice de passage P de

à

est donc :
=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&-1&1\\1&1&-2 \end{pmatrix})
.
Son inverse

peut etre calculé en écrivant les éléments de la base

en fonction des éléments de la base

:

, on a alors:

.
Formons maintenant la matrice de

dans la base

en calculant
)
,
)
et
On obtient aisément que:
=-u_{1})
,
=2u_{2})
et
=3u_{3})
(en utilisant le calcul matriciel

:
laissé en exercice)
la matrice de

dans la base

qu'on notera

est alors:
On a, par formule de changement de base :

, ce qui permet le calcul des puissances de la matrice

car:

,
Or,
)^{n}=diag((-1)^{n},2^{n},3^{n}))
.
On obtient enfin:

:
3- La trace
a- Trace d'une matrice carrée
Définition :
On appelle trace d'une matrice carrée
\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
le scalaire:
=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ii})
Exemples:

:
Soit

,
Proposition :
Pour toutes matrices carrées

et

de même ordre et pour tous scalaires

:
Autrement dit, l'application
 \longrightarrow \mathbb{K})
est une forme linéaire invariante par transposition.
Proposition :
\in (\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2})
:
=tr(B))
b- Trace d'un endomorphisme
Définition :
Soient

un

-ev de dimension finie et
La trace de

est la trace d'une matrice représentative de

dans une base quelconque de

En effet, Soient

et

deux bases de

.
Notons,
)
,
)
et
On sait que :
On a alors :
Donc, la trace de la matrice représentative de l'endomorphisme

est indépendante de la base choisie.
Théorème :
La trace définit une forme linéaire sur
)
, vérifiant :
\in(\mathcal{L}(E))^{2})
:
IV- Rang d'une matrice
1- Définition et propriétés
Définition :
Soit
)
. On appelle
rang de

, et on note
)
le rang de la famille des colonnes de

dans
Théorème :
Si
)
une famille de vecteurs d'un

-ev

et si

est la matrice de

dans une certaine base

de

alors :
Théorème :
Si

est une application linéaire d'un

-ev

vers un

-ev

et si

est la matrice de

relative à des bases

et

respectivement de

et

alors:
=rg(u))
.
Proposition :
Soient
)
,
)
. Alors

est équivalente à la matrice

définie par:

Remarque :
Proposition :
\in (\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))^{2})
:
=rg(B))
Proposition :
)
:
=rg(A))
2- Opérations élémentaires sur les matrices
Soient
\in (\mathbb{N}-\lbrace 0,1 \rbrace)^{2})
,
On appelle
opérations élémentaires sur les colonnes de 
les transformations suivantes (où

désigne la

colonne de

,

) :
Échange de deux colonnes de

entres elles.
Remplacement d'une colonne

de

par

où

.
Remplacement d'une colonne

de

par

où

et

.
On définit de manière analogue
les opérations élémentaires sur les lignes de 
( qui sont les opérations élémentaires sur les colonnes de la transposée de

).
Proposition :
Soit
)
.
Les opérations élémentaires sur les colonnes et sur les lignes de

conservent le rang de
Exemples :
Opérations effectuées:
Opération 1 :

et
Opération 2 :

Opération effectuée:

et

Remarque :
Les opérations élémentaires doivent être effectuées successivement et non simultanément.
Contre-exemple :

devient, en effectuant

et

:
Simultanément :

(Faux)
Successivement :
3- Méthode de Gauss
Soit
)
.
Si la

ligne de

est nulle, la matrice de
)
obtenue en supprimant dans

la

ligne a le même rang que

. On peut donc supposer que la

ligne de

est non nulle.
Par permutation de colonnes, on se ramène à une matrice de même rang que

, et dont le
^{\text{ème}})
terme est non nul. En multipliant la

colonne par l'inverse de cet élément, on se ramène à une matrice
_{ij})
telle que

.
Pour chaque

de

, le remplacement de la colonne

par

fait apparaître une matrice

, de même rang que

, et dont la

ligne est
)
:
En réitérant le procédé sur la matrice à

lignes et

colonnes située en bas à droite dans

, on arrive, au bout d'un nombre fini d'opérations élémentaires sur les colonnes de

et suppressions d'éventuelles lignes ou colonnes nulles, à une matrice

(qui a donc le même rang que

) de la forme:
Il est clair que, puisque les colonnes de

forment une famille libre, le rang de

est le nombre de colonnes de

(qui n'est pas nécessairement le nombre de colonnes de

)
Utilisation : (Calcul de l'inverse)
Soit
)
. On cherche à calculer

. On effectue pour cela, en suivant la méthode de Gauss :
[puce ]Des opérations élémentaires uniquement sur les lignes ( ou uniquement les colonnes) de

qui transforme

en

.
Ces mêmes opérations à

, la matrice obtenue est

.
Exemple :
On en déduit que :