Ici,
désigne un corps commutatif.
Tous les
-ev considérés sont supposés de dimension finie
I- Généralités
1- Définitions
Soit
Définitions - Notations :
On appelle
matrice à lignes, colonnes et à éléments (ou
coefficients) dans toute application de
dans
.
Une application
est notée sous la forme d'un tableau :
Le couple
est appelé le
format de la matrice
,
est le
nombre de lignes de
, et
est le
nombre de colonnes de
.
Pour
, le terme
située à la
ligne et
colonne s'appelle le
terme (ou
coefficient) de
.
On dit que :
est une matrice
carrée si et seulement si
, on dit alors que
est une matrice
carrée d'ordre .
est une
matrice-colonne (ou
matrice unicolonne) si et seulement si
.
est une
matrice-ligne (ou
matrice uniligne) si et seulement si
.
Si
est carré d'ordre
, les
sont appelés les
éléments diagonaux de
, et
est appelé la
diagonale de
.
On note
l'ensemble des matrices à
lignes,
colonnes, et à éléments dans
.
On note
l'ensemble
des matrices carrées d'ordre
à éléments dans
.
Exemples:
est une matrice carré d'ordre
à coefficients réels,
.
est une matrice carré d'ordre
à coefficients dans
,
.
est une matrice colonne de
.
est une matrice ligne de
.
Définitions :
Soit
.
Pour
:
La matrice ligne
est appelée
la ligne de .
On appelle
vecteur ligne de le vecteur
, c'est un élément de
.
Pour
:
La matrice colonne
est appelée
la colonne de .
On appelle
vecteur colonne de le vecteur
, c'est un élément de
.
2- Opérations sur les matrices
a- Égalité entre deux matrices
L'égalité entre deux matrices est en fait l'égalité entre deux fonctions, par conséquent deux matrices sont égales lorsqu'elles ont la même taille et les mêmes coefficients.
Définition :
Soient
tels que
et
On dit que
et
sont égaux et on note
si et seulement si :
:
b- Addition
Définition :
On appelle
addition dans
la loi interne, notée
, définie par:
et
Remarque :
On ne somme que des matrices de même type.
Exemple :
Proporiétés :
La loi
est :
Associative et commutative.
Admet un élément neutre qui est la matrice de
dont tous les termes sont nuls, on la note
ou plus simplement
et on la nomme
la matrice nulle.
Tout
de
admet un opposé noté
défini par :
Remarque:
L'élément neutre de
sera noté
.
Théorème:
est un groupe abélien
c- Multiplication par un scalaire
Définition :
On appelle multiplication par les scalaires la loi externe
, notée par
ou par absence de symbole, définie par :
,
:
Exemple:
Théorème :
est un
-espace vectoriel
Définition :
Pour
et
, on note
la matrice de
dont le
terme vaut
et tous les autres sont nuls. Les matrices
sont appelées
les matrices élémentaires de
Exemple :
Les matrices élémentaires de
sont :
,
,
et
Les matrices élémentaires de
sont :
,
et
Propostion :
est une base de
, appelée base canonique de
.
, en particulier :
Exemple de manipulation vectorielle :
Soient
,
,
,
On se propose de montrer que la famille
est une base de
.
Il est clair que
.
Il suffit donc de montrer que
est libre .
Soient
tels que :
Matriciellement :
En résolvant le système, on obtient :
Ce qui permet de conclure.
d- Produit
Définition :
Soient
,
.
On appelle produit de
par
, et on note
ou encore par absence de symbole
, la matrice de
définie par :
où :
:
Remarques :
Le produit
n'est possible que si le nombre de colonnes de
est égal au nombre de lignes de
. Le résultat
a alors autant de lignes que
et autant de colonnes que
.
En général
, il se peut même que
soit défini, mais pas
.
Exemples :
n'est pas défini, par contre
Proposition :
Pseudo-distributivité à gauche :
,
:
.
Pseudo-distributivité à droite :
,
:
.
,
,
:
.
Pseudo-associativité :
,
,
:
.
3- La -algèbre des matrices carrées
a- Présentation
Proposition-Définition :
Le produit matriciel
définit une loi de composition interne sur
est une
-algèbre associative, unitaire.
On note
l'élément neutre du produit matriciel.
Remarque :
La
-algèbre
n'est commutative que pour
, dans ce cas, elle est identifiable à
.
Définition :
On dit que deux matrices
et
de
commutent ssi :
.
Remarque :
:
Donc :
commute avec toute matrice de
b- Matrices diagonales et matrices triangulaires
Définition :
Une matrice carrée
est dite
diagonale si et seulement si :
:
On note
l'ensemble des matrices diagonales d'ordre
.
Exemples :
Notation :
On notera
la matrice diagonale de
dont la diagonale est la famille
Exemples :
et
Définition :
Soit la matrice carrée
.
A est dite
triangulaire supérieure (ou:
trigonale supérieure) si et seulement si :
:
On note
l'ensemble des matrices triangulaires supérieures d'ordre
.
A est dite
triangulaire inférieure (ou:
trigonale inférieure) si et seulement si :
:
On note
l'ensemble des matrices triangulaires inférieures d'ordre
.
Exemples :
Théorème :
et
sont des sous-espaces vectoriels de
et
sont des sous-algèbres de la
-algèbre
c- Puissances d'une matrice carrée
Exemple :
Soit
tel que :
calculer
(
)
Par calcul simple,
,
On en déduit que
pour
Montrons maintenant par récurrence que
:
Pour
:
(vérifié)
Supposons que pour
:
et montrons que
Résultat :
Remarque :
Attention :
Théorème :
Soit
tel que
et
commutent, on a alors
(binôme de Newton)
Remarque :
n'implique pas que
ou
Par conséquence,
possède dans
d'autres solutions que
et
Par exemple :
,
Définition :
On dit qu'une matrice
est
idempotente si
.
On dit qu'une matrice
est
nilpotente s'il existe
tel que
.
Exemples :
est idempotente, en effet :
.
est nilpotente.
En effet :
et
Proposition :
Soit
tel que
avec
On a alors :
:
d- Matrices inversibles
Définition :
Une matrice
de
est dite
inversible si et seulement s'il existe
telle que
Si
est inversible, alors
est unique et appelée
inverse de
, et notée
On note
l'ensemble des matrices inversibles de
Exemple :
La matrice
est inversible et :
Proposition :
est un groupe appelé
groupe linéaire d'ordre .
Théorème : (dit d'inversibilité)
Pour
, les propositions suivantes sont équivalantes:
(i) est inversible
(ii) est inversible à droite, ie:
:
(iii) est inversible à gauche ie:
:
De plus si tel est le cas
Remarques :
Pour calculer l'inverse d'une matrice
, on prend les deux matrices colonnes
et
, et on résout le système
, où
est la matrice colonne inconnue (ie. On cherche
,
et
en fonction de
,
et
)
car :
.
Il existe aussi la méthode de
"pivot de Gauss" pour calculer l'inverse d'une matrice, on exposera cette méthode plus tard.
Exemple :
Soit
Soit
et
tels que:
Donc :
Proposition :
Soit
une famille d'éléments dans
et soit la matrice
telle que
. Les propositions suivantes sont équivalentes:
(i) est inversible
(ii) :
De plus, dans ce cas :
Soit la matrice
(respectivement
). On a équivalence entre:
(i) est inversible
(ii) Les coefficients diagonaux de
sont tous non nuls.
De plus, si tel est le cas,
(respectivement
)
4- Transposition
a- Définition et propriétés:
Définition:
Pour toute matrice
de
, on appelle
transposée de
la matrice notée
de
définie par :
(Ainsi le coefficient d'indice
de
est égal au coefficient d'indice
de
)
Remarque :
Les colonnes et lignes de
correspondent respectivement aux lignes et colonnes de
.
Exemple :
, donc :
Proposition :
L'application
est un isomorphisme de
-espaces vectoriels.
Proposition : (Propriétés)
b- Matrices carrées symétriques et antisymétriques
Définitions:
i)
Une matrice
de
est dite
symétrique si et seulement si :
On note
l'ensemble des matrices symétriques d'ordre
à coefficients dans
ii)
Une matrice
de
est dite
antisymétrique si et seulement si :
On note
l'ensemble des matrices antisymétriques d'ordre
à coefficients dans
Proposition :
est un sous-espace vectoriel de
de dimension
est un sous-espace vectoriel de
de dimension
Théorème :
Les sous-espaces vectoriels
et
sont supplémentaires dans
5- Matrices semblables et matrices équivalentes
Définitions :
Soient
,
et
sont dites
équivalentes et on note
si et seulement s'il existe deux matrices inversibles
et
telles que:
.
Soient
,
et
sont dites
semblables et on note
si et seulement s'il existe
inversible telle que :
Proposition :
Les relations
et
sont des relations d'équivalence respectivement dans
et
II- Matrices et applications linéaires
1- Représentations matricielles
a- Matrice colonne des composantes d'un vecteur
Définition :
Soient
un
-ev ,
,
une base de
,
,
les composantes de
dans la base
:
La matrice colonne
s'appelle
la matrice-colonne des composantes de dans , on la note :
Remarques :
Puisque les composantes d'un vecteur dépendent de la base choisie, il est nécessaire de préciser celle-ci.
Toutes les matrices des composantes d'un vecteur appartiennent à
.
Exemples :
Soit dans
, le polynôme
, la matrice-colonne des composantes de
dans la base canonique
est :
Soit dans
, la matrice
, la matrice-colonne de
dans la base canonique
est :
Théorème :
En conservant les notations de la définition; L'application
est un isomorphisme de
-espace vectoriel.
b- Matrice des composantes d'une famille de vecteurs
Définition :
Soient
un
-ev ,
,
une base de
,
,
une famille finie de
éléments de
, et, pour chaque
de
,
les composantes de
dans
:
,
La matrice
de
s'appelle
la matrice de la famille relativement à la base et est notée
ou
Remarque :
Dans le cas
, on retrouve la notion de matrice des composantes d'un vecteur.
Exemples :
Considérons l'espace vectoriel
muni de sa base canonique
Soient
et
quatre vecteurs de
On a :
Soit
un
-ev de dimension
muni d'une base
connue, il est clair que :
c- Matrice d'une application linéaire
Définition :
Soient
.
Pour chaque
de
, notons
les composantes de
dans
:
On appelle
matrice de relativement aux bases et , et on note
, la matrice de
définie par :
Remarque :
Lorsque
, on dit que
est représentée par dans les bases et , ou que
représente dans et
La matrice représentative de
dépend du choix des bases
et
, il est donc nécessaire de préciser celles-ci.
Théorème :
Soient
et
deux
-espaces vectoriels munis respectivement des bases
et
L'application
est un isomorphisme de
-espaces vectoriels.
Définition : (Cas Endomorphisme)
Soient
un
-ev,
,
une base de
,
.
On appelle
matrice de relativement à la base , et on note
, la matrice de
définie par :
Exemples :
Soit
l'application linéaire définie par :
Formons la matrice de f relativement aux bases canoniques
et
respectivement de
et
On a :
On en déduit:
Soit
tel que :
et
la base canonique de
On a :
,
,
Donc :
2- Utilisation du calcul matriciel pour quelques problèmes relatifs aux applications linéaires
a- Image d'un vecteur par une application linéaire - Noyau et image
Théorème :
Soient
et
deux
-espaces vectoriels munis respectivement des bases
et
,
La matrice de
dans les bases
et
est l'unique matrice
vérifiant :
:
avec
et
Définitions :
Soit
On appelle
noyau de
le sev de
noté
, défini par:
On appelle
image de
le sev de
noté
, défini par:
Théorème : (dit de correspondance)
Soient
et
deux
-espaces vectoriels munis respectivement des bases
et
,
,
Il y a correspondance entre
et
et entre
et
Cela veut dire que les éléments de
sont les représentations matricielles des éléments de
et que les éléments de
sont les représentations matricielles de
(relativement aux bases
et
)
Exemple :
Soit
un
-ev muni d'une base
Soit
un endomorphisme de
dont la matrice dans
est :
Soit
On a:
On peut étudier
en étudiant
, c'est-à-dire en résolvant l'équation matricielle
Ainsi,
Donc :
b- Compositions d'applications linéaires
Proposition :
Soient
On a:
Corollaire :
Soit
un
-ev muni d'une base
, on a:
:
:
pour tout
Proposition :
Soient
un
-ev de dimension
muni d'une certaine base
,
,
la représentation matricielle de
dans la base
, on a:
est nilpotant
est nilpotante
est un projecteur
est une symétrie
c- Bijection et inversibilité
Théorème :
Soient
et
deux
-espaces vectoriels de m^eme dimension munis respectivement des bases
et
,
. Les propositions suiventes sont équivalantes:
i- f est un isomorphisme.
ii- A est inversible.
De plus, dans ce cas :
Corollaire :
Soient
un
-espace vectoriel de dimension
muni d'une base
,
. les propositions suivantes sont équivalantes:
i- est un automorphisme
ii-
De plus, si tel est le cas :
Exemple :
Soit
un
-espace vectoriel muni de la base
et soit
un
-espace vectoriel muni de la base
.
Soit
l'application linéaire définie par sa représentation matricielle :
Montrons que
est un isomorphisme, pour cela, on montre que
est inversible.
Soient
et
de
telles que :
Donc :
On en déduit que
est inversible, donc
est bijective.
Déterminons
:
On a:
Donc :
Soit
:
Enfin :
Remarquons que pour montrer que
est bijective, il suffit de montrer que l'équation matrcielle
n'admet que
comme solution, donc le noyau de
est se réduit au vecteur nul, donc
est injective, et par raison de dimension (
),
est bijective. La méthode présentée ci-dessus permet en plus de ça de déterminer
.
d- Quelques endomorphismes particuliers
Proposition : (Homothétie vectorielle)
Soit
un
-ev de dimension
.
Dans toute base de
, la matrice de l'homothétie vectorielle de rapport
est
.
Proposition : (Symétrie et projection)
Soit
un
-ev de dimension
, soient
et
deux sev supplémentaires de
respectivement de dimensions
et
.
La matrice de la projection
sur
parallèlement à
dans une base
adaptée à la supplémentarité de
et
est :
La matrice de la symétrie
sur
parallèlement à
dans une base
adaptée à la supplémentarité de
et
est :
III- Changement de base
1- Matrice de passage
Définition :
Soit
un
-espace vectoriel de dimension
muni de deux bases
et
.
On appelle
matrice de passage de la base à la base la matrice de
notée
ou plus simplement
telle que :
Exemple :
Soit
muni de sa base canonique
La famille
est une base de
(démonstration simple et laissée en exercice)
Ecrivons la matrice de passage
:
On sait que :
Donc :
Proposition :
Soit
un
-espace vectoriel.
Pour toutes bases
de
:
Théorème: (Caractérisation des bases)
Soit
un
-espace vectoriel de dimension
muni d'une base
, et soit
une famille de
vecteurs de
.
Alors
est une base de
si et seulement si
Proposition :
Soit
un
-espace vectoriel de dimension
,
des bases de
. On a:
est inversible et
2- Nouvelles représentations par changement de base
Théorème : (Nouvelles composantes d'un vecteur)
Soient
un
-espace vectoriel de dimension
,
deux bases de
,
,
,
et
.
On a :
et
Théorème : (Nouvelle représentation d'une application linéaire)
Soient
et
deux
-espaces vectoriels,
deux bases de
,
deux bases de
,
,
,
,
et
.
On a :
Théorème : (Nouvelle représentation d'un endomorphisme)
Soient
un
-espace vectoriel,
deux bases de
,
,
,
et
.
On a :
Exemple:
Soit
un
muni d'une base
et soit
définie par :
avec
.
Soit
une famille d'éléments dans
définie par :
.
Il est simple de vérifier que
est libre (laissé en exercice), donc
est une autre base de
.
La matrice de passage P de
à
est donc :
.
Son inverse
peut etre calculé en écrivant les éléments de la base
en fonction des éléments de la base
:
, on a alors:
.
Formons maintenant la matrice de
dans la base
en calculant
,
et
On obtient aisément que:
,
et
(en utilisant le calcul matriciel
:
laissé en exercice)
la matrice de
dans la base
qu'on notera
est alors:
On a, par formule de changement de base :
, ce qui permet le calcul des puissances de la matrice
car:
,
Or,
.
On obtient enfin:
:
3- La trace
a- Trace d'une matrice carrée
Définition :
On appelle trace d'une matrice carrée
le scalaire:
Exemples:
:
Soit
,
Proposition :
Pour toutes matrices carrées
et
de même ordre et pour tous scalaires
:
Autrement dit, l'application
est une forme linéaire invariante par transposition.
Proposition :
:
b- Trace d'un endomorphisme
Définition :
Soient
un
-ev de dimension finie et
La trace de
est la trace d'une matrice représentative de
dans une base quelconque de
En effet, Soient
et
deux bases de
.
Notons,
,
et
On sait que :
On a alors :
Donc, la trace de la matrice représentative de l'endomorphisme
est indépendante de la base choisie.
Théorème :
La trace définit une forme linéaire sur
, vérifiant :
:
IV- Rang d'une matrice
1- Définition et propriétés
Définition :
Soit
. On appelle
rang de
, et on note
le rang de la famille des colonnes de
dans
Théorème :
Si
une famille de vecteurs d'un
-ev
et si
est la matrice de
dans une certaine base
de
alors :
Théorème :
Si
est une application linéaire d'un
-ev
vers un
-ev
et si
est la matrice de
relative à des bases
et
respectivement de
et
alors:
.
Proposition :
Soient
,
. Alors
est équivalente à la matrice
définie par:
Remarque :
Proposition :
:
Proposition :
:
2- Opérations élémentaires sur les matrices
Soient
,
On appelle
opérations élémentaires sur les colonnes de les transformations suivantes (où
désigne la
colonne de
,
) :
Échange de deux colonnes de
entres elles.
Remplacement d'une colonne
de
par
où
.
Remplacement d'une colonne
de
par
où
et
.
On définit de manière analogue
les opérations élémentaires sur les lignes de ( qui sont les opérations élémentaires sur les colonnes de la transposée de
).
Proposition :
Soit
.
Les opérations élémentaires sur les colonnes et sur les lignes de
conservent le rang de
Exemples :
Opérations effectuées:
Opération 1 :
et
Opération 2 :
Opération effectuée:
et
Remarque :
Les opérations élémentaires doivent être effectuées successivement et non simultanément.
Contre-exemple :
devient, en effectuant
et
:
Simultanément :
(Faux)
Successivement :
3- Méthode de Gauss
Soit
.
Si la
ligne de
est nulle, la matrice de
obtenue en supprimant dans
la
ligne a le même rang que
. On peut donc supposer que la
ligne de
est non nulle.
Par permutation de colonnes, on se ramène à une matrice de même rang que
, et dont le
terme est non nul. En multipliant la
colonne par l'inverse de cet élément, on se ramène à une matrice
telle que
.
Pour chaque
de
, le remplacement de la colonne
par
fait apparaître une matrice
, de même rang que
, et dont la
ligne est
:
En réitérant le procédé sur la matrice à
lignes et
colonnes située en bas à droite dans
, on arrive, au bout d'un nombre fini d'opérations élémentaires sur les colonnes de
et suppressions d'éventuelles lignes ou colonnes nulles, à une matrice
(qui a donc le même rang que
) de la forme:
Il est clair que, puisque les colonnes de
forment une famille libre, le rang de
est le nombre de colonnes de
(qui n'est pas nécessairement le nombre de colonnes de
)
Utilisation : (Calcul de l'inverse)
Soit
. On cherche à calculer
. On effectue pour cela, en suivant la méthode de Gauss :
[puce ]Des opérations élémentaires uniquement sur les lignes ( ou uniquement les colonnes) de
qui transforme
en
.
Ces mêmes opérations à
, la matrice obtenue est
.
Exemple :
On en déduit que :