Ici,
![\mathbb {K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb {K})
désigne un corps commutatif.
Tous les
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev considérés sont supposés de dimension finie
I- Généralités
1- Définitions
Soit
Définitions - Notations :
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
On appelle
matrice à
lignes,
colonnes et à éléments (ou
coefficients) dans ![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
toute application de
![\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace)
dans
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
.
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
Une application
![\large\begin{array}{clcl} A : & \lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace &\longrightarrow &\mathbb{K}\\ &(i,j) &\longmapsto &a_{ij}\\ \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\large\begin{array}{clcl} A : & \lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace &\longrightarrow &\mathbb{K}\\ &(i,j) &\longmapsto &a_{ij}\\ \end{array})
est notée sous la forme d'un tableau :
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
Le couple
![(n,p)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(n,p))
est appelé le
format de la matrice
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
,
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
est le
nombre de lignes de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
, et
![p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p)
est le
nombre de colonnes de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
.
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
Pour
![(i,j) \in \lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(i,j) \in \lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace)
, le terme
![a_{ij}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a_{ij})
située à la
![i^{\text ème}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?i^{\text ème})
ligne et
![j^{\text ème}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?j^{\text ème})
colonne s'appelle le
terme (ou
coefficient) de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
.
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
On dit que :
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est une matrice
carrée si et seulement si
![n=p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=p)
, on dit alors que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est une matrice
carrée d'ordre ![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
.
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est une
matrice-colonne (ou
matrice unicolonne) si et seulement si
![p=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p=1)
.
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est une
matrice-ligne (ou
matrice uniligne) si et seulement si
![n=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=1)
.
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
Si
![A=(a_{ij})_{ij}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=(a_{ij})_{ij})
est carré d'ordre
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
, les
![(1\leq i\leq n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(1\leq i\leq n))
sont appelés les
éléments diagonaux de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
, et
![(a_{11},\cdots,a_{nn})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{11},\cdots,a_{nn}))
est appelé la
diagonale de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
.
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
On note
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
l'ensemble des matrices à
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
lignes,
![p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p)
colonnes, et à éléments dans
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
.
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
On note
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
l'ensemble
![\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K}))
des matrices carrées d'ordre
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
à éléments dans
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
.
Exemples:
![A=\begin{pmatrix}1&-5&-\sqrt{3}\\\displaystyle{\frac{1}{2}}&8&-7\\2&-\displaystyle{\frac{7}{2}}&0\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=\begin{pmatrix}1&-5&-\sqrt{3}\\\displaystyle{\frac{1}{2}}&8&-7\\2&-\displaystyle{\frac{7}{2}}&0\end{pmatrix})
est une matrice carré d'ordre
![3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?3)
à coefficients réels,
![A\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}))
.
![B=\begin{pmatrix}i&7+2i&0\\\displaystyle{\frac{1}{2}}i&8&j\\2&-\displaystyle{\frac{5}{9}}&0\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B=\begin{pmatrix}i&7+2i&0\\\displaystyle{\frac{1}{2}}i&8&j\\2&-\displaystyle{\frac{5}{9}}&0\end{pmatrix})
est une matrice carré d'ordre
![3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?3)
à coefficients dans
![\mathbb{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{C})
,
![B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C}))
.
![C=\begin{pmatrix} 1\\\displaystyle{\frac{4}{3}}\\ -\sqrt{5} \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C=\begin{pmatrix} 1\\\displaystyle{\frac{4}{3}}\\ -\sqrt{5} \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix})
est une matrice colonne de
![\mathcal{M}_{5,1}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{5,1}(\mathbb{R}))
.
![D=\begin{pmatrix} 1+2i&\displaystyle{\frac{-9}{7}}& i & -j & 0 \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D=\begin{pmatrix} 1+2i&\displaystyle{\frac{-9}{7}}& i & -j & 0 \end{pmatrix})
est une matrice ligne de
![\mathcal{M}_{1,5}(\mathbb{C})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{1,5}(\mathbb{C}))
.
Définitions :
Soit
![A=(a_{ij})_{1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=(a_{ij})_{1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
.
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
Pour
![k\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace)
:
La matrice ligne
![(a_{k,j})_{1\leq j\leq p}=\begin{pmatrix} a_{k,1}&a_{k,2}& \cdots & a_{k,p} \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{k,j})_{1\leq j\leq p}=\begin{pmatrix} a_{k,1}&a_{k,2}& \cdots & a_{k,p} \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{K}))
est appelée
la
ligne de ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
.
On appelle
vecteur ligne de ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
le vecteur
![(a_{k,1}, \cdots ,a_{k,p})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{k,1}, \cdots ,a_{k,p}))
, c'est un élément de
![\mathbb{K}^p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K}^p)
.
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
Pour
![m\in \lbrace 1,\cdots , p\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?m\in \lbrace 1,\cdots , p\rbrace)
:
La matrice colonne
![(a_{i,m})_{1\leq i\leq n}=\begin{pmatrix} a_{1,m}\\a_{2,m}\\ \vdots \\ a_{n,m} \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{i,m})_{1\leq i\leq n}=\begin{pmatrix} a_{1,m}\\a_{2,m}\\ \vdots \\ a_{n,m} \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}))
est appelée
la
colonne de ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
.
On appelle
vecteur colonne de ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
le vecteur
![(a_{1,m}, \cdots ,a_{n,m})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{1,m}, \cdots ,a_{n,m}))
, c'est un élément de
![\mathbb{K}^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K}^n)
.
2- Opérations sur les matrices
a- Égalité entre deux matrices
L'égalité entre deux matrices est en fait l'égalité entre deux fonctions, par conséquent deux matrices sont égales lorsqu'elles ont la même taille et les mêmes coefficients.
Définition :
Soient
![A,B \in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A,B \in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
tels que
![A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p})
et
On dit que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et
sont égaux et on note
![A=B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=B)
si et seulement si :
![\forall (i,j)\in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (i,j)\in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace)
:
b- Addition
Définition :
On appelle
addition dans
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
la loi interne, notée
![+](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?+)
, définie par:
![\forall (a_{i,j})_{1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p}\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (a_{i,j})_{1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p}\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
et
Remarque :
On ne somme que des matrices de même type.
Exemple :
Proporiétés :
La loi
![+](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?+)
est :
Associative et commutative.
Admet un élément neutre qui est la matrice de
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
dont tous les termes sont nuls, on la note
![O_{n,p}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O_{n,p})
ou plus simplement
![O](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O)
et on la nomme
la matrice nulle.
Tout
![A=(a_{ij})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=(a_{ij}))
de
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
admet un opposé noté
![-A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-A)
défini par :
Remarque:
L'élément neutre de
![O_{n,n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O_{n,n})
sera noté
![O_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O_n)
.
Théorème:
![(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),+)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),+))
est un groupe abélien
c- Multiplication par un scalaire
Définition :
On appelle multiplication par les scalaires la loi externe
![\mathbb{K}\times\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K}\times\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
, notée par
![.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?.)
ou par absence de symbole, définie par :
![\forall \lambda \in\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall \lambda \in\mathbb{K} )
,
![\forall (a_{ij})_{ij} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (a_{ij})_{ij} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
:
![\lambda . (a_{ij})_{ij}=(\lambda. a_{ij})_{ij}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lambda . (a_{ij})_{ij}=(\lambda. a_{ij})_{ij})
Exemple:
Théorème :
![(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),+,.)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),+,.) )
est un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espace vectoriel
Définition :
Pour
![(n,p)\in(\mathbb{N}^{*})^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(n,p)\in(\mathbb{N}^{*})^{2})
et
![(i,j)\in \lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(i,j)\in \lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace)
, on note
![E_{ij}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{ij})
la matrice de
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
dont le
![\displaystyle (i,j)^{ème}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle (i,j)^{ème})
terme vaut
![1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1)
et tous les autres sont nuls. Les matrices
![E_{ij}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{ij})
sont appelées
les matrices élémentaires de
Exemple :
Les matrices élémentaires de
![\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K}))
sont :
![E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix})
,
![E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix})
,
![E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix})
et
Les matrices élémentaires de
![\mathcal{M}_{1,3}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{1,3}(\mathbb{K}))
sont :
![E_{11}=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{11}=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix})
,
![E_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix})
et
Propostion :
![(E_{ij})_{(i,j)\in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_{ij})_{(i,j)\in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, p\rbrace })
est une base de
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
, appelée base canonique de
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
.
![\dim{\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}=np](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dim{\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}=np)
, en particulier :
Exemple de manipulation vectorielle :
Soient
![A_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix})
,
![A_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix})
,
![A_{3}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A_{3}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix})
,
On se propose de montrer que la famille
![(A_i)_{1\leq i\leq 4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(A_i)_{1\leq i\leq 4})
est une base de
![\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}))
.
Il est clair que
![card{(A_i)}_{1\leq i\leq 4}=\dim{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}=4](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?card{(A_i)}_{1\leq i\leq 4}=\dim{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}=4)
.
Il suffit donc de montrer que
![(A_i)_{1\leq i\leq 4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(A_i)_{1\leq i\leq 4})
est libre .
Soient
![\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4} \in\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4} \in\mathbb{R})
tels que :
Matriciellement :
En résolvant le système, on obtient :
Ce qui permet de conclure.
d- Produit
Définition :
Soient
![A=(a_{ij})_{ij} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=(a_{ij})_{ij} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
,
![B=(b_{jk})_{jk}\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B=(b_{jk})_{jk}\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}))
.
On appelle produit de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
par
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
, et on note
![A\times B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\times B)
ou encore par absence de symbole
![AB](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AB)
, la matrice de
![\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K}))
définie par :
![AB=(c_{ik})_{ik}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AB=(c_{ik})_{ik})
où :
![\forall (i,k)\in \in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, q\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (i,k)\in \in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace \times\lbrace 1,\cdots, q\rbrace)
:
![\displaystyle c_{ik}=\sum_{j=1}^{p} a_{ij}b_{jk}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle c_{ik}=\sum_{j=1}^{p} a_{ij}b_{jk})
Remarques :
Le produit
![AB](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AB)
n'est possible que si le nombre de colonnes de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est égal au nombre de lignes de
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
. Le résultat
a alors autant de lignes que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et autant de colonnes que
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
.
En général
![A B \not{=} B A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A B \not{=} B A)
, il se peut même que
![A B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A B)
soit défini, mais pas
![B A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B A)
.
Exemples :
![\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\\0&1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\\0&1\end{pmatrix})
n'est pas défini, par contre
Proposition :
Pseudo-distributivité à gauche :
![\forall A \in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall A \in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
,
![\forall B,C \in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall B,C \in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}))
:
![A(B+C)=AB+AC](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A(B+C)=AB+AC)
.
Pseudo-distributivité à droite :
![\forall A,B \in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall A,B \in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
,
![\forall C \in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall C \in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}))
:
![(A+B)C=AC+BC](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(A+B)C=AC+BC)
.
![\forall \lambda \in\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall \lambda \in\mathbb{K})
,
![\forall A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
,
![\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}))
:
![(\lambda A)B=\lambda(AB)=A(\lambda B)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\lambda A)B=\lambda(AB)=A(\lambda B))
.
Pseudo-associativité :
![\forall A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
,
![\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}))
,
![\forall C\in \mathcal{M}_{q,r}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall C\in \mathcal{M}_{q,r}(\mathbb{K}))
:
![(AB)C=A(BC)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(AB)C=A(BC))
.
3- La
-algèbre
des matrices carrées
a- Présentation
Proposition-Définition :
Le produit matriciel
![\times](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\times)
définit une loi de composition interne sur
![(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,.,\times)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,.,\times))
est une
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-algèbre associative, unitaire.
On note
![I_{n}=\displaystyle\begin{pmatrix}1&&O\\ &\ddots&\\O&&1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_{n}=\displaystyle\begin{pmatrix}1&&O\\ &\ddots&\\O&&1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
l'élément neutre du produit matriciel.
Remarque :
La
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-algèbre
![(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,.,\times)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,.,\times))
n'est commutative que pour
![n=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=1)
, dans ce cas, elle est identifiable à
![(\mathbb{K},+,.,\times)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\mathbb{K},+,.,\times))
.
Définition :
On dit que deux matrices
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
commutent ssi :
![AB=BA](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AB=BA)
.
Remarque :
![\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
:
Donc :
![I_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_n)
commute avec toute matrice de
b- Matrices diagonales et matrices triangulaires
Définition :
Une matrice carrée
![A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
est dite
diagonale si et seulement si :
![\forall (i,j)\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace ^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (i,j)\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace ^{2})
:
On note
![\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K}))
l'ensemble des matrices diagonales d'ordre
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
.
Exemples :
Notation :
On notera
![diag(\alpha_{i})_{1\leq i\leq n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?diag(\alpha_{i})_{1\leq i\leq n})
la matrice diagonale de
![\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K}))
dont la diagonale est la famille
![(\alpha_{i})_{1\leq i\leq n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\alpha_{i})_{1\leq i\leq n})
Exemples :
![I_n=diag(1,1,\cdots,1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_n=diag(1,1,\cdots,1))
et
Définition :
Soit la matrice carrée
![A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
.
A est dite
triangulaire supérieure (ou:
trigonale supérieure) si et seulement si :
![\forall (i,j)\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace ^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (i,j)\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace ^{2})
:
On note
![\mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K}))
l'ensemble des matrices triangulaires supérieures d'ordre
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
.
A est dite
triangulaire inférieure (ou:
trigonale inférieure) si et seulement si :
![\forall (i,j)\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace ^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (i,j)\in \lbrace 1,\cdots , n\rbrace ^{2})
:
On note
![\mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K}))
l'ensemble des matrices triangulaires inférieures d'ordre
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
.
Exemples :
Théorème :
![\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K}) ,\mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K}) ,\mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K}))
et
![\mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K}))
sont des sous-espaces vectoriels de
![\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K}) ,\mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K}) ,\mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K}))
et
![\mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K}))
sont des sous-algèbres de la
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-algèbre
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
c- Puissances d'une matrice carrée
Exemple :
Soit
![A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}))
tel que :
calculer
![A^{n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{n})
(
![\forall n\in \mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall n\in \mathbb{N})
)
Par calcul simple,
![A^{2}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{2}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix})
,
On en déduit que
![A^{k}=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{k}=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix})
pour
Montrons maintenant par récurrence que
![\forall n\in \mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall n\in \mathbb{N})
:
Pour
![n=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=0)
:
![A^{0}=I_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{0}=I_{2})
(vérifié)
Supposons que pour
![n\in\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in\mathbb{N})
:
![A^{n}=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{n}=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix})
et montrons que
Résultat :
Remarque :
Attention :
Théorème :
Soit
![(A,B)\in (\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(A,B)\in (\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2})
tel que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
commutent, on a alors
![\displaystyle (A+B)^{m}=\sum_{k=0}^{m} {m\choose k} A^{k} B^{m-k}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle (A+B)^{m}=\sum_{k=0}^{m} {m\choose k} A^{k} B^{m-k})
(binôme de Newton)
![\displaystyle A^{m}-B^{m}=(A-B)\sum_{k=0}^{m-1} A^{k} B^{m-1-k}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle A^{m}-B^{m}=(A-B)\sum_{k=0}^{m-1} A^{k} B^{m-1-k})
Remarque :
![AB=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AB=0)
n'implique pas que
![A=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=0)
ou
Par conséquence,
![A^{2}=I_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{2}=I_{2})
possède dans
![\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}))
d'autres solutions que
![I_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_{2})
et
Par exemple :
![\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix})
,
Définition :
On dit qu'une matrice
![A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
est
idempotente si
![A^{2}=A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{2}=A)
.
On dit qu'une matrice
![A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
est
nilpotente s'il existe
![m\in\mathbb{N}^{*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?m\in\mathbb{N}^{*})
tel que
![A^{m}=O_{n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{m}=O_{n})
.
Exemples :
![A=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix})
est idempotente, en effet :
![A^{2}=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{2}=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix})
.
![B=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix})
est nilpotente.
En effet :
![B^{2}=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B^{2}=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix})
et
Proposition :
Soit
![A\in\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{D}_{n}(\mathbb{K}))
tel que
![A=diag((x_{i})_{1\leq i\leq n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=diag((x_{i})_{1\leq i\leq n})
avec
On a alors :
![\forall k\in\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall k\in\mathbb{N})
:
![A^{k}=diag((x_{i}^{k})_{1\leq i\leq n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{k}=diag((x_{i}^{k})_{1\leq i\leq n})
d- Matrices inversibles
Définition :
Une matrice
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
est dite
inversible si et seulement s'il existe
![A^{'} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{'} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
telle que
Si
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est inversible, alors
![A^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{'})
est unique et appelée
inverse de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
, et notée
On note
![\mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K}))
l'ensemble des matrices inversibles de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
Exemple :
La matrice
![I_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_n)
est inversible et :
Proposition :
![(\mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K}),\times)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K}),\times))
est un groupe appelé
groupe linéaire d'ordre ![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
.
Théorème : (dit d'inversibilité)
Pour
![A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
, les propositions suivantes sont équivalantes:
(i) ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est inversible
(ii)![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est inversible à droite, ie:
![\exists B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\exists B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
:
(iii) ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est inversible à gauche ie:
![\exists C\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\exists C\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
:
De plus si tel est le cas
![A^{-1}=B=C](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{-1}=B=C)
Remarques :
Pour calculer l'inverse d'une matrice
![A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
, on prend les deux matrices colonnes
![X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}))
et
![Y=\begin{pmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Y=\begin{pmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}))
, et on résout le système
![AX = Y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AX = Y)
, où
![X](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X)
est la matrice colonne inconnue (ie. On cherche
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
,
![y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y)
et
![z](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z)
en fonction de
![x^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^{'})
,
![y^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y^{'})
et
![z^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z^{'})
)
car :
![AX=Y \Longrightarrow X=A^{-1}Y](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AX=Y \Longrightarrow X=A^{-1}Y)
.
Il existe aussi la méthode de
"pivot de Gauss" pour calculer l'inverse d'une matrice, on exposera cette méthode plus tard.
Exemple :
Soit
Soit
![X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix})
et
![Y=\begin{pmatrix}x^{'}\\y^{'}\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Y=\begin{pmatrix}x^{'}\\y^{'}\end{pmatrix})
tels que:
Donc :
Proposition :
Soit
![(a_i)_{1\leq i\leq n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_i)_{1\leq i\leq n})
une famille d'éléments dans
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
et soit la matrice
![A\in \mathcal{D}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in \mathcal{D}_{n}(\mathbb{K}))
telle que
![A=diag(a_{i})_{1\leq i\leq n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=diag(a_{i})_{1\leq i\leq n})
. Les propositions suivantes sont équivalentes:
(i) ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est inversible
(ii) ![\forall i\in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall i\in\lbrace 1,\cdots,n\rbrace)
:
De plus, dans ce cas :
Soit la matrice
![A\in \mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in \mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K}))
(respectivement
![A\in \mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in \mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K}))
). On a équivalence entre:
(i) ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est inversible
(ii) Les coefficients diagonaux de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
sont tous non nuls.
De plus, si tel est le cas,
![A^{-1}\in \mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{-1}\in \mathcal{T}_{n}^{+}(\mathbb{K}))
(respectivement
![A^{-1}\in \mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{-1}\in \mathcal{T}_{n}^{-}(\mathbb{K}))
)
4- Transposition
a- Définition et propriétés:
Définition:
Pour toute matrice
![A=(a_{ij})_{ 1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p}=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=(a_{ij})_{ 1\leq i\leq n , 1\leq j\leq p}=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix})
de
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
, on appelle
transposée de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
la matrice notée
![^t A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?^t A)
de
![\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K}))
définie par :
![^t A =(a_{ij})_{1\leq j\leq p , 1\leq i\leq n}= \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{n1}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{1p}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?^t A =(a_{ij})_{1\leq j\leq p , 1\leq i\leq n}= \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{n1}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{1p}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix} )
(Ainsi le coefficient d'indice
![(j,i)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(j,i))
de
![^t A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?^t A)
est égal au coefficient d'indice
![(i,j)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(i,j))
de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
)
Remarque :
Les colonnes et lignes de
![^{t}A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?^{t}A)
correspondent respectivement aux lignes et colonnes de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
.
Exemple :
![A=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\end{pmatrix})
, donc :
Proposition :
L'application
![\begin{array}{clcl} T : \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\\ M \longmapsto ^{t}M\\ \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{clcl} T : \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\\ M \longmapsto ^{t}M\\ \end{array})
est un isomorphisme de
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espaces vectoriels.
Proposition : (Propriétés)
b- Matrices carrées symétriques et antisymétriques
Définitions:
i)
Une matrice
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
est dite
symétrique si et seulement si :
On note
![\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}))
l'ensemble des matrices symétriques d'ordre
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
à coefficients dans
ii)
Une matrice
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
est dite
antisymétrique si et seulement si :
On note
![\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K}))
l'ensemble des matrices antisymétriques d'ordre
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
à coefficients dans
Proposition :
![\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}))
est un sous-espace vectoriel de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
de dimension
![\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K}))
est un sous-espace vectoriel de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
de dimension
![\dfrac{n(n-1)}{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{n(n-1)}{2})
Théorème :
Les sous-espaces vectoriels
![\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K}))
et
![\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K}))
sont supplémentaires dans
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
5- Matrices semblables et matrices équivalentes
Définitions :
Soient
![A,B \in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A,B \in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
,
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
sont dites
équivalentes et on note
![A eq B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A eq B)
si et seulement s'il existe deux matrices inversibles
![P\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
et
![Q\in\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Q\in\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K}))
telles que:
![A=PBQ](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=PBQ)
.
Soient
![A,B \in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A,B \in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
,
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
sont dites
semblables et on note
![A\sim B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\sim B)
si et seulement s'il existe
![P\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
inversible telle que :
![A=PBP^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=PBP^{-1})
Proposition :
Les relations
![eq](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?eq)
et
![\sim](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\sim)
sont des relations d'équivalence respectivement dans
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
et
II- Matrices et applications linéaires
1- Représentations matricielles
a- Matrice colonne des composantes d'un vecteur
Définition :
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev ,
![n=\dim{(E)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=\dim{(E)})
,
![\mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{n})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{n}))
une base de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
,
![x\in E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in E)
,
![(x_{1},\cdots,x_{n})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x_{1},\cdots,x_{n}))
les composantes de
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
dans la base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
:
La matrice colonne
![\begin{pmatrix} x_{1}\\x_{2} \\ \vdots \\x_{n} \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{pmatrix} x_{1}\\x_{2} \\ \vdots \\x_{n} \end{pmatrix})
s'appelle
la matrice-colonne des composantes de
dans ![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
, on la note :
![Mat_{\mathcal{B}}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(x))
Remarques :
Puisque les composantes d'un vecteur dépendent de la base choisie, il est nécessaire de préciser celle-ci.
Toutes les matrices des composantes d'un vecteur appartiennent à
![\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}))
.
Exemples :
Soit dans
![\mathbb{R}_{3}[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}_{3}[X])
, le polynôme
![P=2X^{3}+8X+3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P=2X^{3}+8X+3)
, la matrice-colonne des composantes de
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
dans la base canonique
![\mathcal{B}=(1,X,X^{2},X^{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(1,X,X^{2},X^{3}))
est :
Soit dans
![\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}))
, la matrice
![A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\2&-3&5\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\2&-3&5\end{pmatrix})
, la matrice-colonne de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
dans la base canonique
![\mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{13},E_{21},E_{22},E_{23})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{13},E_{21},E_{22},E_{23}))
est :
Théorème :
En conservant les notations de la définition; L'application
![\begin{array}{clcl} M_{\mathcal{B}} : E \longrightarrow \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\\ x \longmapsto Mat_{\mathcal{B}}(x)\\ \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{clcl} M_{\mathcal{B}} : E \longrightarrow \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\\ x \longmapsto Mat_{\mathcal{B}}(x)\\ \end{array})
est un isomorphisme de
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espace vectoriel.
b- Matrice des composantes d'une famille de vecteurs
Définition :
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev ,
![n=\dim{(E)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=\dim{(E)})
,
![\mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{n})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{n}))
une base de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
,
![p \in\mathbb{N}^{*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p \in\mathbb{N}^{*})
,
![\mathcal{F}=(V_{1},\cdots, V_{p})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{F}=(V_{1},\cdots, V_{p}))
une famille finie de
![p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p)
éléments de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
, et, pour chaque
![j](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?j)
de
![\lbrace 1,\cdots , p\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lbrace 1,\cdots , p\rbrace)
,
![(a_{1j},\cdots,a_{nj})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{1j},\cdots,a_{nj}))
les composantes de
![V_{j}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_{j})
dans
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
:
![\forall j\in\lbrace 1,\cdots , p\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall j\in\lbrace 1,\cdots , p\rbrace)
,
La matrice
![(a_{ij})_{1\leq i\leq n , 1\leq j \leq p } = \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{ij})_{1\leq i\leq n , 1\leq j \leq p } = \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix})
de
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
s'appelle
la matrice de la famille
relativement à la base ![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et est notée
![Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{F})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{F}))
ou
![Mat_{\mathcal{B}}(V_{1},\cdots, V_{p})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(V_{1},\cdots, V_{p}))
Remarque :
Dans le cas
![p=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p=1)
, on retrouve la notion de matrice des composantes d'un vecteur.
Exemples :
Considérons l'espace vectoriel
![\mathbb{R}^{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^{3})
muni de sa base canonique
Soient
![x_{1}=(1,2,3), x_{2}=(2,0,1), x_{3}=(1,0,-1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x_{1}=(1,2,3), x_{2}=(2,0,1), x_{3}=(1,0,-1))
et
![x_{4}=(-1,1,1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x_{4}=(-1,1,1))
quatre vecteurs de
On a :
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
muni d'une base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
connue, il est clair que :
c- Matrice d'une application linéaire
Définition :
Soient
![\begin{cases} E,F \text{deux} \mathbb{K}-ev, p=\dim{(E)}, n=\dim{(F)} \\ \mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{p}) \text{une base de } E , \mathcal{C}=(f_{1},\cdots,f_{n}) \text{une base de } F \\f\in\mathcal{L}(E,F) \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \begin{cases} E,F \text{deux} \mathbb{K}-ev, p=\dim{(E)}, n=\dim{(F)} \\ \mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{p}) \text{une base de } E , \mathcal{C}=(f_{1},\cdots,f_{n}) \text{une base de } F \\f\in\mathcal{L}(E,F) \end{cases})
.
Pour chaque
![j](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?j)
de
![\lbrace 1,\cdots , p \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lbrace 1,\cdots , p \rbrace)
, notons
![(a_{1j},\cdots,a_{nj})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(a_{1j},\cdots,a_{nj}))
les composantes de
![f(e_{j})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(e_{j}))
dans
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
:
On appelle
matrice de
relativement aux bases
et ![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
, et on note
![Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f))
, la matrice de
![\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
définie par :
![Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)= (a_{ij})_{1\leq i\leq n , 1\leq j \leq p } = \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)= (a_{ij})_{1\leq i\leq n , 1\leq j \leq p } = \begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{np} \end{pmatrix})
Remarque :
Lorsque
![A=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f))
, on dit que
est représentée par
dans les bases
et ![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
, ou que
représente
dans
et
La matrice représentative de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
dépend du choix des bases
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
, il est donc nécessaire de préciser celles-ci.
Théorème :
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espaces vectoriels munis respectivement des bases
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
L'application
![\begin{array}{clcl} M_{\mathcal{B},\mathcal{C}} : \mathcal{L}(E,F) \longrightarrow \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\\ u \longmapsto Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\\ \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{clcl} M_{\mathcal{B},\mathcal{C}} : \mathcal{L}(E,F) \longrightarrow \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\\ u \longmapsto Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\\ \end{array})
est un isomorphisme de
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espaces vectoriels.
Définition : (Cas Endomorphisme)
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev,
![n=\dim{(E)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=\dim{(E)})
,
![\mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{n})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{n}))
une base de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
,
![f\in\mathcal{L}(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f\in\mathcal{L}(E))
.
On appelle
matrice de
relativement à la base ![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
, et on note
![Mat_{\mathcal{B}}(f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(f))
, la matrice de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
définie par :
![Mat_{\mathcal{B}}(f)=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{B}}(f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(f)=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{B}}(f))
Exemples :
Soit
![f : \mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f : \mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{2})
l'application linéaire définie par :
Formons la matrice de f relativement aux bases canoniques
![\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3}))
et
![\mathcal{B}^{'}=(u_{1},u_{2})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}^{'}=(u_{1},u_{2}))
respectivement de
![\mathbb{R}^{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}^{3})
et
On a :
On en déduit:
Soit
![f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{3}))
tel que :
![f(x,y,z)=(y+z;z+x,x+y)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x,y,z)=(y+z;z+x,x+y))
et
![\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3}))
la base canonique de
On a :
![f(e_{1})=(0,1,1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(e_{1})=(0,1,1))
,
![f(e_{2})=(1,0,1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(e_{2})=(1,0,1))
,
Donc :
2- Utilisation du calcul matriciel pour quelques problèmes relatifs aux applications linéaires
a- Image d'un vecteur par une application linéaire - Noyau et image
Théorème :
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espaces vectoriels munis respectivement des bases
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
,
La matrice de
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
dans les bases
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
est l'unique matrice
![A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
vérifiant :
![\forall y\in F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall y\in F)
:
![y=u(x) \Longleftrightarrow Y=AX](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y=u(x) \Longleftrightarrow Y=AX)
avec
![X=Mat_{\mathcal{B}}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X=Mat_{\mathcal{B}}(x))
et
![Y=Mat_{\mathcal{C}}(y)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Y=Mat_{\mathcal{C}}(y))
Définitions :
Soit
On appelle
noyau de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
le sev de
![\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}))
noté
![Ker(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Ker(A))
, défini par:
On appelle
image de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
le sev de
![\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}))
noté
![Im(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Im(A))
, défini par:
![Im(A)=\lbrace Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}) , \exists X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}) , Y= AX\rbrace = \lbrace AX , X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Im(A)=\lbrace Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}) , \exists X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K}) , Y= AX\rbrace = \lbrace AX , X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})\rbrace)
Théorème : (dit de correspondance)
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espaces vectoriels munis respectivement des bases
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
,
![u\in\mathcal{L}(E,F)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u\in\mathcal{L}(E,F))
,
Il y a correspondance entre
![Ker(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Ker(u))
et
![Ker(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Ker(A))
et entre
![Im(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Im(A))
et
![Im(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Im(u))
Cela veut dire que les éléments de
![Ker(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Ker(A))
sont les représentations matricielles des éléments de
![Ker(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Ker(u))
et que les éléments de
![Im(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Im(A))
sont les représentations matricielles de
![Im(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Im(u))
(relativement aux bases
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
)
Exemple :
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R})
-ev muni d'une base
Soit
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
un endomorphisme de
![\mathcal{L}(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{L}(E))
dont la matrice dans
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
est :
Soit
On a:
On peut étudier
![Ker(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Ker(u))
en étudiant
![Ker(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Ker(A))
, c'est-à-dire en résolvant l'équation matricielle
Ainsi,
Donc :
b- Compositions d'applications linéaires
Proposition :
Soient
On a:
![Mat_{\mathcal{B},\mathcal{D}}(gof)=(Mat_{\mathcal{C},\mathcal{D}}(g)) (Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f))](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B},\mathcal{D}}(gof)=(Mat_{\mathcal{C},\mathcal{D}}(g)) (Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)) )
Corollaire :
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev muni d'une base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
, on a:
![\forall f,g\in\mathcal{L}(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall f,g\in\mathcal{L}(E))
:
![\forall f\in\mathcal{L}(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall f\in\mathcal{L}(E))
:
![Mat_{\mathcal{B}}(f^{m})=(Mat_{\mathcal{B}}(f))^{m}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(f^{m})=(Mat_{\mathcal{B}}(f))^{m} )
pour tout
Proposition :
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
muni d'une certaine base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
,
![f\in\mathcal{L}(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f\in\mathcal{L}(E))
,
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
la représentation matricielle de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
dans la base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
, on a:
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est nilpotant
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est nilpotante
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est un projecteur
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une symétrie
![A^{2}=I_{n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{2}=I_{n})
c- Bijection et inversibilité
Théorème :
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espaces vectoriels de m^eme dimension munis respectivement des bases
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
,
![f\in\mathcal{L}(E,F), A=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f\in\mathcal{L}(E,F), A=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f))
. Les propositions suiventes sont équivalantes:
i- f est un isomorphisme.
ii- A est inversible.
De plus, dans ce cas :
![Mat_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(f^{-1})=A^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(f^{-1})=A^{-1})
Corollaire :
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espace vectoriel de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
muni d'une base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
,
![f\in\mathcal{L}(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f\in\mathcal{L}(E))
. les propositions suivantes sont équivalantes:
i- ![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est un automorphisme
ii-
De plus, si tel est le cas :
![Mat_{\mathcal{B}}(f^{-1})=[Mat_{\mathcal{B}}(f)]^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(f^{-1})=[Mat_{\mathcal{B}}(f)]^{-1})
Exemple :
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R})
-espace vectoriel muni de la base
![\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3}))
et soit
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
un
![\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R})
-espace vectoriel muni de la base
![\mathcal{C}=(u_{1},u_{2},u_{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}=(u_{1},u_{2},u_{3}))
.
Soit
![f:E\rightarrow F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f:E\rightarrow F)
l'application linéaire définie par sa représentation matricielle :
Montrons que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est un isomorphisme, pour cela, on montre que
![Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f))
est inversible.
Soient
![X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{pmatrix})
et
![Y=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3} \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Y=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3} \end{pmatrix})
de
![\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}))
telles que :
Donc :
On en déduit que
![Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f))
est inversible, donc
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est bijective.
Déterminons
![f^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f^{-1})
:
On a:
Donc :
Soit
![(x,y,z)\in F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x,y,z)\in F)
:
Enfin :
Remarquons que pour montrer que
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est bijective, il suffit de montrer que l'équation matrcielle
![Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)\text{. }X=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)\text{. }X=0)
n'admet que
![X=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X=0)
comme solution, donc le noyau de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est se réduit au vecteur nul, donc
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est injective, et par raison de dimension (
![dim(E)=dim(F)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?dim(E)=dim(F))
),
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est bijective. La méthode présentée ci-dessus permet en plus de ça de déterminer
![f^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f^{-1})
.
d- Quelques endomorphismes particuliers
Proposition : (Homothétie vectorielle)
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
.
Dans toute base de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
, la matrice de l'homothétie vectorielle de rapport
![a\in\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\in\mathbb{K})
est
![aI_{n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?aI_{n})
.
Proposition : (Symétrie et projection)
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
, soient
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
et
![G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G)
deux sev supplémentaires de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
respectivement de dimensions
![r](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r)
et
![n-r](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n-r)
.
La matrice de la projection
![p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p)
sur
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
parallèlement à
![G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G)
dans une base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
adaptée à la supplémentarité de
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
et
![G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G)
est :
La matrice de la symétrie
![s](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?s)
sur
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
parallèlement à
![G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G)
dans une base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
adaptée à la supplémentarité de
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
et
![G](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G)
est :
![Mat_{\mathcal{B}}(s)=\begin{pmatrix}I_{r}&O\\O&-I_{n-r}\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(s)=\begin{pmatrix}I_{r}&O\\O&-I_{n-r}\end{pmatrix})
III- Changement de base
1- Matrice de passage
Définition :
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espace vectoriel de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
muni de deux bases
![\mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{n})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(e_{1},\cdots,e_{n}))
et
![\mathcal{B}^{'}=(e_{1}^{'},\cdots,e_{n}^{'})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}^{'}=(e_{1}^{'},\cdots,e_{n}^{'}))
.
On appelle
matrice de passage de la base
à la base ![\mathcal{B}^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}^{'})
la matrice de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
notée
![P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}})
ou plus simplement
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
telle que :
![P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B}^{'})= Mat_{\mathcal{B}}(e_{1}^{'},\cdots,e_{n}^{'})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B}^{'})= Mat_{\mathcal{B}}(e_{1}^{'},\cdots,e_{n}^{'}))
Exemple :
Soit
![E=\mathbb{R}_{3}[X]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E=\mathbb{R}_{3}[X])
muni de sa base canonique
La famille
![\mathcal{C}=(1,1+X,(1+X)^{2},(1+X)^{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}=(1,1+X,(1+X)^{2},(1+X)^{3}))
est une base de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
(démonstration simple et laissée en exercice)
Ecrivons la matrice de passage
![P_{\mathcal{B},\mathcal{C}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P_{\mathcal{B},\mathcal{C}})
:
On sait que :
Donc :
Proposition :
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espace vectoriel.
Pour toutes bases
![\mathcal{B}, \mathcal{B}^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}, \mathcal{B}^{'})
de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
:
![P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}=Mat_{\mathcal{B}^{'}\mathcal{B}}(Id_{E})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}=Mat_{\mathcal{B}^{'}\mathcal{B}}(Id_{E}))
Théorème: (Caractérisation des bases)
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espace vectoriel de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
muni d'une base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
, et soit
![\mathcal{B}^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}^{'})
une famille de
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
vecteurs de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
Alors
![\mathcal{B}^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}^{'})
est une base de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
si et seulement si
![P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}} \in\mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}} \in\mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K}))
Proposition :
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espace vectoriel de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
,
![\mathcal{B}, \mathcal{B}^{'}, \mathcal{B}^{''}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}, \mathcal{B}^{'}, \mathcal{B}^{''})
des bases de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
. On a:
![P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}})
est inversible et
![[P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}]^{-1}=P_{\mathcal{B}^{'}\mathcal{B}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[P_{\mathcal{B}\mathcal{B}^{'}}]^{-1}=P_{\mathcal{B}^{'}\mathcal{B}})
2- Nouvelles représentations par changement de base
Théorème : (Nouvelles composantes d'un vecteur)
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espace vectoriel de dimension
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
,
![\mathcal{B},\mathcal{B}^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B},\mathcal{B}^{'})
deux bases de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
,
![x\in E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in E)
,
![X=Mat_{\mathcal{B}}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X=Mat_{\mathcal{B}}(x))
,
![X^{'}=Mat_{\mathcal{B^{'}}}(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X^{'}=Mat_{\mathcal{B^{'}}}(x))
et
![P=X=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B^{'}})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P=X=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B^{'}}))
.
On a :
![X=PX^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X=PX^{'})
et
![X^{'}=PX](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?X^{'}=PX)
Théorème : (Nouvelle représentation d'une application linéaire)
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
deux
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espaces vectoriels,
![\mathcal{B},\mathcal{B}^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B},\mathcal{B}^{'})
deux bases de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
,
![\mathcal{C},\mathcal{C}^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C},\mathcal{C}^{'})
deux bases de
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
,
![u\in \mathcal{L}(E,F)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u\in \mathcal{L}(E,F))
,
![A=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u))
,
![A^{'}=Mat_{\mathcal{B^{'}},\mathcal{C^{'}}}(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{'}=Mat_{\mathcal{B^{'}},\mathcal{C^{'}}}(u))
,
![P=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B^{'}})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B^{'}}))
et
![Q=Mat_{\mathcal{C}}(\mathcal{C^{'}})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Q=Mat_{\mathcal{C}}(\mathcal{C^{'}}))
.
On a :
![A^{'}=Q^{-1}AP](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{'}=Q^{-1}AP)
Théorème : (Nouvelle représentation d'un endomorphisme)
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-espace vectoriel,
![\mathcal{B},\mathcal{B}^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B},\mathcal{B}^{'})
deux bases de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
,
![u\in \mathcal{L}(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u\in \mathcal{L}(E))
,
![A=Mat_{\mathcal{B}}(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=Mat_{\mathcal{B}}(u))
,
![A^{'}=Mat_{\mathcal{B^{'}}}(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{'}=Mat_{\mathcal{B^{'}}}(u))
et
![P=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B^{'}})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B^{'}}))
.
On a :
![A^{'}=P^{-1}AP](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{'}=P^{-1}AP)
Exemple:
Soit
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{R}-ev](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}-ev)
muni d'une base
![\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3}))
et soit
![f\in\mathcal{L}(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f\in\mathcal{L}(E))
définie par :
![Mat_{\mathcal{B}}(f)=A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Mat_{\mathcal{B}}(f)=A)
avec
![A=\begin{pmatrix}2&1&1\\-3&-2&-1\\3&5&4 \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=\begin{pmatrix}2&1&1\\-3&-2&-1\\3&5&4 \end{pmatrix})
.
Soit
![\mathcal{C}=(u_{1},u_{2},u_{3})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C}=(u_{1},u_{2},u_{3}))
une famille d'éléments dans
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
définie par :
![\begin{cases}u_{1}=-e_{2}+e_{3} \\ u_{2}=e_{1}-e_{2}+e_{3} \\u_{3}=-e_{1}+e_{2}-2e_{3} \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases}u_{1}=-e_{2}+e_{3} \\ u_{2}=e_{1}-e_{2}+e_{3} \\u_{3}=-e_{1}+e_{2}-2e_{3} \end{cases})
.
Il est simple de vérifier que
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
est libre (laissé en exercice), donc
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
est une autre base de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
La matrice de passage P de
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
à
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
est donc :
![P=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{C})=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&-1&1\\1&1&-2 \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{C})=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&-1&1\\1&1&-2 \end{pmatrix})
.
Son inverse
![P^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P^{-1})
peut etre calculé en écrivant les éléments de la base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
en fonction des éléments de la base
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
:
![\begin{cases}e_{1}=-u_{1}+u_{2} \\ e_{2}=-u_{1}-u_{2}-u_{3} \\e_{3}=-u_{2}-u_{3} \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases}e_{1}=-u_{1}+u_{2} \\ e_{2}=-u_{1}-u_{2}-u_{3} \\e_{3}=-u_{2}-u_{3} \end{cases})
, on a alors:
![P^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\1&-1&-1\\0&-1&-1 \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\1&-1&-1\\0&-1&-1 \end{pmatrix})
.
Formons maintenant la matrice de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
dans la base
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
en calculant
![f(u_{1})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(u_{1}))
,
![f(u_{2})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(u_{2}))
et
On obtient aisément que:
![f(u_{1})=-u_{1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(u_{1})=-u_{1})
,
![f(u_{2})=2u_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(u_{2})=2u_{2})
et
![f(u_{3})=3u_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(u_{3})=3u_{3})
(en utilisant le calcul matriciel
![Y=AX](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Y=AX)
:
laissé en exercice)
la matrice de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
dans la base
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
qu'on notera
![D](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D)
est alors:
On a, par formule de changement de base :
![A=PDP^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=PDP^{-1})
, ce qui permet le calcul des puissances de la matrice
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
car:
![\forall n\in\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall n\in\mathbb{N})
,
Or,
![D^{n} = (diag(-1,2,3))^{n}=diag((-1)^{n},2^{n},3^{n})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?D^{n} = (diag(-1,2,3))^{n}=diag((-1)^{n},2^{n},3^{n}))
.
On obtient enfin:
![\forall n\in\mathbb{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall n\in\mathbb{N})
:
3- La trace
a- Trace d'une matrice carrée
Définition :
On appelle trace d'une matrice carrée
![A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))
le scalaire:
![tr(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ii}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?tr(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ii})
Exemples:
![\forall n\in\mathbb{N}^{*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall n\in\mathbb{N}^{*})
:
Soit
![A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\-1&3&1\\1&0&-2 \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=\begin{pmatrix}2&1&-1\\-1&3&1\\1&0&-2 \end{pmatrix})
,
Proposition :
Pour toutes matrices carrées
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et
![B](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?B)
de même ordre et pour tous scalaires
![a,b \in\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a,b \in\mathbb{K})
:
Autrement dit, l'application
![tr: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?tr: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K})
est une forme linéaire invariante par transposition.
Proposition :
![\forall (A,B)\in (\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (A,B)\in (\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2})
:
![A\sim B \Longrightarrow tr(A)=tr(B)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\sim B \Longrightarrow tr(A)=tr(B))
b- Trace d'un endomorphisme
Définition :
Soient
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev de dimension finie et
La trace de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est la trace d'une matrice représentative de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
dans une base quelconque de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
En effet, Soient
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
![\mathcal{B^{'}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B^{'}})
deux bases de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
Notons,
![P=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B^{'}})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P=Mat_{\mathcal{B}}(\mathcal{B^{'}}))
,
![A=Mat_{\mathcal{B}}(f)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A=Mat_{\mathcal{B}}(f))
et
On sait que :
On a alors :
Donc, la trace de la matrice représentative de l'endomorphisme
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est indépendante de la base choisie.
Théorème :
La trace définit une forme linéaire sur
![\mathcal{L}(E)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{L}(E))
, vérifiant :
![\forall (f,g)\in(\mathcal{L}(E))^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (f,g)\in(\mathcal{L}(E))^{2})
:
IV- Rang d'une matrice
1- Définition et propriétés
Définition :
Soit
![A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
. On appelle
rang de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
, et on note
![rg(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?rg(A))
le rang de la famille des colonnes de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
dans
Théorème :
Si
![\mathcal{F}=(x_{1},\cdots, x_{p})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{F}=(x_{1},\cdots, x_{p}))
une famille de vecteurs d'un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et si
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est la matrice de
![\mathcal{F}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{F})
dans une certaine base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
alors :
Théorème :
Si
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
est une application linéaire d'un
![\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{K})
-ev
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
vers un
![K](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K)
-ev
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
et si
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est la matrice de
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
relative à des bases
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
![\mathcal{C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{C})
respectivement de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
et
![F](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F)
alors:
![rg(A)=rg(u)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?rg(A)=rg(u))
.
Proposition :
Soient
![A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
,
![r=rg(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r=rg(A))
. Alors
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est équivalente à la matrice
![J_{n,p,r}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J_{n,p,r})
définie par:
![J_{n,p,r}=\begin{pmatrix}I_{r}&O_{r,p-r}\\O_{n-r,r}&O_{n-r,p-r} \end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J_{n,p,r}=\begin{pmatrix}I_{r}&O_{r,p-r}\\O_{n-r,r}&O_{n-r,p-r} \end{pmatrix})
Remarque :
Proposition :
![\forall (A,B)\in (\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (A,B)\in (\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))^{2})
:
![AeqB\Longleftrightarrow rg(A)=rg(B)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AeqB\Longleftrightarrow rg(A)=rg(B))
Proposition :
![\forall A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
:
![rg(^{t}A)=rg(A)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?rg(^{t}A)=rg(A))
2- Opérations élémentaires sur les matrices
Soient
![(n,p)\in (\mathbb{N}-\lbrace 0,1 \rbrace)^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(n,p)\in (\mathbb{N}-\lbrace 0,1 \rbrace)^{2})
,
On appelle
opérations élémentaires sur les colonnes de ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
les transformations suivantes (où
![C_{j}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C_{j})
désigne la
![j^{\text{ème}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?j^{\text{ème}})
colonne de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
,
![1\leq j\leq p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1\leq j\leq p)
) :
Échange de deux colonnes de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
entres elles.
Remplacement d'une colonne
![C_{j}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C_{j})
de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
par
![aC_{j}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?aC_{j})
où
![a\in\mathbb{K}^{*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\in\mathbb{K}^{*})
.
Remplacement d'une colonne
![C_{j}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C_{j})
de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
par
![C_{j}+aC_{k}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C_{j}+aC_{k})
où
![a\in\mathbb{K}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a\in\mathbb{K})
et
![k\in\lbrace 1,\cdots,p\rbrace -\lbrace j \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k\in\lbrace 1,\cdots,p\rbrace -\lbrace j \rbrace)
.
On définit de manière analogue
les opérations élémentaires sur les lignes de ![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
( qui sont les opérations élémentaires sur les colonnes de la transposée de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
).
Proposition :
Soit
![A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
.
Les opérations élémentaires sur les colonnes et sur les lignes de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
conservent le rang de
Exemples :
Opérations effectuées:
Opération 1 :
![L_{2}\longrightarrow L_{2}-L_{1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?L_{2}\longrightarrow L_{2}-L_{1})
et
Opération 2 :
![L_{3}\longrightarrow L_{3}+L_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?L_{3}\longrightarrow L_{3}+L_{2})
Opération effectuée:
![C_{2}\longrightarrow C_{2}-C_{1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C_{2}\longrightarrow C_{2}-C_{1})
et
![C_{3}\longrightarrow C_{3}-C_{1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C_{3}\longrightarrow C_{3}-C_{1})
Remarque :
Les opérations élémentaires doivent être effectuées successivement et non simultanément.
Contre-exemple :
![I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix})
devient, en effectuant
![L_{1} \longrightarrow L_{1}+L_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?L_{1} \longrightarrow L_{1}+L_{2})
et
![L_{2}\longrightarrow L_{2}+L_{1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?L_{2}\longrightarrow L_{2}+L_{1})
:
Simultanément :
![\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix})
(Faux)
Successivement :
3- Méthode de Gauss
Soit
![A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}))
.
Si la
![1^{\text{ère}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1^{\text{ère}})
ligne de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est nulle, la matrice de
![\mathcal{M}_{n-1,p}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n-1,p}(\mathbb{K}))
obtenue en supprimant dans
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
la
![1^{\text{ère}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1^{\text{ère}})
ligne a le même rang que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
. On peut donc supposer que la
![1^{\text{ère}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1^{\text{ère}})
ligne de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est non nulle.
Par permutation de colonnes, on se ramène à une matrice de même rang que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
, et dont le
![(1,1)^{\text{ème}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(1,1)^{\text{ème}})
terme est non nul. En multipliant la
![1^{\text{ère}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1^{\text{ère}})
colonne par l'inverse de cet élément, on se ramène à une matrice
![A_{1}=(a_{ij})_{ij}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A_{1}=(a_{ij})_{ij})
telle que
![a_{11}=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a_{11}=1)
.
Pour chaque
![j](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?j)
de
![\lbrace 2,\cdots, p \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lbrace 2,\cdots, p \rbrace)
, le remplacement de la colonne
![C_{j}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C_{j})
par
![C_{j}-a_{1j}C_{1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C_{j}-a_{1j}C_{1})
fait apparaître une matrice
![A_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A_{2})
, de même rang que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
, et dont la
![1^{\text{ère}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1^{\text{ère}})
ligne est
![(1,0,\cdots,0)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(1,0,\cdots,0))
:
En réitérant le procédé sur la matrice à
![n-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n-1)
lignes et
![p-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p-1)
colonnes située en bas à droite dans
![A_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A_{2})
, on arrive, au bout d'un nombre fini d'opérations élémentaires sur les colonnes de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et suppressions d'éventuelles lignes ou colonnes nulles, à une matrice
![R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?R)
(qui a donc le même rang que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
) de la forme:
Il est clair que, puisque les colonnes de
![R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?R)
forment une famille libre, le rang de
![R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?R)
est le nombre de colonnes de
![R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?R)
(qui n'est pas nécessairement le nombre de colonnes de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
)
Utilisation : (Calcul de l'inverse)
Soit
![A\in \mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in \mathcal{GL}_{n}(\mathbb{K}))
. On cherche à calculer
![A^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{-1})
. On effectue pour cela, en suivant la méthode de Gauss :
[puce ]Des opérations élémentaires uniquement sur les lignes ( ou uniquement les colonnes) de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
qui transforme
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
en
![I_{n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_{n})
.
Ces mêmes opérations à
![I_{n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_{n})
, la matrice obtenue est
![A^{-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{-1})
.
Exemple :
On en déduit que :