Fiche de mathématiques
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Matrices de rang 1

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Cherchons une méthode simple pour réduire toutes les matrices d'ordre n > 1, et de rang 1. Le corps de base sera K = \mathbb{R} ou \mathbb{C}. Nous poserons A = Mat(f, B0) où B0 = (a1, ... , an) désigne la base canonique de Kn.

I. Forme générale de A

Rg(A) = 1 signifie que toutes les colonnes de A : C1, ... , Cn sont liées et non toutes nulles puisque A \neq O. On peut donc écrire que A = (v1U, ... , vnU) où les vj sont des scalaires non nuls et U = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\...\\u_n\end{pmatrix}.
En posant V = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ ... \\v_n\end{pmatrix}, on voit que : A = U. t(V). U et V sont deux vecteurs non nuls et (A)ij = uivj.


II. Calcul de A2

L'associativité et le fait que tX.Y soit un scalaire rendent le calcul de A2 particulièrement simple.
A2 = UtVUtV = (tVU)UtV = \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n \text{u}_i \text{v}_i\right)A = tr(A) A. D'où le résultat très intéressant : A2 = tr(A).A
On remarque de suite qu'il faudra distinguer les cas tr(A) nul ou non.


III. tr(A) non nulle

Dans ce cas, P(X) = X2 - tr(A)X est un polynôme annulateur de A. Comme A est ni nulle ni égale à tr(A)In, on peut dire que P(X) est le polynôme minimal de A. Comme il est scindé à racines simples, A est diagonalisable. Passons aux éléments propres.

    a) Le sous-espace associé à la valeur propre 0 est H = Ker(A) qui est un hyperplan de Kn. (rg(A) = 1).
\text{AX} = O \Longleftrightarrow \text{U}^t\text{VX} = O \Longleftrightarrow (^t\text{VX})\text{U} = O \Longleftrightarrow \left(\displaystyle \sum_{i=1}^nv_ix_i\right)\text{U} = O \Longleftrightarrow \displaystyle \sum_{i=1}^n v_ix_i = 0
On dispose ainsi de l'équation de l'hyperplan H.

    b) Le sous-espace propre associé à la valeur propre tr(A), que nous nommerons D, est une droite vectorielle. Cherchons une base de D. AU = UtVU = (tVU)U = tr(A)U ; ceci prouve que U est un vecteur propre associé à la valeur propre tr(A). Donc : D = Vect(U).
Conclusion. En prenant une base B1 = (U,e2, ... ,en), (e2, ..., en) étant une base de H, nous aurons :
A1 = Mat(f,B1) = \begin{pmatrix}a&0&...&0&0\\0&0&...&0&0\\...\\0&0&...&0&0\end{pmatrix} avec a = tr(A).


IV. tr(A) = 0

Dans ce cas, A2 = O : la seule valeur propre possible de A est 0. Comme A est non nulle, A n'est pas diagonalisable. De toute façon, X2 est le polynôme minimal de A et il n'est pas à racines simples. On a toujours Ker(A) = H, hyperplan, mais cette fois, il convient de remarquer que tr(A) = 0 signifie que U vérifie l'équation de H, donc U est dans le noyau. Il n'est donc plus question de choisir une base du style B1. Intéressons nous à V. AV = UtVV = (tV.V)U = ||V||2U. (La notation sous forme de norme est licite si K = \mathbb{R}, par contre, ce n'est qu'une écriture si K =\mathbb{C}). Ceci nous amène à étudier séparément les deux cas.

    a) On suppose que K = \mathbb{R}. \text{V} \neq 0 \Rightarrow ||V|| \neq 0, donc AV different 0 : V n'est pas dans Ker(A). D'où l'idée de choisir une nouvelle base : B' = (U, e3, ... , en, V) où (U, e3, ... , en ) constitue une base de H = Ker(A). Comme \text{AV} = ||\text{V}||^2\text{U}, on aura :
A' = Mat(f,B') = \begin{pmatrix}0&0&...&0&a\\0&0&...&0&0\\...\\0&0&...&0&0\end{pmatrix} \: \: \text{ avec } a = \displaystyle \sum_{i=1}^nv_i^2.

    b) Si K = \mathbb{C} on n'est plus assuré de la non nullité de ||\text{V}||, il faut donc trouver une autre base. Gardons U, e3, ... , en base de H et cherchons un dernier vecteur pour former une base B". Reprenons les vecteurs aj de la base canonique, nous savons que Aaj = Cj = vjU (colonne n°i de A). Or, A étant non nulle au moins une colonne est non nulle. Soit j tel que Cj non nulle. Posons B" = (U, e3 , ... , en , aj). Alors :
A" = Mat(f,B") = \begin{pmatrix}0&0&...&0&a\\0&0&...&0&0\\...\\0&0&...&0&0\end{pmatrix} avec a = vj
Cette dernière forme est plus générale que A' puisqu'elle s'applique dans tous les cas où tr(A) = 0.

Remarque. On peut utiliser ce dernier résultat pour chercher une base de réduction de la matrice A définie par :
(A)_{ij} = \omega^{i+j-2} \omega étant une racine nième de l'unité non réelle. Pour cela, on remarquera que A = UtV, avec U = V = ^t(1,\omega, \omega^2, ... , \omega^{n-1}).
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raymond Correcteur
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