Fiche de mathématiques
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Polynômes (I)

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Ici, \mathbb{K} désigne un corps commutatif.

I. Généralités sur les polynômes

1. Définitions
a) Définitions

Définitions
Pour toute suite (a_n)_{n\in\mathbb{N}} de \mathbb{K}^{\mathbb{N}}, on appelle support de (a_n)_{n\in\mathbb{N}} l'ensemble des n de \mathbb{N} tels que a_n \neq 0.

\bullet On appelle polynôme à coefficients dans \mathbb{K} toute suite (a_n)_{n\in\mathbb{N}} de \mathbb{K}^{\mathbb{N}} à support fini, les termes d'une telle suite sont appelés : coefficients du polynôme.
\bullet L'ensemble des polynômes à coefficients dans \mathbb{K} est noté \mathbb{K}[X], soit alors : \mathbb{K}[X]= \lbrace (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}} / \exists N\in\mathbb{N}, \forall n\geq N , a_n=0 \rbrace.
\bullet On note 0 la suite constante nulle (a_n)_{n\in\mathbb{N}} de \mathbb{K}^{\mathbb{N}} définie par : \forall n\in\mathbb{N}, a_n = 0, appelée polynôme nul.
\bullet On appelle polynômes constants les polynômes dont tous les termes sont nuls à partir de l'indice 1, c'est-à-dire les polynômes (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X] tels que : \forall n \geq 1, a_n=0.
\bullet On appelle monôme tout polynôme dont tous les termes sont nuls sauf un, c'est-à-dire tout polynôme (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X] tel que : \exists n_0 \in\mathbb{N}, \forall n \in\mathbb{N} : n \neq n_0 \Longrightarrow a_n =0.



b) Degré et valuation d'un polynôme


Soit P=(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X].

si P=0, alors tous les coefficients de P sont nuls, si P \neq 0, alors l'ensemble des indices des coefficients non nuls de P n'est pas vide, et il est majoré (les coefficients sont nuls à partir d'un certain rang), donc cet ensemble admet un plus grand élément.
Définitions :
Si P\neq 0 :
\bullet On appelle degré de P, et on note \deg{(P)}, le plus grand entier naturel n tel que a_n \neq 0 . L'élément a_{\deg{(P)} est appelé le coefficient dominant de P.
\bullet On dit que P est unitaire ou normalisé ssi P\neq 0 et a_{\deg{(P)}}=1.
\bullet On appelle valuation de P, et on note val(P), le plus petit entier naturel n tel que a_n \neq 0.
Si P=0, on note par convention \deg{(0)}=-\infty et val(0)=+\infty .


Remarque :
Soit P=(a_n)\in\mathbb{K}[X] un polynôme, on appellera le polynôme normalisé de P le polynôme P^* = \dfrac{1}{a_{\deg{(P)}}} P
Exemple :
Soit le polynôme P= (a_n)_{n\in\mathbb{N} tel que : a_n = \begin{cases} n \text{ & } \forall n\leq 5 \\ 0 \text{ & } \forall n>5 \end{cases}
Donc : \deg{(P)} = 5 et val(P)=1


c) Parité d'un polynôme

Définition :
Soit P=(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X].
On dit que P est pair ssi : \forall k\in\mathbb{N} : a_{2k+1}=0
On dit que P est impair ssi : \forall k\in\mathbb{N} : a_{2k}=0



2. Opérations sur les polynômes

Soient P=(a_n)_{n\in\mathbb{N}} et Q=(b_n)_{n\in\mathbb{N}} deux polynômes.

a) Égalité de deux polynômes

Définition :
On dit que P et Q sont égaux et on écrit P=Q ssi \forall n\in\mathbb{N} : a_n=b_n (égalité de deux suites).


Remarque :
Il est clair que si P=Q, alors : \deg{(P)}=\deg{(Q)} et val(P)=val(Q), la réciproque est fausse en général.


b) Somme de deux polynômes

Définition :
La somme des deux polynômes P et Q est un polynôme R=(c_n)_{n\in\mathbb{N}} tel que \forall n\in\mathbb{N} : c_n = a_n+b_n.
On écrit : R=P+Q

Proposition :
On a pour tous P,Q\in\mathbb{K}[X]
\deg{(P+Q)}\leq \max{(\deg{(P)},\deg{(Q)})} et val(P+Q)\geq \min{(val(P),val(Q))}
Cas d'égalité : \begin{cases} \deg{(P)}\neq \deg{(Q)}\Longrightarrow \deg{(P+Q)} = \max{(\deg{(P)},\deg{(Q)})}\text{ & } \\ val(P)\neq val(Q)\Longrightarrow val(P+Q) = \min{(val(P),val(Q))} \text{ & } \end{cases}

Proposition :
(\mathbb{K}[X],+) est un groupe abélien.



c) Multiplication par un scalaire

Définition :
Soit \lambda \in \mathbb{K}, la multiplication du polynôme P par le scalaire \lambda est un polynôme M=(m_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{K}[X] tel que \forall n\in\mathbb{N} : m_n=\lambda.a_n.
On note : M=\lambda.P

Proposition :
\forall \lambda\in\mathbb{K}-\lbrace 0 \rbrace, \forall P\in \mathbb{K}[X] :
\begin{cases} \deg{(\lambda.P)}= \deg{(P)}\text{ & } \\ val(\lambda.P)= val(P)\text{ & } \end{cases}

Proposition :
(\mathbb{K}[X],+,.) est un \mathbb{K}-ev.



d) Produit de deux polynômes

Définition :
On appelle produit de P par Q la suite S=(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X] définie par : \forall n\in\mathbb{N} : s_n= \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k} = \displaystyle \sum_{i+j=n} a_i b_j.
On note S= P\times Q.

Proposition :
\forall (P,Q)\in (\mathbb{K}[X])^2 : \begin{cases} \deg{(P\times Q)}= \deg{(P)}+\deg{(Q)} \text{ & } \\ val(P\times Q)= val(P)+val(Q)\text{ & } \end{cases}

Proposition :
(\mathbb{K}[X],+,\times) est un anneau intègre.

Proposition :
(\mathbb{K}[X],+,.,\times) est une \mathbb{K}-algèbre associative, commutative et unitaire.



3. Écriture définitive d'un polynôme

Soit P =(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X] un polynôme, il existe un entier N\in\mathbb{N} tel que n > N \Longrightarrow a_n = 0.
On peut donc écrire P =(a_0, a_1,\cdots , a_N ,0, \cdots).
Ou encore, compte tenu de la définition de l'addition et de la multiplication par un scalaire : P = (a_0, 0,\cdots)+(0, a_1, 0,\cdots)+\cdots +(0,\cdots,0, a_N ,0,\cdots)= a_0(1, 0,\cdots)+a_1(0,1, 0,\cdots)+\cdots +a_N(0,\cdots,0,1 ,0,\cdots)
En notant \delta_k = (\delta_{k,n}) le polynôme défini par : \delta_{k,n}= \begin{cases} 1 \text{ si n=k & } \\ 0\text{ sinon & } \end{cases} (Symbole de Krönecker) (Par exemple : \delta_1=(0,1,0,\cdots) , \delta_4=(0,0,0,0,1,0,\cdots) )
On obtient : P= \displaystyle \sum_{k=0}^{N} a_k \delta_k
Définition : (L'indéterminée)
On appelle indéterminée le polynôme \delta_1=(0,1,0,\cdots), l’indéterminée sera noté X

Proposition :
\forall k\in\mathbb{N} : \delta_k=X^k où : X^k= \begin{cases} \delta_0 \text{ si & }k=0 \\ X\times X^{k-1} \text{ si & } k\geq 1 \end{cases}


En reprenant les notations précédentes, on a ainsi l'écriture définitive d'un polynôme : \blue \boxed {P= \displaystyle \sum_{k=0}^{N} a_k X^k}, ou encore plus simplement : P= \displaystyle \sum_{k\in\mathbb{N}} a_k X^k, étant entendu qu'il s'agit là d'une somme finie puisque les coefficients sont nuls à partir d'un certain rang.
Proposition :
L'application : \begin{array}{ll} &\mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{K}[X] \\ &\lambda \longrightarrow \lambda \delta_0 \end{array} est un morphisme injectif de \mathbb{K}-algèbre.


Par conséquent, chaque polynôme constant (\lambda, 0,\cdots) peut être identifié avec le scalaire \lambda, autrement dit,on pose \lambda = (\lambda, 0,\cdots). En particulier, le polynôme nul est noté simplement 0, et le polynôme \delta_0 est simplement noté 1. On peut donc considérer désormais : \mathbb{K} \subset \mathbb{K}[X], \mathbb{K} étant l'ensemble des polynômes constants.

Finalement : si P = (a_n) =(a_0,\cdots, a_N ,0, \cdots), alors : \red \boxed{ P =\sum_{k=0}^N a_k X^k = a_0 + a_1 X +\cdots+ a_N X^N}
De plus, la multiplication d'un polynôme par un scalaire pourra être considérée comme produit de deux polynômes, on notera alors : P.Q ou encore PQ (à la place de P\times Q) le produit des polynômes P et Q, et \lambda.P ou \lambda P le produit de P par le scalaire \lambda.


4. L'espace \mathbb{K}_n[X]

Proposition :
La famille infinie (X^n)_{n\in\mathbb{N}}, c'est-à-dire (1,X,X^2,\cdots,X^n,\cdots ), est une base de \mathbb{K}-ev \mathbb{K}[X], appelée base canonique de \mathbb{K}[X]


Proposition - définition :
Pour n\in\mathbb{N} fixé, l'ensemble \lbrace P\in\mathbb{K}[X]/ \deg{(P)} \leq n \rbrace est clairement un \mathbb{K}-sev de \mathbb{K}[X], on le note \mathbb{K}_n[X].
La famille finie (1,X,\cdots, X^n) est une base de \mathbb{K}_n[X], appelée base canonique de \mathbb{K}_n[X]. On a donc : \dim(\mathbb{K}_n[X])=n+1


Proposition :
Soient I une partie de \mathbb{N}, (P_i)_{i\in I} une famille de polynômes de \mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace telle que : \forall(i,j)\in I^2 : i\neq j \Longrightarrow \deg{(P_i)}\neq \deg{(P_j)}
Alors (P_i)_{i\in I} est libre dans le \mathbb{K}-ev \mathbb{K}[X]



5. Polynôme composé - polynôme dérivé - fonction polynomiale
a) Polynôme composé

Définition :
Soient P= \displaystyle \sum_{n=0}^{N} a_n X^n \in\mathbb{K}[X] et Q\in\mathbb{K}[X]. On définit le polynôme composé P \circ Q par :
P \circ Q = P(Q) = \displaystyle \sum_{n=0}^N a_n Q^n

Proposition :
\forall(P,Q)\in(\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^2 : \deg{(P \circ Q)=\deg{(P)}.\deg{(Q)}

Proposition :
Pour tous \alpha de \mathbb{K} et P,Q,R de \mathbb{K}[X] :
\bullet (P+\alpha Q) \circ R= P \circ R+\alpha Q \circ R
\bullet (P \circ Q) \circ R=P \circ (Q \circ R)
\bullet (PQ) \circ R=(P \circ R)(Q \circ R)
\bullet X \circ P=P \circ X=P


Exemple :
P=X^3-\dfrac{1}{2} X^2-1 et Q=2X-1.
Donc : Q \circ P=Q(P)= 2X^3-X^2-3.
Et : P \circ Q=P(Q)=(2x-1)^3-\dfrac{1}{2}(2X-1)^2-1=8X^3-14X^2+8X-\dfrac{5}{2}.
On vérifie aisément que : \deg{(P \circ Q)}=\deg{(Q \circ P)}=\deg{(P)}\deg{(Q)}=3.


b) Polynôme dérivé

Définition :
Soit P = \displaystyle \sum_{n=0}^N a_n X^n, on appelle polynôme dérivé de P, le polynôme noté P^{'} ou \dfrac{dP}{dX} et défini par :
P^{'}= \displaystyle \sum_{n=1}^N na_n X^{n-1}= \displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} (n+1)a_{n+1}X^n

Puis par récurrence, on définit la dérivée n-ième de P, notée P^{(n)}, en posant : P^{(n)}=\begin{cases} P\text{ si & }n=0 \\ [P^{(n-1)}]^{'} \text{ si & } n\geq 1 \end{cases}


Proposition :
\forall P\in\mathbb{K}[X] : \deg{(P^{'})}= \begin{cases} \deg{(P)}-1 \text{ si & }\deg{(P)}\geq 1 \\ -\infty \text{ si & } \deg{(P)}=0 \end{cases}


Proposition :
\forall P \in \mathbb{K}[X] : \deg{(P)}\leq n \Longrightarrow P^{(n+1)}=0


Proposition :
Pour tous \alpha de \mathbb{K} et P,Q de \mathbb{K}[X] :
\bullet (P+\alpha Q)^{'} = P^{'}+\alpha Q^{'}
\bullet (PQ)^{'}=P^{'}Q+PQ^{'}
\bullet (P \circ Q)^{'}=Q^{'}( P^{'} \circ Q)


Proposition : (Formule de Leibniz)
\forall (P,Q) de (\mathbb{K}[X])^2, \forall k\in\mathbb{N} : (PQ)^{k}= \displaystyle \sum_{i=0}^{k} {k\choose i} P^{(i)} Q^{(k-i)}


Théorème :
1)
Soit le monôme P=X^n (n\in\mathbb{N}), alors, \forall k\in \mathbb{N} : P^{(k)}= \begin{cases} \dfrac{n!}{(n-k)!} X^{n-k} \text{ si & }k\leq n \\ 0 \text{ si & } k>n \end{cases}
Généralisation: Soit P= \displaystyle \sum_{n} a_n X^n\in\mathbb{K}[X], on a : \forall k\in\mathbb{N} , P^{(k)}= \displaystyle \sum_{n\geq k} \frac{n!}{(n-k)!} a_n X^{n-k}
2)
En particulier, si \deg{(P)} = n , alors P^{(n)} = a_n n! , et si k > \deg{(P)} , alors P^{(k)} = 0.
3)
D'autre part, lorsque k \leq \deg{(P)}, alors \deg{(P^{(k)})} = \deg{(P)}- k


Proposition : (Formules)
\forall (P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^2 :
\bullet (P+Q)^n= \displaystyle \sum_{k=0}^n {k\choose n} P^k Q^{n-k} : Binôme de Newton
\bullet P^n - Q^n = (P-Q) \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} P^k Q^{n-1-k}




c) Fonction polynomiale
      i) Définitions

Définition :
Pour tout P= \displaystyle \sum_{n=0}^{N} a_n X^n de \mathbb{K}[X], on note \widetilde{P} : \begin{array}{ll} &\mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{K} \\ &x \longrightarrow \displaystyle \sum_{n=0}^{N} a_n x^n \end{array} appelée fonction polynomiale associée à P.


Proposition :
Pour tous \alpha de \mathbb{K} et P,Q de \mathbb{K}[X] :
\bullet \widetilde{P+\alpha Q} = \widetilde{P}+\alpha\widetilde{Q}.
\bullet \widetilde{PQ}=\widetilde{P}\widetilde{Q}.
\bullet \widetilde{P \circ Q}=\widetilde{P} \circ \widetilde{Q}.


Proposition :
L'application : \begin{array}{ll} &\mathbb{K}[X] \longrightarrow \mathbb{K}^{\mathbb{K}} \\& P \longrightarrow \widetilde{P} \end{array} est injective ssi \mathbb{K} est infini.



ii) Schéma de Ruffini-Hörner

Hörner et Ruffini ont cherché (séparément) à minimiser le nombre d'opérations à effectuer pour calculer l'image d'un nombre par une fonction polynomiale.
Soit P =a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + ... + a_0 un polynôme et x_0 un nombre. Le calcul de \widetilde{P}(x_0) = a_n x_0^n + a_{n-1}x_0^{n-1} + ... + a_0 laisse à penser qu'il faut calculer chacune des puissances de x_0, multiplier celle-ci par son coefficient a_k puis faire la somme de ce que l'on a trouvé.
La méthode de Ruffini-Hörner consiste à améliorer encore ce résultat en effectuant le calcul comme suit : \widetilde{P(x_0)} = ((...((a_nx_0 + a_{n-1})x_0 + a_{n-2})x_0 + ... ) x_0+ a_1)x_0 + a_0
La méthode consiste à multiplier le premier coefficient par x_0 et à lui ajouter le second coefficient. On multiplie alors le nombre obtenu par x_0 et on lui ajoute le troisième coefficient et ainsi de suite. Cette méthode s'organise très bien à l'aide d'un tableau dans lequel chaque case de la seconde ligne est obtenue en multipliant le coefficient de la case de gauche par x_0 et en lui ajoutant le coefficient de la case du dessus.

Coefficients de P a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdots a_1 a_0
Facteur x_0 a_n a_n x_0 + a_{n - 1} (a_n x_0 + a_{n-1})x_0 + a_{n-2} \cdots q_0 \widetilde{P}(x_0)=q_0 x_0 + a_0


Par exemple, calculons \widetilde{P}(4) avec \widetilde{P}(x)=x^3-2x^2+3x-1:

Coefficients de P 1 -2 3 -1
Facteur 4 1 2 11 \widetilde{P}(4)=43


iii) Formule de Taylor


Soit P = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_i X^i, soit k un entier compris entre 0 et n, alors P^{(k)} =\displaystyle \sum_{i=k}^n \frac{i!}{(i-k)!}a_i X^{i-k}.
Substituons 0 à X, on obtient alors \widetilde{P^{(k)}(0)} = k!a_k , on en déduit donc que : \forall k\in {0,\cdots, n} : a_k=\dfrac{\widetilde{P^{(k)}(0)}}{k!}
Remarquons que la formule reste vraie pour k > n.
On obtient la formule de Taylor en 0 : \boxed{P=\sum_{k} \frac{\widetilde{P^{(k)}(0)}}{k!} X^k}
Soit a \in \mathbb{K}, posons Q = P(X + a) comme composée de P avec le polynôme X + a, d?après ce qui précède, on a : Q= \displaystyle \sum_{k} \dfrac{\widetilde{Q^{(k)}(0)}}{k!} X^k
Or, Q^{(k)}=P^{(k)}(X+a), donc : \widetilde{Q^{(k)}(0)}=\widetilde{P^{(k)}(a)}.
De plus : P=Q(X-a).
On obtient : \boxed{P=\sum_{k} \frac{\widetilde{P^{(k)}(a)}}{k!} (X-a)^k}
Théorème : (dit de Taylor pour les polynômes)
Soient P\in\mathbb{K}[X] et a\in\mathbb{K}, on a : \boxed{P=\sum_{k} \frac{\widetilde{P^{(k)}(a)}}{k!} (X-a)^k} : C'est la formule de Taylor pour le polynôme P en a




II. Arithmétique dans \mathbb{K}[X]

1. Divisibilité

Définition :
Soit (P,S)\in(\mathbb{K}[X])^2, on dit que S divise P dans \mathbb{K}[X] et on note : S|P si et seulement s'il existe Q \in\mathbb{K}[X] tel que : P=SQ


Remarque :
A la place de S divise P, on peut dire S est un diviseur de P, ou encore, P est un multiple de S

Exemple :
Soient P=X^2+2X+1 et Q=X+1 deux polynômes de \mathbb{K}[X]
On a P=X^2+2X+1=(X+1)^2= (X+1)(X+1)=Q^2=Q.Q, donc Q|P
Proposition :
\forall P\in\mathbb{K}[X] : P|P.
\forall (P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^2 : (Q|P et P|Q \Longleftrightarrow \exists a\in\mathbb{K}- \lbrace 0 \rbrace, \, P=aQ).
\forall (P,Q,S)\in(\mathbb{K}[X])^3: (S|Q et Q|P \Longrightarrow S|P)
\forall (P,Q,S)\in(\mathbb{K}[X])^3: (S|P \Longrightarrow S|PQ)
\forall (P,Q,S)\in(\mathbb{K}[X])^3: (S|P et S|Q \Longrightarrow S|P+Q)
\forall (P,Q,S,T)\in(\mathbb{K}[X])^4: (S|P et T|Q \Longrightarrow ST|PQ)
\forall (P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^2, \forall n\in\mathbb{N}^* : (Q|P \Longrightarrow Q^n|P^n)


Proposition :
\forall P\in\mathbb{K}[X], \forall a\in\mathbb{K} : X-a|P \Longleftrightarrow \widetilde{P}(a)=0


Définition :
On appelle idéal de \mathbb{K}[X] toute partie \mathfrak{J} de \mathbb{K}[X] telle que :
\bullet \mathfrak{J} \neq \varnothing.
\bullet \forall (P,Q)\in \mathfrak{J}^2 : P+Q\in\mathfrak{J}.
\bullet \forall A\in\mathbb{K}[X] , \forall P\in\mathfrak{J} : AP\in\mathfrak{J}


Théorème :
Pour tout idéal \mathfrak{J} de \mathbb{K}[X], il existe P_0 \in\mathbb{K}[X] tel que :
\mathfrak{J}=P_0 \mathbb{K}[X] = \lbrace P\in\mathbb{K}[X], \exists A\in\mathbb{K}[X], P=P_0 A \rbrace.

On dit que tout idéal de \mathbb{K}[X] est principal, ou encore : \mathbb{K}[X] est un anneau principal


Remarque :
Voir cours " Compléments d'algèbre général - Notion d'idéal" pour plus de détails sur cette partie.
Théorème : (Division Euclidienne)
Soit (A,B)\in \mathbb{K}[X]\times \mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace. Il existe un couple unique (Q,R) de (\mathbb{K}[X])^2 tel que : \boxed{\left\{\begin{matrix} A=BQ+R\\ \deg{(R)}<\deg{(Q)} \end{matrix}\right}.}
Le polynôme Q (respectivement R) est appelé le quotient (respectivement le reste) de la division Euclidienne de A par B.


Exemple :
La division Euclidienne de X^3+X+1 par X+1 :

\[ \begin{tabular}{rcrcrcrc|c} X^3 &+& 0X^2 &+ & X &+& 1 & & X + 1\\ \cline{9-9} -(X^3 &+& X^2) & & & & & & X^2 - X + 2 \\ \cline{1-3} & & -X^2 &+& X & & & & \\ & & -(-X^2 &-& X) & & & & \\ \cline{3-5} & & & & 2X &+& 1 & & \\ & & & &-(2X &+& 2) & & \\ \cline{5-7} & & & & & & -1 & & \\ \end{tabular}\]

Conclusion : X^3+X+1=(X+1)(X^2-X+2)-1


2. Plus grand commun diviseur (PGCD) - Plus petit commun multiple (PPCM)
a) Généralités

Définition - Proposition :
Soient n\in\mathbb{N}^* , (P_1,\cdots, P_n) \in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n
\bullet Il existe un polynôme et un seul D, unitaire, non nul, diviseur commun de P_1,\cdots, P_n et de plus haut degré parmi les diviseurs communs de P_1,\cdots, P_n ; D est est appelé le plus grand commun diviseur (en abrégé pgcd) de P_1,\cdots, P_n, et noté pgcd(P_1,\cdots, P_n) ou encore pgcd((P_i)_{1\leq i\leq n})
\bullet Il existe un polynôme et un seul M, unitaire, non nul, multiple commun de P_1,\cdots, P_n et de plus bas degré parmi les multiples communs de P_1,\cdots, P_n ; M est est appelé le plus petit commun multiple (en abrégé ppcm) de P_1,\cdots, P_n, et noté ppcm(P_1,\cdots, P_n) ou encore ppcm((P_i)_{1\leq i\leq n})


Proposition :
Soient n\in\mathbb{N}^* , (P_1,\cdots, P_n) \in(\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^n, D=pgcd(P_1,\cdots, P_n) et M=ppcm(P_1,\cdots, P_n) ; on a :
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} P_i \mathbb{K}[X] = D\mathbb{K}[X]
\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}{P_i\mathbb{K}[X]}=M\mathbb{K}[X]


Proposition :
Soient n\in\mathbb{N}^* ; (P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n , (\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n , on a :
pgcd((\alpha_i P_i)_{1\leq i\leq n})=pgcd((P_i)_{1\leq i\leq n}) et ppcm((\alpha_i P_i)_{1\leq i\leq n})=ppcm((P_i)_{1\leq i\leq n})
Soit n\in\mathbb{N}^* ; (P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n ; A\in \mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace unitaire, on a :
pgcd((A P_i)_{1\leq i\leq n})=A. pgcd((P_i)_{1\leq i\leq n}) et ppcm((A P_i)_{1\leq i\leq n})= A. ppcm((P_i)_{1\leq i\leq n})


Proposition :
Soient n\in\mathbb{N}^* ; (P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n ; D=pgcd(P_1,\cdots,P_n) , M=ppcm(P_1,\cdots,P_n) , (A,B)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^2, on a :
\forall i\in \lbrace 1,\cdots,n \rbrace \, : \, A|P_i \Longleftrightarrow A|D
\forall i\in \lbrace 1,\cdots,n \rbrace \, : \, P_i|B \Longleftrightarrow M|B


Proposition : (Associativité)
Soient n\in\mathbb{N}^*, \mathfrak{P} une partition de \lbrace 1,\cdots,n \rbrace, (P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n, on a :
pgcd(( P_i)_{1\leq i\leq n})=pgcd( pgcd((P_i)_{1\leq i\leq n})_{I\in\mathfrak{P}}
ppcm(( P_i)_{1\leq i\leq n})=ppcm( ppcm((P_i)_{1\leq i\leq n})_{I\in\mathfrak{P}}


Notation :
Pour (P,Q)\in(\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^2, on notera : pgcd(P,Q)=P\wedge Q et ppcm(P,Q)=P\vee Q



b) Algorithme d'Euclide

La division euclidienne fournit, comme dans le cas des nombres entiers relatifs (dans \mathbb{Z}), une méthode pour trouver le PGCD de deux polynômes, nommée Algorithme d'Euclide.
Lemme : (dit d'Euclide)
Soit (A,B)\in(\mathbb{K}[X])^2, alors \forall (P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^2 tel que : A=BP+Q , on a :
A\wedge B= B\wedge Q


Pour tout (A,B)\in(\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^2 , le PGCD de A et B est le dernier reste non nul normalisé dans la suite des divisions euclidiennes successives, le tebleau ci-dessous regroupe l'algorithme :

Opération Reste Résultat
division de A par B R_0 \deg{(0)}\leq \deg{(R_0)}<\deg{(B)} et A\wedge B= B\wedge R_0
si R_0 \neq 0 , division de B par R_0 R_1 \deg{(0)}\leq \deg{(R_1)}<\deg{(R_0)} et B\wedge R_0= R_0\wedge R_1
\vdots \vdots \vdots
si R_n \neq 0 , division de R_{n-1} par R_n 0 R_{n-1}\wedge R_n= R_n


Conclusion : \boxed{A\wedge B = R_n}

Exemple :
Cherchons P\wedge Q avec : P=X^5+3X^4+X^3+3X+1 et Q=X^4+2X^3+X+2 :
1ère division Euclidienne : division de P par Q
\[ \begin{tabular}{rcrcrcrcrcrc|c} X^5 & +&3X^4&+&X^3&+&X^2&+&3X &+& 1 & & X^4+2X^3+X+2\\ \cline{13-13}-X^5 &-& 2X^4 &- &0X^3 &- &X^2 &- &2X && & & X + 1 \\ \cline{1-9} & & X^4 &+& X^3 & &&+ &X&+&1&& \\ & & -X^4 &-& 2X^3 & & &- &X&-&2&& \\ \cline{3-11} & & & -& X^3 && & &&-&1&& \\ \end{tabular}\]
On obtient Q_1= X+1 et R_1=-X^3-1.

2ème division Euclidienne : division de Q par R_1
\[ \begin{tabular}{rcrcrcrcrc|c} X^4 &+& 2X^3 &+ &0 X^2 &+& X&+&1 & & -X^3 - 1\\ \cline{11-11} -X^4 && & & & -& X& &&& -X - 2 \\ \cline{1-7} & & 2X^3 && & & &+ &2 && \\ & & -2X^3 && & & &- &2&& \\ \cline{3-9} & & & & && & &0&& \\ \end{tabular}\]

Q_2= -X-2 et R_2=0

On en déduit que : \boxed{P\wedge Q= R_1=-X^3-1}
Proposition :
\forall(A,B)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^{2}, (A\wedge B)(A\vee B) est le polynôme normalisé de AB.



3. Polynômes premiers entre eux - Polynômes irréductibles
a) Polynômes premiers entre eux

Définition :
Soient n\in\mathbb{N}^* ; (P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^n
On dit que P_1,\cdots, P_n sont premiers entre eux dans leur ensemble ou encore étrangers ssi : pgcd(P_1,\cdots, P_n)=1 .
On dit que P_1,\cdots, P_n sont premiers entre eux deux à deux ssi : \forall(i,j)\in\lbrace1,\cdots, n \rbrace^{2} : i\neq j \Longrightarrow P_i \wedge P_j =1.


Proposition :
\forall (A,B,C)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^3 : \begin{cases} A\wedge B = 1 \text{ & } \\ C|B \text{ & } \end{cases} \Longrightarrow A\wedge C=1.


Théorème : (dit de Bezout)
Soient n\in\mathbb{N}^* ; (P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^n. Pour que P_1,\cdots,P_n soient premiers entre eux dans leur ensemble, il faut et il suffit qu'il existe (U_1,\cdots, U_n) \in(\mathbb{K}[X])^n tel que : \boxed{\sum_{k=1}^{n} P_k U_k = 1}.


Théorème : (dit de Gauss)
\forall (P,Q,R)\in(\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^3 : \begin{cases} P|QR \text{ & } \\ P\wedge Q=1 \text{ & } \end{cases} \Longrightarrow P|R.


Proposition :
Soient P et Q deux polynômes non nuls, non tous deux constants et premiers entre eux. Il existe (U,V)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^2 unique tel que : PU+QV=1 avec \deg{(U)}<\deg{(Q)} et \deg{(V)} < \deg{(P)}.


Proposition :
Soient n\in\mathbb{N}^* ; (A,P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{n+1}. On a :
(\forall i\in \lbrace 1,\cdots,n \rbrace \, , \, A\wedge P_i = 1) \Longrightarrow A\wedge \lefft( \displaystyle \prod_{i=1}^{n} P_i \right) =1.


Proposition :
\forall(A,B)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{2}, \forall (m,n)\in(\mathbb{N^*})^2 :
A\wedge B=1 \Longleftrightarrow A^n \wedge B^m = 1.


Proposition :
\forall(A,B)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{2}, \forall n\in\mathbb{N^*} : A^n \wedge B^n=(A\wedge B)^n.


Proposition :
Soient n\in\mathbb{N}^* ; (A,P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{n+1}.
Si (\forall i\in {1,\cdots,n} , P_i|A ) et si P_1,\cdots,P_n sont premiers entre eux deux à deux, alors : \displaystyle \prod_{i=1}^n P_i |A.


Proposition :
Soient n\in\mathbb{N}^* ; (P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{n}. Si P_1,\cdots, P_n sont premiers entre eux deux à deux, alors le PPCM de P_1,\cdots,P_n est le polynôme normalisé de \displaystyle \prod_{i=1}^n P_i.



b) Polynômes irréductibles

Définitions :
Soit P\in\mathbb{K}[X] non constant.
Le polynôme P est dit irréductible si et seulement si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes de la forme \alpha P où \alpha est une constante de \mathbb{K} non nulle.
Le polynôme P est dit premier ssi : \forall A,B \in\mathbb{K}[X] , P|AB \Longrightarrow P|A ou P|B.


Théorème :
Un polynôme est premier, si et seulement si, il est irréductible.


On se permet alors, dans toute la suite, de confondre les deux notions.
Proposition :
Soient P\in\mathbb{K}[X] irréductible et A\in\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace. On a : P|A ou P\wedge A=1.


Proposition :
Soient P\in\mathbb{K}[X] irréductible, n\in\mathbb{N}^* , A_1,\cdots , A_n \in\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace. On a :
P| \displaystyle \prod_{i=1}^n A_i \Longleftrightarrow \exists i \in \lbrace1,\cdots, n \rbrace : P|A_i .


Théorème :
Tout polynôme de \mathbb{K}[X] de degré supérieur ou égal à 1 admet une décomposition en produit de polynômes irréductibles, unique à l'ordre près des facteurs et à des constantes non nulles de \mathbb{K} multiplicatives près.


Soit A\in\mathbb{K}[X] avec \deg{(A)} \geq 1. D'après le théorème précédent, il existe N\in\mathbb{N}^* , P_1,\cdots,P_N irréductibles et premiers entre eux deux à deux, r_1,\cdots,r_n \in\mathbb{N}^* tels que : \boxed{A=\prod_{i=1}^{N} P_i^{r_i}}, Cette égalité s'appelle la décomposition primaire de A dans \mathbb{K}[X].
Proposition :
Tout polynôme de \mathbb{K}[X] de degré supérieur ou égal à 1 admet au moins un diviseur irréductible.


Proposition :
Soient A,B \in\mathbb{K}[X], de degrés \geq 1, unitaires et respectivement de décomposition primaire A= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} P_i^{r_i} et B= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} P_i^{s_i} (où N\in\mathbb{N}^* , P_1,\cdots ,P_N irréductibles, unitaires et premiers entre eux 2 à 2, r_1,\cdots,r_N,s_1,\cdots,,s_N \in\mathbb{N} ). On a :
A\wedge B = \displaystyle \prod_{i=1}^{N} P_i^{\min{(r_i,s_i)}} et A\vee B = \displaystyle \prod_{i=1}^{N} P_i^{\max{(r_i,s_i)}}


Proposition :
Les lois \wedge et \vee sont distributives l'une sur l'autre dans \mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace .




III. Racines des polynômes

Définition :
Soient P\in\mathbb{K}[X] , a\in\mathbb{K}. On dit que a est une racine (ou : un zéro) de P si et seulement si : \tilde{P}(a)=0.


Proposition :
Soient P\in\mathbb{K}[X], n\in\mathbb{N}^* , x_1,\cdots, x_n \in\mathbb{K} 2 à 2 distincts.
Si x_1,\cdots, x_n sont racines de P, alors : \displaystyle \prod_{i=1}^{n}(X-x_i)|P.


Proposition :
Soient P\in\mathbb{K}[X] , n\in\mathbb{N}^* . Si \deg{(P)}<n et si P admet au moins n racines 2 à 2 distinctes, alors P=0.


Définition :
Soient P\in\mathbb{K}[X] , a\in\mathbb{K} , r\in\mathbb{N}^*
On dit que a est une racine d'ordre au moins r de P si et seulement si : (X-a)^r |P
On dit que a est une racine d'ordre exactement r de P si et seulement si : (X-a)^r |P et (X-a)^{r+1} \not{/}P.


Proposition - Définition :
Soit P\in\mathbb{K}[X], a\in\mathbb{K}.
Si a est racine de P, alors il existe un entier naturel non nul unique r tel que a soit une racine d'ordre r exactement de P, on dit que r est l'ordre de multiplicité de a (ou plus simplement r est multiplicité de a ) dans P et on le note m_P(a).


Remarque :
Une racine de multiplicité 1 est appelée racine simple, une racine de multiplicité 2 est appelée racine double...etc

Exemple :
Soit P=X^3+4X^2+5X+2 , trouver les racines de P ainsi que l'ordre de multiplicité de chacune.
On procède par "tâtonnement" simple en commençant par : 0, 1,-1,2,-2, etc
On obtient : -1 et -2 sont des racines de P
On divise P par X+2 (division euclidienne), on trouve : P=X^3+4X^2+5X+2=(X+2)(X^2+2X+1)
Donc : P=(X+2)(X+1)^2
m_P(-2)=1 et m_P(-1)=2
Proposition :
Soient n\in\mathbb{N}^* , x_1,\cdots,x_n \in\mathbb{K} 2 à 2 distincts, A= \displaystyle \prod_{k=1}^{n} (X-x_{k}) , B\in\mathbb{K}[X].
On a alors : A|B \Longleftrightarrow (\forall k\in\lbrace1,\cdots,n \rbrace , \tilde{B}(x_k)=0 ).


Définition :
Un polynôme P de \mathbb{K}[X] est dit scindé (ou encore scindable) sur \mathbb{K} si et seulement s'il existe \lambda\in\mathbb{K}^* , n\in\mathbb{N}^* , x_1,\cdots,x_n \in\mathbb{K} tels que : P=\lambda \displaystyle \prod_{i=1}^{n} (X-x_i).


Définition :
Soient n\in\mathbb{N}^* , x_1,\cdots,x_n \in\mathbb{K}. On appelle fonctions symétriques élémentaires de x_1,\cdots,x_n les expressions :
\sigma_1= \displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i=x_1+x_2+\cdots+x_n
\sigma_2= \displaystyle \sum_{1\leq i_1 <i_2\leq n} x_{i_1}x_{i_2}=(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_1x_n)+(x_2x_3+\cdots+x_2x_n)+\cdots+(x_{n-2}x_{n-1}+x_{n-2}x_n)+x_{n-1}x_n
\vdots
\sigma_k= \displaystyle \sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots <i_k\leq i_n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}
\vdots
\sigma_n= \displaystyle \prod_{i=1}^{n} x_i.


Proposition :
Soient n\in\mathbb{N}^* , (a_0,\cdots,a_n) \in\mathbb{K}^{n+1} tel que a_n \neq 0 et P= \displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_i X^i.
Supposons que P scindé sur \mathbb{K} et notons x_1,\cdots,x_n les racines de P non nécessairement deux à deux distincts de sorte que : P=a_n \displaystyle \prod_{i=1}^n (X-x_i)
On a alors, en notant \sigma_1,\cdots,\sigma_n les fonctions symétriques élémentaires de x_1,\cdots,x_n :
\sigma_1=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n} , \cdots , \sigma_k=(-1)^k \dfrac{a_{n-k}}{a_n} , \cdots , \sigma_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}.


Théorème :
Soient P\in\mathbb{K}[X] , a\in\mathbb{K} , \alpha\in\mathbb{N}^*
Pour que a soit racine d'ordre \alpha au moins de P , il faut et il suffit que : \forall k \in\lbrace 0,\cdots,\alpha-1 \rbrace , \tilde{P^{(k)}}(a)=0
Pour que a soit racine d'ordre \alpha au moins de P , il faut et il suffit que : \forall k \in\lbrace 0,\cdots,\alpha-1 \rbrace , \tilde{P^{(k)}}(a)=0 et \tilde {P^{(\alpha)}}(a)\neq 0.


Théorème : (dit de D'Alembert)
Le corps \mathbb{C} est algébriquement clos.


Cela veut dire que tout polynôme non constant de \mathbb{C}[X] admet au moins une racine dans \mathbb{C}.
Proposition :
Tout polynôme non constant de \mathbb{C}[X] est scindé sur \mathbb{C}.


Proposition :
Les polynômes irréductibles de \mathbb{C}[X] sont les polynômes de degré 1.
Les polynômes irréductibles de \mathbb{R}[X] sont les polynômes de degré 1 et les trinômes du second degré à discriminant strictement négatif.

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