Fiche de mathématiques

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Polynômes (I)

Ici, $\mathbb{K}$ désigne un corps commutatif.

I. Généralités sur les polynômes

1. Définitions
a) Définitions

Définitions

Pour toute suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ , on appelle support de $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ l'ensemble des $n$ de $\mathbb{N}$ tels que $a_n \neq 0$ .

$\bullet$ On appelle polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$ toute suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ à support fini, les termes d'une telle suite sont appelés : coefficients du polynôme.
$\bullet$ L'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ est noté $\mathbb{K}[X]$ , soit alors : $\mathbb{K}[X]= \lbrace (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}} / \exists N\in\mathbb{N}, \forall n\geq N , a_n=0 \rbrace$ .
$\bullet$ On note $0$ la suite constante nulle $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ définie par : $\forall n\in\mathbb{N}, a_n = 0$ , appelée polynôme nul.
$\bullet$ On appelle polynômes constants les polynômes dont tous les termes sont nuls à partir de l'indice 1, c'est-à-dire les polynômes $(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X]$ tels que : $\forall n \geq 1, a_n=0$ .
$\bullet$ On appelle monôme tout polynôme dont tous les termes sont nuls sauf un, c'est-à-dire tout polynôme $(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X]$ tel que : $\exists n_0 \in\mathbb{N}, \forall n \in\mathbb{N} : n \neq n_0 \Longrightarrow a_n =0$ .

b) Degré et valuation d'un polynôme

Soit $P=(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X]$ .

si $P=0$ , alors tous les coefficients de $P$ sont nuls, si $P \neq 0$ , alors l'ensemble des indices des coefficients non nuls de $P$ n'est pas vide, et il est majoré (les coefficients sont nuls à partir d'un certain rang), donc cet ensemble admet un plus grand élément.

Définitions :

Si $P\neq 0$ :
$\bullet$ On appelle degré de $P$ , et on note $\deg{(P)}$ , le plus grand entier naturel $n$ tel que $a_n \neq 0$ . L'élément $a_{\deg{(P)}$ est appelé le coefficient dominant de $P$ .
$\bullet$ On dit que $P$ est unitaire ou normalisé ssi $P\neq 0$ et $a_{\deg{(P)}}=1$ .
$\bullet$ On appelle valuation de $P$ , et on note $val(P)$ , le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n \neq 0$ .
Si $P=0$ , on note par convention $\deg{(0)}=-\infty$ et $val(0)=+\infty$ .

Remarque :
Soit $P=(a_n)\in\mathbb{K}[X]$ un polynôme, on appellera le polynôme normalisé de $P$ le polynôme $P^* = \dfrac{1}{a_{\deg{(P)}}} P$
Exemple :
Soit le polynôme $P= (a_n)_{n\in\mathbb{N}$ tel que : $a_n = \begin{cases} n \text{ & } \forall n\leq 5 \\ 0 \text{ & } \forall n>5 \end{cases}$
Donc : $\deg{(P)} = 5$ et $val(P)=1$

c) Parité d'un polynôme

Définition :

Soit $P=(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X]$ .
On dit que $P$ est pair ssi : $\forall k\in\mathbb{N}$ : $a_{2k+1}=0$
On dit que $P$ est impair ssi : $\forall k\in\mathbb{N}$ : $a_{2k}=0$

2. Opérations sur les polynômes

Soient $P=(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $Q=(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux polynômes.

a) Égalité de deux polynômes

Définition :

On dit que $P$ et $Q$ sont égaux et on écrit $P=Q$ ssi $\forall n\in\mathbb{N}$ : $a_n=b_n$ (égalité de deux suites).

Remarque :
Il est clair que si $P=Q$ , alors : $\deg{(P)}=\deg{(Q)}$ et $val(P)=val(Q)$ , la réciproque est fausse en général.

b) Somme de deux polynômes

Définition :

La somme des deux polynômes $P$ et $Q$ est un polynôme $R=(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tel que $\forall n\in\mathbb{N}$ : $c_n = a_n+b_n$ .
On écrit : $R=P+Q$

Proposition :

On a pour tous $P,Q\in\mathbb{K}[X]$
$\deg{(P+Q)}\leq \max{(\deg{(P)},\deg{(Q)})}$ et $val(P+Q)\geq \min{(val(P),val(Q))}$
Cas d'égalité : $\begin{cases} \deg{(P)}\neq \deg{(Q)}\Longrightarrow \deg{(P+Q)} = \max{(\deg{(P)},\deg{(Q)})}\text{ & } \\ val(P)\neq val(Q)\Longrightarrow val(P+Q) = \min{(val(P),val(Q))} \text{ & } \end{cases}$

Proposition :

$(\mathbb{K}[X],+)$ est un groupe abélien.

c) Multiplication par un scalaire

Définition :

Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ , la multiplication du polynôme $P$ par le scalaire $\lambda$ est un polynôme $M=(m_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{K}[X]$ tel que $\forall n\in\mathbb{N}$ : $m_n=\lambda.a_n$ .
On note : $M=\lambda.P$

Proposition :

$\forall \lambda\in\mathbb{K}-\lbrace 0 \rbrace$ , $\forall P\in \mathbb{K}[X]$ :
$\begin{cases} \deg{(\lambda.P)}= \deg{(P)}\text{ & } \\ val(\lambda.P)= val(P)\text{ & } \end{cases}$

Proposition :

$(\mathbb{K}[X],+,.)$ est un $\mathbb{K}$ -ev.

d) Produit de deux polynômes

Définition :

On appelle produit de $P$ par $Q$ la suite $S=(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X]$ définie par : $\forall n\in\mathbb{N}$ : $s_n= \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k} = \displaystyle \sum_{i+j=n} a_i b_j$ .
On note $S= P\times Q$ .

Proposition :

$\forall (P,Q)\in (\mathbb{K}[X])^2$ : $\begin{cases} \deg{(P\times Q)}= \deg{(P)}+\deg{(Q)} \text{ & } \\ val(P\times Q)= val(P)+val(Q)\text{ & } \end{cases}$

Proposition :

$(\mathbb{K}[X],+,\times)$ est un anneau intègre.

Proposition :

$(\mathbb{K}[X],+,.,\times)$ est une $\mathbb{K}$ -algèbre associative, commutative et unitaire.

3. Écriture définitive d'un polynôme

Soit $P =(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}[X]$ un polynôme, il existe un entier $N\in\mathbb{N}$ tel que $n > N \Longrightarrow a_n = 0$ .
On peut donc écrire $P =(a_0, a_1,\cdots , a_N ,0, \cdots)$ .
Ou encore, compte tenu de la définition de l'addition et de la multiplication par un scalaire : $P = (a_0, 0,\cdots)+(0, a_1, 0,\cdots)+\cdots +(0,\cdots,0, a_N ,0,\cdots)= a_0(1, 0,\cdots)+a_1(0,1, 0,\cdots)+\cdots +a_N(0,\cdots,0,1 ,0,\cdots)$
En notant $\delta_k = (\delta_{k,n})$ le polynôme défini par : $\delta_{k,n}= \begin{cases} 1 \text{ si n=k & } \\ 0\text{ sinon & } \end{cases}$ (Symbole de Krönecker) (Par exemple : $\delta_1=(0,1,0,\cdots)$ , $\delta_4=(0,0,0,0,1,0,\cdots)$ )
On obtient : $P= \displaystyle \sum_{k=0}^{N} a_k \delta_k$

Définition : (L'indéterminée)

On appelle indéterminée le polynôme $\delta_1=(0,1,0,\cdots)$ , l’indéterminée sera noté $X$

Proposition :

$\forall k\in\mathbb{N}$ : $\delta_k=X^k$ où : $X^k= \begin{cases} \delta_0 \text{ si & }k=0 \\ X\times X^{k-1} \text{ si & } k\geq 1 \end{cases}$

En reprenant les notations précédentes, on a ainsi l'écriture définitive d'un polynôme : $\blue \boxed {P= \displaystyle \sum_{k=0}^{N} a_k X^k}$ , ou encore plus simplement : $P= \displaystyle \sum_{k\in\mathbb{N}} a_k X^k$ , étant entendu qu'il s'agit là d'une somme finie puisque les coefficients sont nuls à partir d'un certain rang.

Proposition :

L'application : $\begin{array}{ll} &\mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{K}[X] \\ &\lambda \longrightarrow \lambda \delta_0 \end{array}$ est un morphisme injectif de $\mathbb{K}$ -algèbre.

Par conséquent, chaque polynôme constant $(\lambda, 0,\cdots)$ peut être identifié avec le scalaire $\lambda$ , autrement dit,on pose $\lambda = (\lambda, 0,\cdots)$ . En particulier, le polynôme nul est noté simplement $0$ , et le polynôme $\delta_0$ est simplement noté $1$ . On peut donc considérer désormais : $\mathbb{K} \subset \mathbb{K}[X]$ , $\mathbb{K}$ étant l'ensemble des polynômes constants.

Finalement : si $P = (a_n) =(a_0,\cdots, a_N ,0, \cdots)$ , alors : $\red \boxed{ P =\sum_{k=0}^N a_k X^k = a_0 + a_1 X +\cdots+ a_N X^N}$
De plus, la multiplication d'un polynôme par un scalaire pourra être considérée comme produit de deux polynômes, on notera alors : $P.Q$ ou encore $PQ$ (à la place de $P\times Q$ ) le produit des polynômes $P$ et $Q$ , et $\lambda.P$ ou $\lambda P$ le produit de $P$ par le scalaire $\lambda$ .

4. L'espace $\mathbb{K}_n[X]$

Proposition :

La famille infinie $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$ , c'est-à-dire $(1,X,X^2,\cdots,X^n,\cdots )$ , est une base de $\mathbb{K}$ -ev $\mathbb{K}[X]$ , appelée base canonique de $\mathbb{K}[X]$

Proposition - définition :

Pour $n\in\mathbb{N}$ fixé, l'ensemble $\lbrace P\in\mathbb{K}[X]/ \deg{(P)} \leq n \rbrace$ est clairement un $\mathbb{K}$ -sev de $\mathbb{K}[X]$ , on le note $\mathbb{K}_n[X]$ .
La famille finie $(1,X,\cdots, X^n)$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$ , appelée base canonique de $\mathbb{K}_n[X]$ . On a donc : $\dim(\mathbb{K}_n[X])=n+1$

Proposition :

Soient $I$ une partie de $\mathbb{N}$ , $(P_i)_{i\in I}$ une famille de polynômes de $\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace$ telle que : $\forall(i,j)\in I^2$ : $i\neq j \Longrightarrow \deg{(P_i)}\neq \deg{(P_j)}$
Alors $(P_i)_{i\in I}$ est libre dans le $\mathbb{K}$ -ev $\mathbb{K}[X]$

5. Polynôme composé - polynôme dérivé - fonction polynomiale
a) Polynôme composé

Définition :

Soient $P= \displaystyle \sum_{n=0}^{N} a_n X^n \in\mathbb{K}[X]$ et $Q\in\mathbb{K}[X]$ . On définit le polynôme composé $P \circ Q$ par :
$P \circ Q = P(Q) = \displaystyle \sum_{n=0}^N a_n Q^n$

Proposition :

$\forall(P,Q)\in(\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^2$ : $\deg{(P \circ Q)=\deg{(P)}.\deg{(Q)}$

Proposition :

Pour tous $\alpha$ de $\mathbb{K}$ et $P,Q,R$ de $\mathbb{K}[X]$ :
$\bullet$ $(P+\alpha Q) \circ R= P \circ R+\alpha Q \circ R$
$\bullet$ $(P \circ Q) \circ R=P \circ (Q \circ R)$
$\bullet$ $(PQ) \circ R=(P \circ R)(Q \circ R)$
$\bullet$ $X \circ P=P \circ X=P$

Exemple :
$P=X^3-\dfrac{1}{2} X^2-1$ et $Q=2X-1$ .
Donc : $Q \circ P=Q(P)= 2X^3-X^2-3$ .
Et : $P \circ Q=P(Q)=(2x-1)^3-\dfrac{1}{2}(2X-1)^2-1=8X^3-14X^2+8X-\dfrac{5}{2}$ .
On vérifie aisément que : $\deg{(P \circ Q)}=\deg{(Q \circ P)}=\deg{(P)}\deg{(Q)}=3$ .

b) Polynôme dérivé

Définition :

Soit $P = \displaystyle \sum_{n=0}^N a_n X^n$ , on appelle polynôme dérivé de $P$ , le polynôme noté $P^{'}$ ou $\dfrac{dP}{dX}$ et défini par :
$P^{'}= \displaystyle \sum_{n=1}^N na_n X^{n-1}= \displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} (n+1)a_{n+1}X^n$

Puis par récurrence, on définit la dérivée $n$ -ième de $P$ , notée $P^{(n)}$ , en posant : $P^{(n)}=\begin{cases} P\text{ si & }n=0 \\ [P^{(n-1)}]^{'} \text{ si & } n\geq 1 \end{cases}$

Proposition :

$\forall P\in\mathbb{K}[X]$ : $\deg{(P^{'})}= \begin{cases} \deg{(P)}-1 \text{ si & }\deg{(P)}\geq 1 \\ -\infty \text{ si & } \deg{(P)}=0 \end{cases}$

Proposition :

$\forall P \in \mathbb{K}[X]$ : $\deg{(P)}\leq n \Longrightarrow P^{(n+1)}=0$

Proposition :

Pour tous $\alpha$ de $\mathbb{K}$ et $P,Q$ de $\mathbb{K}[X]$ :
$\bullet$ $(P+\alpha Q)^{'} = P^{'}+\alpha Q^{'}$
$\bullet$ $(PQ)^{'}=P^{'}Q+PQ^{'}$
$\bullet$ $(P \circ Q)^{'}=Q^{'}( P^{'} \circ Q)$

Proposition : (Formule de Leibniz)

$\forall (P,Q)$ de $(\mathbb{K}[X])^2$ , $\forall k\in\mathbb{N}$ : $(PQ)^{k}= \displaystyle \sum_{i=0}^{k} {k\choose i} P^{(i)} Q^{(k-i)}$

Théorème :

1)
Soit le monôme $P=X^n$ ( $n\in\mathbb{N}$ ), alors, $\forall k\in \mathbb{N}$ : $P^{(k)}= \begin{cases} \dfrac{n!}{(n-k)!} X^{n-k} \text{ si & }k\leq n \\ 0 \text{ si & } k>n \end{cases}$
Généralisation: Soit $P= \displaystyle \sum_{n} a_n X^n\in\mathbb{K}[X]$ , on a : $\forall k\in\mathbb{N}$ , $P^{(k)}= \displaystyle \sum_{n\geq k} \frac{n!}{(n-k)!} a_n X^{n-k}$
2)
En particulier, si $\deg{(P)} = n$ , alors $P^{(n)} = a_n n!$ , et si $k > \deg{(P)}$ , alors $P^{(k)} = 0$ .
3)
D'autre part, lorsque $k \leq \deg{(P)}$ , alors $\deg{(P^{(k)})} = \deg{(P)}- k$

Proposition : (Formules)

$\forall (P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^2$ :
$\bullet$ $(P+Q)^n= \displaystyle \sum_{k=0}^n {k\choose n} P^k Q^{n-k}$ : Binôme de Newton
$\bullet$ $P^n - Q^n = (P-Q) \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} P^k Q^{n-1-k}$

c) Fonction polynomiale
i) Définitions

Définition :

Pour tout $P= \displaystyle \sum_{n=0}^{N} a_n X^n$ de $\mathbb{K}[X]$ , on note $\widetilde{P} : \begin{array}{ll} &\mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{K} \\ &x \longrightarrow \displaystyle \sum_{n=0}^{N} a_n x^n \end{array}$ appelée fonction polynomiale associée à $P$ .

Proposition :

Pour tous $\alpha$ de $\mathbb{K}$ et $P,Q$ de $\mathbb{K}[X]$ :
$\bullet$ $\widetilde{P+\alpha Q} = \widetilde{P}+\alpha\widetilde{Q}$ .
$\bullet$ $\widetilde{PQ}=\widetilde{P}\widetilde{Q}$ .
$\bullet$ $\widetilde{P \circ Q}=\widetilde{P} \circ \widetilde{Q}$ .

Proposition :

L'application : $\begin{array}{ll} &\mathbb{K}[X] \longrightarrow \mathbb{K}^{\mathbb{K}} \\& P \longrightarrow \widetilde{P} \end{array}$ est injective ssi $\mathbb{K}$ est infini.

ii) Schéma de Ruffini-Hörner

Hörner et Ruffini ont cherché (séparément) à minimiser le nombre d'opérations à effectuer pour calculer l'image d'un nombre par une fonction polynomiale.
Soit $P =a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + ... + a_0$ un polynôme et $x_0$ un nombre. Le calcul de $\widetilde{P}(x_0)$ = $a_n x_0^n + a_{n-1}x_0^{n-1} + ... + a_0$ laisse à penser qu'il faut calculer chacune des puissances de $x_0$ , multiplier celle-ci par son coefficient $a_k$ puis faire la somme de ce que l'on a trouvé.
La méthode de Ruffini-Hörner consiste à améliorer encore ce résultat en effectuant le calcul comme suit : $\widetilde{P(x_0)} = ((...((a_nx_0 + a_{n-1})x_0 + a_{n-2})x_0 + ... ) x_0+ a_1)x_0 + a_0$
La méthode consiste à multiplier le premier coefficient par $x_0$ et à lui ajouter le second coefficient. On multiplie alors le nombre obtenu par $x_0$ et on lui ajoute le troisième coefficient et ainsi de suite. Cette méthode s'organise très bien à l'aide d'un tableau dans lequel chaque case de la seconde ligne est obtenue en multipliant le coefficient de la case de gauche par $x_0$ et en lui ajoutant le coefficient de la case du dessus.

Coefficients de $P$	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	$\cdots$	$a_1$	$a_0$
Facteur $x_0$	$a_n$	$a_n x_0 + a_{n - 1}$	$(a_n x_0 + a_{n-1})x_0 + a_{n-2}$	$\cdots$	$q_0$	$\widetilde{P}(x_0)=q_0 x_0 + a_0$

Par exemple, calculons $\widetilde{P}(4)$ avec $\widetilde{P}(x)=x^3-2x^2+3x-1$ :

Coefficients de $P$	$1$	$-2$	$3$	$-1$
Facteur $4$	$1$	$2$	$11$	$\widetilde{P}(4)=43$

iii) Formule de Taylor

Soit $P = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_i X^i$ , soit $k$ un entier compris entre $0$ et $n$ , alors $P^{(k)} =\displaystyle \sum_{i=k}^n \frac{i!}{(i-k)!}a_i X^{i-k}$ .
Substituons $0$ à $X$ , on obtient alors $\widetilde{P^{(k)}(0)} = k!a_k$ , on en déduit donc que : $\forall k\in$ { $0,\cdots, n$ } : $a_k=\dfrac{\widetilde{P^{(k)}(0)}}{k!}$
Remarquons que la formule reste vraie pour $k > n$ .
On obtient la formule de Taylor en 0 : $\boxed{P=\sum_{k} \frac{\widetilde{P^{(k)}(0)}}{k!} X^k}$
Soit $a \in \mathbb{K}$ , posons $Q = P(X + a)$ comme composée de $P$ avec le polynôme $X + a$ , d?après ce qui précède, on a : $Q= \displaystyle \sum_{k} \dfrac{\widetilde{Q^{(k)}(0)}}{k!} X^k$
Or, $Q^{(k)}=P^{(k)}(X+a)$ , donc : $\widetilde{Q^{(k)}(0)}=\widetilde{P^{(k)}(a)}$ .
De plus : $P=Q(X-a)$ .
On obtient : $\boxed{P=\sum_{k} \frac{\widetilde{P^{(k)}(a)}}{k!} (X-a)^k}$

Théorème : (dit de Taylor pour les polynômes)

Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ et $a\in\mathbb{K}$ , on a : $\boxed{P=\sum_{k} \frac{\widetilde{P^{(k)}(a)}}{k!} (X-a)^k}$ : C'est la formule de Taylor pour le polynôme $P$ en $a$

II. Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$

1. Divisibilité

Définition :

Soit $(P,S)\in(\mathbb{K}[X])^2$ , on dit que $S$ divise $P$ dans $\mathbb{K}[X]$ et on note : $S|P$ si et seulement s'il existe $Q \in\mathbb{K}[X]$ tel que : $P=SQ$

Remarque :
A la place de $S$ divise $P$ , on peut dire $S$ est un diviseur de $P$ , ou encore, $P$ est un multiple de $S$

Exemple :
Soient $P=X^2+2X+1$ et $Q=X+1$ deux polynômes de $\mathbb{K}[X]$
On a $P=X^2+2X+1=(X+1)^2= (X+1)(X+1)=Q^2=Q.Q$ , donc $Q|P$

Proposition :

$\forall P\in\mathbb{K}[X]$ : $P|P$ .
$\forall (P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^2$ : ( $Q|P$ et $P|Q \Longleftrightarrow \exists a\in\mathbb{K}- \lbrace 0 \rbrace, \, P=aQ$ ).
$\forall (P,Q,S)\in(\mathbb{K}[X])^3$ : ( $S|Q$ et $Q|P \Longrightarrow S|P$ )
$\forall (P,Q,S)\in(\mathbb{K}[X])^3$ : ( $S|P \Longrightarrow S|PQ$ )
$\forall (P,Q,S)\in(\mathbb{K}[X])^3$ : ( $S|P$ et $S|Q \Longrightarrow S|P+Q$ )
$\forall (P,Q,S,T)\in(\mathbb{K}[X])^4$ : ( $S|P$ et $T|Q \Longrightarrow ST|PQ$ )
$\forall (P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^2$ , $\forall n\in\mathbb{N}^*$ : ( $Q|P \Longrightarrow Q^n|P^n$ )

Proposition :

$\forall P\in\mathbb{K}[X]$ , $\forall a\in\mathbb{K}$ : $X-a|P \Longleftrightarrow \widetilde{P}(a)=0$

Définition :

On appelle idéal de $\mathbb{K}[X]$ toute partie $\mathfrak{J}$ de $\mathbb{K}[X]$ telle que :
$\bullet$ $\mathfrak{J} \neq \varnothing$ .
$\bullet$ $\forall (P,Q)\in \mathfrak{J}^2$ : $P+Q\in\mathfrak{J}$ .
$\bullet$ $\forall A\in\mathbb{K}[X]$ , $\forall P\in\mathfrak{J}$ : $AP\in\mathfrak{J}$

Théorème :

Pour tout idéal $\mathfrak{J}$ de $\mathbb{K}[X]$ , il existe $P_0 \in\mathbb{K}[X]$ tel que :
$\mathfrak{J}=P_0 \mathbb{K}[X] = \lbrace P\in\mathbb{K}[X], \exists A\in\mathbb{K}[X], P=P_0 A \rbrace$ .

On dit que tout idéal de $\mathbb{K}[X]$ est principal, ou encore : $\mathbb{K}[X]$ est un anneau principal

Remarque :
Voir cours " Compléments d'algèbre général - Notion d'idéal" pour plus de détails sur cette partie.

Théorème : (Division Euclidienne)

Soit $(A,B)\in \mathbb{K}[X]\times \mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace$ . Il existe un couple unique $(Q,R)$ de $(\mathbb{K}[X])^2$ tel que : $\boxed{\left\{\begin{matrix} A=BQ+R\\ \deg{(R)}<\deg{(Q)} \end{matrix}\right}.}$
Le polynôme $Q$ (respectivement $R$ ) est appelé le quotient (respectivement le reste) de la division Euclidienne de $A$ par $B$ .

Exemple :
La division Euclidienne de $X^3+X+1$ par $X+1$ :

$\begin{tabular}{rcrcrcrc|c} X^3 &+& 0X^2 &+ & X &+& 1 & & X + 1\\ \cline{9-9} -(X^3 &+& X^2) & & & & & & X^2 - X + 2 \\ \cline{1-3} & & -X^2 &+& X & & & & \\ & & -(-X^2 &-& X) & & & & \\ \cline{3-5} & & & & 2X &+& 1 & & \\ & & & &-(2X &+& 2) & & \\ \cline{5-7} & & & & & & -1 & & \\ \end{tabular}$

Conclusion : $X^3+X+1=(X+1)(X^2-X+2)-1$

2. Plus grand commun diviseur (PGCD) - Plus petit commun multiple (PPCM)
a) Généralités

Définition - Proposition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ , $(P_1,\cdots, P_n) \in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n$
$\bullet$ Il existe un polynôme et un seul $D$ , unitaire, non nul, diviseur commun de $P_1,\cdots, P_n$ et de plus haut degré parmi les diviseurs communs de $P_1,\cdots, P_n$ ; $D$ est est appelé le plus grand commun diviseur (en abrégé pgcd) de $P_1,\cdots, P_n$ , et noté $pgcd(P_1,\cdots, P_n)$ ou encore $pgcd((P_i)_{1\leq i\leq n})$
$\bullet$ Il existe un polynôme et un seul $M$ , unitaire, non nul, multiple commun de $P_1,\cdots, P_n$ et de plus bas degré parmi les multiples communs de $P_1,\cdots, P_n$ ; $M$ est est appelé le plus petit commun multiple (en abrégé ppcm) de $P_1,\cdots, P_n$ , et noté $ppcm(P_1,\cdots, P_n)$ ou encore $ppcm((P_i)_{1\leq i\leq n})$

Proposition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ , $(P_1,\cdots, P_n) \in(\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^n$ , $D=pgcd(P_1,\cdots, P_n)$ et $M=ppcm(P_1,\cdots, P_n)$ ; on a :
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} P_i \mathbb{K}[X] = D\mathbb{K}[X]$
$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}{P_i\mathbb{K}[X]}=M\mathbb{K}[X]$

Proposition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ ; $(P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n$ , $(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n$ , on a :
$pgcd((\alpha_i P_i)_{1\leq i\leq n})=pgcd((P_i)_{1\leq i\leq n})$ et $ppcm((\alpha_i P_i)_{1\leq i\leq n})=ppcm((P_i)_{1\leq i\leq n})$
Soit $n\in\mathbb{N}^*$ ; $(P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n$ ; $A\in \mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace$ unitaire, on a :
$pgcd((A P_i)_{1\leq i\leq n})=A. pgcd((P_i)_{1\leq i\leq n})$ et $ppcm((A P_i)_{1\leq i\leq n})= A. ppcm((P_i)_{1\leq i\leq n})$

Proposition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ ; $(P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n$ ; $D=pgcd(P_1,\cdots,P_n)$ , $M=ppcm(P_1,\cdots,P_n)$ , $(A,B)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^2$ , on a :
$\forall i\in \lbrace 1,\cdots,n \rbrace \, : \, A|P_i \Longleftrightarrow A|D$
$\forall i\in \lbrace 1,\cdots,n \rbrace \, : \, P_i|B \Longleftrightarrow M|B$

Proposition : (Associativité)

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ , $\mathfrak{P}$ une partition de $\lbrace 1,\cdots,n \rbrace$ , $(P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^n$ , on a :
$pgcd(( P_i)_{1\leq i\leq n})=pgcd( pgcd((P_i)_{1\leq i\leq n})_{I\in\mathfrak{P}}$
$ppcm(( P_i)_{1\leq i\leq n})=ppcm( ppcm((P_i)_{1\leq i\leq n})_{I\in\mathfrak{P}}$

Notation :

Pour $(P,Q)\in(\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^2$ , on notera : $pgcd(P,Q)=P\wedge Q$ et $ppcm(P,Q)=P\vee Q$

b) Algorithme d'Euclide

La division euclidienne fournit, comme dans le cas des nombres entiers relatifs (dans $\mathbb{Z}$ ), une méthode pour trouver le PGCD de deux polynômes, nommée Algorithme d'Euclide.

Lemme : (dit d'Euclide)

Soit $(A,B)\in(\mathbb{K}[X])^2$ , alors $\forall (P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^2$ tel que : $A=BP+Q$ , on a :
$A\wedge B= B\wedge Q$

Pour tout $(A,B)\in(\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^2$ , le PGCD de $A$ et $B$ est le dernier reste non nul normalisé dans la suite des divisions euclidiennes successives, le tebleau ci-dessous regroupe l'algorithme :

Opération	Reste	Résultat
division de $A$ par $B$	$R_0$	$\deg{(0)}\leq \deg{(R_0)}<\deg{(B)}$ et $A\wedge B= B\wedge R_0$
si $R_0 \neq 0$ , division de $B$ par $R_0$	$R_1$	$\deg{(0)}\leq \deg{(R_1)}<\deg{(R_0)}$ et $B\wedge R_0= R_0\wedge R_1$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
si $R_n \neq 0$ , division de $R_{n-1}$ par $R_n$	$0$	$R_{n-1}\wedge R_n= R_n$

Conclusion : $\boxed{A\wedge B = R_n}$

Exemple :
Cherchons $P\wedge Q$ avec : $P=X^5+3X^4+X^3+3X+1$ et $Q=X^4+2X^3+X+2$ :
1ère division Euclidienne : division de $P$ par $Q$
$\begin{tabular}{rcrcrcrcrcrc|c} X^5 & +&3X^4&+&X^3&+&X^2&+&3X &+& 1 & & X^4+2X^3+X+2\\ \cline{13-13}-X^5 &-& 2X^4 &- &0X^3 &- &X^2 &- &2X && & & X + 1 \\ \cline{1-9} & & X^4 &+& X^3 & &&+ &X&+&1&& \\ & & -X^4 &-& 2X^3 & & &- &X&-&2&& \\ \cline{3-11} & & & -& X^3 && & &&-&1&& \\ \end{tabular}$
On obtient $Q_1= X+1$ et $R_1=-X^3-1$ .

2ème division Euclidienne : division de $Q$ par $R_1$
$\begin{tabular}{rcrcrcrcrc|c} X^4 &+& 2X^3 &+ &0 X^2 &+& X&+&1 & & -X^3 - 1\\ \cline{11-11} -X^4 && & & & -& X& &&& -X - 2 \\ \cline{1-7} & & 2X^3 && & & &+ &2 && \\ & & -2X^3 && & & &- &2&& \\ \cline{3-9} & & & & && & &0&& \\ \end{tabular}$

$Q_2= -X-2$ et $R_2=0$

On en déduit que : $\boxed{P\wedge Q= R_1=-X^3-1}$

Proposition :

$\forall(A,B)\in (\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace )^{2}$ , $(A\wedge B)(A\vee B)$ est le polynôme normalisé de $AB$ .

3. Polynômes premiers entre eux - Polynômes irréductibles
a) Polynômes premiers entre eux

Définition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ ; $(P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^n$
On dit que $P_1,\cdots, P_n$ sont premiers entre eux dans leur ensemble ou encore étrangers ssi : $pgcd(P_1,\cdots, P_n)=1$ .
On dit que $P_1,\cdots, P_n$ sont premiers entre eux deux à deux ssi : $\forall(i,j)\in\lbrace1,\cdots, n \rbrace^{2}$ : $i\neq j \Longrightarrow P_i \wedge P_j =1$ .

Proposition :

$\forall$ $(A,B,C)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^3$ : $\begin{cases} A\wedge B = 1 \text{ & } \\ C|B \text{ & } \end{cases} \Longrightarrow A\wedge C=1$ .

Théorème : (dit de Bezout)

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ ; $(P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^n$ . Pour que $P_1,\cdots,P_n$ soient premiers entre eux dans leur ensemble, il faut et il suffit qu'il existe $(U_1,\cdots, U_n) \in(\mathbb{K}[X])^n$ tel que : $\boxed{\sum_{k=1}^{n} P_k U_k = 1}$ .

Théorème : (dit de Gauss)

$\forall (P,Q,R)\in(\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^3$ : $\begin{cases} P|QR \text{ & } \\ P\wedge Q=1 \text{ & } \end{cases}$ $\Longrightarrow P|R$ .

Proposition :

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls, non tous deux constants et premiers entre eux. Il existe $(U,V)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^2$ unique tel que : $PU+QV=1$ avec $\deg{(U)}<\deg{(Q)}$ et $\deg{(V)} < \deg{(P)}$ .

Proposition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ ; $(A,P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{n+1}$ . On a :
$(\forall i\in \lbrace 1,\cdots,n \rbrace \, , \, A\wedge P_i = 1)$ $\Longrightarrow$ $A\wedge \lefft( \displaystyle \prod_{i=1}^{n} P_i \right) =1$ .

Proposition :

$\forall(A,B)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{2}$ , $\forall (m,n)\in(\mathbb{N^*})^2$ :
$A\wedge B=1 \Longleftrightarrow A^n \wedge B^m = 1$ .

Proposition :

$\forall(A,B)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{2}$ , $\forall n\in\mathbb{N^*}$ : $A^n \wedge B^n=(A\wedge B)^n$ .

Proposition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ ; $(A,P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{n+1}$ .
Si $(\forall i\in$ { $1,\cdots,n$ } , $P_i|A )$ et si $P_1,\cdots,P_n$ sont premiers entre eux deux à deux, alors : $\displaystyle \prod_{i=1}^n P_i |A$ .

Proposition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ ; $(P_1,\cdots,P_n)\in (\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace)^{n}$ . Si $P_1,\cdots, P_n$ sont premiers entre eux deux à deux, alors le PPCM de $P_1,\cdots,P_n$ est le polynôme normalisé de $\displaystyle \prod_{i=1}^n P_i$ .

b) Polynômes irréductibles

Définitions :

Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ non constant.
Le polynôme $P$ est dit irréductible si et seulement si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes de la forme $\alpha P$ où $\alpha$ est une constante de $\mathbb{K}$ non nulle.
Le polynôme $P$ est dit premier ssi : $\forall A,B \in\mathbb{K}[X]$ , $P|AB$ $\Longrightarrow$ $P|A$ ou $P|B$ .

Théorème :

Un polynôme est premier, si et seulement si, il est irréductible.

On se permet alors, dans toute la suite, de confondre les deux notions.

Proposition :

Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ irréductible et $A\in\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace$ . On a : $P|A$ ou $P\wedge A=1$ .

Proposition :

Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ irréductible, $n\in\mathbb{N}^*$ , $A_1,\cdots , A_n \in\mathbb{K}[X]-\lbrace 0 \rbrace$ . On a :
$P| \displaystyle \prod_{i=1}^n A_i \Longleftrightarrow \exists i \in \lbrace1,\cdots, n \rbrace : P|A_i$ .

Théorème :

Tout polynôme de $\mathbb{K}[X]$ de degré supérieur ou égal à 1 admet une décomposition en produit de polynômes irréductibles, unique à l'ordre près des facteurs et à des constantes non nulles de $\mathbb{K}$ multiplicatives près.

Soit $A\in\mathbb{K}[X]$ avec $\deg{(A)} \geq 1$ . D'après le théorème précédent, il existe $N\in\mathbb{N}^*$ , $P_1,\cdots,P_N$ irréductibles et premiers entre eux deux à deux, $r_1,\cdots,r_n \in\mathbb{N}^*$ tels que : $\boxed{A=\prod_{i=1}^{N} P_i^{r_i}}$ , Cette égalité s'appelle la décomposition primaire de $A$ dans $\mathbb{K}[X]$ .

Proposition :

Tout polynôme de $\mathbb{K}[X]$ de degré supérieur ou égal à 1 admet au moins un diviseur irréductible.

Proposition :

Soient $A,B \in\mathbb{K}[X]$ , de degrés $\geq 1$ , unitaires et respectivement de décomposition primaire $A= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} P_i^{r_i}$ et $B= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} P_i^{s_i}$ (où $N\in\mathbb{N}^*$ , $P_1,\cdots ,P_N$ irréductibles, unitaires et premiers entre eux 2 à 2, $r_1,\cdots,r_N,s_1,\cdots,,s_N \in\mathbb{N}$ ). On a :
$A\wedge B = \displaystyle \prod_{i=1}^{N} P_i^{\min{(r_i,s_i)}}$ et $A\vee B = \displaystyle \prod_{i=1}^{N} P_i^{\max{(r_i,s_i)}}$

Proposition :

Les lois $\wedge$ et $\vee$ sont distributives l'une sur l'autre dans $\mathbb{K}[X]- \lbrace 0 \rbrace$ .

III. Racines des polynômes

Définition :

Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ , $a\in\mathbb{K}$ . On dit que a est une racine (ou : un zéro) de $P$ si et seulement si : $\tilde{P}(a)=0$ .

Proposition :

Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ , $n\in\mathbb{N}^*$ , $x_1,\cdots, x_n \in\mathbb{K}$ 2 à 2 distincts.
Si $x_1,\cdots, x_n$ sont racines de $P$ , alors : $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}(X-x_i)|P$ .

Proposition :

Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ , $n\in\mathbb{N}^*$ . Si $\deg{(P)}<n$ et si $P$ admet au moins n racines 2 à 2 distinctes, alors $P=0$ .

Définition :

Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ , $a\in\mathbb{K}$ , $r\in\mathbb{N}^*$
On dit que $a$ est une racine d'ordre au moins $r$ de $P$ si et seulement si : $(X-a)^r |P$
On dit que $a$ est une racine d'ordre exactement $r$ de $P$ si et seulement si : $(X-a)^r |P$ et $(X-a)^{r+1} \not{/}P$ .

Proposition - Définition :

Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ , $a\in\mathbb{K}$ .
Si $a$ est racine de $P$ , alors il existe un entier naturel non nul unique $r$ tel que $a$ soit une racine d'ordre $r$ exactement de $P$ , on dit que $r$ est l'ordre de multiplicité de $a$ (ou plus simplement $r$ est multiplicité de $a$ ) dans $P$ et on le note $m_P(a)$ .

Remarque :
Une racine de multiplicité 1 est appelée racine simple, une racine de multiplicité 2 est appelée racine double...etc

Exemple :
Soit $P=X^3+4X^2+5X+2$ , trouver les racines de $P$ ainsi que l'ordre de multiplicité de chacune.
On procède par "tâtonnement" simple en commençant par : $0, 1,-1,2,-2$ , etc
On obtient : $-1$ et $-2$ sont des racines de $P$
On divise $P$ par $X+2$ (division euclidienne), on trouve : $P=X^3+4X^2+5X+2=(X+2)(X^2+2X+1)$
Donc : $P=(X+2)(X+1)^2$
$m_P(-2)=1$ et $m_P(-1)=2$

Proposition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ , $x_1,\cdots,x_n \in\mathbb{K}$ 2 à 2 distincts, $A= \displaystyle \prod_{k=1}^{n} (X-x_{k})$ , $B\in\mathbb{K}[X]$ .
On a alors : $A|B \Longleftrightarrow$ ( $\forall k\in\lbrace1,\cdots,n \rbrace , \tilde{B}(x_k)=0$ ).

Définition :

Un polynôme $P$ de $\mathbb{K}[X]$ est dit scindé (ou encore scindable) sur $\mathbb{K}$ si et seulement s'il existe $\lambda\in\mathbb{K}^*$ , $n\in\mathbb{N}^*$ , $x_1,\cdots,x_n \in\mathbb{K}$ tels que : $P=\lambda \displaystyle \prod_{i=1}^{n} (X-x_i)$ .

Définition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ , $x_1,\cdots,x_n \in\mathbb{K}$ . On appelle fonctions symétriques élémentaires de $x_1,\cdots,x_n$ les expressions :
$\sigma_1= \displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i=x_1+x_2+\cdots+x_n$
$\sigma_2= \displaystyle \sum_{1\leq i_1 <i_2\leq n} x_{i_1}x_{i_2}=(x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_1x_n)+(x_2x_3+\cdots+x_2x_n)+\cdots+(x_{n-2}x_{n-1}+x_{n-2}x_n)+x_{n-1}x_n$
$\vdots$
$\sigma_k= \displaystyle \sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots <i_k\leq i_n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$
$\vdots$
$\sigma_n= \displaystyle \prod_{i=1}^{n} x_i$ .

Proposition :

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ , $(a_0,\cdots,a_n) \in\mathbb{K}^{n+1}$ tel que $a_n \neq 0$ et $P= \displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_i X^i$ .
Supposons que $P$ scindé sur $\mathbb{K}$ et notons $x_1,\cdots,x_n$ les racines de $P$ non nécessairement deux à deux distincts de sorte que : $P=a_n \displaystyle \prod_{i=1}^n (X-x_i)$
On a alors, en notant $\sigma_1,\cdots,\sigma_n$ les fonctions symétriques élémentaires de $x_1,\cdots,x_n$ :
$\sigma_1=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$ , $\cdots$ , $\sigma_k=(-1)^k \dfrac{a_{n-k}}{a_n}$ , $\cdots$ , $\sigma_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}$ .

Théorème :

Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ , $a\in\mathbb{K}$ , $\alpha\in\mathbb{N}^*$
Pour que $a$ soit racine d'ordre $\alpha$ au moins de $P$ , il faut et il suffit que : $\forall k \in\lbrace 0,\cdots,\alpha-1 \rbrace$ , $\tilde{P^{(k)}}(a)=0$
Pour que $a$ soit racine d'ordre $\alpha$ au moins de $P$ , il faut et il suffit que : $\forall k \in\lbrace 0,\cdots,\alpha-1 \rbrace$ , $\tilde{P^{(k)}}(a)=0$ et $\tilde {P^{(\alpha)}}(a)\neq 0$ .

Théorème : (dit de D'Alembert)

Le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.

Cela veut dire que tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$ .

Proposition :

Tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ est scindé sur $\mathbb{C}$ .

Proposition :

Les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ sont les polynômes de degré $1$ .
Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont les polynômes de degré $1$ et les trinômes du second degré à discriminant strictement négatif.

Publié par Panter le 14-01-2022

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