Fiche de mathématiques
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Réduction des endomorphismes linéaires

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I. Notations et définitions

Dans toute la suite, on désigne par K un corps commutatif (en général \mathbb{R} ou \mathbb{C}) et par E un K-espace vectoriel de dimension finie n > 0, par exemple E=K^n.
On note \mathcal{M}_n(K) le K-espace vectoriel des matrices carrées n \times n à coefficients dans K et GL_n(K) le groupe multiplicatif des matrices inversibles dans \mathcal{M}_n(K).
On dit qu'une matrice A = (a_{ij})_{{1\leq i \leq n} \atop {1\leq j\leq n}} de \mathcal{M}_n(K) est triangulaire si et seulement si a_{ij} = 0 pour 1 \leq j < i \leq n et on dit qu'elle est diagonale si a_{ij}=0 pour i\neq j. Si d_1 \, , \, \cdots \, , \, d_n sont des éléments de K on note Diag(d_1 \, , \, \cdots \, , \, d_n) la matrice (d_{ij})_{{1\leq i \leq n}\atop{1\leq j\leq n}} telle que d_{ii}=d_i et d_{ij}=0 si i\neq j. Par exemple, la matrice unité I_n et la matrice nulle O_n sont respectivement les matrices diagonales Diag(1 \, , \, \cdots \, , \, 1) et Diag(0 \, , \, \cdots \, , \, 0).

Deux matrices A et B de \mathcal{M}_n(K) sont semblables si et seulement s'il existe une matrice inversible P telle que B = P^{-1} A P.
Une matrice A de \mathcal{M}_n(K) est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale et elle est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire.
Une matrice A de \mathcal{M}_n(K) est nilpotente si et seulement s'il existe un entier m > 0 tel que A^m = O_n.
Le polynôme caractéristique d'une matrice A \in \mathcal{M}_n(K) est le polynôme \chi_A = \det\left(XI_n - A\right).

Un endomorphisme linéaire de E est une application linéaire u : E \to E. Un automorphisme de E est un endomorphisme bijectif de E. On note \mathcal{L}(E) l'espace vectoriel des endomorphismes linéaires de E.
Soit u \in \mathcal{L}(E). Si \mathcal{B} = (e_1 \, , \, \cdots \, , \, e_n) est une base de E, on appelle matrice de u par rapport à la base \mathcal{B}, la matrice M_{\mathcal{B}}(u) de \mathcal{M}_n(K) dont la j-ème colonne contient les coordonnées de u(e_j) par rapport à la base \mathcal{B}.
On dit que u est diagonalisable (resp. triangulable) si et seulement s'il existe une base \mathcal{B} de E telle que la matrice M_{\mathcal{B}}(u) soit diagonale (resp. triangulaire.)

Un élément \lambda \in K est une valeur propre de u si et seulement s'il existe v \in E tel que v \neq 0 \qquad \text{et} \qquad u(v) = \lambda v
Un tel élément v est un vecteur propre de u relatif à \lambda.
Si \lambda \in K, on pose V_\lambda = \lbrace v \in E \mid u(v) = \lambda v\rbrace  = \ker(\lambda Id_E-u)
Donc \lambda est une valeur propre de u si et seulement si V_\lambda\neq \lbrace 0\rbrace et dans ce cas V_\lambda est le sous-espace propre de urelatif à \lambda.

Un sous-espace vectoriel F de E est stable pour u si et seulement si u(F)\subset F.
On appelle polynôme caractéristique de u le polynôme \chi_u = \chi_{M_{\cal {B}}(u)}, où \mathcal{B} est n'importe quelle base de E.

On dit qu'un polynôme non constant P \in K[X] a toutes ses racines dans K s'il se décompose en facteurs du premier degré dans K[X].

Soit P = a_mX^m + \cdots + a_0 un polynôme à coefficients dans K. Pour toute matrice A \in \mathcal{M}_{n}(K) et pour tout endomorphisme u \in \mathcal{L}(E) on pose
\begin{array}{l} P(A)=a_mA^m+\cdots+a_0I_n\\ P(u)=a_mu^m+\cdots+a_0Id_E\end{array}
On appelle polynôme minimal d'un endomorphisme u ( resp. d'une matrice A) et on note \mu_u ( resp. \mu_A) le polynôme unitaire de degré minimal tel que \mu_u(u)=0_{\mathcal{L}(E)} (resp. \mu_A(A)=O_n)


II. Propriétés

Dans tout ce paragraphe on fixe un endomorphisme u\in \mathcal{L}(E).
Le polynôme caractéristique \chi_u est un polynôme unitaire de degré n. Son terme constant vaut (-1)^n\det u.
Soit P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0 un polynôme unitaire de degré n. La matrice compagnon de P est la matrice
M(P)=\left(\begin{array}{ccccl} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\ \ \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{array}\right)
Par calcul on voit que \chi_{M(P)}=P et on prouve que l'on a aussi \mu_{M(P)}=P.
Proposition :
Soit \lambda\in K. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    (i) \lambda est valeur propre de u
    (ii) \lambda Id_E-u n'est pas un isomorphisme
    (iii) \det(\lambda Id_E-u)=0
    (iv) \chi_u(\lambda)=0
    (v) \mu_u(\lambda)=0


Soient v_1 \, , \, \cdots \, , \, v_k des vecteurs propres relatifs à des valeurs propres \lambda_1 \, , \, \cdots \, , \, \lambda_k distinctes de u.
Alors la famille \left(v_1 \, , \, \cdots \, , \, v_k\right) est libre.
On en déduit que V_{\lambda_1}+\cdots+V_{\lambda_k}=V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}
Proposition :
Si u possède n valeurs propres distinctes, alors u est diagonalisable.


Si F est un sous-espace stable de u, la restriction u' de u à F peut être regardée comme un endomorphisme linéaire de F. On prouve que le polynôme \chi_{u'} divise \chi_u. En particulier, si \lambda est une valeur propre de u qui est racine d'ordre de multiplicité m de \chi_u, en prenant F=V_\lambda, on a \chi_{u'}=(X-\lambda)^{\dim V_\lambda} d'où l'on voit que dim V_\lambda\leq m
Théorème de Cayley-Hamilton :
On a \chi_u(u)=0_{\mathcal{L}(E)} et \chi_A(A) = O_n pour tout A \in \mathcal{M}_n(K).

Proposition :
L'ensemble \mathcal{I} = \lbrace P \in K[x] /  P(u)=0\rbrace est un idéal de l'anneau K[X] qui est engendré par le polynôme minimal \mu_ u. Ceci signifie que si P est un polynôme tel que P(u)=0, alors P est divisible par \mu_u. En particulier, \chi_u est un multiple de \mu_u.

Lemme des noyaux :
Soient P_1,...,P_k des polynômes premiers entre eux deux à deux et soit P=P_1\cdots P_k leur produit. On a alors\ker P(u)=\ker P_1(u)\oplus \cdots \oplus \ker P_k(u)

Théorème :
Soient \lambda_1,...,\lambda_k toutes les valeurs propres distinctes de u. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.
    (i) u est diagonalisable
    (ii) il existe une base de E formée de vecteurs propres de u
    (iii) E = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}
    (iv) \dim V_{\lambda_1}+\cdots +\dim V_{\lambda_k}=n
    (v) \chi_u = (X - \lambda_1)^{m_1}\cdots(X-\lambda_k)^{m_k}\ {\rm et}\ \dim V_{\lambda_i}=m_i\ {\rm  pour}\ 1\leq i\leq k
    (vi) \mu_u = (X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_k)
    (vii) il existe un polynôme P\in K[X] dont toutes les racines sont simples et tel que P(u)=0.

Théorème :
L'endomorphisme u est triangulable si et seulement si \chi_u a toutes ses racines dans K.

Corollaire :
Tous les endomorphismes linéaires d'un \mathbb{C}-espace vectoriel (et toutes les matrices carrées à coefficients dans \mathbb{C}) sont triangulables.


Supposons u triangulable ; alors on peut écrire \chi_u = (X-\lambda_1)^{m_1}\cdots(X-\lambda_k)^{m_k}. Pour 1\leq j \leq k, posons P_j=(X-\lambda_j)^{m_j} et E_j=\ker P_j(u). Les E_j sont les sous-espaces caractéristiques de u. Comme E_j est stable, u induit sur E_j un endomorphisme noté u'_j Avec ces notations on a la
Proposition :
    (i) E=E'_1\oplus\cdots\oplus E'_k
    (ii) \dim  E'_j=m_j pour 1\leq j\leq k
    (iii) \chi_{u'_j}=P_j pour 1\leq j\leq k


Décomposition de Dunford :
Si la matrice A\in \mathcal{M}_n(K) est triangulable, il existe dans \mathcal{M}_n(K), une matrice diagonalisable B et une matrice nilpotente N telles que A=B+N \qquad \text{et} \qquad BN=NB et cette décomposition est unique.

Soit p le plus grand entier tel que N^p\neq 0. En appliquant la formule du binôme on voit que
\begin{array}{lll} A^m=B^m+C_m^1B^{m-1}N+\cdots+C_m^mN^m & \text{ si } & 1\leq m\leq p\\ A^m=B^m+C_m^1B^{m-1}N+\cdots+C_m^{m-p}B^{m-p}N^p & \text{ si } & p<m\end{array}
Comme B est diagonalisable, il existe P \in GL_n(K) et une matrice diagonale D telles que B=P^{-1}DP et alors on a B^q=P^{-1}D^qP pour tout q\in\mathbb{N}. Cette décomposition rend donc très aisé le calcul des puissances successives de A et aussi celui de son exponentielle.


III. Exemples et applications

1. Homothéties

Soit \lambda \in K. L'homothétie de rapport \lambda est l'application h_\lambda définie sur le K-espace vectoriel E de dimension n par h_\lambda(x)=\lambda x.
On a  M_{\mathcal{B}}(h_\lambda) = Diag(\lambda,...,\lambda) pour n'importe quelle base \mathcal{B} de E. Pour tout u \in \mathcal{L}(E) on a h_\lambda\circ u = u \circ h_\lambda. On a \chi_{h_\lambda} = (X-\lambda)^n\ {\rm et}\ \mu_{h_\lambda}=X-\lambda.

2. Rotations

Soit \theta \in \mathbb{R}. On désigne par r_\theta la rotation de centre O = (0,0) et d'angle  \theta dans \mathbb{R}^2 et par R_\theta la matrice de r_\theta par rapport à la base canonique de \mathbb{R}^2.
On a donc R_\theta = \left(\begin{array}{cr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)
Si \theta \in \pi \mathbb{Z}, on voit que R_\theta = \pm I_2. Supposons \theta \notin \pi\mathbb{Z}. On a \chi_{R_\theta} = X^2-2X\cos \theta+1
Le polynôme \chi_{R_\theta} n'a aucune racine réelle, donc R_\theta n'est ni diagonalisable, ni triangulable dans \mathcal{M}_2({\mathbb{R}).

Considérons maintenant R_\theta comme élément de \mathcal{M}_2({\mathbb{C}). Dans \mathbb{C}[X], on a \chi_{R_\theta} = (X-e^{i\theta})(X-e^{-i\theta}), donc R_\theta est diagonalisable dans {\cal M}_2({\mathbb{C}). On voit que v_1 = (i,1) et v_2 = (1,i) sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres e^{i\theta} et e^{-i\theta}. En calculant l'inverse de la matrice de passage de la base canonique à la base {\cal V}=(v_1 , v_2), on vérifie qu'on a bien
\left(\begin{array}{rr} -i/2 & 1/2 \\ 1/2 & -i/2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} i & 1 \\ 1 & i \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{array}\right)

3. Matrices nilpotentes

Soit N \in \mathcal{M}_n(K) une matrice nilpotente non nulle et soit p le plus grand entier tel que N^p\neq O_n. On a \chi_N=X^n\ {\rm et}\ \mu_N=X^{p+1}, donc N est triangulable, mais n'est pas diagonalisable. Par exemple, si p = n-1, N est semblable à la matrice
J_n=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & & & \ddots & 1\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right)

4. Projecteurs

Un élément u \in \mathcal{L}(E) est un projecteur si et seulement si u^2=u.
Soit P=X^2-X. Comme P(u) = 0 on ne peut avoir que \mu_u = X et alors u = 0_{\mathcal{L}(E)}, \mu_u=X-1 et alors u = Id_E ou \mu_u = X(X-1). Dans tous les cas u est diagonalisable.
Si on poseV_0 = \ker u et V_1 = \ker(Id_E-u), on voit que E=V_0 \oplus V_1. On vérifie facilement que V_1 = Im u.

5. Eléments d'ordre fini deGL_n(\mathbb{C})

Soit q un entier strictement positif et soit A une matrice d'ordre q de GL_n(\mathbb{C}), c'est-à-dire telle que A^q = I_n et A^{q-1} \neq I_n. Soit P=X^q-1 =\displaystyle \prod_{m=0}^{q-1}\left(X-e^{\frac{2mi\pi}{q}}\right). On a P(A)=0 et toutes les racines de P sont simples. Il en résulte que A est diagonalisable dans \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) et est semblable à une matrice diagonale ayant comme termes diagonaux des racines q-ièmes de l'unité.

6. Sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable

Soit u \in \mathcal{L}(E) un endomorphisme diagonalisable et soit Fun sous-espace de E stable par u. On note u' l'endomorphisme induit sur F. Le polynôme \mu_u se décompose en facteurs du premier degré dans K[X] et on a \mu_u(u') = 0, donc u' est diagonalisable.

7. Suites récurrentes

Soit k un entier strictement positif, a_0 \, , \, \cdots \, , \, a_{k-1} des nombres réels et soit E l'ensemble des suites réelles (x_n) qui vérifient la condition (\forall n \in \mathbb{N}) \x_{n+k}=a_0 x_n + \cdots + a_{k-1} x_{n+k-1}\qquad\qquad(*).
E est un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension k.
Soit P=X^k-a_{k-1} - \cdots- a_0, et soit M la matrice compagnon de P.
Posons pour n \in \mathbb{N}, X_n = (x_n \, , \, \cdots \, , \, x_{n+k-1}). Pour tout n, on a X_{n+1}={}^tMX_n et par suite X_n={}^tM^nX_0. Il suffit de calculer les puissances de M pour avoir X_n en fonction de X_0, ou encore x_n en fonction de x_0 \, , \, \cdots \, , \, x_{k-1}. De plus, comme \chi_M = P, on sait si M est diagonalisable ou triangulable.

8. Suites de Fibonacci

Soit E l'espace vectoriel des suites réelles x_n telles que x_{n+2}=x_{n+1}+x_n pour tout n.
Avec les notations ci-dessus, on a P=X^2-X-1=\left(X-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(X-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right), donc la matrice M, qui a deux valeurs propres distinctes, est diagonalisable. On voit qu'il existe des réels \alpha et \beta tels que x_n = \alpha\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \beta\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
et la donnée de x_0 et x_1 permet de déterminer \alpha et \beta.

9. Remarques sur les matrices semblables

Soient A et B deux matrices de \mathcal{M}_n(K).
Si elles sont semblables, on a \chi_A=\chi_B et \mu_A=\mu_B, mais ces deux conditions ne suffisent pas en général à assurer la similitude de A et B. Ainsi, dans {\cal M}_4(K), les deux matrices
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \: \: \text{ et } \: \: B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)
vérifient \chi_A=\chi_B=(X-1)^4 et \mu_A=\mu_B=(X-1)^2, mais elles ne sont pas semblables puisque le sous-espace propre relatif à 1 est de dimension 2 pour A et de dimension 3 pour B.

Une matrice A est diagonalisable dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) si et seulement si A est diagonalisable dans \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) et toutes ses valeurs propres sont réelles.

10. Réduction en blocs dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R})

Pour tout couple (a \, , \, b) \in \mathbb{R}^2, on pose M(a,b)=\left(\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \end{array}\right).
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) une matrice diagonalisable dans \mathcal{M}_n(\mathbb{C}).
Il existe des entiers p et q tels que p+2q=n, et des réels \lambda_1 \, , \, \cdots \, , \, \lambda_p \, , \, a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_q \, , \, b_1 \, , \, \cdots \, , \, b_q tels que la matrice Asoit semblable à la matrice diagonale par blocs
\left(\begin{array}{cccccc} \lambda_1 & & & &  & \\  & \ddots & & & & \\  & & \lambda_p& & & \\   \\ & & &  M(a_1,b_1) & &  \\ & & & & \ddots & \\  & & &  &  &  M(a_q,b_q)\end{array}\right)
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