Fiche de mathématiques

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Réduction des endomorphismes linéaires

I. Notations et définitions

Dans toute la suite, on désigne par $K$ un corps commutatif (en général $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) et par $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n > 0$ , par exemple $E=K^n$ .
On note $\mathcal{M}_n(K)$ le $K$ -espace vectoriel des matrices carrées $n \times n$ à coefficients dans $K$ et $GL_n(K)$ le groupe multiplicatif des matrices inversibles dans $\mathcal{M}_n(K)$ .
On dit qu'une matrice $A = (a_{ij})_{{1\leq i \leq n} \atop {1\leq j\leq n}}$ de $\mathcal{M}_n(K)$ est triangulaire si et seulement si $a_{ij} = 0$ pour $1 \leq j < i \leq n$ et on dit qu'elle est diagonale si $a_{ij}=0$ pour $i\neq j$ . Si $d_1 \, , \, \cdots \, , \, d_n$ sont des éléments de $K$ on note $Diag(d_1 \, , \, \cdots \, , \, d_n)$ la matrice $(d_{ij})_{{1\leq i \leq n}\atop{1\leq j\leq n}}$ telle que $d_{ii}=d_i$ et $d_{ij}=0$ si $i\neq j$ . Par exemple, la matrice unité $I_n$ et la matrice nulle $O_n$ sont respectivement les matrices diagonales $Diag(1 \, , \, \cdots \, , \, 1)$ et $Diag(0 \, , \, \cdots \, , \, 0)$ .

Deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_n(K)$ sont semblables si et seulement s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $B = P^{-1} A P$ .
Une matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(K)$ est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale et elle est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire.
Une matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(K)$ est nilpotente si et seulement s'il existe un entier $m > 0$ tel que $A^m = O_n$ .
Le polynôme caractéristique d'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est le polynôme $\chi_A = \det\left(XI_n - A\right)$ .

Un endomorphisme linéaire de $E$ est une application linéaire $u : E \to E$ . Un automorphisme de $E$ est un endomorphisme bijectif de $E$ . On note $\mathcal{L}(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes linéaires de $E$ .
Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ . Si $\mathcal{B} = (e_1 \, , \, \cdots \, , \, e_n)$ est une base de $E$ , on appelle matrice de $u$ par rapport à la base $\mathcal{B}$ , la matrice $M_{\mathcal{B}}(u)$ de $\mathcal{M}_n(K)$ dont la $j$ -ème colonne contient les coordonnées de $u(e_j)$ par rapport à la base $\mathcal{B}$ .
On dit que $u$ est diagonalisable (resp. triangulable) si et seulement s'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que la matrice $M_{\mathcal{B}}(u)$ soit diagonale (resp. triangulaire.)

Un élément $\lambda \in K$ est une valeur propre de $u$ si et seulement s'il existe $v \in E$ tel que $v \neq 0 \qquad \text{et} \qquad u(v) = \lambda v$
Un tel élément $v$ est un vecteur propre de $u$ relatif à $\lambda$ .
Si $\lambda \in K$ , on pose $V_\lambda = \lbrace v \in E \mid u(v) = \lambda v\rbrace = \ker(\lambda Id_E-u)$
Donc $\lambda$ est une valeur propre de $u$ si et seulement si $V_\lambda\neq \lbrace 0\rbrace$ et dans ce cas $V_\lambda$ est le sous-espace propre de $u$ relatif à $\lambda$ .

Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable pour $u$ si et seulement si $u(F)\subset F$ .
On appelle polynôme caractéristique de $u$ le polynôme $\chi_u = \chi_{M_{\cal {B}}(u)}$ , où $\mathcal{B}$ est n'importe quelle base de $E$ .

On dit qu'un polynôme non constant $P \in K[X]$ a toutes ses racines dans $K$ s'il se décompose en facteurs du premier degré dans $K[X]$ .

Soit $P = a_mX^m + \cdots + a_0$ un polynôme à coefficients dans $K$ . Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(K)$ et pour tout endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ on pose $\begin{array}{l} P(A)=a_mA^m+\cdots+a_0I_n\\ P(u)=a_mu^m+\cdots+a_0Id_E\end{array}$ On appelle polynôme minimal d'un endomorphisme $u$ ( resp. d'une matrice $A$ ) et on note $\mu_u$ ( resp. $\mu_A$ ) le polynôme unitaire de degré minimal tel que $\mu_u(u)=0_{\mathcal{L}(E)}$ (resp. $\mu_A(A)=O_n$ )

II. Propriétés

Dans tout ce paragraphe on fixe un endomorphisme $u\in \mathcal{L}(E)$ .
Le polynôme caractéristique $\chi_u$ est un polynôme unitaire de degré $n$ . Son terme constant vaut $(-1)^n\det u$ .
Soit $P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0$ un polynôme unitaire de degré $n$ . La matrice compagnon de $P$ est la matrice
$M(P)=\left(\begin{array}{ccccl} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\ \ \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{array}\right)$
Par calcul on voit que $\chi_{M(P)}=P$ et on prouve que l'on a aussi $\mu_{M(P)}=P.$

Proposition :

Soit $\lambda\in K$ . Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) $\lambda$ est valeur propre de $u$
(ii) $\lambda Id_E-u$ n'est pas un isomorphisme
(iii) $\det(\lambda Id_E-u)=0$
(iv) $\chi_u(\lambda)=0$
(v) $\mu_u(\lambda)=0$

Soient $v_1 \, , \, \cdots \, , \, v_k$ des vecteurs propres relatifs à des valeurs propres $\lambda_1 \, , \, \cdots \, , \, \lambda_k$ distinctes de $u$ .
Alors la famille $\left(v_1 \, , \, \cdots \, , \, v_k\right)$ est libre.
On en déduit que $V_{\lambda_1}+\cdots+V_{\lambda_k}=V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}$

Proposition :

Si $u$ possède $n$ valeurs propres distinctes, alors $u$ est diagonalisable.

Si $F$ est un sous-espace stable de $u$ , la restriction $u'$ de $u$ à $F$ peut être regardée comme un endomorphisme linéaire de $F$ . On prouve que le polynôme $\chi_{u'}$ divise $\chi_u$ . En particulier, si $\lambda$ est une valeur propre de $u$ qui est racine d'ordre de multiplicité $m$ de $\chi_u$ , en prenant $F=V_\lambda$ , on a $\chi_{u'}=(X-\lambda)^{\dim V_\lambda}$ d'où l'on voit que $dim V_\lambda\leq m$

Théorème de Cayley-Hamilton :

On a $\chi_u(u)=0_{\mathcal{L}(E)}$ et $\chi_A(A) = O_n$ pour tout $A \in \mathcal{M}_n(K).$

Proposition :

L'ensemble $\mathcal{I} = \lbrace P \in K[x] / P(u)=0\rbrace$ est un idéal de l'anneau $K[X]$ qui est engendré par le polynôme minimal $\mu_ u$ . Ceci signifie que si $P$ est un polynôme tel que $P(u)=0$ , alors $P$ est divisible par $\mu_u$ . En particulier, $\chi_u$ est un multiple de $\mu_u.$

Lemme des noyaux :

Soient $P_1,...,P_k$ des polynômes premiers entre eux deux à deux et soit $P=P_1\cdots P_k$ leur produit. On a alors $\ker P(u)=\ker P_1(u)\oplus \cdots \oplus \ker P_k(u)$

Théorème :

Soient $\lambda_1,...,\lambda_k$ toutes les valeurs propres distinctes de $u$ . Alors les conditions suivantes sont équivalentes.
(i) $u$ est diagonalisable
(ii) il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$
(iii) $E = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}$
(iv) $\dim V_{\lambda_1}+\cdots +\dim V_{\lambda_k}=n$
(v) $\chi_u = (X - \lambda_1)^{m_1}\cdots(X-\lambda_k)^{m_k}\ {\rm et}\ \dim V_{\lambda_i}=m_i\ {\rm pour}\ 1\leq i\leq k$
(vi) $\mu_u = (X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_k)$
(vii) il existe un polynôme $P\in K[X]$ dont toutes les racines sont simples et tel que $P(u)=0.$

Théorème :

L'endomorphisme $u$ est triangulable si et seulement si $\chi_u$ a toutes ses racines dans $K$ .

Corollaire :

Tous les endomorphismes linéaires d'un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel (et toutes les matrices carrées à coefficients dans $\mathbb{C}$ ) sont triangulables.

Supposons $u$ triangulable ; alors on peut écrire $\chi_u = (X-\lambda_1)^{m_1}\cdots(X-\lambda_k)^{m_k}$ . Pour $1\leq j \leq k$ , posons $P_j=(X-\lambda_j)^{m_j}$ et $E_j=\ker P_j(u)$ . Les $E_j$ sont les sous-espaces caractéristiques de $u$ . Comme $E_j$ est stable, $u$ induit sur $E_j$ un endomorphisme noté $u'_j$ Avec ces notations on a la

Proposition :

(i) $E=E'_1\oplus\cdots\oplus E'_k$
(ii) $\dim E'_j=m_j$ pour $1\leq j\leq k$
(iii) $\chi_{u'_j}=P_j$ pour $1\leq j\leq k$

Décomposition de Dunford :
Si la matrice $A\in \mathcal{M}_n(K)$ est triangulable, il existe dans $\mathcal{M}_n(K)$ , une matrice diagonalisable $B$ et une matrice nilpotente $N$ telles que $A=B+N \qquad \text{et} \qquad BN=NB$ et cette décomposition est unique.

Soit $p$ le plus grand entier tel que $N^p\neq 0$ . En appliquant la formule du binôme on voit que
$\begin{array}{lll} A^m=B^m+C_m^1B^{m-1}N+\cdots+C_m^mN^m & \text{ si } & 1\leq m\leq p\\ A^m=B^m+C_m^1B^{m-1}N+\cdots+C_m^{m-p}B^{m-p}N^p & \text{ si } & p<m\end{array}$
Comme $B$ est diagonalisable, il existe $P \in GL_n(K)$ et une matrice diagonale $D$ telles que $B=P^{-1}DP$ et alors on a $B^q=P^{-1}D^qP$ pour tout $q\in\mathbb{N}$ . Cette décomposition rend donc très aisé le calcul des puissances successives de $A$ et aussi celui de son exponentielle.

III. Exemples et applications

1. Homothéties

Soit $\lambda \in K.$ L'homothétie de rapport $\lambda$ est l'application $h_\lambda$ définie sur le $K$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n$ par $h_\lambda(x)=\lambda x$ .
On a $M_{\mathcal{B}}(h_\lambda) = Diag(\lambda,...,\lambda)$ pour n'importe quelle base $\mathcal{B}$ de $E.$ Pour tout $u \in \mathcal{L}(E)$ on a $h_\lambda\circ u = u \circ h_\lambda.$ On a $\chi_{h_\lambda} = (X-\lambda)^n\ {\rm et}\ \mu_{h_\lambda}=X-\lambda.$

2. Rotations

Soit $\theta \in \mathbb{R}.$ On désigne par $r_\theta$ la rotation de centre $O = (0,0)$ et d'angle $\theta$ dans $\mathbb{R}^2$ et par $R_\theta$ la matrice de $r_\theta$ par rapport à la base canonique de $\mathbb{R}^2$ .
On a donc $R_\theta = \left(\begin{array}{cr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$
Si $\theta \in \pi \mathbb{Z}$ , on voit que $R_\theta = \pm I_2.$ Supposons $\theta \notin \pi\mathbb{Z}.$ On a $\chi_{R_\theta} = X^2-2X\cos \theta+1$
Le polynôme $\chi_{R_\theta}$ n'a aucune racine réelle, donc $R_\theta$ n'est ni diagonalisable, ni triangulable dans $\mathcal{M}_2({\mathbb{R})$ .

Considérons maintenant $R_\theta$ comme élément de $\mathcal{M}_2({\mathbb{C})$ . Dans $\mathbb{C}[X],$ on a $\chi_{R_\theta} = (X-e^{i\theta})(X-e^{-i\theta})$ , donc $R_\theta$ est diagonalisable dans ${\cal M}_2({\mathbb{C})$ . On voit que $v_1 = (i,1)$ et $v_2 = (1,i)$ sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}.$ En calculant l'inverse de la matrice de passage de la base canonique à la base ${\cal V}=(v_1 , v_2),$ on vérifie qu'on a bien
$\left(\begin{array}{rr} -i/2 & 1/2 \\ 1/2 & -i/2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} i & 1 \\ 1 & i \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{array}\right)$

3. Matrices nilpotentes

Soit $N \in \mathcal{M}_n(K)$ une matrice nilpotente non nulle et soit $p$ le plus grand entier tel que $N^p\neq O_n.$ On a $\chi_N=X^n\ {\rm et}\ \mu_N=X^{p+1},$ donc $N$ est triangulable, mais n'est pas diagonalisable. Par exemple, si $p = n-1,$ $N$ est semblable à la matrice
$J_n=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & & & \ddots & 1\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right)$

4. Projecteurs

Un élément $u \in \mathcal{L}(E)$ est un projecteur si et seulement si $u^2=u$ .
Soit $P=X^2-X.$ Comme $P(u) = 0$ on ne peut avoir que $\mu_u = X$ et alors $u = 0_{\mathcal{L}(E)}$ , $\mu_u=X-1$ et alors $u = Id_E$ ou $\mu_u = X(X-1)$ . Dans tous les cas $u$ est diagonalisable.
Si on pose $V_0 = \ker u$ et $V_1 = \ker(Id_E-u)$ , on voit que $E=V_0 \oplus V_1$ . On vérifie facilement que $V_1 = Im u$ .

5. Eléments d'ordre fini de $GL_n(\mathbb{C})$

Soit $q$ un entier strictement positif et soit $A$ une matrice d'ordre $q$ de $GL_n(\mathbb{C})$ , c'est-à-dire telle que $A^q = I_n$ et $A^{q-1} \neq I_n$ . Soit $P=X^q-1 =\displaystyle \prod_{m=0}^{q-1}\left(X-e^{\frac{2mi\pi}{q}}\right)$ . On a $P(A)=0$ et toutes les racines de $P$ sont simples. Il en résulte que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et est semblable à une matrice diagonale ayant comme termes diagonaux des racines $q$ -ièmes de l'unité.

6. Sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme diagonalisable et soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$ . On note $u'$ l'endomorphisme induit sur $F$ . Le polynôme $\mu_u$ se décompose en facteurs du premier degré dans $K[X]$ et on a $\mu_u(u') = 0$ , donc $u'$ est diagonalisable.

7. Suites récurrentes

Soit $k$ un entier strictement positif, $a_0 \, , \, \cdots \, , \, a_{k-1}$ des nombres réels et soit $E$ l'ensemble des suites réelles $(x_n)$ qui vérifient la condition $(\forall n \in \mathbb{N}) \x_{n+k}=a_0 x_n + \cdots + a_{k-1} x_{n+k-1}\qquad\qquad(*)$ .
$E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $k$ .
Soit $P=X^k-a_{k-1} - \cdots- a_0$ , et soit $M$ la matrice compagnon de $P$ .
Posons pour $n \in \mathbb{N}$ , $X_n = (x_n \, , \, \cdots \, , \, x_{n+k-1})$ . Pour tout $n$ , on a $X_{n+1}={}^tMX_n$ et par suite $X_n={}^tM^nX_0$ . Il suffit de calculer les puissances de $M$ pour avoir $X_n$ en fonction de $X_0$ , ou encore $x_n$ en fonction de $x_0 \, , \, \cdots \, , \, x_{k-1}$ . De plus, comme $\chi_M = P$ , on sait si $M$ est diagonalisable ou triangulable.

8. Suites de Fibonacci

Soit $E$ l'espace vectoriel des suites réelles $x_n$ telles que $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$ pour tout $n$ .
Avec les notations ci-dessus, on a $P=X^2-X-1=\left(X-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(X-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right),$ donc la matrice $M$ , qui a deux valeurs propres distinctes, est diagonalisable. On voit qu'il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $x_n = \alpha\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \beta\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$
et la donnée de $x_0$ et $x_1$ permet de déterminer $\alpha$ et $\beta$ .

9. Remarques sur les matrices semblables

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(K)$ .
Si elles sont semblables, on a $\chi_A=\chi_B$ et $\mu_A=\mu_B$ , mais ces deux conditions ne suffisent pas en général à assurer la similitude de $A$ et $B$ . Ainsi, dans ${\cal M}_4(K)$ , les deux matrices
$A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \: \: \text{ et } \: \: B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
vérifient $\chi_A=\chi_B=(X-1)^4$ et $\mu_A=\mu_B=(X-1)^2$ , mais elles ne sont pas semblables puisque le sous-espace propre relatif à 1 est de dimension 2 pour $A$ et de dimension 3 pour $B$ .

Une matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ si et seulement si $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et toutes ses valeurs propres sont réelles.

10. Réduction en blocs dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

Pour tout couple $(a \, , \, b) \in \mathbb{R}^2$ , on pose $M(a,b)=\left(\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \end{array}\right)$ .
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
Il existe des entiers $p$ et $q$ tels que $p+2q=n$ , et des réels $\lambda_1 \, , \, \cdots \, , \, \lambda_p \, , \, a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_q \, , \, b_1 \, , \, \cdots \, , \, b_q$ tels que la matrice $A$ soit semblable à la matrice diagonale par blocs $\left(\begin{array}{cccccc} \lambda_1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & \lambda_p& & & \\ \\ & & & M(a_1,b_1) & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & M(a_q,b_q)\end{array}\right)$

Publié par Camélia le 30-11--0001

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