Fiche de mathématiques
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Séries numériques

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Remarque : Fiche à travailler en ligne, seule la page 1 est téléchargeable.

I. Définitions

Soit (u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite à valeurs dans \mathbb{R} ou \mathbb{C}. On lui associe une nouvelle suite (U_n)_{n\ \in \mathbb{N}} en posant
U_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{k=n}u_k
Le couple \left((u_n) \, , \, (U_n)\right) est appelé la série de terme général u_n. On notera \sum u_n la série \left((u_n) \, , \, (U_n)\right).
Le nombre u_n est le n-ième terme et le nombre U_n est la n-ième somme partielle de la série \sum u_n.
On convient que si la suite (u_n) est définie seulement pour n supérieur à un entier m, on pose u_0 = u_1 = \cdots = u_{m-1} = 0, de sorte que U_n = u_m + \cdots + u_n pour n \geq m.
L'étude de la série \sum u_n est l'étude de la suite (U_n)_{n \in \mathbb{N}}. On dira donc que la série \sum u_n est convergente si et seulement si la suite (U_n) est convergente et on dira que la série \sum u_n est divergente si et seulement si la suite (U_n) est divergente.
Si la série \sum u_n est convergente, on appelle somme de cette série le nombre
\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} U_n = \displaystyle \lim_{n \to +\infty}(u_0 + \cdots + u_n)
et, pour chaque entier n \in \mathbb{N}, on appelle reste de rang n de la série le nombre
R_n = \displaystyle \sum_{k = n+1}^{+\infty} u_k = \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n - U_n
Il arrive que pour une série convergente, on note
\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n + \cdots
On dit qu'une série \sum u_n est absolument convergente si et seulement si la série \sum |u_n| est convergente. Une série qui est convergente, mais qui n'est pas absolument convergente, est une série semi-convergente.
Une série \sum u_n est à termes positifs si et seulement si u_n est un nombre réel positif pour tout n \in \mathbb{N}. Une série alternée est une série \sum u_n dont tous les termes sont réels et telle que u_nu_{n+1}< 0 pour tout n \in \mathbb{N}.
Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries. On appelle produit de Cauchy de ces séries et on note \sum u_n  \star \sum v_n la série \sum w_nw_n est défini pour chaque n par
w_n = u_0v_n + u_1v_{n-1} + \cdots + u_nv_0 = \displaystyle \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k}

II. Propriétés générales

On ne change pas la nature d'une série si on modifie un nombre fini de ses termes. Si elle était divergente, elle reste divergente ; si elle était convergente, elle reste convergente, mais sa somme peut changer.

Si \sum u_n et \sum v_n sont des séries convergentes et si \lambda et \mu sont des nombres complexes, alors la série \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\lambda u_n + \mu v_n\right) est convergente et on a
\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\lambda u_n + \mu v_n\right) = \lambda \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \mu \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n


Soient \sum x_n et \sum y_n des séries réelles. La série complexe \sum(x_n + iy_n) est convergente si et seulement si les séries \sum x_n et \sum y_n sont convergentes.

Si \sum u_n est une série convergente, alors \displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n = 0.
Critère de Cauchy :

Une série \sum u_n est convergente si et seulement si
\left(\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\right) \, \left(\exists n_0 \in \mathbb{N}\right) \, \left(\forall p \in \mathbb{N}\right) \, \left(\forall q \in \mathbb{N}\right) \, \left(p > q \geq n_0 \Rightarrow \left|u_{q+1} + u_{q+2} + \cdots + u_p \right| \leq \varepsilon\right)



Sommation par tranches :
A une série \sum u_n on associe une nouvelle série \sum v_n obtenue en calculant d'abord des sommes de termes consécutifs de la série donnée. Précisément, on se donne une application strictement croissante \varphi \: : \: \mathbb{N} \to \mathbb{N} et on pose
v_0 = u_0 + \cdots + u_{\varphi(0)} \hspace{15pt} \text{et} \hspace{15pt} v_n = u_{\varphi(n-1)+1} + \cdots + u_{\varphi(n)} \text{ pour } n \geq 1
de sorte que les sommes partielles V_n de \sum v_n vérifient V_n = U_{\varphi(n)}.
Avec ces notations, si la série \sum u_n converge, alors la série \sum v_n converge aussi et \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n = \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} v_n. La réciproque est fausse mais on a la proposition suivante :
Si \sum v_n converge et si
\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left(\|u_{\varphi(n-1) + 1}\| + \cdots + \|u_{\varphi(n)}\|) = 0
alors \sum u_n converge et \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n = \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} v_n.
En particulier, si p est un entier supérieur à 2 et si les termes sont groupés p par p, c'est-à-dire si \varphi(n) = p(n+1)-1, on peut affirmer que si \sum v_n converge et si \displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n = 0, alors \sum u_n converge et \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n = \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} v_n.

III. Séries à termes positifs

Dans tout ce paragraphe, toutes les séries ont tous leurs termes réels positifs. Si \sum u_n est une telle série, la suite (U_n) de ses sommes partielles est une suite à termes réels positifs qui est croissante. On sait qu'il y a exactement deux possibilités :
    la suite (U_n) n'est pas bornée, et alors \displaystyle \lim_{n \to +\infty} U_n = +\infty et la série \sum u_n est divergente.
    la suite (U_n) est bornée, et alors elle admet pour limite sa borne supérieure ; dans ce cas la série \sum u_n est convergente et \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \sup_{n \in\ \mathbb{N}} U_n.
Principe de comparaison :

Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries telles que u_n \leq v_n pour tout n \in \mathbb{N}. Alors :
    si \sum u_n diverge, \sum v_n diverge.
    si \sum v_n converge, \sum u_n converge et \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \leq \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n.

Proposition :

Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries à termes positifs. On suppose que v_n > 0 pour tout n \in \mathbb{N}. Alors
    si \sum v_n converge et si \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = 0, alors \sum u_n converge.
    si \sum v_n diverge et si \displaystyle \lim_{n \to  +\infty} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = +\infty, alors \sum u_n diverge.
    si la suite \left(\frac{u_n}{v_n}\right) a une limite non nulle, alors les deux séries \sum u_n et \sum v_n sont de même nature.

Règle de d'Alembert :

Soit \sum u_n une série à termes strictement positifs telle que la suite \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) admette une limite a.
Si a < 1, la série converge et si a > 1, la série diverge.

Règle de Cauchy :

Soit \sum u_n une série à termes strictement positifs telle que la suite \sqrt[n]{u_n} admette une limite a.
Si a < 1, la série converge et si a > 1, la série diverge.

Règle nalpha un :

Soient \sum u_n une série à termes positifs et \alpha un nombre réel.
    si \alpha > 1 et si la suite (n^\alpha u_n) a une limite, alors la série \sum u_n converge.
    si \alpha \leq 1 et si la suite (n^\alpha u_n) a une limite non nulle ou tend vers +\infty, alors la série \sum u_n diverge.

Comparaison avec une intégrale :

Soit f : [1 \, , \, +\infty[ \to \mathbb{R}_+^* une fonction décroissante.
La série \sum f(n) est convergente si et seulement si l'intégrale \displaystyle \int_1^{+\infty} f(t) \, dt est convergente et, lorsque c'est le cas, on a
\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} f(n) \leq \displaystyle \int_ 1^{+\infty}f(t) \, dt \leq \sum_{n=1}^{+\infty} f(n)

Sommation par tranches :

Soient \sum u_n une série à termes positifs, \varphi \: : \: \mathbb{N} \to \mathbb{N} une fonction strictement croissante et \sum v_n la série associée en sommant par tranches.
Les séries \sum u_n et \sum v_n sont de même nature et, si elles convergent, on a
\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n

Remarque :
Dans la mesure ou on peut changer un nombre fini de termes d'une série sans modifier sa nature, les résultats de ce paragraphe, dès lors qu'ils ne concernent que la nature des séries, peuvent s'appliquer si les hypothèses sont vérifiées sauf pour un nombre fini de termes.

IV. Séries absolument convergentes

Si une série \sum u_n, réelle ou complexe, est absolument convergente, alors elle est convergente et on a
\left|\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right| \leq \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|
Convergence commutative :

Soient \sum u_n, une série absolument convergente et \sigma \: : \: \mathbb{N} \to \mathbb{N} une bijection.
La série \sum u_{\sigma(n)} est absolument convergente et l'on a \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_{\sigma(n)}.

Théorème de Cauchy-Mertens :

Soient \sum u_n, une série absolument convergente et \sum v_n une série convergente.
Leur produit de Cauchy \sum w_n est une série convergente et \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} w_n = \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right) \left(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n \right). Si \sum v_n est elle aussi absolument convergente, alors \sum w_n est absolument convergente.



V. Séries semi-convergentes

Théorème de Leibniz pour les séries alternées :

Soit (a_n) une suite positive décroissante qui tend vers 0.
La série alternée \sum (-1)^n a_n est convergente et, en notant U_n ses sommes partielles, on a pour tout n
U_{2n+1} \leq \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n \leq U_{2n}



Transformation d'Abel :
Soit \sum u_n, une série dont le terme général est écrit sur la forme u_n = a_nb_n. On note U_n et B_n les sommes partielles des séries \sum u_n et \sum b_n. On a
\begin{array}{rl} U_n & = a_0 b_0 + \cdots + a_n b_n \\  & = a_0B_0 + a_1(B_1-B_0) + \cdots + a_n(B_n - B_{n-1}) \\  & = (a_0-a_1)B_0 + (a_1-a_2)B_1 + \cdots +(a_{n-1}-a_n)B_{n-1} + a_nB_n\\  & = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (a_k - a_{k+1})B_k + a_nB_n \end{array}
Le procédé qui nous fournit cette expression de U_n est appelé la transformation d'Abel. On voit donc que si la série \sum(a_n-a_{n+1})B_n et la suite (a_nB_n) sont convergentes, alors la série \sum u_n converge. Un cas ou ces conditions sont vérifiées est fourni par le
Théorème d'Abel :

Soient (a_n) une suite réelle décroissante et (b_n) une suite complexe.
Si la suite (|B_n|) des valeurs absolues des sommes partielles de la série \sum b_n est majorée et si \displaystyle \lim_{n \to +\infty}a_n = 0, alors la série \sum a_nb_n est convergente.



VI. Exemples et contrexemples

Séries géométriques :

Pour z \in \mathbb{C}, on appelle série géométrique de raison z la série \sum z^n.
    si |z| \geq 1, la série \sum z^n diverge.
    si |z| < 1, la série \sum z^n converge et \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} z^n = \frac{1}{1-z}.



Séries de Riemann :
Soit \alpha \in \mathbb{R}.
Une série de Riemann est une série de la forme \sum \frac{1}{n^\alpha} (bien entendu, définie pour n \geq 1).
La série \sum \frac{1}{n^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1.
Pour 0 < \alpha \leq 1, la série \sum \frac{1}{n^\alpha} est donc divergente bien que son terme général tende vers 0.
La série \sum \frac{1}{n} est appelée la série harmonique.
Par ailleurs, si on note u_n le terme général d'une série de Riemann, on voit que dans tous les cas \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) = 1 et que \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{u_n} = 1 ce qui montre que si le nombre a qui figure dans les règles de d'Alembert et de Cauchy vaut 1, ces règles ne permettent pas d'en déterminer la nature.

Développement décimal :
Considérons une série de la forme \sum \frac{a_n}{10^n}, où a_n est un entier tel que 0 \leq a_n \leq 9 et a_0 = 0. Une telle série est convergente, et on a \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{10^n} \in [0 \, , \, 1]. On prouve que tout réel x \in [0 \, , \, 1] est somme d'une telle série, que l'on appelle un développement décimal de x. S'il existe un entier m tel que a_n = 9 pour n \geq m + 1, on dit que le développement est impropre. Considérons un réel x \in [0 \, , \, 1] qui admet un développement impropre \sum \frac{a_n}{10^n} et soit m tel que a_m \neq 9 et a_n = 9 pour n \geq m+1. Puisque
\displaystyle \sum_{n=m+1}^{+\infty} \frac{9}{10^n} = \frac{9}{10^{m+1}} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{10}\right)^n = \frac{9}{10^{m+1}} \: \frac{1}{1-1/10} = \frac{1}{10^m}
on a aussi
x = \frac{a_1}{10} + \cdots + \frac{a_{m-1}}{10^{m-1}} + \frac{a_{m}+1}{10^m}
et x admet un deuxième développement décimal propre (et fini).

Série exponentielle :
Il s'agit de la série \sum \frac{z^n}{n!} pour z \in \mathbb{C}. Cette série est absolument convergente pour chaque z ; on pose
\exp(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}
et la fonction ainsi définie est appelée l'exponentielle complexe. On démontre que \exp(1) = e, où e est la base du logarithme népérien et que pour x \in \mathbb{R} on a \exp(x) = e^x. Ceci justifie l'écriture \exp(z) = e^z pour tout z \in \mathbb{C}. Si z_1 et z_2 sont des nombres complexes, en calculant le produit de Cauchy \left(\sum \frac{z_1^n}{n!}\right) \star \left(\sum \frac{z_2^n}{n!}\right) on voit que e^{z_1} \, e^{z_2} = e^{z_1+z_2}. En particulier, il en résulte que e^z \, e^{-z} = 1 et par suite que e^z \neq 0 pour tout z \in \mathbb{C}.
Les fonctions trigonométriques, sinus (\sin) et cosinus (\cos) et les fonctions sinus hyperbolique (sh) et cosinus hyperbolique (ch) sont définies sur \mathbb{C} à partir de l'exponentielle par
\begin{array}{lll} \sin(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} & \hspace{15pt} & sh(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{e^z-e^{-z}}{2} \\ \cos(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} & & ch(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!} = \frac{e^z+e^{-z}}{2} \end{array}
Si z = x+iy avec x et y réels, on a e^z = e^x\left(\cos y + i\sin y) et |e^z|=e^x.

Remarques sur les règles de d'Alembert et Cauchy :
Soit \sum u_n une série à termes strictement positifs. On démontre que si la suite \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) tend vers a, il en est de même pour la suite (\sqrt[n]{u_n}). Si, en ayant appliqué la règle de d'Alembert, on se trouve dans le cas a = 1 qui ne permet pas de conclure, il est inutile d'essayer la règle de Cauchy. En revanche, si la suite \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) n'a pas de limite, la règle de Cauchy peut permettre de conclure.
Par exemple, pour la série \sum u_n définie par u_{2n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n et u_{2n+1} = 2u_{2n}, la suite \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) n'a pas de limite, mais \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{u_n} = \sqrt{\frac{2}{3}} < 1 ce qui montre que cette série converge.
Par ailleurs, dans la mesure où ces deux règles consistent à comparer la série proposée à une série géométrique, on peut en cas de besoin alléger un peu les hypothèses. Par exemple, même si la suite \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) n'a pas de limite, mais vérifie \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq a < 1 pour n supérieur à un entier n_0, on a u_{n_0 + k} \leq a^k u_{n_0} et le principe de comparaison montre que la série converge.

La série harmonique alternée :
Il s'agit de la série \sum \frac{(-1)^{n}}{n+1}. C'est une série alternée semi-convergente (exemple de série qui converge mais pas absolument). On a
\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \ln 2
Considérons la série \sum v_n suivante :
1 \, , \, \frac{1}{3} \, , \, -\frac{1}{2} \, , \, \frac{1}{5} \, , \, \frac{1}{7} \, , \, -\frac{1}{4} \, , \, \cdots \, , \, \frac{1}{4n+1} \, , \, \frac{1}{4n+3} \, , \, -\frac{1}{2n+2} \, , \, \cdots
qui a les mêmes termes que la série harmonique alternée, mais dans un autre ordre. En groupant ces termes 3 par 3, on obtient une nouvelle série \sum w_n définie par
w_n = v_{3n} + v_{3n+1} + v_{3n+2} = \frac{8n+5}{2(n+1)(4n+1)(4n+3)}

C'est une série à termes positifs et, puisque (n^2w_n) tend vers 1/4, elle converge, et \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} w_n > w_0 = \frac{5}{6}. Alors, par sommation par tranches, on voit que \sum v_n converge et a la même somme que \sum w_n. On a donc \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n > \frac{5}{6}. Mais
\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}
et par suite \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} \neq \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} v_n. La série harmonique alternée n'est donc pas commutativement convergente.

Un produit de Cauchy de séries convergentes qui est divergent :
Considérons la série \sum u_nu_n = \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}. Il s'agit d'une série alternée qui est convergente d'après le théorème de Leibniz, mais qui n'est pas absolument convergente, puisque \displaystyle \lim_{n \to +\infty}n^{1/2}|u_n| = 1. Soit \sum v_n = \left(\sum u_n \right) \star \left(\sum u_n \right). On a alors
v_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n u_k u_{n-k} = (-1)^n \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k+1} \, \sqrt{n-k+1}}
Pour 0 \leq k \leq n on a \frac{1}{\sqrt{k+1} \, \sqrt{n-k+1}} \geq \frac{1}{n+1} et par suite |v_n| \geq 1 et, puisque (v_n) ne tend pas vers 0, la série \sum v_n diverge.

Exemple de sommation par tranches d'une série divergente :
Soient \varphi et \psi les applications de \mathbb{N} dans \mathbb{N} définies par \varphi(n) = n(n+1) et \psi(n) = (n+1)^2. Soit \sum u_k la série définie par u_0 = 0, u_k = \frac{1}{n+1} si \varphi(n) < k \leq \psi(n) et u_k = -\frac{1}{n+1} si \psi(n) < k \leq \varphi(n+1). Les premiers termes de cette série sont
0 \, , \, 1 \, , \, -1 \, , \, \frac{1}{2} \, , \, \frac{1}{2} \, , \, -\frac{1}{2} \, , \, -\frac{1}{2} \, , \, \frac{1}{3} \, , \, \frac{1}{3} \, , \, \frac{1}{3} \, , \, -\frac{1}{3} \, , \, -\frac{1}{3} \, , \, -\frac{1}{3} \, , \, \frac{1}{4} \, , \, \cdots
Si on note U_n les sommes partielles de cette série, on voit que U_{\varphi(n)} = 0 et U_{\psi(n)} = 1 pour tout n. Les sommations par tranches associées aux applications \varphi et \psi sont donc convergentes et donnent des sommes distinctes. La suite (U_n) admettant deux suites extraites de limites différentes, la série \sum u_n est divergente.

VII. Plan d'étude d'une série

Pour finir, voici un plan et quelques conseils pour étudier une série \sum u_n.
1. A-t-on \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 ? Si non, la série est divergente. Si oui, elle garde toutes ses chances de converger.
2. La série est-elle absolument convergente ? On est amené à étudier la série à termes positifs \sum |u_n|. En général les tests de d'Alembert, de Cauchy ou des comparaisons permettent de conclure. Si elle est absolument convergente, elle est convergente ; sinon, elle a encore une chance d'être semi-convergente (si elle n'est pas à termes positifs).
3. On essaie d'appliquer le théorème de Leibniz pour une série alternée, ou la transformation d'Abel si Leibniz ne convient pas.

Il se peut qu'aucune de ces méthodes ne permette de conclure. Il faut garder présent à l'esprit que, hormis le critère de Cauchy qui est très malaisé à appliquer, tous les résultats que nous avons mentionnés fournissent des conditions ou bien nécessaires, ou bien suffisantes de convergence, mais pas les deux. Il reste donc toujours quelques cas non couverts (et dans la littérature on trouve bien d'autres tests de convergence).

Il faut aussi comprendre qu'en général on ne sait pas calculer la somme d'une série convergente. L'intérêt des séries est justement le fait que les sommes partielles fournissent des approximations aussi bonnes que l'on désire de la somme que l'on ne connaît pas. L'exemple type est le nombre irrationnel e = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} dont on peut calculer la valeur avec une bonne précision en calculant les sommes partielles. Ainsi, la 7-ème somme partielle vaut 2 + \frac{3620}{7!} = 2,7182, et on voit que l'erreur est inférieure à 10-4, donc 2,7182 < e < 2,7183.

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