Fiche de mathématiques
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Complément sur les Séries de fonctions : Approximations uniformes

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\rm K=\mathbb{R}\ ou\ \mathbb{C}.
[a,b] est un segment inclus dans \mathbb{R} \, (a < b ).
F est un espace vectoriel normé.

I. Approximation par des fonctions en escaliers

Définition
Une application f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R} est dite en escaliers si et seulement si il existe une subdivision \sigma=(x_0,\cdots,x_p) de [a,b] tq f est constante sur chaque intervalle ouvert ]x_k,x_{k+1}[ avec (0\leq k\leq p-1)

Propriétés
1) Toute fonction en escaliers sur [a,b] est bornée sur [a,b].
2) Toute combinaison linéaire de fonctions en escaliers sur [a,b] est une fonction en escaliers sur [a,b].
3) Si F est une K-algèbre normée, le produit de deux fonctions en escaliers sur [a,b] et à valeurs dans F est une fonction en escaliers.
4) La restriction d'une fonction en escaliers sur [a,b] à un segment [c,d] inclus dans [a,b] est une fonction en escaliers sur [c,d].
5) Si f:[a,b]\longrightarrow F est en escaliers, il en est de même de la fonction : |f|:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R},x\longrightarrow |f(x)|.

Théorème
Toute fonction f:[a,b]\longrightarrow F continue, est limite uniforme sur [a,b] d'une suite de fonctions en escaliers.




II. Approximation par des fonctions continues par morceaux

Définition
Une application f:[a,b]\longrightarrow F est dite continue par morceaux ssi il existe une subdivision \sigma=(x_0,\cdots,x_p) de [a,b] telle que pour tout k\in [|0,p+1|] on ait:
. f est continue sur ]x_k,x_{k+1}[.
. \lim_{x_k^+}f et \lim_{x_k^-}f existent dans F.

Propriétés
1) Si f:[a,b]\longrightarrow F est continue par morceaux, alors elle ne présente sur [a,b] qu'un nombre fini de points de discontinuité (Réciproque est fausse en général).
2) Toute fonctionf:[a,b]\longrightarrow F continue par morceaux est bornée sur [a,b].
3) Toute combinaison linéaire de fonctions continues par morceaux f,g:[a,b]\longrightarrow F est une fonction continue par morceaux.
4) Si F est une K-algèbre normée, le produit de deux fonctions f,g:[a,b]\longrightarrow F continues par morceaux est une fonction continue par morceaux.
5) La restriction d'une fonction f:[a,b]\longrightarrow Fcontinue par morceaux à un segment [c,d] inclus dans [a,b] est une fonction continue par morceaux sur [c,d].
6) Si f:[a,b]\longrightarrow F est continue par morceaux, il en est de même de la fonction : ||f||:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R},x\longrightarrow ||f(x)||

Théorème
Toute fonction f:[a,b]\longrightarrow F continue par morceaux est limite uniforme sur [a,b] d'une suite de fonctions en escaliers.




III. Approximation par des fonctions continues et affines par morceaux

Définition
f:I\longrightarrow F est affine ssi (\exists(A,B)\in F^2)(\forall t\in I) : f(t)=tA+B

Définition
Une application f:[a,b]\longrightarrow F est dite affine par morceaux ssi il existe une subdivision \sigma=(x_0,\cdots,x_p) de [a,b] telle que f est affine sur chaque ]x_k,x_{k+1}[ (0\leq k\leq p-1).

Théorème
Toute fonction f:[a,b]\longrightarrow F continue est limite uniforme sur [a,b] d'une suite de fonctions continues et affines par morceaux.




IV. Approximation polynomiale

Ici F = K
Théorème (1er Th. de Weierstrass)
Toute fonction f:[a,b]\longrightarrow K continue est limite uniforme sur [a,b] d'une suite de fonctions polynomiales.

Définition
On appelle polynôme trigonométrique de fonction f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{C} tq :
\exist n\in\mathbb{C}^* , \exist (c_k)_{-n\leq k\leq n} \in \mathbb{C} tq : \forall x\in \mathbb{R}, f(x)= \displaystyle \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx}


Remarque :
Un polynome trigonométrique s'exprime aussi comme suit :
f(x)=\dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k cos(kx)+b_k sin(kx))
(a_k)_{k \in \left[\hspace{-1ex}\left[\hspace{0.5ex} 0,n \hspace{0.5ex} \right]\hspace{-1ex}\right]} } et (b_k)_{k\in \left[\hspace{-1ex}\left[\hspace{0.5ex} 1,n \hspace{0.5ex} \right]\hspace{-1ex}\right]} } sont deux familles de complexes.
Théorème (2ème Th. de Weierstrass)
Toute fonction f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{C} continue et 2\pi-périodique est limite uniforme sur \mathbb{R} d'une suite de polynomes trigonométriques.

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