Fiche de mathématiques
> >

Séries de fonctions

Partager :


Prérequis : Les séries numériques.



I. Définitions

Soit X une partie non vide de \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
Si (f_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite de fonctions de X dans \mathbb{R} ou \mathbb{C}, on lui associe une nouvelle suite (F_n) définie en posant F_n = f_0 + f_1 + \cdots + f_n pour chaque n ; on appelle série de fonctions de terme général f_n et on note \sum f_n le couple ((f_n),(F_n)).
On dit qu'une série de fonctions \sum f_n est simplement convergente sur X si et seulement si la série \sum f_n(x) est convergente c'est-à-dire si et seulement si la suite \displaystyle \sum_{k=0}^nf_k(x) admet une limite pour tout x. Si c'est le cas, on définit une nouvelle fonction F sur X en posant F(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x) = \displaystyle \lim_{n\to +\infty}F_n(x). La fonction F notée \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n est la somme de la série \sum f_n.
Pour toute fonction f qui est bornée sur X, on pose ||f||_X = \sup_{x\in X}|f(x)|. Le nombre ||f||_X est la norme de la convergence uniforme de f sur X. S'il n'y a pas de risque de confusion, on note simplement ||f||.
On dit qu'une série \sum f_n est uniformément convergente sur X s'il existe une fonction F telle que \displaystyle \lim_{n\to +\infty}||F_n-F||_X=0.

Soit \sum f_n une série de fonctions.
On dit qu'une série à termes positifs \sum \alpha_n est une série majorante de \sum f_n sur X si et seulement si (\forall x\in X)\, |f_n(x)|\leq \alpha_n ou encore si et seulement si ||f_n||\leq\alpha_n.
On dit qu'une série de fonctions \sum f_n est normalement convergente sur X si et seulement si elle admet une série majorante convergente, ou encore si et seulement si la série \sum ||f_n|| est convergente.

Une série entière est une série de fonctions de la forme \sum a_nz^n(a_n) est une suite de nombres réels ou complexes et où z\in\mathbb{C}.
Si f est une fonction réelle indéfiniment dérivable définie sur un intervalle ouvert contenant un point a on appelle série de Taylor de f au point a la série de fonctions \sum \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n.
Si a = 0, on parle de la série de Mac-Laurin de f.


II. Propriétés générales

Soit \sum f_n une série de fonctions définie sur une partie X de \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
Si \sum f_n converge normalement sur X, alors pour tout x\in X, la série \sum f_n(x) est absolument convergente, d'où l'on voit que la série \sum f_n converge simplement sur X et, pour tout x\in X on a \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n\right)(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x).
Si \sum f_n converge normalement sur X, alors \sum f_n converge uniformément sur X et si \sum f_n converge uniformément sur X, alors \sum f_n converge simplement sur X.
Voici un schéma décrivant les rapports entre les différents modes de convergence d'une série de fonctions sur un ensemble X.

\begin{array}{ccc}\boxed{\rm\ convergence\ normale\ } & \Rightarrow & \boxed{\rm \ convergence\ uniforme\ }\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ \boxed{\rm \ convergence\ absolue \ en\  chaque\ point\ } & \Rightarrow & \boxed{\rm \ convergence\ simple\ }\end{array}
Théorème d'interversion du passage à la limite.

Soit \sum f_n une série de fonctions normalement convergente sur X et soit F = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n. Soit a un point tel que chacune des fonctions f_n admette une limite au point a. On pose u_n = \displaystyle \lim_{x\to a}f_n(x).
Alors la série \sum u_n est convergente, la fonction F admet une limite au point a et on a \displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_n=\displaystyle \lim_{x\to a}F(x) ou encore \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (\displaystyle \lim_{x\to a}f_n(x)) = \displaystyle \lim_{x\to a}\left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)

On déduit de ce théorème que si les fonctions f_n sont toutes continues sur X et si \sum f_n converge normalement sur X, alors la fonction \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n est continue sur X.

Supposons que X soit une partie non majorée de \mathbb{R}, par exemple un intervalle de la forme [x_0,+\infty[. Soit \sum f_n une série de fonctions qui converge normalement sur X et telle que pour chaque n la fonction f_n admette une limite lorsque x tend vers +\infty. Alors \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f_n(x)) = \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)
Bien entendu, on a un résultat analogue pour x tendant vers -\infty.

Dans la suite, I est un intervalle de \mathbb{R} et \sum f_n est une suite de fonctions de I dans \mathbb{R}.
Théorème d'interversion des intégrales.

Soient a et b des réels tels que [a,b]\subset I.
Si la série \sum f_n converge normalement sur [a,b], la série \sum \left(\displaystyle \int_a^bf_n(t)dt\right) est convergente et on a \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \int_a^b f_n(t)dt\right) = \displaystyle \int_a^b \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(t) \right)dt

Soit a\in I. En appliquant le théorème ci-dessus, on voit que si les f_n sont toutes continues, la série des primitives des f_n qui s'annulent en a est simplement convergente et a pour somme la primitive de \sum f_n qui s'annule en a.
Dérivabilité.

On suppose que les fonctions f_n sont toutes dérivables sur I, que la série \sum f'_n des dérivées est normalement convergente sur I et qu'il existe a\in I tel que la série numérique \sum f_n(a) soit convergente.
Alors la série \sum f_n converge simplement sur I, sa somme est une fonction dérivable et on a \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)' = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f'_n(x)




III. Séries entières

Théorème.

Soit \sum a_n z^n une série entière.
Alors une et une seule des trois conditions suivantes est satisfaite :
(i) la série numérique \sum a_nz^n est divergente pour tout z\in\mathbb{C}^*
(ii) il existe un réel strictement positif R tel que la série \sum a_nz^n soit divergente si |z| > R et absolument convergente si |z| < R
(iii) la série \sum a_nz^n est absolument convergente pour tout z\in\mathbb{C}.

Le rayon de convergence \rho de la série est défini par \rho = 0 dans le cas (i), \rho = R dans le cas (ii) et \rho = +\infty dans le cas (iii). Dans tous les cas \sum a_nz^n est absolument convergente pour |z| < \rho et divergente pour |z|>\rho.


Pour r \in \mathbb{R}_+^* on note D_r = \lbrace z\in\mathbb{C}\ |\ |z|<r\rbrace et \overline{D_r} = \lbrace z\in\mathbb{C}\ | \ |z|\leq r\rbrace ; on pose D_0 = \emptyset et \overline{D_0} = \lbrace 0\rbrace ainsi que D_\infty = \overline{D_\infty} = \mathbb{C}.
On appelle disque de convergence de la série \sum a_nz^n de rayon de convergence \rho l'ensemble D_\rho . La somme S de la série est donc définie sur D_\rho par S(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nz^n.
Proposition.

Soit \rho le rayon de convergence de \sum a_nz^n et soit r \in ]0 , \rho[.
La série converge normalement sur \overline{D_r}.

De cette proposition on déduit immédiatement que la somme S est continue sur le disque de convergence.
Proposition.

Les séries \sum a_nz^n et \sum(n+1)a_{n+1}z^n ont le même rayon de convergence.


Dans le reste de ce paragraphe on considère une série entière \sum a_nz^n(a_n) est une suite de nombres réels. On suppose que le rayon de convergence \rho de cette série est strictement positif. On peut alors définir une fonction f : ]-\rho,\rho[\to\mathbb{R} en posant f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n.
Proposition.

La fonction f ainsi définie est indéfiniment dérivable et on a pour x \in ]-\rho,\rho[ et pour k > 0 f^{(k)}(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty  (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)a_{n+k}\,x^n

On remarque que f^{(k)}(0)=k!a_k ce qui montre que dans ce cas pour x\in]-\rho,\rho[ on a f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k et f coïncide avec la somme de sa série de Mac-Laurin.
On peut aussi s'intéresser au problème suivant. Si f est une fonction réelle définie sur un intervalle ouvert I et si a\in I, existe-t-il une série entière \sum a_nz^n de rayon de convergence \rho>0 telle que pour x \in ]a-\rho , a+\rho[\cap I on ait f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n ? Compte tenu des résultats précedents, si la réponse est oui, la fonction f est forcément indéfiniment dérivable et a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}, donc la seule série qui peut convenir est la série de Taylor de f au point a. Malheureusement cette série peut avoir un rayon de convergence nul, ou avoir une somme différente de f. Pour montrer qu'une fonction est égale à la somme de sa série de Taylor, on peut utiliser le résultat suivant.
Formule de Taylor avec reste intégral.

Si f : I\to\mathbb{R} est indéfiniment dérivable, pour tout n \in \mathbb{N} tout x et tout a dans I, on a
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \displaystyle \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt




IV. Exemples et contrexemples

Une suite de fonctions simplement, mais pas uniformément convergente.

Pour n > 0, soit \varphi_n la fonction définie sur [0,1] par
\varphi_n(x) = \left \lbrace \begin{array}{ccc}2nx & {\rm pour}& 0\leq x\leq \frac{1}{2n}\\ -2n^2x+2n & {\rm pour} &  \frac{1}{2n}\leq x\leq \frac{1}{n} \\ 0 & {\rm pour} & x\geq \frac{1}{n}\end{array} \right .
La suite (\varphi_n) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1], notée \varphi. Comme ||\varphi - \varphi_n|| = n, la convergence n'est pas uniforme. Remarquons que \displaystyle \lim_{n\to +\infty}\varphi_n(t)\ dt = 1 et que \displaystyle \int_0^1\varphi(t)\,dt = 0, donc \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \int_0^1 \varphi_n(t)\,dt \neq \displaystyle \int_0^1 \left(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\varphi_n(t)\right)dt.

Continuité et dérivabilité.

Considérons la série \sum f_n définie sur \mathbb{R} par f_n(x) = \frac{x}{(1+x^2)^n}. On a f_n(0)=0 pour tout n et \frac{1}{1+x^2}<1 pour x\neq 0 donc cette série converge simplement sur \mathbb{R}; elle est même absolument convergente en chaque point de \mathbb{R}. Mais on voit que ||f_n|| = f_n\left(\sqrt{\frac{1}{2n-1}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2n-1}\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^n}.
Comme \displaystyle \lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^n = \sqrt e, la série \sum ||f_n|| est de même nature que la série  \sum \frac{1}{\sqrt{2n-1}}, c'est-à-dire divergente. Par conséquent, \sum f_n n'est pas normalement convergente. La fonction F = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n est définie par F(0) = 0 et F(x) = \frac{1+x^2}{x} pour x\neq 0. Comme \displaystyle \lim_{x\to 0_+}F(x) = +\infty, la fonction F n'est pas continue en 0, bien que toutes les fonctions f_n le soient.
La série de fonctions \sum f_n définie sur \mathbb{R} par f_n(x)=\frac{\sin(n^2x)}{n^2} admet la série \sum\frac{1}{n^2} pour série majorante, donc elle converge normalement sur \mathbb{R}. Mais f'_n(x) = \cos(n^2x) et la série \sum f'_n ne converge même pas simplement (par exemple \sum f'_n(0) diverge puisque f'_n(0)=1 pour tout n).

Une série uniformément, mais pas normalement convergente.

Soit f_n la fonction définie pour n\geq 1 sur [1,+\infty[ par
f_n(x) = \lbrace \begin{array}{ccl}\frac{1}{x} & {\rm pour}& x\in[n,n+1[ \\ 0 & {\rm pour} & x\in [1,n[\cup[n+1,+\infty[\end{array}
Comme pour x fixé il y a un seul entier n pour lequel f_n(x)\neq 0 la série \sum f_n converge simplement sur [1,+\infty[. Comme f_n(x) > 0, elle converge même absolument en chaque point.
Les sommes partielles F_n sont définies par
 F_n(x) = \lbrace \begin{array}{ccl}\frac{1}{x} & {\rm pour} & 1\leq x< n+1 \\ 0 & {\rm pour} & x\in [n+1,+\infty[\end{array}
et la somme F est définie par F(x) = \frac{1}{x} pour tout x\in [1,+\infty[.
Comme ||F-F_n|| = \frac{1}{n+1} on a \displaystyle \lim_{n\to \infty}||F-F_n|| = 0 et la série \sum f_n converge uniformément sur [1,+\infty[. Mais ||f_n|| = \frac{1}{n} donc la série \sum ||f_n|| diverge et \sum f_n n'est pas normalement convergente.

La fonction \bf \zeta de Riemann.

On considère la série de fonctions \sum n^{-x} (définies pour x\in\mathbb{R} et n\geq 1). Cette série diverge pour x\leq 1 converge simplement sur ]1 , +\infty[ et normalement sur tout intervalle de la forme [a,+\infty[a > 1. La fonction somme, \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-x} est continue et indéfiniment dérivable sur ]1,+\infty[. Pour tout k on a \zeta^{(k)}(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-\ln n)^kn^{-x}.

Comportement d'une série entière sur le bord du disque de convergence.

Les séries entières \sum z^n, \sum\frac{z^n}{n} et \sum\frac{z^n}{n^2} ont toutes trois le rayon de convergence \rho=1. La première est divergente pour tout z tel que |z| = 1 la seconde est divergente pour z = 1 et semi-convergente pour z tel que z \neq 1 et |z| = 1 et la troisième est absolument convergente pour tout z tel que |z| = 1.

Fonction qui ne coïncide pas avec la somme de sa série de Mac-Laurin.

Soit f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} définie par f(0) = 0 et f(x) = e^{-1/x^2} si x\neq 0. On démontre que f est indéfiniment dérivable au point 0 et que f^{(n)}(0) = 0 pour tout n\in\mathbb{N}. La série de Mac-Laurin de f est donc de rayon de convergence infini et sa somme est la fonction nulle. Or f(x)\neq 0 dès que x\neq 0.

Fonctions de Legendre.

Il s'agit de fonctions définies sur un intervalle contenant 0, qui sont somme d'une série entière et qui vérifient l'équation différentielle
(1-x^2)y'' - 2xy' + \alpha(\alpha+1)y = 0 \qquad\qquad(E_\alpha)\alpha est un nombre réel fixé.
Sif(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nz^n vérifie cette équation, on voit que pour tout n on a a_{n+2}=-\frac{(\alpha-n)(\alpha+n+1)}{(n+2)(n+1)}a_n
ce qui montre que a_0 et a_1 déterminent tous les coefficients.
On remarque que si \alpha\in\mathbb{N} il existe des solutions qui sont des polynômes de degré \alpha c'est-à-dire des séries entières de rayon de convergence infini. Les solutions qui ne sont pas des polynômes, ont un rayon de convergence égal à 1.

Développements en série entière des fonctions élémentaires.

Pour finir, voici un récapitulatif des développements en série entière des fonctions usuelles avec leurs domaines de validité.
\boxed{\begin{array}{rclcl}\frac{1}{1-z} &= & \sum_{n=0}^\infty z^n & {\rm pour} & z\in D_1\\  e^z & =& \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} & {\rm pour} & z\in\mathbb{C} \\ \sin z & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!} & {\rm pour} & z\in\mathbb{C}\\ \cos z & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!} &{\rm pour} &  z\in\mathbb{C}\\ Sh z & = &  \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} & {\rm pour} & z\in\mathbb{C}\\ Ch z & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!} & {\rm pour} &  z\in\mathbb{C} \\ (1+x)^\alpha & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)x^n}{n!} & {\rm pour} & \alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}\ {\rm et}\ x\in]-1,1[ \\ \ln(1+x) & = & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} & {\rm pour} & x\in]-1,1[ \\ \arctan x & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1} & {\rm pour} &  x\in]-1,1[\end{array}}


Remarquons que si \alpha\in\mathbb{N} le développement ci-dessus de (1+x)^\alpha se réduit à la formule du binôme, donc il reste vrai, mais pour tout x\in\mathbb{R} puisque dans ce cas le rayon de convergence est infini.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Camélia Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1291 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !