Fiche de mathématiques

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Séries de fonctions

Prérequis : Les séries numériques.

I. Définitions

Soit $X$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}.$
Si $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C},$ on lui associe une nouvelle suite $(F_n)$ définie en posant $F_n = f_0 + f_1 + \cdots + f_n$ pour chaque $n$ ; on appelle série de fonctions de terme général $f_n$ et on note $\sum f_n$ le couple $((f_n),(F_n)).$
On dit qu'une série de fonctions $\sum f_n$ est simplement convergente sur $X$ si et seulement si la série $\sum f_n(x)$ est convergente c'est-à-dire si et seulement si la suite $\displaystyle \sum_{k=0}^nf_k(x)$ admet une limite pour tout $x$ . Si c'est le cas, on définit une nouvelle fonction $F$ sur $X$ en posant $F(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x) = \displaystyle \lim_{n\to +\infty}F_n(x).$ La fonction $F$ notée $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n$ est la somme de la série $\sum f_n.$
Pour toute fonction $f$ qui est bornée sur $X,$ on pose $||f||_X = \sup_{x\in X}|f(x)|.$ Le nombre $||f||_X$ est la norme de la convergence uniforme de $f$ sur $X.$ S'il n'y a pas de risque de confusion, on note simplement $||f||.$
On dit qu'une série $\sum f_n$ est uniformément convergente sur $X$ s'il existe une fonction $F$ telle que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}||F_n-F||_X=0.$

Soit $\sum f_n$ une série de fonctions.
On dit qu'une série à termes positifs $\sum \alpha_n$ est une série majorante de $\sum f_n$ sur $X$ si et seulement si $(\forall x\in X)\, |f_n(x)|\leq \alpha_n$ ou encore si et seulement si $||f_n||\leq\alpha_n.$
On dit qu'une série de fonctions $\sum f_n$ est normalement convergente sur $X$ si et seulement si elle admet une série majorante convergente, ou encore si et seulement si la série $\sum ||f_n||$ est convergente.

Une série entière est une série de fonctions de la forme $\sum a_nz^n$ où $(a_n)$ est une suite de nombres réels ou complexes et où $z\in\mathbb{C}.$
Si $f$ est une fonction réelle indéfiniment dérivable définie sur un intervalle ouvert contenant un point $a$ on appelle série de Taylor de $f$ au point $a$ la série de fonctions $\sum \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n.$
Si $a = 0,$ on parle de la série de Mac-Laurin de $f.$

II. Propriétés générales

Soit $\sum f_n$ une série de fonctions définie sur une partie $X$ de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}.$
Si $\sum f_n$ converge normalement sur $X,$ alors pour tout $x\in X,$ la série $\sum f_n(x)$ est absolument convergente, d'où l'on voit que la série $\sum f_n$ converge simplement sur $X$ et, pour tout $x\in X$ on a $\left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n\right)(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x).$
Si $\sum f_n$ converge normalement sur $X,$ alors $\sum f_n$ converge uniformément sur $X$ et si $\sum f_n$ converge uniformément sur $X$ , alors $\sum f_n$ converge simplement sur $X.$
Voici un schéma décrivant les rapports entre les différents modes de convergence d'une série de fonctions sur un ensemble $X.$

$\begin{array}{ccc}\boxed{\rm\ convergence\ normale\ } & \Rightarrow & \boxed{\rm \ convergence\ uniforme\ }\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ \boxed{\rm \ convergence\ absolue \ en\ chaque\ point\ } & \Rightarrow & \boxed{\rm \ convergence\ simple\ }\end{array}$

Théorème d'interversion du passage à la limite.

Soit $\sum f_n$ une série de fonctions normalement convergente sur $X$ et soit $F = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n$ . Soit $a$ un point tel que chacune des fonctions $f_n$ admette une limite au point $a.$ On pose $u_n = \displaystyle \lim_{x\to a}f_n(x).$
Alors la série $\sum u_n$ est convergente, la fonction $F$ admet une limite au point $a$ et on a $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty u_n=\displaystyle \lim_{x\to a}F(x)$ ou encore $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (\displaystyle \lim_{x\to a}f_n(x)) = \displaystyle \lim_{x\to a}\left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)$

On déduit de ce théorème que si les fonctions $f_n$ sont toutes continues sur $X$ et si $\sum f_n$ converge normalement sur $X,$ alors la fonction $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n$ est continue sur $X.$

Supposons que $X$ soit une partie non majorée de $\mathbb{R},$ par exemple un intervalle de la forme $[x_0,+\infty[$ . Soit $\sum f_n$ une série de fonctions qui converge normalement sur $X$ et telle que pour chaque $n$ la fonction $f_n$ admette une limite lorsque $x$ tend vers $+\infty.$ Alors $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f_n(x)) = \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)$
Bien entendu, on a un résultat analogue pour $x$ tendant vers $-\infty$ .

Dans la suite, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et $\sum f_n$ est une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}.$

Théorème d'interversion des intégrales.

Soient $a$ et $b$ des réels tels que $[a,b]\subset I.$
Si la série $\sum f_n$ converge normalement sur $[a,b],$ la série $\sum \left(\displaystyle \int_a^bf_n(t)dt\right)$ est convergente et on a $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle \int_a^b f_n(t)dt\right) = \displaystyle \int_a^b \left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(t) \right)dt$

Soit $a\in I.$ En appliquant le théorème ci-dessus, on voit que si les $f_n$ sont toutes continues, la série des primitives des $f_n$ qui s'annulent en $a$ est simplement convergente et a pour somme la primitive de $\sum f_n$ qui s'annule en $a.$

Dérivabilité.

On suppose que les fonctions $f_n$ sont toutes dérivables sur $I,$ que la série $\sum f'_n$ des dérivées est normalement convergente sur $I$ et qu'il existe $a\in I$ tel que la série numérique $\sum f_n(a)$ soit convergente.
Alors la série $\sum f_n$ converge simplement sur $I,$ sa somme est une fonction dérivable et on a $\left(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)' = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f'_n(x)$

III. Séries entières

Théorème.

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière.
Alors une et une seule des trois conditions suivantes est satisfaite :
(i) la série numérique $\sum a_nz^n$ est divergente pour tout $z\in\mathbb{C}^*$
(ii) il existe un réel strictement positif $R$ tel que la série $\sum a_nz^n$ soit divergente si $|z| > R$ et absolument convergente si $|z| < R$
(iii) la série $\sum a_nz^n$ est absolument convergente pour tout $z\in\mathbb{C}.$

Le rayon de convergence $\rho$ de la série est défini par $\rho = 0$ dans le cas (i), $\rho = R$ dans le cas (ii) et $\rho = +\infty$ dans le cas (iii). Dans tous les cas $\sum a_nz^n$ est absolument convergente pour $|z| < \rho$ et divergente pour $|z|>\rho.$

Pour $r \in \mathbb{R}_+^*$ on note $D_r = \lbrace z\in\mathbb{C}\ |\ |z|<r\rbrace$ et $\overline{D_r} = \lbrace z\in\mathbb{C}\ | \ |z|\leq r\rbrace$ ; on pose $D_0 = \emptyset$ et $\overline{D_0} = \lbrace 0\rbrace$ ainsi que $D_\infty = \overline{D_\infty} = \mathbb{C}.$
On appelle disque de convergence de la série $\sum a_nz^n$ de rayon de convergence $\rho$ l'ensemble $D_\rho .$ La somme $S$ de la série est donc définie sur $D_\rho$ par $S(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ .

Proposition.

Soit $\rho$ le rayon de convergence de $\sum a_nz^n$ et soit $r \in ]0 , \rho[$ .
La série converge normalement sur $\overline{D_r}$ .

De cette proposition on déduit immédiatement que la somme $S$ est continue sur le disque de convergence.

Proposition.

Les séries $\sum a_nz^n$ et $\sum(n+1)a_{n+1}z^n$ ont le même rayon de convergence.

Dans le reste de ce paragraphe on considère une série entière $\sum a_nz^n$ où $(a_n)$ est une suite de nombres réels. On suppose que le rayon de convergence $\rho$ de cette série est strictement positif. On peut alors définir une fonction $f : ]-\rho,\rho[\to\mathbb{R}$ en posant $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ .

Proposition.

La fonction $f$ ainsi définie est indéfiniment dérivable et on a pour $x \in ]-\rho,\rho[$ et pour $k > 0$ $f^{(k)}(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)a_{n+k}\,x^n$

On remarque que $f^{(k)}(0)=k!a_k$ ce qui montre que dans ce cas pour $x\in]-\rho,\rho[$ on a $f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ et $f$ coïncide avec la somme de sa série de Mac-Laurin.
On peut aussi s'intéresser au problème suivant. Si $f$ est une fonction réelle définie sur un intervalle ouvert $I$ et si $a\in I,$ existe-t-il une série entière $\sum a_nz^n$ de rayon de convergence $\rho>0$ telle que pour $x \in ]a-\rho , a+\rho[\cap I$ on ait $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ ? Compte tenu des résultats précedents, si la réponse est oui, la fonction $f$ est forcément indéfiniment dérivable et $a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!},$ donc la seule série qui peut convenir est la série de Taylor de $f$ au point $a.$ Malheureusement cette série peut avoir un rayon de convergence nul, ou avoir une somme différente de $f.$ Pour montrer qu'une fonction est égale à la somme de sa série de Taylor, on peut utiliser le résultat suivant.

Formule de Taylor avec reste intégral.

Si $f : I\to\mathbb{R}$ est indéfiniment dérivable, pour tout $n \in \mathbb{N}$ tout $x$ et tout $a$ dans $I,$ on a
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \displaystyle \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt$

IV. Exemples et contrexemples

Une suite de fonctions simplement, mais pas uniformément convergente.

Pour $n > 0,$ soit $\varphi_n$ la fonction définie sur $[0,1]$ par
$\varphi_n(x) = \left \lbrace \begin{array}{ccc}2nx & {\rm pour}& 0\leq x\leq \frac{1}{2n}\\ -2n^2x+2n & {\rm pour} & \frac{1}{2n}\leq x\leq \frac{1}{n} \\ 0 & {\rm pour} & x\geq \frac{1}{n}\end{array} \right .$
La suite $(\varphi_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1], notée $\varphi.$ Comme $||\varphi - \varphi_n|| = n,$ la convergence n'est pas uniforme. Remarquons que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\varphi_n(t)\ dt = 1$ et que $\displaystyle \int_0^1\varphi(t)\,dt = 0,$ donc $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \displaystyle \int_0^1 \varphi_n(t)\,dt \neq \displaystyle \int_0^1 \left(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\varphi_n(t)\right)dt.$

Continuité et dérivabilité.

Considérons la série $\sum f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x) = \frac{x}{(1+x^2)^n}.$ On a $f_n(0)=0$ pour tout $n$ et $\frac{1}{1+x^2}<1$ pour $x\neq 0$ donc cette série converge simplement sur $\mathbb{R};$ elle est même absolument convergente en chaque point de $\mathbb{R}.$ Mais on voit que $||f_n|| = f_n\left(\sqrt{\frac{1}{2n-1}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2n-1}\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^n}$ .
Comme $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^n = \sqrt e,$ la série $\sum ||f_n||$ est de même nature que la série $\sum \frac{1}{\sqrt{2n-1}},$ c'est-à-dire divergente. Par conséquent, $\sum f_n$ n'est pas normalement convergente. La fonction $F = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n$ est définie par $F(0) = 0$ et $F(x) = \frac{1+x^2}{x}$ pour $x\neq 0.$ Comme $\displaystyle \lim_{x\to 0_+}F(x) = +\infty,$ la fonction $F$ n'est pas continue en 0, bien que toutes les fonctions $f_n$ le soient.
La série de fonctions $\sum f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x)=\frac{\sin(n^2x)}{n^2}$ admet la série $\sum\frac{1}{n^2}$ pour série majorante, donc elle converge normalement sur $\mathbb{R}.$ Mais $f'_n(x) = \cos(n^2x)$ et la série $\sum f'_n$ ne converge même pas simplement (par exemple $\sum f'_n(0)$ diverge puisque $f'_n(0)=1$ pour tout $n).$

Une série uniformément, mais pas normalement convergente.

Soit $f_n$ la fonction définie pour $n\geq 1$ sur $[1,+\infty[$ par
$f_n(x) = \lbrace \begin{array}{ccl}\frac{1}{x} & {\rm pour}& x\in[n,n+1[ \\ 0 & {\rm pour} & x\in [1,n[\cup[n+1,+\infty[\end{array}$
Comme pour $x$ fixé il y a un seul entier $n$ pour lequel $f_n(x)\neq 0$ la série $\sum f_n$ converge simplement sur $[1,+\infty[.$ Comme $f_n(x) > 0$ , elle converge même absolument en chaque point.
Les sommes partielles $F_n$ sont définies par
$F_n(x) = \lbrace \begin{array}{ccl}\frac{1}{x} & {\rm pour} & 1\leq x< n+1 \\ 0 & {\rm pour} & x\in [n+1,+\infty[\end{array}$
et la somme $F$ est définie par $F(x) = \frac{1}{x}$ pour tout $x\in [1,+\infty[$ .
Comme $||F-F_n|| = \frac{1}{n+1}$ on a $\displaystyle \lim_{n\to \infty}||F-F_n|| = 0$ et la série $\sum f_n$ converge uniformément sur $[1,+\infty[$ . Mais $||f_n|| = \frac{1}{n}$ donc la série $\sum ||f_n||$ diverge et $\sum f_n$ n'est pas normalement convergente.

La fonction $\bf \zeta$ de Riemann.

On considère la série de fonctions $\sum n^{-x}$ (définies pour $x\in\mathbb{R}$ et $n\geq 1$ ). Cette série diverge pour $x\leq 1$ converge simplement sur $]1 , +\infty[$ et normalement sur tout intervalle de la forme $[a,+\infty[$ où $a > 1.$ La fonction somme, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-x}$ est continue et indéfiniment dérivable sur $]1,+\infty[$ . Pour tout $k$ on a $\zeta^{(k)}(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-\ln n)^kn^{-x}$ .

Comportement d'une série entière sur le bord du disque de convergence.

Les séries entières $\sum z^n$ , $\sum\frac{z^n}{n}$ et $\sum\frac{z^n}{n^2}$ ont toutes trois le rayon de convergence $\rho=1.$ La première est divergente pour tout $z$ tel que $|z| = 1$ la seconde est divergente pour $z = 1$ et semi-convergente pour $z$ tel que $z \neq 1$ et $|z| = 1$ et la troisième est absolument convergente pour tout $z$ tel que $|z| = 1.$

Fonction qui ne coïncide pas avec la somme de sa série de Mac-Laurin.

Soit $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $f(0) = 0$ et $f(x) = e^{-1/x^2}$ si $x\neq 0$ . On démontre que $f$ est indéfiniment dérivable au point $0$ et que $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$ La série de Mac-Laurin de $f$ est donc de rayon de convergence infini et sa somme est la fonction nulle. Or $f(x)\neq 0$ dès que $x\neq 0.$

Fonctions de Legendre.

Il s'agit de fonctions définies sur un intervalle contenant 0, qui sont somme d'une série entière et qui vérifient l'équation différentielle
$(1-x^2)y'' - 2xy' + \alpha(\alpha+1)y = 0 \qquad\qquad(E_\alpha)$ où $\alpha$ est un nombre réel fixé.
Si $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ vérifie cette équation, on voit que pour tout $n$ on a $a_{n+2}=-\frac{(\alpha-n)(\alpha+n+1)}{(n+2)(n+1)}a_n$
ce qui montre que $a_0$ et $a_1$ déterminent tous les coefficients.
On remarque que si $\alpha\in\mathbb{N}$ il existe des solutions qui sont des polynômes de degré $\alpha$ c'est-à-dire des séries entières de rayon de convergence infini. Les solutions qui ne sont pas des polynômes, ont un rayon de convergence égal à 1.

Développements en série entière des fonctions élémentaires.

Pour finir, voici un récapitulatif des développements en série entière des fonctions usuelles avec leurs domaines de validité.
$\boxed{\begin{array}{rclcl}\frac{1}{1-z} &= & \sum_{n=0}^\infty z^n & {\rm pour} & z\in D_1\\ e^z & =& \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} & {\rm pour} & z\in\mathbb{C} \\ \sin z & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!} & {\rm pour} & z\in\mathbb{C}\\ \cos z & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!} &{\rm pour} & z\in\mathbb{C}\\ Sh z & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} & {\rm pour} & z\in\mathbb{C}\\ Ch z & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!} & {\rm pour} & z\in\mathbb{C} \\ (1+x)^\alpha & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)x^n}{n!} & {\rm pour} & \alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}\ {\rm et}\ x\in]-1,1[ \\ \ln(1+x) & = & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} & {\rm pour} & x\in]-1,1[ \\ \arctan x & = & \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1} & {\rm pour} & x\in]-1,1[\end{array}}$

Remarquons que si $\alpha\in\mathbb{N}$ le développement ci-dessus de $(1+x)^\alpha$ se réduit à la formule du binôme, donc il reste vrai, mais pour tout $x\in\mathbb{R}$ puisque dans ce cas le rayon de convergence est infini.

Publié par Camélia le 13-07-2016

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