Fiche de mathématiques

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Séries de Fourier

I. Espace de Dirichlet

Notations :
On note $C^o_{m,2\pi}$ l'ensemble des fonctions $\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{C}$ , $2\pi$ -pérodiques et continues par morceaux.
On note $C^o_{2\pi}$ la partie de $C^o_{m,2\pi}$ formée des fonctions continues.

Proposition :

$C^o_{m,2\pi}$ est un $\mathbb{C}$ -ev, sev de $B(\mathbb{R},\mathbb{C})$ .
$C^o_{2\pi}$ est un $\mathbb{C}$ -ev, sev de $C^o_{m,2\pi}$ .

Rappels et remarques :
$B(\mathbb{R},\mathbb{C})$ est l'ensemble des fonctions $\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{C}$ bornées.
$B(\mathbb{R},\mathbb{C})$ est un $\mathbb{C}$ -ev normé pour la norme $N_{\infty}$ avec : $N_\infty (f)= \displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|$ .
Soit $f \in C^o_{m,2\pi}$ , alors : $N_\infty (f) = \displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}} |f(x)| = \displaystyle \sup_{x\in [a,a+2\pi] }|f(x)|, \, \forall a\in\mathbb{R}$ .

Définition :

Une fonction $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}$ est dite régulière ssi :
$f \in C^o_{m,2\pi}$ .
$\forall x \in \mathbb{R}, \, f(x) = \dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$ .
Avec : $f(x^+)=\displaystyle \lim_{x^+} f$ et $f(x^-)=\displaystyle \lim_{x^-} f$ .

Représentation graphique d'une fonction regulière :

Notation :
On note : $\mathfrak{D} = \lbrace f : \mathbb{R} \longrightarrow\mathbb{C} / f \text{ régulière } \rbrace$ .

Proposition - Définition :

$\mathfrak{D}$ est un $\mathbb{C}$ -ev, sev de $C^o_{m,2\pi}$ . Il est appelé l'espace de Dirichlet.

Définition :

Soit $f \in C^o_{m,2\pi}$ .
La fonction $\begin{array}{clcl} \tilde{f} : &\mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{C}\\ & x &\mapsto &\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}\\ \end{array}$ s'appelle la régularisée de la fonction $f$ .

Remarques :
Si $f \in C^o_{m,2\pi}$ . Alors : $\tilde{f} \in \mathfrak{D}$ .
$C^o_{2\pi} \subset \mathfrak{D}$ .

Proposition :

$\begin{array}{clcl} <.,.> : &C^o_{m,2\pi}^2 &\rightarrow &\mathbb{C}\\ &(f,g) &\mapsto &<f,g>= \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \overline{f(t)} g(t) dt\\ \end{array}$ est une forme sesquilinéaire, hermitienne et positive sur $C^o_{m,2\pi}$ .
$<.,.>$ induit un produit scalaire sur l'espace de Dirichlet $\mathfrak{D}$ .

Remarque :
On a pour $(f,g) \in C^o_{m,2\pi}^2 \, : \, <f,g> = \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \overline{f(t)} g(t) dt$ .

Proposition :

Pour tout $n\in\mathbb{Z}$ , soit $\begin{array}{clcl} e_n : &\mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{C}\\ & x &\mapsto &e^{-inx}\\ \end{array}$
Alors $(e_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ est une famille orthonormale d'éléments de $\mathfrak{D}$ .

Notation :
On note : $\mathfrak{T} = Vect(e_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ et $\mathfrak{T}_n = Vect(e_k)_{-n\leq k\leq n}$ .

Remarques :
$\mathfrak{T}$ est l'espace des polynômes trigonométriques.
$\mathfrak{T}_n$ est un sev de $\mathfrak{T}$ de dimension finie avec $\dim \mathfrak{T}_n=2n+1$ et $(e_k)_{-n\leq k \leq n}$ est une base orthonormale de $\mathfrak{T}_n$ .
$\mathfrak{T}_n \subset \mathfrak{T}_{n+1}$ et $\displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathfrak{T}_n = \mathfrak{T}$ .

Si $f \in C^o_{m,2\pi}$ et $n \in \mathbb{Z}$ .
On a : $<e_n,f> = \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{-inx} f(x) dx$ .
de plus, $f$ et sa régularisée $\tilde{f}$ ne diffèrent sur $[0,2\pi]$ qu'en un nombre fini de points.
Donc : $<e_n,f> = \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{-inx} \tilde{f}(x) dx = <e_n,\tilde{f} >$ .
Alors : $\forall f \in C^o_{m,2\pi} \, : \, \displaystyle \sum_{k=-n}^{n} <e_k,f> e_k$ est la projection orthogonale de $\tilde{f}$ sur $\mathfrak{T}_n$ :
$p_{\mathfrak{T}_{n}}(\tilde{f}) = \displaystyle \sum_{k=-n}^{n} <e_k,f>e_k$

Théorème :

$(e_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ est une famille totale de $\mathfrak{D}$ .
Autrement dit, $\mathfrak{T}$ est dense dans $\mathfrak{D}$ pour la norme préhilbertienne de $\mathfrak{D}$ .

Corollaire :

Soit $f \in C^o_{m,2\pi}$ . Alors la famille $<e_n,f>_{n\in\mathbb{Z}}$ est de carré sommable et :
$\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{Z}} |<e_n,f>|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |f(t)|^2 dt$ .

II. Série de Fourier d'une fonction continue par morceaux et $2\pi$ -périodique

1. Coefficients de Fourier

Définition :

Soit $f \in C^o_{m,2\pi}$ et $n \in \mathbb{Z}$ .
On appelle coefficient de Fourier exponentiel de $f$ d'indice $n$ le nombre : $c_n(f) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{-inx} f(x) dx$ .

Remarque :
$c_n(f) = <e_n,f> = <e_n,\tilde{f}> = c_n(\tilde{f})$

Définition :

Soit $f \in C^o_{m,2\pi}$ et $n \in \mathbb{N}$ .
On appelle coefficients de Fourier trigonométriques de $f$ les deux nombres :
$a_n(f) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \cos(nx) f(x) dx$
$b_n(f) = \displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \sin(nx) f(x) dx$

Remarques :
$b_0(f)=0$ et $\dfrac{a_0(f)}{2}=c_0(f)$
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ : $\dfrac{a_n(f)-ib_n(f)}{2}=c_n(f)$ et $\dfrac{a_n(f)+b_n(f)}{2}=c_{-n}(f)$ .
ATTENTION ! les $a_n(f)$ et $b_n(f)$ sont des nombres complexes même si $f(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$ , ils ne sont pas à confondre avec les parties réelles et imaginaires de $c_n(f)$ ou $c_{-n}(f)$ .

Proposition :

Les trois applications suivantes sont des formes linéaires sur $C_{m,2\pi}^o$ :
$\begin{array}{clcl} &C_{m,2\pi}^o &\rightarrow &\mathbb{C}\\ & f &\mapsto &c_n(f)\\ \end{array}$ . ( $n\in\mathbb{Z}$ )

$\begin{array}{clcl} &C_{m,2\pi}^o &\rightarrow &\mathbb{C}\\ & f &\mapsto &a_n(f)\\ \end{array}$ . ( $n\in\mathbb{N}$ )

$\begin{array}{clcl} &C_{m,2\pi}^o &\rightarrow &\mathbb{C}\\ & f &\mapsto &b_n(f)\\ \end{array}$ . ( $n\in\mathbb{N}$ )

Lemme (dit de "Riemann - Lebesgue") :

Soit E un evn de dimension finie et $f : [a,b] \rightarrow E$ est $C_{m}^o$ , alors :
$\displaystyle \lim_{\lambda\to +\infty} \int_a^b sin(\lambda x) f(x)dx=0$
$\displaystyle \lim_{\lambda\to +\infty} \int_a^b cos(\lambda x) f(x)dx=0$
$\displaystyle \lim_{\lambda\to +\infty} \int_a^b e^{i\lambda x} f(x)dx=0$

Proposition (conséquente au lemme précédent) :

Soit $f\in C_{m,2\pi}^o$ , alors :
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} a_n(f)=0$
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} b_n(f)=0$
$\displaystyle \lim_{|n|\to+\infty} c_n(f)=0$

Proposition :

Soit $f\in C_{m,2\pi}^o$ , alors :
1) Si $f$ est paire, alors : $a_n(f) = \displaystyle \dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(nx) f(x) dx$ et $b_n(f)=0.$
2) Si $f$ est impaire, alors : $b_n(f) = \displaystyle \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin(nx) f(x) dx$ et $a_n(f)=0.$

Lemme :

Si $f,g \in \mathfrak{D}$
Alors $f=g$ ssi $\forall n\in\mathbb{N}$ $c_n(f)=c_n(g)$

2. Séries de Fourier d'une fonction $C_{m,2\pi}^o$

Définition :

Soit $f\in C_{m,2\pi}^o$
On appelle série de Fourier de $f$ la série de fonctions :
$c_o(f)+ \displaystyle \sum_{n\geq 1}(c_n(f)e_n+c_{-n}(f)e_{-n})$

Notation :
$S_n(f)$ désigne la somme partielle de cette série de fonctions.

Remarque :
$S_n(f)=c_o(f)=\dfrac{a_o(f)}{2}$
Soit $n\geq 1$ :
$S_n(f)(x)=c_o+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(c_ke_k(x)+c_{-k}e_{-k}(x))= c_o + \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (c_k e^{ikx}+c_{-k} e^{-ikx}) = c_o + \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k e^{ikx} +\sum_{k=1}^n c_{-k} e^{-ikx} = c_o+\sum_{k=1}^n c_k e^{ikx} + \sum_{k=n}^{-1} c_k e^{ikx}$
Donc : $S_n(f)(x)= \displaystyle \sum_{k=-n}^{n} c_k(f)e^{ikx}$

D'autre part :
$S_n(f)(x) = \displaystyle \frac{a_o}{2}+\sum_{k=1}^n \left(\frac{a_k-ib_k}{2}e^{ikx}+\frac{a_k+ib_k}{2}e^{-ikx} \right)=\frac{a_o}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (a_k (e^{ikx}+e^{-ikx})-ib_k (e^{ikx}-e^{-ikx}))$
Donc : $S_n(f)(x) = \displaystyle \frac{a_o(f)}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k(f)cos(kx)+b_k(f) sin(kx))$

Théorème (dit de "Parseval") :

Soit $f\in C_{m,2\pi}^o$
Alors la série de Fourier de $f$ converge en moyenne quadratique vers $f$ sur $\mathbb{R}$
Autrement dit : $\displaystyle \int_0^{2\pi}(S_n(f)(x)-f(x))^2 \stackrel{\longrightarrow}{\small{n\to+\infty}} 0$

Théorème (égalité de Bessel-Parceval) :

Soit $f\in C_{m,2\pi}^o$ , on a alors :
La famille $(|c_n(f)|^2)_{n\in\mathbb{Z}}$ est sommable et : $\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{Z}}|c_n(f)|^2=\frac{1}{2\pi}\nt_0^{2\pi} |f(t)|^2 dt$
La série $\displaystyle \sum_{n\geq 1} (|a_n|^2+|b_n|^2)$ converge et : $\dfrac{|a_0|^2}{4}+\dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (|a_n|^2+|b_n|^2)=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f|^2$

Exemple d'application :
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $2\pi$ -périodique définie par : $\forall t\in [-\pi,\pi] : f(t)=|t|$

$f$ est paire et $C_{2\pi}^o$ ; donc :
$b_n = 0$
$a_n = \dfrac{2}{\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} t \cos(nt) dt =\frac{2}{\pi} \left( \left[t \dfrac{\sin nt}{n} \right]_0^{\pi} - \displaystyle \int_0^{\pi} \frac{\sin nt}{t} dt \right) = \dfrac{-2}{n\pi} \displaystyle \int_0^{\pi} \sin nt dt = \dfrac{2}{n\pi} \left[ \dfrac{\cos nt}{n} \right]_0^{\pi} = \dfrac{2((-1)^n-1)}{n^2\pi}$
$a_0 = \dfrac{2}{\pi} \displaystyle \int_0^{\pi} t dt = \pi$
L'égalité de Parseval s'écrit : $\dfrac{\pi^2}{4} + \dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} 4 \left|\dfrac{(-1)^n-1}{n^2\pi}\right|^2 = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} t^2 dt = \dfrac{1}{\pi} \dfrac{\pi^3}{3} = \dfrac{\pi^2}{3}$
On en déduit que : $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{|(-1)^n-1|^2}{n^4} = \dfrac{\pi^4}{24}$
Donc : $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{4}{(2k+1)^4} = \dfrac{\pi^4}{24}$
On en déduit que :
$\displaystyle \sum_{n=1}^{2N+1} \dfrac{1}{n^4} = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \dfrac{1}{2k^4} + \displaystyle \sum_{k=0}^{N} \dfrac{1}{(2k+&)^4} \stackrel{\longrightarrow}{\small{n\to+\infty}} \dfrac{1}{16}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^4} + \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^4}$

III. Théorèmes de Dirichlet

Ici on s'interesse à la convergence ponctuelle de la série de Fourier d'une fonction.

Théorème de Dirichlet de convergence normale :

Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \, : \, C_{2\pi}^o \cap C_{m}^1$
Alors la série de Fourier de $f$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ de somme $f$ .

Théorème de Dirichlet de convergence simple :

Soit $f \in C_{m,2\pi}^o \cap C_{m}^1$
Alors la série de Fourier de (tex]f[/tex2] converge simplement sur $\mathbb{R}$ de somme la fonction $\tilde{f}$ régularisée de $f$ .

On peut donc écrire :
$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) = \dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$
$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=-n}^{n} c_n e^{inx} = \dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$

Exemple : (suite de l'exemple précédent)
Revenons à l'exemple précédent : $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $2\pi$ -périodique définie par : $\forall t\in [-\pi,\pi] : f(t)= \left|t\right|$
On a : $f \in C_{2\pi}^o \cap C_{m}^1$
La série de Fourier converge normalement sur $\mathbb{R}$ vers $f$
En particulier, il y a convergence simple :
$\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \dfrac{\pi}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{2((-1)^n-1)}{n^2\pi} \cos(nx) = f(x)$
Avec $x = 0$ , on a : $\dfrac{\pi}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{2((-1)^n-1)}{n^2\pi} =f(0) = 0$
Donc :
$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n-1}{n^2} = -\dfrac{\pi^2}{4}\\ \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{-2}{(2k+1)^2} = -\dfrac{\pi^2}{4}\\ \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^2} = \dfrac{\pi^2}{8}$
Donc : $\displaystyle \sum_{n=1}^{2N+1} \frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^2}+\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{(2k+1)^2}$
Et en faisant tendre $N\to +\infty$ , on obtient : $\displaystyle \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{8}$
On aboutit enfin à : $\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}$

Exemple :
Soit $f$ une fonction $2\pi$ -périodique, impaire et régulière définie par : $f(t) = \dfrac{\pi-t}{2}$ avec $t \in ]0,\pi]$

La série de Fourier de $f$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers $\tilde{f}=f$
$a_n = 0$
$n \in \mathbb{N^*} \, : \, b_n = \displaystyle \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{\pi-t}{2} \sin(nt)dt = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (\pi-t) sin nt dt = \frac{1}{\pi} \left(-\left[(\pi-t)\dfrac{\cos nt}{n}\right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \dfrac{\cos nt}{n} dt\right) = \dfrac{1}{n}$
$\forall t\in \mathbb{R} \, : \, \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin nt}{n} = f(t)$
$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{4} = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin \left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n} = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\sin\left((2k+1)\dfrac{\pi}{2}\right)}{2k+1}$
Donc : $\boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}}$

Définition :

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ : $C_{m,2\pi}^{o}$ .
On dit que $f$ est developpable en série de Fourier (DSF) sur $I$ ssi la série de Fourier de $f$ converge simplement sur $I$ de somme $f$

Si $f$ est $C_{m,2\pi}^{1}$ , alors $f$ est DSF sur tout intervalle où elle est regulière (en particulier continue).
Si $f$ est $C_{2\pi}^{0}\cap C_{m}^1$ , alors $f$ est DSF sur $\mathbb{R}$ avec une convergence normale de la série de Fourier de $f$

Remarque importante :
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \, : \,C_m^0$ , T-périodique (t > 0).
On introduit $\begin{array}{clcl} g: &\mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{C}\\ & x &\mapsto &f \left(\dfrac{T}{2\pi}x\right)\\ \end{array}$
$x \mapsto \dfrac{T}{2\pi}x$ est strictement croissante et continue.
Alors : $g$ est $C_m^0$ sur $\mathbb{R}$ et :
$g(x+2\pi) = f\left(\dfrac{T}{2\pi}(x+2\pi)\right) = f\left(\dfrac{T}{2\pi}x+T\right) = f\left(\dfrac{T}{2\pi}x\right) = g(x)$
On déduit que $g \in C_{m,\pi}^o$
A titre d'exemple, calculons le coefficient $a_n$ :
$a_n(g) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} f\left(\dfrac{T}{2\pi}t\right) \cos nt dt = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \int_0^{T} f(x) \cos \left(n\dfrac{2\pi}{T} x\right) \dfrac{2\pi}{T} dx$ (et ceci en posant : $\dfrac{T}{2\pi} t= x$ )
Donc $a_n(g) = \dfrac{2}{T} \displaystyle \int_0^T f(x) \cos\left(\dfrac{2\pi}{T}xn\right) dx$
Toutes les notions qu'on attribue à $g$ en tant que fonction $C_{m,2\pi}^o$ ont leurs analogues pour la fonction $f$ en tant que $C_{m,T}^o$

IV. Exercice d'pplication

1. Enoncé

Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction $2\pi$ -périodique tq : $\forall x \in [0,2\pi[ \, : \, f(x) = x^2$ .

1. Calculer les coefficients trigonométriques de $f$ .
2. Calculer les sommes $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ .
3. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R} \, , \, \displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{\cos nx}{n^2}$ et $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{\sin nx}{n}$ convergent puis determiner leur somme en fonction de $x$ .

2. Réponses

1. $\forall n \in \mathbb{N}^* _, : \, a_n = \displaystyle \int_0^{2\pi} x^2 \cos(nx) dx =$ $\dfrac{1}{\pi} \left( \left[x^2\dfrac{\sin(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} - 2 \displaystyle \int_0^{2\pi} x \dfrac{\sin(nx)}{n} dx \right) =$ $\dfrac{-2}{n\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} x \sin(nx) dx =$ $\dfrac{-2}{n\pi} \left( \left[-x\dfrac{cos(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} + \displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\cos(nx)}{n} dx \right) =$ $\dfrac{4}{n\pi} \dfrac{\pi}{n} = \dfrac{4}{n^2}$
$\forall n \in \mathbb{N}^* \, : \, b_n = \displaystyle \int_0^{2\pi} x^2 \sin(nx) dx =$ $\dfrac{1}{\pi} \left(\left[-x^2 \dfrac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} + 2 \displaystyle \int_0^{2\pi} x \dfrac{\cos(nx)}{n} dx \right) =$ $\dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac{-4\pi^2}{n} + 2 \displaystyle \int_0^{2\pi} x \dfrac{\cos(nx)}{n} dx \right)$
On a : $\displaystyle \int_0^{2\pi} x \dfrac{\cos(nx)}{n} dx = \left[x \dfrac{\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\sin(nx)}{n} dx = 0$
Donc : $b_n = \dfrac{-4\pi}{n}$
$a_0 = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} x^2 dx = \dfrac{8}{3} \pi ^2$

2. On a $f$ est $C_{m,2\pi}^{1}$ , alors d'après le théorème de Dirichlet, la S.F CV.S sur $\mathbb{R}$ de somme $\tilde{f}$
D'où, $\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) )= \tilde{f}(x)$
c'est-à-dire : $\dfrac{4}{3}\pi^2 + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\dfrac{4}{n^2} \cos(nx) - \dfrac{4}{n}\pi \sin(nx) \right) = \tilde{f}(x)$

pour $x = 0$ , on a : $\dfrac{4}{3}\pi^2 + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{4}{n^2} = \tilde{f}(0) = \dfrac{f(0^+)+f(0^-)}{2} = 2\pi^2$
Donc : $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{4}(2\pi^2-\dfrac{4}{3}\pi^2) = \dfrac{\pi^2}{6}$
D'où : $\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}$

pour $x = \pi$ , on a : $\dfrac{4}{3}\pi^2 + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{4(-1)^n}{n^2} = \tilde{f}(\pi) = \pi^2$
Donc : $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2} = \dfrac{1}{4}(\pi^2-\dfrac{4}{3}\pi^2) = -\dfrac{\pi^2}{12}$
D'où : $\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{12}}$

3. Soit $x \in \mathbb{R}$
$\left| \dfrac{\cos(nx)}{n^2} \right| = \dfrac{\left|\cos(nx)\right|}{n^2} \leq \dfrac{1}{n^2}$
Et puisque $\displaystyle \sum \dfrac{1}{n^2}$ converge, alors $\displaystyle \sum \dfrac{c\os(nx)}{n^2}$ converge absolument, donc converge.
$\displaystyle \sum_{n\geq 1} \left(\dfrac{4}{\pi^2} \cos(nx) - \dfrac{4\pi}{n} \sin(nx) \right)$ converge et $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \dfrac{4}{n^2} \cos(nx)$ converge.
Par différence, $\displaystyle \sum \dfrac{-4\pi}{n} \sin(nx)$ converge donc $\displaystyle \sum \dfrac{1}{n} \sin(nx)$ converge.

Posons $U(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\cos(nx)}{n^2}$ et $V(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$
Notons que :
$U$ est paire et $V$ est impaire.
$U$ et $V$ sont $2\pi$ -périodiques.

Il suffit de calculer $U(x)$ et $V(x)$ pour $x\in[0,\pi]$ .
$U(0)=\dfrac{\pi^2}{6}$ et $U(\pi)=\dfrac{-\pi^2}{12}$ .
$V(0)=V(\pi)=0$ .

Soit $x\in],\pi[$
D'après la relation de Dirichlet précédente :
$\dfrac{4}{3}\pi^2+4U(x)-4\pi V(x)=\tilde{f}(x)=f(x)$
$\boxed{4U(x)-4\pi V(x)=x^2- \frac{4}{3}\pi^2}$ (1)

D'autre part, par parité :
$\dfrac{4}{3}\pi^2+4U(x)+4\pi V(x)=\tilde{f}(-x)=\tilde{f}(2\pi-x)=f(2\pi-x)=(2\pi-x)^2$
Donc : $\boxed{4U(x)+4\pi V(x)=(2\pi-x)^2-\frac{4}{3}\pi^2}$ (2)

(1) + (2) : $8U(x)=x^2+(2\pi-x)^2-\dfrac{8}{3}\pi^2$
Donc : $U(x) = \dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{\pi^2}{6} - \dfrac{1}{2}\pi x$

(2) - (1) : $8 \pi V(x) = (2\pi-x)^2 - \dfrac{4}{3}\pi^2-x^2 + \dfrac{4\pi^2}{3}$
On obtient : $V(x) = \dfrac{1}{2} \pi - \dfrac{1}{2} x$

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) : Mathématicien et physicien français, a apporté plusieurs travaux sur la décomposition des fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes, qu'on nomme de nos jours "séries de Fourier", ainsi que leur application aux phénomènes physiques, notamment à la propagation de la chaleur (Loi de Fourier).
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) : Mathématicien allemand, ses travaux ont surtout porté sur les séries de Fourier et l'arithmétique, il est parmi les premiers à introduire l'analyse complexe dans la résolution des problèmes arithmétiques, on lui doit également le principe des tirroirs.
Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836) : Mathématicien français, connu pour ses travaux sur l'analyse, précisemment sur les séries ainsi que leur application aux résolutions des équations différentielles.
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846): Astronome et mathématicien allemand, connu principalement pour avoir effectué les premières mesures précises de la distance d'une étoile à l'aide de ses travaux portés sur l'optique ondulatoire et pour être le fondateur de l'école allemande d'astronomie d'observation, il a egalement contribué à plusieurs recherches et travaux mathématiques.

Publié par Panter le 14-01-2020

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