Fiche de mathématiques
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Séries de Fourier

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I. Espace de Dirichlet

Notations :
On note C^o_{m,2\pi} l'ensemble des fonctions \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{C}, 2\pi-pérodiques et continues par morceaux.
On note C^o_{2\pi} la partie de C^o_{m,2\pi} formée des fonctions continues.
Proposition :
C^o_{m,2\pi} est un \mathbb{C}-ev, sev de B(\mathbb{R},\mathbb{C}).
C^o_{2\pi} est un \mathbb{C}-ev, sev de C^o_{m,2\pi}.


Rappels et remarques :
B(\mathbb{R},\mathbb{C}) est l'ensemble des fonctions \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{C} bornées.
B(\mathbb{R},\mathbb{C}) est un \mathbb{C}-ev normé pour la norme N_{\infty} avec : N_\infty (f)= \displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|.
Soit f \in C^o_{m,2\pi}, alors : N_\infty (f) = \displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}} |f(x)| = \displaystyle \sup_{x\in [a,a+2\pi] }|f(x)|, \, \forall a\in\mathbb{R}.
Définition :
Une fonction f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} est dite régulière ssi :
f \in C^o_{m,2\pi}.
\forall x \in \mathbb{R}, \, f(x) = \dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.
Avec : f(x^+)=\displaystyle \lim_{x^+} f et f(x^-)=\displaystyle \lim_{x^-} f.


Représentation graphique d'une fonction regulière :
Séries de Fourier - supérieur : image 5


Notation :
On note : \mathfrak{D} = \lbrace f : \mathbb{R} \longrightarrow\mathbb{C} / f \text{ régulière } \rbrace.
Proposition - Définition :
\mathfrak{D} est un \mathbb{C}-ev, sev de C^o_{m,2\pi}. Il est appelé l'espace de Dirichlet.


Définition :
Soit f \in C^o_{m,2\pi}.
La fonction \begin{array}{clcl}  \tilde{f} : &\mathbb{R}  &\rightarrow &\mathbb{C}\\             & x          &\mapsto     &\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}\\              \end{array} s'appelle la régularisée de la fonction f.


Remarques :
Si f \in C^o_{m,2\pi}. Alors : \tilde{f} \in \mathfrak{D}.
C^o_{2\pi} \subset \mathfrak{D}.
Proposition :

\begin{array}{clcl} <.,.> : &C^o_{m,2\pi}^2  &\rightarrow &\mathbb{C}\\           &(f,g)           &\mapsto     &<f,g>= \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \overline{f(t)} g(t) dt\\          \end{array} est une forme sesquilinéaire, hermitienne et positive sur C^o_{m,2\pi}.
<.,.> induit un produit scalaire sur l'espace de Dirichlet \mathfrak{D}.


Remarque :
On a pour (f,g) \in C^o_{m,2\pi}^2 \, : \, <f,g> = \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \overline{f(t)} g(t) dt.
Proposition :
Pour tout n\in\mathbb{Z}, soit \begin{array}{clcl}                                                                e_n : &\mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{C}\\                                                                      & x         &\mapsto     &e^{-inx}\\                                                                       \end{array}
Alors (e_n)_{n\in\mathbb{Z}} est une famille orthonormale d'éléments de \mathfrak{D}.


Notation :
On note : \mathfrak{T} = Vect(e_n)_{n\in\mathbb{Z}} et \mathfrak{T}_n = Vect(e_k)_{-n\leq k\leq n}.

Remarques :
\mathfrak{T} est l'espace des polynômes trigonométriques.
\mathfrak{T}_n est un sev de \mathfrak{T} de dimension finie avec \dim \mathfrak{T}_n=2n+1 et (e_k)_{-n\leq k \leq n} est une base orthonormale de \mathfrak{T}_n.
\mathfrak{T}_n \subset \mathfrak{T}_{n+1} et \displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathfrak{T}_n = \mathfrak{T}.
Si f \in C^o_{m,2\pi} et n \in \mathbb{Z}.
On a : <e_n,f> = \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{-inx} f(x) dx.
de plus, f et sa régularisée \tilde{f} ne diffèrent sur [0,2\pi] qu'en un nombre fini de points.
Donc : <e_n,f> = \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{-inx} \tilde{f}(x) dx = <e_n,\tilde{f} >.
Alors : \forall f \in C^o_{m,2\pi} \, : \, \displaystyle \sum_{k=-n}^{n} <e_k,f> e_k est la projection orthogonale de \tilde{f} sur \mathfrak{T}_n :
p_{\mathfrak{T}_{n}}(\tilde{f}) = \displaystyle \sum_{k=-n}^{n} <e_k,f>e_k
Théorème :
(e_n)_{n\in\mathbb{Z}} est une famille totale de \mathfrak{D}.
Autrement dit, \mathfrak{T} est dense dans \mathfrak{D} pour la norme préhilbertienne de \mathfrak{D}.


Corollaire :
Soit f \in C^o_{m,2\pi}. Alors la famille <e_n,f>_{n\in\mathbb{Z}} est de carré sommable et :
\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{Z}} |<e_n,f>|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |f(t)|^2 dt.




II. Série de Fourier d'une fonction continue par morceaux et 2\pi-périodique

1. Coefficients de Fourier

Définition :
Soit f \in C^o_{m,2\pi} et n \in \mathbb{Z}.
On appelle coefficient de Fourier exponentiel de f d'indice n le nombre : c_n(f) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{-inx} f(x) dx.


Remarque :
c_n(f) = <e_n,f> = <e_n,\tilde{f}> = c_n(\tilde{f})
Définition :
Soit f \in C^o_{m,2\pi} et n \in \mathbb{N}.
On appelle coefficients de Fourier trigonométriques de f les deux nombres :
a_n(f) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \cos(nx) f(x) dx
b_n(f) = \displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \sin(nx) f(x) dx


Remarques :
b_0(f)=0 et \dfrac{a_0(f)}{2}=c_0(f)
Pour n \in \mathbb{N}^* : \dfrac{a_n(f)-ib_n(f)}{2}=c_n(f) et \dfrac{a_n(f)+b_n(f)}{2}=c_{-n}(f).
ATTENTION ! les a_n(f) et b_n(f) sont des nombres complexes même si f(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}, ils ne sont pas à confondre avec les parties réelles et imaginaires de c_n(f) ou c_{-n}(f).
Proposition :
Les trois applications suivantes sont des formes linéaires sur C_{m,2\pi}^o :
\begin{array}{clcl}                      &C_{m,2\pi}^o &\rightarrow &\mathbb{C}\\                      & f           &\mapsto     &c_n(f)\\                       \end{array} . ( n\in\mathbb{Z} )

\begin{array}{clcl}                      &C_{m,2\pi}^o &\rightarrow &\mathbb{C}\\                      & f           &\mapsto     &a_n(f)\\                       \end{array} . ( n\in\mathbb{N} )

\begin{array}{clcl}                      &C_{m,2\pi}^o &\rightarrow &\mathbb{C}\\                      & f           &\mapsto     &b_n(f)\\                       \end{array} . ( n\in\mathbb{N} )


Lemme (dit de "Riemann - Lebesgue") :
Soit E un evn de dimension finie et f : [a,b] \rightarrow E est C_{m}^o , alors :
\displaystyle \lim_{\lambda\to +\infty} \int_a^b sin(\lambda x) f(x)dx=0
\displaystyle \lim_{\lambda\to +\infty} \int_a^b cos(\lambda x) f(x)dx=0
\displaystyle \lim_{\lambda\to +\infty} \int_a^b e^{i\lambda x} f(x)dx=0


Proposition (conséquente au lemme précédent) :
Soit f\in C_{m,2\pi}^o, alors :
\displaystyle \lim_{n\to+\infty} a_n(f)=0
\displaystyle \lim_{n\to+\infty} b_n(f)=0
\displaystyle \lim_{|n|\to+\infty} c_n(f)=0


Proposition :
Soit f\in C_{m,2\pi}^o, alors :
1) Si f est paire, alors : a_n(f) = \displaystyle \dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(nx) f(x) dx et b_n(f)=0.
2) Si f est impaire, alors : b_n(f) = \displaystyle \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin(nx) f(x) dx et a_n(f)=0.


Lemme :
Si  f,g \in \mathfrak{D}
Alors  f=g ssi  \forall n\in\mathbb{N}  c_n(f)=c_n(g)



2. Séries de Fourier d'une fonction C_{m,2\pi}^o

Définition :
Soit f\in C_{m,2\pi}^o
On appelle série de Fourier de f la série de fonctions :
c_o(f)+ \displaystyle \sum_{n\geq 1}(c_n(f)e_n+c_{-n}(f)e_{-n})


Notation :
 S_n(f) désigne la somme partielle de cette série de fonctions.

Remarque :
 S_n(f)=c_o(f)=\dfrac{a_o(f)}{2}
Soit  n\geq 1 :
S_n(f)(x)=c_o+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(c_ke_k(x)+c_{-k}e_{-k}(x))= c_o + \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (c_k e^{ikx}+c_{-k} e^{-ikx}) = c_o + \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c_k e^{ikx} +\sum_{k=1}^n c_{-k} e^{-ikx} = c_o+\sum_{k=1}^n c_k e^{ikx} + \sum_{k=n}^{-1} c_k e^{ikx}
Donc :  S_n(f)(x)= \displaystyle \sum_{k=-n}^{n} c_k(f)e^{ikx}

D'autre part :
S_n(f)(x) = \displaystyle \frac{a_o}{2}+\sum_{k=1}^n \left(\frac{a_k-ib_k}{2}e^{ikx}+\frac{a_k+ib_k}{2}e^{-ikx} \right)=\frac{a_o}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (a_k (e^{ikx}+e^{-ikx})-ib_k (e^{ikx}-e^{-ikx}))
Donc :  S_n(f)(x) = \displaystyle \frac{a_o(f)}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k(f)cos(kx)+b_k(f) sin(kx))
Théorème (dit de "Parseval") :
Soit f\in C_{m,2\pi}^o
Alors la série de Fourier de f converge en moyenne quadratique vers f sur \mathbb{R}
Autrement dit : \displaystyle \int_0^{2\pi}(S_n(f)(x)-f(x))^2 \stackrel{\longrightarrow}{\small{n\to+\infty}} 0


Théorème (égalité de Bessel-Parceval) :
Soit f\in C_{m,2\pi}^o, on a alors :
La famille  (|c_n(f)|^2)_{n\in\mathbb{Z}} est sommable et : \displaystyle \sum_{n\in\mathbb{Z}}|c_n(f)|^2=\frac{1}{2\pi}\nt_0^{2\pi} |f(t)|^2 dt
La série \displaystyle \sum_{n\geq 1} (|a_n|^2+|b_n|^2) converge et : \dfrac{|a_0|^2}{4}+\dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (|a_n|^2+|b_n|^2)=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f|^2


Exemple d'application :
Soit f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction 2\pi-périodique définie par : \forall t\in [-\pi,\pi] : f(t)=|t|
Séries de Fourier - supérieur : image 6

f est paire et C_{2\pi}^o; donc :
b_n = 0
a_n = \dfrac{2}{\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} t \cos(nt) dt =\frac{2}{\pi} \left( \left[t \dfrac{\sin nt}{n} \right]_0^{\pi} - \displaystyle \int_0^{\pi} \frac{\sin nt}{t} dt \right) = \dfrac{-2}{n\pi} \displaystyle \int_0^{\pi} \sin nt dt = \dfrac{2}{n\pi} \left[ \dfrac{\cos nt}{n} \right]_0^{\pi} = \dfrac{2((-1)^n-1)}{n^2\pi}
a_0 = \dfrac{2}{\pi} \displaystyle \int_0^{\pi} t dt = \pi
L'égalité de Parseval s'écrit : \dfrac{\pi^2}{4} + \dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} 4 \left|\dfrac{(-1)^n-1}{n^2\pi}\right|^2 = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} t^2 dt = \dfrac{1}{\pi} \dfrac{\pi^3}{3} = \dfrac{\pi^2}{3}
On en déduit que : \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{|(-1)^n-1|^2}{n^4} = \dfrac{\pi^4}{24}
Donc : \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{4}{(2k+1)^4} = \dfrac{\pi^4}{24}
On en déduit que :
\displaystyle \sum_{n=1}^{2N+1} \dfrac{1}{n^4} = \displaystyle \sum_{k=1}^{N} \dfrac{1}{2k^4} + \displaystyle \sum_{k=0}^{N} \dfrac{1}{(2k+&)^4} \stackrel{\longrightarrow}{\small{n\to+\infty}} \dfrac{1}{16}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^4} + \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^4}


III. Théorèmes de Dirichlet

Ici on s'interesse à la convergence ponctuelle de la série de Fourier d'une fonction.
Théorème de Dirichlet de convergence normale :
Soit f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \, : \, C_{2\pi}^o \cap C_{m}^1
Alors la série de Fourier de f converge normalement sur \mathbb{R} de somme f.

Théorème de Dirichlet de convergence simple :
Soit f \in C_{m,2\pi}^o \cap C_{m}^1
Alors la série de Fourier de (tex]f[/tex2] converge simplement sur \mathbb{R} de somme la fonction \tilde{f} régularisée de f.


On peut donc écrire :
\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) = \dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}
\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=-n}^{n} c_n e^{inx} = \dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}

Exemple : (suite de l'exemple précédent)
Revenons à l'exemple précédent : f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction 2\pi-périodique définie par : \forall t\in [-\pi,\pi] : f(t)= \left|t\right|
On a : f \in C_{2\pi}^o \cap C_{m}^1
La série de Fourier converge normalement sur \mathbb{R} vers f
En particulier, il y a convergence simple :
\forall x \in \mathbb{R} \, : \, \dfrac{\pi}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{2((-1)^n-1)}{n^2\pi} \cos(nx) = f(x)
Avec x = 0 , on a : \dfrac{\pi}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{2((-1)^n-1)}{n^2\pi} =f(0) = 0
Donc :
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n-1}{n^2} = -\dfrac{\pi^2}{4}\\ \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{-2}{(2k+1)^2} = -\dfrac{\pi^2}{4}\\ \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^2} = \dfrac{\pi^2}{8}
Donc : \displaystyle \sum_{n=1}^{2N+1} \frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^2}+\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{(2k+1)^2}
Et en faisant tendre N\to +\infty , on obtient : \displaystyle \frac{3}{4} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{8}
On aboutit enfin à : \boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}

Exemple :
Soit f une fonction 2\pi-périodique, impaire et régulière définie par : f(t) = \dfrac{\pi-t}{2} avec t \in ]0,\pi]
Séries de Fourier - supérieur : image 7

La série de Fourier de f converge simplement sur \mathbb{R} vers \tilde{f}=f
a_n = 0
n \in \mathbb{N^*} \, : \, b_n = \displaystyle \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{\pi-t}{2} \sin(nt)dt = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (\pi-t) sin nt dt = \frac{1}{\pi} \left(-\left[(\pi-t)\dfrac{\cos nt}{n}\right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \dfrac{\cos nt}{n} dt\right) = \dfrac{1}{n}
\forall t\in \mathbb{R} \, : \, \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin nt}{n} = f(t)
f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{4} = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin \left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}{n} = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{\sin\left((2k+1)\dfrac{\pi}{2}\right)}{2k+1}
Donc : \boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}}
Définition :
Soit  I un intervalle de \mathbb{R} et f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} :  C_{m,2\pi}^{o}.
On dit que  f est developpable en série de Fourier (DSF) sur  I ssi la série de Fourier de  f converge simplement sur  I de somme  f

Si  f est  C_{m,2\pi}^{1} , alors  f est DSF sur tout intervalle où elle est regulière (en particulier continue).
Si  f est  C_{2\pi}^{0}\cap C_{m}^1 , alors  f est DSF sur \mathbb{R} avec une convergence normale de la série de Fourier de  f


Remarque importante :
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \, : \,C_m^0, T-périodique (t > 0).
On introduit \begin{array}{clcl}                     g: &\mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{C}\\                      & x           &\mapsto     &f \left(\dfrac{T}{2\pi}x\right)\\                       \end{array}
x \mapsto \dfrac{T}{2\pi}x est strictement croissante et continue.
Alors : g est C_m^0 sur \mathbb{R} et :
g(x+2\pi) = f\left(\dfrac{T}{2\pi}(x+2\pi)\right) = f\left(\dfrac{T}{2\pi}x+T\right) = f\left(\dfrac{T}{2\pi}x\right) = g(x)
On déduit que g \in C_{m,\pi}^o
A titre d'exemple, calculons le coefficient  a_n :
 a_n(g) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} f\left(\dfrac{T}{2\pi}t\right) \cos nt dt = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \int_0^{T} f(x) \cos \left(n\dfrac{2\pi}{T} x\right) \dfrac{2\pi}{T} dx (et ceci en posant : \dfrac{T}{2\pi} t= x )
Donc a_n(g) = \dfrac{2}{T} \displaystyle \int_0^T f(x) \cos\left(\dfrac{2\pi}{T}xn\right) dx
Toutes les notions qu'on attribue à g en tant que fonction C_{m,2\pi}^o ont leurs analogues pour la fonction f en tant que C_{m,T}^o


IV. Exercice d'pplication

1. Enoncé

Soit f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} une fonction 2\pi-périodique tq : \forall x \in [0,2\pi[ \, : \, f(x) = x^2.

1. Calculer les coefficients trigonométriques de f.
2. Calculer les sommes \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} et \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}.
3. Montrer que pour tout x\in\mathbb{R} \, , \, \displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{\cos nx}{n^2} et \displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{\sin nx}{n} convergent puis determiner leur somme en fonction de x.

2. Réponses


Séries de Fourier - supérieur : image 8


1. \forall n \in \mathbb{N}^* _, : \, a_n = \displaystyle \int_0^{2\pi} x^2 \cos(nx) dx = \dfrac{1}{\pi} \left( \left[x^2\dfrac{\sin(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} - 2 \displaystyle \int_0^{2\pi} x \dfrac{\sin(nx)}{n} dx \right) = \dfrac{-2}{n\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} x \sin(nx) dx = \dfrac{-2}{n\pi} \left( \left[-x\dfrac{cos(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} + \displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\cos(nx)}{n} dx \right) = \dfrac{4}{n\pi} \dfrac{\pi}{n} = \dfrac{4}{n^2}
   \forall n \in \mathbb{N}^* \, : \, b_n = \displaystyle \int_0^{2\pi} x^2 \sin(nx) dx = \dfrac{1}{\pi} \left(\left[-x^2 \dfrac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} + 2 \displaystyle \int_0^{2\pi} x \dfrac{\cos(nx)}{n} dx \right) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac{-4\pi^2}{n} + 2 \displaystyle \int_0^{2\pi} x \dfrac{\cos(nx)}{n} dx \right)
On a : \displaystyle \int_0^{2\pi} x \dfrac{\cos(nx)}{n} dx = \left[x \dfrac{\sin(nx)}{n} \right]_0^{\pi} - \displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\sin(nx)}{n} dx = 0
Donc : b_n = \dfrac{-4\pi}{n}
   a_0 = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle \int_0^{2\pi} x^2 dx = \dfrac{8}{3} \pi ^2

2. On a f est C_{m,2\pi}^{1}, alors d'après le théorème de Dirichlet, la S.F CV.S sur \mathbb{R} de somme \tilde{f}
D'où, \forall x \in \mathbb{R} \, : \, \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) )= \tilde{f}(x)
c'est-à-dire : \dfrac{4}{3}\pi^2 + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\dfrac{4}{n^2} \cos(nx) - \dfrac{4}{n}\pi \sin(nx) \right) = \tilde{f}(x)

pour x = 0, on a : \dfrac{4}{3}\pi^2 + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{4}{n^2} = \tilde{f}(0) = \dfrac{f(0^+)+f(0^-)}{2} = 2\pi^2
Donc : \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{4}(2\pi^2-\dfrac{4}{3}\pi^2) = \dfrac{\pi^2}{6}
D'où : \boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}

pour x = \pi, on a : \dfrac{4}{3}\pi^2 + \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{4(-1)^n}{n^2} = \tilde{f}(\pi) = \pi^2
Donc : \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2} = \dfrac{1}{4}(\pi^2-\dfrac{4}{3}\pi^2) = -\dfrac{\pi^2}{12}
D'où : \boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{12}}

3. Soit x \in \mathbb{R}
\left| \dfrac{\cos(nx)}{n^2} \right| = \dfrac{\left|\cos(nx)\right|}{n^2} \leq \dfrac{1}{n^2}
Et puisque \displaystyle \sum \dfrac{1}{n^2} converge, alors \displaystyle \sum \dfrac{c\os(nx)}{n^2} converge absolument, donc converge.
\displaystyle \sum_{n\geq 1} \left(\dfrac{4}{\pi^2} \cos(nx) - \dfrac{4\pi}{n} \sin(nx) \right) converge et \displaystyle \sum_{n\geq 1} \dfrac{4}{n^2} \cos(nx) converge.
Par différence, \displaystyle \sum \dfrac{-4\pi}{n} \sin(nx) converge donc \displaystyle \sum \dfrac{1}{n} \sin(nx) converge.

Posons U(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\cos(nx)}{n^2} et V(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n}
Notons que :
U est paire et V est impaire.
U et V sont 2\pi-périodiques.

Il suffit de calculer U(x) et V(x) pour x\in[0,\pi].
U(0)=\dfrac{\pi^2}{6} et  U(\pi)=\dfrac{-\pi^2}{12} .
V(0)=V(\pi)=0.

Soit  x\in],\pi[
D'après la relation de Dirichlet précédente :
\dfrac{4}{3}\pi^2+4U(x)-4\pi V(x)=\tilde{f}(x)=f(x)
\boxed{4U(x)-4\pi V(x)=x^2- \frac{4}{3}\pi^2} (1)

D'autre part, par parité :
\dfrac{4}{3}\pi^2+4U(x)+4\pi V(x)=\tilde{f}(-x)=\tilde{f}(2\pi-x)=f(2\pi-x)=(2\pi-x)^2
Donc : \boxed{4U(x)+4\pi V(x)=(2\pi-x)^2-\frac{4}{3}\pi^2}(2)

(1) + (2) : 8U(x)=x^2+(2\pi-x)^2-\dfrac{8}{3}\pi^2
Donc : U(x) = \dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{\pi^2}{6} - \dfrac{1}{2}\pi x

(2) - (1) : 8 \pi V(x) = (2\pi-x)^2 - \dfrac{4}{3}\pi^2-x^2 + \dfrac{4\pi^2}{3}
On obtient : V(x) = \dfrac{1}{2} \pi - \dfrac{1}{2} x



Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) : Mathématicien et physicien français, a apporté plusieurs travaux sur la décomposition des fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes, qu'on nomme de nos jours "séries de Fourier", ainsi que leur application aux phénomènes physiques, notamment à la propagation de la chaleur (Loi de Fourier).
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) : Mathématicien allemand, ses travaux ont surtout porté sur les séries de Fourier et l'arithmétique, il est parmi les premiers à introduire l'analyse complexe dans la résolution des problèmes arithmétiques, on lui doit également le principe des tirroirs.
Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836) : Mathématicien français, connu pour ses travaux sur l'analyse, précisemment sur les séries ainsi que leur application aux résolutions des équations différentielles.
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846): Astronome et mathématicien allemand, connu principalement pour avoir effectué les premières mesures précises de la distance d'une étoile à l'aide de ses travaux portés sur l'optique ondulatoire et pour être le fondateur de l'école allemande d'astronomie d'observation, il a egalement contribué à plusieurs recherches et travaux mathématiques.
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