Somme directe - Sous espaces supplémentaires - Notion de Codimension
Dans ce chapitre,
désigne un corps commutatif et
un espace vectoriel sur
.
I. Somme directe
Définition :
Soit
sev de
(
).
L'ensemble
est un sev de
appelé le sev somme de
, on le note
ou
ou encore
.
Remarque :
avec égalité ssi :
Définition :
Soit
sev de
(
).
On dit que la somme
est
directe ssi :
Et dans ce cas, on note cette somme :
ou
Théorème :
Soit
sev de
(
) et
Alors les p.s.s.e :
La somme
est directe.
Théorème :
Soit
sev de dimension finie de
(
) et soit
.
Alors
est de dimension finie et
avec égalité ssi la somme
est directe.
II. Sous espaces supplémentaires
Définition :
Soit
sev de
.
On dit que
sont
supplémentaires ssi :
.
Vocabulaire :
Lorsque
.
On dit que
(resp.
est supplémentaire de
(resp.
).
Exemple :
On a :
.
Proposition :
Soit
un polynôme non constant de
.
Posons :
avec
, alors l'idéal
admet
comme supplémentaire dans
.
Théorème :
Soit
sev supplémentaires de
:
.
Soit
un
-ev et pour tout
soit
. Alors :
il existe une unique application linéaire
de
dans
tel que :
Commentaires :
Si
sont supplémentaires dans
alors :
1. Toute application linéaire de
dans
est complètement determinée par sa restriction aux sev
.
2. Deux applications linéaires de
dans
sont égales ssi elles le sont sur chaque
. En particulier, une application linéaire est nulle ssi elle s'annule sur chaque
.
Théorème :
Soit
des sev supplémentaires de
,
. Soit
une famille de vecteurs de
, et
une partition de
en
parties telle que pour tout
est une famille de vecteurs de
.
Alors :
est une base de
ssi chaque
est une base de
.
Notation - Vocabulaire :
est notée
, on dit que
est une base de
adaptée à la décomposition :
.
il faut distinguer entre
et
Remarque :
S'il existe une base
de
et si
est une partition de
, alors les sev
avec
sont supplémentaires dans
.
Théorème :
Soit
et
deux
-ev et
.
Si
est un supplémentaire de
dans
alors l'application :
induite par
est un isomorphisme de
-ev.
Proposition :
Tout sev d'un
-ev de dimension finie admet un supplémentaire.
Corollaire :
Soit
un sev de
.
Si
admet deux supplémentaires
et
, alors
et
sont isomorphes.
Remarque :
Si un sev
de
possède un suppplémentaire
de dimension finie, alors
ne depend pas du choix de
.
III. Notion de Codimension
Définition :
Soit
un sev de
, on dit que
est de
codimension finie ssi
admet un supplémentaire
de dimension finie.
Dans ce cas,
, indépendante du choix de
et appelé la codimension de
qu'on note :
ou
s'il n'y a pas d'ambiguité.
Exemple :
un polynôme de degré
non constant.
On sait que :
est un supplémentaire de
dans
.
Alors
est de codimension fine et
Proposition :
Soit
un
-ev de dimension finie, alors :
Tout sev
de
est de codimension finie et on a :
Théorème :
Soit
deux
-ev dont
est de dimension finie, soit
.
Alors
est de codimension finie et
.
Définition :
On appelle
hyperplan de
tout sev de
de codimension
dans
Remarque :
Soit
un sev de
.
est un hyperplan de
ssi :
Et forcément, un tel