Fiche de mathématiques
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Somme directe - Sous espaces supplémentaires - Notion de Codimension

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Dans ce chapitre, K désigne un corps commutatif et E un espace vectoriel sur K.

I. Somme directe

Définition :
Soit E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_p p sev de E (p \in \mathbb{N}^*).
L'ensemble \lbrace x_1 + \cdots + x_p / (x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_p) \in E_1 \times \cdots \times E_p} est un sev de E appelé le sev somme de E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_p, on le note E_1  + \cdots + E_p ou \displaystyle \sum_{i=1}^{p} E_i ou encore \displaystyle \sum_{i \in \ldbrack1,p\rdbrack} E_i.


Remarque :
\forall j \in \ldbrack1,p\rdbrack \: : \: E_j \subset \displaystyle \sum_{i \in \ldbrack1,p\rdbrack}E_i avec égalité ssi : \forall j \in \ldbrack1,p\rdbrack \: : \: E_i \subset E_j
Définition :
Soit E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_p p sev de E (p \in \mathbb{N}^*).
On dit que la somme E_1  + \cdots + E_p est directe ssi :
\forall(x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_p) \in E1 \times \cdots \times E_p \: : \: [ x_1 + \cdots + x_p = 0_E  \Longrightarrow \forall i \in \ldbrack1,p\rdbrack \, , \, x_i = 0_E]
Et dans ce cas, on note cette somme : E_1 \oplus \cdots \oplus E_p ou \displaystyle \oplus_{i=1}^{p} E_i

Théorème :
Soit E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_p p sev de E (p \in \mathbb{N}^*) et H = E_1 + \cdots + E_p
Alors les p.s.s.e :
      La somme H est directe.
      (\forall x \in H ) \: (\exists !  (x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_p) \in E_1 \times \cdots \times E_p ) \: : \; x = x_1+ \cdots + x_p
      \forall j \in \ldbrack1,p\rdbrack \, ,  \, E_j \bigcap \left(\displaystyle \sum_{i=1 \\ i \not = j}^{p} E_i\right) = \lbrace 0_E\rbrace
      \forall j \in \ldbrack1,p\rdbrack \, , \, E_j \bigcap \left(\displaystyle \sum_{i=1 \\ i<j}^{} E_i\right) = \lbrace 0_E\rbrace

Théorème :
Soit E_1 \, , \, \cdots \ , \, E_p p sev de dimension finie de E (p \in \mathbb{N}^*) et soit H = E_1 + \cdots + E_p.
Alors H est de dimension finie et \dim H \leq \displaystyle \sum_{i=1}^{p} \dim E_i, avec égalité ssi la somme H est directe.



II. Sous espaces supplémentaires

Définition :
Soit E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_p p sev de E.
On dit que E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_p sont supplémentaires ssi : E = E_1 \oplus \cdots \oplus E_p.


Vocabulaire :
Lorsque p=2.
On dit que E_1 (resp. E_2) est supplémentaire de E_2 (resp. E_1).

Exemple :
E = \mathbb{R}^3
E_1 = Vect[(1,0,0)] \, , \, E_2 = Vect[(0,1,0)] \text{ et } E_3 = Vect[(0,0,1)]
On a : E = E_1 \oplus E_2 \oplus E_3.
Proposition :
Soit P un polynôme non constant de K[X].
Posons : \deg P = n+1 avec n \in \mathbb{N}, alors l'idéal (P) admet K_n[X] comme supplémentaire dans K[X].

Théorème :
Soit E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_p p sev supplémentaires de E : E = E_1 \oplus \cdots \oplus E_p.
Soit F un K-ev et pour tout i \in \ldbrack1,p\rdbrack soit u_i \in \mathfrak{L}(E_i,F). Alors :
il existe une unique application linéaire u de E dans F tel que : \left(\forall i \ldbrack1,p\rdbrack \: : \: u_{/E_i} = u_i\right).


Commentaires :
Si E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_p sont supplémentaires dans E alors :
    1. Toute application linéaire de E dans F est complètement determinée par sa restriction aux sev E_i.
    2. Deux applications linéaires de E dans F sont égales ssi elles le sont sur chaque E_i. En particulier, une application linéaire est nulle ssi elle s'annule sur chaque E_i.
Théorème :
Soit E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_p des sev supplémentaires de E, E = E_1 \oplus \cdots \oplus E_p. Soit \mathfrak{B} = (e_i)_{i \in I} une famille de vecteurs de E, et (I_j)_{1\leq j \leq p } une partition de I en p parties telle que pour tout j \in \ldbrack1,p\rdbrack \: : \: \mathfrak{B}_j = (e_i)_{i \in I_j} est une famille de vecteurs de E_j.
Alors : \mathfrak{B} est une base de E ssi chaque \mathfrak{B}_j est une base de E_j.


Notation - Vocabulaire :
\mathfrak{B} est notée \displaystyle \Bigsqcup_{j=1}^p \mathfrak{B}_j, on dit que \mathfrak{B} est une base de E adaptée à la décomposition : E = E_1 \oplus \cdots \oplus E_p.
il faut distinguer entre \Bigcup_{j=1}^p \mathfrak{B}_j et \Bigsqcup_{j=1}^p \mathfrak{B}_j \: \rightarrow \: \Bigcup_{j=1}^p \mathfrak{B}_j \not = \Bigsqcup_{j=1}^p \mathfrak{B}_j

Remarque :
S'il existe une base \mathfrak{B} = (e_i)_{i \in I} de E et si (I_j)_{1\leq j \leq p } est une partition de I, alors les sev E_j = Vect(e_i)_{i \in I_j} avec 1 \leq j \leq p sont supplémentaires dans E.
Théorème :
Soit E et F deux K-ev et u \in \mathfrak{L}(E,F).
Si G est un supplémentaire de Ker( u) dans E alors l'application :   \begin{array}{ll}\bar{u}: &G \longrightarrow Im (u)  \\   &x \longrightarrow u(x)\end{array} induite par u est un isomorphisme de K-ev.

Proposition :
Tout sev d'un K-ev de dimension finie admet un supplémentaire.

Corollaire :
Soit E_1 un sev de E.
Si E_1 admet deux supplémentaires E_2 et E_3, alors E_2 et E_3 sont isomorphes.


Remarque :
Si un sev F de E possède un suppplémentaire G de dimension finie, alors \dim G ne depend pas du choix de G.

III. Notion de Codimension

Définition :
Soit F un sev de E, on dit que F est de codimension finie ssi F admet un supplémentaire G de dimension finie.
Dans ce cas, \dim G, indépendante du choix de G et appelé la codimension de F qu'on note : \rm codim_EF ou \rm codimF s'il n'y a pas d'ambiguité.


Exemple :
E = K[X]
F = (P) un polynôme de degré n non constant.
On sait que : K_{n-1}[X] est un supplémentaire de F dans E.
Alors F est de codimension fine et \rm codimF = n = \deg P
Proposition :
Soit E un K-ev de dimension finie, alors :
Tout sev F de E est de codimension finie et on a : \rm codimF = \dim E - \dim F

Théorème :
Soit E \, , \, F deux K-ev dont F est de dimension finie, soit u \in \mathfrak{L}(E,F).
Alors Ker (u) est de codimension finie et \rm codim(u) = rg(u).

Définition :
On appelle hyperplan de E tout sev de E de codimension 1 dans E \left(\rm codim H = 1\right).


Remarque :
Soit H un sev de E.
H est un hyperplan de E ssi : (\exists e \in E \backslash \lbrace 0_E\rbrace ) \: : \: E = H \oplus Vect(e). Et forcément, un tel e \not \in H.
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