Algèbre générale : Structures algébriques
-Exercices-
exercice 1
Soit

un ensemble possédant au moins

éléments. Sur l'ensemble

, on définit la loi

de la façon suivante :
1. La loi

est-elle associative? commutative?
2. La loi

possède-t-elle un élément neutre dans

? Y-a-t-il des éléments inversibles dans

?
3. Pour

, on considère les applications

de

dans lui même définies par :
Ces applications sont-elles des bijections de

dans lui-même?
exercice 2
On définit sur

la loi de composition interne

par :
1. )
est-il un groupe ?
2. Déterminer un sous-ensemble de

qui soit un groupe pour la loi
exercice 3
Soit
![I=]-1,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I=]-1,1[)
muni de la loi

définie par :
1. Vérifier que

est une loi de composition interne sur

.
2. Montrer que
)
est un groupe abélien
exercice 4
On note

la loi interne de

définie, pour tous
(z',s')\in G)
par :
Montrer que
)
est un groupe . Est-il abélien ?
exercice 5
Soit
)
un groupe , d'élément neutre

tel que
Montrer que
)
est un groupe commutatif .
exercice 6
Soit

un groupe. Pour

, on considère la propriété :
1. Montrer que si

vérifie

, alors

est commutatif .
2. Montrer que si

vérifie

, alors :
3. On suppose que

vérifie

pour trois entiers

consécutifs . Montrer que

est commutatif .
exercice 7
Soit
)
un groupe . Pour tous sous-groupes

, on note :
Soient

et

deux sous-groupes de

. Montrer que les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
exercice 8
Soit
)
un groupe et soient

.
Montrer que

est un sous-groupe de

si et seulement si

.
exercice 9
Un élément

d'un groupe
)
, de neutre

, est dit
d'ordre fini si et seulement s'il existe

tel que

, si

est d'ordre fini, le plus petit entier

tel que

est appelé
l'ordre de 
.
Soit
)
un groupe et soient

.
1. Montrer que si

sont d'ordre

, alors
2. Montrer que si

est d'ordre fini, alors

l'est aussi , et

et

ot le même ordre .
3. Montrer que si

est d'ordre fini, alors

l'est aussi , et

et

ot le même ordre .
4. Montrer que si

est d'ordre fini, alors

l'est aussi , et

et

ot le même ordre .
exercice 10
Soit
)
un anneau . On définit le centre

de

par :
Montrer que

est un sous-anneau de

.
exercice 11
Soit

un anneau dans lequel , pour tout élément

, on a

. Un tel anneau est appelé
anneau de Boole .
1. Montrer que , pour tout
2. Déduire que

est commutatif .
exercice 12
Soit

un anneau . Un élément

de

est dit
nilpotent si et seulement s'il existe

tel que

.
Soit

un élément nilpotent de

. Montrer que

est inversible dans

et exprimer
exercice 13
Soit

un anneau ne possédant aucun élément nilpotent à part

. Soit

tel que

.
Montrer que

commute avec tous les éléments de
Indication : Soit
, considérer
exercice 14
Soit

un anneau et

. On suppose que

est inversible . Montrer que

est inversible :
1. En supposant d'abord que

est nilpotent , et en calculant l'inverse de
)
en fonction de
^{-1})
.
2. Dans le cas général .
Utiliser le résultat de l'exercice 12 .
exercice 15
Montrer que tout anneau intègre fini est un corps .
exercice 1
1. 
La loi est associative. En effet, on a pour
 \text{ , }X'=(\lambda',x')\text{ et }X''=(\lambda'',x'')\text{ de }E)
:

La loi n'est pas commutative. En effet, en choisissant deux éléments
distincts 
, on a :
2. S'il existe un élément neutre
)
, on a pour tout
 \text{ : }X\ast e=X )
.
Ce qui donne en comparant les secondes composantes

. Ceci contredit le fait que

possède au moins deux éléments. Il n'y a donc pas d'élément neutre pour

dans

, et par suite, aucun élément n'est inversible .
3. Notons
)
. On a :

L'application

est bijective , et sa réciproque est l'application
\mapsto (\lambda_0^{-1} \lambda , x))
.

L'application

n'est pas bijective , car elle n'est pas surjective : son image ne contient en effet que les couples dont la seconde composante est égale à

.
exercice 2
1. On vérifie facilement que la loi

est :
Commutative , puisque pour tous réels
Associative , en effet :

Cette expression est invariante par permutation des trois éléments

, donc :
Admet un élément neutre , qui est

, en effet :
Inverse :
Par contre , pour tout réel

, on a :
On en tire que

n'a pas d'inverse .
On conclut que :
2. Montrons que

est stable par

:
Soient

et supposons que
Donc :
De plus , la loi induite

est encore associative, commutative, d'élément neutre

.
Enfin , tout réel

admet un inverse

.
En effet , soit

:
Conclusion :
exercice 3
1. Montrons que la loi

est bien définie et interne sur

.
Soient

, on a

, alors
Il s'ensuit que

, et donc

a donc un sens .
Ensuite :
Ce qui est vrai .
On a donc
Conclusion :
2.
Commutativité
On a , pour tous réels
Ce qui entraîne que

est une loi commutative .
Élément neutre
On a
Il s'ensuit que

est l'élément neutre de
Associativité
Soient
L'expression obtenue étant invariante par permutation des

éléments

, on a :
\perp z=(y\perp z)\perp x = x\perp(y\perp z))
par commutativité de

.
La loi

est donc associative .
Éléments inverses
Enfin ,
=0 )
.
Par conséquent , tout élément de

admet un inverse dans

.
Conclusion :
exercice 4
Associativité
Pour tous
,(z',s'),(z'',s'')\in G)
:
Et :
Donc
![\left[(z,s)\ast(z',s')\right]\ast(z'',s'')=(z,s)\ast\left[(z',s')\ast(z'',s'')\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[(z,s)\ast(z',s')\right]\ast(z'',s'')=(z,s)\ast\left[(z',s')\ast(z'',s'')\right])
et donc

est associative .
Elément neutre
Soit
\in G)
.
On vérifie directement que
\ast(0,0)=(z,s) \enskip\text{ et }\enskip (0,0)\ast(z,s)=(z,s))
.
)
est élément neutre pour

.
Symétriques
Soit
\in G)
. On a , pour tout
\in G)
:
Ceci montre que
)
admet un seul symétrique
On conclut que :
Commutativité?
On a :
exercice 5
Soient

.
Par hypothèse , on a :
^2=e)
, que l'on peut écrire comme

.
En multipliant à gauche par

et à droite par

, on obtient :
Or ,

, il reste
Conclusion :
exercice 6
1. L'hypothèse s'écrit :

. En simplifiant par

à gauche et

à droite , on en déduit que
2. On observe :
^n=(xy)(xy)(xy)\dots (xy)(xy) =x(yx)(yx)(yx)\dots(yx)y=x(yx)^{-1}y)
.
D'après

, on a donc
^{n-1}y=x^ny^n)
, et en simplifiant par

à gauche et

à droite , on déduit le résultat .
3. Soit

, pour lequel

vérifie

.
D'après

et
2. , on a :
A l'aide de

, on en déduit
^{n-1}=(yx)^{n-1})
.
En raisonnant de même à partir de

et

, il vient
^n=(yx)^n)
. En simplifiant cette relation par
^{n-1}=(yx)^{n-1})
, on obtient

.
exercice 7
On montre que :
Supposons que

est un sous-groupe de

.
Soit

. Comme

, il existe
\in H\times K)
tel que

.
On a alors :
Ce qui prouve que :
Supposons que

Soit

l'élément neutre de

, puisque

sont deux sous-groupes de

, alors

.
Il s'ensuit que

et donc

Soient

, il exsite
;(h',k')\in H\times K)
tels que

et
On a :
Comme

et

, il existe
\in H\times K)
tel que
On obtient alors :

Soit

, il exsite
\in H\times K)
tel que

.
On a :
Donc

.
On conclut que :
Se déduit de
\Rightarrow iii))
en échangeant

et

.
Se déduit de
\Rightarrow ii))
en échangeant

et

.
exercice 8

Si
Donc

est un sous-groupe de

.

Réciproquement , supposons que

soit un sous-groupe de

. Raisonnons pas absurde en supposant que
Il existe alors

tel que

, et il existe

tel que

.
Puisque

est un sous-groupe de

et que

et

sont dans

, on a

. C'est-à-dire

ou

.

Supposons que

.
Puisqu'on a
 , a\in H , ab\in H)
et

un sous-groupe de

.
Alors

. Absurde

Supposons que

.
Puisqu'on a
b^{-1} , b\in K , ab\in K)
et

un sous-groupe de

.
Alors

. Contradiction .
On en déduit que
exercice 9
1. On a

sont d'ordre

, alors :
2. Supposons que

est d'ordre fini et notons

son ordre.
On a :
Donc

est d'ordre fini , et si on note

son ordre , on a

.
Or, puisque
^{-1})
, alors , en échangeant les rôles de

et

, on obtient

.
Et donc :
3. Supposons que

est d'ordre fini et notons

son ordre.
On a
Donc

est d'ordre fini; et en notant

son ordre , on a

.
D'autre part , on a
En échangeant les rôles de

et

, on obtient

.
Conclusion :
4. Supposons que

est d'ordre fini .
En remarquant que
Donc, directement d'après la question précédente :
exercice 10
On rappelle que

est un sous-anneau de

si et seulement si :
On a

(évident)
Alors
Donc
Ceci montre que
)
est un sous-groupe de
)
.
Soient
Donc

.
Donc
On conclut que :
exercice 11
1. Soit

, alors :
Et, puisque

est un anneau de Boole :
Il s'ensuit :

et donc :
2. Soient
On en déduit que
Or, puisque pour tout élément

de l'anneau de Boole

on a

, alors
On en déduit que
Et donc :
exercice 12
Puisque

est nilpotent , il existe

tel que

.
On a alors :
Et :
Conclusion :
exercice 13
Soit

et posons

tel que

.
On a :
On a donc :
Multiplions une deuxième par

:
On en tire que

, et donc :
=0)
, il s'ensuit que
^2=0)
, et enfin
De la même manière , en multipliant par

à droite cette fois-ci, on montre que
On en déduit que

et donc :
exercice 14
1. Pusique

est nilpotent , il existe

tel que
^p=0)
.
D'après le résultat de
l'exercice 12 ,

est inversible et
Or , puisque
Donc

est nilpotent et donc ,

est inversible et :
Conclusion :
2. Il faut tout simplement vérifier que
^{-1}a)
est bien l'inverse de

dans le cas général , en multipliant à gauche ou à droite .
On a :
Conclusion :
exercice 15
Soient

un anneau intègre fini et

.
Pusique

est intègre , les applications de

dans

sont injectives , en effet :
De même pour
De plus , comme

est fini , les applications

sont bijectives .
Il existe alors

tel que
=1)
et il existe

tel que
=1)
, ou encore

et
Il s'ensuit que
=(ca)b=b)
, on en tire que :
Tout élément de

admet donc un inverse .
On conclut que :
