Fiche de mathématiques
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Sujet corrigé Maths Bac ES L 2016 de métropole

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Remarque : Pour la réponse 3.a il fallait lire f'(x)=-2\text{e}^{-2x+3}\text{ et non } f(x)=-2\text{e}^{-2x+3}

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exercice Exercice 2 réservé à l'enseignement de spécialité


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Métropole juin 2016 - ES / L
Correction de l'épreuve de mathématiques

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exercice 1

1. n=300\geqslant 30, f=\dfrac{225}{300} donc nf=225\geqslant 5 et n(1-f)=75 \geqslant 5.

Un intervalle de confiance au niveau de confiance0,95 est :

I_{300}&=\left[\dfrac{225}{300}-\dfrac{1}{\sqrt{300}};\dfrac{225}{300}+\dfrac{1}{\sqrt{300}}\right] \\ &\approx [0,692;0,808]

Réponse b

2. On appelle X la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [4;11].
Alors :

P(X\leqslant 10)&=P(4\leqslant X \leqslant 10)\\ &=\dfrac{10-4}{11-4}\\ &=\dfrac{6}{7}

Réponse d

3. Pour tout réelx on a :

f'(x)&=e^{-2x+3}-2(x+1)e^{-2x+3} \\ &=(1-2x-2)e^{-2x+3} \\ &=(-1-2x)e^{-2x+3}

Réponse d

4. f\prime\prime s'annule en changeant de signe en 1.
La courbe représentative de f sur [-2;2] possède donc un point d'inflexion.

Réponse c



exercice Exercice 2

Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

1. Chaque année il revend 25\% de son parc; il en conserve donc 75\% soit 0,75u_n.
Il achète chaque année 3~000 voitures.
Donc u_{n+1}=0,75u_n+3~000

2.a. u_n=v_n+12~000
v_{n+1}&=u_{n+1}-12~000 \\ &=0,75u_n+3~000-12~000 \\ &=0,75u_n-9~000\\ &=0,75\left(v_n+12~000\right)-9~000 \\ &=0,75v_n+9~000-9~000 \\ &=0,75v_n

Donc la suite \left(v_n\right) est géométrique de raison 0,75 et de premier terme v_0=u_0-12~000=-2~000.

b. On a donc, pour tout entier naturel n, v_n=-2~000\times 0,75^n 0<0,75<1 donc \lim\limits_{n \to +\infty} 0,75^n=0 et \lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0.

c. Pour tout entier naturel n on a : u_n=12~000+v_n=12~000-2~000 \times 0,75^n

d. Au bout d'un grand nombre d'années, le parc automobile de ce loueur comptera 12~000 voitures.

3.a Initialisation
U prend la valeur 10~000
N prend la valeur 0

Traitement
Tant que U<11~950
U prend la valeur 0,75U+3~000
N prend la valeur N+1
Fin tant que

Sortie
Afficher N

b. On a u_{12} \approx 11~937 et u_{13} \approx 11~952
C'est donc en 2028 que le parc automobile de ce loueur comptera au moins 11~950 voitures.

c.

12~000-2~000\times 0,75^n \geqslant 11~950 &\ssi -2~000\times 0,75^n \geqslant 50 \\ &\ssi 0,75^n \leqslant 0,025 \\ &\ssi n\ln(0,75) \leqslant \ln(0,025) \\ &\ssi n \geqslant \dfrac{\ln(0,025)}{\ln(0,75)} \\ &\ssi n \geqslant 13

On retrouve bien le même résultat.



exercice 2


Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

1.
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2. La matrice de transition est M=\begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,6&0,4\end{pmatrix}

3. On a P_6=P_0\times M^6 = \begin{pmatrix} 0,750~016&0,249~984\end{pmatrix}
Donc c_6 \approx 0,75

4.a. P_{n+1}=P_n\times M

b. On a donc c_{n+1}=0,8c_n+0,6r_n avec c_n+r_n=1
D'où c_{n+1}=0,8c_n+0,6(1-c_n) avec r_n=1-c_n.
Donc c_{n+1}=0,2c_n+0,6 et r_n=1-c_n.

5.a. On a c_n=v_n+0,75.

 v_{n+1}&=c_{n+1}-0,75 \\ &=0,2c_n+0,6-0,75 \\ &=0,2c_n-0,15 \\ &=0,2\left(v_n+0,75\right)-0,15\\ &=0,2v_n+0,15-0,15 \\ &=0,2v_n

La suite \left(v_n\right) est donc géométrique de raison 0,2 et de premier terme v_0=c_0-0,75=0,25.

b. On a donc, pour tout entier naturel n, v_n=0,25\times 0,2^n.
0<0,2<1 donc \lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0 et \lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0.

c. Pour tout entier naturel n, on a c_n=v_n+0,75=0,25\times 0,2^n+0,75.

d. On peut donc conjecturer que la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 est 0,75.

e. On conjecture que l'état stable est P=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix}
P\times M&=\begin{pmatrix} 0,75\times 0,8+0,25\times 0,6&0,75 \times 0,2+0,25 \times 0,4\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix} \\ &=P

Donc P=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix} est bien l'état stable.



exercice 3

Partie A

1. P(R)=\dfrac{960}{3~200}=0,3

2. On a donc P_R(F)=0,35

3. Par conséquent P(R \cap F)=0,35 \times 0,3 = 0,105

4. D'après la formule des probabilités totales on a :
P(F)=P(F\cap R)+P\left(F \cap \overline{R}\right) &\ssi 0,385=0,105+P\left(F \cap \overline{R}\right) \\ &\ssi P\left(F \cap \overline{R}\right)=0,28

5. Ainsi

P_{\overline{R}}(F)&=\dfrac{P\left(F \cap \overline{R}\right)}{P\left(\overline{R}\right)} \\ &=\dfrac{0,28}{1-0,3}\\ &=0,4

40\% des chansons non classées dans la catégorie rock sont interprétées en français.

Partie B

1. P(15\leqslant X \leqslant 45) \approx 0,866 2. P(X \geqslant 60) = 0,5-P(30 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0,001



exercice 4

Partie A : Étude graphique

1. f'(1,5) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 1,5.
La tangente en ce point est horizontale. Donc f'(1,5)=0.

1. Le coefficient directeur de cette tangente est f'(1)=\dfrac{3-2}{1-0}=1
La tangente passe par le point de coordonnées (0;2) donc son ordonnée à l'origine est 2.
Une équation de cette tangente est doncy=x+2.

2. L'aire \mathscr{A} de ce domaine est strictement comprise entre la somme des aires de 3 carrés de côté 1 et celle des aires de 4 carrés de côté 1.
Donc 3<\mathscr{A}<4.

3. La courbe (C) semble toujours située sous ses tangentes. La fonction f semble donc concave sur [0,5;6].

Partie B : Etude Analytique

1. f est dérivable sur [0,5;6] en tant que somme de fonctions dérivable sur cet intervalle.

f'(x)&=-2+\dfrac{3}{x} \\ &=\dfrac{-2x+3}{x}

2. Sur [0,5;6] x>0. Le signe de f'(x) ne dépend donc que de celui de -2x+3.
Or -2x+3>0 \ssi -2x > -3 \ssi x < \dfrac{3}{2}
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
Sujet et correction Bac ES-L 2016 Mathématiques de métropole : image 12


3. 4+3\ln(0,5) \approx 1,9 > 0.

La fonctionf est strictement croisante sur\left[0,5;\dfrac{3}{2}\right] doncf(x) >f(0,5)>0 sur cet intervalle.

L'équation f(x)=0 n'a donc pas de solution sur\left[0,5;\dfrac{3}{2}\right]

Sur l'intervalle\left[\dfrac{3}{2};6\right], la fonctionf est continue car dérivable, strictement décroissante.

f\left(\dfrac{3}{2}\right) \approx 3,2 > 0 et f(6) \approx -1,6<0

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 possède donc une unique solution sur \left[\dfrac{3}{2};6\right].

Finalement l'équation f(x)=0 possède bien une unique solution \alpha sur [0,5;6].
\alpha \approx 4,88

. On obtient ainsi le tableau de signe suivant :
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5.a. F est dérivable sur [0,5;6] en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.

F'(x)&=-2x+2+3\ln(x)+3\dfrac{x}{x} \\ &=-2x+2+3\ln(x)+3 \\ &=-2x+5+3\ln(x) \\ &=f(x)

Donc F est bien une primitive de f sur [0,5;6].

b. L'aire cherchée est donc :

\mathscr{A}&=\displaystyle \int_{1}^2 f(x) \mathrm{d}x \\ &=F(2)-F(1) \\ &=6\ln(2)-1-3\ln(1) \\ &=-1+6\ln(2) \\ &\approx 3,2
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