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Sujet Maths Bac ES L 2016 de métropole

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Remarque : Pour la réponse 3.a il fallait lire $f'(x)=-2\text{e}^{-2x+3}\text{ et non } f(x)=-2\text{e}^{-2x+3}$

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exercice Exercice 2 réservé à l'enseignement de spécialité

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Corrigé : Métropole juin 2016 - ES / L

4 points

exercice 1

1. $n=300\geqslant 30$ , $f=\dfrac{225}{300}$ donc $nf=225\geqslant 5$ et $n(1-f)=75 \geqslant 5$ .

Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est :

$I_{300}&=\left[\dfrac{225}{300}-\dfrac{1}{\sqrt{300}};\dfrac{225}{300}+\dfrac{1}{\sqrt{300}}\right] \\ &\approx [0,692;0,808]$

Réponse b

2. On appelle $X$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[4;11]$ .
Alors :

$P(X\leqslant 10)&=P(4\leqslant X \leqslant 10)\\ &=\dfrac{10-4}{11-4}\\ &=\dfrac{6}{7}$

Réponse d

3. Pour tout réel $x$ on a :

$f'(x)&=e^{-2x+3}-2(x+1)e^{-2x+3} \\ &=(1-2x-2)e^{-2x+3} \\ &=(-1-2x)e^{-2x+3}$

Réponse d

4. $f\prime\prime$ s'annule en changeant de signe en $1$ .
La courbe représentative de $f$ sur $[-2;2]$ possède donc un point d'inflexion.

Réponse c

5 points

exercice 2

Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

1. Chaque année il revend $25\%$ de son parc; il en conserve donc $75\%$ soit $0,75u_n$ .
Il achète chaque année $3~000$ voitures.
Donc $u_{n+1}=0,75u_n+3~000$

2.a. $u_n=v_n+12~000$
$v_{n+1}&=u_{n+1}-12~000 \\ &=0,75u_n+3~000-12~000 \\ &=0,75u_n-9~000\\ &=0,75\left(v_n+12~000\right)-9~000 \\ &=0,75v_n+9~000-9~000 \\ &=0,75v_n$

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=u_0-12~000=-2~000$ .

b. On a donc, pour tout entier naturel $n$ , $v_n=-2~000\times 0,75^n$ $0<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,75^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$ .

c. Pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=12~000+v_n=12~000-2~000 \times 0,75^n$

d. Au bout d'un grand nombre d'années, le parc automobile de ce loueur comptera $12~000$ voitures.

3.a Initialisation
$U$ prend la valeur $10~000$
$N$ prend la valeur $0$

Traitement
Tant que $U<11~950$
$U$ prend la valeur $0,75U+3~000$
$N$ prend la valeur $N+1$
Fin tant que

Sortie
Afficher $N$

b. On a $u_{12} \approx 11~937$ et $u_{13} \approx 11~952$
C'est donc en 2028 que le parc automobile de ce loueur comptera au moins $11~950$ voitures.

c.

$12~000-2~000\times 0,75^n \geqslant 11~950 &\ssi -2~000\times 0,75^n \geqslant 50 \\ &\ssi 0,75^n \leqslant 0,025 \\ &\ssi n\ln(0,75) \leqslant \ln(0,025) \\ &\ssi n \geqslant \dfrac{\ln(0,025)}{\ln(0,75)} \\ &\ssi n \geqslant 13$

On retrouve bien le même résultat.

5 points

exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

1.

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2. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,6&0,4\end{pmatrix}$

3. On a $P_6=P_0\times M^6 = \begin{pmatrix} 0,750~016&0,249~984\end{pmatrix}$
Donc $c_6 \approx 0,75$

4.a. $P_{n+1}=P_n\times M$

b. On a donc $c_{n+1}=0,8c_n+0,6r_n$ avec $c_n+r_n=1$
D'où $c_{n+1}=0,8c_n+0,6(1-c_n)$ avec $r_n=1-c_n$ .
Donc $c_{n+1}=0,2c_n+0,6$ et $r_n=1-c_n$ .

5.a. On a $c_n=v_n+0,75$ .

$v_{n+1}&=c_{n+1}-0,75 \\ &=0,2c_n+0,6-0,75 \\ &=0,2c_n-0,15 \\ &=0,2\left(v_n+0,75\right)-0,15\\ &=0,2v_n+0,15-0,15 \\ &=0,2v_n$

La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $v_0=c_0-0,75=0,25$ .

b. On a donc, pour tout entier naturel $n$ , $v_n=0,25\times 0,2^n$ .
$0<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$ .

c. Pour tout entier naturel $n$ , on a $c_n=v_n+0,75=0,25\times 0,2^n+0,75$ .

d. On peut donc conjecturer que la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 est $0,75$ .

e. On conjecture que l'état stable est $P=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix}$
$P\times M&=\begin{pmatrix} 0,75\times 0,8+0,25\times 0,6&0,75 \times 0,2+0,25 \times 0,4\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix} \\ &=P$

Donc $P=\begin{pmatrix} 0,75&0,25\end{pmatrix}$ est bien l'état stable.

5 points

exercice 3

Partie A

1. $P(R)=\dfrac{960}{3~200}=0,3$

2. On a donc $P_R(F)=0,35$

3. Par conséquent $P(R \cap F)=0,35 \times 0,3 = 0,105$

4. D'après la formule des probabilités totales on a :
$P(F)=P(F\cap R)+P\left(F \cap \overline{R}\right) &\ssi 0,385=0,105+P\left(F \cap \overline{R}\right) \\ &\ssi P\left(F \cap \overline{R}\right)=0,28$

5. Ainsi

$P_{\overline{R}}(F)&=\dfrac{P\left(F \cap \overline{R}\right)}{P\left(\overline{R}\right)} \\ &=\dfrac{0,28}{1-0,3}\\ &=0,4$

$40\%$ des chansons non classées dans la catégorie rock sont interprétées en français.

Partie B

1. $P(15\leqslant X \leqslant 45) \approx 0,866$ 2. $P(X \geqslant 60) = 0,5-P(30 \leqslant X \leqslant 60) \approx 0,001$

6 points

exercice 4

Partie A : Étude graphique

1. $f'(1,5)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $1,5$ .
La tangente en ce point est horizontale. Donc $f'(1,5)=0$ .

1. Le coefficient directeur de cette tangente est $f'(1)=\dfrac{3-2}{1-0}=1$
La tangente passe par le point de coordonnées $(0;2)$ donc son ordonnée à l'origine est $2$ .
Une équation de cette tangente est donc $y=x+2$ .

2. L'aire $\mathscr{A}$ de ce domaine est strictement comprise entre la somme des aires de $3$ carrés de côté $1$ et celle des aires de $4$ carrés de côté $1$ .
Donc $3<\mathscr{A}<4$ .

3. La courbe $(C)$ semble toujours située sous ses tangentes. La fonction $f$ semble donc concave sur $[0,5;6]$ .

Partie B : Etude Analytique

1. $f$ est dérivable sur $[0,5;6]$ en tant que somme de fonctions dérivable sur cet intervalle.

$f'(x)&=-2+\dfrac{3}{x} \\ &=\dfrac{-2x+3}{x}$

2. Sur $[0,5;6] x>0$ . Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-2x+3$ .
Or $-2x+3>0 \ssi -2x > -3 \ssi x < \dfrac{3}{2}$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

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3. $4+3\ln(0,5) \approx 1,9 > 0$ .

La fonction $f$ est strictement croisante sur $\left[0,5;\dfrac{3}{2}\right]$ donc $f(x) >f(0,5)>0$ sur cet intervalle.

L'équation $f(x)=0$ n'a donc pas de solution sur $\left[0,5;\dfrac{3}{2}\right]$

Sur l'intervalle $\left[\dfrac{3}{2};6\right]$ , la fonction $f$ est continue car dérivable, strictement décroissante.

$f\left(\dfrac{3}{2}\right) \approx 3,2 > 0$ et $f(6) \approx -1,6<0$

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution sur $\left[\dfrac{3}{2};6\right]$ .

Finalement l'équation $f(x)=0$ possède bien une unique solution $\alpha$ sur $[0,5;6]$ .
$\alpha \approx 4,88$

. On obtient ainsi le tableau de signe suivant :

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5.a. $F$ est dérivable sur $[0,5;6]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.

$F'(x)&=-2x+2+3\ln(x)+3\dfrac{x}{x} \\ &=-2x+2+3\ln(x)+3 \\ &=-2x+5+3\ln(x) \\ &=f(x)$

Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $[0,5;6]$ .

b. L'aire cherchée est donc :

$\mathscr{A}&=\displaystyle \int_{1}^2 f(x) \mathrm{d}x \\ &=F(2)-F(1) \\ &=6\ln(2)-1-3\ln(1) \\ &=-1+6\ln(2) \\ &\approx 3,2$

Publié par Tom_Pascal le 30-04-2018

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