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Sujet corrigé Bac ES-L Liban 2016 de mathématiques

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exercice 1 : réponses et indications




1) C) car le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente en un point
2) D) on utilise la formule (uv)'=u'v+uv' \text{ avec } u= x+1, u'= 1, v=ln(x) \text{ et } v'=\frac{1}{x}
3) B) on compte le nombre de carreaux sous la courbe
4) A) une fonction est concave sur un intervalle lorsque la dérivée seconde est négative

exercice 2

Partie A

Données :
60% collégiens donc 0,6
40% lycéens donc 0,4
80% ont un téléphone donc 0,8
70% des collégiens ont un téléphone (probabilité que l'élève a un téléphone sachant qu'il est collégien, probabilité conditionnelle) donc 0,7

1)
P (C) = 0,6
P (L) = 0,4
P (T) = 0,8
PC (T) = 0,7

2)
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3) P(C \cap T) = P_C(T) \times P (C) (probabilité conditionnelle)
= 0,7 \times 0,6 = 0,42

4) P_T(C) = \frac{P(C \cap T)}{P(T)} = \frac{0,42}{0,8} = 0,525

5) a) Formule des probabilités totales :
P (T) = P (T \cap L) + P (T \cap C)
P (T \cap L) = P (T) - P (T \cap C) = 0,8 - 0,42 = 0,38

P_L(T) = P(T \cap L) / P(L) = 0,38 / 0,4 = 0,95

Partie B

XflecheN (2500 ; 422500)

1) P (2000 \leq X \leq 3000 ) = 0,558, utiliser normalfrep ou normalcdm de la calculatrice normalfrep (2000,3000,2500,650)

2) Pour calculer P (X \geq 4000), il faut passer par l'événement contraire : P(X \leq 4000)
Donc P (X \geq 4000) = 1 - P (X \leq 4000) ( utiliser la même fonctionnalité que précédemment et rentrer une valeur négative très grande pour a, exemple -10000000)
P (X \geq 4000) = 1 - 0,989 = 0,011

3) Pour trouver la valeur de a, il faut utiliser la fonctionnalité invNorm (0,8, 2500, 650) de la calculatrice. La valeur de a arrondie à l'unité est donc de 3048. En France en 2012 la probabilité que les adolescents envoient moins de 3048 SMS par mois est de 0,8.

exercice 3

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L

1 a) En 2016, il faut calculer l'augmentation de 12%, c'est-à-dire 75 \times (1+\frac{12}{100}) = 84 contrats supplémentaires. A ces contrats il faut enlever les 6 résiliés : 84-6=78.
En 2016, l'entreprise dénombre 78 contrats.

b) L'augmentation de 12% se traduit par la multiplication de (1+\frac{12}{100}) =1,12 par le nombres de contrats de l'année n. A cette augmentation il faut soustraire les 6 contrats résiliés par an. On a donc u_{n+1}=1,12u_n-6

2) a) Afficher n
b)
Valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7
Valeur de U 75 78 81 85 89 94 99 105


c) La valeur affichée est 7, c'est-à-dire le nombre d'année après 2015. 2015 + 7 = 2022
A partir de 2022, le nombre de contrats dépasse 100, l'entreprise va donc devoir embaucher un employé supplémentaire.

3) a) Pour montrer qu'une suite est géométrique il faut calculer le rapport v_{n+1}/v_n. Le nombre trouvé ne doit pas dépendre de n pour que la suite soit géométrique.
V_{n+1}=u_{n+1}-50=1,12u_n-6-50=1,12u_n-56
V_{n+1}/v_n= \frac{(1,12u_n-56)}{(u_n-50)} = (1,12 (u_n-50)) /(u_n-50) = 1,12

La suite v est donc une suite géométrique de raison 1,12 et de premier terme
v_0=u_0-50=75-50=25

b) Un suite géométrique est de la forme v_0 \times q^n
Ici v_n=25 \times 1,12^n
Or v_n=u_n-50 donc u_n=v_n+50=25 ^\times 1,12n+50

c) u_n > 100 \Leftrightarrow 25 \times 1,12^n + 50 > 100 \Leftrightarrow 25 \times 1,12^n > 100 - 50 \Leftrightarrow 25 \times 1,12^n > 50 \\ \Leftrightarrow 1,12^n > 50/25 \Leftrightarrow ln (1,12n) > ln (2) \Leftrightarrow n \times ln(1,12) > ln(2) \Leftrightarrow n > ln(2)/ln(1,12) \Leftrightarrow n > 6,117 dans les réels donc dans l'ensemble des entiers naturels, n \geq 7

d) Nous retrouvons bien le nombre d'années à partir de 2015 pour lequel l'entreprise a plus de 100 contrats et doit embaucher.

exercice 3

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité en ES

PARTIE A



1)
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1-0,12=0,88 et 1-0,20=0,80

Matrice de transition : M =   \begin{pmatrix} 0,80 & 0,20 \\  0,12 & 0,88  \end{pmatrix}

2) a) Pour montrer que l'état stable est P = (0,375 0,625), il faut calculer PM. Le résultat doit être égal à P. PM = \begin{pmatrix}0,375    &   0,625\end{pmatrix}^{\begin{pmatrix} 0,80 & 0,20 \\  0,12 & 0,88  \end{pmatrix}} \\        = \begin{pmatrix}0,375 \times 0,80 + 0,625 \times 0,12     &     0,375 \times 0,20 + 0,625 \times 0,88\end{pmatrix} \\        = \begin{pmatrix}0,375  &    0,625\end{pmatrix} \\        = P

b) L'entreprise peut atteindre son objectif puisque 0,350 est inférieur à 0,375, c'est-à-dire que l'objectif est inférieur à l'état stable. A partir de l'état stable l'entreprise n'évolue plus.

PARTIE B

1) Il faut se servir du graphe probabiliste. L'entreprise récupère 0,12 clients durant l'année n+1. Mais l'entreprise perd également des clients chaque année. Il faut multiplier le nombre de contrats de départ par 0,88-0,20=0,68
Donc C_{n+1}=0,68C_n+0,12

2) a)
Valeurs de n 0 1 2 3 4 5 6
Valeurs de C 0,15 0,222 0,271 0,304 0,327 0,342 0,352


b) La valeur affichée sera 6 puisque c'est à partir de cette valeur que C \geq 0,35. Ainsi il faudra que l'entreprise PiscinePlus attende 6 années après 2015, c'est-à-dire 2021 pour qu'au moins 35% des propriétaires de piscines soient clients de cette entreprise sous contrats d'entretien.

3) a) Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut trouver le rapport V_{n+1}/V_n
Ici V_{n+1}=C_{n+1}-0,375=0,68C_n+0,12-0,375=O,68C_n-0,255
V_{n+1}/V_n=0,68C_n-0,255/C_n-0,375=(0,68(C_n-0,375)) / (C_n-0,375) = 0,68
V est donc une suite géométrique de raison 0,68 et de premier terme
V_0=C_0-0,375 = 0,15-0,375 = -0,225

b) Cn \geq 0,35 \Leftrightarrow -0,225 \times 0,68^n + 0,375 \geq 0,35 \\ -0,225 \times 0,68^n  \geq 0,35 - 0,375 \\ 0,68n  \geq -0,025/-0,225 \\ 0,68n \geq 0,11 \\ ln (0,68n) \geq ln (0,11) \\ n \times ln (0,68) \geq ln (0,11) \\ n  \geq ln (0,11)/ln(0,68) \\ n  \geq 5,70 dans l'ensemble des réels
Donc n \geq 6 dans l'ensemble des entiers naturels.

c) Nous retrouvons la réponse à la question 2b, c'est-à-dire qu'il faut que l'entreprise attende 6 années après 2015 (2021) pour qu'au moins 35% des propriétaires de piscines soient clients de l'entreprise sous contrats d'entretiens.

exercice 4

Partie A

1) Soit f(x) = -2x+20-e^{-2x+10}                      e^{-2x+10} \text{ est de la forme } e^u \text{ et } (e^u)'=u'e^u \\               \text{ D'où } (e^{-2x+10})'= -2e^{-2x+10} \\               F'(x)= -2+2e^{-2x+10} =2(-1+e^{-2x+10})

2) a) f'(x)\geq 0 \Leftrightarrow 2 (-1+e^{-2x+10})\geq 0 \Leftrightarrow -1+e^{-2x+10} \geq 0 \Leftrightarrow e^{-2x+10} \geq 1 \Leftrightarrow ln (e^{-2x+10}) \geq ln(1) \\ \Leftrightarrow -2x+10 \geq 0 \Leftrightarrow -2x \geq -10 \Leftrightarrow x \leq 5
Donc f'(x) \geq 0 si et seulement si x appartient à l'intervalle [3 ; 5]

b) f'(x) > 0 si et seulement si x appartient à l'intervalle [3 ; 5[
f'(x)=0 si et seulement si x=5
f'(x) < 0 si et seulement si x appartient à l'intervalle ]5 ; 13]
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Partie B

1) D'après la partie A, la fonction f atteint son maximum en x=5. Ce maximum est égal à 9. Ici x représente la centaine de toboggans et f le bénéfice mensuel en milliers d'euros. Donc pour obtenir un bénéfice maximal l'entreprise doit produire 500 toboggans pour un bénéfice de 9000 euros.

2) Le bénéfice moyen correspond à la valeur moyenne de l'intégrale, c'est-à-dire,

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D'où le bénéfice moyen est de 0,1 \times 12,701=1,270, c'est-à-dire 1270 euros.

Partie C

D'après le tableau de variation de la fonction, il existe deux réels tels que f(x) = 0
Sur [3 ; 5], la fonction f est strictement croissante et continue et f(3)<0 et f(5)>0, il existe donc un réel a tel que f(a)=0. De même sur [5 ; 13], la fonction f est strictement décroissante et continue et f(5)>0 et f(13)<0, il existe donc un réel b tel que f(b)=0.
D'après la calculatrice a \approx 4 et b \approx 9.
Pour que l'entreprise soit rentable, elle doit fabriquer entre 400 et 900 toboggans en un mois.
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