Fiche de mathématiques
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Sujet et corrigé de Mathématiques

Bac ES-L 2016

Amérique du Nord

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exercice 1

PARTIE A


1. On obtient l'arbre pondéré suivant :
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2. P(C \cap T)=0,52\times 0,75=0,39

3. On a P(T)=0,7
a) D'après la formule des probabilités totales, on a : P(T)=P(T\cap G)+P(T\cap C)+P(T\cap D) \\ 0,7=0,28+0,39+P(T\cap D)=0,67+P(T\cap D) \\ P(T\cap D)=0,7-0,67=0,03

(b) P_D(T)=\frac{P(T\cap D)}{P(D)}=\frac{0,03}{0,2}=0,15

PARTIE B


V suit une loi normale N(\mu=120;\sigma^2=0,75^2)

1. P(120<V<130)\approx 0,409 obtenu à la calculatrice

2. P(V\geq 128)=0,5-P(120\leq V \leq 128)\approx 0,008

exercice 2

1. Au 1er février 2016, le nombre d'abonnés est
4000\times (1-\frac{8}{100})+8000¿=4000\times 0,92+8000=11680

Dans la suite, on représente le nombre d'abonnés en milliers au bout de n mois après le 1er janvier 2016 par la suite (u_n)_n définie pour tout entier naturel n par :

\left\lbrace\begin{matrix} u_0= 4  \\  u_{n+1}=0,92u_n+8 \end{matrix}\right.

2.(a) A l'aide de l'algorithme, on obtient le tableau suivant :
Valeurs de U 4 11,7 18,7 25,2 31,2 36,7 41,8
Valeurs de N 0 1 2 3 4 5 6
Condition U<40 VRAI VRAI VRAI VRAI VRAI VRAI FAUX


(b) L'algorithme affiche en sortie N= 6 ainsi au 1er juillet 2016, le nombre d'abonnés a dépassé 40 000.

3. \forall n \in \mathbb{N}, v_n=u_n-100

(a) Soit n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=u_{n+1}-100=0,92u_n+8-100=0,92u_n-92=0,92(u_n-100)=0,92v_n donc (v_n)_n est géométrique de raison 0,92 et de 1er terme v_0=u_0-100=4-100=-96


(b) (v_n)_n est géométrique de raison 0,92 et de 1er terme v_0=-96
donc \forall n \in \mathbb{N}, v_n=-96×0,92^n


(c) \forall n \in \mathbb{N} , v_n=u_n-100 \\ -96×0,92^n=u_n-100 \\ u_n=100-96×0,92^n

4. On souhaite calculer le plus petit entier N tel que u_N\geq 70
u_n\geq 70 \Leftrightarrow  100-96×0,92^n\geq 70 \\ \Leftrightarrow  96×0,92^n\leq 30 \\ \Leftrightarrow  0,92^n\leq\frac{30}{96} = \frac{5}{16} \\ \Leftrightarrow  n\times ln(0,92)\leq ln5-ln16 \\ \Leftrightarrow  n\geq \frac{ln5-ln16}{ln 0,92}\approx 13,9

donc le plus petit entier N tel que u_N\geq 70 est N =14

exercice 3

1. La bonne réponse est b)
Justification non demandée Soit X la variable aléatoire correspond au réel choisi. X suit une loi uniforme sur [10;50] donc P(15\leq X\leq 20)=\frac{20-15}{50-10}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}

2. La bonne réponse est c)
Justification non demandée
Soit x le pourcentage de baisses successives.
On a 200\times (1-\frac{x}{100})^2=100 \\  \text{ donc } (1-\frac{x}{100})^2 =\frac{1}{2} \\  \text{ donc } 1-\frac{x}{100}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\  \text{ donc } \frac{-x}{100}=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 \\  \text{ donc } \frac{x}{100}=1-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{ donc } x=(\frac{2\sqrt{2}}{2})\times 100\approx 29

3. La bonne réponse est d
Justification non demandée
f est positive sur [2;18] donc toutes ses primitives sont croissantes sur [2;18]


4. La bonne réponse est c)
Justification non demandée
L'intervalle de confiance est du type
[ f-\frac{1}{\sqrt{n}};f +\frac{1}{\sqrt{n}}]

Son amplitude est \frac{2}{\sqrt{n}} donc \frac{2}{\sqrt{n}}=0,56-0,51=0,05 \text{ donc } 2=0,05\times \sqrt{n} \\ \text{ donc } \sqrt{n}=\frac{2}{0,05}=40 \text{ donc } n=40^2=1600

exercice 4

PARTIE A

1. (a) La fonction f est dérivable sur ]0;1,5] comme somme et produit de fonction dérivables sur ]0;1,5].

\forall 0<x\leq 1,5 ,f'(x)=18x(1-2 ln x)+9 x^2(\frac{-2}{x})=18x-36xln x-18x=-36xlnx

(b) \forall 0<x\leq 1,5,-36x<0 donc f'(x) est du signe opposé à ln x .

On déduit que :

\forall 0<x\leq 1 ,ln x\leq 0 donc f '(x)\geq 0 et \forall 1\leq x\leq 1,5, ln x\geq 0 donc f '(x )\leq 0

(c) \forall 0<x\leq 1,f '(x )\geq 0 donc f est croissante
\forall 1\leq x\leq 1,5,f '(x )\leq 0 donc f est décroissante

2. \forall 0<x\leq 1,5,f''(x)=-36lnx-36 \\ f''(x)=0\Leftrightarrow ln x=-1\Leftrightarrow ln x=lne^{-1} \Leftrightarrow x=e^{-1}

or f'' est strictement décroissante sur ]0;1,5] car la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+\infty [ donc f'' s'annule une seule fois sur ]0;1,5] en changeant de signe donc f admet un point d'inflexion en x=e^{-1}

3. (a) F est dérivable sur ]0;1,5] comme somme de fonctions dérivables sur ]0;1,5].

Soit 0<x\leq 1,5 , \\ F'(x)=10+15x^2+18x^2 lnx-6x^3\times\frac{1}{x} \\ F'(x)=10+15x^2-18x^2lnx-6x^2 \\ F'(x)=10+9x^2-18x^2ln x=10+9x^2(1-2lnx)=f(x)

donc F est bien une primitive de f sur ]0;1,5].

(b) \int_{1}^{1,5}{f(x)dx} = F(1,5)-F(1) \\ \int_{1}^{1,5}{f(x)dx}=(10\times 1,5+5\times 1,5^3-6\times 1,5^3\times ln 1,5)-(10\times 1+5\times 1^3-6\times 1^3\times ln 1) \\ \int_{1}^{1,5}{f(x)dx}=(15+16,875-20,25 ln1,5)-(10+5)=16,875-20,25ln 1,5\approx 8,66

PARTIE B

Proposition 1 est vraie car :
f(1)=9\times 1^2\times (1-2ln 1)+10=19 \text{ et } \\ \text{ Or } \frac{19\times 3}{4}=14,25>13,82 donc la proposition est vraie

Proposition 2 est fausse car :
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [1;1,5] vaut :
m=\frac{1}{1,5-1}\times\int_{1}^{1,5}{f(x)dx}\approx \frac{1}{0,5}\times8,66=17,32>17
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