3. On a a) D'après la formule des probabilités totales, on a :
(b)
PARTIE B
V suit une loi normale
1. obtenu à la calculatrice
2.5 points
exercice 2
1. Au 1er février 2016, le nombre d'abonnés est
Dans la suite, on représente le nombre d'abonnés en milliers au bout de n mois après le 1er janvier
2016 par la suite définie pour tout entier naturel n par :
2.(a) A l'aide de l'algorithme, on obtient le tableau suivant :
Valeurs de U
4
11,7
18,7
25,2
31,2
36,7
41,8
Valeurs de N
0
1
2
3
4
5
6
Condition U<40
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
FAUX
(b) L'algorithme affiche en sortie N= 6 ainsi au 1er juillet 2016, le nombre d'abonnés a
dépassé 40 000.
3.
(a) Soit
donc est géométrique de raison 0,92 et de 1er terme
(b) est géométrique de raison 0,92 et de 1er terme donc
(c)
4. On souhaite calculer le plus petit entier N tel que
donc le plus petit entier N tel que est N =14
5 points
exercice 3
1. La bonne réponse est b)
Justification non demandée
Soit X la variable aléatoire correspond au réel choisi. X suit une loi uniforme sur [10;50]
donc
2. La bonne réponse est c)
Justification non demandée
Soit x le pourcentage de baisses successives.
On a
3. La bonne réponse est d
Justification non demandée
f est positive sur [2;18] donc toutes ses primitives sont croissantes sur [2;18]
4. La bonne réponse est c)
Justification non demandée
L'intervalle de confiance est du type
Son amplitude est donc 6 points
exercice 4
PARTIE A
1. (a) La fonction f est dérivable sur ]0;1,5] comme somme et produit de fonction
dérivables sur ]0;1,5].
(b) donc f'(x) est du signe opposé à ln x .
On déduit que :
donc et donc
(c) donc f est croissante
donc f est décroissante
2.
or f'' est strictement décroissante sur ]0;1,5] car la fonction ln est strictement croissante
sur ] donc f'' s'annule une seule fois sur ]0;1,5] en changeant de signe donc f
admet un point d'inflexion en
3. (a) F est dérivable sur ]0;1,5] comme somme de fonctions dérivables sur ]0;1,5].
Soit
donc F est bien une primitive de f sur ]0;1,5].
(b)
PARTIE B
Proposition 1 est vraie car : donc la proposition est vraie
Proposition 2 est fausse car : La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [1;1,5] vaut :
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=0,52\times 0,75=0,39)
=0,7)
=P(T\cap G)+P(T\cap C)+P(T\cap D) \\ 0,7=0,28+0,39+P(T\cap D)=0,67+P(T\cap D) \\ P(T\cap D)=0,7-0,67=0,03)
=\frac{P(T\cap D)}{P(D)}=\frac{0,03}{0,2}=0,15)
)
\approx 0,409)
obtenu à la calculatrice
=0,5-P(120\leq V \leq 128)\approx 0,008)
5 points +8000¿=4000\times 0,92+8000=11680)
_n)
définie pour tout entier naturel n par :
=0,92v_n)
donc _n)
est géométrique de raison 0,92 et de 1er terme 
\leq ln5-ln16 \\ \Leftrightarrow n\geq \frac{ln5-ln16}{ln 0,92}\approx 13,9)
=\frac{20-15}{50-10}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8})
^2=100 \\ \text{ donc } (1-\frac{x}{100})^2 =\frac{1}{2} \\ \text{ donc } 1-\frac{x}{100}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{ donc } \frac{-x}{100}=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 \\ \text{ donc } \frac{x}{100}=1-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{ donc } x=(\frac{2\sqrt{2}}{2})\times 100\approx 29)
![[ f-\frac{1}{\sqrt{n}};f +\frac{1}{\sqrt{n}}]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[ f-\frac{1}{\sqrt{n}};f +\frac{1}{\sqrt{n}}])
donc 
6 points =18x(1-2 ln x)+9 x^2(\frac{-2}{x})=18x-36xln x-18x=-36xlnx)
donc f'(x) est du signe opposé à ln x .
donc \geq 0)
et 
donc \leq 0)
\geq 0)
donc f est croissante
\leq 0)
donc f est décroissante
=-36lnx-36 \\ f''(x)=0\Leftrightarrow ln x=-1\Leftrightarrow ln x=lne^{-1} \Leftrightarrow x=e^{-1})
donc f'' s'annule une seule fois sur ]0;1,5] en changeant de signe donc f
admet un point d'inflexion en 
=10+15x^2+18x^2 lnx-6x^3\times\frac{1}{x} \\ F'(x)=10+15x^2-18x^2lnx-6x^2 \\ F'(x)=10+9x^2-18x^2ln x=10+9x^2(1-2lnx)=f(x))
dx} = F(1,5)-F(1) \\ \int_{1}^{1,5}{f(x)dx}=(10\times 1,5+5\times 1,5^3-6\times 1,5^3\times ln 1,5)-(10\times 1+5\times 1^3-6\times 1^3\times ln 1) \\ \int_{1}^{1,5}{f(x)dx}=(15+16,875-20,25 ln1,5)-(10+5)=16,875-20,25ln 1,5\approx 8,66)
=9\times 1^2\times (1-2ln 1)+10=19 \text{ et } \\ \text{ Or } \frac{19\times 3}{4}=14,25>13,82)
donc la proposition est vraie
dx}\approx \frac{1}{0,5}\times8,66=17,32>17)
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