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Sujet et correction maths bac ES et L 2016 Pondichéry

Bac ES - Enseignement Obligatoire

Bac L - Enseignement de Spécialité

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4 points

exercice 1

1. $f'(x)=2-lnx$ réponse : (c)
2.8191 réponse : (b)
3. $P(X\geq 4)=P(2\leq X\leq 5)$ réponse : (b)
4.n=10000 réponse : (c) 6 points

exercice 2

Partie A - Étude graphique
1. C(x)est maximal pour x=4,5
2.(a) C(6)=5,1 et R(6)=18 donc D(6)=R(6)-C(6)=12,9 soit 1290 Euros
2.(b) $D(x)\geq 0$ si et seulement si $2,8\leq x\leq 13,2$ donc l'entreprise dégage un bénéfice net pour une quantité de granulés comprise entre 2,8 et 13,2 tonnes environ.

Partie B - Étude d'une fonction
1.(a) $\forall x \in [1;15], g'(x)=-0,6-e^{-x+5}$
1.(b) $\forall x \in [1;15], e^{-x+5}>0 \text{ donc } -e^{-x+5}<0 \text{ donc }-0,6-e^{-x+5}<0$ donc g est décroissante sur [1;15]

2.(a) $g(1)=-0,6\times 1+4+e^{-1+5}=3,4+e^4\approx 58$ arrondi à l'unité

$g(15)=-0,6\times 15+4+e^{-15+5}=-9+4+e^{-10}=-5+e^{-10}\approx -5$ arrondi à l'unité

On déduit le tableau de variation de la fonction g

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2.(b) A l'aide de la calculatrice, on effectue un balayage de pas égal à 1.

On obtient g(6)=0,7678 et g(7)=-0,064 donc $6\leq \alpha \leq 7$

On réitère un balayage entre les valeurs 6 et 7 avec un pas de 0,1.

On obtient $g(6,9)\approx 0,095$ et $g(7)\approx -0,0646$ donc $\alpha \approx 6,9$ à 0,1 près

3.(c) g est décroissante sur [1;15] à valeurs dans $[-5+e^{-10};3,4+e^4]$ et telle que

$g(\alpha)=0 \text{ donc } \forall 1\leq x\leq \alpha, g(x)\geq 0 \text{ et } \forall \alpha \leq x\leq 15,g(x)\leq 0$

On déduit le tableau de signes de g(x)

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Partie C - Application économique
1. Soit $1\leq x\leq 15, D(x)=R(x)-C(x)=3x-(0,3x^2-x+e^{-x+5})=-0,3x^2+4x-e^{-x+5}$

2. Soit $1\leq x\leq 15, D'(x)=-0,6x+4+e^{x+5}=g(x)$

3. Or $\forall 1\leq x\leq \alpha,g(x)\geq 0$ donc D est croissante sur [1;\alpha]

et $\forall \alpha \leq x \leq g(x) \leq 0$ donc D est décroissante sur $[\alpha;15]$

4. D est croissante sur $[1;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha;15]$ donc D admet un maximum atteint en $x=\alpha \approx 6,9$ . Ce maximum vaut $D(\alpha)\approx D(6,9)=13,1674$ .
Le bénéfice attendu à l'euro près est donc égal à 1317 Euros. 5 points

exercice 3

Partie A 1.P(G)=0,49
P(T)=0,2
$P_T(R)=0,906$

P_G(R)=0,915

2.

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3. $P(T\cap R)=0,2\times 0,906=0,1812$

4.(a) P(R)=0,878
Or d'après la propriété des probabilités totales, on a :
$P(R)=P(R\cap G)+P(R\cap T)+P(R\cap S)$
donc $0,878=0,49\times 0,915+0,1818\times +P(R\cap S)$
donc $P(R\capS)=0,24845$

(b) $P_S (R)=\frac{P(R\cap S)}{P(S)}=\frac{0,24845}{0,31}\approx 0,801$ au millième

Partie B
1. $P(9\leq X\leq 16)=0,68$
En effet, X suit une loi normale de moyenne $\mu=12.5$ et d'écart type $\sigma =3.5$ et la probabilité que $X$ varie plus ou moins d'un écart type autour de la moyenne est alors d'après le cours de 0.68.
2. la moyenne de la variable aléatoire X_F vaut 13,2 donc on peu exclure le graphique 1 qui présente une moyenne proche de 10.
De plus, on a $P(5\leq X_F\leq 20)\approx 0,999$ .
Seul le graphique 2 présente une telle probabilité plausible.
On choisit donc ce dernier.

5 points

exercice 4

1.a) $u_1=5700\times 1,015-300=5485,50 \text{euros}$

b) $u_2=u_1\times 1,015-300=5267,78 \text{euros}$

2. a)

u n	5700 0	5485,50 1	5267,78 2	5046,80 3	4822,5 4	4594,84 5	4363,76 6
u>4500 Vrai ou faux	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Faux

b) A la fin de l'exécution de l'algorithme, la valeur n=6 s'affiche. Cela signifique que le capital restant passe pour la 1ère fois sous les 4500 euros.

3. a) (a) $v_{n+1}=u_{n+1}-20000=1,015u_n-300-20000=1,015u_n-20300$

$v_{n+1}=1,015(u_n-20000)=1,015v_n$

b) $(v_n)_n$ est une suite géométrique de raison $q = 1,015$ et de 1er terme

$v_0=u_0-20000=5700-20000=-14300 \text{ donc } \forall n\in\mathsbb{N},v_n=-14300\times 1,015^n \\ \text{ donc } u_n=20000-1,015^n\times 14300$

4. a) Au 26 avril 2017, n=15 et $u_{15}=-1,015^{15}\times 14300+20000=2121,68$

b)

$u_n=0 \\ -1,015^n×14300+20000=0 \\ 1,015^n=20000/14300 \\ \ln (1,015^n)=\ln(20000/14300) \\ n\ln (1,015)=\ln(20000/14300) \\ n=\ln(20000/14300)\times 1/(\ln(1,015))\approx 22,53 \\ \text{ donc pour } n=23,u_{23}=0$

c) $u_{22}=157,83 \text{ euros}$ correspond à la dernière échéance à régler.

Pour autant, est-ce le montant de la dernière mensualité ? Il n'est pas du tout sûr que la société de crédit fasse cadeau des intérêts dus sur la dernière mensualité, auquel cas cette dernière serait de $157.83\times 1.015$ soit 160.20 euros.
d) "Coût total" $=(157,83+22\times 300)=6757,83 \text{ euros}$
En tenant compte de notre remarque, le coût total serait alors de 6760,20 euros.

Publié par Prof digiSchool le 01-05-2018

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