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Sujet et correction maths bac ES et L 2016 Pondichéry

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Bac ES - Enseignement Obligatoire
Bac L - Enseignement de Spécialité


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exercice 1


1.f'(x)=2-lnx réponse : (c)
2.8191 réponse : (b)
3.P(X\geq 4)=P(2\leq X\leq 5) réponse : (b)
4.n=10000 réponse : (c)

exercice 2


Partie A - Étude graphique
1. C(x)est maximal pour x=4,5
2.(a) C(6)=5,1 et R(6)=18 donc D(6)=R(6)-C(6)=12,9 soit 1290 Euros
2.(b) D(x)\geq 0 si et seulement si 2,8\leq x\leq 13,2 donc l'entreprise dégage un bénéfice net pour une quantité de granulés comprise entre 2,8 et 13,2 tonnes environ.

Partie B - Étude d'une fonction
1.(a) \forall x \in [1;15], g'(x)=-0,6-e^{-x+5}
1.(b) \forall x \in [1;15], e^{-x+5}>0 \text{ donc } -e^{-x+5}<0 \text{ donc }-0,6-e^{-x+5}<0 donc g est décroissante sur [1;15]

2.(a) g(1)=-0,6\times 1+4+e^{-1+5}=3,4+e^4\approx 58 arrondi à l'unité

g(15)=-0,6\times 15+4+e^{-15+5}=-9+4+e^{-10}=-5+e^{-10}\approx -5 arrondi à l'unité

On déduit le tableau de variation de la fonction g
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2.(b) A l'aide de la calculatrice, on effectue un balayage de pas égal à 1.

On obtient g(6)=0,7678 et g(7)=-0,064 donc 6\leq \alpha \leq 7

On réitère un balayage entre les valeurs 6 et 7 avec un pas de 0,1.

On obtient g(6,9)\approx 0,095 et g(7)\approx -0,0646 donc \alpha \approx 6,9 à 0,1 près

3.(c) g est décroissante sur [1;15] à valeurs dans [-5+e^{-10};3,4+e^4] et telle que

g(\alpha)=0 \text{ donc } \forall 1\leq x\leq \alpha, g(x)\geq 0 \text{ et } \forall \alpha \leq x\leq 15,g(x)\leq 0

On déduit le tableau de signes de g(x)

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Partie C - Application économique
1. Soit 1\leq x\leq 15, D(x)=R(x)-C(x)=3x-(0,3x^2-x+e^{-x+5})=-0,3x^2+4x-e^{-x+5}

2. Soit 1\leq x\leq 15, D'(x)=-0,6x+4+e^{x+5}=g(x)

3. Or \forall 1\leq x\leq \alpha,g(x)\geq 0donc D est croissante sur [1;\alpha]

et \forall \alpha \leq x \leq g(x) \leq 0 donc D est décroissante sur [\alpha;15]

4. D est croissante sur [1;\alpha] puis décroissante sur [\alpha;15] donc D admet un maximum atteint en x=\alpha \approx 6,9. Ce maximum vaut D(\alpha)\approx D(6,9)=13,1674.
Le bénéfice attendu à l'euro près est donc égal à 1317 Euros.

exercice 3

Partie A 1.P(G)=0,49
P(T)=0,2
P_T(R)=0,906

PG(R)=0,915

2.

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3. P(T\cap R)=0,2\times 0,906=0,1812

4.(a) P(R)=0,878
Or d'après la propriété des probabilités totales, on a :
P(R)=P(R\cap G)+P(R\cap T)+P(R\cap S)
donc 0,878=0,49\times 0,915+0,1818\times +P(R\cap S)
donc P(R\capS)=0,24845

(b) P_S (R)=\frac{P(R\cap S)}{P(S)}=\frac{0,24845}{0,31}\approx 0,801 au millième

Partie B
1. P(9\leq X\leq 16)=0,68
En effet, X suit une loi normale de moyenne \mu=12.5 et d'écart type \sigma =3.5 et la probabilité que X varie plus ou moins d'un écart type autour de la moyenne est alors d'après le cours de 0.68.
2. la moyenne de la variable aléatoire XF vaut 13,2 donc on peu exclure le graphique 1 qui présente une moyenne proche de 10.
De plus, on a P(5\leq X_F\leq 20)\approx 0,999.
Seul le graphique 2 présente une telle probabilité plausible.
On choisit donc ce dernier.



exercice 4

1.a) u_1=5700\times 1,015-300=5485,50 \text{euros}

b) u_2=u_1\times 1,015-300=5267,78 \text{euros}

2. a)
u
n
5700
0
5485,50
1
5267,78
2
5046,80
3
4822,5
4
4594,84
5
4363,76
6
u>4500
Vrai ou faux
Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Faux


b) A la fin de l'exécution de l'algorithme, la valeur n=6 s'affiche. Cela signifique que le capital restant passe pour la 1ère fois sous les 4500 euros.

3. a) (a) v_{n+1}=u_{n+1}-20000=1,015u_n-300-20000=1,015u_n-20300

v_{n+1}=1,015(u_n-20000)=1,015v_n

b) (v_n)_n est une suite géométrique de raison q = 1,015 et de 1er terme

v_0=u_0-20000=5700-20000=-14300 \text{ donc } \forall n\in\mathsbb{N},v_n=-14300\times 1,015^n \\ 			\text{ donc } u_n=20000-1,015^n\times 14300

4. a) Au 26 avril 2017, n=15 et u_{15}=-1,015^{15}\times 14300+20000=2121,68

b)

u_n=0 \\  			-1,015^n×14300+20000=0 \\  			1,015^n=20000/14300 \\  			\ln (1,015^n)=\ln(20000/14300) \\  			n\ln (1,015)=\ln(20000/14300) \\  			n=\ln(20000/14300)\times 1/(\ln(1,015))\approx 22,53 \\  			\text{ donc pour } n=23,u_{23}=0

c) u_{22}=157,83 \text{ euros} correspond à la dernière échéance à régler.

Pour autant, est-ce le montant de la dernière mensualité ? Il n'est pas du tout sûr que la société de crédit fasse cadeau des intérêts dus sur la dernière mensualité, auquel cas cette dernière serait de 157.83\times 1.015 soit 160.20 euros.
d) "Coût total"=(157,83+22\times 300)=6757,83 \text{ euros}
En tenant compte de notre remarque, le coût total serait alors de 6760,20 euros.
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