Fiche de mathématiques
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Sujet Bac ES 2016 Polynésie

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exercice pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité


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exercice 1

Partie A

1.
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2. P(K\cap A)=P(K)\times P_K(A)=0,42\times 0,76 = 0,3192 soit 0,319 arrondi au millième.

3.
P(A)=P(K\cap A)+P(K\cap A)+P(M\cap A)

P(A)=P(K)\times P_K(A)+P(L)\times P_L(A)+P(M)\times P_M(A)

P(A)=0,3192+0,35\times 0,65+0,23\times 0,82=0,7353 soit 0,735 rrondi au millième.

4. La probabilité demandée est égale à :

P_A(M)=\dfrac{P(M\cap A)}{P(A)}=\dfrac{0,23\times 0,82}{0,7353}\approx 0,256 (arrondi au millième)

Partie B


1. La variable aléatoire X suit une loi normale de paramètre \mu = 20\text{ et } \sigma = 7

La probabilité demandée est P(13\le X\le 27) soit P(\mu-\sigma\le X \le \mu+\sigma)

D'après le cours, cette probabilité est égale à 0,683.

2. P(X>a)=1-P(X\le a)

P(X>a)=0,1\Longleftrightarrow P(X\le a)=0,9

La calculatrice donne : a\approx 28,97

La probabilité qu'un prêt dure plus de environ 29 ans est égale à 0,1

exercice 2


1.a u_1=a\times u_0+b soit en remplaçant par les valeurs : b=5000

1.b De même, u_2=a\times u_1+5000 soit 11000=a\times 5000+5000

On obtient a=\dfrac{6}{5}=1,2

Pour tout n de N , u_{n+1}=1,2u_n+5000

2.a u_3=1,2u_2+5000=18\,200

u_4=1,2u_3+5000=26\,840

2.b On peut dire que 18 000 est voisin de 18 n200, ainsi que 27 000 de 26840. La modélisation semble pertinente.

3. Pour tout n de N, v_n=u_n+25\,000

a. Pour tout n de N,

v_{n+1}=u_{n+1}+25\,000

v_{n+1}=1,2u_n+5000+25\,000

v_{n+1}=1,2u_n+30\,000

v_{n+1}=1,2(u_n+25\,000)

v_{n+1}=1,2v_n

(v_n) est donc une suite géométrique de raison 1,2. Son premier terme est v_0=u_0+25\,000=25\,000

b. Pour tout n de N, v_n=(1,2)^n\times v_0=(1,2)^n\times 25\,000

Or u_n=v_n-25\,000 donc u_n=(1,2)^n\times 25\,000-25\,000

4.a Cela revient à déterminer la plus petite valeur de n telle que u_n> 180\,000 soit :

25\,000(1,2)^n -25\,000>18\,000

25(1,2)^n-25 > 180

25(1,2)^n> 205

(1,2)^n> 8,2

b.
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c. Soit à résoudre dans N : 1,2^n>8,2 soit

\ln 1,2^n> \ln 8,2

n\ln 1,2 > \ln 8,2 or \ln 1,2 > 0

n > \dfrac{\ln 8,2}{\ln 1,2}

n > 11,54

La plus petite valeur entière qui convient est donc n=12

5.
2022=2010+12 , l'année 2022 correspond à n=12

En 2022, le nombre de ventes sera égal à : u_{12}=(1,2)^{12}\times 25\,000-25\,000 soit environ 197 903 unités

En 2023, u_{13}=0,85 u_{12} et en 2025, u_{15}=(0,85)^3u_{12} soit environ 121 537 unités.

exercice 3 - Pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité


1.
Soit x\text{ dans } [0\;; +\infty[ \text{ et } f(x)=x\ln x-x+1

La fonction f est dérivable sur [0\;; +\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables sur [0\;; +\infty[ , elle-même dérivable sur le même ensemble et f'(x)=\ln x, et f''(x)=\dfrac{1}{x}

Affirmation A : sur ]0 ;1[, \ln x < 0 donc la fonction f est décroissante

L'affirmation A est fausse.

Affirmation B : sur ]0\;;+\infty[\quad f''(x)> 0 donc la fonction f est convexe sur son ensemble de définition.

L'affirmation B est vraie.

Affirmation C : f(100)=100 \ln 100-100+1\approx 362, valeur supérieure à 50.

L'affirmation C est fausse.

2.
Affirmation D : par lecture graphique, la tangente T admet pour vecteur directeur \vec{V}(1\;;-2), donc la tangente admet pour coefficient directeur -2. On en déduit que g'(1)=-2

L'affirmation D est vraie.

Affirmation E : Sur [0 ;1], la fonction g ne prend que des valeurs positives.

\displaystyle{\int_0^1g(x)\text{ d}x correspond donc à l'aire géométrique du domaine compris entre les droites d'équations x=0 et x=1 , la courbe représentative de g et l'axe des abscisses (exprimée en unité d'aire).

Graphiquement, cette aire est inférieure à 3 u.a

L'affirmation E est vraie.

exercice 3 - Pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité


1. Affirmation A

Si on prend les sommets dans l'ordre A-B comme à l'habitude,

La matrice de transition associée à ce graphe est M=\begin{pmatrix} 0,4 &0,6 \\ 0,3&0,7 \end{pmatrix}. Soit S=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}

S\times M=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,4 &0,6 \\ 0,3&0,7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1,1}{3} & \frac{1,9}{3} \end{pmatrix} \neq S

L'état stable associé à ce graphe n'est pas \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}

L'affirmation A est fausse.

Remarque : si l'ordre des sommets avait été inversé, l'affirmation devient vraie. Donc en cas de non précision, ne pas hésiter à expliquer sur sa copie l'ordre choisi.

2.

Affirmation B

On établit le tableau des degrés des sommets. Le graphe comporte exactement deux sommets de degré impair (C et E).

Le graphe proposé admet donc une chaîne eulérienne.

L'affirmation B est vraie.

Affirmation C

La plus courte chaîne entre A et D est la chaîne A-B-E-D qui est bien de poids 5. (les autres chaînes ayant un poids supérieur)

L'affirmation C est vraie.

3. Affirmation D Pour déterminer le nombre d chaînes de longueur 4, on calcule M^4

M^4=\begin{pmatrix} 7 &6 & 4 &6 \\ 6& 11 &2 &6 \\ 4& 2 &3 &4 \\ 6& 6 &4 &7 \end{pmatrix}

Le sommet B est le sommet n° 2 ; le sommet D est les sommet n° 4. Le nombre écrit à l'intersection de la ligne 2 et de la colonne 4 est le nombre 6.

Il existe donc 6 chaînes (et non 3 ) de longueur 4 reliant B à D.

L'affirmation D est fausse

4. Affirmation E

Évaluons le produit A\times B .

A\times B=\begin{pmatrix} a&0 \\ 0& a \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -a &0 \\ 0& a^2 \end{pmatrix}

Les matrices A \text{ et } B sont inverses l'une de l'autre si et seulement si A\times B=I_2

ce qui donne \begin{cases}-a=1\\a^2=1\end{cases}

La valeur a=-1 est solution de ce système. Il existe donc bien une valeur de a pour laquelle B est l'inverse de A

L' affirmation E est vraie

exercice 4


1. Soit x l'abscisse de B. Dans cette question x=2

L'aire du rectangle ABCD est égale à :

\mathcal{A}(ABCD)=AB\times BC=x\times f(x)=2f(2)=8\text{e}^{-0,8}\approx 3,59 soit environ 3,6 m².

2. \mathcal{A}(x)=AB\times BC=xf(x)=x\times 4\text{e}^{-0,4x}=4x\text{e}^{-0,4x}

Cette fonction est dérivable partout où elle est définie, comme produit et composée de fonctions dérivables,

et \mathcal{A}'(x)=4\text{e}^{-0,4x}+4x\times -0,4\times \text{e}^{-0,4x}=4\text{e}^{-0,4x}(1-0,4x)

La dérivée s'annule pour 1-0,4x=0 soit x=2,5.

Une exponentielle étant toujours strictement positive, la dérivée est du signe de  1-0,4x soit positive sur l'intervalle [0 ; 2,5] et négative sinon. La fonction admet donc croissante puis décroissante, admettant un maximum en x=2,5

Une dimension du panneau est donc de 2,5 m ; l'autre dimension est égale à : f(2,5)=4\text{e}^{-1}\approx 1,47 (m)
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