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Sujet Bac ES 2016 Polynésie

exercice pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 1

Partie A

2. $P(K\cap A)=P(K)\times P_K(A)=0,42\times 0,76 = 0,3192$ soit 0,319 arrondi au millième.

3.
$P(A)=P(K\cap A)+P(K\cap A)+P(M\cap A)$

$P(A)=P(K)\times P_K(A)+P(L)\times P_L(A)+P(M)\times P_M(A)$

$P(A)=0,3192+0,35\times 0,65+0,23\times 0,82=0,7353$ soit 0,735 rrondi au millième.

4. La probabilité demandée est égale à :

$P_A(M)=\dfrac{P(M\cap A)}{P(A)}=\dfrac{0,23\times 0,82}{0,7353}\approx 0,256$ (arrondi au millième)

Partie B

1. La variable aléatoire $X$ suit une loi normale de paramètre $\mu = 20\text{ et } \sigma = 7$

La probabilité demandée est $P(13\le X\le 27)$ soit $P(\mu-\sigma\le X \le \mu+\sigma)$

D'après le cours, cette probabilité est égale à 0,683.

2. $P(X>a)=1-P(X\le a)$

$P(X>a)=0,1\Longleftrightarrow P(X\le a)=0,9$

La calculatrice donne : $a\approx 28,97$

La probabilité qu'un prêt dure plus de environ 29 ans est égale à 0,1 7 points

exercice 2

1.a $u_1=a\times u_0+b$ soit en remplaçant par les valeurs : $b=5000$

1.b De même, $u_2=a\times u_1+5000$ soit $11000=a\times 5000+5000$

On obtient $a=\dfrac{6}{5}=1,2$

Pour tout n de N , $u_{n+1}=1,2u_n+5000$

2.a $u_3=1,2u_2+5000=18\,200$

$u_4=1,2u_3+5000=26\,840$

2.b On peut dire que 18 000 est voisin de 18 n200, ainsi que 27 000 de 26840. La modélisation semble pertinente.

3. Pour tout n de N, $v_n=u_n+25\,000$

a. Pour tout n de N,

$v_{n+1}=u_{n+1}+25\,000$

$v_{n+1}=1,2u_n+5000+25\,000$

$v_{n+1}=1,2u_n+30\,000$

$v_{n+1}=1,2(u_n+25\,000)$

$v_{n+1}=1,2v_n$

$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison 1,2. Son premier terme est $v_0=u_0+25\,000=25\,000$

b. Pour tout n de N, $v_n=(1,2)^n\times v_0=(1,2)^n\times 25\,000$

Or $u_n=v_n-25\,000$ donc $u_n=(1,2)^n\times 25\,000-25\,000$

4.a Cela revient à déterminer la plus petite valeur de n telle que $u_n> 180\,000$ soit :

$25\,000(1,2)^n -25\,000>18\,000$

$25(1,2)^n-25 > 180$

$25(1,2)^n> 205$

$(1,2)^n> 8,2$

b.

c. Soit à résoudre dans N : $1,2^n>8,2$ soit

$\ln 1,2^n> \ln 8,2$

$n\ln 1,2 > \ln 8,2$ or $\ln 1,2 > 0$

$n > \dfrac{\ln 8,2}{\ln 1,2}$

$n > 11,54$

La plus petite valeur entière qui convient est donc $n=12$

5.
$2022=2010+12$ , l'année 2022 correspond à $n=12$

En 2022, le nombre de ventes sera égal à : $u_{12}=(1,2)^{12}\times 25\,000-25\,000$ soit environ 197 903 unités

En 2023, $u_{13}=0,85 u_{12}$ et en 2025, $u_{15}=(0,85)^3u_{12}$ soit environ 121 537 unités. 5 points

exercice 3 - Pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1.
Soit $x\text{ dans } [0\;; +\infty[ \text{ et } f(x)=x\ln x-x+1$

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\;; +\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables sur $[0\;; +\infty[$ , elle-même dérivable sur le même ensemble et $f'(x)=\ln x$ , et $f''(x)=\dfrac{1}{x}$

Affirmation A : sur ]0 ;1[, $\ln x < 0$ donc la fonction $f$ est décroissante

L'affirmation A est fausse.

Affirmation B : sur $]0\;;+\infty[\quad f''(x)> 0$ donc la fonction f est convexe sur son ensemble de définition.

L'affirmation B est vraie.

Affirmation C : $f(100)=100 \ln 100-100+1\approx 362$ , valeur supérieure à 50.

L'affirmation C est fausse.

2.
Affirmation D : par lecture graphique, la tangente T admet pour vecteur directeur $\vec{V}(1\;;-2)$ , donc la tangente admet pour coefficient directeur -2. On en déduit que $g'(1)=-2$

L'affirmation D est vraie.

Affirmation E : Sur [0 ;1], la fonction $g$ ne prend que des valeurs positives.

$\displaystyle{\int_0^1g(x)\text{ d}x$ correspond donc à l'aire géométrique du domaine compris entre les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ , la courbe représentative de $g$ et l'axe des abscisses (exprimée en unité d'aire).

Graphiquement, cette aire est inférieure à 3 u.a

L'affirmation E est vraie. 5 points

exercice 3 - Pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Affirmation A

Si on prend les sommets dans l'ordre A-B comme à l'habitude,

La matrice de transition associée à ce graphe est $M=\begin{pmatrix} 0,4 &0,6 \\ 0,3&0,7 \end{pmatrix}$ . Soit $S=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

$S\times M=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,4 &0,6 \\ 0,3&0,7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1,1}{3} & \frac{1,9}{3} \end{pmatrix} \neq S$

L'état stable associé à ce graphe n'est pas $\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$

L'affirmation A est fausse.

Remarque : si l'ordre des sommets avait été inversé, l'affirmation devient vraie. Donc en cas de non précision, ne pas hésiter à expliquer sur sa copie l'ordre choisi.

2.

Affirmation B

On établit le tableau des degrés des sommets. Le graphe comporte exactement deux sommets de degré impair (C et E).

Le graphe proposé admet donc une chaîne eulérienne.

L'affirmation B est vraie.

Affirmation C

La plus courte chaîne entre A et D est la chaîne A-B-E-D qui est bien de poids 5. (les autres chaînes ayant un poids supérieur)

L'affirmation C est vraie.

3. Affirmation D Pour déterminer le nombre d chaînes de longueur 4, on calcule $M^4$

$M^4=\begin{pmatrix} 7 &6 & 4 &6 \\ 6& 11 &2 &6 \\ 4& 2 &3 &4 \\ 6& 6 &4 &7 \end{pmatrix}$

Le sommet B est le sommet n° 2 ; le sommet D est les sommet n° 4. Le nombre écrit à l'intersection de la ligne 2 et de la colonne 4 est le nombre 6.

Il existe donc 6 chaînes (et non 3 ) de longueur 4 reliant B à D.

L'affirmation D est fausse

4. Affirmation E

Évaluons le produit $A\times B$ .

$A\times B=\begin{pmatrix} a&0 \\ 0& a \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -a &0 \\ 0& a^2 \end{pmatrix}$

Les matrices $A \text{ et } B$ sont inverses l'une de l'autre si et seulement si $A\times B=I_2$

ce qui donne $\begin{cases}-a=1\\a^2=1\end{cases}$

La valeur $a=-1$ est solution de ce système. Il existe donc bien une valeur de a pour laquelle $B$ est l'inverse de $A$

L' affirmation E est vraie 3 points

exercice 4

1. Soit $x$ l'abscisse de B. Dans cette question $x=2$

L'aire du rectangle ABCD est égale à :

$\mathcal{A}(ABCD)=AB\times BC=x\times f(x)=2f(2)=8\text{e}^{-0,8}\approx 3,59$ soit environ 3,6 m².

2. $\mathcal{A}(x)=AB\times BC=xf(x)=x\times 4\text{e}^{-0,4x}=4x\text{e}^{-0,4x}$

Cette fonction est dérivable partout où elle est définie, comme produit et composée de fonctions dérivables,

et $\mathcal{A}'(x)=4\text{e}^{-0,4x}+4x\times -0,4\times \text{e}^{-0,4x}=4\text{e}^{-0,4x}(1-0,4x)$

La dérivée s'annule pour $1-0,4x=0$ soit $x=2,5$ .

Une exponentielle étant toujours strictement positive, la dérivée est du signe de $1-0,4x$ soit positive sur l'intervalle [0 ; 2,5] et négative sinon. La fonction admet donc croissante puis décroissante, admettant un maximum en $x=2,5$

Une dimension du panneau est donc de 2,5 m ; l'autre dimension est égale à : $f(2,5)=4\text{e}^{-1}\approx 1,47$ (m)

Publié par malou le 30-04-2018

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