Fiche de mathématiques
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Interprétation géométrique d'un nombre complexe, exercice

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Fiche relue en 2016.

exercice 1


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j}) orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
On considère :

Le polygone ABCDEF est un hexagone régulier.
(C) désigne le cercle de centre O et de rayon 3.
Les droites (GK) et (HL) sont les bissectrices des angles (\widehat{AOB}) et (\widehat{COD}).

Interprétation géométrique d'un nombre complexe, exercice : image 1


A l'aide des hypothèses de l'énoncé et par lecture graphique, déterminer le module et l'argument des affixes des points de A, B, C, D, E, F, G, H, K et L situés dans le repère ci-dessous. On donnera l'argument appartenant à l'intervalle]-\pi ;\pi ] .


exercice 2


z1 désigne le nombre complexe de module 2 et d'argument \dfrac{2\pi}{3} et z2 désigne le nombre complexe de module 4 et d'argument \dfrac{-\pi}{6}.
Déterminer le module et un argument des nombres complexes z_1 z_2, \dfrac{z_1}{z_2}, z_1^2 \text{ et } \overline{z_2}.


exercice 3


Déterminer puis construire l'ensemble des points M(z) du plan complexe tels que \dfrac{z+1}{z-i} soit :
1. un imaginaire pur
2. un réel





exercice 1


Interprétation géométrique d'un nombre complexe, exercice : image 1


Tous les points ci-dessus sont sur le cercle (C) de centre O et de rayon 3 donc les affixes de ces points ont tous pour module 3.

Comme ABCDEF est un hexagone régulier, on a (\widehat{AOB}) = (\widehat{BOC}) = (\widehat{COD}) = (\widehat{DOE}) = (\widehat{EOF}) = \dfrac{\pi}{3}

On déduit le tableau des arguments, en radians, appartenant à l'intervalle ]-\pi ;\pi ] des affixes des points :
A B C D E F G H K L
0 \dfrac{+\pi}{3} \dfrac{+2\pi}{3} \pi \dfrac{-2\pi}{3} \dfrac{-\pi}{3} \dfrac{+\pi}{6} \dfrac{+5\pi}{6} \dfrac{-5\pi}{6} \dfrac{-\pi}{6}



exercice 2


z1 désigne un nombre complexe de module 2 et d'argument \dfrac{2\pi}{3}

z2 désigne un nombre complexe de module 4 et d'argument\dfrac{-\pi}{6}.

Module et argument de z1z2

|z_1z_1|=|z_1|\times|z_2|=2\times4=8

arg(z_1z_2)=arg(z_1)+arg(z_2)\text{ (à } 2\pi \text{ près })\\ \\ arg(z_1z_2)=\dfrac{2\pi}{3}+(\dfrac{-\pi}{6})\\ \\ arg(z_1z_2)=\dfrac{4\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\\ \\ arg(z_1z_2)=\dfrac{3\pi}{6}\\ \\ arg(z_1z_2)=\dfrac{\pi}{2}

Module et argument de \dfrac{z_1}{z_2}

|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1 |}{|z_2 |}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}

arg(\dfrac{z_1}{z_2})=arg(z_1)-arg(z_2)\text{ (à }2\pi \text{ près })\\ \\ arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\dfrac{2\pi}{3}-(\dfrac{-\pi}{6})\\ \\ arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\dfrac{4\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}\\ \\ arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\dfrac{5\pi}{6}

Module et argument de z_1^2
|z_1^2|=|z_1|^2=2^2=4

arg(z_1^2)=2\times arg(z_1)\text{ (à }2\pi \text{ près }) \\ \\ arg(z_1^2)=\dfrac{2\times 2\pi}{3}\\ \\ arg(z_1^2)=\dfrac{4\pi}{3}

Module et argument de \overline{z_2}

|\overline{z_2}|=|z_2|=4

arg(\overline{z_2})=-arg(z_2)\text{ (à }2\pi \text{ près }) \\ \\ arg(\overline{z_2})=-(\dfrac{-\pi}{6})\\ \\ arg(\overline{z_2})=\dfrac{\pi}{6}


exercice 3


1) Z imaginaire pur équivaut à  \left(Z=0 \  ou \ arg(Z)=\dfrac{\pi}{2} \ [ \pi]\right)

donc \dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(z = -1 \ ou \ arg(\dfrac{z+1}{z-i})=\dfrac{\pi}{2} \ [\pi]\right)

En appelant M le point d'affixe z, et A et B les points d'affixes respectives i et -1, on obtient alors :

\dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(M=B \ ou \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})= \dfrac{\pi}{2} \ [\pi]\right)

Donc l'ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB] privé de A.


2) De même, Z réel équivaut à  \left(Z=0 \  ou \ arg(Z)=0 \ [ \pi]\right)

donc  \dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(z = -1 \ ou \ arg(\dfrac{z+1}{z-i})=0 \ [\pi]\right)

d'où \dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(M=B \ ou \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})=0 \ [\pi] \right)

On obtient la droite (AB) privée de A.

Interprétation géométrique d'un nombre complexe, exercice : image 2




Autre méthode (parfois imposée par l'énoncé, à savoir mener, mais calculatoire)

On pose Z=\dfrac{z+1}{z-i} \text{ avec } z=x+iy, x \text{ et } y \text{ réels et } z\neq i.

On calcule Z en remplaçant z par x+iy et on multiplie dénominateur et numérateur par le conjugué du dénominateur pour obtenir un nouveau dénominateur qui soit un réel pur.
On a Z=\dfrac{z+1}{z-i}=\dfrac{(x+1)+iy}{x+i(y-1)}=\dfrac{[(x+1)+iy]\times [x-i(y-1)]}{x^2+(y-1)^2}=\dfrac{x(x+1)+y(y-1)}{x^2+(y-1)^2}+i\dfrac{xy-(x+1)(y-1)}{x^2+(y-1)^2}

Z= \dfrac{x^2+x+y^2-y}{x^2+(y-1)^2}+i\dfrac{xy-xy+x-y+1}{x^2+(y-1)^2}=\dfrac{x^2+x+y^2-y}{x^2+(y-1)^2}+i\dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}


Z est imaginaire pur si et seulement si Re(Z)=0 si et seulement si \dfrac{x^2+x+y^2-y}{x^2+(y-1)^2}=0

Z est imaginaire pur si et seulement si x^2+x+y^2-y=0\text{ avec } x^2+(y-1)^2\neq 0

Z est imaginaire pur si et seulement si (x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}+(y-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}=0\text{ avec } (x;y)\neq (0;1)

Z est imaginaire pur si et seulement si (x+\dfrac{1}{2})^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}\text{ avec } (x;y)\neq (0;1)

On vérifie que le point de coordonnées (0;1) est susceptible d'appartenir à ce cercle, et on peut conclure :

Z est imaginaire pur si et seulement si M(z) appartient au cercle de centre \Omega(\dfrac{-1}{2} ; \dfrac{1}{2}) et de rayon \sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} privé du point A d'affixe i.



Z est un réel si et seulement si Im(Z)=0 si et seulement si \dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}=0\text{ avec } (x;y)\neq (0;1)

Z est un réel si et seulement si Im(Z)=0 si et seulement si x-y+1=0\text{ avec } (x;y)\neq (0;1)

On vérifie que le point de coordonnées (0;1) est susceptible d'appartenir à cette droite, et on peut conclure :

Z est un réel si et seulement si M(z) appartient à la droite (d) d'équation x-y+1=0 privé du point A d'affixe i.
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