Interprétation géométrique d'un nombre complexe, exercice
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Fiche relue en 2016.
exercice 1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles
d'une montre).
On considère :
Le polygone ABCDEF est un hexagone régulier.
(C) désigne le cercle de centre O et de rayon 3.
Les droites (GK) et (HL) sont les bissectrices des angles () et ().
A l'aide des hypothèses de l'énoncé et par lecture graphique, déterminer le module et l'argument des affixes des points de A, B, C, D, E, F, G, H, K et
L situés dans le repère ci-dessous. On donnera l'argument appartenant à l'intervalle .
exercice 2
z1 désigne le nombre complexe de module 2 et d'argument et z2 désigne le nombre complexe de module 4 et d'argument .
Déterminer le module et un argument des nombres complexes .
exercice 3
Déterminer puis construire l'ensemble des points M(z) du plan complexe tels que soit :
1. un imaginaire pur
2. un réel
Tous les points ci-dessus sont sur le cercle (C) de centre O et de rayon 3 donc les affixes de ces points ont tous pour module 3.
Comme ABCDEF est un hexagone régulier, on a
On déduit le tableau des arguments, en radians, appartenant à l'intervalle des affixes des points :
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
0
exercice 2
z1 désigne un nombre complexe de module 2 et d'argument
z2 désigne un nombre complexe de module 4 et d'argument.
Module et argument de z1z2
Module et argument de
Module et argument de
Module et argument de
exercice 3
1) Z imaginaire pur équivaut à
donc
En appelant M le point d'affixe z, et A et B les points d'affixes respectives i et -1, on obtient alors :
Donc l'ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB] privé de A.
2) De même, Z réel équivaut à
donc
d'où
On obtient la droite (AB) privée de A.
Autre méthode (parfois imposée par l'énoncé, à savoir mener, mais calculatoire)
On pose .
On calcule en remplaçant par et on multiplie dénominateur et numérateur par le conjugué du dénominateur pour obtenir un nouveau dénominateur qui soit un réel pur.
On a
Z est imaginaire pur si et seulement si Re(Z)=0 si et seulement si
Z est imaginaire pur si et seulement si
Z est imaginaire pur si et seulement si
Z est imaginaire pur si et seulement si
On vérifie que le point de coordonnées (0;1) est susceptible d'appartenir à ce cercle, et on peut conclure :
Z est imaginaire pur si et seulement si M(z) appartient au cercle de centre et de rayon privé du point A d'affixe i.
Z est un réel si et seulement si Im(Z)=0 si et seulement si
Z est un réel si et seulement si Im(Z)=0 si et seulement si
On vérifie que le point de coordonnées (0;1) est susceptible d'appartenir à cette droite, et on peut conclure :
Z est un réel si et seulement si M(z) appartient à la droite (d) d'équation privé du point A d'affixe i.
Publié par Prof digiSchool
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)
orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles
d'une montre).
) et (
).
![]-\pi ;\pi ]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\pi ;\pi ])
.
et z2 désigne le nombre complexe de module 4 et d'argument 
.
.
soit :
 = (\widehat{BOC}) = (\widehat{COD}) = (\widehat{DOE}) = (\widehat{EOF}) = \dfrac{\pi}{3})
=arg(z_1)+arg(z_2)\text{ (à } 2\pi \text{ près })\\ \\ arg(z_1z_2)=\dfrac{2\pi}{3}+(\dfrac{-\pi}{6})\\ \\ arg(z_1z_2)=\dfrac{4\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\\ \\ arg(z_1z_2)=\dfrac{3\pi}{6}\\ \\ arg(z_1z_2)=\dfrac{\pi}{2})
=arg(z_1)-arg(z_2)\text{ (à }2\pi \text{ près })\\ \\ arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\dfrac{2\pi}{3}-(\dfrac{-\pi}{6})\\ \\ arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\dfrac{4\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}\\ \\ arg(\dfrac{z_1}{z_2})=\dfrac{5\pi}{6} )
=2\times arg(z_1)\text{ (à }2\pi \text{ près }) \\ \\ arg(z_1^2)=\dfrac{2\times 2\pi}{3}\\ \\ arg(z_1^2)=\dfrac{4\pi}{3})
=-arg(z_2)\text{ (à }2\pi \text{ près }) \\ \\ arg(\overline{z_2})=-(\dfrac{-\pi}{6})\\ \\ arg(\overline{z_2})=\dfrac{\pi}{6})
![\left(Z=0 \ ou \ arg(Z)=\dfrac{\pi}{2} \ [ \pi]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \left(Z=0 \ ou \ arg(Z)=\dfrac{\pi}{2} \ [ \pi]\right))
![\dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(z = -1 \ ou \ arg(\dfrac{z+1}{z-i})=\dfrac{\pi}{2} \ [\pi]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(z = -1 \ ou \ arg(\dfrac{z+1}{z-i})=\dfrac{\pi}{2} \ [\pi]\right))
![\dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(M=B \ ou \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})= \dfrac{\pi}{2} \ [\pi]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(M=B \ ou \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})= \dfrac{\pi}{2} \ [\pi]\right))
![\left(Z=0 \ ou \ arg(Z)=0 \ [ \pi]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \left(Z=0 \ ou \ arg(Z)=0 \ [ \pi]\right))
![\dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(z = -1 \ ou \ arg(\dfrac{z+1}{z-i})=0 \ [\pi]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(z = -1 \ ou \ arg(\dfrac{z+1}{z-i})=0 \ [\pi]\right))
![\dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(M=B \ ou \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})=0 \ [\pi] \right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow \left(M=B \ ou \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})=0 \ [\pi] \right))
.
en remplaçant 
par 
et on multiplie dénominateur et numérateur par le conjugué du dénominateur pour obtenir un nouveau dénominateur qui soit un réel pur.
![Z=\dfrac{z+1}{z-i}=\dfrac{(x+1)+iy}{x+i(y-1)}=\dfrac{[(x+1)+iy]\times [x-i(y-1)]}{x^2+(y-1)^2}=\dfrac{x(x+1)+y(y-1)}{x^2+(y-1)^2}+i\dfrac{xy-(x+1)(y-1)}{x^2+(y-1)^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Z=\dfrac{z+1}{z-i}=\dfrac{(x+1)+iy}{x+i(y-1)}=\dfrac{[(x+1)+iy]\times [x-i(y-1)]}{x^2+(y-1)^2}=\dfrac{x(x+1)+y(y-1)}{x^2+(y-1)^2}+i\dfrac{xy-(x+1)(y-1)}{x^2+(y-1)^2})
^2}+i\dfrac{xy-xy+x-y+1}{x^2+(y-1)^2}=\dfrac{x^2+x+y^2-y}{x^2+(y-1)^2}+i\dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2})
^2}=0)
^2\neq 0)
^2-\dfrac{1}{4}+(y-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}=0\text{ avec } (x;y)\neq (0;1))
^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}\text{ avec } (x;y)\neq (0;1))
)
et de rayon 
privé du point A d'affixe i.
^2}=0\text{ avec } (x;y)\neq (0;1))
\neq (0;1))
privé du point A d'affixe i.Publié par Prof digiSchool
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