Fiche de mathématiques
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FORME ALGEBRIQUE D'UN COMPLEXE ACTIVITES RAPIDES -

LOT 3

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Fiche relue en 2016

exercice 1

On considère les deux nombres complexes Z=\dfrac{-1+3i}{3-2i} \text{ et } Z'=\dfrac{-1-3i}{3+2i}



1. Par le calcul, démontrer que Z+Z' est un réel et que Z-Z' est un imaginaire pur.

2. Pouvait-on déterminer ce résultat sans effectuer ces calculs ? Si oui, comment ?

exercice 2

Résoudre dans \mathbb{C}, les équations suivantes :

z^2=-4

-5z^2+2z-1=0

z^4+4z^2-5=0

exercice 3

Développer et réduire (1-\sqrt{3})^2
Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^2+(1-\sqrt{3})z+2-\sqrt{3}=0



exercice 1

1. On considère les deux nombres complexes Z=\dfrac{-1+3i}{3-2i} \text{ et } Z'=\dfrac{-1-3i}{3+2i}

Z+Z'=\dfrac{-1+3i}{3-2i}+\dfrac{-1-3i}{3+2i}=\dfrac{(-1+3i)(3+2i)+(-1-3i)(3-2i)}{(3-2i)(3+2i)}

Z+Z'=\dfrac{-3-2i+9i-6-3+2i-9i-6}{9+4}=-\dfrac{18}{13}\in \mathbb{R}

Z-Z'=\dfrac{-1+3i}{3-2i}-\dfrac{-1-3i}{3+2i}=\dfrac{(-1+3i)(3+2i)-(-1-3i)(3-2i)}{(3-2i)(3+2i)}

Z-Z'=\dfrac{-3-2i+9i-6+3-2i+9i+6}{9+4}=\dfrac{14i}{13}\in i\mathbb{R}

2. On remarque que \overline{Z}=\overline{\left(\dfrac{-1+3i}{3-2i}\right)}=\dfrac{\overline{-1+3i}}{\overline{3-2i}} = \dfrac{-1-3i}{3+2i}=Z'

D'après les propriétés sur le conjugué d'un nombre complexe, on a :

Z+Z'=Z+\overline{Z}=2Re(Z) \text{ et } Z-Z'=Z-\overline{Z}=2iIm(Z)

Or Z=\dfrac{-1+3i}{3-2i}=\dfrac{(-1+3i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\dfrac{-3-2i+9i-6}{13}=\dfrac{-9+7i}{13}

donc 2Re(Z)=\dfrac{-18}{13} \text{ et } 2Im(Z)=\dfrac{14i}{13}

et on retrouve bien les résultats obtenus au 1. par le calcul.


exercice 2

Résolution de l'équation z^2=-4

z^2=-4\Leftrightarrow  z^2+4=0\Leftrightarrow z^2-(2i)^2=0\Leftrightarrow (z-2i)(z+2i)=0
\Leftrightarrow (z-2i)=0 \text{ ou } (z+2i)=0
\Leftrightarrow z=2i \text{ ou } z=-2i

Conclusion : l'équation z^2=-4 admet 2 solutions : 2i et -2i

Résolution de l'équation -5z^2+2z-1=0

Calcul du discriminant \Delta=2^2-4\times (-5)\times (-1)=4-20=-16=(4i)^2
L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées

x_1=\dfrac{-2-4i}{-10}=\dfrac{2+4i}{10}=\dfrac{1+2i}{5} \text{ et } x_2=\dfrac{1-2i}{5}

Conclusion : l'équation  -5z^2+2z-1=0 admet 2 solutions : \dfrac{1+2i}{5} \text{ et }  \dfrac{1-2i}{5}

Résolution de l'équation z^4+4z^2-5=0

Posons Z=z^2. L'équation s'écrit alors Z^2+4Z-5=0

On observe que 1 est une racine évidente et par conséquent Z^2+4Z-5=(Z-1)(Z+5)
On observe alors que -5 est la seconde racine de l'équation Z^2+4Z-5=0

On a alors z^2=1 \text{ ou } z^2=-5.
z^2=1 \text{ ou } z^2=-5 \Leftrightarrow z=1 \text{ ou } z=-1 \text{ ou } z=i\sqrt{5} \text{ ou } z=-i\sqrt{5}

Conclusion : l'équation z^4+4z^2-5=0 admet 4 solutions : 1;-1;i\sqrt{5} \text{ et } -i\sqrt{5}


exercice 3

1. (1-\sqrt{3})^2=1^2-2×1×\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}

2. Résolution de l'équation z^2+(1-\sqrt{3})z+2-\sqrt{3}=0

Le discriminant vaut \Delta=(1-\sqrt{3})^2-4×1×(2-\sqrt{3})=1-2\sqrt{3}+3-8+4\sqrt{3}=-4+2\sqrt{3}

or (1-\sqrt{3})^2=4-2\sqrt{3} \text{ donc } -4+2\sqrt{3}=-(4-2\sqrt{3})=-(1-\sqrt{3})^2=(i(1-\sqrt{3}))^2

donc \Delta=(i(1-\sqrt{3}))^2

On déduit que l'équation z^2+(1-\sqrt{3})z+2-\sqrt{3}=0 admet deux racines complexes conjuguées

z_1=\dfrac{(-1+\sqrt{3})-i(1-\sqrt{3})}{2} \text{ et } z_2=\dfrac{(-1+\sqrt{3})+i(1-\sqrt{3})}{2}
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