Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths Tale > Nombres complexes
, déterminer les valeurs exactes du cosinus et du sinus de l'angle 
1. z1 a pour module 2 et pour argument
avec 
2.
3.
Forme trigonométrique et exponentielle de
^2}=\sqrt{2} \text{ donc } z_1=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}(cos(\frac{-\pi}{4})+isin(\frac{-\pi}{4}))=\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}})
Forme trigonométrique et exponentielle de
^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{(3+3)}=\sqrt{6} \text{ donc } z_2=\sqrt{6}(\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{6}}+i\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}})=\sqrt{6}(\frac{-\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}))
+isin(\frac{3\pi}{4}))=\sqrt{6} e^{i\frac{3\pi}{4}})
Forme trigonométrique et exponentielle de
^2+(\frac{5\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{(\frac{25}{4}+\frac{75}{4})}=\sqrt{\frac{100}{4}}=\sqrt{25}=5)
=5(cos(\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{2\pi}{3}))=5e^{i\frac{2\pi}{3}})
Posons
, on a )=2(cos(\frac{-\pi}{6})+isin(\frac{-\pi}{6}})))
Posons
, on a, )=\sqrt{2}(cos(\frac{-\pi}{4})+isin(\frac{-\pi}{4})))
On déduit que=Arg(z_1)-Arg(z_2)+2k\pi \text{ avec } k\in \mathsbb \Z )
=(\frac{-\pi}{6})-(\frac{-\pi}{4})+2k\pi =\frac{-\pi}{6}+\frac{\pi}{4}+2k\pi=\frac{\pi}{12}+2k\pi)
On déduit que+isin(\frac{\pi}{12})))
Or\times (1+i)}{(1-i)\times (1+i)}=\frac{(\sqrt{3}+1)+i(\sqrt{3}-1)}{2})
Par identification, on déduit que :
=\frac{(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{2}} \text{ et } sin(\frac{\pi}{12})=\frac{(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}})
=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4} \text{ et } sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4})
=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} \text{ et } sin(\frac{\pi}{12})=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4})
de module 2 et d'argument 
On a=cos(\frac{-3\pi}{4})=\frac{-\sqrt{2}}{2} \text{ et } sin(\frac{13\pi}{4})=sin(\frac{-3\pi}{4})=\frac{-\sqrt{2}}{2})
On déduit que+isin(\frac{3\pi}{4}))=2(\frac{-\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=-\sqrt{2}-i\sqrt{2})
2. Forme algébrique de
On a=cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} \text{ et } sin(\frac{25\pi}{3})=sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2})
On déduit que+isin(\frac{\pi}{3}))=5(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{5}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2})
3. Forme algébrique de
=\sqrt{7}(cos(\frac{-\pi}{6})+isin(\frac{-\pi}{6})))
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le
Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe
Activités rapides
exercice 1
Donner la forme trigonométrique puis exponentielle des nombres complexes suivants :exercice 2
A l'aide du nombre complexeexercice 3
Écrire la forme algébrique des nombres complexes suivants :1. z1 a pour module 2 et pour argument
2.
3.
exercice 1
Forme trigonométrique et exponentielle de
Forme trigonométrique et exponentielle de
Forme trigonométrique et exponentielle de
exercice 2
Posons
Posons
On déduit que
On déduit que
Or
Par identification, on déduit que :
exercice 3
1. Forme algébrique deOn a
On déduit que
2. Forme algébrique de
On a
On déduit que
3. Forme algébrique de
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