Fiche de mathématiques
> >

Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe

Partager :
Activités rapides

exercice 1

Donner la forme trigonométrique puis exponentielle des nombres complexes suivants :



z_1=1-i

z_2=-\sqrt{3}+i\sqrt{3}

z_3=\frac{-5}{2}-i \frac{5\sqrt{3}}{2}

exercice 2

A l'aide du nombre complexe Z=\frac{\sqrt{3}-i}{1-i}, déterminer les valeurs exactes du cosinus et du sinus de l'angle \frac{\pi}{12}


exercice 3

Écrire la forme algébrique des nombres complexes suivants :

1. z1 a pour module 2 et pour argument \frac{13\pi}{4}+2k\pi avec k\in\mathsbb \Z

2. z_2=5e^{i \frac{25\pi}{3}}

3. z_3=\frac{\sqrt{21}}{2}-i\frac{\sqrt{7}}{2}





exercice 1


Forme trigonométrique et exponentielle de z_1=1-i

|z_1|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \text{ donc } z_1=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}(cos(\frac{-\pi}{4})+isin(\frac{-\pi}{4}))=\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}

Forme trigonométrique et exponentielle de z_2=-\sqrt{3}+i\sqrt{3}

|z_2|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{(3+3)}=\sqrt{6} \text{ donc } z_2=\sqrt{6}(\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{6}}+i\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}})=\sqrt{6}(\frac{-\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})

z_2=\sqrt{6}(cos(\frac{3\pi}{4})+isin(\frac{3\pi}{4}))=\sqrt{6} e^{i\frac{3\pi}{4}}

Forme trigonométrique et exponentielle de z_3=\frac{-5}{2}-i \frac{5\sqrt{3}}{2}

|z_3|=\sqrt{(\frac{-5}{2})^2+(\frac{5\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{(\frac{25}{4}+\frac{75}{4})}=\sqrt{\frac{100}{4}}=\sqrt{25}=5

z_3=5(\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=5(cos(\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{2\pi}{3}))=5e^{i\frac{2\pi}{3}}


exercice 2


Posons z_1=\sqrt{3}-i, on a z_1=\sqrt{3}-i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+i(\frac{-1}{2}))=2(cos(\frac{-\pi}{6})+isin(\frac{-\pi}{6}}))

Posons z_2=1-i, on a, z_2=1-i=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i(\frac{-\sqrt{2}}{2}))=\sqrt{2}(cos(\frac{-\pi}{4})+isin(\frac{-\pi}{4}))

On déduit que |Z|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \text{ et } Arg(Z)=Arg(z_1)-Arg(z_2)+2k\pi \text{ avec } k\in \mathsbb \Z

Arg(Z)=(\frac{-\pi}{6})-(\frac{-\pi}{4})+2k\pi =\frac{-\pi}{6}+\frac{\pi}{4}+2k\pi=\frac{\pi}{12}+2k\pi

On déduit que Z=\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{12})+isin(\frac{\pi}{12}))

Or Z=\frac{\sqrt{3}-i}{1-i}=\frac{(\sqrt{3}-i)\times (1+i)}{(1-i)\times (1+i)}=\frac{(\sqrt{3}+1)+i(\sqrt{3}-1)}{2}

Par identification, on déduit que :

cos(\frac{\pi}{12})=\frac{(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{2}} \text{ et } sin(\frac{\pi}{12})=\frac{(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}

cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4} \text{ et } sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}

cos(\frac{\pi}{12})=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}  \text{ et } sin(\frac{\pi}{12})=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}

exercice 3

1. Forme algébrique de z_1 de module 2 et d'argument \frac{13\pi}{4}+2k\pi \text{ avec } k\in \mathsbb \Z

On a \frac{13\pi}{4}=4\pi-\frac{3\pi}{4} \text{ donc } cos(\frac{13\pi}{4})=cos(\frac{-3\pi}{4})=\frac{-\sqrt{2}}{2} \text{ et } sin(\frac{13\pi}{4})=sin(\frac{-3\pi}{4})=\frac{-\sqrt{2}}{2}

On déduit que z_1=2(cos(\frac{3\pi}{4})+isin(\frac{3\pi}{4}))=2(\frac{-\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}

2. Forme algébrique de z_2=5e^{i\frac{25\pi}{3}}
On a \frac{25\pi}{3}=8\pi +\frac{\pi}{3} \text{ donc } cos(\frac{25\pi}{3})=cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} \text{ et } sin(\frac{25\pi}{3})=sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}

On déduit que z_2=5e^{i\frac{25\pi}{3}=5(cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3}))=5(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{5}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}

3. Forme algébrique de z_3=\frac{\sqrt{21}}{2}-i \frac{\sqrt{7}}{2}

z_3=\frac{\sqrt{21}}{2}-i \frac{\sqrt{7}}{2}=\frac{\sqrt{7\times 3}}{2}-i\frac{\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i)=\sqrt{7}(cos(\frac{-\pi}{6})+isin(\frac{-\pi}{6}))
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1291 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !