Fiche de mathématiques
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Forme algébrique d'un complexe, Activités rapides

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Fiche relue en 2016

exercice 1


Soit z=3+2i \text{ et } z'=4-3i deux nombres complexes.

Déterminer la forme algébrique de z+z';zz' \text{ et } \frac{z}{z'}.


exercice 2


Résoudre dans C les équations suivantes :
z^4=4
z^2-4z+5=0


exercice 3

1. Montrer que Z=\dfrac{2}{1-i}+\dfrac{1-i}{1+i} vaut 1.

2. Calculer le conjugué de Z'=\dfrac{3+i}{1-i}

3. Calculer (3+i)(1+i)-3(1+i)^2





exercice 1

Soit z=3+2i \text{ et } z'=4-3i deux nombres complexes. On a :

z+z'=(3+2i)+(4-3i)=7-i

zz'=(3+2i)(4-3i)=12-9i+8i+6=18-i

\dfrac{z}{z'}=\dfrac{3+2i}{4-3i}=\dfrac{(3+2i)(4+3i)}{25}=\dfrac{12+9i+8i-6}{25}=\dfrac{6+17i}{25}=\dfrac{6}{25}+i\dfrac{17}{25}

exercice 2

Résolution dans C de l'équation z^4=4

z^4=4\Leftrightarrow z^4-4=0\Leftrightarrow (z^2)^2-(2)^2=0\Leftrightarrow (z^2-2)(z^2+2)=0

(z^2-2)(z^2+2)=0\Leftrightarrow (z-\sqrt{2})(z+\sqrt{2})(z+i\sqrt{2})(z-i\sqrt{2})=0

(z-\sqrt{2})(z+\sqrt{2})(z+i\sqrt{2})(z-i\sqrt{2})=0\Leftrightarrow z=\sqrt{2} \text{ ou } z=-\sqrt{2} \text{ ou } z=i\sqrt{2} \text{ ou } z=-i\sqrt{2}

Conclusion : l'équation z^4=4 admet 4 solutions : \sqrt{2};-\sqrt{2};i\sqrt{2} \text{ et } -i\sqrt{2}

Résolution dans C de l'équation z^2-4z+5=0

Cette équation a des coefficients réels.
Le discriminant vaut \Delta=(-4)^2-4\times 1\times 5=16-20=-4=(2i)^2 donc l'équation admet 2 racines complexes conjuguées z_1=\frac{4-2i}{2}=2-i \text{ et } z_2=2+i.


exercice 3


1. Z=\dfrac{2}{1-i}+\dfrac{1-i}{1+i}=\dfrac{2(1+i)+(1-i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2+2i+1-2i-1}{2}=\dfrac{2}{2}=1

2. Z'=\dfrac{3+i}{1-i} \text{ donc }\overline {Z\,'}=\overline {\left(\dfrac{3+i}{1-i}\right)}=\dfrac{\overline {3+i}}{\overline {1-i}}=\dfrac{3-i}{1+i}=\dfrac{(3-i)(1-i)}{2}=\dfrac{3-3i-i-1}{2}=\dfrac{2-4i}{2}=1-2i

3. (3+i)(1+i)-3(1+i)^2=3+3i+i-1-3-6i+3=2-2i
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