Fiche de mathématiques
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Forme algébrique d'un complexe

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Fiche relue en 2016

exercice 1


Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :


Z_1=(-4+6i)(3-2i)

Z_2=(2-3i)^2

Z_3=\dfrac{5}{1-2i}

exercice 2


Soit x et y réels.
On appelle z=x+iy le nombre complexe différent de i tel que z=x+iy

Déterminer la forme algébrique du complexe Z=\dfrac{z+1}{z-i}
Donner la partie réelle et la partie imaginaire de Z

exercice 3

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :

Z_1=\dfrac{1}{3-i}

Z_2=\dfrac{1}{6-5i}

Z_3=\dfrac{2}{5-2i}





exercice 1

Forme algébrique de Z_1

Z_1=(-4+6i)(3-2i)=-12+8i+18i+12=26i

Forme algébrique de Z_2

Z_2=(2-3i)^2

Z_2=(2-3i)^2=4-12i-9=-5-12i

Forme algébrique de Z_3

Z_3=\dfrac{5}{1-2i}

Z_3=\dfrac{5}{1-2i}=\dfrac{5(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{5(1+2i)}{5}=1+2i


exercice 2

Forme algébrique du complexe de Z avec z=x+iy et z\neq i.

Z=\dfrac{z+1}{z-i}=\dfrac{(x+1)+iy}{x+i(y-1)}=\dfrac{((x+1)+iy)(x-i(y-1))}{x^2+(y-1)^2}=\dfrac{(x+1)x-i(x+1)(y-1)+iyx+y(y-1)}{x^2+(y-1)^2}

Z=\dfrac{(x^2+x+y^2-y)+i(-xy+x-y+1+xy)}{x^2+(y-1)^2}=\dfrac{(x^2+y^2+x-y)+i(x-y+1)}{x^2+(y-1)^2}

Z=X+iY avec X=\dfrac{x^2+y^2+x-y}{x^2+(y-1)^2} et Y=\dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}

La partie réelle de Z est donc : Re(Z)=\dfrac{x^2+y^2+x-y}{x^2+(y-1)^2}

La partie imaginaire de Z est donc : Im(Z)=\dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}

exercice 3

Forme algébrique du nombre complexe Z_1

Z_1=\dfrac{1}{3-i}=\dfrac{3+i}{9+1}=\dfrac{3}{10}+i\dfrac{1}{10}

Forme algébrique du nombre complexe Z_2

Z_2=\dfrac{1}{6-5i}=\dfrac{6+5i}{36+25}=\dfrac{6+5i}{61}=\dfrac{6}{61}+i\dfrac{5}{61}

Forme algébrique du nombre complexe Z_3

Z_3=\dfrac{2}{5-2i}=\dfrac{2(5+2i)}{25+4}=\dfrac{10+4i}{29}=\dfrac{10}{29}+i\dfrac{4}{29}
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