Fiche de mathématiques
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Savoir résoudre des systèmes au service de la géométrie

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La position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans de l'espace, mais également savoir dire si des vecteurs forment une base ou pas d'un plan ou de l'espace, revient régulièrement à résoudre des systèmes d'équations.


Prérequis : il faut absolument maîtriser la résolution des équations du premier degré dans R. En voici quelques rappels sous forme d'exemples.

1. Résoudre dans R l'équation d'inconnue a.

3a+2=0\phantom{ww} : \white{ww} on cherche à isoler a, l'opération entre 3a et 2 est une addition, je soustrais 2 aux deux membres
3a=-2  \phantom{ww} : \white{ww} l'opération entre 3 et a est une multiplication, je divise les deux membres par 3

a= \dfrac {-2}{3}\phantom{ww} : \white{ww} et on peut écrire que l'ensemble solution est S=\left\lbrace\dfrac {-2}{3}\right\rbrace

2. Résoudre dans R l'équation d'inconnue b.

5b=0 \phantom{ww} : \white{ww} l'opération entre 5 et b est une multiplication, je divise les deux membres par 5
b=0 \phantom{ww} : \white{ww} et on peut écrire que l'ensemble solution dans R est S=\left\lbrace 0 \right\rbrace

3. Résoudre dans R l'équation d'inconnue c.

3+(c-2)=1+c \phantom{ww} : \white{ww} on réduit l'écriture dans le membre de gauche
1+c=1+c \phantom{ww} : \white{ww} cette égalité est toujours vérifiée, et on peut écrire que l'ensemble solution dans R est S=\textbf{R  }

4. Résoudre dans R l'équation d'inconnue d.

d-1=d+2  \phantom{ww} : \white{ww} je soustrais d aux deux membres
-1=2  \phantom{ww} : \white{ww} égalité qui n'est jamais vérifiée, et on peut écrire que l'ensemble solution dans R est S=\emptyset

exercice 1

L'espace est muni d'un repère. On donne les vecteurs \vec u \begin{pmatrix} \phantom{-}0\\ \phantom{-}4\\ -5 \end{pmatrix}\quad , \quad \vec v\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} \quad , \quad \vec w\begin{pmatrix} \phantom{-}2\\ -6\\ \phantom{-}0\end{pmatrix}
Indiquer si les vecteurs \vec u\;, \; \vec v \text{ et }\vec w forme une base de l'espace.


Soient a, b et c trois réels tels que a\vec u + b\vec v + c \vec w = \vec 0. Déterminons a, b et c.

a\vec u + b\vec v + c \vec w = \vec 0\Longleftrightarrow a\begin{pmatrix} \phantom{-}0\\ \phantom{-}4\\ -5 \end{pmatrix}+b \begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} \phantom{-}2\\ -6\\ \phantom{-}0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}     \\  \phantom{a\vec u + b\vec v + c \vec w = \vec 0}  \Longleftrightarrow      \left\lbrace\begin{matrix} && 5b &+ & 2c & =&0 &  \\ \\ 4a& +& b & - & 6c& = & 0\\  \\ -5a& + & 3b & & & =& 0 \end{matrix}\right    \Longleftrightarrow      \left\lbrace\begin{matrix} & & & & c & =& -\dfrac 5 2 b\\ \\ 4a&+ &b &- &6c &= &0 \\ \\ & & & & a & =& \dfrac 3 5 b \end{matrix}\right


 {\white{wwwwwwwwww}}   \Longleftrightarrow      \left\lbrace\begin{matrix} & & & & c & =& -\dfrac 5 2 b\\ \\ \dfrac{12}{5}b&+ &b &- &15b&= &0 \\ \\ & & & & a & =& \dfrac 3 5 b \end{matrix}\right  \Longleftrightarrow  \left\lbrace\begin{matrix}  & c & =& -\dfrac 5 2 b\\ \\ &- \dfrac{58}{5}b&= &0 \\ \\  & a & =& \dfrac 3 5 b \end{matrix}\right   \Longleftrightarrow  \left\lbrace\begin{matrix}  & c & =& -\dfrac 5 2 b\\ \\ &b&= &0 \\ \\  & a & =& \dfrac 3 5 b \end{matrix}\right


 {\white{wwwwwwwwww}}   \Longleftrightarrow  \left\lbrace\begin{matrix}  & c & =& 0\\ \\ &b&= &0 \\ \\  & a & =& 0 \end{matrix}\right

La seule solution à ce système est le triplet (0;0;0) . On en conclut que les trois vecteurs proposés forment une base de l'espace.

exercice 2

L'espace est muni d'un repère. On donne les vecteurs \vec u \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 2\end{pmatrix}\quad , \quad \vec v\begin{pmatrix} 3\\ 9\\ 18 \end{pmatrix} \quad , \quad \vec w\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 4\end{pmatrix}
Indiquer si les vecteurs \vec u\;, \; \vec v \text{ et }\vec w forme une base de l'espace.


Soient a, b et c trois réels tels que a\vec u + b\vec v + c \vec w = \vec 0. Déterminons a, b et c.

a\vec u + b\vec v + c \vec w = \vec 0\Longleftrightarrow a\begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}+b \begin{pmatrix} 3\\ 9\\ 18 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}     \\  \phantom{a\vec u + b\vec v + c \vec w = \vec 0}  \Longleftrightarrow      \left\lbrace\begin{matrix} && 3b &+ & c & =&0 &  \\ \\ 3a& +& 9b &  & & = & 0\\  \\ 2a& + & 18b & +& 4c& =& 0 \end{matrix}\right    \Longleftrightarrow      \left\lbrace\begin{matrix} & & & & c & =& -3 b\\ \\ a& & & & &= &-3b \\ \\ 2a& +&18b & +& 4c & =& 0\end{matrix}\right


{\white{wwwwwwwwww}}   \Longleftrightarrow     \left\lbrace\begin{matrix} & & & & c & =& -3 b\\ \\ a& & & & &= &-3b \\ \\ -6b& +&18b & -& 12b & =& 0\end{matrix}\right   \Longleftrightarrow  \left\lbrace\begin{matrix}  & c & =& -3 b\\ \\ &a&= &-3b \\ \\  & 0 & =& 0\end{matrix}\right

Le système se réduit à deux équations, et admet une infinité de solutions. On peut par exemple choisir b=-1, d'où a=3 et c=3.
On obtient 3\vec u - \vec v +3\vec w = \vec 0.
Les 3 vecteurs ne sont pas indépendants et ne forment donc pas une base de l'espace.



exercice 3

L'espace est muni d'un repère.
On donne les vecteurs \vec u \begin{pmatrix} \phantom{-}3\\ \phantom{-}9\\ -6\end{pmatrix}\quad , \quad \vec v\begin{pmatrix} \phantom{-}2\\ \phantom{-}6\\ -4 \end{pmatrix}
Indiquer si les vecteurs \vec u et \vec v forment une base d'un plan.


On cherche à savoir si les vecteurs sont colinéaires.

On peut remarquer que 2=\dfrac 2 3 \times 3 \quad ; \quad 6=\dfrac 2 3 \times 9 \quad ; \quad -4=\dfrac 2 3 \times (-6).
On peut donc écrire que \vec v = \dfrac 2 3 \vec u. Les vecteurs étant colinéaires, ils ne forment pas une base d'un plan.
Autre méthode : cette question aurait pu être rédigée également à l'aide de la résolution d'un système.
Pour cela on cherche s'il existe k réel tel que par exemple \vec v = k \vec u

\vec v = k \vec u \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} \phantom{-}2\\ \phantom{-}6\\ -4 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} \phantom{-}3\\ \phantom{-}9\\ -6\end{pmatrix} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} 2 & = &3k \\ 6 & = & 9k\\ -4& = &-6k \end{matrix}\right \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} k & = & \frac 2 3 \\ k& = & \frac 6 9 &=& \frac 2 3 \\ k& = & \frac{-4}{-6}&=&\frac 2 3 \end{matrix}\right

Le système est compatible, on obtient \vec v = \dfrac 2 3 \vec u , les vecteurs sont colinéaires et ne constituent donc pas une base d'un plan.


exercice 4

L'espace est muni d'un repère. On donne les droites (AB) et (CD) par une de leurs représentations paramétriques.

(AB) : \left\lbrace\begin{matrix} x &= &1+t \\ y& = &-1+2t &\quad t\in \textbf R\\ z& = &2-3t \end{matrix}\right   \quad {\white{wwwww}}(CD) : \left\lbrace\begin{matrix} x &= &k\\ y& = &-2+3k&\quad k\in \textbf R\\ z& = &3-5k\end{matrix}\right
Ces droites sont-elles sécantes ?

Les droites (AB) et (CD) sont sécantes, s'il existe t et k réels tels que \left\lbrace\begin{matrix} 1+t & =& k\\ -1+2t& = & -2+3k\\ 2-3t& = &10-5k \end{matrix}\right

\left\lbrace\begin{matrix} 1+t & =& k\\ -1+2t& = & -2+3k\\ 2-3t& = &10-5k \end{matrix}\right\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} 1+t &= & k\\ -1+2t& = &-2+3(1+t) \\ 2-3t &= &10-5k \end{matrix}\right  \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} 1+t &= & k\\ t&=&-2\\ 2-3t &= &10-5k \end{matrix}\right\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} k&=&3\\ t&=&-2\\ 8&=&-5&\quad \text{ impossible}\end{matrix}\right

Ce système est incompatible. Les droites ne sont donc pas sécantes.
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