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Sujet corrigé du bac S 2016 Liban de Mathématiques

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exercice 1


a) Le triangle AIE est rectangle en I. De plus AI est la moitié de la longueur AC, or [AC] est la diagonale d'un carré de côté 1, donc AI=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. D'après le théorème de Pythagore :

\begin{array}{ccc} AE^2=AI^2+IE^2 & \Leftrightarrow & IE^2=AE^2-AI^2 \\ & \Leftrightarrow & IE^2 = 1^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \\ && \\ &\Leftrightarrow & IE^2=1-\dfrac{2}{4} \\ &&\\ & \Leftrightarrow & IE^2 = \dfrac{1}{2} \\ && \\ & \Leftrightarrow & IE = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ && \\ & \Leftrightarrow & IE = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}
Donc IE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

b) On a E\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Alors :
\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AE} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.

Si \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 et \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AE}=0 alors \overrightarrow{n} est normal à (ABE).

Or \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \times 1 -2 \times 0 + \sqrt{2} \times 0 = 0

et \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AE} = 0 \times \dfrac{1}{2}-2 \times \dfrac{1}{2}+\sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0.

Donc \overrightarrow{n} est normal au plan (ABE).

c) \overrightarrow{n} est normal au plan (ABE), donc il existe c \in \mathbb{R} tel qu'une équation cartésienne de (ABE) soit
0 \times x -2 \times y + \sqrt{2} z +c =0

donc -2y+\sqrt{2}z +c =0.

Or, A \in (ABE) donc

-2 \times 0 + \sqrt{2} \times 0 + c = 0 \: \Leftrightarrow \: c=0.

Donc une équation du plan (ABE) est -2y+\sqrt{2}z=0.

2. a) (FDC) et (ABE) sont parallèles si et seulement si \overrightarrow{n} est un vecteur normal à (FDC) également.

Or comme les deux pyramides sont identiques F\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) donc \overrightarrow{FD}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} et \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}

Donc \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{DC}=0 et \overrightarrow{n} \cdot  \overrightarrow{FD} = 0.

Donc \overrightarrow{n} est normal au plan (FDC), donc les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

b) M est le milieu du segment [DF] donc, M appartient à (EMN) et (FDC) donc (EMN) et (FDC) se coupent en une droite passant par le point M.
On sait que (FDC) et (ABE) sont parallèles or tout plan qui coupe le plan (FDC) coupe le plan (ABE) et les droites d'intersection sont parallèles. Donc (EMN) coupe (FDC) et (ABE) en deux droites parallèles. Or (EMN) coupe le plan (AEB) en (EN), il coupe donc le plan (FDC) en la parallèle à (EN) qui passe par M.

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c)
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exercice 2

Partie A

1.On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de balles qui sont allées à droite sur les 20 balles lancées. Les lancés sont identiques et indépendants, un lancé est une épreuve de Bernoulli dont le succès est"la balle est allée à droite" de probabilité 0,5. Donc X suit une loi binomiale B(20;0,5). \\

On cherche alors

P(X=10)=\binom{20}{10} 0,5 ^{10} \times 0,5 ^{20-10} \approx 0,176 d'après la calculatrice.

2.On cherche P(5 \leq X \leq 10), or :

\begin{array}{ccc} P(5 \leq X \leq 10) & =  & P(X \leq 10) - P(X < 5) \\ & = & P(X \leq 10) - P(X \leq 4) \\ & \approx & 0,582 \text{  d'après la calculatrice} \end{array}

Partie B :

On a n=100 \geq 5 et np=n(1-p)=100 \times 0,5 = 50 \geq 5 donc on peut calculer I l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% des fréquences des échantillons de taille 100 :

I=\left[ 0,5-1,96 \sqrt{\dfrac{0,5 (1-0,5)}{100}};0,5+1,96 \sqrt{\dfrac{0,5 (1-0,5)}{100}}\right] =[0,402;0,598].

Or la fréquence observée par le joueur est de \dfrac{42}{100}=0,42.

Or 0,42 \in I donc on ne peut pas dire que les doutes du joueurs soient justifiés.

Partie C:

On appelle D l'évènement "la balle va à droite" et C l'évènement "la balle est coupée", on peut donc modéliser la situation par l'arbre suivant :

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On cherche P_C(D) or il faut trouver P(C) pour pouvoir le faire, donc on va compléter l'arbre.

On sait que P(\overline{C} \cap D)=0,24 et P(C \cap \overline{D})=0,235. Alors P_D(\overline{C})=\dfrac{P(\overline{C} \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0,24}{0,5} = 0,48
et
P_{\overline{D}}(C)=\dfrac{P(C \cap \overline{D})}{P(\overline{D})}=\dfrac{0,235}{0,5}=0,47.

Donc l'arbre complété est le suivant :

ainsi, P(C)=P(D \cap C)+ P(\overline{D} \cap C) = 0,5 \times 0,52 + 0,5 \times 0,47 = 0,495.
Or P_C(D)=\dfrac{P(C \cap D)}{P(C)} = \dfrac{0,5 \times 0,52}{0,495} \approx 0,525.

Donc si le lance-balle envoie une balle coupée, la probabilité qu'elle soit envoyée à droite est de 0,525.

exercice 3

Partie A:

f est dérivable sur [0;1], et pour tout x \in [0;1] : \begin{array}{ccc} f'(x) & =  & - \dfrac{-e^{1-x}}{(1+e^{1-x})^2} \\ & = & \dfrac{e^{1-x}}{(1+e^{1-x})^2} \end{array}

Or pour tout x \in [0;1], e^{1-x}>0 et (1+e^{1-x})^2>0 donc :

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Car f(0)=\dfrac{1}{1+e^{1-0}} =\dfrac{1}{1+e} et f(1)=\dfrac{1}{1+e^{1-1}} = \dfrac{1}{2}.

2. Soit x \in [0;1], \begin{array}{ccc} f(x) & = & \dfrac{1}{1+e^{1-x}} \\ && \\ & = & \dfrac{e^x\times 1}{e^x \times (1+e^{1-x})} \\ && \\  & = &  \dfrac{e^x}{e^x+e^{x+1-x}} \\ && \\  & =& \dfrac{e^x}{e^x+e^1}\\ && \\  & = & \dfrac{e^x}{e^x+e} \end{array}

Donc, pour tout x \in [0;1] alors f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+e}.

3. En se servant de la question précédente,

\begin{array}{ccc} \int_0^1 f(x)dx & = & \int_0^1 \dfrac{e^x}{e^x+e} dx\\ && \\ & = & \int_0^1 \dfrac{(e^x+e)'}{e^x+e}dx \\ && \\ & = & \left[ln(e^x+e)\right]_0^1 \\ && \\ & = & \ln(e^1+e)-\ln(e^0+e) \\ && \\ & = & \ln(2e) - \ln(1+e) \\ && \\ & = & \ln(2) + \ln(e) -\ln(1+e) \\ && \\ & = & \ln(2) + 1 - \ln(1+e) \end{array}

Partie B:

1. Soit x \in [0;1] alors f_0(x)=\dfrac{1}{1+0 \times e^{1-x}}=\dfrac{1}{1}=1.

Alors le tracé de C_0 est le suivant :

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2. Soit n un entier naturel, alors u_n est l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la courbe de f_n, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.

Ainsi u_0 est l'aire d'un carré de côté 1, donc u_0=1.

3. On peut conjecturer que la suite (u_n) est décroissante.

Montrons cette conjecture. Soit n \in \mathbb{N} alors

\begin{array}{ccc} u_{n+1}-u_n & = & \int_0^1 f_{n+1}(x)dx - \int_0^1 f_n(x)dx \\ && \\ & = & \int_0^1 (f_{n+1}(x)-f_n(x)) dx \\ && \\ & = & \int_0^1 \left( \dfrac{1}{1+(n+1)e^{1-x}}-\dfrac{1}{1+ne^{1-x}} \right) dx \\ && \\ & = & \int_0^1 \dfrac{1+ne^{1-x}-(1+(n+1)e^{1-x})}{(1+(n+1)e^{1-x})(1+ne^{1-x})} dx \\ && \\ & = & \int_0^1 \dfrac{-e^{1-x}}{(1+(n+1)e^{1-x})(1+ne^{1-x})}  dx\\ \end{array}

Or \forall x \in [0;1], (1+(n+1)e^{1-x})(1+ne^{1-x})>0 et -e^{1-x}<0 donc \dfrac{-e^{1-x}}{(1+(n+1)e^{1-x})(1+ne^{1-x})}<0 donc par positivité de l'intégrale, \int_0^1 \dfrac{-e^{1-x}}{(1+(n+1)e^{1-x})(1+ne^{1-x})}<0, donc u_{n+1}-u_n<0 pour tout n \in \mathbb{N}. Donc (u_n) est décroissante.

4. Pour tout n \in \mathbb{N} et tout x \in [0;1], f_n(x) >0, donc u_n>0 par positivité de l'intégrale. Donc (u_n) est une suite décroissante minorée par 0 donc elle admet une limite.



exercice 4


Affirmation 1 : FAUSSE

On sait que P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 0,68 or P(\mu-1,6 \leq X \leq \mu+1,6) =0,68 d'après la symétrie de la loi normale. On va utiliser les propriétés connues sur les intervalles de la loi normale.On sait que P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,954
Donc

P(16,8 \leq X \leq 23,2) \approx 0,954
Donc par symétrie de la loi, P(X \geq 23,2) \approx \dfrac{1-0,954}{2}
donc P(X \geq 23,2 ) \approx 0,023.

Affirmation 2 : VRAIE


Soit x,y \in \mathbb{R} tels que z=x+iy,

\begin{array}{ccc} |Z|=1 &  \Leftrightarrow & |Z| =  \left| \dfrac{iz}{z-2} \right| \\ && \\ & \Leftrightarrow & 1=\dfrac{|iz|}{|z-2|} \\ && \\ & \Leftrightarrow & 1=\dfrac{|i||z|}{|z-2|} \\ && \\ & \Leftrightarrow & 1=\dfrac{|z|}{|z-2|} \\ && \\ & \Leftrightarrow & |z-2|=|z| \\ \end{array}

Donc l'ensemble des points du plan complexe d'affixe z tels que |Z|=1 est l'ensemble des points du plan à égale distance de O(0;0) et de B(2;0). Donc c'est la médiatrice du segment [0B] qui passe par son milieu qui est A(1;0).

Affirmation 3 : FAUSSE


z \in \mathbb{C}\backslash\lbrace{2\rbrace} donc il existe a et b des nombres réels tel que z=a+ib.

\begin{array}{ccc} Z & = & \dfrac{iz}{z-2} \\ && \\ & = & \dfrac{i(a+ib)}{a+ib-2} \\ && \\ & = & \dfrac{(ia-b)(a-2-ib)}{a-2+ib)(a-2-ib)} \\ && \\ & = & \dfrac{ia^2-2ia+ab-ba+2b+ib^2}{(a-2)^2+b^2} \\ && \\ & = & \dfrac{i(a^2+b^2-2a)+2b}{(a-2)^2+b^2}  \end{array}

Or \begin{array}{ccc} Z \text{ est un imaginaire pur } & \Leftrightarrow & Re(Z)=0 \text{ et }z \neq 2\\ & \Leftrightarrow & \dfrac{2b}{(a-2)^2+b^2}=0 \text{ et }z \neq 2\\ & \Leftrightarrow & b=0 \text{ et }z \neq 2\\ & \Leftrightarrow & Im(z)= 0 \text{ et }z \neq 2\\ & \Leftrightarrow & z \text{ est un réel \textbf{différent de 2}}. \end{array}

Remarque : On aurait pu penser rédiger de la manière suivante : "si z=2, z est un réel mais Z n'est pas défini donc ne peut être un imaginaire pur. Donc la proposition est fausse".

Affirmation 4 : VRAIE



f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout x \in \mathbb{R},
f'(x)=-\dfrac{3(-12e^{-2x})}{(4+6e^{-2x})} = \dfrac{36e^{-2x}}{(4+6e^{-2x})}.

Or pour tout x \in \mathbb{R}, e^{-2x}>0 et (4+6e^{-2x})>0 donc f est strictement croissante. De plus, f(0)=\dfrac{3}{10}=0,3.

Il nous reste à savoir si la limite de f en +\infty est plus grande que 0,5. Or,
\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} e^{-2x}= 0
donc \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} 4+6e^{-2x}=4,
donc \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{3}{4+6e^{-2x}}=\dfrac{3}{4}.

Donc, f est strictement croissante sur \mathbb{R}, avec f(0)=0,3<0,5 et \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} f(x) = \dfrac{3}{4} > 0,5. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiraires, il existe une unique solution à l'équation f(x)=0,5 sur \mathbb{R} (\textit{et même sur [0;+\infty[}).

Affirmation 5 : FAUSSE

Cet algorithme donne la première valeur (à 0,01 près) de x telle que f(x) \geq 0,5. Or d'après la fonction table de la calculatrice on trouve x=0,55. Donc l'algorithme devrait afficher 0,55.

exercice 4 - Spécialité

Affirmation 1 : VRAIE


On suppose que n est solution de ce système. Or 11=2 \times 5 +1 et 11=2 \times 4 +3 donc :
11 \equiv 1 [5] \text{ et } 11 \equiv 3 [4].
Donc
\begin{array}{ccc} n-11 & \equiv  & 1-1 [5] \\ n-11 & \equiv & 3-3 [4] \end{array}
Donc \begin{array}{ccc} n-11 & \equiv  & 0 [5] \\ n-11 & \equiv & 0 [4] \end{array}
Donc n-11 est divisible par 4 et par 5.

Affirmation 2 : VRAIE


Soit k \in \mathbb{Z} alors d'une part 11+20k = 1 + 2\times 5 + 4 \times 5k et donc 11+20k \equiv 1 [5].
D'autre part 11+20k=3+2 \times 4 + 4 \times 5 k et donc 11+20k \equiv 3 [4].
Donc pour tout entier relatif k, 11+20k est solution du système.

Affirmation 3 : VRAIE


Si n est un entier relatif solution du système, alors d'après l'affirmation 1, n-11 est divisible par 4 et 5. Or 4 et 5 étant premier entre eux, n-11 est divisble par leur produit 20.
Donc il existe un entier relatif k tel que n-11=20k \Leftrightarrow n=20k+11.

Affirmation 4 : FAUSSE


En effet pour n un entier naturel non nul :
a_n=0,3a_{n-1}+0,8b_{n-1}.
Or l'algorithme utilise la relation a=0,8a+0,3b cela aurait du être a=0,3a+0,8b pour que l'algorithme affiche en sortie les valeurs de a_{10} et b_{10}.

Affirmation 5 : VRAIE


\left\lbrace\begin{array}{ccc} a_0=0 \\ b_0=1 \\ \end{array}\right.

\left\lbrace\begin{array}{ccc} a_1=0,3*0+0,8 \times 1 = 0,8 \\ b_1=1-0,8=0,2 \\ \end{array}\right.

\left\lbrace\begin{array}{ccc} a_2=0,3*0,8+0,8 \times 0,2 = 0,4 \\ b_2=1-0,4=0,6 \\ \end{array}\right.

\left\lbrace\begin{array}{ccc} a_3=0,3*0,4+0,8 \times 0,6 = 0,6 \\ b_3=1-0,6=0,4 \\ \end{array}\right.

\left\lbrace\begin{array}{ccc} a_4=0,3*0,6+0,8 \times 0,4 = 0,5 \\ b_4=1-0,5=0,5 \\ \end{array}\right.
La probabilité d'être dans l'état A au bout de 4 secondes est a_4=0,5 donc après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état A que d'être dans l'état B.

exercice 5

1. a)Soit n \in \mathbb{N} :

\begin{array}{ccc} u_{n+1} & = & z_{n+1}-z_A \\ & = & \dfrac{1}{2}i\times z_n+5-(4+2i) \\ & = & \dfrac{1}{2}i \times z_n +1 -2i \\ \end{array}

Or

\begin{array}{ccc} \dfrac{1}{2}i \times u_n & = & \dfrac{1}{2}i(z_n-4-2i) \\ && \\ & =& \dfrac{1}{2}i \times z_n -2i+1 \\ && \\ & = & u_{n+1} \end{array}

Donc, pour tout n entier naturel, u_{n+1}=\dfrac{1}{2}i \times u_n.

b)On va montrer cette propriété par réccurence. Soit n \in \mathbb{N}, on note P_n : "u_n=\left(\dfrac{1}{2}i\right)^n(-4-2i)".

Initialisation : Montrons que P_0 est vraie.
u_0=z_0-z_A=0-4-2i=-4-2i et \left(\dfrac{1}{2}i\right)^0 (-4-2i) =-4-2i

Donc P_0 est vraie.

Hérédité : Soit k \geq 0. Montrons que si P_k est vraie alors P_{k+1} est vraie. On suppose donc P_k vraie.

\begin{array}{ccc} u_{k+1} & = & \dfrac{1}{2} i \times u_k \\ && \\ & = & \dfrac{1}{2}i \times \left(\dfrac{1}{2}i\right)^k(-4-2i) \\ && \\ & = & \left(\dfrac{1}{2}i\right)^{k+1} (-4-2i) \end{array}

Donc si P_k est vraie alors P_{k+1} est vraie. Donc l'hérédité est prouvée.

Conclusion : On en conclut que pour tout n \in \mathbb{N}, u_n=\left(\dfrac{1}{2}i\right)^n(-4-2i).

2. On cherche \begin{array}{ccc} (\overrightarrow{AM_n}, \overrightarrow{AM_{n+4}}) & = & arg\left(\dfrac{z_n-z_A}{z_{n+4}-z_A} \right)  \\ && \\ & = & arg\left(\dfrac{u_n}{u_{n+4}}\right) \\ && \\ & = & arg\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}i\right)^n(-4-2i)}{\left(\dfrac{1}{2}i\right)^{n+4}(-4-2i)} \right) \\ && \\ & = & arg \left(\dfrac{1}{\dfrac{i^4}{2^4}}\right)\\ && \\ & = & arg\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^4}} \right) \\ && \\ & = & arg(1)-arg\left(\dfrac{1}{2^4}\right) \\ & = & 0 \end{array}

Donc
(\overrightarrow{AM_n},\overrightarrow{AM_{n+4}})=0 \: \: [\pi] donc A, M_n et M_{n+4} sont alignés.
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